北京市崇文区2021届新高考数学四模试卷含解析

北京市崇文区2021届新高考数学最后模拟卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{}2lgsin 9A x y x x ==+-，则()cos22sin f x x x x A =+∈，的值域为（ ） A ．31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．11,2⎛⎤- ⎥⎝⎦D ．2,2⎛⎫⎪⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】先求出集合(]0,3A =，化简()f x =22sin 2sin 1x x -++，令sin x t =(]0,1∈，得()2221g t t t =-++由二次函数的性质即可得值域. 【详解】由2sin 00390x x x >⎧⇒<≤⎨-≥⎩，得(]0,3A = ，()cos22sin f x x x =+=-22sin 2sin 1x x ++，令sin x t =， (]0,3x ∈，(]0,1t ∴∈，所以得()2221g t t t =-++ ，()g t 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ 上递增，在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上递减，()1311,22g g ⎛⎫== ⎪⎝⎭ ，所以()31,2g t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，即 ()f x 的值域为31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦故选A 【点睛】本题考查了二次不等式的解法、二次函数最值的求法，换元法要注意新变量的范围，属于中档题 2．洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源，在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上心有此图象，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数．如图，若从四个阴数和五个阳数中分别随机选取1个数，则其和等于11的概率是（ ）．A ．15B ．25C ．310D ．14【答案】A 【解析】 【分析】基本事件总数4520n =⨯=，利用列举法求出其和等于11包含的基本事件有4个，由此能求出其和等于11的概率． 【详解】解：从四个阴数和五个阳数中分别随机选取1个数， 基本事件总数4520n =⨯=，其和等于11包含的基本事件有：(9,2)，(3,8)，(7,4)，(5,6)，共4个，∴其和等于11的概率41205p ==． 故选：A ． 【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题． 3．函数cos ()cos x xf x x x+=-在[2,2]ππ-的图象大致为A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】因为(0)1f =，所以排除C 、D ．当x 从负方向趋近于0时，0cos cos x x x x <+<-，可得0()1<<f x .故选A ．4．已知直线l ：210y x =+过双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一个焦点且与其中一条渐近线平行，则双曲线的方程为（ ）A ．221520x y -=B ．221205x y -=C ．221169x y -= D ．221916x y -=【答案】A 【解析】 【分析】根据直线l ：210y x =+过双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一个焦点，得5c =，又和其中一条渐近线平行，得到2b a =，再求双曲线方程. 【详解】因为直线l ：210y x =+过双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一个焦点，所以()5,0F -，所以5c =， 又和其中一条渐近线平行， 所以2b a =，所以25a =，220b =，所以双曲线方程为221520x y -=.故选：A. 【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质，还考查了运算求解的能力，属于基础题.5．若x ，y 满足约束条件103020x y x y x +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪+≥⎩，则22x y +的最大值是（ ）A ．92B．2C ．13D【答案】C 【解析】 【分析】由已知画出可行域，利用目标函数的几何意义求最大值． 【详解】 解：22xy +表示可行域内的点(,)x y 到坐标原点的距离的平方，画出不等式组表示的可行域，如图，由1020x y x +-=⎧⎨+=⎩解得32y x =⎧⎨=-⎩即()2,3A -点()2,3A -到坐标原点(0,0)的距离最大，即2222()(2)313max x y +=-+=． 故选：C ． 【点睛】本题考查线性规划问题，考查数形结合的数学思想以及运算求解能力，属于基础题． 6．已知在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若函数()3222111()324f x x bx a c ac x =+++-存在极值，则角B 的取值范围是（ ） A ．0,3π⎛⎫⎪⎝⎭B ．,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭ C ．,3π⎛⎫π⎪⎝⎭D ．,6π⎛⎫π⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】求出导函数()f x '，由()0f x '=有不等的两实根，即>0∆可得不等关系，然后由余弦定理可及余弦函数性质可得结论． 【详解】()3222111()324f x x bx a c ac x =+++-，()2221()4f x x bx a c ac '∴=+++-.若()f x 存在极值，则()2221404b ac ac -⨯⨯+->，222a c b ac ∴+-<又2221cos ,cos 22a cb B B ac +-=∴<.又()0,,3B B π∈π∴<<π． 故选：C ． 【点睛】本题考查导数与极值，考查余弦定理．掌握极值存在的条件是解题关键． 7．下列函数中，既是奇函数，又是R 上的单调函数的是( ) A ．()()ln 1f x x =+B ．()1f x x -=C ．()()()222,02,0x x x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨-+<⎪⎩D ．()()()()2,00,01,02x xx f x x x ⎧<⎪⎪⎪==⎨⎪⎛⎫⎪-> ⎪⎪⎝⎭⎩【答案】C 【解析】 【分析】对选项逐个验证即得答案. 【详解】对于A ，()()()()ln 1ln 1f x x x f x -=-+=+=，()f x ∴是偶函数，故选项A 错误； 对于B ，()11x xf x-==，定义域为{}0x x ≠，在R 上不是单调函数，故选项B 错误； 对于C ，当0x >时，()()()()()2220,222x f x x x x x x x f x -<∴-=--+-=--=-+=-；当0x <时，()()()()()2220,222x f x x x x x x x f x ->∴-=-+-=-=--+=-；又0x =时，()()000f f -=-=.综上，对x ∈R ，都有()()f x f x -=-，()f x ∴是奇函数.又0x ≥时，()()22211f x x x x =+=+-是开口向上的抛物线，对称轴1x =-，()f x ∴在[)0,+∞上单调递增，()f x 是奇函数，()f x ∴在R 上是单调递增函数，故选项C 正确；对于D ，()f x 在(),0-∞上单调递增，在()0,∞+上单调递增，但()()111122f f -=>=-，()f x ∴在R 上不是单调函数，故选项D 错误.故选：C . 【点睛】本题考查函数的基本性质，属于基础题.8．设x ，y 满足约束条件34100640280x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩，则2z x y =+的最大值是（ ）A ．4B ．6C ．8D ．10【答案】D 【解析】 【分析】作出不等式对应的平面区域，由目标函数的几何意义，通过平移即可求z 的最大值．【详解】作出不等式组的可行域，如图阴影部分，作直线0l ：20x y +=在可行域内平移当过点A 时，2z x y =+取得最大值.由34100280x y x y -+≥⎧⎨+-≤⎩得：()2,4A ，max 10z ∴= 故选：D 【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法，属于基础题. 9．等比数列{}n a 中，11,28a q ==，则4a 与8a 的等比中项是（ ） A ．±4 B ．4C ．14±D ．14【答案】A 【解析】 【分析】利用等比数列{}n a 的性质可得2648a a a ＝ ，即可得出．【详解】设4a 与8a 的等比中项是x ．由等比数列{}n a 的性质可得2648a a a ＝，6x a ∴=± ．∴4a 与8a 的等比中项561248x a =±=±⨯=±． 故选A ． 【点睛】本题考查了等比中项的求法，属于基础题．10．已知函数2()ln f x ax x x =-+有两个不同的极值点1x ，2x ，若不等式()()()12122f x f x x x t+>++有解，则t 的取值范围是（ ） A ．(,2ln 2)-∞- B ．(],2ln 2-∞- C ．(,112ln 2)-∞-+ D ．(],112ln 2-∞-+【答案】C 【解析】 【分析】先求导得221()ax x f x x -+='（0x >），由于函数()f x 有两个不同的极值点1x ，2x ，转化为方程2210ax x -+=有两个不相等的正实数根，根据∆，12x x +，12x x ⋅，求出a 的取值范围，而()()()12122f x f x x x t +>++有解，通过分裂参数法和构造新函数51()1ln(2)048h a a a a ⎛⎫=---<< ⎪⎝⎭，通过利用导数研究()h a 单调性、最值，即可得出t 的取值范围. 【详解】由题可得：221()ax x f x x-+='（0x >），因为函数2()ln f x ax x x =-+有两个不同的极值点1x ，2x ， 所以方程2210ax x -+=有两个不相等的正实数根，于是有1212180,10,210,2a x x a x x a ⎧⎪∆=->⎪⎪+=>⎨⎪⎪=>⎪⎩解得108a <<. 若不等式()()()12122f x f x x x t +>++有解， 所以()()()1212max 2t f x f x x x <+-+⎡⎤⎣⎦因为()()()12122f x f x x x +-+()2211122212ln ln 2ax x x ax x x x x =-++-+-+()()()21212121223ln a x x x x x x x x ⎡⎤=+--++⎣⎦51ln(2)4a a=---.设51()1ln(2)048h a a a a ⎛⎫=---<< ⎪⎝⎭， 254()04a h a a -'=>，故()h a 在10,8⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，故1()112ln 28h a h ⎛⎫<=-+ ⎪⎝⎭， 所以112ln 2t <-+，所以t 的取值范围是(,112ln 2)-∞-+. 故选：C. 【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性、最值来求参数取值范围，以及运用分离参数法和构造函数法，还考查分析和计算能力，有一定的难度. 11．函数()1ln 1y x x=-+的图象大致为( ) A ． B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】确定函数在定义域内的单调性，计算1x =时的函数值可排除三个选项． 【详解】0x >时，函数为减函数，排除B ，10x -<<时，函数也是减函数，排除D ，又1x =时，1ln 20y =->，排除C ，只有A 可满足． 故选：A. 【点睛】本题考查由函数解析式选择函数图象，可通过解析式研究函数的性质，如奇偶性、单调性、对称性等等排除，可通过特殊的函数值，函数值的正负，函数值的变化趋势排除，最后剩下的一个即为正确选项． 12．在菱形ABCD 中，4AC =，2BD =，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，则DE DF ⋅=（ ） A ．134-B ．54C ．5D ．154【答案】B 【解析】 【分析】据题意以菱形对角线交点O 为坐标原点建立平面直角坐标系，用坐标表示出,DE DF ，再根据坐标形式下向量的数量积运算计算出结果. 【详解】设AC 与BD 交于点O ，以O 为原点，BD 的方向为x 轴，CA 的方向为y 轴，建立直角坐标系，则1,12E ⎛⎫-⎪⎝⎭，1,12F ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，(1,0)D ，3,12DE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，3,12DF ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， 所以95144DE DF ⋅=-=. 故选：B. 【点睛】本题考查建立平面直角坐标系解决向量的数量积问题，难度一般.长方形、正方形、菱形中的向量数量积问题，如果直接计算较麻烦可考虑用建系的方法求解. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

北京市崇文区2021届新高考数学考前模拟卷（2）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤；斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何?”意思是：“现在有一根金箠， 长五尺在粗的一端截下一尺，重4斤；在细的一端截下一尺，重2斤，问各尺依次重多少?”按这一问题的颗设，假设金箠由粗到细各尺重量依次成等差数列，则从粗端开始的第二尺的重量是（ ） A ．73斤 B ．72斤 C ．52斤 D ．3斤【答案】B 【解析】 【分析】依题意，金箠由粗到细各尺重量构成一个等差数列，14a =则52a =，由此利用等差数列性质求出结果． 【详解】设金箠由粗到细各尺重量依次所成得等差数列为{}n a ，设首项14a =，则52a =，∴公差5124151512a a d --===---，2172a a d ∴=+=. 故选B 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．设x 、y 、z 是空间中不同的直线或平面，对下列四种情形：①x 、y 、z 均为直线；②x 、y 是直线，z 是平面；③z 是直线，x 、y 是平面；④x 、y 、z 均为平面.其中使“x z ⊥且y z x y ⊥⇒∥”为真命题的是（ ） A ．③④ B ．①③C ．②③D ．①②【答案】C 【解析】 【分析】①举反例，如直线x 、y 、z 位于正方体的三条共点棱时②用垂直于同一平面的两直线平行判断.③用垂直于同一直线的两平面平行判断.④举例，如x 、y 、z 位于正方体的三个共点侧面时. 【详解】①当直线x 、y 、z 位于正方体的三条共点棱时,不正确； ②因为垂直于同一平面的两直线平行,正确； ③因为垂直于同一直线的两平面平行,正确； ④如x 、y 、z 位于正方体的三个共点侧面时, 不正确.故选:C. 【点睛】此题考查立体几何中线面关系，选择题一般可通过特殊值法进行排除，属于简单题目.3．在三棱锥D ABC -中，1AB BC CD DA ====，且,,,AB BC CD DA M N ⊥⊥分别是棱BC ，CD 的中点，下面四个结论： ①AC BD ⊥； ②//MN 平面ABD ；③三棱锥A CMN -的体积的最大值为12； ④AD 与BC 一定不垂直.其中所有正确命题的序号是（ ） A ．①②③ B ．②③④C ．①④D ．①②④【答案】D 【解析】 【分析】①通过证明AC ⊥平面OBD ，证得AC BD ⊥；②通过证明//MN BD ，证得//MN 平面ABD ；③求得三棱锥A CMN -体积的最大值，由此判断③的正确性；④利用反证法证得AD 与BC 一定不垂直. 【详解】设AC 的中点为O ，连接,OB OD ，则AC OB ⊥，AC OD ⊥，又OBOD O =，所以AC ⊥平面OBD ，所以AC BD ⊥，故①正确；因为//MN BD ，所以//MN 平面ABD ，故②正确；当平面DAC 与平面ABC垂直时，A CMN V -最大，最大值为1134A CMN N ACM V V --=⨯==AD 与BC 垂直，又因为AB BC ⊥，所以BC ⊥平面ABD ，所以BC BD ⊥，又BD AC ⊥，所以BD ⊥平面ABC ，所以BD OB ⊥，因为OB OD =，所以显然BD 与OB 不可能垂直，故④正确.