2019届高三一诊数学(理)试题

理科数学试题 第 1 页（共6页）高2019届学业质量调研抽测（第一次）理科数学试题卷理科数学试题卷共6页，考试时间120分钟，满分150分.注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效. 3．考试结束后，将本试卷、答题卡一并收回.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A ={1，2，m }，B ={3，4}，若A ∪B ={1，2，3，4}，则实数m 为 A.1或2 B.2或3 C.1或3 D.3或42.命题p : (2)(1)0x x -+>；命题q ：01x ≤≤．则命题p 成立是命题q 成立的 A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件3.cos(2)θπθ=-，则θ2tan =A ．715-B ．715C ．815-D ．815 4.甲、乙、丙、丁四位同学参加奥赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位同学，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了. ” 丁说：“是乙获奖．”已知四位同学的话只有一句是对的，则获奖的同学是A.甲B.乙C.丙D.丁5.下表是我国某城市在2018年1月份至10月份各月最低温与最高温（°C）的数据表．理科数学试题 第 2 页（共6页）第6题图已知该城市的各月最低温与最高温具有相关关系，根据该表，则下列结论错误的是A ．最低温与最高温为正相关B ．每月最高温与最低温的平均值在前8个月逐月增加C ．月温差（最高温减最低温）的最大值出现在1月D ．1至4月的月温差（最高温减最低温）相对于7至10月，波动性更大 6. 如图所示的程序框图，运行程序后，输出的a 的值为A ．13B ．34C ．47D ．7117.《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的 题目：把120个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较多的三份之和的17是较少的两份之和，则最少的一份面包个数为A .2B .11C .13D . 46 8.从6种不同的颜色中选出一些颜色给如图所示的4个格子涂色，每个 格子涂一种颜色，且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法有 A ．360种 B ．510种 C ．630种 D ．750种9.将函数()2sin 22cos 26f x x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的图象向左平移6π个单位，得到()y g x =的图象， 则下列说法正确的是A ．函数()g x 的最小正周期为2πB ．函数()g x 的最小值为1-C ．函数()g x 的图象关于6x π=对称 D ．函数()g x 在2,3ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 10.已知函数32()2log 2x f x x x +=+-，若不等式1(3f m>成立，则实数m 的取值范围是 A ．()1,+∞ B ．(),1-∞ C ．1(0,2 D ．1(,1)211.已知抛物线C ：px y 22=的焦点F 与双曲线143422=-y x 的右焦点相同，过点F 分别 第8题图理科数学试题 第 3 页（共6页）作两条直线1l ，2l ，直线1l 与抛物线C 交于A ，B 两点，直线2l 与抛物线C 交于D ，E 两点，若1l 与2l 的斜率的平方和为1，则|AB |+|DE |的最小值为 A ．16 B ．20 C ．24 D ．3212. 如图，四边形OABC 是边长为1的正方形， 3=OD ，点P 为BCD ∆内（含边界）的动点，设),(R OD OC OP ∈+=βαβα，则45βα+的最大值是A ．41B ．209C ．43D ．6017二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填写在答题卡相应位置上． 13.已知复数112i z =+，122i z z +=+，则12z z ⋅=__________．14. 在92)1x x -（的展开式中，常数项是 （用数字作答）． 15. 若直线l：y kx =+C ：25232322=-+-）（）（y x 交于A ,B 两点，则AB的最小值为 ．16. 已知函数)(x f y =和)(x g y =的图象关于y 轴对称，当函数)(x f y =和)(x g y =在区间[a ，b ]上同时递增或者同时递减时，把区间[a ，b ]叫做函数)(x f y =的“不动区间”.若区间[1，2]为函数t x f x+=2)(的“不动区间”，则实数t 的取值范围是 ．第12题图理科数学试题 第 4 页（共6页）三、解答题：共70分. 解答时应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程. 并答在答题卡相应的位置上．第17题第21题为必考题，每个试题考生都必须做答. 第22题第23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分. 17．(本小题满分12分）已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，221-=+n n S ．（Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式；（Ⅱ）令(31)n n b n a =-，设数列}{n b 的前n 项和为n T ，求n T . 18．(本小题满分12分）自来水公司对某镇居民用水情况进行调查，从该镇居民中随机抽取50户作为样本，得 到他们10月份的用水量（单位：吨），用水量分组区间为[5，15]，（15，25]， （25，35]，（35，45]，由此得到样本的用水量频率分布直方图（如图）． （Ⅰ）求a 的值，并根据样本数据，试估计该镇居民10月份用水量的众数与平均值； （Ⅱ）以样本的频率作为概率，从该镇居民中随机抽取3户，其中10月份用水量在[5，15]内的用户数为X ，求X 的分布列和数学期望．用水量（吨）频率 组距第18题图理科数学试题 第 5 页（共6页）第19题图M NBOθ19．(本小题满分12分）如图所示，一公园有一块三角形空地ABO ，其中3,OA km =,OB = 90AOB?o ．公园管理方拟在中间开挖一个三角形人工湖OMN ，其中,M N 在边AB 上（,M N 不与,A B 重合，M 在,A N 之间）， 且30MON ?o ．（Ⅰ）若M 在距离A 点1km 处，求OM 的长；（Ⅱ）为节省投入资金，三角形人工湖OMN 的面积要尽可能小．设AOM ?q ，试确定q 的大小，使OMN V 的面积最小．20． (本小题满分12分）如图，已知椭圆C ：12222=+by a x ，其左右焦点为)0,2(1-F 及)0,2(2F ，过点1F 的直线交椭圆C 于A ,B 两点，线段AB 的中点为G ，AB 的中垂线与x 轴和y 轴分别交于D ，E 两点，且|1AF |、|21F F |、|2AF |构成等差数列． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）记△D GF 1的面积为1S ，△OED （O 为原点）的面积为2S ．试问：是否存在直线AB ，使得21S S =？请说明理由．21．(本小题满分12分）已知a R ∈，函数2)1ln()(2++-+=ax x x x f ．（Ⅰ）若函数)(x f 在),2[+∞上为减函数，求实数a 的取值范围；理科数学试题 第 6 页（共6页）（Ⅱ）设正实数1m 、2m 满足121=+m m ，求证：对),1(+∞-上的任意两个实数1x 、2x ，总有)()()(22112211x f m x f m x m x m f +≥+成立．(二）选考题：共10分. 请考生在第22、23题中任选一题作答. 如多做，则按所做的第一题计分.22.【选修4-4：坐标系与参数方程】(本小题满分10分）在直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为1(4x tt y at=+⎧⎨=+⎩为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为24sin 50ρρθ--=.（I ）若点P 的极坐标为()1π，，且点P 在直线l 上，求直线l 的直角坐标方程； （II ）若直线l 与曲线C 交于,A B 两点，当AB 最小时，求直线l 的极坐标方程.23. 【选修4-5：不等式选讲】(本小题满分10分）已知函数1()212f x x x =+--． （I ）求函数()f x 的图象与x 轴所围成的三角形的面积；（II ）设函数()f x 的最小值为M ，若关于x 的不等式22x x m M +-≤有实数解，求实数m 的取值范围．高2019届学业质量调研抽测（第一次）理科数学参考答案及评分意见一、选择题：1-5 DABDB 6-10 CADCD 11-12 CD二、填空题： 13．3i +， 14.-84 ， 15． 16．]21,2[--． 三、解答题：理科数学试题 第 7 页（共6页）17．解：(I) 当2≥n 时，利用公式1--=n n n S S a ，可得nn a 2=，.................4分验证当1=n 时是适合的，即）（*2N n a n n ∈=；..........................5分 （II)n n b b b b T ++++=...321 23225282...(31)2n n =⨯+⨯+⨯++-, ①2n T = 234+1225282...(31)2n n ⨯+⨯+⨯++-, ②......................7分①-②得：23143232...32(31)2nn n T n +-=+⨯+⨯++⨯-- ...........9分114(12)43(31)212n n n -+-=+⨯---18(34)2n n +=---，18(34)2n n T n +∴=+-............................................12分18. 解：（I ）由题意得，（0.02+0.032+a +0.018）×10=1，解得a =0.03；........2分由最高矩形中点的横坐标为20，可估计该镇居民10月份用水量的众数约为20吨；.......................................................4分 50户居民10月份用水量的平均值为：x =0.2×10+0.32×20+0.3×30+0.18×40=24.6（吨），故估计该镇居民10月份每户用水量的平均值约为24.6吨．..............6分（Ⅱ）利用样本估计总体，该镇居民10月份用水量在[5，15]内的概率为0.2,则X ～B （3，51），X =0，1，2，3； )0=X P （=30354）（C =12564；)1=X P （=5154213）（C =12548； )2=X P （=2235154）（C =12512；)3=X P （=33351）（C =1251．.............10分 ∴X 的分布列为：理科数学试题 第 8 页（共6页）5312513125122125481125640=⨯+⨯+⨯+⨯=∴）（X E ． .................12分 19. 解：（Ⅰ）在ABO V 中，390OA OB AOB ==?o，， ∴60OAB?o ，.................................................2分在OAM V 中，由余弦定理得：2222cos 7OM AO AM AO AM A =+-?，∴OM = ..................................................5分（Ⅱ）,060AOMq q ?<<o o ，在OAM V 中，由sin sin OM OAOAB OMA =行，得2sin(60)OM q =+o， 在OAN V 中，由sin sin ON OA OAB ONA =行，得ON ==，..................................................................8分∴11sin 22OMN S OM ON MON =仔=?V 2sin(60)θ⋅+12＝2716sin(60)cos θθ+6060)4θ<<+．......................11分当26090θ+=，即15θ=60)4+∴应设计15AOM?o ，可使OMN V 的面积最小．..................12分20．解：（I ） |1AF |、|21F F |、|2AF |构成等差数列，∴2a =|1AF |+|2AF |=2|21F F |=8，∴a =4．....2分又因为c =2，所以2b =12，.....................3分理科数学试题 第 9 页（共6页）∴椭圆C 的方程为1121622=+y x ．...............4分 （II ）假设存在直线AB ，使得21S S =，显然直线AB 不能与x ，y 轴垂直．设AB 方程为)2(+=x k y ,..................................................5分将其代入1121622=+y x ，整理得 0481616342222=-+++k x k x k ）（,....6分 设A ),11y x （，B ),22y x （，∴22214316k k x x +-=+,∴点G 的横坐标为22214382k k x x +-=+，∴G )436438222kkk k ++-，（．....... 8分 DG ⊥AB ，∴1438436222-=⨯-+-+k x kk k kD，解得22D 432k k x +-=，即D （22432k k +-，0）,∵Rt △1GDF 和Rt △ODE 相似，∴若21S S =，则|GD |=|OD |,..........10分∴ 222222222432)436()432438kk k k k k k k +-=+++--+-（，整理得 8k 2+9=0． 方程8k 2+9=0无解，∴不存在直线AB ，使得 21S S =．..............12分21．