2021学年高一数学人教2019必修二新教材培优6.3.1 平面向量基本定理(原卷版)

第六章平面向量及其应用6.3ꢀ平面向量基本定理及坐标表示6.3.1ꢀ平面向量基本定理素养目标·定方向必备知识·探新知关键能力·攻重难课堂检测·固双基素养作业·提技能素养目标·定方向素养目标学法指导1．平面向量基本定理沟通了数与形，同时也1．了解基底的含义，理进一步提出了基底的思想，在学习时要善于类解并掌握平面向量基本定比生活中的实例，如人民币的基本组成，一些理，会用基底表示平面内社会架构组成的基本单位等.任一向量.(直观想象)2．在学习平面向量基本定理时要善于结合四2．能够灵活运用平面向边形法则来理解，同时要结合充要条件来加以量基本定理解决相关问题理解..(数据分析)3．要充分利用平面直角坐标系来加强对平面向量正交分解的理解.必备知识·探新知知识点1平面向量的基本定理如果e，e是同一平面内的两个__不__共__线__ꢀ_向量，那么对于这一平面12内的_______向量a，_______________实数λ，λ，使a＝___λ__e_＋__λ__e_ꢀ__.任一ꢀ有且只有一对ꢀ121122知识点2基底若e，e___不__共__线__ꢀ，我们把{e，e}叫做表示这一平面内__所__有__ꢀ_向1212量的一个基底.[知识解读]ꢀ对平面向量基本定理的理解(1)基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可以作为基底.同一非零向量在不同基底下的分解式是不同的.(2)基底给定时，分解形式唯一.λ，λ是被a，e，e唯一确定的数值.1212(3)e，e是同一平面内所有向量的一组基底，则当a与e共线时，λ1212＝0；当a与e共线时，λ＝0；当a＝0时，λ＝λ＝0．2112(4)由于零向量与任何向量都是共线的，因此零向量不能作为基底中的向量.关键能力·攻重难题型探究题型一对基底概念的理解典例1BCꢀ[分析]ꢀ应用平面向量基本定理解题时，要抓住基向量e与e不共线12和平面内向量a用基底e、e表示的唯一性求解.12[解析]ꢀ由平面向量基本定理可知，A、D是正确的.对于B，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的.对于C，当λλ＝0或μμ＝0时不一定成立，应1212为λμ－λμ＝0．故选BC．1221[归纳提升]ꢀ(1)对于平面内任一向量都可以用两个不共线的向量来表示；反之，平面内的任一向量也可以分解成两个不共线的向量的和的形式.(2)向量的基底是指平面内不共线的两个向量，事实上若e，e是基12底，则必有e≠0，e≠0且e与e不共线，如0与e，e与2e，e＋e与1212111122(e＋e)等，均不能构成基底.12【对点练习】❶ꢀ(1)如果e，e是平面内所有向量的一组基底，那12么(ꢀꢀ)AꢀA．若实数m、n使得m e＋n e＝0，则m＝n＝012B．空间任一向量a可以表示为a＝λe＋λe，其中λ，λ为实数112212C．对于实数m、n，m e＋n e不一定在此平面上12D．对于平面内的某一向量a，存在两对以上的实数m，n，使a＝m e1＋n e2(2)设e、e是不共线的两个向量，给出下列四组向量：①e与e＋e12112；②e－2e与e－2e；③e－2e与4e－2e；④e＋e与e－e其中不122112211212．③ꢀ能作为平面内所有向量的一组基底的是_____.(写出所有满足条件的序号)题型二用基底表示向量典例2①②③ꢀ[分析]ꢀ用基底表示平面向量，要充分利用向量加法、减法的三角形法则或平行四边形法则.[归纳提升]ꢀ用基底表示向量的三个依据和两个“模型”(1)依据：①向量加法的三角形法则和平行四边形法则；②向量减法的几何意义；③数乘向量的几何意义.(2)模型：Aꢀ题型三平面向量基本定理的应用如图，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在AC上，且AN 典例3＝2NC，AM与BN相交于点P，求AP︰PM与BP︰PN的值.当λe＋λe＝0时恒有λ＝λ＝0 112212当λ＝0时，a与e共线21若a＝λ1e1＋λe当λ＝0时，a与e共线2212λ＝λ＝0时，a＝012易错警示忽视平面向量基本定理的使用条件致误典例4[错因分析]ꢀ本题可以根据向量共线的充要条件列出等式解决，但在得出等式后根据平面向量基本定理列式解决时，容易忽视平面向量基本定理的使用条件，出现漏解，漏掉了当a，b共线时，t可为任意实数这个解.[误区警示]ꢀ当条件不明确时要分类讨论.【对点练习】❹ꢀ已知向量e、e不共线，实数x、y满足(3x－4y)e121＋(2x－3y)e＝6e＋3e，则x－y等于__3_ꢀ_.212。

