2016年浙江财经大学601高等数学考研真题硕士研究生入学考试试题
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2016-2019年全国硕士研究生入学考试数学(数二)真题及答案解析精编
（B）1
（C）2
（D）3
【解析】由于 AX 0 的基础解系有只有两个解向量，则由4 R( A) 2可得R( A) 2 3，
故R( A*) 0.
（8）设 A 是 3 阶实对称矩阵，E 是 3 阶单位矩阵，若 A2 A 2E ,且| A | 4 ,则二次型 xT Ax
的规范形为
二、填空题：914 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答．题．纸．指定位置上.
数学二（3）
2
(9)
lim
x0
(x
2
x
)
x
______
.
【答案】 4e2
2
【解析】 lim( x 2x ) x
lim 2( x2x 1)
ex0
x
2 lim ( x 2x 1)
e x0 x x
y '(t) x '(t)
t 3 2
sin t 1 cos t
t 3 2
1
则曲线在 t 3 对应点处的切线方程为 y 1 (x 3 1)
2
2
令x 0得 y 3 2 2
(11)设函数 f (u) 可导， z yf ( y2 ) ，则 2x z y z =__________.
lim
xa
f
(x) g(x) (x a)2
0 的（
）
（A）充分非必要条件
（B）充分必要条件
（C）必要非充分条件
（D）既非充分也非必要条件
【答案】（C）
【解析】因 lim xa
f
(x) g(x) (x a)2
2016年考研数学一试题及解答
B
有唯一解,
X
=
1 0
3a
a a a
+ − +
2 4 2
.
−1 0
21.（本题满分 11 分）
0 −1 1
已知矩阵 A = 2 −3 0 .
000
( I ) 求 A99;
( II ) 设 3 阶矩阵 B = (α1, α2, α3) 满足 B2 = BA, 记 B100 = (β1, β2, β3), 将 β1, β2, β3 分别表示为 α1, α2, α3 的线性组合.
002
0 00
−2 + 299 1 − 299
A99 = (P ΛP −1)99 = P Λ99P −1 = −2 + 2100 1 − 2100
2 − 298 2 − 299 .
0
0
0
( II ) 解 B2 = BA ⇒ B100 = BA99, 即
β1 = (−2 + 299) α1 + (−2 + 2100) α2,
˚Σ (
)
=
∂ (x2 + 1) − ∂ (2y) + ∂ (3z) dV
˚Ω ∂x
∂y
∂z
= (2x + 1) dV ,
注意到 dV
Ω
= (1 − x)2 dx, 于是 I
ˆ =
1
(2x + 1)(1 − x)2 dx =
1 .
0
2
19.（本题满分 10 分）
已知函数
f (x)
可导,
且
f (0)
=
( ξn−1介于xn, xn−1之间 ) ( ξn−2介于xn−1, xn−2之间 )
2016年全国硕士研究生入学考试数学二真题及答案
（12）已知函数 f (x) 在 (, ) 上连续，且 f (x) (x 1)2 2 x f (t)dt ，则当 n 2 时，f (n) (0) 0
____________.
2
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（13）已知动点 P 在曲线 y x3 上运动，记坐标原点与点 P 间的距离为 l .若点 P 的横坐标时间
【详解】u( x, y) 在平面有界闭区域 D 上连续，所以 u( x, y) 在 D 内必然有最大值和最小值．并且如果在
内部存在驻点 ( x0 ,
y0 ) ，也就是
u x
u y
0
，在这个点处
A
2u x 2
,C
2u y 2
,B
2u xy
2u yx
，由条
件，显然 AC B2 0 ，显然 u( x, y) 不是极值点，当然也不是最值点，所以 u( x, y) 的最大值点和最小值
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x t 2 7,
4．曲线
y
t
2
4t
1
上对应于 t 1的点处的曲率半径是（
）
（Ａ） 10 （Ｂ） 10
50
100
(Ｃ）10 10 （Ｄ） 5 10
【详解】 曲线在点 ( x, f ( x)) 处的曲率公式 K
y" ，曲率半径 R 1 ．
(1 y'2 )3
K
2
本题中 dx 2t, dy 2t 4 ，所以 dy 2t 4 1 2 ， d 2 y t 2 1 ，
的变化率为常数 v0 ，则当点 P 运动到点 (1,1) 时， l 对时间的变化率是 _______ .
2016考研数学一真题完整版
（2）已知函数
f
(x)
2(x 1), x 1,
ln x, x 1.
则
f
(x)
的一个原函数是（
）
（A）
F
(
x)
(x 1)2 , x 1,
x(ln
x
1),
x
1.