解：（I ） a x x x f +-+=211)('，..................................1分 ∴函数)(x f 在),2[+∞上为减函数，即0211)('≤+-+=a x x x f 在),2[+∞上恒成立，也即112+-≤x x a 在),2[+∞上恒成立，.................................3分令112)(+-=x x x h ，则)(x h 在),2[+∞上为增函数，min )(x h =)2(h =113，∴113a ≤；........................................................5分理科数学试题 第 10 页（共6页）（II ）设211x x ≤<-，令)()()()221221x f m x f m x m x m f x F --+=（，],12x x -∈（， 则0)2=x F （，)(')(')'12211x f m x m x m f m x F -+=（）（)(')('2211x f x m x m f m -+=， 0)()1(22222221221≥-=+-=+-=-+x x m x m x m x m m x x x m x m ， x x m x m ≥+∴221，..................................................7分又a x x x f +-+=211)(' ，02)1(1)(''2<-+-=x x f ， )('x f ∴在),1(+∞-上是减函数，)(')('221x f x m x m f ≤+∴，0)(')('2211≤-+∴）（x f x m x m f m ，即0)'≤x F （，......................9分 )x F （∴在],12x -（上是减函数，0)()2=≥∴x F x F （，0)≥∴x F （，0)()()(221221≥--+∴x f m x f m x m x m f ，...........................11分 ],12x x -∈∴（，有)()()(221221x f m x f m x m x m f +≥+，又211x x ≤<- ，)()()(22112211x f m x f m x m x m f +≥+∴.................................12分22．解：（I ）由1(4x tt y at =+⎧⎨=+⎩为参数）得，直线l 的直角坐标方程为：4(1)y a x -=-,..2分由P 的极坐标为()1π，得：P 的直角坐标为()1-，0,............................3分 又点P 在直线上，代入得2a =，...............................................4分 ∴直线l 的直角坐标方程为：22y x =+ .......................................5分 （II ）由24sin 50ρρθ--=得曲线C 的直角坐标方程为：22450x y y +--=,即：22(2)9x y +-=...........................................................6分理科数学试题 第 11 页（共6页）∴曲线C 的圆心为(0,2)M ，半径3r =..............................................7分 ∵直线l ：4(1)y a x -=-过定点N (1,4)，且该点在圆C 内,..........................8分 ∴直线l 与圆C 交于,A B 两点，当AB 最小时,有l MN ⊥,1l MN k k ∴⋅=-,...............9分 101422l k -∴=-=--,直线l 的直角坐标方程14(1)2y x -=--,化为极坐标方程为：cos 2sin 90ρθρθ+-=.....................................10分23. 解：（I ）原函数可化为：13(23()1(22)213(22)2)x x f x x x x x ⎧--⎪⎪⎪=+-≤≤⎨⎪⎪+>⎩<-⎪ ,..................................................3分函数()f x 的图象与x 轴所围成的三角形三顶点坐标分别为：2(6,0),(2,2),(,0)3----,∴此三角形面积1216(6)2233S =⨯-+⨯=...................................5分 （II ）由（I ）知函数()f x 的最小值M =(2)2f -=-,.................................6分⸫关于x 的不等式22x x m M +-≤有实数解即222x x m +-≤-有实数解，即222m x x ≥++有实数解, .................................................8分 令2()2h x x x =++,当12x =-时，2min 117()()2224h x =--+=, 72,4m ∴≥ 即7.8m ≥........................................................10分理科数学试题第 12 页（共6页）。

深圳市2019届高三第一次调研考试数学理科2019.02.21一、选择题：本大题共 12小题，每小题5分，每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求 1 .复数zi （2 i ）的共轴复数是（ ）A. 1 2iB. 1 2iC. 1 2iD. 1 2i2 .已知集合A x|y lg(2 x), B x|2x 3x 0 , 则A B( )A. x 10 x 2B. x|0x 2C. x|2 x 3D. x|2 x 33 ,设S n 为等差数列 a n 的前n 项和. 若S 525, a 3 a 4 8 ,则 a n 的公差为（A. 2 B 1 C.1D. 24 .己知某产品的销售额 y 与广告费用 x 之间的关系如下表：）A . 42万元 B. 45万元 C. 48万元 D . 51万元5.如图所示，网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是由一个棱柱挖去一个 棱锥后的几何体的三视图，则该几何体的体积为（）C. 486 .己知直线x 一是函数f （x ） sin （2x ）（| | ―）与的图象的一条对称轴,62为了得到函数y f （x ）的图象，可把函数y sin 2x 的图象（ ）A. 2B. 1C. 0D. 1 8.古希腊雅典学派算学家欧道克萨斯提出了 “黄金分割”的理论，利用尺规作图可画出己知线段 的黄金分割点，具体方法如下：（l ）取线段AB 2,过点B 作AB 的垂线，并用圆规在垂线上截取 BC -AB ，连接AC; （2）以C 为圆心，BC 为半2径画弧，交 AC 于点D; （3）以A 为圆心，以AD 为半径画弧，交 AB 于点 E.则点E 即为线段AB 的黄金分割点.若在线段 AB 上随贝取一点F ,则 使得BE AF AE 的概率约为（ ） （参考数据：J 5 2.236）A. 0.236B. 0.382C. 0.472D. 0.6189 .已知偶函数f （x ）的图象经过点（1,2），且当0 a b 时，不等式 现）一堕 v 0恒成立，则 b a 使得f （x 1） 2成立的x 的取值范困是（ ）表面积为（）D. 32A .向左平行移动一个单位长度6 C.向左平行移动一个单位长度 12B.向右平行移动一个单位长度6D.向右平行移动一个单位长度127 .在ABC 中,ABC 60 , BC2AB 2, E 为AC 的中点，则AB BEA• (0,2)B.(2,0) y kx （k好经过双曲线的右焦点A. V 210.已知直线C.( .,,,x 20)与双曲线a(2, D • ( , 2) (0,b 2F ,若 ABF 的面积为B.石C. 20,b 0）交于A,B 两点，以4a 2,则双曲线的离心率为（D.灰1(a AB 为直径的圆恰11 .已知A, B,C 为球。

亲爱的同学：这份试卷将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获，我们一直投给你信任的目光……2019高三数学第一次联考试题 理第I 卷一、选择题:（12×5=60分）1、下列五个写法：①{1}∈{1,2,3}；②}0{⊆φ；③{0,1,2}⊆{1,2,0}; ④0φ∈；⑤0φφ=⋂，其中错误写法的个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4 2、复数311ii ++等于( ) A. 1 B. 1- C. i D. i - 3、下列说法中，正确的是：（ ）A. 命题“若，则”的否命题为“若，则”B. 命题“存在，使得”的否定是：“任意，都有”C. 若命题“非”与命题“或”都是真命题，那么命题一定是真命题D. 命题“若，则”的逆命题是真命题4、设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若632a a =，则115S S = ( ) A.115 B. 522 C. 1110 D. 2255、点(),a b 是区域40{0 0x y x y +-≤>>内的任意一点，则使函数()223f x ax bx =-+在区间1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上是增函数的概率为（ ） A.14 B. 12 C. 13 D. 236、若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是( )A.B.C.D.7、设函数()g x 是R 上的偶函数,当0x <时, ()()ln 1g x x =-,函数()()3,0{,0x x f x g x x ≤=>满足()()22f x f x ->,则实数x 的取值范围是（ ）A. ()(),12,∞∞-⋃+B. ()(),21,∞--⋃+∞C. ()1,2D. ()2,1-8、执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（ ）A. 7B. 8C. 9D. 109、一个几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为（ ） A. π9 B.π328C. π8D. π7 10、矩形ABCD 中， 2AB =， 1BC =， E 在线段BC 上运动，点F 为线段AB 的中点，则·DE EF 的取值 范围是（ ）A. 7,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. 7,4⎡⎤-∞-⎢⎥⎣⎦C. 72,4⎡⎤--⎢⎥⎣⎦D. [)2,+∞11、已知A ，B 为双曲线E 的左、右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为（ ）A. 5B. 2C. 3D. 212、设函数()f x '是奇函数()f x （x ∈R ）的导函数， ()10f -= ，且当0x > 时，()()0xf x f x -<'，则使得>0成立的x 的取值范围是（ ）A. B.C.D. ()()011⋃+∞，，第II 卷（非选择题）二、填空题（4×5=20分）13、已知向量a 、b 的夹角为60， 1b =， 3a b -=，则a =__________． 14、311dx x⎛=⎝⎰__________． 15、已知()24,{ 2,x x a f x x x a-≥=+<，若函数()()2x g x f a =-有零点，则实数a 的取值范围是__________．16、太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相对统一的和谐美，定义：能够将圆O 的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆O 的一个“太极函数”，则下列有关说法中：①对于圆22:1O x y +=的所有非常数函数的太极函数中，一定不能为偶函数；②函数()sin 1f x x =+是圆()22:11O x y +-=的一个太极函数；③存在圆O ，使得()11xxe f x e +=-是圆O 的一个太极函数；④直线()()12110m x m y +-+-=所对应的函数一定是圆()()22:21O x y -+-=()20R R >的太极函数；⑤若函数()()3f x kx kx k R =-∈是圆22:1O x y +=的太极函数，则()2,2.k ∈-所有正确的是__________． 三、解答题：17、在直角坐标系xOy 中，直线l 过点P (3，且倾斜角为34π．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，圆C 的方程为ρθ．（Ⅰ）求直线l 的一个参数方程和圆C 的直角坐标方程； （Ⅱ）设圆C 与直线l 交于点A ，B ，求PA PB ⋅的值.18、已知函数()()sin ,0,0,,2f x A x B A x R πωϕωϕ⎛⎫=++>><∈⎪⎝⎭在区间3,22ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调，当2x π=时，()f x 取得最大值5，当32x π=时， ()f x 取得最小值1-.（1）求()f x 的解析式；（2）当[]0,4x π∈时, 函数()()()1212x x g x f x a +=-+有8个零点, 求实数a 的取值范围.19、已知函数的图象在点处的切线方程为.(1)求的值；(2)求函数在上的值域.20、三棱锥A BCD -中，E 是BC 的中点，且8,6,10,BD CD BC ===AB AD ==（1）求证： AE BD ⊥；（2）若二面角A BD C --的余弦值为34，求AD 与平面BCD 所成角的正切值．21、已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 经过点A （2，1），离心率为22，过点B （3，0）的直线l 与椭圆C 交于不同的两点M 、N 。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合，，则A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出函数的定义域，化简集合，然后根据交集的定义求解即可.【详解】，由交集的定义可得，故选D.【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合且属于集合的元素的集合.2.复数A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简复数可得结论.【详解】，故选A.【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.3.