数学人教B版必修4：1.3.1正弦函数的图象与性质(一)作业

导学案：1.3.1正弦函数的图像与性质（1）一、【使用说明】1、课前完成导学案，牢记基础知识，掌握基本题型；2、认真限时完成，规范书写；课上小组合作探究，答疑解惑。

二、【重点难点】1通过图像研究性质，自主学习建立知识体系。

三、【学习目标】1、利用正弦函数的图像研究函数的性质，利用函数的性质解决问题；四、自主学习1、问题导学画出正弦函数图象，自主研究正弦函数的五个性质。

性 质x y sin = 定义域值 域单调性奇偶性 周期性例1、设sin 3,x t x R =-∈,求t 的取值范围例2、求使下列函数取得最大值和最小值的x 的取值范围，并说出最大值和最小值是什么：(1)sin 2;(2)sin 2y x y x ==+2;(3)(sin 1)2y x *=-+o x y例3、求下列函数的周期：1(1)sin 2;(2)sin()26y x y x π==+例4、不通过求值，指出下列各式大于零还是小于零：2317(1)sin()sin();(2)sin()sin()181054ππππ------五、合作探究1、0sin >x ，求x 的取值范围 。

0sin <x ，求x 的取值范围 。

2、比较大小（1）0075sin 104sin 与；（2）)863sin()754sin(ππ--与3、求函数11sin y x =-的定义域4、求使下列函数取得最大值和最小值的x 的取值范围，并求出max min y y 、。

要求AB 层同学掌握。

（1）2)23(sin 2--=x y ；（2）45sin 3sin 2++-=x x y ；5、求下列函数的周期：(1)sin3,;y x x R =∈ (2)3sin ,;4xy x R =∈ (3)2sin(2)6y x π=-六、总结升华1、知识与方法：2、数学思想及方法：七、当堂检测（见大屏幕）。

第二课时【选题明细表】1.函数y=3sin(2x-π)关于( B )(A)x轴对称(B)原点对称(C)y轴对称(D)直线解析:因为y=3sin[-(π-2x)]=-3sin(π-2x)=-3sin 2x 可知函数为奇函数,图象关于原点对称,而将,y=0不是最值.故选B.2.函数的单调递增区间可能是( B )(A)[π] (B)[-(C)[-π,0] (D)[解析:当2kπ2kπ∈Z),即2kπx≤2kπ∈Z)时,函数单调递增.k=0时得x≤故选B.3.(2017·山西应县一中月考)函数)的图象( B )(A)关于直线(B)关于直线(C)关于直线(D)关于直线对称解析:令得=π,y取不到最值,故A错,令得取得最大值,故,选B.4.(2017·宜春中学高一下学期期中)函数是( C )(A)周期为2π的奇函数 (B)周期为2π的偶函数(C)周期为π的奇函数 (D)周期为π的偶函数解析所以是周期为π的奇函数.故选C.5.(2017·渭南蒲城县桥山中学月考)若函数f(x)=sin ωx(ω>0)在区间上单调递增,则ω的取值范围是.解析:因为f(x)在上单调递增,所以⊆[2kππ∈Z).所以∈Z)即(k∈Z)又ω>0,k只需取0,故ω∈答案:(0,6.定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数.若f(x)的最小正周期是π,且当x∈时,f(x)=sin x,则的值为. 解析:由f(x)的最小正周期是π,知由f(x)是偶函数知又当x∈时,f(x)=sin x,所以所以答案7.函数y=|sin x|的一个单调增区间是( C )(B)(π)(C)(π(D)(π)解析:作出函数y=|sin x|的图象,如图:由图可知,函数的一个单调递增区间为(π故选C.8.(2017·临沂第二次月考)函数的单调递增区间是( D )(A)[-kππ∈Z(B)[2kππ∈Z(C)[kππ∈Z(D)[kππ∈Z解析的递增区间,就是的递减区间,列式求得.选D.9.函数取最大值时,x的集合是.解析:由π∈Z,得x=kπ∈Z,x的集合为{x|x=kπ∈Z}.答案:{x|x=kπ∈Z}10.(2017·陕西黄陵中学重点班月考)设函数f(x)=sin(2x+ϕ)(-π<ϕ<0),函数y=f(x)图象的一条对称轴是直线(1)求ϕ;(2)求函数y=f(x)的单调增区间.解:(1)当,2x+ϕϕπ,k∈Z,所以ϕπ,因为-π<ϕ<0,所以取k=-1得ϕ=-.令π≤≤π,k∈Z,解得π≤x≤π,k∈Z.所以单调增区间为ππ],k∈Z.11.(2017·河北衡水中学月考)已知函数y=Asin (ωx+ϕ){A>0,ω>0,|ϕ的图象过点图象与P点最近的一个最高点坐标为(1)求函数解析式;(2)求函数的最大值,并写出相应的x的值;(3)求使y≤0时,x的取值范围.解:(1)由题意知=所以T=π.所以ω由ω·ϕ=0,得ϕ又A=5,所以(2)函数的最大值为5,此时π∈Z).所以x=kπ∈Z).(3)因为≤0,所以2kπ-π≤2kπ(k∈Z).所以kπx≤kπ∈Z).。