故选：D【点睛】本小题主要考查空间线线垂直、线面平行、几何体体积有关命题真假性的判断，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.4．如图，平面四边形ACBD 中，AB BC ⊥，AB DA ⊥，1AB AD ==，2BC =，现将ABD △沿AB 翻折，使点D 移动至点P ，且PA AC ⊥，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为（ ）A ．8πB ．6πC ．4πD 82【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得PA ⊥面ABC ，可知PA BC ⊥，因为AB BC ⊥，则BC ⊥面PAB ，于是BC PB ⊥.由此推出三棱锥P ABC -外接球球心是PC 的中点，进而算出2CP =，外接球半径为1，得出结果. 【详解】解：由DA AB ⊥，翻折后得到PA AB ⊥，又PA AC ⊥， 则PA ⊥面ABC ，可知PA BC ⊥．又因为AB BC ⊥，则BC ⊥面PAB ，于是BC PB ⊥， 因此三棱锥P ABC -外接球球心是PC 的中点．计算可知2CP =，则外接球半径为1，从而外接球表面积为4π．故选：C. 【点睛】本题主要考查简单的几何体、球的表面积等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力及创新意识，属于中档题．5．执行如图所示的程序框图，若输入的3t =，则输出的i =( )A ．9B ．31C ．15D ．63【答案】B 【解析】 【分析】根据程序框图中的循环结构的运算，直至满足条件退出循环体，即可得出结果. 【详解】执行程序框3,t =0i =；8,t =1i =；23,t =3i =；68,t =7i =；203,t =15i =；608,t =31i =，满足606t >，退出循环，因此输出31i =， 故选:B. 【点睛】本题考查循环结构输出结果，模拟程序运行是解题的关键，属于基础题. 6．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知23C π=，1c =．当,a b 变化时，若z b a λ=+存在最大值，则正数λ的取值范围为 A ．(0,1) B ．(0,2) C ．1(,2)2D ．(1,3)【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】 因为23C π=，1c =，所以根据正弦定理可得sin sin sin a b c A B C ===，所以a A =，b B =，所以sin()])sin32z b a B A B B B λλλπ=+==+-=-+])B B φ=+，其中tan φ=，03B π<<， 因为z b a λ=+存在最大值，所以由2,2B k k φπ+=+π∈Z ，可得22,62k k k φπππ+<<π+∈Z ，所以tan φ>>，解得122λ<<，所以正数λ的取值范围为1(,2)2，故选C ． 7．若非零实数a 、b 满足23a b =，则下列式子一定正确的是（ ） A ．b a > B ．b a < C ．b a < D ．b a >【答案】C 【解析】 【分析】令23a b t ==，则0t >，1t ≠，将指数式化成对数式得a 、b 后，然后取绝对值作差比较可得． 【详解】令23abt ==，则0t >，1t ≠，2lg log lg 2t a t ∴==，3lg log lg 3tb t ==， ()lg lg lg lg 3lg 20lg 2lg 3lg 2lg 3t t t a b -∴-=-=>⋅，因此，a b >.故选：C. 【点睛】本题考查了利用作差法比较大小，同时也考查了指数式与对数式的转化，考查推理能力，属于中等题． 8．已知角α的终边经过点P(00sin 47,cos 47)，则sin(013α-)= A ．12B．C ．12-D． 【答案】A 【解析】 【详解】由题意可得三角函数的定义可知：22cos 47sin cos 47sin 47cos 47α==+，22sin 47cos sin 47sin 47cos 47α==+，则： ()()sin 13sin cos13cos sin13cos 47cos13sin 47sin131cos 4713cos 60.2ααα-=-=-=+==本题选择A 选项.9．已知定义在[)0,+∞上的函数()f x 满足1()(2)2f x f x =+，且当[)0,2x ∈时，2()2f x x x =-+.设()f x 在[)22,2n n -上的最大值为n a （*n N ∈），且数列{}n a 的前n 项的和为n S .若对于任意正整数n 不等式()129n k S n +≥-恒成立，则实数k 的取值范围为（ ） A ．[)0,+∞ B ．1,32⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．3,64⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．7,64⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】 C 【解析】 【分析】由已知先求出1max ()2n f x -=，即12n n a ，进一步可得21n n S =-，再将所求问题转化为292nn k -≥对于任意正整数n 恒成立，设n c =292nn -，只需找到数列{}n c 的最大值即可. 【详解】当222n x n -≤<时，则0222x n ≤+-<，(22)(22)(2)f x n x n x n +-=-+--， 所以，11()2[2(1)]2n n f x f x n --=--=-(22)(2)x n x n +--，显然当21x n =-时，1max ()2n f x -=，故12n na ，1(12)2112n n n S ⨯-==--，若对于任意正整数n 不等式()129n k S n +≥-恒成立，即229n k n ≥-对于任意正整数n 恒成立，即292nn k -≥对于任 意正整数n 恒成立，设n c =292n n -，111122n nn n c c ++--=，令111202n n +->，解得112n <， 令111202n n +-<，解得112n >，考虑到*n N ∈，故有当5n ≤时，{}n c 单调递增， 当6n ≥时，有{}n c 单调递减，故数列{}n c 的最大值为6633264c ==，所以364k ≥. 故选：C. 【点睛】本题考查数列中的不等式恒成立问题，涉及到求函数解析、等比数列前n 项和、数列单调性的判断等知识，是一道较为综合的数列题.10．设()ln f x x =，若函数()()g x f x ax =-在区间()20,e上有三个零点，则实数a 的取值范围是( ) A ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．211,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．222,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．221,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】令()()0g x f x ax =-=，可得()f x ax =.在坐标系内画出函数()ln f x x =的图象（如图所示）.当1x >时，()ln f x x =.由ln y x =得1y x'=. 设过原点的直线y ax =与函数y x ln =的图象切于点00(,ln )A x x ，则有000ln 1x ax a x =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得01x e a e =⎧⎪⎨=⎪⎩. 所以当直线y ax =与函数y x ln =的图象切时1a e=. 又当直线y ax =经过点()2B ,2e 时，有22a e =⋅，解得22a e =.结合图象可得当直线y ax =与函数()ln f x x =的图象有3个交点时，实数a 的取值范围是221,e e ⎛⎫⎪⎝⎭. 即函数()()g x f x ax =-在区间()20,e上有三个零点时，实数a 的取值范围是221,e e ⎛⎫⎪⎝⎭.选D.点睛：已知函数零点的个数（方程根的个数）求参数值（取值范围）的方法 (1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解，对于一些比较复杂的函数的零点问题常用此方法求解. 11．若,x y 满足约束条件02636x y x y ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩，则2z x y =+的最大值为（ ）A ．10B ．8C ．5D ．3【答案】D 【解析】 【分析】画出可行域,将2z x y =+化为122zy x =-+,通过平移12y x =-即可判断出最优解,代入到目标函数,即可求出最值. 【详解】 解:由约束条件02636x y x y ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩作出可行域如图,化目标函数2z x y +＝为直线方程的斜截式,122zy x =-+.由图可知 当直线122zy x =-+过()3,0A 时,直线在y 轴上的截距最大,z 有最大值为3. 故选:D. 【点睛】本题考查了线性规划问题.一般第一步画出可行域,然后将目标函数转化为y ax bz =+ 的形式,在可行域内通过平移y ax =找到最优解,将最优解带回到目标函数即可求出最值.注意画可行域时,边界线的虚实问题. 12．已知直线y=k(x+1)(k>0)与抛物线C 2:4y x =相交于A ，B 两点，F 为C 的焦点，若|FA|=2|FB|，则|FA| =（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】C 【解析】 【分析】方法一：设(1,0)P -，利用抛物线的定义判断出B 是AP 的中点，结合等腰三角形的性质求得B 点的横坐标，根据抛物线的定义求得||FB ，进而求得FA .方法二：设出,A B 两点的横坐标,A B x x ，由抛物线的定义，结合||2||FA FB =求得,A B x x 的关系式，联立直线()1y k x =+的方程和抛物线方程，写出韦达定理，由此求得A x ，进而求得FA . 【详解】方法一：由题意得抛物线24y x =的准线方程为:1l x =-，直线(1)y k x =+恒过定点(1,0)P -，过,A B 分别作AM l ⊥于M ，BN l ⊥于N ，连接OB ，由||2||FA FB =，则||2||AM BN =，所以点B 为AP 的中点，又点O 是PF 的中点， 则1||||2OB AF =，所以||||OB BF =，又||1OF = 所以由等腰三角形三线合一得点B 的横坐标为12， 所以13||122FB =+=，所以||2||3FA FB ==．方法二：抛物线24y x =的准线方程为:1l x =-，直线(1)y k x =+ 由题意设,A B 两点横坐标分别为,(,)0A B A B x x x x >， 则由抛物线定义得||1,||1A B FA x FB x =+=+又||2||,12(1)21A B A B FA FB x x x x =∴+=+⇒=+ ①222224(24)01(1)A B y xk x k x k x x y k x ⎧=⇒+-+=⇒⋅=⎨=+⎩ ② 由①②得220,2,||13A A A A x x x FA x --=∴==+=.故选：C 【点睛】本小题主要考查抛物线的定义，考查直线和抛物线的位置关系，属于中档题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2021年北京市高考数学模拟试卷（四）一、单项选择题（本大题共27小题，共81.0分）1. 设集合P ={x|x 2=1}，则集合P 的非空真子集的个数是( )A. 2B. 3C. 7D. 82. 函数f(x)=11−x +lg(1+x)的定义域是( )A. (−∞,−1)B. (1,+∞)C. (−1,1)∪(1,+∞)D. (−∞,+∞)3. 已知ln2=a ，ln3=b ，那么log 32用含a ，b 的代数式表示为( )A. a +bB. a −bC. abD. ab4. 如图，在△ABC 中，D ，E ，F 分别为线段BC ，AD ，BE 的中点，则AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 18AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +58AC ⃗⃗⃗⃗⃗ B. 58AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −18AC ⃗⃗⃗⃗⃗ C. 18AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −58AC ⃗⃗⃗⃗⃗ D. 58AB ⃗⃗⃗⃗⃗+18AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 5. 直线3x +√3y +1=0的倾斜角是( )A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°6. 把函数y =sin(x +π6)图象上各点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，再将图象向右平移π3个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为( )A. x =−π2B. x =−π4C. x =π8D. x =π47. 已知角α的终边经过点P(−4m,3m)(m ≠0)，则2sinα+cosα的值是( )A. 1或−1B. 25或−25C. 1或−25D. −1或258. 下列关于棱柱的说法中，错误的是( )A. 三棱柱的底面为三角形B. 一个棱柱至少有五个面C. 五棱柱有5条侧棱、5个侧面，侧面为平行四边形D. 若棱柱的底面边长相等，则它的各个侧面全等9.两直线3x+y−3=0与6x+my+1=0平行，则它们之间的距离为()A. 4B. 213√13 C. 526√13 D. 720√1010.已知圆C1：(x−4)2+y2=25，圆C2：(x+4)2+y2=1，动圆M与C1，C2都外切，则动圆圆心M的轨迹方程为()A. x24−y212=1(x<0) B. x24−y212=1(x>0)C. x23−y25=1(x<0) D. x23−y25=1(x>0)11.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E、F，且EF=12，则下列结论中正确的是()A. 线段B1D1上存在点E、F使得AE//BFB. EF//平面ABCDC. △AEF的面积与△BEF的面积相等D. 三棱锥A−BEF的体积不为定值12.已知平面α与β互相垂直，α与β交于l，m和n分别是平面α，β上的直线.若m，n均与l既不平行.也不垂直，则m与n的位置关系是()A. 可能垂直，但不可能平行B. 可能平行，但不可能垂直C. 可能垂直，也可能平行D. 既不可能垂直，也不可能平行13.sin300°的值为()A. −12B. 12C. −√32D. √3214.已知向量a⃗，b⃗ 满足a⃗=(1,2)，b⃗ =(2,0)，则2a⃗+b⃗ =()A. (4,4)B. (2,4)C. (2,2)D. (3,2)15.已知直线a、b与平面α、β、γ，下列条件中能推出α//β的是()A. a⊥α且a⊥βB. α⊥γ且β⊥γC. a⊂α，b⊂β，a//bD. a⊂α，b⊂α，a//β，b//β16.若0<b<a<1，c>1，则()A. a c<b cB. ab c<ba cC. log a c>log b cD. alog a c>17.定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意的实数x都有f(1−x)=f(x+1)，且f(−1)=2，f(0)=−1，则f(1)+f(2)+f(3)+⋯+f(2017)+f(2018)+f(2019)的值为()A. 2018B. 1011C. 1010D. 201918.设e1⃗⃗⃗ ，e2⃗⃗⃗ 是平面内一组基底，若λ1e1⃗⃗⃗ +e2⃗⃗⃗ sinλ2=0⃗，λ1，λ2∈R，则以下不正确的是()A. sinλ1=0B. tanλ2=0C. λ1λ2=0D. cosλ2=119.设x0是方程lnx+x=4的解，则x0属于区间()A. (0,1)B. (1,2)C. (2,3)D. (3,4)20.某学院对该院200名男女学员的家庭状况进行调查，现采用按性别分层抽样的方法抽取一个容量为30的样本，已知样本中男学员比女学员少6人，则该院女学员的人数为()A. 106B. 110C. 112D. 12021.某旅行社调查了所在城市20户家庭2019年的旅行费用，汇总得到如表格：则这20户家庭该年的旅行费用的众数和中位数分别是()A. 1.4，1.4B. 1.4，1.5C. 1.4，1.6D. 1.62，1.622.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，3c2=16S+3(b2−a2)，则tanB=()A. 23B. 32C. 43D. 3423.