6.3 平面向量的基本定理及坐标表示【知识一】平面向量基本定理1.平面向量基本定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e2.2.基底：若e 1，e 2不共线，我们把{e 1，e 2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. 【知识二】平面向量的正交分解及坐标表示1.正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.2.坐标表示：（1）在平面直角坐标系中，设与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量分别为i ，j ，取{i ，j }作为基底.对于平面内的任意一个向量a ，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x ，y ，使得a ＝x i ＋y j .平面内的任一向量a 都可由x ，y 唯一确定，我们把有序数对(x ，y )叫做向量a 的坐标，记作a ＝(x ，y ).（2）在直角坐标平面中，i ＝(1,0)，j ＝(0,1)，0＝(0,0). 【知识三】平面向量加、减运算的坐标表示 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，已知点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，那么向量AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，即任意一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标. 【知识四】平面向量数乘运算的坐标表示1.数乘：已知a ＝(x ，y )，则λa ＝(λx ，λy )，即：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.2.共线：设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0.则a ，b 共线的充要条件是存在实数λ，使a ＝λb . 如果用坐标表示，可写为(x 1，y 1)＝λ(x 2，y 2)，当且仅当x 1y 2－x 2y 1＝0时，向量a ，b (b ≠0)共线. 注意：向量共线的坐标形式极易写错，如写成x 1y 1－x 2y 2＝0或x 1x 2－y 1y 2＝0都是不对的，因此要理解并熟记这一公式，可简记为：纵横交错积相减.【例1-1】下列各组向量中，可以作为基底的是（ ） A ．()()120,0,1,2e e ==B ．()()121,2,5,7e e =-=C ．()()123,5,6,10e e ==D ．()12132,3,,24e e ⎛⎫=-=-⎪⎝⎭【变式1-1】已知向量{a ，b }是一个基底，实数x ，y 满足(3x －4y )a ＋(2x －3y )b ＝6a ＋3b ，则x －y ＝________.【例1-2】如图，已知在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，E ，F 分别是DC ，AB 的中点，设AD →＝a ，AB →＝b ，试用{a ，b }为基底表示DC →，EF →，FC →.【变式1-2】如图，在正方形ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ，BD →＝c ，则以{a ，b }为基底时，AC →可表示为________，以{a ，c }为基底时，AC →可表示为________.【例1-3】在三角形ABC 中，M 为AC 的中点，若(),AB BM BC λμλμ=+∈R ，则下列结论正确的是（ ） A ．1λμ+=B ．3λμ-=C ．20λμ+=D ．20λμ-=【变式1-3】如图，已知OAB ，若点C 满足2AC CB =，(),OC xOA yOB x y R =+∈，则11x y+=（ ）A ．14B ．34C ．92D ．29【例2-1】如图，在平面直角坐标系xOy 中，OA ＝4，AB ＝3，∠AOx ＝45°，∠OAB ＝105°，OA →＝a ，AB →＝b .四边形OABC 为平行四边形.(1)求向量a ，b 的坐标； (2)求向量BA →的坐标； (3)求点B 的坐标.【变式2-1】已知点M (5，－6)，且MN →＝(－3,6)，则N 点的坐标为________. 【例2-2】已知()0,1A -，()0,3B ，则AB =（ ）A ．2BC ．4D ．【变式2-2】已知()3,2M -，()5,1N -，若NP MN =，则P 点的坐标为（ ） A ．（3，2）B ．（3，-1）C ．（7，0）D ．（1，0）【变式2-4】已知点()3,2A ，()5,1B ，则与AB 反方向的单位向量为（ ）A ．⎝⎭B ．⎛ ⎝⎭C ．⎛ ⎝⎭D ．⎝⎭【变式2-5】已知向量(),2a m =，()1,2b =-，若0a b +=，则实数m 的值为（ ） A ．-4B ．4C ．-1D ．1【例3-1】(1)已知向量a ＝(1,2)，2a ＋b ＝(3,2)，则b 等于( ) A.