正五边形尺规作图的画法及其他

正五边形尺规作图的画法与其他正五边形的画法第一种：圆内接正五边形的画法如下:1、作一个圆,设它的圆心为O；2、作圆的两条互相垂直的直径AZ和XY；3、作OY的中点M；4、以点M为圆心,MA为半径作圆,交OX于点N；5、以点A为圆心,AN为半径,在圆上连续截取等弧,使弦AB=BC=CD=DE=AN,则五边形ABCDE即为正五边形.第二种作法：1. 以O为圆心,半径长为R画圆,并作互相垂直的直径MN和AP；2. 平分半径OM于K,得OK=KM；3. 以K为圆心,KA为半径画弧与ON交于H, AH即为正五边形的边长；4. 以AH为弦长,在圆周上截得A、B、C、D、E各点,顺次连结这些点.五边形ABCDE即为所求.第三种：圆内接正五边形的画法如下:1、作一个圆,设它的圆心为O；2、作圆的两条互相垂直的直径AZ和XY；3、作OY的中点M；4、以点M为圆心,MA为半径作圆,交OX于点N；5、以点A为圆心,AN为半径,在圆上连续截取等弧,使弦AB=BC=CD=DE=AN,则五边形ABCDE即为正五边形.以上两种图形的作法运用了所求图形边长与已知的线段长度的关系,用构造直角三角形的方法作出与所求图形的边长相等的线段,从而作出整个图形,这是尺规作图中常用的一种方法——等线段法,即用已知图形的线段作出与所求图形边长相等的线段.正多边形的尺规作图是大家感兴趣的．正三边形很好做；正四边形稍难一点；正六边形也很好做；正五边形就更难一点,但人们也找到了正五边形的直规作图方法．确实,有的困难一些,有的容易一些．正七边形的尺规作图是容易一些,还是困难一些呢？人们很久很久未找到作正七边形的办法,这一事实本身就说明作正七边形不容易；一直未找到这种作法,也使人怀疑：究竟用尺规能否作出正七边形来？数学不容许有这样的判断：至今一直没有人找到正七边形的尺规作图方法来,所以断言它是不能用尺规作出的．人们迅速地解决了正三、四、五、六边形的尺规作图问题,却在正七边形面前止步了：究竟能作不能作,得不出结论来．这个悬案一直悬而未决两千余年．17世纪的费马,就是我们在前面已两次提到了的那个法国业余数学家,他研究了形如Fi 〔i为右下角标〕＝22i〔底数2指数2的i次幂〕＋1 的数．费马的一个著名猜想是,当n≥3时,不定方程xn＋yn＝zn没有正整数解．现在他又猜测Fi都是素数,对于i＝0,1,2,3,4时,容易算出来相应的Fi：F0＝3,F1＝5,F2＝17,F3=257,F4=65 537验证一下,这五个数的确是素数．F5=225+1是否素数呢？仅这么一个问题就差不多一百年之后才有了一个结论,伟大的欧拉发现它竟不是素数,因而,伟大的费马这回可是猜错了！F5是两素数之积：F5＝641×6 700 417．当然,这一事例多少也说明：判断一个较大的数是否素数也决不是件简单的事,不然,何以需要等近百年？何以需要欧拉这样的人来解决问题？更奇怪的是,不仅F5不是素数,F6,F7也不是素数,F8,F9,F10,F11等还不是素数,甚至,对于F14也能判断它不是素数,但是它的任何真因数还不知道．至今,人们还只知F0,F1,F2,F3,F4这样5个数是素数．由于除此而外还未发现其他素数,于是人们产生了一个与费马的猜想大相径庭的猜想,形如22i＋1的素数只有有限个．但对此也未能加以证明．当然,形如Fi=22i+1的素数被称为费马素数．由于素数分解的艰难,不仅对形如Fi=22i+1的数的一般结论很难做出,而且具体分解某个Fi也不是一件简单的事．更加令人惊奇的事情发生在距欧拉发现F5不是素数之后的60多年,一位德国数学家高斯,在他仅20岁左右之时发现,当正多边形的边数是费马素数时是可以尺规作图的,他发现了更一般的结论：正n 边形可尺规作图的充分且必要的条件是n=2k〔2的k次幂〕或2k×p1×p2×…×ps,〔1,2…s为右下角标〕其中,p1,p2,…,ps是费马素数．正7边形可否尺规作图呢？否！因为7是素数,但不是费马素数．倒是正17边形可尺规作图,高斯最初的一项成就就是作出了正17边形．根据高斯的理论,还有一位德国格丁根大学教授作了正257边形．就这样,一个悬而未决两千余年的古老几何问题得到了圆满的解决,而这一问题解决的过程是如此的蹊跷,它竟与一个没有猜对的猜想相关连．正17边形被用最简单的圆规和直尺作出来了,而正多边形可以换个角度被视为是对圆的等分,那么这也相当于仅用圆规和直尺对圆作了17等分,其图形更觉完美、好看．高斯本人对此也颇为欣赏,由此引导他走上数学道路<他早期曾在语言学与数学之间犹豫过>,而且在他逝后的墓碑上就镌刻着一个正17边形图案．高斯把问题是解决得如此彻底,以致有了高斯的定理,我们对于早已知道如何具体作图的正三边形、正五边形,还进而知道了它们为什么能用尺规作图,就因为3和5都是费马素数<3=F0,5＝F1>；对于很久以来未找到办法来作出的正七边形,乃至于正11边形、正 13边形,现在我们能有把握地说,它们不可能由尺规作图,因为7、11、13都不是费马素数；对于正257边形、正65 537边形,即使我们不知道具体如何作,可是理论上我们已经知道它们是可尺规作图的；此外,为什么正四边形、正六边形可尺规作图呢？因为4＝22,因为6= 2· 3而 3=F0．。