样本中共有五个个体，其值分别是a，1，2，3，4，若样本的平均数是2，则样本的标准差是()A. 1B. 2C. 4D. √224.设m，n是不同的直线，α，β，γ是不同的平面，下列命题正确的是()A. 若m//α，n⊂α，则m//nB. 若m//β，n//β，m⊂α，n⊂α，则α//βC. 若α⊥β，m⊥β，则m//αD. 若α⊥γ，β⊥γ，α∩β=m，n⊂γ，则m⊥n25.某产品40件，其中有次品数3件，现从中任取2件，则其中至少有一件次品的概率是()A. 0.1462B. 0.1538C. 0.9962D. 0.853826.有两对双胞胎组团去旅游，四人在某景点站成一排合影留念，则至少有一对双胞胎相邻的概率为()A. 13B. 12C. 23D. 3427.从装有2个红球和2个白球的袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是()A. 至少有1个红球，都是红球B. 恰有1个红球，恰有1个白球C. 至少有1个红球，都是白球D. 恰有1个白球，恰有2个白球二、解答题（本大题共4小题，共19.0分）28.已知函数f(x)=cos(2x+π3)．(1)求函数y=f(x)的对称轴方程；(2)求函数f(x)在区间[−π12,π2]上的最大值和最小值．29.如图，四棱锥P−ABCD的底面为直角梯形，∠ADC=∠DCB=90°，AD=1，BC=3，PC=CD=2，PC⊥底面ABCD，E为AB的中点.求证：(1)AD//平面PCB；(2)平面PDE⊥平面PAC．30.已知直线l1：mx−2(m+1)y+2=0，l2：x−2y+3=0，l3：x−y+1=0是三条不同的直线，其中m∈R．(1)求证：直线l1恒过定点，并求出该点的坐标；(2)若以L2，L3的交点为圆心，2√3为半径的圆C与直线l1相交于A，B两点，求|AB|的最小值．31.扬州某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边成角为60°(如图)，考虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为9√3平方米，且高度不低于√3米．记防洪堤横断面的腰长为x(米)，外周长(梯形的上底线段BC与两腰长的和)为y(米)．(1)求y关于x的函数关系式，并指出其定义域；(2)要使防洪堤横断面的外周长不超过10.5米，则其腰长x应在什么范围内？(3)当防洪堤的腰长x为多少米时，堤的上面与两侧面的水泥用料最省(即断面的外周长最小)？求此时外周长的值．答案和解析1.【答案】A【解析】解：∵集合P ={x|x 2=1}={−1,1}， ∴集合P 的非空真子集的个数是22−2=2． 故选：A ．求出集合P ，由此能求出集合P 的非空真子集的个数．本题考查集合的非空真子集的个数的求法，涉及到方程的性质、真子集的定义等基础知识，考查运算求解能力等核心素养，是基础题．2.【答案】C【解析】解：根据题意，使f(x)=11−x +lg(1+x)有意义， 应满足{1+x >01−x ≠0，解可得(−1,1)∪(1,+∞)；故选：C ．根据题意，结合分式与对数函数的定义域，可得{1+x >01−x ≠0，解可得答案．本题考查函数的定义域，首先牢记常见的基本函数的定义域，如果涉及多个基本函数，取它们的交集即可．3.【答案】D【解析】解：∵In2=a ，In3=b ， 又∵log 32=ln2ln3∴log 32=ab故选：D ．由已知中In2=a ，In3=b ，用换底公式可将log 32化用自然对数表示的形式，代入In2=a ，In3=b ，即可得到答案．本题考查的知识点是换底公式的应用，在对数运算中，如果两个对数的底不一样则无法使用对数的运算性质，故换底公式是对数运算中最重要的公式之一，一定要熟练掌握．4.【答案】D此题考查了向量加减法，难度不大．利用中线所在向量结合向量加减法，不难把AF ⃗⃗⃗⃗⃗ 转化为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 和AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得解． 【解答】解：∵AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12×12AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14×12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =58AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +18AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 故选：D ．5.【答案】C【解析】解：直线3x +√3y +1=0的斜率为：−√3， 直线的倾斜角为：θ，tanθ=−√3， 可得θ=120°． 故选：C ．求出直线的斜率，然后求解直线的倾斜角．本题考查直线的斜率与倾斜角的关系，考查计算能力．6.【答案】A【解析】解：y =sin(x +π6)图象上各点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得到函数y =sin(2x +π6)；再将图象向右平移π3个单位，得函数y =sin[2(x −π3)+π6]=sin(2x −π2)，根据对称轴处一定取得最大值或最小值可知x =−π2是其图象的一条对称轴方程． 故选：A ．先对函数y =sin(x +π6)进行图象变换，再根据正弦函数对称轴的求法，即令ωx +φ=π2+kπ即可得到答案．本小题综合考查三角函数的图象变换和性质．图象变换是考生很容易搞错的问题，值得重视．一般地，y =Asin(ωx +φ)的图象有无数条对称轴，它在这些对称轴上一定取得【解析】【分析】本题考查任意角的三角函数的定义，终边相同的角，考查计算能力，属于基础题．求出OP的距离r，对m>0，m<0分类讨论，分别按照角的三角函数的定义求出sinα和cosα的值，然后再求2sinα+cosα的值，可得结果．【解答】解：r=√(−4m)2+(3m)2=5|m|，当m>0时，r=5m,sinα=3m5m =35,cosα=−4m5m=−45，2sinα+cosα=65−45=25；当m<0时，r=−5m,sinα=3m−5m =−35,cosα=−4m−5m=45，2sinα+cosα=−65+45=−25．故选：B．8.【答案】D【解析】解：n棱柱的具体特征为：底面是n边形，共3n条棱，(n+2)个面，其中n 个侧面，2个底面，侧面为平行四边形，侧棱长相等．因为三棱柱的底面为三角形，故选项A正确；因为底面最少要为三角形，故有3个侧面，2个底面，所以至少要有五个面，故选项B 正确；五棱柱有5条侧棱、5个侧面，侧面为平行四边形，故选项C正确；棱柱的底面边长与侧棱长度不一定相等，故各个侧面不全等，故选项D错误．故选：D．利用棱柱的结构特征对四个选项逐一分析判断即可．本题考查了棱柱结构特征的理解和应用，解题的关键是掌握棱柱所具有的结构特征，考查了空间想象能力与逻辑推理能力，属于基础题．9.【答案】D【解析】解：∵直线3x+y−3=0与6x+my+1=0平行，∴63=m1≠1−3，解得m=2．即6x+2y−6=0与6x+2y+1=0．∴两条直线之间的距离为d=√62+22=√40=720√10．故选：D．根据两条直线平行的条件，建立关于m的等式解出m=2.再将两条直线化成x、y的系数相同，利用两条平行直线间的距离公式加以计算，可得答案．本题已知两条直线互相平行，求参数m的值并求两条直线的距离．着重考查了直线的位置关系、平行线之间的距离公式等知识，属于基础题．10.【答案】B【解析】解：设动圆的圆心为：M(x,y)，半径为R，因为动圆M与圆C1：(x−4)2+y2=25外切，且与圆C2：(x+4)2+y2=1外切，∴|MC1|−|MC2|=5+R−1−R=4，∵|MC1|−|MC2|<|C1C2|，因此该动圆M是以原点为中心，焦点在x轴上的双曲线的左支，2a=4，c=4，解得a=2，根据椭圆中a、b、c的关系求得b2=12，∴双曲线的方程为x24−y212=1(x>0)．即动圆圆心M的轨迹方程是x24−y212=1(x>0)．故选：B．先根据圆与圆的位置关系得到|MC1|−|MC2|<|C1C2|，再结合双曲线的定义即可求得动圆圆心M的轨迹方程．本题考查圆与圆的位置关系，考查双曲线的定义的应用，属于中档题．11.【答案】B【解析】解：线段B1D1上不存在点E、F使得AE//BF，因为A在平面BDD1B1平面外，E在平面内，所以AE，BF是异面直线，所以A不正确；连接BD，几何体是正方体，所以EF//BD，可知EF//平面ABCD，所以B正确．B到B1D1的距离为BB1=1，A到B1D1的距离大于上下底面中心的连线，则A到B1D1的距离大于1，∴△AEF的面积大于△BEF的面积，故C错误；A到平面BDD1B1的距离为√2，△BEF的面积为定值，2∴三棱锥A−BEF的体积为定值，故D不正确．故选：B．利用异面直线的定义说明A错误；由线面平行，说明B正确；由A到B1D1的距离大于B 到B1D1的距离，说明C错误；由A到平面BDD1B1的距离及三角形BEF的面积均为定值说明D不正确．本题考查棱柱的结构特征，考查空间中异面直线所成角及多面体体积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．12.【答案】D【解析】解：①假设m⊥n，因为n与l既不垂直，也不平行，所以n∩l=O，过O在β内作直线c⊥l，如图所示，因为α⊥β，所以c⊥α，又因为m⊂α，所以c⊥m，又因为m⊥n，c∩n=O，所以m⊥β，l⊂β，所以m⊥l，这与m与l既不垂直，也不平行矛盾，故假设不成立，所以m与n不垂直，同理n与m也不垂直；②假设m//n，则m//β，m⊂α，α∩β=l，所以m//l，这与m和n与l既不垂直，也不平行矛盾，故假设不成立，所以m与n不平行．综上所述，m与n的位置关系是既不可能垂直，也不可能平行．故选：D．假设m⊥n，然后利用已知条件推理，得到m⊥l，这与m与l既不垂直，也不平行矛盾，故假设不成立；假设m//n，利用线面平行的性质定理进行推导，得到m//l，这与m和n与l既不垂直，也不平行矛盾，故假设不成立，从而得到答案．本题考查空间中线、面位置关系的判断与应用，考查了反证法的应用，考查了逻辑推理能力与空间想象能力，属于中档题．13.【答案】C，【解析】解：sin300°=sin(360°−60°)=−sin60°=−√32故选：C．由条件利用诱导公式化简所给式子的值，可得结果．本题主要考查应用诱导公式化简三角函数式，要特别注意符号的选取，这是解题的易错点，属于基础题．14.【答案】A【解析】解：向量a⃗，b⃗ 满足a⃗=(1,2)，b⃗ =(2,0)，则：2a⃗+b⃗ =2(1,2)+(2,0)=(4,4)．故选：A．直接利用向量的坐标的加法运算求出结果．本题考查的知识要点：向量的加法运算的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．15.【答案】A【解析】解：选项A，根据垂直于同一直线的两个平面平行，可知正确；选项B，α⊥γ，β⊥γ可能推出α、β相交，所以B不正确；选项C，a⊂α，b⊂β，a//b，α与β可能相交，故不正确；选项D，a⊂α，b⊂α，a//β，b//β，如果a//b可能推出α、β相交，所以D不正确；故选A．根据垂直于同一直线的两个平面平行可知选项A是否正确；平面与平面垂直的性质，判断选项B的正误，对于选项C可知两个平面可能相交，选项D，若a与b平行时，两平面相交，对选项逐一判断即可．本题考查平面与平面垂直的性质，以及直线与平面平行与垂直的性质，同时考查了推理论证的能力，属于基础题．16.【答案】B【解析】解：∵0<b<a<1，c>1，y=xα(α>0)在(0,+∞)为增函数，可得b c<a c；A错；∴a c−1>b c−1，∴ba c>ab c，故B对，∴0>log b c>log a c，故C错误，∴−log a c>−log b c>0∵a>b>0；∴−alog a c>−blog b c即alog a c<blog b c，故D错误．故选：B．分别根据幂函数指数函数对数函数的单调性，可以排除ACD，问题得以解决．本题主要考查了不等式与不等关系以及幂函数，指数函数对数函数的单调性，属于基础题．也是易错题目．17.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查函数值的计算，考查函数的奇偶性，周期性和对称性，属于中档题．根据函数的奇偶性和对称性求出函数的周期是2，结合函数周期性的性质进行转化求解即可．【解答】解：∵偶函数f(x)满足：对任意的实数x都有f(1−x)=f(x+1)，∴f(1−x)=f(x+1)=f(x−1)，即f(x+2)=f(x)，则函数f(x)是周期为2的周期函数，∵f(−1)=2，f(0)=−1∴f(1)=f(−1)=2，f(2)=f(0)=−1，则f(1)+f(2)=2−1=1，则f(1)+f(2)+f(3)+⋯+f(2017)+f(2018)+f(2019)=1009[f(1)+f(2)]+f(1)=1009+2=1011，故选：B．18.【答案】D【解析】【分析】根据基底的概念以及平面向量基本定理可得λ1=0，sinλ2=0，由此可得．本题考查了平面向量基本定理，属中档题．【解答】解：∵λ1e1⃗⃗⃗ +e2⃗⃗⃗ sinλ2=0⃗，且e1⃗⃗⃗ ，e2⃗⃗⃗ 是平面向量的一组基底，所以e1⃗⃗⃗ ，e2⃗⃗⃗ 不共线，所以λ1=0，sinλ2=0，=0，λ1λ2=0，cosλ2=±1．∴sinλ1=0，tanλ2=sinλ2cosλ2故选：D．19.【答案】C【解析】解：设f(x)=lnx+x−4，则f(2)=ln2+2−4=ln2−2<0，f(3)=ln3+3−4=ln3−1>0，所以x0属于区间(2,3)．故选：C．可先构造出函数f(x)=lnx+x−4，带入可得f(2)<0，f(3)>0，据此解答．本小题主要考查简单的构造函数求出函数零点的方法，注意灵活运用，属于基础题．20.【答案】D【解析】【分析】本题考查分层抽样，先计算中样本中男女学生的人数是解决本题的关键，属基础题．先计算出样本中女学生人数，再根据分层抽样的性质计算出该校女生的人数．【解答】解：根据题意，设样本中女生人数为x，则(x−6)+x=30，解得x=18，所以该校女生人数是200×1830=120．故选：D．21.【答案】B【解析】解：由题意知，该组数据的众数是1.4，出现6次；中位数是12×(1.4+1.6)=1.5．故选：B．根据表中数据，结合定义写出这组数据的众数和中位数．本题考查了众数、中位数的定义与计算问题，是基础题．22.【答案】D【解析】解：由正弦的面积公式知，S=12acsinB，∵3c2=16S+3(b2−a2)，∴3(c2+a2−b2)=16×12acsinB，由余弦定理知，c2+a2−b2=2ac⋅cosB，∴3×2ac⋅cosB=8ac⋅sinB，即tanB=sinBcosB =68=34．故选：D．由正弦的面积公式知，S=12acsinB，由余弦定理知，c2+a2−b2=2ac⋅cosB，均代入题干中的等式，化简整理后可得3×2ac⋅cosB=8ac⋅sinB，所以tanB=sinBcosB =68=34．本题考查解三角形中正弦的面积公式和余弦定理的运用，考查学生的分析能力和运算能力，属于基础题．23.【答案】D【解析】【分析】本题考查了平均数和方差、标准差的计算问题，是基础题．根据平均数求出a的值，再计算方差和标准差．【解答】解：数据a，1，2，3，4的平均数是15×(a+1+2+3+4)=2，解得a=0；所以该组数据的方差是×[(0−2)2+(1−2)2+(2−2)2+(3−2)2+(4−2)2]=2，s2=15标准差是s=√2．故选：D．24.【答案】D【解析】解：由m，n是不同的直线，α，β，γ是不同的平面知，对于A，若m//α，n⊂α，则m与n平行或异面，故A错误；对于B，若m//β，n//β，m⊂α，n⊂α，则α与β相交或平行，故B错误；对于C，若α⊥β，m⊥β，则m//α或m⊂α，故C错误；对于D，若α⊥γ，β⊥γ，α∩β=m，n⊂γ，则由面面垂直的性质得m⊥n，故D正确．故选：D．对于A，m与n平行或异面；对于B，α与β相交或平行；对于C，m//α或m⊂α；对于D，由面面垂直的性质得m⊥n．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．25.【答案】A【解析】解：某产品40件，其中有次品数3件，现从中任取2件，基本事件总数n=C402=780，其中至少有一件次品的对立事件是两件都是正品，≈0.1462．∴其中至少有一件次品的概率p=1−C372C402故选：A．基本事件总数n=C402=780，其中至少有一件次品的对立事件是两件都是正品，由此利用对立事件概率计算公式能地求出其中至少有一件次品的概率．本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式的合理运用．26.【答案】C【解析】解：有两对双胞胎组团去旅游，四人在某景点站成一排合影留念，基本事件总数n=A44=24，两对双胞胎都不相邻包含的基本事件个数m=A22×2A22=8，则至少有一对双胞胎相邻的概率为P=1−mn =1−824=23．故选：C．基本事件总数n=A44=24，两对双胞胎都不相邻包含的基本事件个数m=A22×2A22= 8，由此能求出至少有一对双胞胎相邻的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合、对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．