（B）
F
(
x)
Hale Waihona Puke (x 1)2 x(ln x 1)
, x 1, 1, x
1.
（C）
（（9） （10）向量场
(11)设函数
可微，
. 的旋度
由方程
. 确定，则
=.
2
（12）设函数
f
x = arctan
x
x 1 ax2
，且
，则 a= .
（13）行列式
=
.
（14）设
为来自总体
的简单随机样本，样本均值 =9.5，参数 的置信
度为 0.95 的双侧置信区间的置信上限为 10.8，则 的置信度为 0.95 的双侧置信区间为 .
（D） A A1 与 B B1 相似
（6）设二次型 f (x1, x2 , x3 ) x12 x22 x32 4x1x2 4x1x3 4x2 x3 ，则 f (x1, x2 , x3 ) 2
在空间直角坐标下表示的二次曲面为（ （A）单叶双曲面 （C）椭球面
） （B）双叶双曲面 （D）柱面
（Ⅱ）
lim
n
xn
存在，且
0
lim
n
xn
2
.
（20）（本题满分 11 分）
2016年考研数学一真题及答案
2016考研数学一真题及答案一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）若反常积分()11badx x x +∞+⎰收敛，则（ ）()()()()11111111A a bB a bC a a bD a a b <>>><+>>+>且且且且（2）已知函数()()21,1ln ,1x x f x x x -<⎧⎪=⎨≥⎪⎩，则()f x 的一个原函数是（ ）()()()()()()()()()()()()()()()()22221,11,1ln 1,1ln 11,11,11,1ln 11,1ln 11,1x x x x A F x B F x x x x x x x x x x x C F x D F x x x x x x x ⎧⎧-<-<⎪⎪==⎨⎨-≥+-≥⎪⎪⎩⎩⎧⎧-<-<⎪⎪==⎨⎨++≥-+≥⎪⎪⎩⎩（3）若()()222211y x y x =+-=++是微分方程()()y p x y q x '+=的两个解，则()q x =（ ）()()()()()()2222313111xx A x x B x x C D x x +-+-++（4）已知函数(),0111,,1,2,1x x f x x n n n n ≤⎧⎪=⎨<≤=⎪+⎩K ，则（ ） （A ）0x =是()f x 的第一类间断点 （B ）0x =是()f x 的第二类间断点 （C ）()f x 在0x =处连续但不可导 （D ）()f x 在0x =处可导 （5）设A ，B 是可逆矩阵，且A 与B 相似，则下列结论错误的是（ ） （A ）TA 与TB 相似 （B ）1A -与1B -相似 （C ）TA A +与TB B +相似 （D ）1A A -+与1B B -+相似（6）设二次型()222123123121323,,444f x x x x x x x x x x x x =+++++，则()123,,2f x x x =在空间直角坐标下表示的二次曲面为（ ）（A ）单叶双曲面 （B ）双叶双曲面 （C ）椭球面 （C ）柱面（7）设随机变量()()0,~2>σσμN X ，记{}2σμ+≤=X P p ，则（ ）（A ）p 随着μ的增加而增加 （B ）p 随着σ的增加而增加 （C ）p 随着μ的增加而减少 （D ）p 随着σ的增加而减少 （8）随机试验E 有三种两两不相容的结果321,,A A A ，且三种结果发生的概率均为31，将试验E 独立重复做2次，X 表示2次试验中结果1A 发生的次数，Y 表示2次试验中结果2A 发生的次数，则X 与Y 的相关系数为（ ）二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. （9）()__________cos 1sin 1ln lim200=-+⎰→x dt t t t xx（10）向量场()()zk xyj i z y x z y x A ++++=,,的旋度_________=rotA（11）设函数()v u f ,可微，()y x z z ,=由方程()()y z x f x y z x ,122-=-+确定，则()_________1,0=dz（12）设函数()21arctan axxx x f +-=，且()10''=f ，则________=a （13）行列式100010014321λλλλ--=-+____________. （14）设12,,...,n x x x 为来自总体()2,Nμσ的简单随机样本，样本均值9.5x =，参数μ的置信度为0.95的双侧置信区间的置信上限为10.8，则μ的置信度为0.95的双侧置信区间为______. 三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分10分）已知平面区域()(),221cos ,22D r r ππθθθ⎧⎫=≤≤+-≤≤⎨⎬⎩⎭，计算二重积分Dxdxdy ⎰⎰.（16）（本题满分10分）设函数()y x 满足方程'''20,y y ky ++=其中01k <<.