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《运筹学》课后答案《运筹学》是一门研究如何在有限资源下做出最佳决策的学科，它涉及到数学、统计学、经济学等多个学科的知识。
掌握运筹学的方法和技巧对于解决实际问题具有重要意义。
下面是《运筹学》课后习题的答案：1. 什么是线性规划问题？线性规划问题是指在一组线性约束条件下，求解一个线性目标函数的最优值的问题。
线性规划问题具有优化的特点，即找到一组满足约束条件的解，使得目标函数取得最大（最小）值。
2. 线性规划问题的标准形式是什么？线性规划问题的标准形式是指将目标函数和约束条件都写成标准形式，即目标函数为最大化（最小化）一个线性函数，约束条件为一组线性不等式和线性等式。
3. 线性规划问题的解的存在性和唯一性是什么？线性规划问题的解的存在性和唯一性是由线性规划问题的特殊结构决定的。
如果线性规划问题有有界解（即目标函数有最大（最小）值），则存在解；如果线性规划问题的目标函数有最大（最小）值，且该最大（最小）值只有一个解，则解是唯一的。
4. 什么是单纯形法？单纯形法是一种解线性规划问题的常用方法，它通过迭代计算来逐步接近最优解。
单纯形法的基本思想是从一个初始可行解出发，通过一系列变换（包括基变换、基可行解的改进等）来逐步接近最优解。
5. 什么是对偶理论？对偶理论是线性规划问题的一个重要理论基础，它通过将原问题转化为对应的对偶问题来研究线性规划问题。
对偶理论可以帮助我们理解线性规划问题的性质和结构，并且可以通过对偶问题的解来得到原问题的解。
6. 什么是整数规划问题？整数规划问题是指在线性规划问题的基础上，将决策变量的取值限制为整数的问题。
整数规划问题具有更为复杂的性质，其解的搜索空间更大，求解难度更大。
7. 什么是分支定界法？分支定界法是解整数规划问题的一种常用方法，它通过将整数规划问题分解为一系列线性规划子问题，通过不断分支和约束来逐步缩小解的搜索空间，最终找到最优解。
8. 什么是动态规划？动态规划是一种解决多阶段决策问题的方法，它通过将问题分解为一系列子问题，并且利用子问题的解来构建整体问题的解。
《运筹学》习题答案一、单选题1.用动态规划求解工程线路问题时，什么样的网络问题可以转化为定步数问题求解（）BA.任意网络B.无回路有向网络C.混合网络D.容量网络2.通过什么方法或者技巧可以把工程线路问题转化为动态规划问题？（）BA.非线性问题的线性化技巧B.静态问题的动态处理C.引入虚拟产地或者销地D.引入人工变量3.静态问题的动态处理最常用的方法是？BA.非线性问题的线性化技巧B.人为的引入时段C.引入虚拟产地或者销地D.网络建模4.串联系统可靠性问题动态规划模型的特点是（）DA.状态变量的选取B.决策变量的选取C.有虚拟产地或者销地D.目标函数取乘积形式5.在网络计划技术中，进行时间与成本优化时，一般地说，随着施工周期的缩短，直接费用是( )。
CA.降低的B.不增不减的C.增加的D.难以估计的6.最小枝权树算法是从已接接点出发，把( )的接点连接上CA.最远B.较远C.最近D.较近7.在箭线式网络固中，( )的说法是错误的。
DA.结点不占用时间也不消耗资源B.结点表示前接活动的完成和后续活动的开始C.箭线代表活动D.结点的最早出现时间和最迟出现时间是同一个时间8.如图所示，在锅炉房与各车间之间铺设暖气管最小的管道总长度是( )。
CA.1200B.1400C.1300D.17009.在求最短路线问题中，已知起点到A，B，C三相邻结点的距离分别为15km，20km,25km，则（）。
DA.最短路线—定通过A点B.最短路线一定通过B点C.最短路线一定通过C点D.不能判断最短路线通过哪一点10.在一棵树中，如果在某两点间加上条边，则图一定( )AA.存在一个圈B.存在两个圈C.存在三个圈D.不含圈11.网络图关键线路的长度( )工程完工期。
CA.大于B.小于C.等于D.不一定等于12.在计算最大流量时，我们选中的每一条路线( )。