27.【答案】D【解析】解：从装有2个红球和2个白球的袋内任取2个球，在A中，至少有1个红球和都是红球，这两个事件能同时发生，故A不是互斥事件；在B中，恰有1个红球，恰有1个白球，这两个事件能同时发生，故B不是互斥事件；在C中，至少有1个红球，都是白球，这两个事件不能同时发生，也不能同时不发生，故C是对立事件；在D中，恰有1个白球，恰有2个白球，这两个事件不能同时发生，能同时不发生，故D是互斥而不对立的两个事件．故选：D．在A中，至少有1个红球和都是红球，这两个事件能同时发生；在B中，恰有1个红球，恰有1个白球，这两个事件能同时发生；在C中，至少有1个红球，都是白球，这两个事件不能同时发生，也不能同时不发生；在D中，恰有1个白球，恰有2个白球，这两个事件不能同时发生，能同时不发生．本题考查互斥而不对立事件的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意互斥事件、对立事件的定义的合理运用．28.【答案】解：(1)函数f(x)=cos(2x+π3)．由2x+π3=kπ得x=kπ2−π6，即函数的对称轴方程为x=kπ2−π6，k∈Z，(2)当−π12≤x≤π2时，−π6≤2x≤π，π6≤2x+π3≤4π3，所以当2x+π3=π，即x =π3时，函数f(x)取得最小值，最小值为f(x)=cosπ=−1，当2x +π3=π6，即x =−π12时，函数f(x)取得最大值，最大值为f(x)=cos π6=√32．【解析】本题考查余弦型函数的性质的应用，属于基础题型． (1)直接利用余弦型函数的性质和整体思想求出函数的对称轴方程．(2)利用整体思想，进一步利用函数的定义域求出函数的值域，再求出函数的最值． 29.【答案】证明：(1)直角梯形ABCD 中，∠ADC =∠DCB =90°， 可得AD//BC ，又AD ⊄平面PCB ，BC ⊂平面PCB ， 所以AD//平面PCB ； (2)延长DE ，与CB 交于Q ， 由AD//BC ，E 为AB 的中点，可得△DAE≌△QBE ，则QB =AD =1， 在直角三角形DCQ 中，tan∠CDE =3+12=2，在直角三角形ADC 中，tan∠DCA =12， 所以∠CDE +∠DCA =90°，即DE ⊥AC ， 因为PC ⊥底面ABCD ，DE ⊂平面ABCD ， 所以PC ⊥DE ，又PC ∩AC =C ， 所以DE ⊥平面PAC ，因为DE ⊂平面PDE ，所以平面PDE ⊥平面PAC ．【解析】(1)推得AD//BC ，由线面平行的判定定理，即可得证；(2)推得DE ⊥AC ，再由线面垂直的性质和判定，结合面面垂直的判定定理，即可得证． 本题考查线面平行和面面垂直的判定，考查转化思想和推理能力，属于中档题． 30.【答案】解(1)证明：l 1：mx −2(m +1)y +2=0，可化为m(x −2y)−(2y −2)=0， 则{x −2y =02y −2=0，∴x =2，y =1， ∴直线l 1恒过定点D(2,1)；(2)解：l 2：x −2y +3=0，l 3：x −y +1=0联立可得交点坐标C(1,2)，求|AB|最小值， 即求圆心到直线l 1的距离的最大值，此时CD ⊥直线l 1，∵|CD|=√(2−1)2+(1−2)2=√2， ∴|AB|的最小值为2√12−2=2√10．【解析】(1)将l 1的方程按照m 去整理，再令m 的系数为0，常数项为0，解方程组可得； (2)联立l 2，l 3的方程可得交点C 的坐标，求|AB|最小值，即求圆心到直线l 1的距离的最大值，此时CD ⊥直线l 1．本题考查了直线与圆的位置关系，属中档题．31.【答案】解：(1)9√3=12(AD +BC)ℎ，其中AD =BC +2⋅x2=BC +x ，ℎ=√32x ， ∴9√3=12(2BC +x)√32x ，得BC =18x−x2，由{ℎ=√32x ≥√3BC =18x−x2>0，得2≤x <6 ∴y =BC +2x =18x+3x 2,(2≤x <6)；(2)y =18x+3x 2≤10.5，得3≤x ≤4∵[3,4]⊂[2,6)∴腰长x 的范围是[3,4]． (3)y =18x+3x 2≥2√18x ⋅3x2=6√3，当并且仅当18x =3x 2，即x =2√3∈[2,6)时等号成立．∴外周长的最小值为6√3米，此时腰长为2√3米．【解析】(1)先由横断面积用x 表示BC ，从建立y 关于x 的函数关系式，定义域由线段必须大于零和高度不低于√3米求解； (2)解y ≤10.5分式不等式；(3)求函数y 的最小值，根据函数特点及条件可选用不等式解决． 本题主要考查利用平面图形建立函数模型以及解模的能力，属于中档题．。

北京市崇文区2021届新高考四诊数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{}{}22(,)4,(,)2xA x y x yB x y y =+===，则AB 元素个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】 【分析】作出两集合所表示的点的图象，可得选项. 【详解】由题意得，集合A 表示以原点为圆心，以2为半径的圆，集合B 表示函数2xy =的图象上的点，作出两集合所表示的点的示意图如下图所示，得出两个图象有两个交点:点A 和点B ，所以两个集合有两个公共元素，所以A B 元素个数为2，故选：B.【点睛】本题考查集合的交集运算，关键在于作出集合所表示的点的图象，再运用数形结合的思想，属于基础题. 2．已知函数f （x ）＝e b ﹣x ﹣e x ﹣b +c （b ，c 均为常数）的图象关于点（2，1）对称，则f （5）+f （﹣1）＝（ ） A ．﹣2 B ．﹣1C ．2D ．4【答案】C 【解析】 【分析】根据对称性即可求出答案． 【详解】解：∵点（5，f （5））与点（﹣1，f （﹣1））满足（5﹣1）÷2＝2， 故它们关于点（2，1）对称，所以f （5）+f （﹣1）＝2， 故选：C ． 【点睛】本题主要考查函数的对称性的应用，属于中档题． 3．已知函数()2cos (0)3f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在,32ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则ω的取值范围（ ） A ．2,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．(0,2]【答案】B 【解析】 【分析】 由ππ32x -≤≤,可得πππ333ππ32x ωωω--≤--≤,结合cos y x =在[π,0]-上单调递增,易得ππ,[π,0]33ππ32ωω⎡⎤--⊆-⎢⎥⎣⎦-,即可求出ω的范围. 【详解】 由ππ32x -≤≤,可得πππ333ππ32x ωωω--≤--≤, 0x =时,π(0)2cos 3f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,而ππ,320⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,又cos y x =在[π,0]-上单调递增,且π[π,0]3--∈, 所以ππ,[π,0]33ππ32ωω⎡⎤--⊆-⎢⎥⎣⎦-,则πππ33ππ0230ωωω⎧--≥-⎪⎪⎪-≤⎨⎪>⎪⎪⎩,即2230ωωω≤⎧⎪⎪≤⎨⎪>⎪⎩,故203ω<≤. 故选:B. 【点睛】本题考查了三角函数的单调性的应用,考查了学生的逻辑推理能力,属于基础题. 4．设 2.71828...e ≈为自然对数的底数，函数()1xxf x e e-=--，若()1f a =，则()f a -=( )A ．1-B ．1C ．3D ．3-【答案】D 【解析】 【分析】利用()f a 与()f a -的关系，求得()f a -的值.【详解】依题意()11,2aaa a f a e ee e --=--=-=，所以()()11213aa a a f a e e e e ---=--=---=--=-故选：D 【点睛】本小题主要考查函数值的计算，属于基础题.5．已知集合{2,0,1,3}A =-，{B x x =<<，则集合A B 子集的个数为（ ）A ．4B ．8C ．16D ．32【答案】B 【解析】 【分析】 首先求出A B ，再根据含有n 个元素的集合有2n 个子集，计算可得.【详解】解：{2,0,1,3}A =-，{B x x =<<，{2,0,1}A B ∴=-，A B ∴子集的个数为328=.故选：B . 【点睛】考查列举法、描述法的定义，以及交集的运算，集合子集个数的计算公式，属于基础题．6．已知方程1x x y y +=-表示的曲线为()y f x =的图象，对于函数()y f x =有如下结论：①()f x 在()+-∞∞，上单调递减；②函数()()F x f x x =+至少存在一个零点；③()y f x =的最大值为1；④若函数()g x 和()f x 图象关于原点对称，则()y g x =由方程1y y x x +=所确定；则正确命题序号为( ) A ．①③ B ．②③ C ．①④ D ．②④【答案】C 【解析】 【分析】分四类情况进行讨论，然后画出相对应的图象，由图象可以判断所给命题的真假性. 【详解】（1）当00x y ≥≥，时，221x y +=-，此时不存在图象；（2）当00，x y ≥<时，221-y x =，此时为实轴为y 轴的双曲线一部分；（3）当00，x y <≥时，221x y -=，此时为实轴为x 轴的双曲线一部分；（4）当00，x y <<时，221x y +=，此时为圆心在原点，半径为1的圆的一部分； 画出()y f x =的图象，由图象可得：对于①，()f x 在()+-∞∞，上单调递减，所以①正确； 对于②，函数()y f x =与y x =-的图象没有交点，即()()F x f x x =+没有零点，所以②错误； 对于③，由函数图象的对称性可知③错误；对于④，函数()g x 和()f x 图象关于原点对称，则1x x y y +=-中用x -代替x ，用y -代替y ，可得1y y x x +=，所以④正确.故选：C 【点睛】本题主要考查了双曲线的简单几何性质，函数的图象与性质，函数的零点概念，考查了数形结合的数学思想.7．在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若1a =，23c =，sin sin 3b A a B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则sin C =（ ） A 3B ．21 C 21 D 57【答案】B 【解析】 【分析】利用两角差的正弦公式和边角互化思想可求得3tan 3B =，可得出6B π=，然后利用余弦定理求出b 的值，最后利用正弦定理可求出sin C 的值.1sin sin cos sin 322b A a B a B a B π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，即1sin sin cos sin sin 2A B A B A B =-，即3sin sin cos A B A A =， sin 0A >，3sin B B ∴=，得tan B =，0B π<<，6B π∴=.由余弦定理得b === 由正弦定理sin sin c b C B=，因此，1sin sin 7c B C b ===. 故选：B. 【点睛】本题考查三角形中角的正弦值的计算，考查两角差的正弦公式、边角互化思想、余弦定理与正弦定理的应用，考查运算求解能力，属于中等题. 8．函数()()ln 1f x x =++的定义域为（ ） A ．()2,+∞ B ．()()1,22,-⋃+∞C ．()1,2-D ．1,2【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】函数的定义域应满足20,1 2.10x x x ->⎧∴-<<⎨+>⎩故选C.9．定义在R 上的函数()()f x x g x =+，()22(2)g x x g x =--+--，若()f x 在区间[)1,-+∞上为增函数，且存在20t -<<，使得(0)()0f f t ⋅<.则下列不等式不一定成立的是（ ） A ．()2112f t t f ⎛⎫++>⎪⎝⎭B ．(2)0()f f t ->>C ．(2)(1)f t f t +>+D ．(1)()f t f t +>【答案】D【分析】根据题意判断出函数的单调性，从而根据单调性对选项逐个判断即可． 【详解】由条件可得(2)2(2)2()22()()f x x g x x g x x g x x f x --=--+--=--+++=+=∴函数()f x 关于直线1x =-对称；()f x 在[1-，)+∞上单调递增，且在20t -<<时使得(0)()0f f t <；又(2)(0)f f -=()0f t ∴<，(2)(0)0f f -=>，所以选项B 成立；223112()0224t t t ++-=++>，21t t ∴++比12离对称轴远， ∴可得21(1)()2f t t f ++>，∴选项A 成立；22(3)(2)250t t t +-+=+>，|3||2|t t ∴+>+，∴可知2t +比1t +离对称轴远 (2)(1)f t f t ∴+>+，选项C 成立；20t -<<，22(2)(1)23t t t ∴+-+=+符号不定，|2|t ∴+，|1|t +无法比较大小， (1)()f t f t ∴+>不一定成立．故选：D ． 【点睛】本题考查了函数的基本性质及其应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 10．一小商贩准备用50元钱在一批发市场购买甲、乙两种小商品，甲每件进价4元，乙每件进价7元，甲商品每卖出去1件可赚1元，乙商品每卖出去1件可赚1.8元.该商贩若想获取最大收益，则购买甲、乙两种商品的件数应分别为（ ） A ．甲7件，乙3件 B ．甲9件，乙2件C ．甲4件，乙5件D ．甲2件，乙6件【答案】D 【解析】 【分析】由题意列出约束条件和目标函数，数形结合即可解决. 【详解】设购买甲、乙两种商品的件数应分别x ，y 利润为z 元，由题意*4750,,,x y x y N +≤⎧⎨∈⎩ 1.8z x y =+， 画出可行域如图所示，显然当5599y x z=-+经过(2,6)A时，z最大.故选：D.【点睛】本题考查线性目标函数的线性规划问题，解决此类问题要注意判断x，y是否是整数，是否是非负数，并准确的画出可行域，本题是一道基础题.11．某人2018年的家庭总收人为80000元，各种用途占比如图中的折线图，2019年家庭总收入的各种用途占比统计如图中的条形图，已知2019年的就医费用比2018年的就医费用增加了4750元，则该人2019年的储畜费用为（）A．21250元B．28000元C．29750元D．85000元【答案】A【解析】【分析】根据2018年的家庭总收人为80000元，且就医费用占10%得到就医费用8000010%8000⨯=，再根据2019年的就医费用比2018年的就医费用增加了4750元，得到2019年的就医费用，然后由2019年的就医费用占总收人15%，得到2019年的家庭总收人再根据储畜费用占总收人25%求解.【详解】因为2018年的家庭总收人为80000元，且就医费用占10%所以就医费用8000010%8000⨯=因为2019年的就医费用比2018年的就医费用增加了4750元，所以2019年的就医费用12750元， 而2019年的就医费用占总收人15%所以2019年的家庭总收人为127501585000÷%= 而储畜费用占总收人25%所以储畜费用：850002521250⨯%= 故选：A 【点睛】本题主要考查统计中的折线图和条形图的应用，还考查了建模解模的能力，属于基础题. 12．已知数列满足，且，则数列的通项公式为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 试题分析：因为，所以，即，所以数列是以为首项，公比为的等比数列，所以，即，所以数列的通项公式是，故选D ．考点：数列的通项公式．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