看完这些正多边形的尺规作图⽅法，你还不认为数学也是⼀种艺术吗？荟思正多边形的尺规作图，虽然是⼀个很纯粹的数学问题，但同时也极具艺术欣赏价值！尺规作图问题是⾮常古⽼的数学问题，早在两千多年前的古希腊时期就开始研究了。

⼈们好奇什么样的图形可以⽤尺规作图的⽅法得到，什么样的图形不可以。

对于可以尺规作图的图形，很好办，想尽办法得到作图⽅法就解决问题了。

对于那些还没想到作图⽅法的图形就⽐较为难，因为不知道是因为不存在这样的作图⽅法，还是因为作法太复杂，所以还没⼈能发现这样的⽅法。

例如三等分⾓问题，就是很长时间⾥都找不到作图⽅法，最终证明是不可能办到的。

再次特别强调⼀下，在尺规作图问题中，直尺是不带刻度的，我们只能⽤它来画直线。

在各种图形中，正多边形是⼤家⽐较感兴趣的⼀类。

由于圆规可以画圆，⽽所有正多边形都可以内接于圆，因此它的所有顶点都在圆周上。

这样看来，正多边形应该很有希望⽤尺规作图。

⽽且，前⼏个正多边形的作图⽅法很快就构造出来了，步骤也不算复杂。

然⽽还是有很多正多边形没有找到尺规作图的⽅法，因此⾃然要问，是否存在不可能尺规作图的正多边形。

相对于同时期的其他⽂明，古希腊数学更富思辨精神。

尽管当时的数学问题都是源于⽣活，但古希腊⼈并不⽴⾜于解决⽣活问题，⽽是考虑⼀般的理想情形。

边数较多的多边形在实际问题中⼏乎不会出现，但他们仍然对这些多边形的尺规作图很感兴趣，并且还执着地规定直尺不能带刻度。

这个问题在经过漫长的两千年后，才最终被天才的⾼斯在24岁时完全解决。

根据⾼斯的结论，⼀个正多边形可以尺规作图，当且仅当边数是费马素数或者两个不同的费马素数的乘积，或者是这些数的2的乘幂倍（即2倍，4倍，8倍，16倍，等等）。

请注意，⾼斯的结论给出的是⼀个充分必要条件。

换句话说，费马素数的数量决定了能尺规作图的奇数边正多边形的个数。

根据⾼斯的结论，边数不超过20的18个正多边形中，可以尺规作图的⼀共有11个，边数分别是3,4,5,6,8,10,12,15,16,17,20。

正五边形尺规作图方法赏析作者：谢俊峰来源：《数学大世界·上旬刊》2018年第11期尺规作图是起源于古希腊的数学课题。

历史上最先明确提出尺规限制的是希腊天文学家、数学家伊诺皮迪斯。

由于对尺规作图的限制，使得一些貌似简单的几何作图问题无法解决。

最著名的是古希腊最有影响力的四大数学学派之——巧辨学派提出的三大著名尺规作图问题：倍立方问题、化圆为方问题、三等分角，当然，这三个问题都已被证明不可能用尺规作图来解决。