1.3.1 正弦函数的图象与性质 第一课时 同步练习1．对于正弦函数y ＝sin x 的图象，下列说法错误的是( ) A ．向左、右无限延展B ．与y ＝－sin x 的图象形状相同，只是位置不同C ．与x 轴有无数个交点D ．关于y 轴对称解析：选D.y ＝sin x 是奇函数，图象关于原点对称．2．用“五点法”作y ＝2sin2x 的图象时，首先描出的五个点的横坐标是( )A ．0，π2，π，32π，2πB ．0，π4，π2，34π，πC ．0，π，2π，3π，4πD ．0，π6，π3，π2，23π解析：选B.令2x ＝0，π2，π，3π2，2π得x ＝0，π4，π2，3π4，π.3．下列命题中正确的个数为( )①y ＝sin x 的递增区间为[2k π，2k π＋π2](k ∈Z )②y ＝sin x 在第一象限是增函数③y ＝sin x 在[－π2，π2]上是增函数A ．1个B ．2个C ．3个D ．0个 解析：选A.由y ＝sin x 的单调性知①②错，③正确．4．函数y ＝sin 2x －6sin x ＋10的最大值是________，最小值是________． 解析：令sin x ＝t ，t ∈[－1,1]， 则t 2－6t ＋10＝(t －3)2＋1， ∴最大值为17，最小值为5. 答案：17 5一、选择题1．函数y ＝sin|x |的图象是( )解析：选B.y ＝sin|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，(x ≥0)－sin x ，(x <0)，作出y ＝sin|x |的简图知选B. 2．设函数f (x )＝|sin(x ＋π3)|(x ∈R )，则f (x )( )A ．在区间[2π3，7π6]上是增函数B ．在区间[－π，－π2]上是减函数C ．在区间[π3，π4]上是增函数D ．在区间[π3，5π6]上是减函数解析：选A.f (x )的增区间为k π≤x ＋π3≤k π＋π2(k ∈Z )，即k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )．当k ＝1，则为2π3≤x ≤7π6，故在其子区间[2π3，7π6]上为增函数．3．(2010年高考江西卷)函数y ＝sin 2x ＋sin x －1的值域为( )A ．[－1,1]B ．[－54，－1]C ．[－54，1]D ．[－1，54]解析：选C.令sin x ＝t ，t ∈[－1,1]，∴y ＝t 2＋t －1＝(t ＋12)2－54，∵t ∈[－1,1]，∴y ∈[－54，1]．4．(2011年济宁高一检测)已知a ∈R ，函数f (x )＝sin x －|a |(x ∈R )为奇函数，则a 等于( ) A ．0 B ．1 C ．－1 D ．±1 解析：选A.定义域为R .∴f (－x )＝sin(－x )－|a |＝－f (x )＝－sin x ＋|a |. ∴|a |＝0，∴a ＝0.5．(2011年汕头模拟)函数y ＝sin x 的定义域为[a ，b ]，值域为[－1，12]，则b －a 的最大值和最小值之和为( )A.4π3B ．2πC ．4π D.3π2解析：选B.画出图象可知，b －a 的最大值为4π3，最小值为2π3，∴最大值和最小值的和为4π3＋2π3＝2π 6．下列函数中，奇函数的个数是( )①y ＝x 2sin x ；②y ＝sin x ，x ∈[0,2π]；③y ＝sin x ，x ∈[－π，π]；④y ＝x cos x . A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：选C.①∵x ∈R 定义域关于原点对称，且f (－x )＝(－x )2·sin(－x )＝－x 2·sin x ＝－f (x )，是奇函数．②∵x ∈[0,2π]定义域不关于原点对称，∴它是非奇非偶函数．③∵x ∈[－π，π]，∴定义域关于原点对称，且f (－x )＝sin(－x )＝－sin x ＝－f (x )，是奇函数．④∵x ∈R 关于原点对称且f (－x )＝(－x )·cos(－x )＝－x ·cos x ＝－f (x )，是奇函数．综上应选C. 二、填空题7．(2011年聊城高一检测)方程sin x ＝1100x 2有________个正实根．解析：由图象看出在y 轴右侧两个函数y ＝sin x ，y ＝1100x 2有3个交点． 故方程sin x ＝1100x 2有3个正实根．答案：38．函数y ＝(12)sin x 的单调递增区间为________．解析：设u ＝sin x ，由复合函数的单调性知求原函数的单调递增区间即求u ＝sin x 的单调递减区间，结合u ＝sin x 的图象知：2k π＋π2≤x ≤2k π＋3π2，k ∈Z .答案：[2k π＋π2，2k π＋3π2](k ∈Z )9．(2011年烟台模拟)函数f (x )＝sin x ＋2|sin x |(x ∈[0,2π])的图象与直线y ＝k 有且仅有两个不同的交点，则k 的范围是________．解析：f (x )＝sin x ＋2|sin x |＝⎩⎪⎨⎪⎧3sin x ，x ∈[0，π]－sin x ，x ∈[π，2π]分别画出f (x )及y ＝k 的图象(图略)，由图象可知1<k <3.答案：(1,3) 三、解答题10．对于函数y ＝|sin x |和y ＝sin|x |. (1)分别作出它们的图象；(2)分别求出其定义域、值域，单调递增区间，并判断其奇偶性、周期性． 解：(1)y ＝|sin x |的图象如图①所示．y ＝sin|x |图象如图②所示．(2)y ＝|sin x |，定义域：R ；值域：[0,1]；单调递增区间：[k π，k π＋π2](k ∈Z )，偶函数，周期为π.y ＝sin|x |，定义域：R ；值域：[－1,1]；单调递增区间：[2k π－32π，2k π－π2](k 为非正整数)，[0，π2]，[2k π＋3π2，2k π＋5π2](k 为非负整数)；偶函数；非周期函数．11．若函数y ＝a －b sin x 的最大值为32，最小值为－12，试求函数y ＝－4a sin bx 的最值及周期．解：设t ＝sin x ∈[－1,1]，①当b >0时，a －b ≤a －bt ≤a ＋b .∴⎩⎨⎧a ＋b ＝32a －b ＝－12，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12b ＝1.∴所求函数为y ＝－2sin x . ②当b <0时，同理可得⎩⎨⎧a －b ＝32a ＋b ＝－12，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12b ＝－1.∴所求函数为y ＝－2sin(－x )＝2sin x .∴综合①②得，所求函数为y ＝±2sin x ，其最小值为－2，最大值为2，周期为2π.12．已知函数f (x )＝2a sin(x －π4)＋a ＋b .(1)当a ＝1时，求函数f (x )的单调递减区间；(2)当a <0时，f (x )在[0，π]上的值域为[2,3]，求a ，b 的值． 解：(1)当a ＝1时，f (x )＝2sin(x －π4)＋1＋b .∵y ＝sin x 的单调递减区间为[2k π＋π2，2k π＋3π2](k ∈Z )，∴当2k π＋π2≤x －π4≤2k π＋3π2，即2k π＋3π4≤x ≤2k π＋7π4(k ∈Z )时，f (x )是减函数，所以f (x )的单调递减区间是[2k π＋3π4，2k π＋7π4](k ∈Z )．(2)f (x )＝2a sin(x －π4)＋a ＋b ，∵x ∈[0，π]，∴－π4≤x －π4≤3π4，∴－22≤sin(x －π4)≤1.又∵a <0，∴2a ≤2a sin(x －π4)≤－a .∴2a ＋a ＋b ≤f (x )≤b . ∵f (x )的值域是[2,3]， ∴2a ＋a ＋b ＝2且b ＝3， 解得a ＝1－2，b ＝3.。