(1，－2) B.(1,2) C.(5,6)D.(2,0)(2)已知向量AB →＝(2,4)，AC →＝(0,2)，则12BC →等于( )A.(－2，－2)B.(2,2)C.(1,1)D.(－1，－1)【变式3-1】已知a ＝(－1,2)，b ＝(2,1)，求： (1)2a ＋3b ；(2)a －3b ；(3)12a －13b .【例3-2】已知点()4,6A ，33,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，与向量AB 平行的向量的坐标可以是（ ）A ．14,33⎛⎫⎪⎝⎭B ．97,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．14,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．(7，9)【例3-3】(1)已知非零向量a ，b ，c ，若()1,a x =，()4,1b =-，且//a c ，//b c 则x =（ ） A ．4B ．-4C ．14D ．14-(2)若()0,2A ，()1,0B -，(),2-C m 三点共线，则实数m 的值是（ ） A ．6B ．2-C ．6-D ．2【变式3-2】与(1,3,2)a =-平行的一个向量的坐标是（ ）A ．1,1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．13,,122⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．13,,122⎛⎫-- ⎪⎝⎭ D ．3,--【变式3-3】已知()3,a m →=，()21,1b m →=+，则“1m =”是“//a b →→”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【变式3-4】已知向量()1,1a =，()2,1b =-，若()()2//a b a b λ+-，则实数λ=（ ） A ．8 B ．8-C ．2D ．2-课后练习题1．下列各组向量中，可以作为基底的是（ ）． A ．()10,0e =，()21,2e =- B ．()11,2e =-，()25,7e = C ．()13,5e =，()26,10e =D ．()12,3e =-，213,24e ⎛⎫=-⎪⎝⎭2.在平行四边形ABCD 中，点E ，F 分别满足12BE BC =，13DF DC =．若λ=+BD AE μAF ，则实数λ＋μ的值为（ ） A ．15-B ．15C ．75-D ．753.已知()1,1A ，()1,1B --，则向量AB 为（ ） A ．()0,0B ．()1,1C ．()2,2--D ．()2,24.已知()5,2a =-，()4,3b =-，(),c x y =，若220a b c -+=，则c 等于（ ） A ．(1，4)B ．13,42⎛⎫⎪⎝⎭C ．13,42⎛⎫-⎪⎝⎭D ．13,42⎛⎫-- ⎪⎝⎭5.已知()13A ，，()41B -，，则与向量AB 共线的单位向量为（ ） A ．4355⎛⎫ ⎪⎝⎭，或4355⎛⎫- ⎪⎝⎭，B ．3455⎛⎫- ⎪⎝⎭，或3455⎛⎫- ⎪⎝⎭， C ．4355⎛⎫-- ⎪⎝⎭，或4355⎛⎫ ⎪⎝⎭， D ．3455⎛⎫-- ⎪⎝⎭，或3455⎛⎫ ⎪⎝⎭， 6.设向量a =(1，4)，b =(2，x )，c a b =+.若//a c ，则实数x 的值是（ ） A ．-4B ．2C ．4D ．87.若(3,cos ),(3,sin ),a b αα==且a //b ,则锐角α=__________ . 8.已知O 为单位圆，A 、B 在圆上，向量OA ，OB 的夹角为60°，点C 在劣弧AB 上运动，若OC xOA yOB =+，其中,x y R ∈，则x y +的取值范围___________.9.在ABC 中，D 为BC 的中点，P 为AD 上的一点且满足3BA BC BP +=，则ABP △与ABC 面积之比为（ ） A ．14B ．13C ．23D ．1610.已知ABC 所在的平面内一点P （点P 与点A ，B ，C 不重合），且523AP PO OB OC =++，则ACP △与BCP 的面积之比为（ ） A ．2:1B ．3:1C ．3:2D ．4:36.3.1 平面向量的基本定理及坐标表示【知识一】平面向量基本定理1.平面向量基本定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e2.2.基底：若e 1，e 2不共线，我们把{e 1，e 2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. 【知识二】平面向量的正交分解及坐标表示1.正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.2.