北京市崇文区2021届新高考适应性测试卷数学试题（3）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．如图所示的“数字塔”有以下规律：每一层最左与最右的数字均为2，除此之外每个数字均为其两肩的数字之积，则该“数字塔”前10层的所有数字之积最接近()lg 20.3≈（ ）A ．30010B ．40010C ．50010D ．60010【答案】A 【解析】 【分析】结合所给数字特征，我们可将每层数字表示成2的指数的形式，观察可知，每层指数的和成等比数列分布，结合等比数列前n 项和公式和对数恒等式即可求解 【详解】如图，将数字塔中的数写成指数形式，可发现其指数恰好构成“杨辉三角”，前10层的指数之和为29101222211023+++⋅⋅⋅+=-=，所以原数字塔中前10层所有数字之积为10231023lg230021010=≈.故选：A 【点睛】本题考查与“杨辉三角”有关的规律求解问题，逻辑推理，等比数列前n 项和公式应用，属于中档题 2．设复数z 满足12z zz +=+，z 在复平面内对应的点的坐标为(),x y 则（ ） A ．221x y =+ B ．221y x =+ C ．221x y =- D ．221y x =-【答案】B 【解析】 【分析】根据共轭复数定义及复数模的求法，代入化简即可求解.【详解】z 在复平面内对应的点的坐标为(),x y ，则z x yi =+，z x yi =-，∵12z zz +=+，1x =+， 解得221y x =+. 故选：B. 【点睛】本题考查复数对应点坐标的几何意义，复数模的求法及共轭复数的概念，属于基础题.3．过椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左焦点F 的直线过C 的上顶点B ，且与椭圆C 相交于另一点A ，点A 在y 轴上的射影为A '，若34FO AA ='，O 是坐标原点，则椭圆C 的离心率为（ ） A．2B．3C ．12D．2【答案】D 【解析】 【分析】求得点B 的坐标，由34FO AA ='，得出3BF FA =，利用向量的坐标运算得出点A 的坐标，代入椭圆C 的方程，可得出关于a 、b 、c 的齐次等式，进而可求得椭圆C 的离心率. 【详解】由题意可得()0,B b 、(),0F c -.由34FO AA ='，得34BF BA =，则31BF FA =，即3BF FA =. 而(),BF c b =--，所以,33cb FA ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，所以点4,33b A c ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.因为点4,33b A c ⎛⎫-- ⎪⎝⎭在椭圆2222:1x yC a b+=上，则22224331b c a b ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=， 整理可得2216899c a ⋅=，所以22212c e a ==，所以e =.即椭圆C 的离心率为22故选：D. 【点睛】本题考查椭圆离心率的求解，解答的关键就是要得出a 、b 、c 的齐次等式，充分利用点A 在椭圆上这一条件，围绕求点A 的坐标来求解，考查计算能力，属于中等题.4．如图，已知直线:l ()()10y k x k =+>与抛物线2:4C y x =相交于A ，B 两点，且A 、B 两点在抛物线准线上的投影分别是M ，N ，若2AM BN =，则k 的值是（ ）A ．13B ．23C ．23D ．2【答案】C 【解析】 【分析】直线()()10y k x k =+>恒过定点()10P -，，由此推导出12OB AF =，由此能求出点B 的坐标，从而能求出k 的值． 【详解】设抛物线2:4C y x =的准线为:1l x =-，直线()()10y k x k =+>恒过定点()10P -，， 如图过A 、B 分别作AM l ⊥于M ，BN l ⊥于N ， 由2AM BN =，则2FA FB =， 点B 为AP 的中点、连接OB ，则12OB AF =， ∴OB BF =，点B 的横坐标为12， ∴点B 的坐标为122B ⎛ ⎝，把122B ⎛ ⎝代入直线()()10y k x k =+>，解得223k=，故选：C．【点睛】本题考查直线与圆锥曲线中参数的求法，考查抛物线的性质，是中档题，解题时要注意等价转化思想的合理运用，属于中档题.5．若x,y满足约束条件x0x+y-30z2x-2y0x y≥⎧⎪≥=+⎨⎪≤⎩，则的取值范围是A．[0,6] B．[0,4] C．[6, +∞）D．[4, +∞）【答案】D【解析】解：x 、y满足约束条件，表示的可行域如图：目标函数z=x+2y经过C点时，函数取得最小值，由解得C（2，1），目标函数的最小值为：4目标函数的范围是[4，+∞）．故选D．6．已知a，b，Rc∈，a b c>>，0a b c++=．若实数x，y满足不等式组4xx ybx ay c≥⎧⎪+≤⎨⎪++≥⎩，则目标函数2z x y=+（）A ．有最大值，无最小值B ．有最大值，有最小值C ．无最大值，有最小值D ．无最大值，无最小值【答案】B 【解析】 【分析】判断直线0bx ay c ++=与纵轴交点的位置，画出可行解域，即可判断出目标函数的最值情况. 【详解】由0a b c ++=，a b c >>，所以可得0,0a c ><.1112,22222c c c ca b a a c b c a c c a a a a>⇒>--⇒>->⇒-->⇒<-∴-<<-⇒<-<， 所以由0b cbx ay c y x a a++=⇒=--，因此该直线在纵轴的截距为正，但是斜率有两种可能，因此可行解域如下图所示：由此可以判断该目标函数一定有最大值和最小值. 故选：B 【点睛】本题考查了目标函数最值是否存在问题，考查了数形结合思想，考查了不等式的性质应用. 7．已知集合M ＝{y ｜y ＝，x ＞0}，N ＝{x ｜y ＝lg （2x －）}，则M∩N 为（ ）A ．（1，＋∞）B ．（1，2）C ．[2，＋∞）D ．[1，＋∞）【答案】B 【解析】，，∴．故选．8．已知函数2()(2)g x f x x =+为奇函数，且(2)3f =，则(2)f -=（ ） A ．2 B ．5 C ．1 D ．3【答案】B 【解析】 【分析】由函数2()(2)g x f x x =+为奇函数,则有(1)(1)0(2)1(2)10g g f f -+=⇒-+++=,代入已知即可求得.【详解】(1)(1)0(2)1(2)10(2)5g g f f f -+=⇒-+++=⇒-=-.故选:B . 【点睛】本题考查奇偶性在抽象函数中的应用,考查学生分析问题的能力,难度较易. 9．已知(,)a bi a b R +∈是11ii +-的共轭复数,则a b +=（ ） A ．1- B ．12- C ．12D ．1【答案】A 【解析】 【分析】先利用复数的除法运算法则求出11ii+-的值，再利用共轭复数的定义求出a+bi ，从而确定a ，b 的值，求出a+b ． 【详解】()()21(1)21112i i ii i i ++===-+-i ， ∴a+bi ＝﹣i ， ∴a ＝0，b ＝﹣1， ∴a+b ＝﹣1， 故选：A ． 【点睛】本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，是基础题．10．()()52122x x --的展开式中8x的项的系数为（ ）A ．120B ．80C ．60D ．40【答案】A 【解析】 【分析】化简得到()()()()555212222222x x x x x =⋅-----，再利用二项式定理展开得到答案.【详解】()()()()555212222222xx xx x =⋅-----展开式中8x 的项为()()232332552C 22C 221208x xx x---=⨯. 故选：A 【点睛】本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力.11．某个小区住户共200户，为调查小区居民的7月份用水量，用分层抽样的方法抽取了50户进行调查，得到本月的用水量(单位：m 3)的频率分布直方图如图所示，则小区内用水量超过15 m 3的住户的户数为( )A ．10B ．50C ．60D ．140【答案】C 【解析】从频率分布直方图可知，用水量超过15m³的住户的频率为(0.050.01)50.3+⨯=，即分层抽样的50户中有0.3×50=15户住户的用水量超过15立方米 所以小区内用水量超过15立方米的住户户数为152006050⨯=，故选C 12．已知空间两不同直线m 、n ，两不同平面α，β，下列命题正确的是（ ） A ．若m α且n α，则m n B ．若m β⊥且m n ⊥，则n βC ．若m α⊥且m β，则αβ⊥D ．若m 不垂直于α，且n ⊂α，则m 不垂直于n【答案】C 【解析】因答案A 中的直线m n ，可以异面或相交，故不正确；答案B 中的直线n ⊂β也成立，故不正确；答案C 中的直线m 可以平移到平面β中，所以由面面垂直的判定定理可知两平面αβ，互相垂直，是正确的；答案D 中直线m 也有可能垂直于直线n ，故不正确．应选答案C ． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

北京市崇文区(4校联考）2021届新高考模拟物理试题一、单项选择题：本题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．将长为L的导线弯成六分之一圆弧，固定于垂直于纸面向外、大小为B的匀强磁场中，两端点A、C 连线竖直，如图所示．若给导线通以由A到C、大小为I的恒定电流，则导线所受安培力的大小和方向是()A．ILB，水平向左B．ILB，水平向右C．3ILBπ，水平向右D．3ILBπ，水平向左【答案】D 【解析】【详解】弧长为L，圆心角为60°，则弦长：3LACπ=，导线受到的安培力：F=BI•AC=3ILBπ，由左手定则可知，导线受到的安培力方向：水平向左；故D，ABC错误．2．如图所示，在光滑水平桌面上有一边长为L、电阻为R的正方形导线框，在导线框右侧有一宽度为d （d＞L）的条形匀强磁场区域，磁场的边界与导线框的一边平行，磁场方向竖直向下。

导线框以某一初速度向右运动，t=0时导线框的右边恰与磁场的左边界重合，并以此位置开始计时做为导线框位移x的起点，随后导线框进入磁场区域，直至导线框的右边与磁场区域右边界重合。

下列图象中，可能正确描述上述过程的是（其中q表示流经线框的电荷量，v表示线框的瞬时速度）（）A．B．C．D．【解析】【分析】【详解】AB ．线圈进入磁场时，产生的感应电动势为E=BLv感应电流为E I R= 线框受到的安培力大小为22B L v F BIL R== 由牛顿第二定律为F=ma则有22B L v a mR= 在线框进入磁场的过程中，由于v 减小，所以a 也减小，则流经线框的电荷量R BLx Rq ∆Φ== 则q ∝x ，q-x 图象是过原点的直线。

根据数学知识得：q BL x BLv I t R t R∆∆===∆∆ 因为v 减小，则q-t 图象切线斜率减小；当线框完全进入磁场后，无感应电流，不受安培力，线框做匀速直线运动，磁通量不变，故AB 错误；C ．线圈进入磁场的过程做加速度减小的变减速运动，v-t 图象是曲线，故C 错误；D ．线圈进入磁场的过程，根据动量定理得：0BILt mv mv -=-又BLvt BLx q It R R=== 联立整理得220B L v v x mR=- v-x 图象是向下倾斜的直线，线框完全进入磁场后，做匀速直线运动，故D 正确。

北京市东城区2021届新高考第四次质量检测数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在ABC ∆中，H 为BC 上异于B ，C 的任一点，M 为AH 的中点，若AM AB AC λμ=+，则λμ+等于（ ）A ．12B ．23C ．16D ．13【答案】A 【解析】【分析】根据题意，用,AB AC 表示出,AH BH 与AM ，求出,λμ的值即可.【详解】解：根据题意，设BH xBC =，则11111()()()22222AM AH AB BH AB xBC AB x AC AB ==+=+=+-11(1)22x AB xAC =-+， 又AM AB AC λμ=+，11(1),22x x λμ∴=-=， 111(1)222x x λμ∴+=-+=， 故选：A.【点睛】本题主要考查了平面向量基本定理的应用，关键是要找到一组合适的基底表示向量，是基础题.2．函数1()1xx e f x e+=-（其中e 是自然对数的底数）的大致图像为（ ） A ． B ． C ．D ．【答案】D【解析】由题意得，函数点定义域为x ∈R 且0x ≠，所以定义域关于原点对称，且()1111()1111x x x x x x ee ef x f x e e e ----+++-===-=----，所以函数为奇函数，图象关于原点对称， 故选D.3．已知定义在R 上的偶函数()f x ，当0x ≥时，22()2xx x f x e +=-，设2(ln 2),(2),(lna fb fc f ===，则（ ） A ．b a c >>B ．b a c >=C ．a c b =>D ．c a b >> 【答案】B【解析】【分析】 根据偶函数性质，可判断,a c 关系；由0x ≥时，22()2xx x f x e +=-，求得导函数，并构造函数()1x g x e x =--，由()g x '进而判断函数()f x 在0x ≥时的单调性，即可比较大小.【详解】()f x 为定义在R 上的偶函数， 所以(22ln ln 222c f f f ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以a c =;当0x ≥时，22()2xx x f x e +=-， 则)1(xf x e x =--'，令()1x g x e x =--则1()x g x e '=-，当0x ≥时，)0(1x g x e =-≥'，则()1x g x e x =--在0x ≥时单调递增，因为000)10(g e =--=，所以1(0)xg x e x --=≥，即)0(1x x f x e =--≥'， 则22()2xx x f x e +=-在0x ≥时单调递增，而0<<(f f <，综上可知，(ln 2f f f⎛⎫=< ⎪ ⎪⎝⎭即a c b =<，故选：B.【点睛】本题考查了偶函数的性质应用，由导函数性质判断函数单调性的应用，根据单调性比较大小，属于中档题. 4．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若563a a =，则3132310log log log a a a +++=（ ） A ．31log 5+B ．6C ．4D ．5 【答案】D【解析】【分析】由对数运算法则和等比数列的性质计算．【详解】由题意313231031210log log log log ()a a a a a a +++=53563563log ()5log ()5log 35a a a a ====．故选：D ．【点睛】本题考查等比数列的性质，考查对数的运算法则．掌握等比数列的性质是解题关键．5．《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图的排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中，如图，白圈为阳数，黑点为阴数，若从阴数和阳数中各取一数，则其差的绝对值为5的概率为A ．15B ．625C ．825D ．25【答案】A【解析】【分析】阳数：1,3,5,7,9，阴数：2,4,6,8,10，然后分析阴数和阳数差的绝对值为5的情况数，最后计算相应概率.【详解】因为阳数：1,3,5,7,9，阴数：2,4,6,8,10，所以从阴数和阳数中各取一数差的绝对值有：5525⨯=个，满足差的绝对值为5的有：()()()()()1,6,3,8,5,10,7,2,9,4共5个，则51255P ==. 故选：A.【点睛】本题考查实际背景下古典概型的计算，难度一般.古典概型的概率计算公式：P =目标事件的个数基本本事件的总个数. 6．已知函数()ln f x x =，()()23g x m x n =++，若对任意的()0,x ∈+∞总有()()f x g x ≤恒成立，记()23m n +的最小值为(),f m n ，则(),f m n 最大值为（ ）A ．1B ．1eC ．21eD e【答案】C【解析】【分析】 对任意的()0,x ∈+∞总有()()f x g x ≤恒成立，因为ln (23)x m x n ≤++，对()0,x ∈+∞恒成立，可得230m +>，令ln (23)y x m x n =-+-，可得1(23)y m x'=-+，结合已知，即可求得答案. 【详解】对任意的()0,x ∈+∞总有()()f x g x ≤恒成立∴ln (23)x m x n ≤++，对()0,x ∈+∞恒成立，∴230m +>令ln (23)y x m x n =-+-， 可得1(23)y m x'=-+ 令0y '=，得123x m =+ 当123x m >+，0y '< 当1023x m <<+0y '> ∴123x m =+，max 1ln 1023y n m =--≤+，123n m e --+≥ 故1(23)(,)n n m n f m n e++≥= 11(,)n n f m n e+-'= 令110n n e +-=，得 1n = ∴当1n >时，(,)0f m n '<当1n <，(,)0f m n '>∴当1n =时，max 21(,)f m n e =故选：C.【点睛】 本题主要考查了根据不等式恒成立求最值问题，解题关键是掌握不等式恒成立的解法和导数求函数单调性的解法，考查了分析能力和计算能力,属于难题.7．将函数()sin(2)f x x ϕ=-的图象向右平移18个周期后，所得图象关于y 轴对称，则ϕ的最小正值是（ ）A ．8πB ．34πC ．2πD ．4π 【答案】D【解析】【分析】由函数()sin y A ωx φ=+的图象平移变换公式求出变换后的函数解析式，再利用诱导公式得到关于ϕ的方程，对k 赋值即可求解.【详解】由题意知，函数()sin(2)f x x ϕ=-的最小正周期为22T ππ==,即88T π=, 由函数()sin y A ωx φ=+的图象平移变换公式可得，将函数()sin(2)f x x ϕ=-的图象向右平移18个周期后的解析式为 ()sin 2sin 284g x x x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 因为函数()g x 的图象关于y 轴对称， 所以,42k k z ππϕπ--=+∈，即3,4k k z πϕπ=-+∈， 所以当1k =时，ϕ有最小正值为4π. 故选：D【点睛】 本题考查函数()sin y A ωx φ=+的图象平移变换公式和三角函数诱导公式及正余弦函数的性质；熟练掌握诱导公式和正余弦函数的性质是求解本题的关键；属于中档题、常考题型.8．下列不等式正确的是（ ）A ．