1.3 三角函数的图象与性质 1.3.1 正弦函数的图象与性质 第1课时 正弦函数的图象与性质学习目标：1.能正确使用“五点法”“几何法”作出正弦函数的图象．(难点)2.理解正弦函数的性质，会求正弦函数的最小正周期、奇偶性、单调区间及最值．(重点)[自 主 预 习·探 新 知]1．正弦函数的图象(1)利用正弦线可以作出y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象，要想得到y ＝sin x (x ∈R)的图象，只需将y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象沿x 轴平移±2π，±4π，…即可，此时的图象叫做正弦曲线．(2)“五点法”作y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象时，所取的五点分别是(0,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫32π，－1和(2π，0)．2．正弦函数的性质 (1)函数的周期性①周期函数：对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得定义域内的每一个x 值，都满足f (x ＋T )＝f (x )，那么函数f (x )就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期．②最小正周期：对于一个周期函数f (x )，如果在它的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做它的最小正周期． (2)正弦函数的性质思考：观察正弦函数的图象是否具有对称性，它的对称性是怎样的？[提示] 由图(图略)可以看出，正弦函数的图象关于原点成中心对称，除了原点这个对称点外，对于正弦函数图象，点(π，0)，点(2π，0)…，点(k π，0)也是它的对称中心，由此正弦函数图象有无数个对称中心，且为(k π，0)(k ∈Z)，即图象与x 轴的交点，正弦函数的图象还具有轴对称性，对称轴是x ＝k π＋π2，(k ∈Z)，是过图象的最高或最低点，且与x 轴垂直的直线．[基础自测]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)正弦函数的图象向左右是无限伸展的．( )(2)正弦函数y ＝sin x 的图象在x ∈[2k π，2k π＋2π]，(k ∈Z)上的图象形状相同，只是位置不同．( )(3)正弦函数y ＝sin x (x ∈R)的图象关于y 轴对称．( ) (4)正弦函数y ＝sin x (x ∈R)的图象关于原点成中心对称．( )[解析] 由正弦曲线的定义可知只有(3)错误，它关于直线x ＝k π＋π2，k ∈Z 成轴对称图形．[答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)√ 2．下列函数中，周期为π2的是( ) A ．y ＝sin x2 B ．y ＝sin 2x C ．y ＝sin x4D ．y ＝sin(－4x )D [∵sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝sin(－4x －2π)＝sin(－4x )，∴y＝sin(－4x)的周期为π2.选D.]3．下列图象中，符合y＝－sin x在[0,2π]上的图象的是()D[把y＝sin x，x∈[0,2π]上的图象关于x轴对称，即可得到y＝－sin x，x∈[0,2π]上的图象，故选D.][合作探究·攻重难]正弦函数的图象用五点法作出函数y＝1－2sin x，x∈[－π，π]的简图，并回答下列问题：(1)观察函数图象，写出满足下列条件的x的区间．①y>1；②y<1.(2)若直线y＝a与y＝1－2sin x有两个交点，求a的取值范围；(3)求函数y＝1－2sin x的最大值，最小值及相应的自变量的值．[解]按五个关键点列表描点连线得：(1)由图象可知图象在y＝1上方部分y>1，在y＝1下方部分y<1，∴当x∈(－π，0)时，y>1，当x∈(0，π)时，y<1.(2)如图，当直线y ＝a 与y ＝1－2sin x 有两个交点时，1<a <3或－1<a <1，∴a 的取值范围是{a |1<a <3或－1<a <1)．(3)由图象可知y max ＝3，此时x ＝－π2；y min ＝－1，此时x ＝π2.正弦函数的单调性及应用比较下列各组数的大小． (1)sin 194°和cos 160°； (2)sin 74和cos 53；(3)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π8和sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 3π8.[思路探究] 先化为同一单调区间上的同名函数，然后利用单调性来比较函数值的大小．[解] (1)sin 194°＝sin(180°＋14°)＝－sin 14°. cos 160°＝cos(180°－20°)＝－cos 20°＝－sin 70°.∵0°<14°<70°<90°， ∴sin 14°<sin 70°.从而－sin 14°>－sin 70°，即sin 194°>cos 160°. (2)∵cos 53＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋53，又π2<74<π2＋53<π，y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，32π上是减函数，∴sin 74>sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋53＝cos 53，即sin 74>cos 53. (3)∵cos 3π8＝sin π8， ∴0<cos 3π8<sin 3π8<1<π2. 而y ＝sin x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2内递增，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 3π8<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π8.2．