坐标表示：（1）在平面直角坐标系中，设与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量分别为i ，j ，取{i ，j }作为基底.对于平面内的任意一个向量a ，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x ，y ，使得a ＝x i ＋y j .平面内的任一向量a 都可由x ，y 唯一确定，我们把有序数对(x ，y )叫做向量a 的坐标，记作a ＝(x ，y ).（2）在直角坐标平面中，i ＝(1,0)，j ＝(0,1)，0＝(0,0). 【知识三】平面向量加、减运算的坐标表示 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，已知点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，那么向量AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，即任意一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标. 【知识四】平面向量数乘运算的坐标表示1.数乘：已知a ＝(x ，y )，则λa ＝(λx ，λy )，即：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.2.共线：设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0.则a ，b 共线的充要条件是存在实数λ，使a ＝λb . 如果用坐标表示，可写为(x 1，y 1)＝λ(x 2，y 2)，当且仅当x 1y 2－x 2y 1＝0时，向量a ，b (b ≠0)共线. 注意：向量共线的坐标形式极易写错，如写成x 1y 1－x 2y 2＝0或x 1x 2－y 1y 2＝0都是不对的，因此要理解并熟记这一公式，可简记为：纵横交错积相减.【例1-1】下列各组向量中，可以作为基底的是（ ） A ．()()120,0,1,2e e ==B ．()()121,2,5,7e e =-=C ．()()123,5,6,10e e ==D ．()12132,3,,24e e ⎛⎫=-=-⎪⎝⎭【答案】B【解析】对A ：因为零向量和任意向量平行，故A 中向量不可作基底； 对B ：因为710-≠，故B 中两个向量不共线；对C ：因为31056⨯=⨯，故C 中两个向量共线，故C 中向量不可作基底； 对D ：因为312342⎛⎫⨯-=-⨯ ⎪⎝⎭，故D 中两个向量共线，故D 中向量不可作基底.故选：B. 【变式1-1】已知向量{a ，b }是一个基底，实数x ，y 满足(3x －4y )a ＋(2x －3y )b ＝6a ＋3b ，则x －y ＝________. 【答案】3【解析】因为{a ，b }是一个基底， 所以a 与b 不共线，由平面向量基本定理得⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －4y ＝6，2x －3y ＝3，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝3，所以x －y ＝3.【例1-2】如图，已知在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，E ，F 分别是DC ，AB 的中点，设AD →＝a ，AB →＝b ，试用{a ，b }为基底表示DC →，EF →，FC →.【解析】因为DC ∥AB ，AB ＝2DC ，E ，F 分别是DC ，AB 的中点， 所以FC →＝AD →＝a ，DC →＝AF →＝12AB →＝12b .EF →＝ED →＋DA →＋AF →＝－12DC →－AD →＋12AB →＝－12×12b －a ＋12b ＝14b －a .【变式1-2】如图，在正方形ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ，BD →＝c ，则以{a ，b }为基底时，AC →可表示为________，以{a ，c }为基底时，AC →可表示为________.【答案】a ＋b 2a ＋c【解析】以{a ，b }为基底时，AC →＝AB →＋AD →＝a ＋b ； 以{a ，c }为基底时，将BD →平移，使B 与A 重合， 再由三角形法则或平行四边形法则即得AC →＝2a ＋c .【例1-3】在三角形ABC 中，M 为AC 的中点，若(),AB BM BC λμλμ=+∈R ，则下列结论正确的是（ ） A ．1λμ+= B ．3λμ-=C ．20λμ+=D ．20λμ-=【答案】C【解析】因为M 为AC 的中点，所以1122BM BA BC =+，所以2AB BM BC =-+， 又(),AB BM BC λμλμ=+∈R ，所以2λ=-，1μ=，故选：C.