3sin130sin 40log 4>>B ．tan 226ln 0.4tan 48<<C ．()cos 20sin 65lg11-<< D ．5tan 410sin 80log 2>> 【答案】D【解析】【分析】根据3sin 40log 4,ln 0.40tan 226,cos(20)sin 70sin 65<1<<<-=>，利用排除法，即可求解．【详解】由3sin 40log 4,ln 0.40tan 226,cos(20)cos 20sin 70sin 65<1<<<-==>，可排除A 、B 、C 选项，又由551tan 410tan 501sin80log log 22=>>>=>， 所以5tan 410sin 80log 2>>．故选D ．【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质，以及对数的比较大小问题，其中解答熟记三角函数与对数函数的性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．9．如图所示，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，E 为AO 的中点，若(,)DE AB AD R λμλμ=+∈，则λμ+等于（ ）．A ．12-B ．12C ．1D ．1- 【答案】A【解析】【分析】 由平面向量基本定理，化简得13DE AB AD 44=-，所以13λ,μ44==-，即可求解，得到答案． 【详解】由平面向量基本定理，化简()11DE DA AE DA AC AD AB AD 44=+=+=-++ 13AB AD 44=-，所以13λ,μ44==-，即1λμ2+=-， 故选A ．【点睛】本题主要考查了平面向量基本定理的应用，其中解答熟记平面向量的基本定理，化简得到13DE AB AD 44=-是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，数基础题． 10． “11x y -≤+≤且11x y -≤-≤”是“221x y +≤”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】画出“11x y -≤+≤,11x y -≤-≤,221x y +≤,所表示的平面区域,即可进行判断. 【详解】如图，“11x y -≤+≤且11x y -≤-≤”表示的区域是如图所示的正方形，记为集合P ，“221x y +≤”表示的区域是单位圆及其内部，记为集合Q ，显然P 是Q 的真子集,所以答案是充分非必要条件，故选:A .【点睛】本题考查了不等式表示的平面区域问题,考查命题的充分条件和必要条件的判断,难度较易.11．以()3,1A -，()2,2B-为直径的圆的方程是 A ．2280x y x y +---= B ．2290x y x y +---=C ．2280x y x y +++-=D ．2290x y x y +++-= 【答案】A【解析】【分析】 设圆的标准方程，利用待定系数法一一求出,,a b r ，从而求出圆的方程.【详解】设圆的标准方程为222()()x a y b r -+-=，由题意得圆心(,)O a b 为A ，B 的中点， 根据中点坐标公式可得32122a -==，12122b -+==， 又22(32)(12)||342AB r ++--===，所以圆的标准方程为： 221117()()222x y -+-=，化简整理得2280x y x y +---=， 所以本题答案为A.【点睛】本题考查待定系数法求圆的方程，解题的关键是假设圆的标准方程，建立方程组，属于基础题. 12．集合}{220A x x x =--≤，{}10B x x =-<，则A B =( )A ．}{1x x <B ．}{11x x -≤<C ．{}2x x ≤D ．{}21x x -≤< 【答案】C【解析】【分析】 先化简集合A,B ，结合并集计算方法，求解，即可．【详解】解得集合()(){}{}21012A x x x x x =-+≤=-≤≤，{}1B x x =< 所以{}2A B x x ⋃=≤，故选C ．【点睛】本道题考查了集合的运算，考查了一元二次不等式解法，关键化简集合A,B ，难度较小．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

北京市普通高中2021届高考数学仿真试卷(四)一、单选题（本大题共27小题，共81.0分） 1.设p ，q 是两个命题：p ：log 12(|x|−3)>0,q ：x 2−56x +16>0，则p 是q 的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件2.已知函数f(x)={1−log 3(3−2x),x <13x−1,x ≥1，则f(−3)+f(log 315)=( )A. 2B. 4C. 6D. 83.若lna =log 13b =2c <1，则( ) A. a >b >cB. a >c >bC. b >a >cD. c >a >b4.点C 是线段AB 上任意一点，P 是直线AB 外一点，PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λPA ⃗⃗⃗⃗⃗ +μPB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，不等式m[λ2(μ+3)+μ2(λ+1)]≥(λ+1)(μ+3)(1−m ×3n )对满足条件的λ，μ及∀n ∈N 恒成立，则实数m 的取值范围( )A. [27,+∞)B. [12,+∞)C. [45,+∞)D. [56,+∞)5.在直角坐标系中，已知O 为坐标原点，A(−1,0)，B(1,0).点P 满足k PA ⋅k PB =3且|PA|+|PB|=4，则|OP|=( )A. 7√1313B. √855C. 5√1313D. √1326.直线x =π3，x =π2都是函数f(x)=sin(ωx +ϕ)(ω>0,−π<ϕ≤π)的对称轴，且函数f(x)在区间[π3,π2]上单调递减，则( )A. ω=6，φ=π2 B. ω=6，φ=−π2 C. ω=3，φ=π2D. ω=3，φ=−π27.已知角α的终边过点(12,−5)，则sinα+12cosα的值等于( )A. −113B. 113C. −112D. 1128.斗拱是中国古典建筑最富装饰性的构件之一，并为中国所持有，图一图二是北京故宫太和殿斗拱实物图，图三是斗拱构件之一的“斗”的几何体，本图中的斗是由棱台与长方体形凹槽(长方体去掉一个长相等，宽和高分别为原长方体一半的小长方体)组成．若棱台两底面面积分别是400cm2，900cm2，高为9cm，长方体形凹槽的高为12cm，斗的密度是0.50g/cm3.那么这个斗的质量是()A. 3990gB. 3010gC. 6900gD. 6300g9.已知点，，若点在函数的图象上，则使得的面积为2的点的个数为A. 4B. 3C. 2D. 1(a>0)，则点P的10.设定点F1(2,0)，F2(−2,0)，平面内一动点P满足条件|PF1|+|PF2|=4a+1a 轨迹是()A. 椭圆B. 双曲线C. 线段D. 椭圆或线段11.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长是1，线段B1D1上有两个动，则下列结论中错误的是()点E，F，且|EF|=√22A. AC⊥BEB. EF//平面ABCDC. 三棱锥A−BEF的体积为定值D. E，F，A，B四点共面12.直线a，b是异面直线是指①a∩b=⌀，且a与b不平行；②a⊂面α，b⊂面β，且平面α∩β=⌀；③a⊂面α，b⊂面β，且a∩b=⌀；④不存在平面α，能使a⊂α且b⊂α成立．上述结论正确的有()A. ①④B. ②③C. ③④D. ②④=()13.化简：1+sin4α+cos4α1+sin4α−cos4αA. cotαB. cot2αC. tanαD. tan2a14. 已知向量a⃗ =(2k −3,−6)，c ⃗ =(2,1)且a ⃗ //c ⃗ 则实数k =( ) A. −92B. 152C. 1515. 已知不重合的直线和平面，且， .给出下列命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则；其中正确命题的个数( )A. 1B. 2C. 3D. 416. 给出函数f(x)=a 2x−1+2(a 为常数，且a >0，a ≠1)，无论a 取何值，函数f(x)恒过定点P ，则P 的坐标是( )A. (0,1)B. (1,2)C. (1,3)D. (12,3)17. 若函数f(x)的定义域为[0,3)，则函数f(2x +1)的定义域是( )A. [1,7)B. [−12,7)C. [−12,1)D. [0,3)18. 设A ，B ，C 在一条直线上，O 在该直线外，已知OC⃗⃗⃗⃗⃗ =3x OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +(2−5x)OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则x 等于( ) A. 0B. 0.5C. 1D. 1.519. 已知函数则函数的零点个数为( )A. B. C. D.20. 某小区有老年人28个，中年人57个，年轻人63个，为了调查他们的身体健康状况，从他们中抽取容量为21的样本，最适合抽取样本的方法是( )A. 简单随机抽样B. 系统抽样C. 分层抽样D. 先从中年人中随机剔除1人，再用分层抽样21. 某中学奥数培训班共有14人，分为两个小组，在一次阶段测试中两个小组成绩的茎叶图如图所示，其中甲组学生成绩的平均数是88，乙组学生成绩的中位数是89，则n −m =( )A. 5B. 6C. 7D. 822. 设△ABC 的角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a 2+b 2=abcosC +√3absinC ，则△ABC 的形状为( )A. 直角非等腰三角形B. 等腰非等边三角形C. 等腰直角三角形D. 等边三角形23. 某学校制定奖励条例，对在教育教学中取得优异成绩的教职工实行奖励，其中有一个奖励项目是针对学生高考成绩的高低对任课教师进行奖励的.奖励公式为f(n)=k(n)(n −10)，n >10(其中n 是任课教师所在班级学生的该任课教师所教学科的平均成绩与该科省平均分之差，f(n)的单位为元)，而k(n)=现有甲、乙两位数学任课教师，甲所教的学生高考数学平均分超出省平均分18分，而乙所教的学生高考数学平均分超出省平均分21分，则乙所得奖励比甲所得奖励多( )A. 600元B. 900元C. 1600元D. 1700元24. 2.已知直线和平面，则能推出的是( )A. B. C. D.25. 在某公司中秋联欢晚会上设计了一个抽奖游戏，在一个口袋中装有5个红球和10个白球，这些球除颜色外完全相同，一次从中抽出3个球，至少抽到2个红球就中奖，则中奖的概率为( )A. 2091B. 2291C. 2491D. 269126. 从集合{1,2，3，4}中随机取一个元素a ，从集合{1,2，3}中随机取一个元素b ，则a >b 的概率是( )A. 512B. 12C. 712D. 2327. 甲、乙两人独立地解决同一问题，甲解决这个问题的概率是13，乙解决这个问题的概率是14，那么其中至少有一人解决这个问题的概率是( )A.B.C.D.二、解答题（本大题共4小题，共19.0分） 28. 定义行列式运算：∣∣∣x 1x 2x 3x 4∣∣∣=x 1x 4−x 2x 3，若函数f(x)=∣∣∣sin(ωx −π3)cosωx 01∣∣∣(ω>0)的最小正周期是π．(1)求函数f(x)的单调增区间；(2)数列{a n}的前n项和S n=An2，且A=f(5π12)，求证：数列{2a n a n+1}的前n项和T n<1．29.如图，ABCD为矩形，CF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，AB=4a，BC=CF=2a，P为AB的中点．(1)求证：平面PCF⊥平面PDE；(2)求四面体PCEF的体积．30.已知圆C：(x−1)2+y2=9内有一点P(2,2)，过点P作直线l交圆C于A、B两点．(1)当l经过圆心C时，求直线l的方程；(写一般式)(2)当直线l的倾斜角为45°时，求弦AB的长．31.(12分)(2015・六安一中检测)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v(x)是车流密度x的一次函数．(1)当0≤x≤200时，求函数f(x)的表达式；(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时同内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f(x)=x・v(x)可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/小时)【答案与解析】1.答案：A解析：解：p ：∵0<|x|−3<1， ∴3<|x|<4，∴−4<x <−3或3<x <4，q ：(−∞,13)∪(12,+∞)，结合数轴知p 是q 的充分而不必要条件，故选A首先解两个不等式，再判断不等式解的范围，判断p ，q 条件关系．本题主要考查对数不等式的求解，多项式不等式的求解，以及命题的充要条件，充分条件，必要条件的判断．要认真掌握．2.答案：B解析：解：∵函数f(x)={1−log 3(3−2x),x <13x−1,x ≥1，∴f(−3)=1−log 3(3+6)=−1， f(log 315)=3log 315−1=153=5，f(−3)+f(log 315)=−1+5=4． 故选：B ．推导出f(−3)=1−log 3(3+6)=−1，f(log 315)=3log 315−1=153=5，由此能求出f(−3)+f(log 315)的值．本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.答案：A解析：解∵2c <1，∴c <0，∵lna =log 13b =2c <1，∴0<lna =log 13b <1，∴1<a <e ，13<b <1， ∴a >b >c ， 故选：A ．利用对数函数和指数函数的性质求解．本题考查三个数的大小的比较，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用．4.答案：D解析：解：根据向量共线定理得：λ+μ=1，即μ=1−λ，其中λ∈[0,1]， 所以(λ+1)(μ+3)>0， 所以可将不等式化简为：(3λ2−λ+1−λ2+3λ+4)m ≥1−m ×3n ，令f(λ)=3λ2−λ+1−λ+3λ+4，λ∈[0,1]，所以f′(λ)=(4λ−1)(2λ+7)(−λ2+3λ+4)2，当f′(λ)>0时，λ∈(14,1)，即f(λ)在(14,1)上单调递增， 当f′(λ)<0时，λ∈(0,14)，即f(λ)在(0,14)上单调递减， 所以f(λ)在14处取得最小值，因为该不等式对满足条件的λ，μ及∀n ∈N 恒成立， 所以(3λ2−λ+1−λ2+3λ+4)m ≥1−m ×3n ，当m =0时，不等式不成立，当m <0时，等价于(3n )max ≤(1m −f(λ))min 恒成立，因为3n 没有最大值，所以不符合题意，舍去， 当m >0时，等价于(3n )min ≥(1m −f(λ))max 恒成立，即(3n )min ≥1m −f(λ)min ， 因为(3n )min =1，f(λ)min =f(14)=15， 所以1≥1m −15， 解得m ≥56， 故选：D ．根据向量共线定理得μ=1−λ，λ∈[0,1]，不等式化简为：(3λ2−λ+1−λ2+3λ+4)m ≥1−m ×3n ，令f(λ)=3λ2−λ+1−λ+3λ+4，利用导数得到f(λ)在14处取得最小值，再对m 分情况讨论，结合f(λ)的最小值，求出符合题意的m 的取值范围即可．本题主要考查了平面向量基本定理及坐标表示，函数的单调性以及不等关系与不等式，是中档题．5.答案：B解析：解：设点P(x,y)，A(−1,0)，B(1,0)， k PA =yx+1，k PB =yx−1， 所以k PA ⋅k PB =yx+1⋅yx−1=3， x 2−y 23=1，x ≠0，…①又|PA|+|PB|=4，所以点P 的轨迹为焦点在x 轴上的椭圆， 所以2a =4，a =2，c =1，b 2=a 2−b 2=3， 椭圆方程为x 24+y 23=1，…②由①②解得{x 2=85y 2=95， 则|OP|=√x 2+y 2=√85+95=√855．故选：B ．设出点P(x,y)，根据k PA ⋅k PB =3得出x 2−y 23=1(x ≠0)，根据|PA|+|PB|=4得出x 24+y 23=1，两方程联立得出x 2、y 2的值，计算OP 的值．本题考查了椭圆与双曲线的定义与标准方程应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．6.答案：A解析：解：直线x =π3，x =π2都是函数f(x)=sin(ωx +ϕ)(ω>0,−π<ϕ≤π)的对称轴，且函数f(x)在区间[π3,π2]上单调递减，所以T =2×(π2−π3)=π3； 所以ω=2ππ3=6，并且1=sin(6×π3+ϕ)，−π<ϕ≤π，所以，ϕ=π2；故选A ．由题意求出函数的周期，利用周期公式求出ω，结合−π<ϕ≤π，利用对称轴求出ϕ的值，即可得到选项．本题是基础题，考查三角函数的图象的应用，函数的基本性质，考查计算能力，推理能力．7.答案：B解析：解：∵α的终边过点(12,−5)， ∴r =√122+(−5)2=13，则sinα=−513，cosα=1213， 则sinα+12cosα=−513+12×1213=−513+613=113， 故选：B ．根据三角函数的定义求出sinα和cosα的值即可．本题主要考查三角函数值的计算，利用三角函数的定义进行求解是解决本题的关键．比较基础．8.答案：C解析：解：由题，棱台的体积V 1=13⋅9⋅(400+900+⋅√400⋅900)=5700(cm 3)，根据题意，长方体形凹槽是指长方体去掉一个长相等，宽和高分别为原长方体一半的小长方体， 所以长方体的凹槽的体积是原长方体体积的34倍． 长方体形凹槽的体积V 2=34⋅900⋅12=8100(cm 3)，这个斗的质量为m =ρ⋅(V 1+V 2)=0.50×(5700+8100)=6900g ． 故选：C ．根据题意，分别求出棱台的体积和长方体凹槽的体积，根据质量等于密度乘以体积即可求得． 本题主要考查空间几何体的体积公式，考查学生数形结合的能力，属于基础题．9.答案：A解析：试题分析：因为，所以AB 所在的直线方程为x +y −2=0，设过点C 与AB 平行且距离为2的直线为x +y +c =0，则直线x +y +c =0与抛物线的交点即为满足条件的点C ，又由两平行线间的距离公式得：，则满足条件的直线有两条，经验证有四个交点，因此选A 。