比较大小： (1)sin 250°与sin 260°； (2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－235π与sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－174π.[解] (1)sin 250°＝sin(180°＋70°)＝－sin 70°，sin 260°＝sin(180°＋80°)＝－sin 80°，因为0°＜70°＜80°＜90°，且函数y ＝sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2是增函数，所以sin 70°＜sin80°，所以－sin 70°＞－sin 80°，即sin 250°＞sin 260°. (2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π5＝－sin 23π5＝－sin 3π5＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－2π5＝－sin 2π5，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－17π4＝－sin 17π4＝－sin π4. 因为0＜π4＜2π5＜π2，且函数y ＝sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2是增函数，所以sin π4＜sin 2π5，－sin π4>－sin 2π5， 即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π5＜sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－17π4.正弦函数的值域与最值问题[探究问题]1．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4在x ∈[0，π]上最小值能否为－1?[提示] 不能．因为x ∈[0，π]，所以x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π4，由正弦函数图象可知函数的最小值为－22.2．函数y ＝A sin x ＋b ，x ∈R 的最大值一定是A ＋b 吗？[提示] 不是．因为A >0时最大值为A ＋b ，若A <0时最大值应为－A ＋b .求下列函数的值域． (1)y ＝3＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3；(2)y ＝1－2sin 2x ＋sin x .[思路探究] (1)用|sin α|≤1构建关于y 的不等式，从而求得y 的取值范围． (2)用t 代替sin x ，然后写出关于t 的函数，再利用二次函数的性质及|t |≤1即可求出y 的取值范围．[解] (1)∵－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3≤1，∴－2≤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3≤2，∴1≤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋3≤5，∴1≤y ≤5，即函数y ＝3＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的值域为[1,5]．(2)y ＝1－2sin 2x ＋sin x ， 令sin x ＝t ，则－1≤t ≤1，y ＝－2t 2＋t ＋1＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫t －142＋98.由二次函数y ＝－2t 2＋t ＋1的图象可知－2≤y ≤98， 即函数y ＝1－2sin 2x ＋sin x 的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，98.3．设|x |≤π4，求函数f (x )＝cos 2x ＋sin x 的最小值.【导学号：79402017】[解] f (x )＝cos 2x ＋sin x ＝1－sin 2x ＋sin x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －122＋54.∵|x |≤π4，∴－22≤sin x ≤22，∴当sin x ＝－22时取最小值为1－22.[当 堂 达 标·固 双 基]1．以下对于正弦函数y ＝sin x 的图象描述不正确的是( ) A ．在x ∈[2k π，2k π＋2π]，k ∈Z 上的图象形状相同，只是位置不同 B ．关于x 轴对称C ．介于直线y ＝1和y ＝－1之间D ．与y 轴仅有一个交点B [观察y ＝sin x 图象可知A ，C ，D 项正确，且关于原点中心对称，故选B.] 2．函数y ＝－sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，3π2的简图是( )D [可以用特殊点来验证．当x ＝0时，y ＝－sin 0＝0，排除A ，C ；当x ＝3π2时，y ＝－sin 3π2＝1，排除B.]3．点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，－m 在函数y ＝sin x 的图象上，则m 等于( )A ．0B ．1C ．－1D ．2C [由题意－m ＝sin π2，∴－m ＝1， ∴m ＝－1.]4．若sin x ＝2m ＋1且x ∈R ，则m 的取值范围是__________． [解析] 因为－1≤sin x ≤1，sin x ＝2m ＋1， 所以－1≤2m ＋1≤1， 解得－1≤m ≤0.[答案][－1,0]5．用五点法画出函数y＝－2sin x在区间[0,2π]上的简图．[解]列表：描点、连线得y＝－2sin x的图象如图：。