【变式1-3】如图，已知OAB ，若点C 满足2AC CB =，(),OC xOA yOB x y R =+∈，则11x y+=（ ）A ．14B ．34C ．92D ．29【答案】C【解析】由2AC CB =得()2OC OA OB OC -=-，即1233OC OA OB =+， 又(),OC xOA yOB x y R =+∈，所以1323x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，因此1139322x y +=+=.故选：C. 【例2-1】如图，在平面直角坐标系xOy 中，OA ＝4，AB ＝3，∠AOx ＝45°，∠OAB ＝105°，OA →＝a ，AB →＝b .四边形OABC 为平行四边形.(1)求向量a ，b 的坐标； (2)求向量BA →的坐标； (3)求点B 的坐标.【解析】(1)作AM ⊥x 轴于点M ，则OM ＝OA ·cos 45° ＝4×22＝22， AM ＝OA ·sin 45° ＝4×22＝2 2. ∴A (22，22)，故a ＝(22，22).∵∠AOC ＝180°－105°＝75°，∠AOy ＝45°， ∴∠COy ＝30°. 又∵OC ＝AB ＝3，∴C ⎝⎛⎭⎫－32，332，∴AB →＝OC →＝⎝⎛⎭⎫－32，332，即b ＝⎝⎛⎭⎫－32，332.(2)BA →＝－AB →＝⎝⎛⎭⎫32，－332.(3)OB →＝OA →＋AB →＝(22，22)＋⎝⎛⎭⎫－32，332＝⎝⎛⎭⎫22－32，22＋332.∴点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫22－32，22＋332.【变式2-1】已知点M (5，－6)，且MN →＝(－3,6)，则N 点的坐标为________.【答案】 (2,0)【解析】∵MN →＝(－3,6)，设N (x ，y )， 则MN →＝ON →－OM →＝(x －5，y ＋6)＝(－3,6).∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －5＝－3，y ＋6＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0.即N (2,0). 【例2-2】已知()0,1A -，()0,3B ，则AB =（ ）A ．2BC ．4D ．【解析】由题得AB =（0,4）所以||0(31)4AB =++．故选C【变式2-2】已知()3,2M -，()5,1N -，若NP MN =，则P 点的坐标为（ ） A ．（3，2）B ．（3，-1）C ．（7，0）D ．（1，0）【解析】设点P 的坐标为(),x y ，则(5,1)NP x y =-+，(53,12)(2,1)MN =--+=，因为NP MN =，即(5,1)(2,1)x y -+=，所以5211x y -=⎧⎨+=⎩，解得70x y =⎧⎨=⎩，所以()7,0P .故选：C.【变式2-4】已知点()3,2A ，()5,1B ，则与AB 反方向的单位向量为（ ）A ．⎝⎭B ．⎛ ⎝⎭C ．⎛ ⎝⎭D ．⎝⎭【答案】B【解析】()3,2A ，()5,1B ,2,1AB，则22AB ==，所以与AB 反方向的单位向量为255,55AB AB.故选：B.【变式2-5】已知向量(),2a m =，()1,2b =-，若0a b +=，则实数m 的值为（ ） A ．-4 B ．4C ．-1D ．1【答案】C【解析】由题意，向量(),2a m =，()1,2b =-，所以()()1,00,0a b m +=+=， 可得50m +=，解得1m =-.故选：C .【例3-1】(1)已知向量a ＝(1,2)，2a ＋b ＝(3,2)，则b 等于( ) A.(1，－2)B.(1,2)C.(5,6)D.(2,0)【答案】B【解析】由题意得b －a ＝(3,1)－(1,2)＝(2，－1). (2)已知向量AB →＝(2,4)，AC →＝(0,2)，则12BC →等于( )A.(－2，－2)B.(2,2)C.(1,1)D.(－1，－1)【答案】D【解析】12BC →＝12(AC →－AB →)＝12(－2，－2)＝(－1，－1).【变式3-1】已知a ＝(－1,2)，b ＝(2,1)，求： (1)2a ＋3b ；(2)a －3b ；(3)12a －13b .【解析】(1)2a ＋3b ＝2(－1,2)＋3(2,1) ＝(－2,4)＋(6,3)＝(4,7). (2)a －3b ＝(－1,2)－3(2,1) ＝(－1,2)－(6,3)＝(－7，－1). (3)12a －13b ＝12(－1,2)－13(2,1) ＝⎝⎛⎭⎫－12，1－⎝⎛⎭⎫23，13＝⎝⎛⎭⎫－76，23. 【例3-2】已知点()4,6A ，33,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，与向量AB 平行的向量的坐标可以是（ ）A ．