已知向量，，若，则实数m的值为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用平面向量垂直的充要条件列方程求解即可.【详解】，又因为，，所以，故选B.【点睛】利用向量的位置关系求参数是出题的热点，主要命题方式有两个：（1）两向量平行，利用解答；（2）两向量垂直，利用解答.4.已知各项为正数的等比数列中，，，则公比q＝A. 4B. 3C. 2D.【答案】C【解析】【分析】由，利用等比数列的性质，结合各项为正数求出，从而可得结果.【详解】，，，，故选C.【点睛】本题主要考查等比数列的性质，以及等比数列基本量运算，意在考查灵活运用所学知识解决问题的能力，属于简单题.5.空气质量指数AQI是反映空气质量状况的指数，AQI指数值越小，表明空气质量越好，其对应关系如下表：下图是某市10月1日—20日AQI指数变化趋势：下列叙述错误的是A. 这20天中AQI指数值的中位数略高于100B. 这20天中的中度污染及以上的天数占C. 该市10月的前半个月的空气质量越来越好D. 总体来说，该市10月上旬的空气质量比中旬的空气质量好【答案】C【解析】【分析】根据所给图象，结合中位数的定义、指数与污染程度的关系以及古典概型概率公式，对四个选项逐一判断即可.【详解】对，因为第10天与第11天指数值都略高100，所以中位数略高于100，正确；对，中度污染及以上的有第11，13，14，15，17天，共5天占，正确；对，由图知，前半个月中，前4天的空气质量越来越好，后11天该市的空气质量越来越差，错误；对，由图知，10月上旬大部分指数在100以下，10月中旬大部分指数在100以上，所以正确，故选C.【点睛】与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.6.定义运算为执行如图所示的程序框图输出的值，则式子的值是A. －1B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由已知的程序框图可知，本程序的功能是:计算并输出分段函数的值，由此计算可得结论.【详解】由已知的程序框图可知:本程序的功能是:计算并输出分段函数的值，可得，因为，所以，，故选D.【点睛】本题主要考查条件语句以及算法的应用，属于中档题 .算法是新课标高考的一大热点，其中算法的交汇性问题已成为高考的一大亮，这类问题常常与函数、数列、不等式等交汇自然，很好地考查考生的信息处理能力及综合运用知识解决问題的能力，解决算法的交汇性问题的方：（1）读懂程序框图、明确交汇知识，(2）根据给出问题与程序框图处理问题即可.7.在直角坐标系xOy中，角α的始边为x轴的非负半轴，其终边上的一点P的坐标为（其中），则A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用三角函数的定义求出的值，由二倍角的余弦公式可得结果.【详解】在第三象限，且，由正弦函数的定义可得，，故选B.【点睛】本题主要考查三角函数的定义以及二倍角的余弦公式，意在考查综合运用所学知识解决问题的能力，属于中档题.8.函数的图象大致为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据函数的奇偶性，排除选项，通过函数的导数，判断函数的单调性，可排除选项，从而可得结果.【详解】函数是偶函数，排除选项；当时，函数，可得，当时，，函数是减涵数，当时，函数是增函数，排除项选项，故选C.【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象9.已知向量满足，若与的夹角为，则m的值为A. 2B.C. 1D.【答案】A【解析】【分析】由求得，，结合与的夹角为，可得，从而可得结果.【详解】，又，，，，，即，得或（舍去），故的值为2，故选A.【点睛】本题主要考查向量的模及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角，（此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影，在上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量的模（平方后需求）.10.已知偶函数在(－∞，0]上单调递增，令，，，则a，b，c满足A. a<b<cB. b<a<cC. c<a<bD. c<b<a【答案】C【解析】【分析】化简，可得，根据单调性与奇偶性可得结果.【详解】偶函数在上单调递增，在上单调递减，，，，即，故选C.【点睛】在比较，，，的大小时，首先应该根据函数的奇偶性与周期性将，，，通过等值变形将自变量置于同一个单调区间，然后根据单调性比较大小．11.若函数在为单调函数，则实数a的取值范围是A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用排除法，由排除，由排除，从而可得结果.【详解】利用特值法：时，；时，单调递增，即合题意，排除；时，，单调递减，即合题意，排除，故选A.【点睛】用特例代替题设所给的一般性条件，得出特殊结论，然后对各个选项进行检验，从而做出正确的判断，这种方法叫做特殊法. 若结果为定值，则可采用此法. 特殊法是“小题小做”的重要策略，排除法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法，这种方法即可以提高做题速度和效率，又能提高准确性，这种方法主要适合下列题型:(1)求值问题（可将选项逐个验证）；（2）求范围问题（可在选项中取特殊值，逐一排除）；（3）图象问题（可以用函数性质及特殊点排除）；（4）解方程、求解析式、求通项、求前项和公式问题等等.12.已知函数，要使函数的零点个数最多，则k的取值范围是A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用导数判断函数的单调性，根据单调性可得，时，最多有两个根，最多有2个根，即时原方程最多有四个根，根据一元二次方程根的分布列不等式组求解即可.【详解】因为，所以，可得在上递减，在递增，所以，有最小值，且时，，当x趋向于负无穷时，f(x)趋向于0，但始终小于0，所以，时，最多有两个根，最多有2个根，即在有两个根时，的零点最多为4个，，解得，故选B.【点睛】函数的性质问题以及函数零点问题是高考的高频考点，考生需要对初高中阶段学习的十几种初等函数的单调性、奇偶性、周期性以及对称性非常熟悉；另外，函数零点的几种等价形式：函数的零点函数在轴的交点方程的根函数与的交点.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

2019年四川省成都七中高考数学一诊试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若随机变量～，且，则A. B. C. D.【答案】A【解析】解：随机变量～，且，．故选：A．由已知结合正态分布曲线的对称性即可求解．本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量和的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．2.函数的图象大致是A. B. C. D.【答案】D【解析】解：函数的定义域为R，，故排除A，C；，当时，，可知在上为减函数，排除B．故选：D．由函数的定义域及排除A，C，再由导数研究单调性排除B，则答案可求．本题考查函数的图象及图象变换，训练了利用导数研究函数的单调性，是中档题．3.“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在探求球体体积时构造的一个封闭几何体，它由两等径正贯的圆柱体的侧面围成，其直观图如图其中四边形是为体现直观性而作的辅助线当“牟合方盖”的正视图和侧视图完全相同时，其俯视图为A. B. C. D.【答案】B【解析】解：根据几何体的直观图：由于直观图“牟合方盖”的正视图和侧视图完全相同时，该几何体的俯视图为有对角线的正方形．故选：B．直接利用直观图“牟合方盖”的正视图和侧视图完全相同，从而得出俯视图形．本题考查的知识要点：直观图和三视图之间的转换，主要考查学生的空间想象能力和转化能力，属于基础题型．4.设i是虚数单位，复数z满足，则z的虚部为A. 1B.C.D. 2【答案】C【解析】解：由，得，即．的虚部为．故选：C．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．5.执行如图的算法程序，若输出的结果为120，则横线处应填入A.B.C.D.【答案】C【解析】解：模拟程序的运行，可得，执行循环体，，执行循环体，，执行循环体，，执行循环体，，执行循环体，，由题意，此时，不满足条件，退出循环，输出S的值为120．可得横线处应填入的条件为．故选：C．分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出变量S的值，要确定进入循环的条件，可模拟程序的运行，用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到题目要求的结果．算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：分支的条件循环的条件变量的赋值变量的输出其中前两点考试的概率更大此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误．6.设实数x，y满足，则的最大值是A. B. C. 1 D.【答案】D【解析】解：画出满足条件的平面区域，如图示：而的几何意义表示过平面区域内的点与点的连线的斜率，由，解得：，，故选：D．画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，求解即可．本题主要考查线性规划的应用以及直线斜率的求解，利用数形结合是解决本题的关键．7.“”是“”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】D【解析】解：，推不出，推不出，“”是“”的既不充分也不必要条件．故选：D．首先转化，然后根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．8.函数的图象的一条对称轴方程是A. B. C. D.【答案】B【解析】解：．由，得，，当时，，即函数的对称轴为，故选：B．利用两角和差的余弦公式结合辅助角公式进行化简，结合三角函数的对称性进行求解即可．本题主要考查三角函数的对称性，利用辅助角公式将函数进行化简是解决本题的关键．9.将多项式分解因式得，m为常数，若，则A. B. C. 1 D. 2【答案】D【解析】解：由，，可得：，解得，即为：，时，，故选：D．由两，通过，求出m，然后利用二项式定理求解即可．本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10.已知正三棱锥的高为6，侧面与底面成的二面角，则其内切球与四个面都相切的表面积为A. B. C. D.【答案】B【解析】解：过顶点V做平面ABC是正三棱锥，为中心，过O做，垂足为D，连接VD，则为侧面与底面成的二面角，侧面与底面成的二面角，，，，，，．，为内切球的半径．，内切球的表面积．故选：B．过顶点V做平面ABC，过O做，垂足为D，连接VD，则为侧面与底面成的二面角，从而，分别求出OD、AB、VD的长，由此利用等体积法求解．本题考查棱锥的外接球球半径的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．11.设a，b，c分别是的内角A，B，C的对边，已知，设D是BC边的中点，且的面积为，则等于A. 2B. 4C.D.【答案】A【解析】解：，，，，，，，，故选：A．先根据正余弦定理求出，，再将，化为，后用数量积可得．本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属基础题．12.如果不是等差数列，但若，使得，那么称为“局部等差”数列已知数列的项数为4，记事件A：集合2，3，4，，事件B：为“局部等差”数列，则条件概率A. B. C. D.【答案】C【解析】解：由已知数列{x n}的项数为4，记事件A：集合{x1，x2，x3，x4}{1，2，3，4，5}，则事件A的基本事件为：，，，，，共5个，在满足事件A的条件下，事件B：{x n}为“局部等差”数列有，共1个，即条件概率P（B|A）=，故选：C．由即时定义可得：事件A的基本事件为：，，，，，共5个，在满足事件A的条件下，事件B：{x n}为“局部等差”数列有，共1个，由条件概率可得：P（B|A）=，得解．本题考查了对即时定义的理解及条件概率，属中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.某学校初中部共120名教师，高中部共180名教师，其性别比例如图所示，已知按分层抽样抽方法得到的工会代表中，高中部女教师有6人，则工会代表中男教师的总人数为______．【答案】12【解析】解：高中部女教师有6人，占，则高中部人数为x，则，得人，即抽取高中人数15人，则抽取初中人数为人，则男教师有人故答案为：12根据高中女教师的人数和比例，先求出抽取高中人数，然后在求出抽取初中人数即可得到结论．本题主要考查分层抽样的应用，根据人数比例以及男女老少人数比例建立方程关系是解决本题的关键．14.设抛物线C：的焦点为F，准线为l，点M在C上，点N在l上，且，若，则的值为______．【答案】3【解析】解：根据题意画出图形，如图所示；抛物线，焦点，准线为；设，，则，解得，；，，又，，解得．故答案为：3．根据题意画出图形，结合图形求出抛物线的焦点F和准线方程，设出点M、N的坐标，根据和求出的值．本题考查了抛物线的方程与应用问题，也考查了平面向量的坐标运算问题，是中档题．15.设，，c为自然对数的底数，若，则的最小值是______．【答案】【解析】解：，，则，即，由基本不等式得，则，当且仅当，即当时，等号成立，因此，的最小值为．故答案为：．利用定积分计算出，经过配凑得出，将代数式与代数式相乘，利用基本不等式可得出的最小值．本题考查定积分的计算，同时也考查了利用基本不等式求最值，解决本题的关键在于对代数式进行合理配凑，考查计算能力，属于中等题．16.若函数有三个不同的零点，则实数a的取值范围是______．【答案】【解析】解：由题意函数可知：函数图象的左半部分为单调递增指数函数的部分，有一个零点，函数图象的右半部分为开口向上的3次函数的一部分，必须有两个零点，，，如上图，要满足题意：，，可得，解得．综合可得，故答案为：．由题意可得需使指数函数部分与x轴有一个交点，3次函数的图象由最小值并且小于0，x大于0的部分，只有两个交点．本题考查根的存在性及根的个数的判断，数形结合是解决问题的关键，属中档题．