、
、能够认识以上这些函数与正弦函数
过正弦函数
、明确
的
函数，
，称为
单位时间内往复振动的次数，
动的频率；
在函数中，
的图
的五
图象
的图象
倍得到的
为振幅变换
)
)的简图
X-
X+
其中
｜个单位长度而得到
置不一样，这一变换称为相位变换＝
sin＝
的图象
（当
（当
平移
sin
再作图
换称为周期变换
(ω>1
或伸长
1若将某函数的图象向右平移以后所得到的图象的函数式是
A＋)
y－D)
2＋
A向右平移个单位，横坐标缩小到原来的
B向左平移个单位，横坐标缩小到原来的
C向右平移个单位，横坐标扩大到原来的倍，纵坐标缩小到原来的向左平移个单位，横坐标缩小到原来的倍，纵坐标缩小到原来的
正弦型函数
=
＋的简图
=sin的图象（简图）。

1.3 三角函数的图象与性质 1.3.1 正弦函数的图象与性质 第一课时 正弦函数的图象与性质3．了解周期函数的概念．(易错点)1．正弦函数的图象(1)正弦函数y ＝sin x ，x ∈R 的图象叫做正弦曲线．我们用“五点法”作出y ＝sin x ，x ∈R 的图象如下图．其中在x ∈[0,2π]的图象起关键作用的五个点分别为(0,0)，⎝⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，－1，(2π，0)．【自主测试1】y ＝－sin x 的图象的大致形状是图中的( )答案：C2．正弦函数的性质 (1)定义域：R .(2)值域：[－1,1]，当且仅当x ＝2k π＋π2(k ∈Z )时，正弦函数取得最大值1；当且仅当x ＝2k π－π2(k ∈Z )时，正弦函数取得最小值－1.(3)周期性：最小正周期为2π.(4)奇偶性：奇函数，正弦曲线关于原点对称．(5)单调性：正弦函数在每一个闭区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π(k ∈Z )上，都从－1增大到1，是增函数；在每一个闭区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋2k π，3π2＋2k π(k ∈Z )上，都从1减小到－1，是减函数．【自主测试2】函数y ＝sin x (0＜x ≤2π)的值域是__________． 答案：[－1,1] 3．周期函数一般地，对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得定义域内的每一个x 值，都满足f (x ＋T )＝f (x )，那么函数f (x )就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期．对于一个周期函数f (x )，如果在它的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做它的最小正周期．今后本书所涉及到的周期，如果不加特殊说明，三角函数的周期均指最小正周期．是否所有的周期函数都有最小正周期？请举例说明．答：一个周期函数的周期不止一个，若有最小正周期的话，则最小正周期只有一个，并不是每一个周期函数都有最小正周期，如f (x )＝a (a 为常数)就没有最小正周期．【自主测试3】f (x )＝sin x ，x ∈R 是( ) A ．最小正周期为2π的偶函数 B ．最小正周期为2π的奇函数C ．最小正周期为π2的偶函数D ．最小正周期为π2的奇函数解析：由正弦函数的性质，可知f (x )的最小正周期为2π.又由f (－x )＝sin(－x )＝－sin x ＝－f (x )，得f (x )是奇函数．答案：B1．探讨正弦函数图象的对称性剖析：因为y ＝sin x 为奇函数，所以其图象关于原点成中心对称，除了这个中心对称点之外，对于正弦函数图象，将y 轴左移或右移π个单位长度，2π个单位长度，3π个单位长度，…，即k π(k ∈Z )个单位长度，正弦函数的图象的对称中心也可以是点(π，0)，点(2π，0)，…，点(k π，0)(k ∈Z )，由此可知正弦函数的图象有无数个对称中心，且为(k π，0)(k ∈Z )，它们是图象与x 轴的交点．正弦函数的图象也具有轴对称性，对称轴为x ＝k π＋π2(k ∈Z )，它们是过图象的最高点或最低点且与x 轴垂直的直线． 2．对周期函数概念的理解剖析：对于周期函数概念的理解要注意以下几个方面：①“f (x ＋T )＝f (x )”是定义域内的恒等式，即对定义域内的每一个x 的值，x ＋T 仍在定义域内且等式成立．②从等式“f (x ＋T )＝f (x )”来看，应强调是自变量x 本身加的非零常数T 才是周期．例如f (2x ＋T )＝f (x )恒成立，但T 不是f (x )的周期．③周期函数的周期不是唯一的，如果T 是函数f (x )的周期，那么kT (k ∈Z ，k ≠0)也一定是函数f (x )的周期．④周期函数的定义域不一定是R ，但一定是无限集．⑤对于周期函数来说，如果所有的周期中存在一个最小的正数，就称它为最小正周期．但是并不是所有周期函数都存在最小正周期．3．教材中的“？”(1)请同学们观察下图，说明将函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象怎样变换就能得到函数y ＝1＋sin x ，x ∈[0,2π]的图象．剖析：函数y ＝sin x ――------------→横坐标不变，将所有点的纵坐标增加1y ＝sin x ＋1(也可以说，将函数y ＝sin x 的图象向上平移1个单位长度，便可得到函数y ＝sin x ＋1的图象)．(2)请同学们自己动手推导：函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(其中A ≠0，ω＞0，x ∈R )的周期为T ＝2πω.剖析：设u ＝ωx ＋φ，因为y ＝sin u 的周期是2π， 所以sin(u ＋2π)＝sin u ，即sin[(ωx ＋φ)＋2π]＝sin(ωx ＋φ)＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2πω＋φ.这说明，当自变量由x 增加到x ＋2πω，且必须增加到x ＋2πω时，函数值重复出现．因此y ＝A sin(ωx ＋φ)的周期T ＝2πω.由此可知该函数的周期仅与自变量的系数有关，公式为T ＝2πω.说明：若没有ω＞0这个条件，则周期T ＝2π|ω|.归纳总结除定义法外，求三角函数周期的方法还有以下两种．(1)公式法：对于y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，且A ≠0，ω≠0)，T ＝2π|ω|.(2)观察法(图象法)：画出函数图象，观察图象可得函数周期．题型一 用“五点法”画有关正弦函数的图象【例题1】用“五点法”作出y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2的图象．分析：先把x ＋π2看成一个整体，取出一个周期内的五个关键点，再求出相应的x ，然后求出y .解：在直角坐标系中描出表中的五个关键点，并用光滑的曲线连接，然后向两边扩展，得下图所示的图象，即为所求作的图象．反思在利用关键的五个点描点作图时要注意被这五个点分隔的区间上函数的变化情况，在x ＋π2＝π，2π附近，函数增加或下降得快一些，曲线“陡”一些；在x ＋π2＝π2，3π2，5π2附近，函数变化得慢一些，曲线“平缓”一些． 题型二 讨论有关正弦函数的性质【例题2】讨论y ＝－12sin x ＋12的性质．分析：讨论有关正弦函数的性质，应结合图象并从定义域、值域、最值、奇偶性、周期性、单调性等几方面入手．解：先用“五点法”作出y ＝－12sin x ＋12的图象，如下图．由图象去分析函数的性质，如下：(1)定义域：R . (2)值域：[0,1]．(3)最值：当x ＝π2＋2k π(k ∈Z )时，取最小值0；当x ＝－π2＋2k π(k ∈Z )时，取最大值1.(4)奇偶性：是非奇非偶函数． (5)周期性：最小正周期为2π.