高数 函数的极限及性质 知识点与例题精讲36页PPT

A(或f
( x0
0)
A)
右极限: 定理1
lim
xx0
f (x)
A(或f (x0
0)
A)
lim f (x) A lim f (x) lim f (x) A
xx0
xx0
xx0
x sin x, x 0
例1
试问函数f ( x)

10, x 0
(c) Sketch the graph of F.
例2 lim sin x不存在 x
lim sin 1 不存在.
x0
x
y sin 1 x
思考与练习
1. 若极限 lim f ( x) 存在, 是否一定有
x x0
lim f ( x) f ( x0 ) ？
x x0
2. 设函数 f ( x) a x2, x 1 且 2x 1, x 1
lim f ( x)
x1
存在, 则 a 3 .
3.Let F (x) x 2 1 .
x 1
(a) Find (i) lim F (x) x 2 1 .
x1
x 1
(ii) lim x1
F(x)
x2 1 .
x 1
(b) Does lim F(x). exist?
x1
lim f ( x) lim f ( x) lim f ( x) 不存在.
x0
x0
x0
二、函数极限的性质
1.惟一性
定理1 (极限的惟一性) 如果函数极限
存在，则极限值惟一.
2.有界性
定理2 (局部有界性)
如果极限 lim f (x) xx0

无穷小是函数极限的必要条件，即如果函数在某点的极限存在，那么函数在该点的值必定是无穷小。
无穷小与函数极限的关系是相互依存的，无穷小是函数极限的一种表现形式，而函数极限又是无穷小的 一种表现形式。
无穷小在求极限中的应用
利用无穷小的性质，可以将复杂的函数极限转化为简单的无穷小量，从而 简化计算过程。
在求函数极限时，可以利用等价无穷小替换，将复杂的函数表达式替换为 简单的无穷小量，从而得到更易处理的极限表达式。
利用极限的四则运算法则，消去零因子，化 简函数形式，再求极限。
利用两个重要极限求解
利用重要极限$lim_{x to 0} frac{sin x}{x} = 1$求解：当函数 形式为$frac{sin x}{x}$时，可以利用此重要极限求解。
利用重要极限$lim_{x to infty} frac{1}{x} = 0$求解：当函数 形式为$frac{1}{x}$时，可以利用此重要极限求解。
考研高数总复习函数的极限(讲义 )ppt课件
contents
目录
• 函数极限的基本概念 • 函数极限的求解方法 • 函数极限的应用 • 函数极限的深入理解 • 总结与展望
01 函数极限的基本概念
函数极限的定义
1 2
函数极限的定义
当自变量趋近某一特定值时，函数值的变化趋势。
函数极限的表示方法
lim f(x) = A，表示当x趋近于某个值时，f(x)趋 近于A。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
在物理学中，函数极限被用来描述物体运动的速度、加速度等概念；在 工程中，函数极限被用来描述信号的变化趋势；在经济中，函数极限被
用来描述市场的变化趋势。
通过对函数极限的学习，我们可以更好地理解和应用这些概念，为未来 的学习和工作打下坚实的基础。

注
1）0 x x0 表示 x x0 , x x0 时 f ( x) 有无极限 与
f ( x0 ) 有无定义没有关系.
2） 任意给定后，才能找到 ， 依赖于 ，且 ( ) 越小， 越小.
3） 不唯一，也不必找最大的，只要存在即可.
函数极限的几何解释
y
O x
如果函数f(x)当x→x0时极限为A,以任意给定一正数ε,作两条 平 行 于 x 轴 的 直 线 y=A+ε 和 y=A-ε, 存 在 点 x0 的 δ 邻 域 (x0-δ, x0+δ),当x在邻域(x0-δ, x0+δ)内,但x≠x0时,曲线y=f(x)上的点 (x,f(x))都落在两条平行线之间。
观察函数 y=1/x 的图像
y y=1/x
o
x
再考察函数 y = ln x
y y=lnx
o
x
无穷小和无穷大的关系
在同一极限过程中，无穷小与无穷大之间是通过取倒数互相转化。 即在自变量的同一变化过程中，如果f(x)为无穷大，则
1 f ( x) 为无穷小；反之，如果f (x)为无穷小，且 f ( x) 0 则 1 为无穷大
x
x
x
若lim f ( x)或lim f ( x)不存在,则 lim f ( x)不存在.
x
x
x
若 lim f ( x) lim f ( x) , 则lim f ( x) 不存在.
x
x
x
几何意义
如果函数f(x)当x→∞时极限为A，以 任意给定一正数ε,作两条平行于x轴 的 直 线 y=A-ε 和 y=A+ε, 则 总 存 在 一 个正数X，使得当x<－X或x>X时， 函 数 y=f(x) 的 图 形 位 于 这 两 条 直 线 之间.