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.正项等比数列中，已知，．Ⅰ求的前n项和；Ⅱ对于Ⅰ中的，设，且，求数列的通项公式．【答案】解：Ⅰ正项等比数列的公比设为q，已知，，可得，，解得，，即；Ⅱ，且，可得．【解析】Ⅰ正项等比数列的公比设为q，运用等比数列的通项公式，解方程可得首项和公比，即可得到所求求和；Ⅱ由，结合数列的分组求和和等比数列的求和公式，计算可得所求和．本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的恒等式和求和方法：分组求和，考查方程思想和运算能力，属于基础题．18.“黄梅时节家家雨”“梅雨如烟暝村树”“梅雨暂收斜照明”江南梅雨的点点滴滴都流润着浓洌的诗情每年六、七月份，我国长江中下游地区进入持续25天左右的梅雨季节，如图是江南Q镇～年梅雨季节的降雨量单位：的频率分布直方图，试用样本频率估计总体概率，解答下列问题：Ⅰ“梅实初黄暮雨深”假设每年的梅雨天气相互独立，求Q镇未来三年里至少有两年梅雨季节的降雨量超过350mm的概率；Ⅱ“江南梅雨无限愁”在Q镇承包了20亩土地种植杨梅的老李也在犯愁，他过去种植的甲品种杨梅，平均每年的总利润为28万元而乙品种杨梅的亩产量亩与降雨量之间的关系如下面统计表所示，又知乙品种杨梅的单位利润为元，请你帮助老李排解忧愁，他来年应该种植哪个品种的杨梅可以使总利润万元的期望更大？需说明理由【答案】解：Ⅰ频率分布直方图中第四组的频率为，则江南Q镇在梅雨季节时降雨量超过350mm的概率为，所以Q镇未来三年里至少有两年梅雨季节的降雨量超过350mm的概率为或；Ⅱ根据题意，总利润为元，其中，700，600，400；所以随机变量万元的分布列如下图所示；则总利润万元的数学期望为万元，因为，所以老李来年应该种植乙品种杨梅，可使总利润的期望更大．【解析】Ⅰ由频率分布直方图计算对应的频率，利用频率估计概率，求出对应的概率值；Ⅱ根据题意计算随机变量的分布列和数学期望，比较得出结论和建议．本题考查了频率分布直方图和离散型随机变量的分布列应用问题，是中档题．19.已知椭圆的离心率为，且经过点．Ⅰ求椭圆的标准方程；Ⅱ设O为椭圆的中心，点，过点A的动直线l交椭圆于另一点B，直线l上的点C满足．，求直线BD与OC的交点P的轨迹方程．【答案】解：Ⅰ椭圆的离心率，且，，，椭圆的标准方程为，Ⅱ设直线l的方程为当t存在时，由题意，代入，并整理可得，解得，于是，即，设，，解得，于是，，，，，，直线BD与OC的交点P的轨迹是以OD为直径的圆除去O，D两点，轨迹方程为，即，【解析】Ⅰ根据椭圆的离心率和，即可求出椭圆的方程，Ⅱ设直线l的方程为当t存在时，由题意，代入，并整理可得，求出点B的坐标，根据向量的运算求出点C的坐标，再根据向量的运算证明，即可求出点P的轨迹方程本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，椭圆的方程的求法，考查转化思想以及计算能力，函数与方程的思想的应用．20.如图，在多面体ABCDE中，AC和BD交于一点，除EC以外的其余各棱长均为2．Ⅰ作平面CDE与平面ABE的交线l并写出作法及理由；Ⅱ求证：平面平面ACE；Ⅲ若多面体ABCDE的体积为2，求直线DE与平面BCE所成角的正弦值．【答案】解：Ⅰ过点E作或的平行线，即为所求直线l．理由如下：和BD交于一点，，B，C，D四点共面，又四边形ABCD边长均相等，四边形ABCD为菱形，从而，又平面CDE，且平面CDE，平面CDE，平面ABE，且平面平面，．证明：Ⅱ取AE的中点O，连结OB，OD，，，，，，平面OBD，平面OBD，，又四边形ABCD是菱形，，又，平面ACE，又平面BDE，平面平面ACE．解：Ⅲ由多面体ABCDE的体积为2，得，，设三棱锥的高为h，则，解得，，平面ABE，以O为原点，OB为x轴，OE为y轴，OD为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，0，，0，，1，，1，，1，，1，，设平面BCE的法向量y，，则，取，得，设直线DE与平面BCE所成角为，则．直线DE与平面BCE所成角的正弦值为．【解析】Ⅰ过点E作或的平行线，即为所求直线由AC和BD交于一点，得A，B，C，D四点共面，推导出四边形ABCD为菱形，从而，进而平面CDE，由此推导出．Ⅱ取AE的中点O，连结OB，OD，推导出，，从而平面OBD，进而，由四边形ABCD是菱形，得，从而平面ACE，由此能证明平面平面ACE．Ⅲ由，得，求出三棱锥的高为，得平面ABE，以O为原点，OB为x轴，OE为y轴，OD为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法能求出直线DE与平面BCE 所成角的正弦值．本题考查两平面的交线的求法，考查面面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．21.已知函数，其中a为常数．Ⅰ若曲线在处的切线在两坐标轴上的截距相等，求a之值；Ⅱ若对，都有，求a的取值范围．【答案】解：Ⅰ函数的导数为，由题意可得，，可得切线方程为，即有，解得；Ⅱ若对，，在递减，当时，，在递减，，由恒成立，可得，与矛盾；当时，，在递增，可得即，由恒成立，可得且，可得；当时，，，且在递减，可得存在，，在递增，在递减，故，由恒成立，可得，，可得，又的最大值为，由，，可得，设，，，可得在递增，即有，即，不等式恒成立，综上可得a的范围是．【解析】Ⅰ求得的导数，可得切线的斜率和切点，由题意可得a的方程，解方程可得a；Ⅱ若对，，在递减，讨论，，，结合函数的单调性和不等式恒成立思想，以及函数零点存在定理，构造函数法，即可得到所求范围．本题考查导数的运用：求切线方程和单调性、极值和最值，考查函数零点存在定理和分类讨论思想方法，以及各种函数法，考查化简整理的运算能力，属于难题．22.在平面直角坐标系xOy中曲线C的参数方程为其中t为参数在以O为极点、x轴的非负半轴为极轴的极坐标系两种坐标系的单位长度相同中，直线l的极坐标方程为．Ⅰ求曲线C的极坐标方程；Ⅱ求直线l与曲线C的公共点P的极坐标．【答案】解：Ⅰ平面直角坐标系xOy中曲线C的参数方程为其中t为参数，曲线C的直角坐标方程为，，将，代入，得曲线C的直角坐标方程为，，将，代入，得，曲线C的极坐标方程为Ⅱ将l与C的极坐标方程联立，消去，得，，，，方程的解为，即，代入，得，直线l与曲线C的公共点P的极坐标为【解析】Ⅰ由曲线C的参数方程求出曲线C的直角坐标方程，由此能求出曲线C的极坐标方程．Ⅱ将l与C的极坐标方程联立，得，从而，进而方程的解为，由此能求出直线l与曲线C的公共点P的极坐标．本题考查曲线的极坐标方程的求法，考查直线与曲线的公共点的极坐标的求法，考查直角坐标方程、参数方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．23.已知函数，且a，b，．Ⅰ若，求的最小值；Ⅱ若，求证：．【答案】解：Ⅰ由柯西不等式可得，当且仅当时取等号，即；，即的最小值为．证明：Ⅱ，，故结论成立【解析】Ⅰ根据柯西不等式即可求出最小值，Ⅱ根据绝对值三角不等式即可证明．本题考查了柯西不等式和绝对值三角形不等式，考查了转化和化归的思想，属于中档题．。

2019年甘肃省高考数学一诊试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.（）A. B. C. D.【答案】A2.已知全集，集合，，那么集合（）A. B. C. D.【答案】C3.已知平面向量，的夹角为，，，则（）A. 4B. 2C.D.【答案】B4.抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是（）A. B. C. D.【答案】C5.已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】6.若函数在为增函数，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】A7.若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（）A. B. C. D.【答案】C8.《数术记遗》是《算经十书》中的一部，相传是汉末徐岳（约公元2世纪）所著，该书主要记述了：积算（即筹算）太乙、两仪、三才、五行、八卦、九宫、运筹、了知、成数、把头、龟算、珠算计数14种计算器械的使用方法.某研究性学习小组3人分工搜集整理14种计算器械的相关资料，其中一人4种、另两人每人5种计算器械，则不同的分配方法有（）A. B.C. D.【答案】A9.在中，，，，则的面积为（）A. 15B.C. 40D.【答案】B10.四棱锥的顶点均在一个半径为3的球面上，若正方形的边长为4，则四棱锥的体积最大值为（）A. B. C. D.【答案】D11.直线过抛物线的焦点，且交抛物线于，两点，交其准线于点，已知，，则（）A. 2B.C.D. 4【答案】C12.已知函数是函数的导函数，，对任意实数都有，则不等式的解集为（）A. B. C. D.【答案】B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.若实数，满足约束条件，则的最大值是_____．【答案】814.已知，均为锐角，，，则_____．【答案】15.直三棱柱中，底面为正三角形，，是的中点，异面直线与所成角的余弦值是，则三棱柱的表面积等于_____．【答案】16.已知定义在上的偶函数，满足，且在区间上是增函数，①函数的一个周期为4；②直线是函数图象的一条对称轴；③函数在上单调递增，在上单调递减；④函数在内有25个零点；其中正确的命题序号是_____（注：把你认为正确的命题序号都填上）【答案】①②④三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17.已知等差数列满足，.（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）设是等比数列的前项和，若，，求．【答案】(I)；(Ⅱ)，或【解析】【分析】（I）由，可计算出首项和公差，进而求得通项公式。

亲爱的同学：这份试卷将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获，我们一直投给你信任的目光……2019学年高中三年级第一次统一考试数学试卷(理)第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设全集，集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，，所以，故，故选C................2. 若（是虚数单位），则等于（）A. 3B. 2C. 0D. -1【答案】A【解析】，因，故，所以，选A. 3. 若函数同时满足下列两个条件，则称该函数为“优美丽数”：（1）对，都有；（2）对，且，都有．①；②；③；④以上四个函数中，“优美函数”的个数是（）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】若，则为上的奇函数，但在上不单调，故不是优美函数；若，则为上的奇函数，且在上为减函数，所以，它是优美函数；若，因，故它不是上的奇函数，故它不是优美函数；若，考虑函数在上的单调性，因在为增函数，在为增函数，所以在上为增函数且恒正，故在上为增函数，所以当时，总有，所以也不是优美函数，综上，选B.4. 已知向量，，若，则实数的值是（）A. -4B. -1C. 1D. 4【答案】D【解析】因为，故，展开得到，故，，选D.5. 已知某算法的程序框图如图所示，则该算法的功能是（）A. 求首项为1，公差为2 的等差数列前2017项和B. 求首项为1，公差为2 的等差数列前2018项和C. 求首项为1，公差为4 的等差数列前1009项和D. 求首项为1，公差为4 的等差数列前1010项和【答案】C【解析】由题意可知，为求首项为1，公差为4的等差数列的前1009项和.故选C.点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.6. 设满足约束条件，则的最小值与最大值的和为（）A. 7B. 8C. 13D. 14【答案】D【解析】可行域如图所示，当动直线过时，；当动直线过时，，故的最大值与最小值的和为14，选D.7. 已知函数，先将的图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再将得到的图象上所有点向右平移个单位长度，得到的图象关于轴对称，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因，将其图像上的点的横坐标缩短到原来的后所得函数的解析式为，图像在轴左侧的第一条对称轴，故至少向右平移个单位就可以得到关于轴对称的图像，选C.点睛：若三角函数的图像平移后得到的图像为奇函数或偶函数的图像，那么最小的平移往往和轴附近的对称轴或对称中心有关.8. 一个几何体的三视图如图所示，图中的三个正方形的边长均为2，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】几何体如图所示，它为正方体中挖去两个对顶的圆锥，其体积为.9. 若，则二项式的展开式中的常数项为（）A. -15B. 15C. -240D. 240【答案】D【解析】，而展开式的通项公式为令，所以，常数项的系数为，选D.10. 在中，角的对边分别为，若成等比数列，且，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，，故，而，因，故.根据正弦定理有，，故，选B.11. 已知是抛物线的焦点，曲线是以为圆心，以为半径的圆，直线与曲线从上到下依次相交于点，则（）A. 16B. 4C.D.【答案】A【解析】由可以得到，解得，所以，，故，，选A.点睛：对于抛物线，若且为焦点弦或焦半径，那么，，其中为焦点.12. 已知函数满足，且当时，，则方程在上的所有根之和为（）A. 8B. 9C. 10D. 11【答案】D【解析】由可得总成立，所以是偶函数，由可以得到是周期为的函数.在同一坐标系中，我们画出及的图像，故方程共有11个根，，其中在内有6个解，其和为零，在内有5个解，得和为11.选D.点睛：对于不可解方程的解的个数，通常转化为两个熟悉函数的图像的交点去考虑.题设中关于的关系式蕴含为偶函数且为周期函数，而且图像的对称轴为，又的对称轴为，故根据两个函数的图像得到11个解，它们的和为8+3=11.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知，则__________．【答案】【解析】由题设有，所以，所以．14. 某校有4个社团向高一学生招收新成员，现有3名同学，每人只选报1个社团，恰有2个社团没有同学选报的报法数有__________种（用数字作答）．【答案】36【解析】先选出学生选报的社团，共有种选法，再把这3名同学分配到这两个社团，共有，故恰有2个社团没有同学选报数有．