()I 证明：反常积分0()y x dx +∞⎰收敛；()II 若'(0)1,(0)1,y y ==求0()y x dx +∞⎰的值.（17）（本题满分10分）设函数(,)f x y 满足2(,)(21),x y f x y x e x-∂=+∂且(0,)1,tf y y L =+是从点(0,0)到点(1,)t 的光滑曲线，计算曲线积分(,)(,)()tL f x y f x y I t dx dy x y∂∂=+∂∂⎰，并求()I t 的最小值（18）设有界区域Ω由平面222=++z y x 与三个坐标平面围成，∑为Ω整个表面的外侧，计算曲面积分()zdxdyydzdx dydz xI 3212+-+=⎰⎰∑（19）（本题满分10分）已知函数()f x 可导，且(0)1f =，10'()2f x <<，设数列{}n x 满足1()(1,2...)n n x f x n +==，证明： （I ）级数11()n n n xx ∞+=-∑绝对收敛；（II ）lim n n x →∞存在，且0lim 2n n x →∞<<.（20）（本题满分11分）设矩阵1112221,11112A a B a a a --⎛⎫⎛⎫⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭当a 为何值时，方程AX B =无解、有唯一解、有无穷多解？（21）（本题满分11分）已知矩阵011230000A -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭（I ）求99A（II ）设3阶矩阵23(,,)B ααα=满足2B BA =，记100123(,,)B βββ=将123,,βββ分别表示为123,,ααα的线性组合。
2016年研究生入学考试数学一、二、三(合并整理)参考解答
1（Ⅱ） 设 α1 = x cos x − 1 , α 2 = 照从低阶到高阶的排序是【 B 】 A. α1 , α 2 , α3 B. α 2 , α 3 , α1
(
)
x ln 1 + 3 x , α3 = 3 x + 1 − 1 ,当 x → 0+ 时，以上 3 个无穷小量按
C. α 2 , α1 , α3 D. α 3 , α 2 , α1
(
)
【解析】本题考查无穷小的比较. 5 x2 x 当 x → 0 时， α1 ~ ， α 2 ~ x 6 ， α 3 ~ ，所以应选 B. 2 3
x ≤ 0, x, 2（Ⅰ）已知函数 f ( x ) = 1 则 1 1 < x ≤ , n = 1, 2,⋯ , , n n n +1 f ( x ) （A） x = 0 是 的第一类间断点. （B） x = 0 是 f ( x ) 的第二类间断点. （C） f ( x ) 在 x = 0 处连续但不可导. （D） f ( x ) 在 x = 0 处可导.
【解析】本题考查曲线的凹凸性与二阶导数的关系、曲率的几何含义。 由曲线 y = f1 ( x ), y = f 2 ( x ) 在 ( x0 , y0 ) 有公共切线及 y ′′ < 0 可知，两条曲线向上凸且都在切线 y = g ( x ) 之
2016 硕士研究生入学考试数学一二三（合并）参考解答
x <1 ，取 C = 0 得，即得选项D. x ≥1
6（Ⅰ）若 y = (1 + x 2 ) 2 − 1 + x 2 ， y = (1 + x 2 ) 2 + 1 + x 2 是微分方程 y ′ + p ( x ) y = q( x ) 的两个解，则
(
)
x ln 1 + 3 x , α3 = 3 x + 1 − 1 ,当 x → 0+ 时，以上 3 个无穷小量按
C. α 2 , α1 , α3 D. α 3 , α 2 , α1
(
)
【解析】本题考查无穷小的比较. 5 x2 x 当 x → 0 时， α1 ~ ， α 2 ~ x 6 ， α 3 ~ ，所以应选 B. 2 3
x ≤ 0, x, 2（Ⅰ）已知函数 f ( x ) = 1 则 1 1 < x ≤ , n = 1, 2,⋯ , , n n n +1 f ( x ) （A） x = 0 是 的第一类间断点. （B） x = 0 是 f ( x ) 的第二类间断点. （C） f ( x ) 在 x = 0 处连续但不可导. （D） f ( x ) 在 x = 0 处可导.
【解析】本题考查曲线的凹凸性与二阶导数的关系、曲率的几何含义。 由曲线 y = f1 ( x ), y = f 2 ( x ) 在 ( x0 , y0 ) 有公共切线及 y ′′ < 0 可知，两条曲线向上凸且都在切线 y = g ( x ) 之
2016 硕士研究生入学考试数学一二三（合并）参考解答
x <1 ，取 C = 0 得，即得选项D. x ≥1
6（Ⅰ）若 y = (1 + x 2 ) 2 − 1 + x 2 ， y = (1 + x 2 ) 2 + 1 + x 2 是微分方程 y ′ + p ( x ) y = q( x ) 的两个解，则
2016 年全国硕士研究生入学统一考试(数学)真题及答案解析
11
(B)
dx .