则A是 f (x)当 x 的极限. 记为： lim f ( x) A. x
或者记为：当 x 时，f ( x) A.
从定义中得到： x X 包含了 x X 和x X .
所以： x 包含了 x 和 x . 于是有
定理：lim f ( x) A lim f ( x) A且 lim f ( x) A.
x
x
x
则有：lim(2 1 ) 2, limarctan x 不存在.
x
x
x
.
7
注意: 证明极限存在时,关键是任意给定 0, 寻找X.
求X的方法： 由 f (x) A 解出x
几何解释:
Aε f (x) Aε
AA

X
A X
或者记为：当 x 时，f ( x) A.
则有：lim (2 1 ) 2, limarctan x π
x
x
x
2
对于 y 2 1 ，lim (2 1 ) 2,lim (2 1 ) 2,那么 lim(2 1 ) ？
x x
x
x
或者从x0的两边同时接近于x0.
.
12
函数极限的几何意义
lim f ( x) A 0, 0, 使得当
xБайду номын сангаас x0
0 x x0 时， 恒有 f ( x) A 成立.
0
当 x U ( x0 ) 时，
函数f(x)的图形完全
y
y f (x)
落在以直线y=A为中
定义：如果 0, X 0, 使当 x X 时，恒有 f (x) A ，

记 x lx 0 i作 0 m f(x ) A或 f(x 0 0 ) A . (x x 0 )
右极限 0,0,使x0当 xx0时 , 恒f有 (x)A.
记 x lx 0 i作 0 m f(x ) A或 f(x 0 0 ) A . (x x 0 )
注 :{ x 0 意 x x 0 } { x 0 x x 0 } { x x x 0 0 }
0 取 mx 0 i,n x 0 {}
当 0 |xx0|时恒有
| x x0||xxx 00|
例4 证明 lim a x 1 (a 1) x0 证 0 （不妨设ε＜1）
要|使 ax1|
只 1 须 a x 1
又 la o ( 1 只 ) g x l须 a o ( 1 ) g
令 mia n 1 1 { ,llo o a(1 g g )}
x
问题: 如何用精确的数学数学语言刻划函数“无限 接近”.
f(x )A 表f(示 x )A 任;意小
xX表x示 的过 . 程
1. 定义 :
定义1 如果对于任意给定的正数 (不论它多么小), 总存在着正数X,使得对于适合不等式x X的一切 x,所对应的函数值f (x)都满足不等式f (x) A , 那末常数A就叫函数f (x)当x 时的极限,记作 limf(x) A 或 f(x)A(当x)
1. 定义:
定义2 如果对于任意给定的正数 (不论它多
么小),总存在正数 ,使得对于适合不等式
0 x x0 的一切x ,对应的函数值f (x) 都 满足不等式 f (x) A ,那末常数A 就叫函数
f (x)当x x0时的极限,记作
lim f (x) A 或
xx0
f (x) A(当x x0)
f ( xn )

答案4
$lim_{h to 0} frac{f(x + h) - f(x)}{h} = f'(x)$
THANKS
感谢观看
极限的运算性质
极限的四则运算性质
加减乘除满足相应的运算法 则。
极限的复合运算性质
复合函数的极限满足相应的 运算法则。
极限的等价变换
在一定条件下，可以将复杂 的函数进行等价变换，简化 计算过程。
02
极限的求解方法
极限的四则运算法则
加法法则
如果lim(x→a) f(x) = A 和 lim(x→a) g(x) = B，则lim(x→a) [f(x) + g(x)] = A + B。
减法法则
如果lim(x→a) f(x) = A，则lim(x→a) [f(x) - g(x)] = A - B。
乘法法则
如果lim(x→a) f(x) = A 和 lim(x→a) g(x) = B，则lim(x→a) [f(x) * g(x)] = A * B。
除法法则
如果lim(x→a) f(x) = A 和 lim(x→a) g(x) = B（B≠0），则lim(x→a) [f(x) / g(x)] = A / B。
05
习题与答案
习题部分
习题1
计算下列极限：$lim_{x to 0} frac{sin x}{x}$
习题3
讨论下列函数的极限：$lim_{x to 0} frac{e^x - 1}{x}$
习题2
计算下列极限：$lim_{x to infty} frac{x^2 + 1}{x^3 + x}$
习题4
求下列函数的导数并计算极限：$lim_{h to 0} frac{f(x + h) - f(x)}{h}$