(6)单调性：在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2(k ∈Z )上是增函数； 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )上是减函数． 反思通过三角函数图象可以使那些原本较复杂的数量关系、抽象的概念等显得直观，以此达到化难为易的效果．题型三 正弦函数性质的简单应用 【例题3】判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝x sin(π＋x )；(2)f (x )＝1－sin x1＋sin x.分析：利用函数奇偶性的定义进行判断． 解：(1)函数的定义域为R ，关于原点对称． 又∵f (x )＝x sin(π＋x )＝－x sin x ，∴f (－x )＝－(－x )sin(－x )＝－x sin x ＝f (x )， ∴f (x )是偶函数．(2)∵函数应满足1＋sin x ≠0，∴函数的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ∈R ，且x ≠2k π＋3π2，k ∈Z. ∴函数的定义域不关于原点对称．∴该函数既不是奇函数也不是偶函数．反思函数的定义域是判断函数奇偶性的前提，即首先要看定义域是否关于原点对称，再看f (－x )与f (x )的关系．【例题4】求函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋2x 的单调递增区间． 分析：把“π3＋2x ”整体换元，代入正弦函数y ＝sin x 的单调区间，求出x 即可．解：设t ＝π3＋2x ，则t ＝π3＋2x 是关于x 的增函数，而y ＝sin t 的单调递增区间为t∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )． 故2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )．解得x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－5π12，k π＋π12(k ∈Z )． 因此函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋2x 的单调递增区间为 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－5π12，k π＋π12(k ∈Z )． 反思如果x 的系数是负值，可利用诱导公式先化成正值，再整体代换．〖互动探究〗若将本例中的函数改为y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x ，求其单调递增区间． 解：∵y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3， ∴只需求出y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递减区间． 令2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2(k ∈Z )，解得x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋5π12，k π＋11π12(k ∈Z )． 因此函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x 的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋5π12，k π＋11π12(k ∈Z )．1．函数f (x )＝sin x2是( )A ．周期为4π的奇函数B ．周期为π的偶函数C ．周期为π2的奇函数D ．周期为2π的偶函数 答案：A2．下列函数的图象与下图中曲线一致的是( )A ．y ＝|sin x |B ．y ＝12|sin x |＋12C ．y ＝|sin 2x |D ．y ＝|sin 2x |＋12答案：B3．比较大小：(1)sin 74__________cos 53；(2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π18__________sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π10. 解析：(1)∵cos 53＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋53， 又π2＜74＜π2＋53＜3π2，但y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π2上是减函数，∴sin 74＞sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋53＝cos 53， 即sin 74＞cos 53.(2)∵－π2＜－π10＜－π18＜0，且y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0上是增函数， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π18＞sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π10. 答案：(1)＞ (2)＞4．若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的最大值为__________，相应的x 值为__________．解析：∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，∴2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4.故当2x ＋π4＝π2，即x ＝π8时，y 取最大值 2.答案： 2 π85．判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 4＋3π2；(2)f (x )＝1－sin x ＋sin x －1.解：(1)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 4＋3π2＝－cos 3x 4，x ∈R .又f (－x )＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3x 4＝－cos 3x 4＝f (x )， 故函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 4＋3π2是偶函数．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧1－sin x ≥0，sin x －1≥0，得sin x ＝1，故f (x )＝0，x ∈⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝2k π＋π2，k ∈Z .故函数f (x )＝1－sin x ＋sin x －1是非奇非偶函数．6．求函数y ＝2cos 2x ＋5sin x －4的最大值和最小值．解：y ＝2cos 2x ＋5sin x －4＝－2sin 2x ＋5sin x －2＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －542＋98. ∵sin x ∈[－1,1]，∴当sin x ＝－1，即x ＝2k π－π2(k ∈Z )时，y 有最小值－9；当sin x ＝1，即x ＝2k π＋π2(k ∈Z )时，y 有最大值1.。