1 1 x2
(D)
1 0
1 x2
1
e x dx
.
()
(5) 函数 f x，g x 都有二阶连续导数且满足 f 0 0, g 0 0, f 0 g0 0 ，则
函数 z f x g y 在 0, 0 处取得极小值的一个充分条件是
()
(A) f 0 0, g0 0 .
(B) x 2 是 y f (x) 的极小值点.
(C) 2, f (2) 是 y f (x) 的拐点.
(D) x 2 不是 y f (x) 的极值点，且 2, f (2) 也不是 y f (x) 的拐点.
(4) 下列积分中发散的是
(A) ex2 dx . 0
(C) 1 ln xdx . 0x
向量组线性无关，则 r(B* ) ________.
(14)
设 X1, X 2,, X n 为 来 自 总 体 X
~ N(, 2) 的简单随机样本，记 X
1n n i1 X i
，
S 2
1 n 1
n i 1
(Xi
X )2
，则 E(S 4)
.
三、解答题:15～23 小题,共 94 分.请将解答写在答．题．纸．指定的位置上.解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤. (15) (本题满分 10 分)
数学（一）试题 第 2 页 （共 4 页）
1
已知 lxim01
x2 f x esin x ex
ln cos x
e12 ，求 lim x0
fx x3
.
(16) (本题满分 10 分）
(I)证明柯西中值定理：设函数 f ( x), g ( x) 在闭区间[a, b] 上连续，在开区间 (a, b) 内可 导，且 g ( x) 0 ，则至少存在一点 (a,b) ，使得
2016考研数学一真题及解析参考答案
2016考研数学（一）真题及答案解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（（（()q x =（，则（）（的第一类间断点（B ）（处连续但不可导（D ） （5）设A ，B 是可逆矩阵，且A 与B 相似，则下列结论错误的是（）（A ）TA 与TB 相似（B ）1A -与1B -相似（C ）TA A +与TB B +相似（D ）1A A -+与1B B -+相似 （6）设二次型()222123123121323,,444f x x x x x x x x x x x x =+++++，则()123,,2f x x x =在空间直角坐标下表示的二次曲面为（）（A ）单叶双曲面（B ）双叶双曲面（C ）椭球面（C ）柱面（7）设随机变量()()0,~2>σσμN X ，记{}2σμ+≤=X P p ，则（） （A ）p 随着μ的增加而增加（B ）p 随着σ的增加而增加（少（22（（（11）设函数()v u f ,可微，()y x z z ,=由方程()()y z x f x y z x ,122-=-+确定，则()_________1,0=dz（12）设函数()21arctan ax x x x f +-=，且()10''=f ，则________=a（13）行列式1000100014321λλλλ--=-+____________.（14）设12,,...,nx x x 为来自总体()2,N μσ的简单随机样本，样本均值9.5x =，参数μ的置信度为0.95的双侧置信区间的置信上限为10.8，则μ的置信度为0.95的双侧置信区间为______.三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在（(D ⎧=⎨⎩（0,ky +=()I ()II （21),x ye-+且f 积分(,)(,)()tL f x y f x y I t dx dy x y∂∂=+∂∂⎰，并求()I t 的最小值（18）设有界区域Ω由平面222=++z y x 与三个坐标平面围成，∑为Ω整个表面的外侧，计算曲面积分()zdxdyydzdx dydz x I 3212+-+=⎰⎰∑（19）（本题满分10分）已知函数()f x 可导，且(0)1f =，10'()2f x <<，设数列{}nx 满足1()(1,2...)n n xf x n +==，证明：（I ）级数11()n n n xx ∞+=-∑绝对收敛；（II ）lim nn x →∞存在，且0lim 2nn x→∞<<.（22a ⎫⎪⎪⎪-⎭当a （（I （)将12,,ββ（域D （I （U X （III ）求Z U X =+的分布函数()F z . （23）设总体X 的概率密度为()⎪⎩⎪⎨⎧<<=其他,00,3,32θθθx x x f ，其中()∞+∈，0θ为未知参数，321,,X X X 为来自总体X 的简单随机样本，令()321,,m ax X X X T =。
2016年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)真题及解析