尺规作图中有许多有趣的问题，其中作正多边形就是其中一种。

大家认为这是一个简单的问题，但在操作中我们知道，正四邊形、正五边形、正六边形都比较简单，但到正七边形、正九边形却遇到了很大的困难，最终解决这个问题的是伟大的数学家高斯，他给出了可用尺规作图的正多边形的条件：尺规作图正多边形的边数目必须是2的非负整数次方和不同的费马素数的积。

本文提供正五边形的几种作图方法，供大家赏析。

一、已知圆的半径为r，求作圆的内接正五边形作法1：如图1，作圆O的任意半径OA1，A1B⊥OA1，并使得A1B=1/2OA1，连接BO，以B为圆心，删，为半径作弧截BO于点C，以O为圆心、0C为半径作弧截0A1于点M，以点A1起顺次截取等于0M的弦A1B2，A2B3，…，A10A1，将A2、A4、A6、A8、A10顺次连接，即为圆的内接正五边形。

作法2：如图2，作互相垂直的直径AM，BN，作0N的垂直平分线交ON于点E，以E为圆心、EA为半径作弧交OB于点F，从点A起顺次在圆上截取等于AF的弦，AA1、A1A2、A2A3、A3A4、A4A，顺次连接A、A1、A2、A3、A4、A，即得到正五边形。

作法3：如图3，任作圆O的半径OA，，过O点作OA1的垂线OB交圆O于点B，取OB的中点C，作∠OCA1的角平分线CD交于点D，过D点作DA2⊥OA1交圆O于点A2，从点A2起顺次在圆上截取等于A1A2的弦A2A3、A3A4、A4A5，顺次连接A1、A2. A3、A4.A5、A，即得到正五边形。

利用正五边形绘制正五角星的方法
1．工具准备：正五边形纸一张、直尺、铅笔。

2．利用直尺，绘制对角线（如下图所示），即可绘制出正五角星。

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尺规作图的简介尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图。

一把没有刻度的直尺看似不能做什么，画一个圆又不知道它的半径，画线段又没有精确的长度。

其实尺规作图的用处很大，比如单用圆规找出一个圆的圆心，量度一个角的角度，等等。

运用尺规作图可以画出与某个角相等的角，十分方便。

尺规作图是起源于古希腊的数学课题。

只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题。

平面几何作图，限制只能用直尺、圆规。

在历史上最先明确提出尺规限制的是伊诺皮迪斯。

他发现以下作图法：在已知直线的已知点上作一角与已知角相等。

这件事的重要性并不在于这个角的实际作出，而是在尺规的限制下从理论上去解决这个问题。

在这以前，许多作图题是不限工具的。

伊诺皮迪斯以后，尺规的限制逐渐成为一种公约,最后总结在《几何原本》之中。

若干著名的尺规作图已知是不可能的，而当中很多不可能证明是利用了由19世纪出现的伽罗华理论。

尽管如此，仍有很多业余爱好者尝试这些不可能的题目，当中以化圆为方及三等分任意角最受注意。

数学家Underwood Dudley曾把一些宣告解决了这些不可能问题的错误作法结集成书。

■尺规作图的基本要求·它使用的直尺和圆规带有想像性质，跟现实中的并非完全相同：·直尺必须没有刻度，无限长，且只能使用直尺的固定一侧。

只可以用它来将两个点连在一起，不可以在上画刻度。

·圆规可以开至无限宽，但上面亦不能有刻度。

它只可以拉开成你之前构造过的长度。

■五种基本作图·作一个角等于已知角·平分已知角·作已知直线的垂直平分线·作一条线段等于已知线段·过一点作已知直线的垂线■尺规作图公法以下是尺规作图中可用的基本方法，也称为作图公法，任何尺规作图的步骤均可分解为以下五种方法：·通过两个已知点可作一直线。