15. 在半径为4的球面上有不同的四点，若，则平面被球所截得图形的面积为__________．【答案】【解析】设球心为，则，所以在平面上射影是的外心，同理在平面上射影也是的外心．因且，故在平面的异侧，如图所示，等边三角形中，，故，又为平面截所球得圆的半径，故圆的面积为．点睛：题设中，结合球的半径为，故我们可以确定出在平面的两侧，从而求出的外接圆的半径．16. 已知为双曲线的左、右焦点，是双曲线右支上的一点，连接并过作垂直于的直线交双曲线左支于，其中，为等腰三角形．则双曲线的离心率为__________．【答案】【解析】连接并延长交右支于点，设，则，因为双曲线是中心对称，且，所以四边形是平行四边形．因是等腰三角形，，所以，故，且，根据双曲线的定义，有，所以，解得，所以，所以，．点睛：圆锥曲线的离心率的计算，常常需要寻找一个关于的关系式．如果题设条件与焦点或准线有关，那么我们需要从几何性质的角度去构建的关系式．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知各项均不为零的数列的前项和为，且对任意，满足．（1）求数列的通项公式；（2）设数列满足，数列的前项和为，求证：．【答案】（1）.（2）见解析.【解析】试题分析：由，可以得到的大小和的递推关系为，因此为等比数列，从而求得，再根据求出的通项，它是等差数列和等比数列的乘积，利用错位相减法求它的前项和.（1）当时，，∵，∴.∵，∴当时，，两式相减得，因，，故，∴数列是首项为4，公比为4的等比数列，∴.（2）∵，∴，∴，，两式相减得：.所以.18. 甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司的底薪80元，每单抽成4元；乙公司无底薪，40单以内（含40单）的部分每单抽成6元，超出40单的部分每单抽成7元，假设同一公司送餐员一天的送餐单数相同，现从两家公司各随机抽取一名送餐员，并分别记录其50天的送餐单数，得到如下频数表：甲公司送餐员送餐单数频数表乙公司送餐员送餐单数频数表（1）现从甲公司记录的50天中随机抽取3天，求这3天送餐单数都不小于40的概率；（2）若将频率视为概率，回答下列两个问题：①记乙公司送餐员日工资为（单位：元），求的分布列和数学期望；②小王打算到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，请利用所学的统计学知识为小王作出选择，并说明理由．【答案】（1）.（2）见解析【解析】试题分析：（1）为古典概型，利用组合数公式计算基本事件的总数和随机事件中含有的基本事件的总数即可.（2）为计算离散型随机变量的分布列和数学期望，利用公式计算即可．（1）记抽取的天送餐单数都不小于40为事件，则.（2）①设乙公司送餐员送餐单数为，则当时，，当时，，当时，，当时，，当时，.所以的所有可能取值为228，234，240，247，254.故的分布列为：所以②依题意，甲公司送餐员日平均送餐单数为所以甲公司送餐员日平均工资为元.由①得乙公司送餐员日平均工资为241.8元.因为，故推荐小王去乙公司应聘. 19. 如图，在四棱锥中，分别是的中点，底面是边长为2的正方形，，且平面平面．（1）求证：平面平面；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．【答案】（1）见解析（2）.【解析】试题分析：（1）要证平面因平面，只要证平面，也就是证明和，后者可以由为等边三角形得到，前者由平面得到（因为平面平面）.（2）要求锐二面角，因几何体比较规则，可以建立空间直角坐标系计算两个半平面的法向量的夹角.（1）由题，为的中点，可得，∵平面平面，，平面平面，平面，∴平面.又∵平面，∴.，∴平面.∴平面平面.（2）取的中点，的中点，连接，∵，∴.∵平面平面平面，∴平面.分别以为轴建立空间直角坐标系，则，，设平面的法向量为，则.即.可取.同理，可得平面的法向量..所以平面与平面所成锐二面角余弦值为.20. 已知短轴长为2的椭圆，直线的横、纵截距分别为，且原点到直线的距离为．（1）求椭圆的方程；（2）直线经过椭圆的右焦点且与椭圆交于两点，若椭圆上存在一点满足，求直线的方程．【答案】（1）.（2）或.【解析】试题分析：直线的方程有参数，利用原点到其距离为可以得到的大小，从而得到椭圆的方程．（2）中的三点满足向量关系式，将各点坐标代入，可以得到三个点的坐标之间的关系，而在椭圆上，所以两点的坐标满足关系式，再利用两点在直线上，得到关于的一个关系式，利用韦达定理转化为的方程可以解出的值．（1）因为椭圆的短轴长为2，故.依题意设直线的方程为：，由.解得，故椭圆的方程为.（2）设当直线的斜率为0时，显示不符合题意.当直线的斜率不为0时，，设其方程为，由，得，所以①.因为，所以.又点在椭圆上，∴.又∵，∴②，将，及①代入②得，即或.故直线的方程为或.点睛：一般地，当解析几何中问题出现向量等式时，我们先寻找向量隐含的几何意义，如果没有几何意义，可以转化点的坐标讨论.解决直线与圆锥曲线位置关系式，我们常把给定的关系式转化为含有（或）的关系式，最后利用韦达定理转化为所求参数的方程.21. 已知函数，（），且曲线在点处的切线方程为．（1）求实数的值及函数的最大值；（2）当时，记函数的最小值为，求的取值范围．【答案】（1），最大值．（2）【解析】试题分析：（1）题设给出了在处的切线，也是，从中解出即可．（2）中要求的最小值，因此要考虑的单调性，也就是考虑的符号的变化，但的零点不易求得，所以利用（1）的结论先确定在给定的范围上有唯一的零点，通过零点满足的关系式化简在零点处的函数值表达式（也是的最小值），最终求出最小值得范围．（1）函数的定义域为，，因的图象在点处的切线方程为，所以也即是，解得，所以，故．令，得，当时，，单调递增；当时，，单调递减．所以当时，取得最大值．（2）∵，∴，令，由（1）知道在是增函数，故在上为增函数，又，，因此存在唯一的，使得，也就是即．当时，，所以，单调递减；当时，，单调递增，所以的最小值为．令，因为，所以在单调递减，从而，即的取值范围是．点睛：在导数问题的讨论中，如果函数的极值点不易求得，那么我们可以利用这个关系式去化简，从而讨论与相关的问题．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，），以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）写出曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）已知点是曲线上一点，若点到曲线的最小距离为，求的值．【答案】（1），（2）或．【解析】试题分析：（1）消去参数得到的普通方程为．利用可以把的极坐标方程化为直角坐标方程．（2）把的直角方程转化为参数方程，利用点到直线的距离公式算出距离为，利用得到．因为直线与椭圆是相离的，所以或，分类讨论就可以得到相应的值．（1）由曲线的参数方程，消去参数，可得的普通方程为：．由曲线的极坐标方程得，∴曲线的直角坐标方程为．（2）设曲线上任意一点为，，则点到曲线的距离为．∵，∴，，当时，，即；当时，，即．∴或．点睛：一般地，如果圆锥曲线上的动点到直线的距离有最小值，那么这条直线和圆锥曲线的位置关系式相离的．23. 选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）当时，解不等式；（2）设不等式的解集为，若，求实数的取值范围．【答案】（1）．（2）．【解析】试题分析：（1）利用零点分段讨论求解．（2）利用化简得到在区间上是恒成立的，也就是是不等式的子集，据此得到关于的不等式组，求出它的解即可．（1）当时，原不等式可化为．①当时，原不等式可化为，解得，所以；②当时，原不等式可化为，解得，所以；③当时，原不等式可化为，解得，所以．综上所述，当时，不等式的解集为．（2）不等式可化为，依题意不等式在恒成立，所以，即，即，所以．解得，故所求实数的取值范围是．。

2019年甘肃省高考一诊试卷数学(理科)一、选择题：本题共12小题，每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.A,—— H—i B.———i C.—— H i 252525252525【答案】A【解析】【分析】利用复数的除法运算，将复数化简为a+bi的形式，由此得出正确选项.71 D,—2525【详解】依题意,(l+i)(3+4i)_—l+7i八乱一(3—42)(3+4，)25~17—方+云'，故选A.【点睛】本小题主要考查复数的除法运算，考查运算求解能力，属于基础题.2.已知全集U=R,集合A={x\-3<x<l},B={x\x<—2或x>2},那么集合A n(C…B)=()A.{x|—3<x<—2}B.{x|—3<x<2}C.(x|—2<x<1}D.(x|x<lgfcx>2)【答案】C【解析】【分析】先求得集合B的补集，然后求其与集合A的交集.【详解】依题意C u B={x\-2<x<2},故/10(^6)={%|-2<%<1},故选C.【点睛】本小题主要考查集合补集的运算，考查集合交集的运算，属于基础题.2,713.己知平面向量片的夹角为与■,淑=(0,—1),|日|=2,贝!]|2a+B|=()A.4B.2C.2^/2D.2龙【答案】B【解析】【分析】将\2a+t\两边平方，利用向量数量积的运算求解得出数值，然后开方得到结果.【详解】依题意 |2』+ = J(2& + 酣=^4a 2 + 4a-b + b 2 = f4 + 4xlx2x (-：) + 2?=皿=2.故选 B.【点睛】本小题主要考查向量的数量积运算，考查向量模的坐标表示，属于基础题.4.抛物线v v 22 = 8x 的焦点到双曲线二-/ = 1的渐近线的距离是()4R 2扼5C 四!. 5【答案】C【解析】【分析】求得抛物线的焦点，双曲线的渐近线，再由点到直线的距离公式求出结果.【详解】依题意，抛物线的焦点为(2,0),双曲线的渐近线为y= ±2x,其中一条为2x-y = 0,由点到直线的距4 4a /5离公式得d = — = —^~.故选C.【点睛】本小题主要考查抛物线的焦点坐标，考查双曲线的渐近线方程，考查点到直线的距离公式，属于基础 题.5.已知函数的图象如图所示，则f(x)的解析式可能是()A. f(x) = e 闵.cosxC. /(x) =+ cosx 【答案】D【解析】【分析】 B. f(x) = ln\x\ • cosx D. f(x) = ln\x\ + cosx根据函数图像上的特殊点，对选项进行排除，由此得出正确选项.【详解】对于A,B 两个选项，4；) = 0,不符合图像，排除A,B 选项.对于C 选项，f(l) = e + cosl>L 不符合 图像，排除C 选项，故选D.【点睛】本小题主要考查根据函数图像选择相应的解析式，考查利用特殊值法解选择题，属于基础题.71 716.若函数/(x) = asiwc + cosx 在［-弓引为增函数，则实数。

甘肃省2019届高三第一次高考诊断性考试数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U=R，集合A={x|x＜2}，B={x|lg（x﹣1）＞0}，则A∩（∁u B）=（）A．{x|1＜x＜2}B．{x|1≤x＜2}C．{x|x＜2}D．{x|x≤1}2．在复平面内，复数z满足z（1﹣i）=（1+2i）（i是虚数单位），则z对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．已知，为两个非零向量，设命题p：|•|=||||，命题q：与共线，则命题p是命题q成立的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，若bsinA=3csinB，a=3，，则b=（）A．14 B．6 C．D．5．已知MOD函数是一个求余函数，其格式为MOD（n，m），其结果为n 除以m的余数，例如MOD（8，3）=2，如图所示是一个算法的程序框图，若输出的结果为4，则输入n的值为（）A．16 B．14 C．12 D．106．某单位员工按年龄分为A，B，C三组，其人数之比为5：4：1，现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为20的样本，若C组中甲、乙二人均被抽到的概率是，则该单位员工总数为（）A．110 B．100 C．90 D．807．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个等腰直角三角形，则该几何体外接球的体积为（）A．B． C．3πD．38．已知直线ax+y﹣1=0与圆C：（x﹣1）2+（y+a）2=1相交于A，B两点，且△ABC为等腰直角三角形，则实数a的值为（）A．B．﹣1 C．1或﹣1 D．19．，，则的值为（）A．B．C．D．10．已知命题：①函数y=2x（﹣1≤x≤1）的值域是[，2]；②为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，只需把函数y=sin2x图象上的所有点向右平移个单位长度；③当n=0或n=1时，幂函数y=x n的图象都是一条直线；④已知函数f（x）=，若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则abc的取值范围是（2，4）．其中正确的命题是（）A．①③B．①④C．①③④D．①②③④11．已知O为坐标原点，双曲线上有一点P，过点P作双曲线C的两条渐近线的平行线，与两渐近线的交点分别为A，B，若平行四边形OAPB的面积为1，则双曲线C的离心率为（）A． B．C．2 D．12．已知函数f （x ）=aln （x +1）﹣x 2，在区间（0，1）内任取两个不相等的实数p ，q ，若不等式＞1恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[15，+∞） B ．[6，+∞） C ．（﹣∞，15] D ．（﹣∞，6]第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若sin sin 1αβ-=-，1cos cos 2αβ-=，则cos()αβ-= ． 14.观察下列式子：1，121++，12321++++，1234321++++++，…，由以上可推测出一个一般性结论：对于*n N ∈，则1221n ++++++= ．15.已知函数：①()2sin(2)3f x x π=+；②()2sin(2)6f x x π=-；③1()2sin()23f x x π=+；④1()2sin()23f x x π=-.其中，最小正周期为π且图象关于直线3x π=对称的函数序号是 ． 16.