2016考研真题完整版数学（一）一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）若反常积分()11badx x x +∞+⎰收敛，则（ ）()()()()11111111A a bB a bC a a bD a a b <>>><+>>+>且且且且（2）已知函数()()21,1ln ,1x x f x x x -<⎧⎪=⎨≥⎪⎩，则()f x 的一个原函数是（ ）()()()()()()()()()()()()()()()()22221,11,1ln 1,1ln 11,11,11,1ln 11,1ln 11,1x x x x A F x B F x x x x x x x x x x x C F x D F x x x x x x x ⎧⎧-<-<⎪⎪==⎨⎨-≥+-≥⎪⎪⎩⎩⎧⎧-<-<⎪⎪==⎨⎨++≥-+≥⎪⎪⎩⎩（3）若()()222211y xy x=+=+是微分方程()()y p x y q x '+=的两个解，则()q x =（ ）()()()()()()2222313111xx A x x B x x C D x x +-+-++（4）已知函数(),0111,,1,2,1x x f x x n n n n ≤⎧⎪=⎨<≤=⎪+⎩，则（ ）（A ）0x =是()f x 的第一类间断点 （B ）0x =是()f x 的第二类间断点 （C ）()f x 在0x =处连续但不可导 （D ）()f x 在0x =处可导 （5）设A ，B 是可逆矩阵，且A 与B 相似，则下列结论错误的是（ ） （A ）TA 与TB 相似 （B ）1A -与1B -相似 （C ）TA A +与TB B +相似 （D ）1A A -+与1B B -+相似（6）设二次型()222123123121323,,444f x x x x x x x x x x x x =+++++，则()123,,2f x x x =在空间直角坐标下表示的二次曲面为（ ）（A ）单叶双曲面 （B ）双叶双曲面 （C ）椭球面 （C ）柱面（7）设随机变量()()0,~2>σσμN X ，记{}2σμ+≤=X P p ，则（ ）（A ）p 随着μ的增加而增加 （B ）p 随着σ的增加而增加 （C ）p 随着μ的增加而减少 （D ）p 随着σ的增加而减少（8）随机试验E 有三种两两不相容的结果321,,A A A ，且三种结果发生的概率均为31，将试验E 独立重复做2次，X 表示2次试验中结果1A 发生的次数，Y 表示2次试验中结果2A 发生的次数，则X 与Y 的相关系数为（ ）二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. （9）()__________cos 1sin 1ln lim2=-+⎰→x dt t t t xx（10）向量场()()zk xyj i z y x z y x A ++++=,,的旋度_________=rotA（11）设函数()v u f ,可微，()y x z z ,=由方程()()y z x f x y z x ,122-=-+确定，则()_________1,0=dz（12）设函数()21arctan axxx x f +-=，且()10''=f ，则________=a （13）行列式1000100014321λλλλ--=-+____________.（14）设12,,...,n x x x 为来自总体()2,N μσ的简单随机样本，样本均值9.5x =，参数μ的置信度为0.95的双侧置信区间的置信上限为10.8，则μ的置信度为0.95的双侧置信区间为______.三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分10分）已知平面区域()(),221cos ,22D r r ππθθθ⎧⎫=≤≤+-≤≤⎨⎬⎩⎭，计算二重积分Dxdxdy ⎰⎰.（16）（本题满分10分）设函数()y x 满足方程'''20,y y ky ++=其中01k <<.()I 证明：反常积分0()y x dx +∞⎰收敛；()II 若'(0)1,(0)1,y y ==求0()y x dx +∞⎰的值.（17）（本题满分10分）设函数(,)f x y 满足2(,)(21),x y f x y x e x-∂=+∂且(0,)1,tf y y L =+是从点(0,0)到点(1,)t 的光滑曲线，计算曲线积分(,)(,)()tL f x y f x y I t dx dy x y∂∂=+∂∂⎰，并求()I t 的最小值（18）设有界区域Ω由平面222=++z y x 与三个坐标平面围成，∑为Ω整个表面的外侧，计算曲面积分()zdxdyydzdx dydz xI 3212+-+=⎰⎰∑（19）（本题满分10分）已知函数()f x 可导，且(0)1f =，10'()2f x <<，设数列{}n x 满足1()(1,2...)n n x f x n +==，证明： （I ）级数11()n n n xx ∞+=-∑绝对收敛；（II ）lim n n x →∞存在，且0lim 2n n x →∞<<.（20）（本题满分11分）设矩阵1112221,11112A a B a a a --⎛⎫⎛⎫⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭当a 为何值时，方程AXB =无解、有唯一解、有无穷多解？（21）（本题满分11分）已知矩阵011230000A -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭（I ）求99A（II ）设3阶矩阵23(,,)B ααα=满足2B BA =，记100123(,,)B βββ=将123,,βββ分别表示为123,,ααα的线性组合。
考研数学一真题
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