14,33⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．97,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．14,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．(7，9)【答案】ABC【解析】由点()4,6A ，33,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则972，AB ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭选项A . 91473023⎛⎫-⨯--⨯= ⎪⎝⎭,所以A 选项正确.选项B. 9977022⎛⎫-⨯--⨯= ⎪⎝⎭,所以B 选项正确. 选项C . ()91473023⎛⎫⎛⎫-⨯---⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以C 选项正确.选项D. 979702⎛⎫-⨯--⨯≠ ⎪⎝⎭,所以选项D 不正确故选：ABC 【例3-3】(1)已知非零向量a ，b ，c ，若()1,a x =，()4,1b =-，且//a c ，//b c 则x =（ ） A ．4 B ．-4 C ．14D ．14-【答案】D【解析】由题意知//a c ，//b c ，所以//a b ；又(1,)a x =，(4,1)b =-，所以1(1)40x ⨯--=，解得14x =-．故选：D(2)若()0,2A ，()1,0B -，(),2-C m 三点共线，则实数m 的值是（ ） A ．6 B ．2-C ．6-D ．2【答案】B【解析】因为三点()0,2A ，()1,0B -，(),2C m -共线，所以(1,2),(1,2)AB BC m =--=+- , 若()0,2A ，()1,0B -，(),2C m -三点共线，则AB 和BC 共线 可得：(1)(2)(2)(1)m --=-+，解得2m =-；故选：B 【变式3-2】与(1,3,2)a =-平行的一个向量的坐标是（ ）A ．1,1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．13,,122⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．13,,122⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．3,--【答案】C【解析】若向量b 与向量a 平行，则b a λ=，(1,3,2)a =-，则(,3,2)b λλλ=- 设向量(),,b x y z =，则x 与y 符号相同，y 与z 符号相反，所以可知A ，B ，D 不成立， 选项C ：若12λ=-，则12x =-，32y =-，1z =，故C 正确.故选：C.【变式3-3】已知()3,a m →=，()21,1b m →=+，则“1m =”是“//a b →→”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由//a b →→可得()213m m +=，解得32m =-或1m =，所以“1m =”是“//a b →→” 充分不必要条件.故选：A.【变式3-4】已知向量()1,1a =，()2,1b =-，若()()2//a b a b λ+-，则实数λ=（ ） A ．8 B ．8-C ．2D ．2-【答案】D【解析】由()1,1a =，()2,1b =-，可得()24,2a b λλλ+=+-，()1,2a b -=-， 因为()()2//a b a b λ+-，所以()()()24210λλ+--⨯-=，解得2λ=-.故选：D.课后练习题1．下列各组向量中，可以作为基底的是（ ）． A ．()10,0e =，()21,2e =- B ．()11,2e =-，()25,7e = C ．()13,5e =，()26,10e = D ．()12,3e =-，213,24e ⎛⎫=-⎪⎝⎭ 【答案】B【解析】因为()11,2e =-与()25,7e =不共线，其余选项中1e 、2e 均共线，所以B 选项中的两向量可以作为基底．故选：B2.在平行四边形ABCD 中，点E ，F 分别满足12BE BC =，13DF DC =．若λ=+BD AE μAF ，则实数λ＋μ的值为（ ） A ．15- B ．15C ．75-D ．