二次根式的概念及运算二次根式形如()0
a a ≥的式子．
二次根式有意义被开方数大于等于零（即若a有意义，则0
a≥）【例1】1当x取何值时，下列式子有意义？
⑴2x-⑵
1
2x
-
⑶
2
3
x
x
-
-
⑷213
x x
++-
⑸
1
1x
-
⑹x
模块一二次根式的概念知识导航
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夯实基础
2 若x ，y 为实数，且14411y x x =-+-+．求xy 的值．
3 设3
1221
x x
y x -+-=+，求使y 有意义的x 的取值范围.
①0(0)a a ≥≥ ②2
()(0)a a a =≥
③（必考）2a a a a ⎧==⎨-⎩()
(
)00a a <≥
【例2】 化简下列各式
⑴ (
)
2
25
- ⑵ ()
2
3a -
能力提升
夯实基础
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题型二 二次根式的性质
【例3】 ⑴已知数a b c 、、在数轴上的位置如图所示：
化简：()
2
2a a c c b b -++---的结果为________
⑵已知01a <<，化简2
2
1144a a a a ⎛⎫⎛
⎫-+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⑶化简(
)
2
2
412912x x x
-+-
-得( )
A. 2
B.44x --
C.2-
D.44x -
⑷若()2
2340a b c -+-+-=，则a b c -+= ．
⑸已知实数x 、y 满足480x y -+-=，则以x 、y 的值为两边长的等腰三角形的周长是（ ）
A ． 20或16
B ． 20
C ． 16
D ． 以上答案均不对
⑹若a 、b 为实数，且|1|20a ab -+-=，
求1111(1)(1)(2)(2)(2012)(2012)ab a b a b a b +++++++++的值.
乘法 与积的算术平方根可互相转化：(0,0)a b ab a b ⋅=≥≥ 除法 与商的算术平方根可互相转化：
(0,0)a a a b b b
=>≥
最简二次根式
①被开方数不含分母
②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
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模块三 二次根式的运算
c a
同类二次根式 被开方数相同的两个最简二次根式． 加减法 先化为最简二次根式，然后合并同类二次根式 混合运算 有理式中的运算顺序，运算律和乘法公式等仍然适用 乘法公式的推广
①123123
12(0,0,
,0)n n n a a a a a a a a a a a ⋅⋅=⋅⋅≥≥≥
②
(
)
2
2a b
a b ab ±=+± ③
(
)(
)
a b
a b a b +-=-
【引例】计算：
⑴23⨯ ⑵1
273
⨯ ⑶147× ⑷
21
3
⑸31218÷
⑹3
5
【例4】 计算下列各式
1 ⑴ 35210× ⑵ 3
212524
÷× ⑶ 132453
2523
÷⨯
夯实基础
能力提升
2
()
00 a b
>>
，
⑶
是同类二次根式，则______
x y
-=
【例6】计算下列各式
⑵22
-
【例7】⑴把下列各式中根号外的因式移入根号内
--；-
⑵把下列各式中根号外的因式移入根号内：
①②(1
a-
【例8】 ⑴若v u ,满足223
43432
u v v u v u v u v --=++++，那么22u u v v -⋅+=
⑵已知141025x =-+，241025x =++，求12x x +的值．
探索创新
训练1. 若m 适合关系式35223199199x y m x y m x y x y +--++-=-+⋅--，则
m = ．
训练2. 已知a b ，为实数，且()1110a b b +---=，求20132013a b -的值．
训练3. 计算
⑴1148275278--+ ⑵11
(30.54 1.5)(0.244)22
+--
训练4. ⑴ ()
3322a a a -⋅
⑵ (
)
333a b ab ab ab -+÷，其中0a >，0b >．
思维拓展训练(选讲)
题型一 二次根式的概念 巩固练习
【练习1】 当x _______时，241x +有意义，当x ____时，241x +有最____值为______．
题型二 二次根式的性质 巩固练习
【练习2】 已知a 、b 两实数在数轴上对应位置如图所示，化简()
()
()
2
2
2
12a b a b --
++
+
题型三 二次根式的运算 巩固练习
【练习3】 计算：⑴8045- ⑵ (
)(
)
122035++
-
【练习4】 如果最简根式4411a b a b ++与2641a b a b +++是同类二次根式，求100()a b +的值．
【练习5】 计算⑴ 2196234x x x x +- ⑵3312
2b a a b a b ab a b a b
-+-()00a b >>，
实战演练
b a
-2-1
2
1