CA.一定是一条最短的路线B.一定不是一条最短的路线C.是使某一条支线流量饱和的路线D.是任一条支路流量都不饱和的路线13.从甲市到乙市之间有—公路网络，为了尽快从甲市驱车赶到乙市，应借用（）CA.树的逐步生成法B.求最小技校树法C.求最短路线法D.求最大流量法14.为了在各住宅之间安装一个供水管道．若要求用材料最省，则应使用( )。
运筹学课后习题答案运筹学课后习题答案运筹学是一门研究如何在有限资源下做出最优决策的学科。
它涉及到数学、统计学和计算机科学等多个领域，旨在解决实际问题中的优化和决策难题。
在学习运筹学的过程中，课后习题是巩固知识和理解概念的重要方式。
下面将为大家提供一些运筹学课后习题的答案，希望能对大家的学习有所帮助。
1. 线性规划问题线性规划是运筹学中最基本的问题之一。
它的目标是在给定的约束条件下，找到使目标函数达到最大或最小值的决策变量的取值。
以下是一个线性规划问题的示例及其答案：问题：某公司生产两种产品A和B，每单位产品A的利润为3万元，产品B的利润为4万元。
产品A每单位需要2个工时，产品B每单位需要3个工时。
公司总共有40个工时可用。
如果公司希望最大化利润，应该生产多少单位的产品A和产品B？答案：设产品A的生产单位为x，产品B的生产单位为y。
根据题目中的约束条件可得到以下线性规划模型：目标函数：Maximize 3x + 4y约束条件：2x + 3y ≤ 40x ≥ 0, y ≥ 0通过求解这个线性规划模型，可以得到最优解为x = 10，y = 10。
也就是说，公司应该生产10个单位的产品A和10个单位的产品B，以最大化利润。
2. 项目管理问题项目管理是运筹学的一个重要应用领域。
它涉及到如何合理安排资源、控制进度和降低风险等问题。
以下是一个项目管理问题的示例及其答案：问题：某公司需要完成一个项目，该项目包含5个任务。
每个任务的完成时间和前置任务如下表所示。
为了尽快完成项目，应该如何安排任务的执行顺序？任务完成时间（天）前置任务A 4 无B 6 无C 5 AD 3 BE 7 C, D答案：为了确定任务的执行顺序，可以使用关键路径方法。
首先，计算每个任务的最早开始时间和最晚开始时间。
然后，找到所有任务的最长路径，即关键路径。
关键路径上的任务不能延迟，否则会延误整个项目的完成时间。
根据上表中的信息，可以得到以下关键路径：A → C → E，最长时间为4 + 5 + 7 = 16天因此，任务的执行顺序应为A → C → E。
章节习题详解第1章导论1．区别决策中的定性分析和定量分析，试各举出两例。
答：决策中的定性分析是决策人员根据自己的主观经验和感受到的感觉或知识对决策问题作出的分析和决策，在许多情况下这种做法是合适的。
例1 在评定“三好生”的条件中，评价一个学生是否热爱中国共产党，尊敬师长，团结同学，热爱劳动等属于定性分析，它依赖于评价者对被评价者的感知、喜好而定。
在“德”、“智”、“体”这三个条件中规定“德”占30%、“智”占40%、“体”占30%，这种比例是决策者们通过协商和主观意识得出的，它也属于定性分析的范畴。
决策中的定量分析是借助于某些正规的计量方法去作出决策的方法，它主要依赖于决策者从客观实际获得的数据和招待所采用的数学方法。
例2 在普通高等学校录取新生时，通常按该生的入学考试成绩是否够某档分数线而定，这就是一种典型的定量分析方法。
另外，在评价一个学生某一学期的学习属于“优秀”、“良好”、“一般”、“差”中的哪一类时，往往根据该生的各科成绩的总和属于哪一个档次，或者将各科成绩加权平均后视其平均值属于哪一个档次而定。
这也是一种典型的定量分析方法。
2．构成运筹学的科学方法论的六个步骤是哪些？答：运用运筹学进行决策过程的几个步骤是：1．观察待决策问题所处的环境；2．分析和定义待决策的问题；3．拟定模型；4．选择输入资料；5．提出解并验证它的合理性；6．实施最优解。
3．简述运筹学的优点与不足之处。