75【答案】B【解析】由题意，设AB a AD b ，==，则在平行四边形ABCD 中，因为12BE BC =，13DF DC =，所以点E 为BC 的中点，点F 在线段DC 上，且2CF DF =， 所以1123AE a b AF a b =+=+，， 又因为BD AE AF λμ=+，且BD AD AB b a =-=-，所以11112332a b AE AF a b a b a b λμλμλμλμ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=+=+++=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，3.已知()1,1A ，()1,1B --，则向量AB 为（ ） A ．()0,0 B ．()1,1C ．()2,2--D ．()2,2【答案】C【解析】由题意可得()()()1,11,12,2AB =---=--.故选：C.所以113112λμλμ⎧+=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得8595λμ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以15λμ+=。

第六章 平面向量及其应用6.3.1平面向量基本定理一、基础巩固1．下列各组向量中,可以作为基底的是（ ）． A ．()10,0e =,()21,2e =- B ．()11,2e =-,()25,7e = C ．()13,5e =,()26,10e = D ．()12,3e =-,213,24e ⎛⎫=-⎪⎝⎭ 【正确答案】B 【详细解析】因为()11,2e =-与()25,7e =不共线,其余选项中1e 、2e 均共线,所以B 选项中的两向量可以作为基底．2．在ABC 中AB a =,CB b =,则CA 等于（ ） A ．a b + B ．a b -C ．b a -D ．a b --【正确答案】C 【详细解析】CA CB BA b AB b a =+=-=-,3．如图所示,M ,N 分别是ABC 的边AB ,AC 上的点,且2AM MB =,2NC AN =,则向量MN =（ ）．A ．1233AB AC - B ．1233AB AC +C ．1233AC AB - D ．1233AC AB + 【正确答案】C 【详细解析】因为2AM MB =,2NC AN =, 所以1233MN AN AM AC AB =-=-. 4．已知平面直角坐标系内的两个向量(3,2),(1,2)a m b m =-=-,且平面内的任一向量c 都可以唯一表示成c a b λμ=+( ,λμ为实数),则实数m 的取值范围是( )A ．6,5⎛⎫+∞⎪⎝⎭B ．66,,55⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．(,2)-∞D ．(,2)(2,)-∞-⋃-+∞【正确答案】B 【详细解析】由题意可知,平面内的任一向量c 都可以唯一表示成c a b λμ=+, ∴,a b 是平面内表示所有向量的一个基底,. ∴,a b 不共线,3(2)20m m -+≠ ∴65m ≠. 故m 的取值范围是66,,55⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.5．ABC ∆中所在的平面上的点D 满足2BD DC =,则AD =（ ）A ．3144AD AB AC =+ B ．1344AD AB AC =+ C ．2133AD AB AC =+D ．1233AD AB AC =+【正确答案】D 【详细解析】 解:因为2BD DC =,所以()2AD AB AC AD -=-, 所以1233AD AB AC =+, 6．设a ,b 是不共线的两个向量,且0,,a b R λμλμ+=∈,则（ ）A ．0λμ==B ．0a bC ．0,0b λ==D ．0,0a μ==【正确答案】A 【详细解析】因为a ,b 是不共线的两个向量,所以由平面向量基本定理知:若0,,a b R λμλμ+=∈,则0λμ==,7．如图,在平行四边形ABCD 中,E 为BC 的中点,F 为DE 的中点,若34AF xAB AD =+,则x =( )A ．34B ．23C ．12D ．14【正确答案】C 【详细解析】因为F 为DE 的中点,所以()12AF AD AE =+, 而1122AE AB BE AB BC AB AD =+=+=+, 即有11132224AF AD AB AD AB AD ⎛⎫=++=+ ⎪⎝⎭,又34AF xAB AD =+,所以12x =． 8．在ABC 中,已知D 是BC 延长线上一点,若2BC CD =,点E 为线段AD 的中点,AE AB AC λμ=+,则2λμ+=（ ）A ．14-B ．14C ．12-D ．12【正确答案】B 【详细解析】解:由题意可得,111111131()()222222444AE AD AC CD AC BC AC AC AB AC AB ==+=+⨯=+-=-, 故13,44λμ=-=,∴241λμ+=.9．（多选）下列各组向量中,不能作为基底的是（ ） A ．()10,0e =,()21,1=eB ．()11,2e =,()22,1e =-C ．