双基达标 (限时20分钟)1．函数y ＝－sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，3π2的简图是( )．解析 由y ＝sin x 与y ＝－sin x 的图象关于x 轴对称可知选D. 答案 D2．在[0,2π]内，不等式sin x <－32的解集是 ( )．A ．(0，π) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，4π3 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3，5π3 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3，2π 解析 画出y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的草图如下：因为sin π3＝32，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π3＝－32，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－π3＝－32.即在[0,2π]内，满足sin x ＝－32的x ＝4π3或x ＝5π3.可知不等式sin x <－32的解集是⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3，5π3.故选C. 答案 C3．函数f (x )＝x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x 是( )．A ．奇函数B ．非奇非偶函数C ．偶函数D ．既是奇函数又是偶函数解析 ∵f (x )＝x sin x ，定义域为R ，f (－x )＝－x sin(－x )＝x sin x ＝f (x )， ∴f (x )是偶函数． 答案 C4．若sin x ＝2m ＋1且x ∈R ，则m 的取值范围是________． 解析 由正弦图象得－1≤sin x ≤1， ∴－1≤2m ＋1≤1.∴m ∈[－1,0]． 答案 [－1,0]5．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω>0)的最小正周期是2π3，则ω＝________.解析 2πω＝2π3，∴ω＝3. 答案 36．求函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x 的单调递减区间．解 由已知函数为y ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，则欲求函数的单调递减区间，只需求y ＝sin(2x －π3)的单调递增区间．由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π(k ∈Z )， 解得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π(k ∈Z )．∴函数的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12＋k π，5π12＋k π(k ∈Z )．综合提高 (限时25分钟)7．y ＝1＋sin x ，x ∈[0,2π]的图象与直线y ＝2交点的个数是 ( )．A ．0B ．1C ．2D ．3解析 作出y ＝1＋sin x 在[0,2π]上的图象，可知只有一个交点．答案 B8．如图所示，函数y ＝cos x |tan x |(0≤x <3π2且x ≠π2)的图象是( )．解析 当0≤x <π2时，y ＝cos x ·|tan x |＝sin x ； 当π2<x ≤π时，y ＝cos x ·|tan x |＝－sin x ； 当π<x <3π2时，y ＝cos x ·|tan x |＝sin x ，故其图象为C. 答案 C9．函数y ＝sin x ，x ∈R 的图象向右平移π2个单位后所得图象对应的函数解析式是________．∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝－cos x ，∴y ＝－cos x . 答案 y ＝－cos x10．函数y ＝sin |x |＋sin x 的值域是________． 解析 y ＝sin |x |＋sin x ＝⎩⎪⎨⎪⎧2sin x x ≥0，0 x <0，∴－2≤y ≤2.答案 [－2,2]11．求使下列函数取得最大值、最小值的自变量x 的集合，并分别写出最大值、最小值： (1)y ＝3－2sin x ； (2)y ＝sin x 3.解 (1)∵－1≤sin x ≤1，∴当sin x ＝－1，即x ＝2k π＋3π2，k ∈Z 时，y 有最大值5，相应x 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝2k π＋3π2，k ∈Z .当sin x ＝1，即x ＝2k π＋π2，k ∈Z 时，y 有最小值1，相应x 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝2k π＋π2，k ∈Z . (2)令z ＝x3，∵－1≤sin z ≤1， ∴y ＝sin x3的最大值为1，最小值为－1.又使y ＝sin z 取得最大值的z 的集合为{z |z ＝2k π＋π2，k ∈Z }，由x 3＝2k π＋π2，得x ＝6k π＋32π，∴使函数y ＝sin x 3取得最大值的x 的集合为{x |x ＝6k π＋32π，k ∈Z }． 同理可得使函数y ＝sin x 3取得最小值的x 的集合为{x |x ＝6k π－32π，k ∈Z }． 12.(创新拓展)若函数y ＝2sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2≤x ≤52π的图象和直线y ＝2围成一个封闭的平面图形，求这个封闭图形的面积．解 观察图可知：图形S 1与S 2，S 3与S 4是两个对称图形：有S 1＝S 2，S 3＝S 4，因此函数y ＝2sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2≤x ≤52π的图象与直线y ＝2所围成的图形面积，可以等价转化为求矩形ABCD 的面积，∴|AB |＝2，|CB |＝2π ∴S 矩形ABCD ＝2×2π＝4π，∴所求封闭图形的面积为4π.。