2021年高考数学真题试卷（北京卷）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．（共10题；共40分）1.已知集合A={x|−1<x<1}，B={x|0≤x≤2}，则A∪B=（）A. (−1,2)B. (−1,2]C. [0,1)D. [0,1]【答案】B【考点】并集及其运算【解析】【解答】解：根据并集的定义易得A∪B={x|−1<x≤2}，故答案为：B【分析】根据并集的定义直接求解即可.2.在复平面内，复数z满足(1−i)z=2，则z=（）A. 2+iB. 2−iC. 1−iD. 1+i【答案】 D【考点】复数代数形式的混合运算【解析】【解答】解：z=21−i =2(1+i)(1−i)(1+i)=1+i，故答案为：D【分析】根据复数的运算法则直接求解即可.3.已知f(x)是定义在上[0,1]的函数，那么“函数f(x)在[0,1]上单调递增”是“函数f(x)在[0,1]上的最大值为f(1)”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】【解答】解：①【充分性】若函数f(x)在[0, 1]上单调递增，根据函数的单调性可知:函数f(x)在[0, 1]的最大值为f(1),所以“函数f(x)在[0, 1].上单调递增”为“函数f(x)在[0, 1]的最大值为f(1)“的充分条件；②【必要性】若函数f(x)在[0, 1]的最大值为f(1)，函数f(x)在[0, 1]上可能先递减再递增，且最大值为f(1)，所以“函数f(x)在[0, 1].上单调递增”不是“函数f(x)在[0, 1]的最大值为f(1)“的必要条件，所以“函数f(x)在[0, 1]上单调递增”是“函数f(x)在[0, 1]的最大值为f(1)“的充分而不必要条件.故答案为：A【分析】根据充分条件与必要条件的判定直接求解即可.4.某四面体的三视图如图所示，该四面体的表面积为（）A. 3+√32B. 4C. 3+√3D. 2【答案】A【考点】由三视图求面积、体积，由三视图还原实物图，棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积【解析】【解答】解：由三视图可知该四面体如下图所示：该四面体为直三棱锥，其中SA⊥平面ABC，SA=AB=AC=1，则SB=SC=BC=√2，则所求表面积为S=3×(12×1×1)+12×√2×√2×sin60°=3+√32故答案为：A【分析】根据三视图还原几何体，结合棱锥的表面积公式求解即可.5.双曲线C:x2a2−y2b2=1过点(√2,√3)，且离心率为2，则该双曲线的标准方程为（）A. x 2−y 23=1 B. x 23−y 2=1 C. x 2−√3y 23=1 D.√3x 23−y 2=1【答案】 A【考点】双曲线的标准方程，双曲线的简单性质 【解析】【解答】解：由e =ca =2得c=2a ，则b 2=c 2-a 2=3a 2 则可设双曲线方程为：x 2a 2−y 23a 2=1 ，将点(√2,√3) 代入上式，得(√2)2a 2−(√3)23a 2=1解得a 2=1,b 2=3 故所求方程为： x 2−y 23=1故答案为：A【分析】根据双曲线的离心率的定义，结合双曲线的几何性质和标准方程求解即可.6.{a n } 和 {b n } 是两个等差数列，其中 akb k(1≤k ≤5) 为常值， a 1=288 ， a 5=96 ， b 1=192 ，则b 3= （ ）A. 64B. 128C. 256D. 512 【答案】 B【考点】等差数列的性质【解析】【解答】解：由题意得a k b k=a 1b 1=288192=32 ， 则a 5b 5=32 ， 则b 5=23a 5=64 ， 所以b 3=b 1+b 52=192+642=128.故答案为：B【分析】根据题设条件，结合等差数列的性质求解即可.7.函数 f(x)=cosx −cos2x ，试判断函数的奇偶性及最大值（ ） A. 奇函数，最大值为2 B. 偶函数，最大值为2 C. 奇函数，最大值为 98 D. 偶函数，最大值为 98 【答案】 D【考点】偶函数，二次函数在闭区间上的最值【解析】【解答】解：∵f(-x)=cos(-x)-cos(-2x)=cosx-cos2x=f(x) ∴f(x)为偶函数又f(x)=cosx-cos2x=-2cos 2x+cosx+1 令t=cosx ，则y=-2t 2+t+1，t ∈[-1,1]，则当t =−12×(−2)=14时，y 取得最大值y max =(−2)×(14)2+14+1=98.故答案为：D【分析】根据偶函数的定义，利用换元法，结合二次函数的最值求解即可.8.定义：24小时内降水在平地上积水厚度（mm）来判断降雨程度．其中小雨（<10mm），中雨（10mm−25mm），大雨（25mm−50mm），暴雨（50mm−100mm），小明用一个圆锥形容器接了24小时的雨水，如图，则这天降雨属于哪个等级（）A. 小雨B. 中雨C. 大雨D. 暴雨【答案】B【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）【解析】【解答】解：如图所示，由题意得r100=150300，则r=50则雨水的体积为V=13πr2h=13π×502×150，则降雨的厚度（高度）为H=Vπ×1002=13π×502×150π×1002=12.5(mm)故答案为：B【分析】根据圆锥的体积公式，及圆柱的体积公式求解即可.9.已知圆C:x2+y2=4，直线l:y=kx+m，当k变化时，l截得圆C弦长的最小值为2，则m=（）A. ±2B. ±√2C. ±√3D. ±√5【答案】C【考点】点到直线的距离公式，直线与圆的位置关系【解析】【解答】解：由题意可设弦长为n，圆心到直线l的距离为d，则d2=r2−(n2)2=4−n24，则当n取最小值2时，d取得最大值为√3，则d=√1+k2≤√3当k=0时，d取得最大值为√3，则|m|=√3解得m=±√3故答案为：C【分析】根据直线与圆的位置，以及相交弦的性质，结合点到直线的距离公式求解即可.10.数列{a n}是递增的整数数列，且a1≥3，a1+a2+⋅⋅⋅+a n=100，则n的最大值为（）A. 9B. 10C. 11D. 12【答案】C【考点】等差数列的通项公式，等差数列的前n项和【解析】【解答】解：∵数列{a n}是递增的整数数列，∴n要取最大，d尽可能为小的整数，故可假设d=1∵a1=3，d=1∴a n=n+2∴S n=(3+n+2)n2=n2+5n2则S11=88<100，S12=102>100，故n的最大值为11.故答案为：C【分析】根据等差数列的通项公式及前n项和公式求解即可.二、填空题5小题，每小题5分，共25分．（共5题；共25分）11.(x3−1x)4展开式中常数项为________．【答案】-4【考点】二项式定理，二项式系数的性质，二项式定理的应用【解析】【解答】解：由题意得二项展开式的通项公式为T k+1=C4k(x3)4−k(−1x )k=C4k(−1)k x12−4k令12-4k=0，得k=3故常数项为T4=T3+1=C43(−1)3=−4故答案为：-4【分析】根据二项展开式的通项公式直接求解即可.12.已知抛物线C:y2=4x，焦点为F，点M为抛物线C上的点，且|FM|=6，则M的横坐标是________；作MN⊥x轴于N，则S△FMN=________．【答案】5；4√5【考点】抛物线的简单性质，抛物线的应用【解析】【解答】解：由题意知焦点F为（1,0），准线为x=-1，设点M为（x0,y0）,则有|FM|=x0+1=6，解得x0=5，则y0=2√5，不妨取点M为(5,2√5)则点N为(5,0)则|FN|=5-1=4则S△FMN=12×|FN|×|MN|=12×4×2√5=4√5故答案为：5，4√5【分析】根据抛物线的几何性质，结合三角形的面积公式求解即可.13.若点P(cosθ,sinθ)与点Q(cos(θ+π6),sin(θ+π6))关于y轴对称，写出一个符合题意的θ=________．【答案】5π12（满足θ=5π12+kπ,k∈Z即可）【考点】诱导公式【解析】【解答】解：由题意得{sinθ=sin(θ+π6)cosθ=−cos(θ+π6))，对比诱导公式sinα=sin(π-α)，cosα=-cos(π-α)得θ+π6=π−θ+2kπ，解得θ=5π12+kπ,k∈Z当k=0时，θ=5π12故答案为：5π12【分析】根据点的对称性，结合诱导公式求解即可.14.已知函数f(x)=|lgx|−kx−2，给出下列四个结论：①若k=0，则f(x)有两个零点；② ∃k<0，使得f(x)有一个零点；③ ∃k<0，使得f(x)有三个零点；④ ∃k>0，使得f(x)有三个零点．以上正确结论得序号是________．【答案】①②④【考点】函数的零点【解析】【解答】解：令|lgx|- kx-2=0，即y= |lgx|与y= kx+ 2有几个交点，原函数就有几个零点， ①当k= 0时，如图1画出函数图像，f(x)=|lgx|-2，解得x=100或x =1100 ， 所以有两个零点，故①项正确；②当k<0时，y= kx+2过点(0,2)，如图2画出两个函数的图像，∃k <0 ， 使得两函数存在两个交点，故②项正确；③当k<0时，y= kx+2过点(0,2)，如图3画出两个函数的图像，不存在k<0时，使得两函数存在三个交点，故③项错误；④当k>0时，y= kx+2过点(0,2)，如图4画出两个函数的图像，∃k >0 ， 使得两函数存在三个交点，故④项正确. 故答案为：①②④【分析】根据函数的零点的几何性质，运用数形结合思想求解即可.15.a ⃗=(2,1) ， b ⃗⃗=(2,−1) ， c ⃗=(0,1) ，则 (a ⃗+b ⃗⃗)⋅c ⃗= ________； a ⃗⋅b ⃗⃗= ________． 【答案】 0；3【考点】平面向量的坐标运算，平面向量数量积的坐标表示、模、夹角【解析】【解答】解：由题意得a →+b →=(4,0) ， 则(a →+b →)·c →=4×0+0×1=0 ， a →·b →=2×2+1×(−1)=3 故答案为：0，3【分析】根据向量的坐标运算，及向量的数量积运算求解即可.三、解答题共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．（共6题；共85分）16.已知在 △ABC 中， c =2bcosB ， C =2π3．（1）求 B 的大小；（2）在下列三个条件中选择一个作为已知，使 △ABC 存在且唯一确定，并求出 BC 边上的中线的长度． ① c =√2b ；②周长为 4+2√3 ；③面积为 S ΔABC =3√34；【答案】 （1）∵c =2bcosB ，则由正弦定理可得 sinC =2sinBcosB ， ∴sin2B =sin2π3=√32， ∵C =2π3， ∴B ∈(0,π3) ， 2B ∈(0,2π3) ，∴2B =π3 ，解得 B =π6 ；（2）若选择①：由正弦定理结合（1）可得 cb =sinCsinB =√3212=√3 ，与 c =√2b 矛盾，故这样的 △ABC 不存在； 若选择②：由（1）可得 A =π6 ， 设 △ABC 的外接圆半径为 R ，则由正弦定理可得a=b=2Rsinπ6=R，c=2Rsin2π3=√3R，则周长a+b+c=2R+√3R=4+2√3，解得R=2，则a=2,c=2√3，由余弦定理可得BC边上的中线的长度为：√(2√3)2+12−2×2√3×1×cosπ6=√7；若选择③：由（1）可得A=π6，即a=b，则S△ABC=12absinC=12a2×√32=3√34，解得a=√3，则由余弦定理可得BC边上的中线的长度为：√b2+(a2)2−2×b×a2×cos2π3=√3+34+√3×√32=√212.【考点】正弦定理，余弦定理，正弦定理的应用，余弦定理的应用，三角形中的几何计算【解析】【分析】（1）根据正弦定理，结合三角形内角和的性质求解即可；（2）选择①：根据正弦定理，结合（1）进行判断即可；选择②：根据正弦定理，及余弦定理求解即可；选择③：根据三角形的面积公式，结合余弦定理求解即可.17.已知正方体ABCD−A1B1C1D1，点E为A1D1中点，直线B1C1交平面CDE于点F．（1）证明：点F为B1C1的中点；（2）若点M为棱A1B1上一点，且二面角M−CF−E的余弦值为√53，求A1MA1B1的值．【答案】（1）如图所示，取B1C1的中点F′，连结DE,EF′,F′C，由于 ABCD −A 1B 1C 1D 1 为正方体， E,F ′ 为中点，故 EF ′∥CD ， 从而 E,F ′,C,D 四点共面，即平面CDE 即平面 CDEF ′ ， 据此可得：直线 B 1C 1 交平面 CDE 于点 F ′ ，当直线与平面相交时只有唯一的交点，故点 F 与点 F ′ 重合， 即点 F 为 B 1C 1 中点.（2）以点 D 为坐标原点， DA,DC,DD 1 方向分别为 x 轴， y 轴， z 轴正方形，建立空间直角坐标系 D −xyz ，不妨设正方体的棱长为2，设 A 1MA1B 1=λ(0≤λ≤1) ，则： M(2,2λ,2),C(0,2,0),F(1,2,2),E(1,0,2) ，从而： MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−2,2−2λ,−2),CF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(1,0,2),FE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(0,−2,0) ， 设平面 MCF 的法向量为： m⃗⃗⃗=(x 1,y 1,z 1) ，则： {m ⇀⋅MC⇀=−2x 1+(2−2λ)y 1−2z 1=0m ⇀⋅CF ⇀=x 1+2z 1=0 ， 令 z 1=−1 可得： m ⃗⃗⃗=(2,11−λ,−1) ， 设平面 CFE 的法向量为： n⃗⃗=(x 2,y 2,z 2) ，则： {n ⇀⋅FE⇀=−2y 2=0n ⇀⋅CF ⇀=x 2+2z 2=0， 令 z 1=−1 可得： n⃗⃗=(2,0,−1) ， 从而： m ⃗⃗⃗⋅n ⃗⃗=5,|m ⃗⃗⃗|=√5+(11−λ)2,|n ⃗⃗|=√5 ，则：cos〈m⃗⃗⃗,n⃗⃗〉=m⃗⃗⃗⃗⋅n⃗⃗|m⃗⃗⃗⃗|×|n⃗⃗|=√5+(11−λ)2×√5=√53，整理可得：(λ−1)2=14，故λ=12（λ=32舍去）.【考点】空间中直线与平面之间的位置关系，与二面角有关的立体几何综合题，用空间向量求平面间的夹角【解析】【分析】（1）根据正方体的性质，结合直线与平面相交的性质定理求证即可；（2）根据向量法求二面角，结合方程的思想求解即可.18.为加快新冠肺炎检测效率，某检测机构采取“k合1检测法”，即将k个人的拭子样本合并检测，若为阴性，则可以确定所有样本都是阴性的；若为阳性，则还需要对本组的每个人再做检测．现有100人，已知其中2人感染病毒．（1）①若采用“10合1检测法”，且两名患者在同一组，求总检测次数；②已知10人分成一组，分10组，两名感染患者在同一组的概率为111，定义随机变量X为总检测次数，求检测次数X的分布列和数学期望E(X)；（2）若采用“5合1检测法”，检测次数Y的期望为E(Y)，试比较E(X)和E(Y)的大小(直接写出结果)．【答案】（1）①对每组进行检测，需要10次；再对结果为阳性的组每个人进行检测，需要10次；所以总检测次数为20次；②由题意，X可以取20，30，P(X=20)=111，P(X=30)=1−111=1011，则X的分布列:所以E(X)=20×111+30×1011=32011；（2）由题意，Y可以取25，30，设两名感染者在同一组的概率为p，P(Y=25)=p，P(Y=30)=1−p，则E(Y)=25p+30(1−p)=30−5p，若p=211时，E(X)=E(Y)；若p>211时，E(X)>E(Y)；若p<211时，E(X)<E(Y).【考点】简单随机抽样，互斥事件与对立事件，离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差【解析】【分析】（1）①根据“k合1检测法”，结合随机抽样的定义求解即可；②根据“k合1检测法”，以及对立事件的概率，结合离散型随机变量的分布列和期望求解即可；（2）根据“k合1检测法”，以及对立事件的概率，结合离散型随机变量的期望求解即可.19.已知函数f(x)=3−2xx2+a．（1）若a=0，求y=f(x)在(1,f(1))处切线方程；（2）若函数f(x)在x=−1处取得极值，求f(x)的单调区间，以及最大值和最小值．