答：运用运筹学处理决策问题有以下优点：（1）快速显示对有关问题寻求可行解时所需的数据方面的差距；（2）由于运筹学处理决策问题时一般先考察某种情况，然后评价由结局变化所产生的结果，所以不会造成各种损失和过大的费用；（3）使我们在众多方案中选择最优方案；（4）可以在建模后利用计算机求解；（5）通过处理那些构思得很好的问题，运筹学的运用就可以使管理部门腾出时间去处理那些构思得不好的问题，而这些问题常常要依赖于足够的主观经验才能解决的；（6）某些复杂的运筹学问题，可以通过计算机及其软件予以解决。
运筹学课后习题及答案运筹学是一门应用数学的学科，旨在通过数学模型和方法来解决实际问题。
在学习运筹学的过程中，课后习题是非常重要的一部分，它不仅可以帮助我们巩固所学的知识，还可以提升我们的解决问题的能力。
下面，我将为大家提供一些运筹学课后习题及答案，希望对大家的学习有所帮助。
1. 线性规划问题线性规划是运筹学中的一个重要分支，它旨在寻找线性目标函数下的最优解。
以下是一个线性规划问题的例子：Max Z = 3x + 4ySubject to:2x + 3y ≤ 10x + y ≥ 5x, y ≥ 0解答：首先，我们可以画出约束条件的图形，如下所示：```y^|5 | /| /| /| /|/+-----------------10 x```通过观察图形，我们可以发现最优解点是(3, 2)，此时目标函数取得最大值为Z = 3(3) + 4(2) = 17。
2. 整数规划问题整数规划是线性规划的一种扩展，它要求变量的取值必须是整数。
以下是一个整数规划问题的例子：Max Z = 2x + 3ySubject to:x + y ≤ 52x + y ≤ 8x, y ≥ 0x, y为整数解答：通过计算，我们可以得到以下整数解之一：x = 2, y = 3此时，目标函数取得最大值为Z = 2(2) + 3(3) = 13。
3. 网络流问题网络流问题是运筹学中的另一个重要分支，它研究的是在网络中物体的流动问题。
以下是一个网络流问题的例子：有一个有向图，其中有三个节点S、A、B和一个汇点T。
边的容量和费用如下所示：S -> A: 容量为2，费用为1S -> B: 容量为3，费用为2A -> T: 容量为1，费用为1B -> T: 容量为2，费用为3A -> B: 容量为1，费用为1解答：通过使用最小费用最大流算法，我们可以找到从源点S到汇点T的最小费用流量。
在该例中，最小费用为5，最大流量为3。
《运筹学》习题与答案（解答仅供参考）一、名词解释1. 线性规划：线性规划是运筹学的一个重要分支，它主要研究在一系列线性约束条件下，如何使某个线性目标函数达到最大值或最小值的问题。
2. 动态规划：动态规划是一种解决多阶段决策问题的优化方法，通过把原问题分解为相互联系的子问题来求解，对每一个子问题只解一次，并将其结果保存起来以备后续使用，避免了重复计算。
3. 整数规划：整数规划是在线性规划的基础上，要求决策变量取值为整数的一种优化模型，用于解决实际问题中决策变量只能取整数值的情形。
4. 马尔可夫决策过程：马尔可夫决策过程是一种随机环境下的决策模型，其中系统的状态转移具有无后效性（即下一状态的概率分布仅与当前状态有关），通过对每个状态采取不同的策略（行动）以最大化期望收益。
5. 最小费用流问题：最小费用流问题是指在网络流模型中，每条边都有一个容量限制和单位流量的成本，寻找满足所有节点流量平衡的同时使得总成本最小的流方案。
二、填空题1. 运筹学的主要研究对象是系统最优化问题，其核心在于寻求在各种（约束条件）下实现（目标函数）最优的方法。
2. 在运输问题中，供需平衡指的是每个（供应地）的供应量之和等于每个（需求地）的需求量之和。
3. 博弈论中的纳什均衡是指在一个博弈过程中，对于各个参与者来说，当其他所有人都不改变策略时，没有人有动机改变自己的策略，此时的策略组合构成了一个（纳什均衡）。
4. 在网络计划技术中，关键路径是指从开始节点到结束节点的所有路径中，具有最长（总工期）的路径。
5. 对于一个非负矩阵A，如果存在一个非负矩阵B，使得AB=BA=A，则称A为（幂等矩阵）。