·已知圆心和半径可作一个圆。

·若两已知直线相交，可求其交点。

用两种方法推导出正五边形的画ib a + ()b a , ()θθsin cos i r ib a +=+ 22b a r += θ n ()ϕϕsin cos i + ()n i ϕϕsin cos + ()0,1 ϕϕn n sin cos +1z z 1 z 2 z 3 z 4 z 5 z 2 z 3 z 4 z 5 52cos π52sin πi nπϕ2= 用两种方法推导出正五边形的尺规作图法用复数ib a +表示坐标为()b a ,的点，ib a +可以写成()θθsin cos i r ib a +=+ 其中22b a r +=是原点到()b a ,的距离，θ是点()b a ,的向径与x 之夹角。

单位圆上的点可以用θθsin cos i + 来表示。

棣美芙给出复数n 次幂公式：()n i ϕϕsin cos +=ϕϕn n sin cos + 正五形的一个顶点在()0,1， 令θ=52π其它的全体顶点分别是：()θθsin ,cos ，()θθ2sin ,2cos ，（θθ3s i n ,3c o s ），()θθ4s i n ,4c o s 。

对应的复数分别是：z 1=52cosπ+ 52sin πi = z 令θ=52π z 2=θθ2sin 2cos i +z 3=θθ3sin 3cos i + z 4=θθ4sin 4cos i +于是正五边形的顶点是方程z 5=1的根，我们只需求出除1之外的4个根，则可以画出正五边形，这4个根满足01112345=++++=--z z z z z z为得到正五边形，应该解方程z z z z +++234+1=0不难看出：z 1=zz 2=2z z 3=3z z 4=4z z 5=5z 令1x =z 1+ z 4， 2x =z 2+z 3则21x x +=z 1 +z 2 + z 3+ z 4=-1 21x x =（z 1+ z 4）(z 2+z 3)=()()1432324-=+++=++z z z z z z z z 所以1x 与2x 是方程012=-+x x 的根。

正多边形的画法室内陈设技巧2009-03-13 15:55:13 阅读386 评论0 字号：大中小订阅正五边形的画法(1)已知边长作正五边形的近似画法如下:①作线段AB等于定长l,并分别以A,B为圆心,已知长l为半径画弧与AB的中垂线交于K.③以C为圆心,已知边长AB为半径画弧,分别与前两弧相交于M,N.④顺次连接A,B,N,C,M各点即近似作得所要求的正五边形.(2) 圆内接正五边形的画法如下:①以O为圆心,定长R为半径画圆,并作互相垂直的直径MN和AP.②平分半径ON,得OK=KN.③以K为圆心,KA为半径画弧与OM交于H, AH即为正五边形的边长.④以AH为弦长,在圆周上截得A,B,C,D,E各点,顺次连接这些点即得正五边形.正六边形的画法（一）1、画一个圆，设圆心为O；2、在圆上任选一点为圆心，假设为点A，原来的圆的半径为半径，作弧和圆交于两点，假设为点B、C；3、连结OA、OB、OC，设另一端分别与圆相交于D、E、F；4、连结AB、AC、CE、DE、DF、CF；5、则六边形ABEDFC为正六边形。

（二）画一个圆，做其一条直径。

以直径的两个端点为圆心，以已做圆的半径为半径分别画圆，做出4个交点，依顺序联结这4个点和直径的两个端点就可以。

椭圆的画法一、四心近似法已知相互垂直且平分的椭圆长轴和短轴,则椭圆的近似画法(四心近似法)步骤如下所示:第一步：画出长轴AB和短轴CD，连接AC；第二步：在AC上截取CF，使其等于AO与CO之差CE；第三步：作AF的垂直平分线，使其分别交AO和OD（或其延长线）于O1和O2点。