【答案】（1）当a=0时，f(x)=3−2xx2，则f′(x)=2(x−3)x3，∴f(1)=1，f′(1)=−4，此时，曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y−1=−4(x−1)，即4x+y−5=0；（2）因为f(x)=3−2xx2+a ，则f′(x)=−2(x2+a)−2x(3−2x)(x2+a)2=2(x2−3x−a)(x2+a)2，由题意可得f′(−1)=2(4−a)(a+1)2=0，解得a=4，故f(x)=3−2xx2+4，f′(x)=2(x+1)(x−4)(x2+4)2，列表如下：所以，函数f(x)的增区间为(−∞,−1)、(4,+∞)，单调递减区间为(−1,4).当x<32时，f(x)>0；当x>32时，f(x)<0.所以，f(x)max=f(−1)=1，f(x)min=f(4)=−14.【考点】导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值，利用导数求闭区间上函数的最值【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可；（2）根据导数研究函数的极值求得a值，再利用导数研究函数的单调性以及最值即可.20.已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点A(0,−2)，以四个顶点围成的四边形面积为4√5．（1）求椭圆E的标准方程；（2）过点P(0，-3)的直线l斜率为k，交椭圆E于不同的两点B，C，直线AB，AC交y=-3于点M、N，直线AC交y=-3于点N，若|PM|+|PN|≤15，求k的取值范围．【答案】（1）因为椭圆过A(0,−2)，故b=2，因为四个顶点围成的四边形的面积为4√5，故12×2a×2b=4√5，即a=√5，故椭圆的标准方程为：x25+y24=1.（2）设B(x1,y1),C(x2,y2)，因为直线BC的斜率存在，故x1x2≠0，故直线AB:y=y1+2x1x−2，令y=−3，则x M=−x1y1+2，同理x N=−x2y2+2.直线BC:y=kx−3，由{y=kx−34x2+5y2=20可得(4+5k2)x2−30kx+25=0，故Δ=900k2−100(4+5k2)>0，解得k<−1或k>1.又x1+x2=30k4+5k2,x1x2=254+5k2，故x1x2>0，所以x M x N>0又|PM|+|PN|=|x M+x N|=|x1y1+2+x2y2+2|=|x1kx1−1+x2kx2−1|=|2kx1x2−(x1+x2)k2x1x2−k(x1+x2)+1|=|50k4+5k2−30k4+5k225k24+5k2−30k24+5k2+1|=5|k|故5|k|≤15即|k|≤3，综上，−3≤k<−1或1<k≤3.【考点】椭圆的标准方程，椭圆的简单性质，直线与圆锥曲线的关系，直线与圆锥曲线的综合问题【解析】【分析】（1）根据椭圆的几何性质求解即可；（2）根据直线与椭圆的位置关系，利用根与系数的关系，结合弦长公式求解即可.21.定义R p数列{a n}：对实数p，满足：① a1+p≥0，a2+p=0；② ∀n∈N∗,a4n−1<a4n；③ a m+n∈{a m+a n+p,a m+a n+p+1}，m,n∈N∗．（1）对于前4项2，-2，0，1的数列，可以是R2数列吗？说明理由；（2）若{a n}是R0数列，求a5的值；（3）是否存在p，使得存在R p数列{a n}，对∀n∈N∗,S n≥S10？若存在，求出所有这样的p；若不存在，说明理由．【答案】（1）由性质③结合题意可知0=a3∈{a1+a2+2,a1+a2+2+1}={2,3}，矛盾，故前4项2,−2,0,1的数列，不可能是R2数列.（2）性质① a1≥0,a2=0，由性质③ a m+2∈{a m,a m+1}，因此a3=a1或a3=a1+1，a4=0或a4=1，若a4=0，由性质②可知a3<a4，即a1<0或a1+1<0，矛盾；若a4=1,a3=a1+1，由a3<a4有a1+1<1，矛盾.因此只能是a4=1,a3=a1.或a1=0.又因为a4=a1+a3或a4=a1+a3+1，所以a1=12若a1=1，则a2=a1+1∈{a1+a1+0,a1+a1+0+1}={2a1,2a1+1}={1,2}，2不满足a2=0，舍去.当a1=0，则{a n}前四项为:0，0，0，1，下面用纳法证明a4n+i=n(i=1,2,3),a4n+4=n+1(n∈N)：当n=0时，经验证命题成立，假设当n≤k(k≥0)时命题成立，当n=k+1时：若i=1，则a4(k+1)+1=a4k+5=a j+(4k+5−j)，利用性质③：{a j+a4k+5−j∣j∈N∗,1≤j≤4k+4}={k,k+1}，此时可得：a4k+5=k+1；否则，若a4k+5=k，取k=0可得：a5=0，而由性质②可得：a5=a1+a4∈{1,2}，与a5=0矛盾.同理可得：{a j+a4k+6−j∣j∈N∗,1≤j≤4k+5}={k,k+1}，有a4k+6=k+1；{a j+a4k+8−j∣j∈N∗,2≤j≤4k+6}={k+1,k+2}，有a4k+8=k+2；{a j+a4k+7−j∣j∈N∗,1≤j≤4k+6}={k+1}，又因为a4k+7<a4k+8，有a4k+7=k+1.即当n=k+1时命题成立，证毕.综上可得：a1=0，a5=a4×1+1=1.（3）令b n=a n+p，由性质③可知：∀m,n∈N∗,b m+n=a m+n+p∈{a m+p+a n+p,a m+p+a n+p+1}={b m+b n,b m+b n+1}，由于b1=a1+p≥0,b2=a2+p=0,b4n−1=a4n−1+p<a4n+p=b4n，因此数列{b n}为R0数列.由（2）可知:若∀n∈N,a4n+i=n−p(i=1,2,3),a4n+4=n+1−p；S11−S10=a11=a4×2+3=2−p≥0，S9−S10=−a10=−a4×2+2=−(2−p)≥0，因此p=2，此时a1,a2,…,a10≤0，a j≥0(j≥11)，满足题意.【考点】数列的概念及简单表示法，数学归纳法，数学归纳法的证明步骤【解析】【分析】（1）根据新数列R p数列的定义进行判断即可；（2）根据新数列R p数列的定义，结合数学归纳法求解即可；（3）根据新数列R p数列的定义，结合a n与s n的关系进行判断即可.。

北京市崇文区2021届新高考最新终极猜押数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合M ＝{y ｜y ＝，x ＞0}，N ＝{x ｜y ＝lg （2x －）}，则M∩N 为（ ）A ．（1，＋∞）B ．（1，2）C ．[2，＋∞）D ．[1，＋∞）【答案】B【解析】，， ∴． 故选．2．抛物线23x ay =的准线方程是1y =，则实数a =（ ）A ．34-B ．34 C ．43- D ．43【答案】C【解析】【分析】根据准线的方程写出抛物线的标准方程,再对照系数求解即可.【详解】因为准线方程为1y =,所以抛物线方程为24x y =-,所以34a =-,即43a =-.故选：C【点睛】本题考查抛物线与准线的方程.属于基础题.3．已知,αβ是空间中两个不同的平面，,m n 是空间中两条不同的直线，则下列说法正确的是（） A ．若,m n αβ⊂⊂，且αβ⊥，则 m n ⊥B ．若,m n αα⊂⊂，且//,//m n ββ，则//αβC ．若,//m n αβ⊥，且αβ⊥，则 m n ⊥D ．若,//m n αβ⊥，且//αβ，则m n ⊥【答案】D【解析】【分析】利用线面平行和垂直的判定定理和性质定理,对选项做出判断，举出反例排除.【详解】解：对于A ，当,m n αβ⊂⊂，且αβ⊥，则m 与n 的位置关系不定，故错；对于B ，当//m n 时，不能判定//αβ，故错；对于C ，若,//m n αβ⊥，且αβ⊥，则m 与n 的位置关系不定，故错；对于D ，由,//m βαα⊥可得m β⊥，又//n β，则m n ⊥故正确．故选：D ．【点睛】本题考查空间线面位置关系.判断线面位置位置关系利用好线面平行和垂直的判定定理和性质定理. 一般可借助正方体模型，以正方体为主线直观感知并准确判断．4．已知单位向量a ，b 的夹角为34π，若向量2m a =，4n a b λ=-，且m n ⊥，则n =（ ） A ．2B ．2C ．4D ．6【答案】C【解析】【分析】根据m n ⊥列方程，由此求得λ的值，进而求得n .【详解】由于m n ⊥，所以0m n ⋅=，即 ()23248282cos804a a b a a b πλλλ⋅-=-⋅=-⋅==，解得λ==-所以442n a b =+所以 ()222442163223248324a b a a b b n +=+⋅+===+=. 故选：C【点睛】本小题主要考查向量垂直的表示，考查向量数量积的运算，考查向量模的求法，属于基础题.5．体育教师指导4个学生训练转身动作，预备时，4个学生全部面朝正南方向站成一排.训练时，每次都让3个学生“向后转”，若4个学生全部转到面朝正北方向，则至少需要“向后转”的次数是（ ） A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B【解析】【分析】通过列举法，列举出同学的朝向，然后即可求出需要向后转的次数.【详解】“正面朝南”“正面朝北”分别用“∧”“∨”表示，利用列举法，可得下表，可知需要的次数为4次.故选：B.【点睛】本题考查的是求最小推理次数，一般这类题型构造较为巧妙，可通过列举的方法直观感受，属于基础题.6．在长方体1111ABCD A B C D -中，11AB AD AA ==，1DD 与平面1ABC 所成角的余弦值为（ ）A B ．C D 【答案】C【解析】【分析】在长方体中11//AB C D ， 得1DD 与平面1ABC 交于1D ，过D 做1DO AD ⊥于O ，可证DO ⊥平面11ABC D ，可得1DD A ∠为所求解的角，解1Rt ADD ∆，即可求出结论.【详解】在长方体中11//AB C D ，平面1ABC 即为平面11ABC D ，过D 做1DO AD ⊥于O ，AB ⊥平面11AA D D ，DO ⊂平面111,,AA D D AB DO ABAD D ∴⊥=，DO ∴⊥平面11ABC D ，1DD A ∴∠为1DD 与平面1ABC 所成角， 在1111,3,2,5Rt ADD DD AA AD AD ∆===∴=，111315cos 55DD DD A AD ∴∠===， ∴直线1DD 与平面1ABC 所成角的余弦值为155. 故选:C.【点睛】本题考查直线与平面所成的角，定义法求空间角要体现“做”“证”“算”，三步骤缺一不可，属于基础题. 7．如图，某几何体的三视图是由三个边长为2的正方形和其内部的一些虚线构成的，则该几何体的体积为( )A ．23B ．163C ．6D ．与点O 的位置有关【答案】B【解析】【分析】根据三视图还原直观图如下图所示，几何体的体积为正方体的体积减去四棱锥的体积，即可求出结论.【详解】如下图是还原后的几何体，是由棱长为2的正方体挖去一个四棱锥构成的，正方体的体积为8，四棱锥的底面是边长为2的正方形，顶点O 在平面11ADD A 上，高为2，所以四棱锥的体积为184233⨯⨯=，所以该几何体的体积为816833-=. 故选:B.【点睛】本题考查三视图求几何体的体积，还原几何体的直观图是解题的关键，属于基础题.8． 下列与的终边相同的角的表达式中正确的是( ) A ．2kπ＋45°(k ∈Z)B ．k·360°＋π(k ∈Z)C ．k·360°－315°(k ∈Z) D ．kπ＋ (k ∈Z) 【答案】C【解析】【分析】利用终边相同的角的公式判断即得正确答案.【详解】与的终边相同的角可以写成2kπ＋ (k ∈Z)，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有答案C 正确. 故答案为C【点睛】（1）本题主要考查终边相同的角的公式，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 与α终边相同的角β=0360k ⋅+α 其中k z ∈.9．若函数()ln f x x x h =-++，在区间1,e e⎡⎤⎢⎥⎣⎦上任取三个实数a ，b ，c 均存在以()f a ，f b ，()f c 为边长的三角形，则实数h 的取值范围是（ ） A ．11,1e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ B ．11,3e e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ C ．11,e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭ D ．()3,e -+∞【答案】D【分析】利用导数求得()f x 在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小，根据三角形两边的和大于第三边列不等式，由此求得h 的取值范围.【详解】 ()f x 的定义域为()0,∞+，()'111x f x x x-=-+=， 所以()f x 在1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭上递减，在()1,e 上递增，()f x 在1x =处取得极小值也即是最小值，()1ln111f h h =-++=+，1111ln 1f h h e e e e ⎛⎫=-++=++ ⎪⎝⎭，()ln 1f e e e h e h =-++=-+，()1f f e e ⎛⎫< ⎪⎝⎭， 所以()f x 在区间1,e e⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为()1f e e h =-+. 要使在区间1,e e⎡⎤⎢⎥⎣⎦上任取三个实数a ，b ，c 均存在以()f a ，f b ，()f c 为边长的三角形， 则需()()()f a f b f c +>恒成立，且()10f >，也即()()()max min f a f b f c +>⎡⎤⎣⎦，也即当1a b ==、c e =时，()()21e f f >成立，即()211h e h +>-+，且()10f >，解得3h e >-.所以h 的取值范围是()3,e -+∞.故选：D【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的最值，考查恒成立问题的求解，属于中档题.10．如图，将两个全等等腰直角三角形拼成一个平行四边形ABCD ，将平行四边形ABCD 沿对角线BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，则直线AC 与BD 所成角余弦值为（ ）A ．223B ．6C 3D ．13【答案】C【解析】利用建系，假设AB 长度，表示向量AC 与BD ，利用向量的夹角公式，可得结果.【详解】由平面ABD ⊥平面BCD ，AB BD ⊥平面ABD ⋂平面BCD BD =，AB 平面ABD所以AB ⊥平面BCD ，又DC ⊂平面BCD所以AB DC ⊥，又DB DC ⊥所以作z 轴//AB ,建立空间直角坐标系B xyz -如图设1AB =，所以1,1,2BD DC BC ===则()()()()0,1,1,0,1,0,1,0,0,0,0,0A B C D所以()()1,1,1,0,1,0AC BD =--- 所以3cos ,3AC BD AC BD AC BD ⋅=== 故选：C【点睛】本题考查异面直线所成成角的余弦值，一般采用这两种方法：（1）将两条异面直线作辅助线放到同一个平面，然后利用解三角形知识求解；（2）建系，利用空间向量，属基础题.11．设2log 3a =，4log 6b =，0.15c -=，则（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．c b a >> 【答案】A【解析】先利用换底公式将对数都化为以2为底,利用对数函数单调性可比较,a b ,再由中间值1可得三者的大小关系.【详解】()2log 31,2a =∈，()422log 6log 1,log 3b ==，()0.150,1c -=∈，因此a b c >>，故选：A.【点睛】本题主要考查了利用对数函数和指数函数的单调性比较大小,属于基础题.12．在明代程大位所著的《算法统宗》中有这样一首歌谣，“放牧人粗心大意，三畜偷偷吃苗青，苗主扣住牛马羊，要求赔偿五斗粮，三畜户主愿赔偿，牛马羊吃得异样．马吃了牛的一半，羊吃了马的一半．”请问各畜赔多少？它的大意是放牧人放牧时粗心大意，牛、马、羊偷吃青苗，青苗主人扣住牛、马、羊向其主人要求赔偿五斗粮食（1斗=10升），三畜的主人同意赔偿，但牛、马、羊吃的青苗量各不相同．马吃的青苗是牛的一半，羊吃的青苗是马的一半．问羊、马、牛的主人应该分别向青苗主人赔偿多少升粮食？（ ）A ．2550100,,777B ．252550,,1477C ．100200400,,777D ．50100200,,777【答案】D【解析】【分析】设羊户赔粮1a 升,马户赔粮2a 升,牛户赔粮3a 升,易知123,,a a a 成等比数列,1232,50q a a a =++=,结合等比数列的性质可求出答案.【详解】设羊户赔粮1a 升,马户赔粮2a 升,牛户赔粮3a 升,则123,,a a a 成等比数列,且公比1232,50q a a a =++=,则1(1a q +)250q +=,故1250501227a ==++,2110027a a ==,23120027a a ==. 故选:D.【点睛】 本题考查数列与数学文化,考查了等比数列的性质,考查了学生的运算求解能力,属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。