三、单项选择题1. 下列哪项不是线性规划的标准形式所具备的特点？（D）A. 目标函数是线性的B. 约束条件是线性的C. 决策变量非负D. 变量系数可以为复数2. 当线性规划问题的一个基解满足所有非基变量的检验数都非正时，那么该基解（C）。
A. 不是可行解B. 是唯一最优解C. 是局部最优解D. 不一定是可行解3. 下列哪种情况适合用动态规划法求解？（B）A. 问题无重叠子问题B. 问题具有最优子结构C. 问题不能分解为多个独立子问题D. 子问题之间不存在关联性4. 在运输问题中，如果某条路线的运输量已经达到了其最大运输能力，我们称这条路线处于（A）状态。
运筹学（第2版）习题答案2第1章 线性规划 P36~40第2章 线性规划的对偶理论 P68~69 第3章 整数规划 P82~84 第4章 目标规划 P98~100 第5章 运输与指派问题 P134~136 第6章 网络模型 P164~165 第7章 网络计划 P185~187 第8章 动态规划 P208~210 第9章 排队论 P239~240 第10章 存储论 P269~270 第11章 决策论 Pp297－298 第12章 博弈论 P325~326 全书360页由于大小限制，此文档只显示第6章到第12章，第1章至第5章见《运筹学课后答案1》习题六6.1如图6－42所示，建立求最小部分树的0－1整数规划数学模型。
【解】边[i ，j ]的长度记为c ij ，设⎩⎨⎧=否则包含在最小部分树内边0],[1j i x ij数学模型为：,12132323243434364635365612132434343546562324463612132446362335244656121324354656m in 52,22,233344,510ij ijij i j ij Z c x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ==++≤++≤++≤++≤+++≤+++≤+++≤++++≤++++≤+++++≤=∑或,[,]i j ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩所有边6.2如图6－43所示，建立求v 1到v 6的最短路问题的0－1整数规划数学模型。
图6－42【解】弧(i ，j )的长度记为c ij ，设⎩⎨⎧=否则包含在最短路径中弧0),(1j i x ij数学模型为：,1213122324251323343524344546253545564656m in 100,00110,(,)ijiji jij Z cx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x i j =⎧+=⎪---=⎪⎪+--=⎪⎪+--=⎨⎪++-=⎪⎪+=⎪=⎪⎩∑或所有弧 6.3如图6－43所示，建立求v 1到v 6的最大流问题的线性规划数学模型。
[运筹学](中科大)答案当7θ≥-，即7777--≤-+时，最优解不变。
当7θ<-，即5061θθ-->-+时，因此模型(3)的最优解为(3,4,0)T ，目标函数值为 314z θ'=- 模型（1）的最优解为(3,29/7,0)T ，目标函数值为 3145/7z θ'=-- （4）变化第一个约束条件时：5/27s +<，即4s <时此时最优解为454(,0,)77T s s +-，目标函数最大值为1027sz -'=变化第二个约束条件时：57t <+，即2t >-此时最优解为(,0,)77T ，目标函数最大值为 7z '= 很明显当扩大第二项约束时最有利。