已知定义域为[0,)+∞的函数()f x 满足()2(2)f x f x =+，当[0,2)x ∈时，2()24f x x x =-+，设()f x 在[22,2)n n -上的最大值为*()n a n N ∈，且数列{}n a 的前n 项和为n S ，则n S = ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 在ABC ∆中，,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若tan tan tan 1)A C A C +-.（1）求角B ；（2）如果2b =，求ABC ∆面积的最大值.18. 现如今，“网购”一词不再新鲜，越来越多的人已经接受并喜欢了这种购物方式，但随之也出现了商品质量不能保证与信誉不好等问题，因此，相关管理部门制定了针对商品质量与服务的评价体系，现从评价系统中选出成功交易200例，并对其评价进行统计：对商品的好评率为0.6，对服务的好评率为0.75，其中对商品和服务都做出好评的交易为80次.（1）依据题中的数据完成下表，并通过计算说明，能否有99.9%的把握认为“商品好评与服务好评”有关；（2）若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行了5次购物，设对商品和服务全好评的次数为随机变量X ，求X 的分布列（概率用算式表示）、数学期望和方差.19. 如图所示的空间几何体ABCDEFG 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，AE ⊥平面ABCD ，//EF AB ，//EG AD ，1EF EG ==，3AE =.（1）求证：平面CFG ⊥平面ACE ；（2）求平面CEG 与平面ABCD 所成的锐二面角的余弦值.20. 已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，左顶点为A ，左焦点为1(2,0)F -，点B 在椭圆C 上，直线(0)y kx k =≠与椭圆C 交于,P Q 两点，直线,AP AQ 分别与y 轴交于点,M N .（1）求椭圆C 的方程；（2）以MN 为直径的圆是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由.21. 已知函数2()ln f x ax bx x x =++在(1,(1))f 处的切线方程为320x y --=.（1）求实数,a b 的值；（2）设2()g x x x =-，若k Z ∈，且(2)()()k x f x g x -<-对任意的2x >恒成立，求k 的最大值.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，已知点(1,1)B ，曲线C的参数方程为2cos x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，点A 的极坐标为)4π，直线l 的极坐标方程为cos()4a πρθ-=，且l 过点A ；过点B 与直线l 平行的直线为1l ，1l 与曲线C 相交于两点,M N .（1）求曲线C 上的点到直线l 距离的最小值；（2）求||MN 的值.23.选修4-5：不等式选讲已知函数()|1|||f x x x a =-++.（1）当3a =时，解关于x 的不等式|1|||6x x a -++>；（2）若函数()()|3|g x f x a =-+存在零点，求实数a 的取值范围.甘肃省2019届高三第一次高考诊断性考试数学（理）试题试卷答案一、选择题1．已知全集U=R，集合A={x|x＜2}，B={x|lg（x﹣1）＞0}，则A∩（∁u B）=（）A．{x|1＜x＜2}B．{x|1≤x＜2}C．{x|x＜2}D．{x|x≤1}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】lg（x﹣1）＞0，可得x﹣1＞1，可得B，∁R B．再利用集合的运算性质可得：A∩（∁u B）．【解答】解：∵lg（x﹣1）＞0，∴x﹣1＞1，解得x＞2．∴B={x|lg（x﹣1）＞0}=（2，+∞），∴∁R B=（﹣∞，2]．则A∩（∁u B）=（﹣∞，2）．故选：C．2．在复平面内，复数z满足z（1﹣i）=（1+2i）（i是虚数单位），则z对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．【解答】解：由足z（1﹣i）=（1+2i），得，∴z对应的点的坐标为（），位于第二象限．故选：B．3．已知，为两个非零向量，设命题p：|•|=||||，命题q：与共线，则命题p是命题q成立的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】设与的夹角为θ．若与共线，则cosθ=±1．再利用数量积运算性质即可判断出结论．【解答】解：设与的夹角为θ．若与共线，则cosθ=±1．∴|•|=|||||cosθ|=||||，反之也成立．∴命题p是命题q成立的充要条件．故选：C．4．在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，若bsinA=3csinB，a=3，，则b=（）A．14 B．6 C．D．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】bsinA=3csinB，利用正弦定理可得ab=3cb，化简解得c，再利用余弦定理即可得出．【解答】解：在△ABC中，∵bsinA=3csinB，∴ab=3cb，可得a=3c，∵a=3，∴c=1．∴==，解得b=．故选：D．5．已知MOD函数是一个求余函数，其格式为MOD（n，m），其结果为n 除以m的余数，例如MOD（8，3）=2，如图所示是一个算法的程序框图，若输出的结果为4，则输入n的值为（）A．16 B．14 C．12 D．10【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图，根据题意，依次代入各选项，计算MOD（n，i）的值，验证输出的结果是否为4，即可得解．【解答】解：模拟执行程序框图，可得：①若n=16，i=3，MOD（16，3）=1，不满足条件MOD（16，3）=0，i=4，MOD（16，4）=0，满足条件MOD（16，4）=0，退出循环，输出i的值为4，满足题意；②若n=14，i=3，MOD（14，3）=2，不满足条件MOD（14，3）=0，i=4，MOD（14，4）=2，不满足条件MOD（14，4）=0，i=5，MOD（14，5）=4，不满足条件MOD（14，5）=0，i=6，MOD（14，6）=2，不满足条件MOD（14，6）=0，i=7，MOD（14，7）=0，满足条件MOD（14，7）=0，退出循环，输出i的值为7，不满足题意；③若n=12，i=3，MOD（12，3）=0，满足条件MOD（12，3）=0，退出循环，输出i的值为3，不满足题意；④若n=10，i=3，MOD（10，3）=1，不满足条件MOD（10，3）=0，i=4，MOD（10，4）=2，不满足条件MOD（10，4）=0，i=5，MOD（10，5）=0，满足条件MOD（14，5）=0，退出循环，输出i的值为5，不满足题意；故选：A．6．某单位员工按年龄分为A，B，C三组，其人数之比为5：4：1，现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为20的样本，若C组中甲、乙二人均被抽到的概率是，则该单位员工总数为（）A．110 B．100 C．90 D．80【考点】极差、方差与标准差．【分析】根据分层抽样的定义求出C抽取的人数，利用甲、乙二人均被抽到的概率是，直接进行计算即可【解答】解：∵按年龄分为A，B，C三组，其人数之比为5：4：1，∴从中抽取一个容量为20的样本，则抽取的C组数为×20=2，设C组总数为m，则甲、乙二人均被抽到的概率为==，即m（m﹣1）=90，解得m=10．设总体中员工总数为x，则由==，可得x=100，故选：B．7．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个等腰直角三角形，则该几何体外接球的体积为（）A．B． C．3πD．3【考点】由三视图求面积、体积．【分析】该几何体是一个四棱锥，底面是正方形，高等于正方形的边长．其四棱锥补成一个正方体，即可得出外接球．【解答】解：该几何体是一个四棱锥，底面是正方形，高等于正方形的边长．其四棱锥补成一个正方体，即可得出外接球．设其四棱锥的外接球的半径为r，则3×12=（2r）2，解得r=．∴该几何体外接球的体积==．故选：A．8．已知直线ax+y﹣1=0与圆C：（x﹣1）2+（y+a）2=1相交于A，B两点，且△ABC为等腰直角三角形，则实数a的值为（）A．B．﹣1 C．1或﹣1 D．1【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由题意可得△ABC是等腰直角三角形，可得圆心C（1，﹣a）到直线ax+y﹣1=0的距离等于r•sin45°，再利用点到直线的距离公式求得a的值．【解答】解：由题意可得△ABC是等腰直角三角形，∴圆心C（1，﹣a）到直线ax+y﹣1=0的距离等于r•sin45°=，再利用点到直线的距离公式可得=，∴a=±1，故选：C．9．，，则的值为（）A．B．C．D．【考点】三角函数中的恒等变换应用．【分析】由二倍角公式化简sin2α，由同角的三角函数恒等式得到（sinα+cosα）2，结合α的范围，得到开平方的值．【解答】解：∵，，∴sinαcosα=，∵sin2α+cos2α=1∴（sinα+cosα）2=1+2sinαcosα=，=（cosα+sinα）=cosα+sinα=．故选：D10．已知命题：①函数y=2x（﹣1≤x≤1）的值域是[，2]；②为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，只需把函数y=sin2x图象上的所有点向右平移个单位长度；③当n=0或n=1时，幂函数y=x n的图象都是一条直线；④已知函数f（x）=，若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则abc的取值范围是（2，4）．其中正确的命题是（）A．①③B．①④C．①③④D．①②③④【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①根据指数函数的单调性进行判断．②根据三角函数的图象关系进行判断．③根据幂函数的定义和性质进行判断．④根据函数与方程的关系，利用数形结合进行判断．【解答】解：①∵y=2x是增函数，∴当﹣1≤x≤1时，函数的值域是[，2]；故①正确，②函数y=sin2x图象上的所有点向右平移个单位长度，则y=sin2（x﹣）=sin（2x﹣，则无法得到函数y=sin（2x﹣）的图象，故②错误，③当n=0时，y=x0=1，（x≠0）是两条射线，当n=1时，幂函数y=x的图象都是一条直线；故③错误，④作出函数f（x）的图象如图，∴f（x）在（0，1]上递减，在（1，2）上递增，在（2，+∞）单调递减，又∵a，b，c互不相等，∴a，b，c在（0，2]上有两个，在（2，+∞）上有一个，不妨设a∈（0，1]，b∈（1，2），c∈（2，+∞），则log2a+log2b=0，即ab=1，则abc的取值范围是c的取值范围，∵由﹣x+2=0，得x=4，则2＜c＜4，则2＜abc＜4，即abc的取值范围是（2，4）．故④正确，故选：B．11．已知O为坐标原点，双曲线上有一点P，过点P作双曲线C的两条渐近线的平行线，与两渐近线的交点分别为A，B，若平行四边形OAPB的面积为1，则双曲线C的离心率为（）A． B．C．2 D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求得双曲线的渐近线方程，设P（m，n）是双曲线上任一点，设过P平行于x+ay=0的直线为l，求得l的方程，联立另一条渐近线可得交点A，|OA|，求得P到OA的距离，由平行四边形的面积公式，化简整理，解方程可得a=2，求得c，进而得到所求双曲线的离心率．【解答】解：由双曲线方程可得渐近线方程x±ay=0，设P（m，n）是双曲线上任一点，设过P平行于x+ay=0的直线为l，则l的方程为：x+ay﹣m﹣an=0，l与渐近线x﹣ay=0交点为A，则A（，），|OA|=||，P点到OA的距离是：，∵|OA|•d=1，∴||•.=1，∵，∴a=2，∴，∴．故选：D．12．已知函数f（x）=aln（x+1）﹣x2，在区间（0，1）内任取两个不相等的实数p，q，若不等式＞1恒成立，则实数a的取值范围是（）A ．[15，+∞）B ．[6，+∞）C ．（﹣∞，15]D ．（﹣∞，6] 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】由不等式进行转化判断函数的单调性，求函数的导数，利用参数分离法 进行求解即可．【解答】解：因为p ≠q ，不妨设p ＞q ，由于，所以f （p +1）﹣f （q +1）＞p ﹣q ，得[f （p +1）﹣（p +1）]﹣[f （q +1）﹣（q +1）]＞0，因为p ＞q ，所以p +1＞q +1，所以g （x ）=f （x +1）﹣（x +1）在（0，1）内是增函数，所以g'（x ）＞0在（0，1）内恒成立，即恒成立，所以a ＞（2x +3）（x +2）的最大值， 因为x ∈（0，1）时（2x +3）（x +2）＜15， 所以实数a 的取值范围为[15，+∞）． 故选：A ． 二、填空题2n 15. ② 16. 2142n --三、解答题17. 解：（Ⅰ）∵tan tan tan 1)A C A C +=-，即tan tan 1tan tan A CA C+=-∴tan()A C += 又∵A B C π++= ∴tan B =由于B 为三角形内角，故3B π=（Ⅱ）在ABC ∆中，由余弦定理得2221cos 22a cb B ac +-==，所以224a c ac +=+∵222a c ac +≥ ∴4ac ≤，当且仅当2a c ==时等号成立∴ABC ∆的面积11sin 422S ac B =≤⨯=∴ABC ∆面积的最大值为18. 解：（Ⅰ） 根据题中条件可得关于商品和服务的22⨯列联表：22200(80104070)100=11.11110.82815050120809K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯因此，有99.9%的把握认为“商品好评与服务好评”有关. （Ⅱ）由题可得，每次购物时，对商品和服务都好评的概率为8022005= X 的所有可能的取值为0,1,2,3,4,5，则X ～2(5,)5B ，所以53(0)()5P X ==，114523(1)()()55P X C ==，223523(2)()()55P X C ==，332523(3)()()55P X C ==，44523(4)()()55P X C ==，52(5)()5P X ==分布列为：由于X ～2(5,)5B ，所以2()525E x =⨯=，226()5(1)555D X =⨯⨯-= 19. 