()13,4e =-,234,55⎛⎫=- ⎪⎝⎭eD ．()12,6=e ,()21,3=--e【正确答案】ACD 【详细解析】A,C,D 中向量1e 与2e 共线,不能作为基底;B 中1e ,2e 不共线,所以可作为一组基底． 10．（多选）已知M 为△ABC 的重心,D 为BC 的中点,则下列等式成立的是（ ）A ．MA MB MC == B ．0MA MB MC ++= C ．1233CM CA CD =+ D ．2133BM BA BD =+ 【正确答案】BC 【详细解析】M 为△ABC 的重心,∴M 是三边中线的交点,且在中线三等分点处,对于A,由于△ABC 为任意三角形,故中线不一定相等,则,,MA MB MC 不一定相等,故A 错误; 对于B,D 为BC 的中点,2MB M MD C +∴=,2MA MD =-,0MA MB MC ++=∴,故B 正确;对于C,()22123333CM CA AM CA AD CA CD CA CA CD =+=+=+-=+,故C 正确; 对于D,()22123333BM BA BA BA B AM AD BD BA A BD +=+=+-==+,故D 错误.11．（多选）如果12,e e 是平面α内两个不共线的向量,那么下列说法中不正确的是（ ） A ．12e e λμ+( λ,μ∈R )可以表示平面α内的所有向量B ．对于平面α内任一向量a ,使12a e e λμ=+的实数对( λ,μ)有无穷多个C ．若向量1112e e λμ+与2122e e λμ+共线,则有且只有一个实数λ,使得()11122122e e e e λμλλμ+=+D ．若实数λ,μ使得120e e λμ+=,则λ=μ=0 【正确答案】BC 【详细解析】由平面向量基本定理可知,A ,D 是正确的.对于B ,由平面向量基本定理可知,若一个平面的基底确定,则该平面内的任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的,B 错误.对于C ,当两个向量均为零向量时,即λ1=λ2=μ1=μ2=0时,这样的λ有无数个,或当1112e e λμ+为非零向量,而2122e e λμ+为零向量( λ2=μ2=0),此时λ不存在.12．（多选）已知正方形ABCD 的边长为2,向量a ,b 满足2AB a =,2AD a b =+,则（ ） A ．||22b = B ．a b ⊥C ．2a bD ．(4)a b b +⊥【正确答案】AD 【详细解析】由条件可b AD AB BD =-=,所以||||22b BD ==,A 正确;12a AB =,与BD 不垂直,B 错误; 122a b AB BD ⋅=⋅=-,C 错误;4a b AB AD AC +=+=,根据正方形的性质有AC BD ⊥,所以(4)a b b +⊥,D 正确.二、拓展提升13．如图,设OA a =,OB b =,又43AP AB =,试用a ,b 表示OP ．【正确答案】1433 OP a b=-+.【详细解析】解:AP OP OA=-,AB OB OA=-由已知43AP AB=可得:4()3OP OA OB OA-=-,所以44143333 OP OA OA OB a b =-+=-+,故1433 OP a b=-+．14．如图,在任意四边形ABCD中,（1）已知E､F分别是AD､BC的中点求证:2AB DC EF+=.（2）已知12AM MB=,用EA,EB表示向量EM.【正确答案】（1）证明见详细解析;（2）1233EM EB EA=+.【详细解析】（1）证明:因为E､F分别是AD､BC的中点,所以0ED EA+=,0CF BF+=, 由题意EF ED DC CF=++,EF EA AB BF=++,两式相加得2EF ED DC CF EA AB BF=+++++AB DC=+,即2AB DC EF+=;（2）因为12AM MB =,所以13AM AB =, 所以()11123333EM EA AM EA AB EA EB EA EB EA =+=+=+-=+.15．已知点G 是ABO ∆的重心,M 是AB 边的中点.若PQ 过ABO ∆的重心G ,且,,,OA a OB b OP ma OQ nb ====,求证:113m n+=. 【正确答案】见详细解析 【详细解析】因为M 是AB 边的中点,所以11()()22OM OA OB a b =+=+. 因为G 是ABO ∆的重心,所以21()33OG OM a b ==+.由P ,G ,Q 三点共线,所以有且只有一个实数λ,使PG PQ λ=,,(1)OG OP OQ OP OG OQ OP λλλλ-=-=+- ,OP ma OQ nb ==,(1))1(3OG nb a a b m λλ=+-=+, 又因为,a b 不共线,1=313n m m λλ⎧⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩,消去λ, 整理得3mn m n =+,故113m n+=.。