3、已知线性规划问题：（2000,2004）123123123123Min 224.. 60,0,z x x x x x x s t x x kx x x x =-+-++=⎧⎪-+-≤⎨⎪≤≥⎩无约束其最优解为：***1235;0;1x x x =-==- （1） 写出该问题的对偶问题，并求出对偶问题的最优解； （2） 求出k 的值 解：（1）1212121212 4621.. 20Max w y y y y y y s t y ky y y =+--≥⎧⎪+≤-⎪⎨-=⎪⎪≤⎩无约束， 由**z w =及互补松弛性质得121224612y y y y --=+=-得到120,2y y ==-，得到k=1.4、设有线性规划问题（2002）123123123123231Min 2242352373.. 4650,0,z x x x x x x x x x s t x x x x x x =++++≥⎧⎪++≤⎪⎨++=⎪⎪≤≥⎩无约束 试求（1）该问题的对偶问题（2）写出该问题的标准型，并写出单纯性法求解的初始单纯型表。
解：123123123123123Max w 235232342.. 57640,0,y y y y y y y y y s t y y y y y y =++++=⎧⎪++≥⎪⎨++≤⎪⎪≥≤⎩无约束 124567891245812456912457124567Max w 235()0023234()2.. 576()4,,,,,0y y y y y y My My y y y y y y y y y y y s t y y y y y y y y y y y '=-+-++++'-+-+=⎧⎪'-+--+=⎪⎨'-+-+=⎪⎪'≥⎩5、设有线性规划问题：（2002）123412412234123243826..690,(1,2,3,4)j MaxZ x x x x x x x x x s t x x x x x x x j =+++⎧++≤⎪+≤⎪⎪++≤⎨⎪++≤⎪⎪≥=⎩已知该问题的最优解为：*[2,2,4,0]T X =，试根据对偶理论直接求出其对偶问题的最优解。
解：对偶问题为123412412343413 86692234..110(1,2,3,4)i Min W y y y y y y y y y y y s t y y y y y i =+++++≥⎧⎪+++≥⎪⎪+≥⎨⎪+≥⎪⎪≥=⎩由互补松弛性得*40y =，131y y +=，12386616y y y ++=，31y ≥ 解的12340,5/3,1,0y y y y ====四、指派问题1、一个公司要分派5个推销员去5个地区推销某种产品，5个推销员在各个地区推销这种产品的预期利润如下表所示，问应如何分派这5个推销员才能使得公司总的利润最大。
（2003，2005）15 10 12 10 121112999102015171318179 9 137********A B C D E⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦甲乙 丙 丁 戊 解：引入变量ij x ，并令1 0 ij i j x i j ⎧=⎨⎩当第个推销员去第个地区推销产品当第个推销员不去第个地区推销产品 则该问题的数学模型为：max 1,1,2,...,51,1,2,...,510ij ijijijiijjij z c x xj xi x ======∑∑∑∑或该模型的目标函数可变化为min 1,1,2,...,51,1,2,...,510ij ijijijiijjij z b x xj xi x '======∑∑∑∑或其中20ij ij b c =-。
然后采用匈牙利法求解。
5 10 8 10 80 5 3 5 359 8111111 1 0 3 3 38()10 053710 0 023 1 1 713710783ij b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 0 5 3 5 01 0 3 3 05 3 710 0 5 3 41 2 0 06 1 2 0 0 0 47 4 5⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 30 4 7 4 2 3⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 5 3 5 0 