解：（Ⅰ）证明：连接BD 交AC 于点O ，则BD ⊥AC 设AB ，AD 的中点分别为M ，N ，连接MN ，则MN ∥BD ，连接FM ，GN ，则FM ∥GN 且FM GN =，所以MN ∥FG ，所以BD ∥FG由于AE ⊥平面ABCD ，所以 AE ⊥BD 所以FG AC ⊥，FG AE ⊥，所以FG ⊥平面ACE所以平面CFG ⊥平面ACE （Ⅱ）解法一：∵EG ∥AD ，∴EG ∥BC∴平面CEG 与平面ABCD 所成的锐二面角即为平面EBCG 与平面ABCD 所成的锐二面角连接BE ，∵AE ⊥平面ABCD ，AB BC ⊥ ∴BE BC ⊥ ∴EBA ∠为平面EBCG 与平面ABCD 所成二面角的一个平面角 ∵3AE =，2AB =∴BE =∴cos AB EBA EB ∠==即平面CEG 与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为13解法二：建立如图所示空间直角坐标系A xyz -，则(0,0,0),(2,0,0),(2,2,0)(0,0,3)A B C E ，，(0,1,3)G 依题意(0,0,3)AE =为平面ABCD 的一个法向量， 设(,,)n x y z =为平面CEG 的一个法向量，则00n CE n CG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即2302230x y z x y z --+=⎧⎨--+=⎩令3x =， 则0,2y z ==，所以(3,0,2)n =设平面C E G 与平面A B C D 所成的锐二面角为α，则3c o s ||||||313AE n AE n α⋅===⋅ 即平面CEG 与平面ABCD 20. 解：（Ⅰ） 设椭圆C 的方程为22221(0)x y a ba b+=>>∵椭圆的左焦点为1(20)F -，， ∴224a b -=． ∵点(B 在椭圆C 上， ∴22421a b +=． 解得，28a =，24b =．所以椭圆C 的方程为22184x y +=．（Ⅱ）依题意点A 的坐标为(-，设00(,)P x y （不妨设00x >），则00(,)Q x y --由22184y kxx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩得00x y ==所以直线AP的方程为y x =+直线AQ的方程为y x =+所以M，N所以，|||MN =-=设MN 的中点为E ，则点E 的坐标为(0,，则以MN 为直径的圆的方程为22222(12)(k x y k k +++=，即224x y y k++=令0y =得2x =或2x =-，即以MN 为直径的圆经过两定点1(2,0)P -，2(2,0)P 21. 解：（Ⅰ）()21ln f x ax b x '=+++， 所以213a b ++=且=1a b +， 解得=1a ，0b = （Ⅱ）由（Ⅰ）与题意知()()ln 22f xg x x x xk x x -+<=--对任意的2>x 恒成立， 设ln ()(2)2x x xh x x x +=>-，则242ln ()(2)x x h x x --'=-， 令()42ln (2)m x x x x =-->，则22()10x m x x x-'=-=>， 所以函数()m x 为(2,)+∞上的增函数.因为2(8)42ln842ln 440m e =-<-=-=，3(10)62ln1062ln 660m e =->-=-=所以函数()m x 在(8,10)上有唯一零点0x ，即有0042ln 0x x --=成立， 所以0042ln 0x x --=故当02x x <<时，()0m x <，即()0h x '<；当0x x <时，()0m x >，即()0h x '> 所以函数()h x 在0(1,)x 上单调递减，在0(,)x +∞上单调递增 所以000000min 0004(1)ln 2()()212x x x x x x h x h x x x -++====-- 所以02x k <，因为0(8,10)x ∈，所以0(4,5)2x∈，又因Z k ∈ 所以k 最大值为422. 解：（Ⅰ）因为)4A π，且A l ∈，所以)44a ππ-=，即a =所以直线l的极坐标方程为cos()4πρθ-=所以cos cossin sin44ππρθρθ+=即直线l 的直角坐标方程为8x y += 设曲线C上的点到直线l 距离为d ，则||7s i n ()8|d ==所以曲线C 上的点到直线l 距离的最小值为==（Ⅱ）设1l 的方程为0x y m ++=，由于1l 过点B ，所以2m =-，所以1l 的方程为20x y +-=故1l的参数方程为11x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t为参数），曲线C 的普通方程为22143x y +=所以223(1)4(1)1222-++=，即有27100t +-=所以121210+77t t t t =-⋅=-所以12||||MN t t =-=7== 23.解：（Ⅰ）当3a =时，不等式为|1||3|6x x -++>即3136x x x ≤-⎧⎨--->⎩或31136x x x -<≤⎧⎨-++>⎩或1136x x x >⎧⎨-++>⎩解得：4x <-或2x >所以所求不等式的解集为(,4)(2,)-∞-+∞ ……………5分 （Ⅱ）函数()()|3g x f x a =-+存在零点等价为关于x 的方程|1|||=|3x x a a -+++ 有解因为|1||||1()||1|x x a x x a a -++≥-++=+所以|3||1|a a +≥+，即22|3||1|a a +≥+ 解得2a ≥-所以实数a 的取值范围是[2,)-+∞。

2019年第一次教学质量监测理科数学试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 集合，，则下列结论正确的是( )A. B. C. D.【答案】A【解析】，，，且，，故选A.2. 已知复数满足，则的共轭复数在复平面内对应的点在( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】，，的共轭复数在复平面内对应点坐标为，的共轭复数在复平面内对应的点在第四象限，故选D.3. 已知平面向量，，且，则( )A. B. C. D. 10【答案】C【解析】，，，故选C.4. 设，，则的值是( )A. B. C. D.【答案】A【解析】，，，故选A.5. 已知圆与抛物线的准线相切，则的值是( )A. 0B. 2C. 或1D. 0或2【答案】D【解析】的准线方程为的圆心到的距离为圆相切，或，故选D................6. 执行下面的程序框图，若输出结果为273，则判断框处应补充的条件可以为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：经过第一次循环得到；经过第二次循环得到；经过第三次循环得到；此时，需要输出结果，此时的满足判断框中的条件，故选B．考点：程序框图．7. 某高校为提升科研能力，计划逐年加大科研经费投入.若该高校2017年全年投入科研经费1300万元，在此基础上，每年投入的科研经费比上一年增长，则该高校全年投入的科研经费开始超过2000万元的年份是( )(参考数据：，)A. 2020年B. 2021年C. 2022年D. 2023年【答案】B【解析】若年是第一年，则第年科研费为，由，可得，得，即年后，到年科研经费超过万元，故选B.8. 已知函数的部分图象如图所示，则将的图象向左平移个单位后，得到的图象对应的函数解析式为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】由图知，，得，由最大值为，得，将代入可得，向左平移，可得，故选C.9. 已知一个圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的外接球的表面积是( )A. B. C. D.【答案】C【解析】设圆锥底面半径为，则底面周长等于半圆周，圆锥轴截面为边长为的正三角形，圆锥外接球球心是正三角形中心，外接球半径是正三角形外接圆半径，球表面积为，故选C.10. 函数的大致图象是( )A. B.C. D.【答案】D【解析】因为，所以函数是奇函数，图象关于原点对称，可排除；由,可排除，故选D.【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题. 这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.11. 如图，网格纸上的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】由三视图可知，该多面体是底面为棱长为的正方形，一条长为的侧棱与底面垂直的四棱锥，四条底棱为，四条侧棱分别为，故最长棱长为，故选B.【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.12. 若一个四面体的四个侧面是全等的三角形，则称这样的四面体为“完美四面体”，现给出四个不同的四面体，记的三个内角分别为，，，其中一定不是“完美四面体”的为( ) A. B.C. D.【答案】B【解析】若，由正弦定理可得，，设，因为“完美四面体”的四个侧面是全等的三角形，，把该四面体顶点当成长方体的四个顶点，四条棱当作长方体的四条面对角线，则长方体面上对角线长为，设长方体棱长为，则，以上方程组无解，即这样的四面体不存在，四个侧面不全等，故一定不是完美的四面体，故选B.【方法点睛】本题考查四面体的性质以及长方体的性质、新定义问题，属于难题. 新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.本题通过定义“完美四面体”达到考查四面体的性质以及长方体的性质的目的.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知样本容量为200，在样本的频率分布直方图中，共有个小矩形，若中间一个小矩形的面积等于其余个小矩形面积和的，则该组的频数为________.【答案】50【解析】设个小矩形面积和为，则中间小矩形面积的,根据直方图的性质可得,中间一个小矩形的面积等于，即该组的频数为，故答案为.14. 若二项式展开式中各项系数的和为64，则该展开式中常数项为____________.【答案】15【解析】二项式展开式中各项系数的和为64，令，得的通项为，令，常数项为，故答案为.【方法点晴】本题主要考查二项展开式定理的通项、系数及各项系数和的求法，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.15. 若直线上存在点满足约束条件，则实数的取值范围是________.【答案】【解析】直线上存在点满足约束条件，等价于直线与可行域有交点，画出约束条件表示的可行域，如图，由，得；由，得，直线过定点，，由图知，要使直线可行域有交点，则，实数的取值范围是，故答案为.16. 已知双曲线的焦点为，，为双曲线上的一点且的内切圆半径为1，则的面积为________.【答案】【解析】如图，设的内切圆与轴相切于实点，根据切线性质及双曲线的定义可得,结合，解得,所以的内切圆与轴相切于实轴端点，因为，故，可得，轴，从而双曲线方程中令得，故答案为.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知数列的首项为，且，.(1)求证：数列是等差数列；(2)设，求数列的前项和.【答案】(1)见解析(2)【解析】试题分析：(1)由可得，从而可得数列是以为首项，以为公差的等差数列；(2) 由(1)可知，，，利用裂项相消法可求得数列的前项和.试题解析：(1)，数列是以为首项，以1为公差的等差数列；(2)由(1)可知，，，，.【方法点晴】本题主要考查等差数列的定义与通项公式，以及裂项相消法求数列的和，属于中档题. 裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2）；（3）；（4）；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.18. 某种产品的质量以其“无故障使用时间 (单位：小时)”衡量，无故障使用时间越大表明产品质量越好，且无故障使用时间大于3小时的产品为优质品，从某企业生产的这种产品中抽取100件，并记录了每件产品的无故障使用时间，得到下面试验结果：以试验结果中无故障使用时间落入各组的频率作为一件产品的无故障使用时间落入相应组的概率.(1)从该企业任取两件这种产品，求至少有一件是优质品的概率；(2)若该企业生产的这种产品每件销售利润(单位：元)与其无故障使用时间的关系式为从该企业任取两件这种产品，其利润记为(单位：元)，求的分布列与数学期望.【答案】(1)0.64(2) (元)【解析】试题分析：(1) 由古典概型概率公式可知，从该企业任取一件这种产品是优质品的概率的是，根据对立事件及独立事件的概率公式即可得到从该企业任取两件这种产品，至少有一件是优质产品的概率；(2) 由题意知，的可能取值为，根据独立事件率公式求出各随机变量对应的概率，从而可得分布列，进而利用期望公式可得的数学期望.试题解析：(1)由题意可知，从该企业任取一件这种产品是优质品的概率的是，所以从该企业任取两件这种产品，至少有一件是优质产品的概率为；(2)由题意知，的分布列为所以的数学期望(元).19. 如图，正三棱柱中，，，为棱上靠近的三等分点，点在棱上且面.(1)求的长；(2)求二面角的余弦值.【答案】(1) (2)【解析】试题分析：(1) 作与交于点，根据线面平行的性质定理可得，，于是在平行四边形中，；(2) 取的中点，由(1)知，∴，从而面，于是二面角的平面角为，在直角三角形中，可得二面角的余弦值为.试题解析：(1)如图，作与交于点，∵，∴，面面，∵面，∴，于是在平行四边形中，.(2)取的中点，∵是正三棱柱，∴，面，连结，由(1)知，∴，又面，∴，从而面，于是二面角的平面角为，由题，，，，故二面角的余弦值为.20. 已知椭圆经过点，离心率为，过原点作两条直线，直线交椭圆于，直线交椭圆于，且.(1)求椭圆的方程；(2)若直线的斜率分别为，求证：为定值.【答案】(1) (2)见解析【解析】试题分析：(1)根据椭圆经过点，离心率为，结合性质，列出关于、、的方程组，求出、即可得椭圆的方程；(2) 由对称性可知，四边形是平行四边形，设，，则，，由可得，从而得.试题解析：(1)由题意知，且，解得，，椭圆的方程为；(2)由对称性可知，四边形是平行四边形，设，，则，，由，得，，所以，，故为定值2.【方法点睛】本题主要考查待定待定系数法椭圆标准方程、椭圆的几何性质以及圆锥曲线的定值问题，属于难题. 探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：① 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；② 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.21. 