若 0, 0, 当 0 x x0 时, 恒有
f (x) A
称x x0时函数f ( x)有极限A,
lim f ( x) A
x x0
12
函数的极限
注 (1) 定义中的 0 x x0 表示 x x0 ,
x x0时, f (x)有没有极限与在点x0 是否有定义无关.
(2) 定义中 标志x接近x0的程度,
x
y y sin x x
O
x
sin x 0 sin x 1 ,只要 1
x
x |x|
|x|
即
|
x
|
1
,
取
X
1,
当|
x
|
X时, 有
sin x 0 , 故 lim sin x 0.
x
x x
9
函数的极限
结 论
如果lim f (x) C, 直线 y C x
是函数y f ( x) 图形的 水平渐近线
试证
lim
x
x2 x2
1 1
1.
证 当x 0时,
x2 1 x2 1 1
2 x2 1
2 x2
,
0, 要使
x2 1 x2 1 1 ,
只要
2 x2
,
即 x
2
,
取
X
2 , 当 x X时,有
x2 1
2
x2 1
x2
1 1
x2
lim
x
x2
1
1.
10
函数的极限
二、函数在一点的极限
用数学语言刻划 x x0 ,
A
X O X
0,X 0,
当 | x | X时,有

在 x＝1 处不连续．
(3)由函数的解析式可知函数的连续区间为(0,1)，(1,3]．
(4)由连续函数的定义可求得
＝f(2)＝0.
＝-12 ，
lim f(x)
x→2
• 点评：注意函数在某点处的极限存在与函数在 该点处连续之间的关系，假设函数在某点处连 续，那么必须保证函数在该点处有意义，且在 该点处极限存在且极限值为函数在该点处的函 数值．
4．函数极限的四那么运算法那么
如果xl→imx0f(x)＝a，xl→imx0g(x)＝b，那么 xl→imx0[f(x)±g(x)]=a+b xl→imx0[f(x)·g(x)]＝a·b； xl→imx0 gf((xx))＝ab(b≠0)．
5．函数连续性的概念 (1)如果函数 f(x)在点 x＝x0 处及其附近有定义，而且xl→imx0f(x) ＝f(x0)，就说函数 f(x)在点 x0 处连续． (2)如果函数 f(x)在点 x＝x0 处及其右侧(或左侧)有定义，而且 x→limx0＋f(x)＝f(x0)[或x→limx0－f(x)＝f(x0)]，就说函数 f(x)在点 x0 处右连 续(或左连续)． (3)若 f(x)在(a，b)内每一点都连续，且在 a 点右连续，在 b 点 左连续，则称 f(x)在闭区间[a，b]上连续．
记作xl→imx0f(x)＝a ，也可记作当 x→x0 时，f(x)→a，xl→imx0f(x)也叫做
函数 f(x)在点 x＝x0 处的极限．
3．函数的左、右极限 如果当 x 从点 x＝x0 左侧(即 x<x0)无限趋近于 x0 时，函数 f(x) 无限趋近于常数 a，就说 a 是函数 f(x)在点 x0 处的左极限，记作 x→limx0－f(x)＝a . 如果当 x 从点 x＝x0 右侧(即 x>x0)无限趋近于 x0 时，函数 f(x) 无限趋近于常数 a 时，就说 a 是函数 f(x)在点 x0 处的右极限，记 作x→limx0＋f(x)＝a . 且n→limx0－f(x)＝x→limx0＋ f(x)＝a⇔ xl→imx0f(x)＝a.

详细描述
函数极限的唯一性是函数极限的一个重要性质，它表明在某一点附近，函数的 极限值是唯一的。这个性质在研究函数的连续性和可导性等方面有着重要的应 用。
函数极限的局部有界性
总结词
函数极限的局部有界性是指，如果函数$f(x)$在点$x_0$处有极限，那么在点$x_0$的某个邻域内，函 数$f(x)$是有界的。
详细描述
函数极限的保号性是函数极限的一个重要性质，它表明在函数极限存在的区域内，函数 的符号与极限值的符号保持一致。这个性质在研究函数的单调性和不等式证明等方面有
着重要的应用。
03 函数极限的计算方法
直接代入法
总结词
直接代入法适用于求函数在某点的极限 值，当函数在该点的值已知时，可以直 接代入计算。
VS
详细描述
直接代入法是最基本的求函数极限的方法 。当函数在某点的值已知时，我们可以直 接将该点的值代入函数表达式中，得到该 点的极限值。这种方法适用于一些简单的 函数，如常数函数、一次函数等。
抓大头法
总结词
抓大头法适用于求函数在某点的极限值，当 函数在该点的值未知，但存在一个较大的项 或几个项的组合可以确定函数的极限值时。
详细描述
函数极限的局部有界性是函数极限的一个重要性质，它表明在函数极限存在的区域内，函数值是有界 的。这个性质在研究函数的单调性和收敛性等方面有着重要的应用。
函数极限的保号性
总结词
函数极限的保号性是指，如果函数$f(x)$在点$x_0$处的极限值大于0，那么在点$x_0$ 的某个邻域内，函数$f(x)$的值也大于0；如果极限值小于0，那么函数值也小于0。
详细描述
等价无穷小替换法是一种通过将函数中的某 些项替换为等价的无穷小量来估算函数的极 限值的方法。这种方法适用于一些复杂的函 数，如幂函数、三角函数等。在等价无穷小 替换法中，常用的等价无穷小量包括x→0时，