5 0 2 0 1 3 3 1 0 0 0 10 5 3 41 2 3 4 7 4 2∅⎡⎤⎢⎥∅∅⎢⎥⎢⎥→⎢⎥∅⎢⎥⎢⎥⎣⎦◎◎◎◎ 5 2 0 1 10 0 2 0 410 2 44 5 0 0 6 4 5 60 4 4 1 2 ∅∅⎡⎤⎢⎥∅∅∅⎢⎥⎢⎥→∅⎢⎥∅⎢⎥⎢⎥⎣⎦◎◎◎◎◎ 4 4 1 2⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 因此相应的解矩阵为：0 0 1 0 0 0 0 0 0 10 1 0 0 00 0 0 1 01 0 0 0 0⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦1、分配甲乙丙丁四个人去完成五项任务，每人完成各项任务的时间如下表所示，由于任务数多于人数，故规定其中一人可兼完成两项任务，其余三人每人完成一项，试确定总花费时间最小的指派方案。
（2001，2004）A B C D E 甲 35 39 41 52 47 乙 49 48 36 30 43 丙 44 37 38 50 42 丁3452463355五、非线性规划问题1、设有如下的非线性规划问题：（2000，2004，2009）22122121212 ()(2)(1)()0.. ()20Min f X x x g X x x s t g X x x =-+-⎧=-≥⎨=--≥⎩（1） 用图解法求上述问题的最优解（2） 简述库恩-塔克条件，并用（1）的结果说明其几何意义 解：12112111222121212122(2)()2(1)2()11()12(2)2102(1)11()0(2)0,0x f X x x g X g X x x r r x r x x r x x r r -⎛⎫∇= ⎪-⎝⎭-⎛⎫∇= ⎪⎝⎭-⎛⎫∇= ⎪-⎝⎭⎧---⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎪-=⎨⎪--=⎪⎪≥⎩()1122122121212122240220()0(2)0,0r x r x r r r x x r x x r r ++-=⎧⎪--+=⎪⎪-=⎨⎪--=⎪⎪≥⎩ 解得12122/3,1r r x x ====2、试用动态规划方法求解下面的非线性规划问题（2001，2000）1021101()16.. 0,(1,2,...,10)i i ii iMin f Z x x s t x i ===⎧=⎪⎨⎪≥=⎩∑∏ 解：具体计算过程参考p207或p2082112/3222/4322/101/54/5101023....1010*1610*2f s f s f s f s ======六、简答及建模问题（新的题型方向）一 简答题1. 简述对偶问题的对称性定理、弱对偶性定理、对偶定理。
对称性定理：对偶问题的对偶是原问题。
弱对偶性定理：若X 是原问题的可行解，Y 是对偶问题的可行解，则存在C X ≦Yb 。
对偶定理：若原问题有最优解，那么对偶问题也有最优解；且目标函数数值相等。
2. 为什么排队论中假定顾客到达服从泊松发布，而服务时间服从负指数分布？ 顾客到达服从泊松分布：（1）在不相重叠的时间区间内顾客到达数是相互独立的（顾客到达是随机的）（2）对充分小的t∆，在时间区间[,)+∆内有一个顾客到达的概率与t无t t t关，而约与区间长t∆成正比；（3）对于充分小的t∆，在时间区间[,)+∆内有两个或两个以上顾客到达的t t t概率极小，以至于可以忽略。
这三个条件是符合实际情况的，由此推出的概率分布为泊松分布。
服务时间服从负指数分布：对一顾客的服务时间定义为在忙期相继离开系统的两顾客的间隔时间。
相继到达相继离开的间隔时间与输入过程为泊松流是一致的，可以推出为独立且同负指数分布。
3.概括中国邮递员问题的解决思路：问题是：在一个有奇点的图中，要求增加一些重复边，使新图不含奇点，并且重复边的总权为最小。
思路：找奇点，增加重复边，确定第一个可行方案；调整方案，去掉偶数条重复边，使重复边总权下降到最小。