已知函数有两个极值点.(1)求实数的取值范围；(2)求证：，其中为自然对数的底数.【答案】(1) (2)见解析【解析】试题分析：(1) 由得，有两个极值点，即方程有两解，即的图象与直线有两个公共点，利用导数研究函数的单调性，结合函数图象即可求得实数的取值范围；(2) ∵，∴，故只需证明：，等价于，不妨设，并令，，利用导数可证明，从而可得结果.试题解析：(1)由得，记，则，当时，，当时，，∴在上递增，在上递减，又，时，，时，，由题，有两个极值点，即方程有两解，即的图象与直线有两个公共点，故.(2)∵，∴，故只需证明：，由，作差得：，因此，，不妨设，并令，，则，∴在上单调递减，，即，即成立，于是原命题得证.22. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)，其中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是，为曲线与的交点.(1)当时，求点的极径；(2)点在线段上，且满足，求点的轨迹的直角坐标方程.【答案】(1) (2)【解析】试题分析：(1) 先求得曲线的极坐标方程是，当时，联立方程组，解得，从而可得点的极径；(2) 点，，由题意可得，，进而可得，两边同乘以，利用即可得点的轨迹的直角坐标方程.试题解析：(1)由题意可知，曲线的极坐标方程是，当时，联立方程组，解得，故点的极径为.(2)在极坐标系中，设点，，由题意可得，，进而可得，从而点的轨迹的直角坐标方程为.23. 已知函数，其中.(1)当时，求不等式的解集；(2)设函数，当时，，求的取值范围.【答案】(1) (2)【解析】试题分析：(1) 当时，解不等式，对分三种情况讨论，分别求解不等式组，然后求并集即可得结果；(2) 当时，等价于恒成立；当时，等价于恒成立；当时，等价于，三种情况求解，再求并集即可得的取值范围.试题解析：(1)当时，，解不等式，时；时，；不等式总成立，所以得，所以，的解集为.(2)当时，，所以①当时，等价于恒成立，所以；②当时，等价于恒成立，所以；③当时，等价于，此时恒成立，所以；综上可得，.。

A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件5. 设 命题 （ _______ ），命题，则 是 成立的2019 届四川绵阳市高三一诊考试数学（理）试卷【含答案及解析】姓名 __________ 班级 ____________ 分数 _________一、选择题1. 已知集合 ， ，则（ _______ ）A ． ________________B ． ________________C ． ________________D ．，则 为（ ____________3. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的一部数学专著，书中有如下问题：今有女子 善织，日增等尺，七日织二十八尺，第二日、第五日、第八日所织之和为十五尺，则第九 日所织尺数为 （ ____________ ）A ． 8 ________B ．9 ______________C ．10 _________D ． 114. 若实数 满足 ，则 的最大值为（ ______________________________________ ）A ． _____________B ． ___________C ． _____________D ．2. 已知命题 A ． C ．B ． _________________________________D ．C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6. 2016 年国庆节期间，绵阳市某大型商场举行“购物送券”活动. 一名顾客计划到该商场购物，他有三张商场的优惠券，商场规定每购买一件商品只能使用一张优惠券 . 根据购 买商品的标价，三张优惠券的优惠方式不同，具体如下：优惠券 ：若商品标价超过 100 元，则付款时减免标价的 10%； 优惠券 ：若商品标价超过200 元，则付款时减免 30 元；优惠券 ：若商品标价超过 200 元，则付款时减免超过 200 元部分的 20%. 若顾客想使用优惠券 ，并希望比使用优惠券 或 减免的钱款都多，则他购买 的商品的标价应高于（ ）A ．300元B ．400元C ．500 元D ．600 元7. 要得到函数 的图象，可将 的图象向左平移 ( _________ )A ． 个单位 ____ B ．个单位 ____ ____ C ．个单位D ． 个单位8. 已知 ， ，则（ _______________________________________________ ） A ． ____________________________________________ B ． C ． _____________________________ D ．9. 已知定义在 上的函数 满足 ，当 时，，设 在 上的最大值为 ，则（ _______ ）A ．_______B ． ________C ．_______________ D ．10. 在 中，，，，则 的角平分线的长为（ ______ _ )A ．______ B ． _______________C ．_________ D ．11. 如图，矩形中，，，是对角线上一点，，过点的直线分别交的延长线，, 于. 若，则的最小值是（D．12. 若函数的图象恒在轴上方，则实数的取值范围是（）A ． ________________________B ．___________________C．_______________________ D．二、填空题13. 若向量，，满足条件与垂直，则 .14. 在公差不为0 的等差数列中，，且为和的等比中项，则.15. 函数的图象在点处的切线与直线平行，则的极值点是___________________ .16. 是定义在上的偶函数，且时，. 若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是三、解答题的图象（部分）如图所示1）求函数的解析式；____________________若，且，求.18. 设数列的前项和为，已知.（1）求数列的通项公式；（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围19. 在中，角所对的边分别为，已知，，为的外接圆圆心.（1 ）若，求的面积；（2）若点为边上的任意一点，，求的值.20. 已知函数.（1）判断在区间上的零点个数，并证明你的结论；（参考数据：，）（2）若存在，使得成立，求实数的取值范围.21. 已知函数，.（1）讨论的单调区间；（2）若，且对于任意的，恒成立，求实数的取值范围 .22. 选修 4-4 ：坐标系与参数方程以直角坐标系的原点 为极点， 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 的极坐标方程为 .（1 ）求曲线的直角坐标方程；2 ）若直线 的参数方程为 （ 为参数），设点 ，直线与曲线 相交于 两点，求 的值 .23.选修 4-5 ：不等式选讲 已知函数 . （1）若 ，求不等式 的解集； （2）若方程 有三个实数根，求实数参考答案及解析第 1 题【答案】第 2 题【答案】 第3 题【答案】的取值范围第4 题【答案】第5 题【答案】第6 题【答案】第7 题【答案】第8 题【答案】第9 题【答案】第 10 题【答案】第 11 题【答案】第 12 题【答案】第 13 题【答案】第14 题【答案】第15 题【答案】第16 题【答案】第17 题【答案】第18 题【答案】4, 5时，⅛,1-⅛≡⅛≠>0 , .∖b 1<b 2<b 3<b i <b..…时，仏♦】_耳.i ；”/",即s>s>2>∙∙∙ •氐右5・右，・•・％的最大值罡4・右•••实数k 的取值范围是哈÷∞)<1)d”"F <2) ⅛ +«> 64【解析】试题分析：⑴由和项求通项，娶注意分类讨论：当时，q Y ；当时，q=Sj 解得 厲・1 ；当沦2时，化简得乙・加1 ；最后根擄等比囁列定义判断数列S ｝为等比 数列，并求岀等比数列通项⑵先化简不等式，并变量分鳶得& 2??-9 2“ 转化为对应函数最值冋题，即& 的最大值，而对数列最值问題，一般先利用相邻两项关系确定 ,而不等式恒成立问题一般 2R 其增减性：令,则乩］一4・巧 乎 A* 性得最值取法：⅛的最大值是S-右- 2Λ力-7 ” ° '护，所以数列先増后减，最后根据増减 试題解析：⑴令Xh S 1=2β1-l = α1，解得^1≡1 .由丘■込-L ,有 h∙]∙2%]-l 两式相减得a n ≈2a n -2⅛.1，化简得6 =込* (於2〉；Λ数列◎｝是以首项为1,公比为2的等比数列,•••数列｛耳｝的通项公式4 = 2心. ⑵由⅛(⅝ ÷1)刁2“-9 ,整理得k 兴 2??-9 2n- 令‘亦9 2〃 、则hZ≡l --■-y÷Γ3, 8,第19 题【答案】【解析】 试題分析；⑴ 根据三角形面积公式S iWC = UCSmJ ,只需由COSzi =半求SZ ,这只需根据同 角三角函数关系及三角形内角范圉可求，（2）相抿向量减法由而-鬲=；忑十丄疋 得 3 4AO^I AB^-AC ,再根据向量投∖AC AO^-AC ,因此由 3 4 22 \_ S 试题解析；⑴由∞s ^-∣得Sin/■扌一 55 I ∙ I • 1 ■ • 1 I • ■ • 1 ■ • 1 I •⑵宙 DO∙ DA ∙-AB -AC ,可得 AOm-AB^-AC , 3 4 3 4 于是AO AO--AB AO^-AC AO ,又0为A ABC 的的外接圆圆心，则Ad CoS ∆OAC =IPCl ,②解得 J□≡2√10 .由正弦定理得朽"2”卜4帀，可解得讪 2√5T"Ad Ad^^AB Ad^丄疋 帀 得 Ad^- AB 3 46 I . R b b ，即2√io ,最后根据正弦定理即AOI •血 AO CoS ΔOAB ÷£ JCI- p<>∣cos ZalC , (T)将①代入②得到AO'・1 ABO JC ： 飞xl44苛xl28 -24÷16≡40第20 题【答案】(1)育且只有1个零点(2) k<-【解析】试题分析：(1)判定函数雲点个数从两个方面，_是函對单调性，二是函数零点存在定理，先求函数 ⅛g⅞/Xr) = Xcosr ,确走函数在(2, 3)上是减函数，即函数在⑵3)上至多一个雾点.再研究区间端 ∙t⅛函叢勺值的符号：/(2) ■ 2SIn2 ÷cos 2■ sin 2÷COS2sin2■ -JΣsin(2∙γ)sin 2 >0 J /(3)-3gnι3÷cos3<0 ,由零点存在性走理；得函数在⑵3)上至少一个零点，综上可得函数在(2, 3)上有且仅有一个雾点(2)先将不等式娈量分离得：^r<-,再根据不等式有解问题转化为对 X应函数最值：/：<— 的最大值，然后利用导数求M∕∕(x)≡- 在"GG )上最大值才 X4 2 ⅛⅛g 解析：⑴/'(x)=≡smx 十XCoSH-SmT = TCOSX 、.∙ju(2∙ 3)时，Γ(x)-^cosx <0 ,.I 国数/0)在(2, 3)上是减函数.又,f(2) - 2sin2 -hcos 2 - sin 2 ÷cos 2+ bin 2 -√2 sin(2+-y) ÷ bin 2 >0 ,.∖ ∕0)≡ 3sin3 + cos3 <0 ,由零点存在性定理，J r O)在区间⑵3)上只有1个零点・ZS 十、SmX E Λ cosX-SinX ⅛Λ(>)≡-,则λ W ≡——F ——〉令 g(x) = KCOSX-SiIIX , ^,(x) =-XSinx <0 ，•■吃(x)在―)上单调递尿，•■- f(^)< g(~) = × (―-1)< 0 , gp^(-v) = XCOSΛ-SIIIKO ,∙.∙3W5m 誓J l nF3$吩专"X 逅杏 a 0.75 ；〜 l ∖τr Tr CoS 3 V CQS ——■ -Co$ —— 12 12(2)由题意等价于V Sin X 十COS X >心g,整理得Z 晋第21 题【答案】(1)心0时，/(A)的单WigEfBffi(O^∞) ； XO时，Z(X)的单调递増区间罡(O・FJ)5单调递减区间杲(匸二,÷°o) . (2) ・V 2a €【解析】试题分析：CD先求函数导数/X-V)■丄42E-迴N ,再讨论导函数霍点与符号变化规律X X:心0时，∕,(v)>0 J /(X)在(0.÷∞)上单调递増，"时，一个零点一任,分两个区间'单调递减区间是⑵先化简不等式：,先増后减，即増区间是9, FJ)-e)-lnτ-χ-÷l>O ,再变量分离轻化为求对应函数最值：TZ的最大值，利用导数€ — G求函数T ■巴M二最值，但这样方法要用到洛必达法则，所以直接/Cv) =x i ÷1单调性及最值，先求导数F(X” w∕-l-2χ ,再研究导函数符号变化规律:当mWO时，导函数非正，所以丿心)在⑴÷∞)上单调遑减，注竜到Hl)-O , <h(D= 0,不满足条件•当QO时,讨论P(X)-^-1, }-2x大小关系，即确定导函数符号规律，注意到W)≡0X,P(Q金)皆为单调递増函数，所^Al),从而导函数符号为正，即满足条件QI ^∕7Y* ⅛∙ 1试题解析:(l)Γω = i÷2αr=-——,X X①GO时,rω>o, /(X)在(0, +8)上单调递增.②XO时，由∕,<λ-) >0可解得OVX<J_£ ,由/(Λ∙)< 0可解得Q fζ ,综上，必0时，∕α)的单调递増区间是(0，+B) JXO时，/(X)的单调递増区间是(0,乓)；单调递减区间是÷x) . ∙∙∙4分(2)7Wf(x)>/(x)rn(e r -¢)-InX-J2 ÷l>0 ,令Λ(Λ)≡∕w(e x-β)-lnx-x2 + 1 、则X(X)= ZMe r---2A-,令"⑴=0,即We-3 = 0 、可解得J ll=3 .第22 题【答案】第23 题【答案】(1) [--» +8) (2> -l<d<l【解析】试题分析：⑴ 根据绝对值走X,将不等式转化为三个不等式组，最后求它们解集的并集得原不等式解集⑵ 将方程转化为对应函数—X讣-II-W十1|,再根抿绝对值定义将其桔化为分段函魏兀十2, Xe-I“一卜TlT"1卜UMl最后结合分段函数图像确走实数口的取值范围・X-2> X >1»趣解析；⑴,.,α = l 时，/W = μ∙÷l∣-∣.v-l∣÷l ,・•.当XW-I时J ∕ω--ι,不可能非负.当-1<I<1 时，J rω- 2x÷l ,由/(刃 K可解⅛χ⅛-i J于1-1 Wa3 χ> IB寸，∕ω-3〉0恒成立..∙.不等式/⑴ 刁O的解集卜* ÷∞)⑵由方程/(χ)∙χ可变形为II-卜+1|・∖÷ 2∙ x< -L∙^∙Λ(x) = X +1X-Il-IX-r 1| = < -x∙ -l<r ≤bx-2∙ x>b作出图象如下•于是由题意可得-Ivxl •。