以O为对称中心，找出O1的对称点O3及O2的对称点O4，此O1、O2、O3、O4各点即为所求的四圆心。

通过O2和O1、O2和O3、O4和O3各点，分别作连线；第四步：分别以O2和O4为圆心，O2C（或O4D）为半径画两弧。

再分别以O1和O3为圆心，O1A（或O3B）为半径画两弧，使所画四弧的接点分别位于O2O1、O2O3、O4O1和O4O3的延长线上，即得所求的椭圆。

正五边形的画法原理
正五边形是一种具有五条相等边和五个相等角的多边形，它的构图方法有很多种，下面将介绍一种简单易懂的画法原理。

首先，我们需要准备一张白纸和一支铅笔。

在纸上画一个圆形，这个圆形将成
为正五边形的外接圆。

确定圆心后，用直尺在圆上画出水平线和垂直线，这两条线的交点就是正五边形的顶点之一。

接下来，我们需要确定正五边形的另外四个顶点。

在圆上选择一个点作为起始点，然后用直尺连接这个起始点和圆心，得到一条半径线。

然后，以这条半径线为边，将圆分成五等分，这样就确定了正五边形的五个顶点。

现在，我们可以开始画出正五边形的边了。

连接相邻的顶点，依次画出五条边，这样就完成了正五边形的画法。

需要注意的是，画出的五边形要保持边长相等，角度相等，才能称为正五边形。

在实际操作中，可以使用量角器和尺子来确保每条边的长度和每个角度的准确性。

除了使用外接圆的方法，还可以使用内切圆或者其他方法来画出正五边形。

无
论采用何种方法，都需要保证五边形的边长和角度的准确性，才能得到一个完美的正五边形。

总之，正五边形的画法原理并不复杂，只要掌握了正确的方法和技巧，就能够
轻松地画出一个完美的正五边形。

希望本文的介绍能够帮助到大家，让大家在绘画中更加游刃有余。

利用正五边形绘制正五角星的方法
1．工具准备：正五边形纸一张、直尺、铅笔。

2．利用直尺，绘制对角线（如下图所示），即可绘制出正五角星。

课后小知识
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小学生每日名人名言
1、读书要三到：心到、眼到、口到
2、一日不读口生，一日不写手生。

3、天生我材必有用。

──李白
4、学习永远不晚。

——高尔基
5、天才出于勤奋。

──高尔基
6、鸟欲高飞先振翅，人求上进先读书。

——李若禅
7、哪里有天才，我是把别人喝咖啡的工夫都用在工作上的。

──鲁迅
8、立志是事业的大门，工作是登门入室的的旅途。

──巴斯德
9、一日无书，百事荒废。

——陈寿
10、给我最大快乐的，不是已懂得知识，而是不断的学习；不是已有的东西，而是不断的
获取；不是已达到的高度，而是继续不断的攀登。

——高斯。

几何三大问题如果不限制作图工具，便很容易解决.从历史上看，好些数学结果是为解决三大问题而得出的副产品，特别是开创了对圆锥曲线的研究，发现了一批著名的曲线，等等.不仅如此，三大问题还和近代的方程论、群论等数学分支发生了关系.正五边形的画法](1)已知边长作正五边形的近似画法如下:①作线段AB等于定长l,并分别以A,B为圆心,已知长l为半径画弧与AB的中垂线交于K.②以K为圆心，取AB的2/3长度为半径向外侧取C点，使CK=2/3AB.③以C为圆心,已知边长AB为半径画弧,分别与前两弧相交于M,N.④顺次连接A,B,N,C,M各点即近似作得所要求的正五边形.(2) 圆内接正五边形的画法如下:①以O为圆心,定长R为半径画圆,并作互相垂直的直径MN和AP.②平分半径ON,得OK=KN.③以K为圆心,KA为半径画弧与OM交于H, AH即为正五边形的边长.④以AH为弦长,在圆周上截得A,B,C,D,E各点,顺次连接这些点即得正五边形.（3）.民间口诀画正五边形口诀介绍:"九五顶五九,八五两边分."作法:画法:1.画线段AB=20mm,2.作线段AB的垂直平分线,垂足为G.3.在l上连续截取GH,HD,使GH=5.9/5*10mm=19mm,HD=5.9/5*10mm=11.8mm4.过H作EC⊥CG,在EC上截取HC=HE=8/5*10mm=16mm,5.连结DE,EA,EC,BC,CD,五边形ABCDE就是边长为20mm的近似正五边形.（4）1.画一条水平线，通过此线上的任意点做一个圆。

2.将圆规的一腿放在圆与直线的其一交点上，通过上述圆的圆心画半圆，并与之交两点。

连接这两点做垂直线，与先前的水平线相交与(a)点.3.张开圆规，以水平线与第一个圆的两个交点为圆心以相同半径在水平线上下第一个圆外分别做两个交点，这样可以得到一条通过第一个圆圆心的正交线，与第一个圆相交的位于水平线上方的点称之为(b).这是正五边形的第一个角。