二分析解答题1.设备更新问题（动态规划）某车间生产过程中必须使用某台设备，每年年初，车间领导决定是购置新设备还是通过维修继续使用旧设备。
若购置新设备，需支付购置费，购买单价如下表第二行所示，旧设备报废无残值；设备在使用的生命周期内每年需支付一定的维修费用，且年度维修费用随着设备使用年限的增长而增长，如下表第四行所示。
请制定2011-2015年的设备更新计划，使得总费用最小。
（忽略货币的时间价值）答案：{ 1, 0, 1, 0, 0}(0,56)(0,40)(1,56)(0,28)(0,49)(1,43)(1,59)(0,18)(0,48)(0,38)(1,54)(1,32)(0,53)(1,47)(1,63)(1,12)(0,53)(0,41)(1,57)(0,31)(0,52)(1,46)(1,62)(1,25)(1⎧⎧⎧⎪⎨⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎪⎩⎨⎧⎧⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧⎪⎪⎨⎪⎩⎪⎩⎩⎧⎧⎨⎪⎪⎩⎨⎧⎪⎨⎪⎩⎩(0,55)(0,45)(1,61),39)(0,60)(1,54)(1,70)⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎪⎩⎩⎩2.报童通过订购报纸进行零售以获利。
已知，报童订购报纸的单位成本为c，销售单价p，若报纸未卖出，则低价处理的单价为q。
已知p c q>>。
根据过去的售卖经验得知，报童每日卖出r份报纸的概念为P(r)。
请问，为使得收益最大化，报童每天的最佳订购量Q为多少？答案：记报童每天购进n 份报纸时的平均收入为G(n)，如果这天的需求量r ≤n ，则他售出r 份，退回n-r 份；如果这天的需求量r>n ，则n 份将全部售出．考虑到需求量为r 的概率是)(r f ，所以()()()()()()()01() 1n r r n G n a b r b c n r f r a b nf r ∞==+=----+-⎡⎤⎣⎦∑∑ 问题归结为在)(r f ，a ，b ，c 已知时，求n 使G(n)最大．通常需求量r 的取值和购进量n 都相当大，将r 视为连续变量更便于分析和计算，这时概率)(r f 转化为概率密度函数)(r p ，(1)式变成()()()()()()()()0 2n n G n a b r b c n r p r dr a b np r dr ∞=----+-⎡⎤⎣⎦⎰⎰ 计算()()()()()()()()()()()()00 n n n n dG a b np n b c p r dr a b np n a b p r dr dn b c p r dr a b p r dr ∞∞=-----+-=--+-⎰⎰⎰⎰令0=dn dG .得到()()()03nn p r dr a b b c p r dr ∞-=-⎰⎰ 使报童日平均收入达到最大的购进量n 应满足(3)式．因为⎰∞=01)(dr r p ，所以(3)式又可表为()()0 4na b p r dr a c-=-⎰ 根据需求量的概率密度)(r p 的图形很容易从(3)式确定购进量n ．在图2中用1P ，2P 分别表示曲线)(r p 下的两块面积，则(3)式可记作()12 5P a b P b c-=- 因为当购进n 份报纸时，⎰=ndr r p P 01)(是需求量r 不超过n 的概率，即卖不完的概率：⎰∞=n dr r p P )(2是需求量r 超过n 的概率，即卖完的概率，所以（3）式表明，购进的份数 应该使卖不完和卖完的概率之比，恰好等于卖出一份赚的钱a-b 与退回一份赔b-c 之比.显然，当报童与报社签订的合同使报童每份赚钱和赔钱之比越大时，报童购进的份数就应该越多.3. 某投资公司邀请你出资一万元参加如下游戏，游戏规则如下：首先，提供给你100万元的原始资本，该游戏分为50轮。
