2.4等比数列（二）教材分析：本节教材是继学习等比数列的定义以及基本性质之后的关于等比数列的学习，相对于等差数列而言，本节知识更具有较强的逻辑性，变化也更多， 应用也更为广泛。
但是等差数列的学习给了学生一个较好的比较对象，因此以此为基础比较学习更利于学生的掌握。
学情分析：学生在学习完了等差数列的基本性质以及前N 项和公式之后对于数列有了一个较为整体的理解，这样对于学生学习等比数列有一个好的比较对象，一边类比一边研究相应知识点。
教学目标：（一） 知识与技能目标 1． 等比中项的概念；2． 掌握＂判断数列是否为等比数列＂常用的方法； 3． 进一步熟练掌握等比数列的通项公式、性质及应用． （二） 过程与能力目标1． 明确等比中项的概念；2． 进一步熟练掌握等比数列的通项公式、性质及应用． 教学重点等比数列的通项公式、性质及应用． 教学难点灵活应用等比数列的定义及性质解决一些相关问题． 教学过程 一、复习1．等比数列的定义．2. 等比数列的通项公式:)0,(111≠⋅=-q a q a a n n ， )0,(≠⋅=-q a q a a m m n m n ， )0,(≠=B A AB a n n3．｛a n ｝成等比数列⇔)0,( 1≠∈=++q N n q a a nn 4．求下面等比数列的第4项与第5项：（1）5，－15，45，……；（2）1.2，2.4，4.8，……；（3）22,1,2)4(;,83.21,32 ，…….二、讲解新课：思考：类比等差中项的概念，你能说出什么是等比中项吗？1．等比中项：如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a , G ，b 成等比数列，那么称这个数G为a 与b 的等比中项. 即G =±ab （a ,b 同号） ，则ab G ab G Gba G ±=⇒=⇒=2， 反之，若G 2=ab ,则Gb a G =，即a ,G ,b 成等比数列 ∴a ,G ,b 成等比数列⇔G 2=ab （a ·b ≠0）例1．三个数成等比数列,它的和为14,它们的积为64,求这三个数. 解:设m ,G ,n 为所求的三个数,有已知得m +n + G =14, 64=⋅⋅G n m , ,2mn G = ,4643=⇒=∴G G ⎩⎨⎧=⋅=+∴,16,10n m n m ⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==∴.8,2,2,8n m n m 或 ∴这三个数为8,4,2或2,4,8. 解法二:设所求三个数分别为,,,aq a qa则,4,643=∴=a a 又,14=++aq a q a 14444=++∴q q解得,21,2==q q 或∴这三个数为8,4,2或2,4,8.2．等比数列的性质：若m +n =p +k ，则k p n m a a a a = 在等比数列中，m +n =p +q ，k p n m a a a a ,,,有什么关系呢？ 由定义得：11n 11 --==n m m q a a q a a 11k 11 --⋅==k p p q a a qa a221-+=⋅n m n m q a a a ，221-+=⋅k p k p q a a a则k p n m a a a a =例2. 已知{n a }是等比数列，且252,0645342=++>a a a a a a a n , 求53a a +．解： ∵{n a }是等比数列，∴ 2a 4a ＋23a 5a ＋4a 6a ＝(3a ＋5a )2＝25,又n a >0, ∴3a ＋5a ＝5;3．判断等比数列的常用方法：定义法，中项法，通项公式法例3．已知{}{}n n b a ,是项数相同的等比数列，求证{}n n b a ⋅是等比数列.证明：设数列{}n a 的首项是1a ，公比为1q ;{}n b 的首项为1b ，公比为2q ，那么数列{}n n b a ⋅的第n 项与第n +1项分别n n nn n n q q b a q q b a q b q a q b q a )()(2111121112111121111与即为与---⋅⋅⋅⋅⋅⋅.)()(2112111211111q q q q b a q q b a b a b a n nn n n n ==⋅⋅-++ 它是一个与n 无关的常数，所以{}n n b a ⋅是一个以q 1q 2为公比的等比数列.思考；（1）｛a n ｝是等比数列，C 是不为0的常数，数列{}n ca 是等比数列吗？（2）已知{}{}n n b a ,是项数相同的等比数列，⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n b a 是等比数列吗？ 4．等比数列的增减性：当q >1, a 1>0或0<q <1, a 1<0时, {a n }是递增数列;当q >1, a 1<0,或0<q <1, a 1>0时, {a n }是递减数列; 当q =1时, {a n }是常数列;当q <0时, {a n }是摆动数列． 思考：通项为12-=n n a 的数列的图象与函数12-=x y 的图象有什么关系？ 三、例题讲解例4． 已知无穷数列 ,10,10,10,105152515-n ，求证：（1）这个数列成等比数列；（2）这个数列中的任一项是它后面第五项的101； （3）这个数列的任意两项的积仍在这个数列中．证：（1）5152511101010==---n n n n a a （常数）∴该数列成等比数列． （2）101101010154515===-+-+n n n n a a ，即：5101+=n n a a ．（3）525151101010-+--==q p q p q p a a ，∵N q p ∈,，∴2≥+q p ．∴11≥-+q p 且()N q p ∈-+1，∴⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈--+51n 521010q p ，（第1-+q p 项）． 四、作业：教材第53页第3、4题． 五、课堂小结： 1.等比中项的定义；2.等比数列的性质；3．判断数列是否为等比数列的方法． 六、板书设计：等比数列（二）（一）任意两项间的运算 （二）等比数列的性质例题1 例题2【分层训练】（BC 类）1.在数列{}n a 中，对任意n N *∈，都有120n n a a +-=，则123422a a a a ++等于（ ）A.14 B.13 C.12D.12.{}n a 是公比为2的等比数列，且147a a a ++28100a += ,则36930a a a a ++++ 等于（ ）A.25B.50C.125D.4003.已知,,a b c 依次成等比数列，那么函数()f x 2ax bx c =++的图象与x 轴的交点的个数为（ ）A.0B.1C.2D.1或24. 若{}n a 是等差数列，公差0d ≠，236,,a a a 成等比数列，则公比为（ ） A.1 B. 2 C. 3 D. 45.设23,26,212a b c ===，那么,,a b c （ ）.A.既是等差数列，又是等比数列B.是等差数列，但不是等比数列C.是等比数列，但不是等差数列D.既不是等差数列，也不是等比数列6.在等比数列{}n a 中，对任意n N *∈，都有12n n n a a a ++=+，则公比q =____.（A 类）【拓展延伸】7.培育水稻新品种，如果第一代得到120粒种子，并且从第一代起，以后各代的每一粒种子都可以得到下一代的120粒种子，到第五代大约可以得到这种新品种的种子________粒（保留两个有效数字）.8.已知数列{}n a 是等比数列，,,m n p N *∈，且,,m n p 成等差数列，求证：,,m n p a a a 依次成等比数列.9.有四个数，前三个数成等比数列，它们的和为19，后三个数成等差数列，它们的和为12.求这四个数.10.在数列{}n a 中，其前n 项和322n n n nS -=，()n N *∈,求证数列{}n a 是等比数列.基本应用 练习1 练习2。