1．3．1 正弦函数的图象与性质(三) 课时目标 1．了解正弦型函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的实际意义及其参数A ，ω，φ对函数图象变化的影响．2．会用“图象变换法”作出正弦型函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象．1．y ＝Asin(ωx ＋φ)的有关概念当函数y ＝Asin(ωx ＋φ) (A>0，ω>0)，x ∈[0，＋∞)表示一个振动量时，A 就表示这个量振动时离开平衡位置的最大距离，通常把它叫做这个振动的______；往返振动一次所需要的时间T ＝2πω，叫做振动的________；单位时间内往返振动的次数f ＝1T ＝ω2π，叫做振动的________；ωx ＋φ叫做________；φ叫做________(即当x ＝0时的相位)．2．参数A ，ω，φ对函数y ＝Asin(ωx ＋φ)(A>0，ω>0)图象的影响：(1)A(A>0)对y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象的影响函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象，可以看作是把y ＝sin(ωx ＋φ)图象上所有点的纵坐标______(当A>1时)或________(当0<A<1时)到原来的____倍(横坐标不变)而得到，函数y ＝Asin x 的值域为______，最大值为______，最小值为______．(2)φ对y ＝sin(x ＋φ)，x ∈R 的图象的影响y ＝sin(x ＋φ) (φ≠0)的图象可以看作是把正弦曲线y ＝sin x 上所有的点________(当φ>0时)或______(当φ<0时)平行移动______个单位长度而得到．(3)ω(ω>0)对y ＝sin(ωx ＋φ)的图象的影响函数y ＝sin(ωx ＋φ)的图象，可以看作是把y ＝sin(x ＋φ)的图象上所有点的横坐标_______(当ω>1时)或________(当0<ω<1时)到原来的________倍(纵坐标________)而得到．一、选择题1．要得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π3的图象，只要将函数y ＝sin x 2的图象( )A ．向左平移π3个单位B ．向右平移π3个单位 C ．向左平移2π3个单位 D ．向右平移2π3个单位 2．把函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4的图象向右平移π8个单位，所得图象对应的函数是( )A ．非奇非偶函数B ．既是奇函数又是偶函数C ．奇函数D ．偶函数3．要得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象，只要将y ＝sin 2x 的图象( ) A ．向左平移π3个单位 B ．向右平移π3个单位 C ．向左平移π6个单位 D ．向右平移π6个单位4．已知函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)的部分图象如图所示，则( ) A ．ω＝1，φ＝π6 B ．ω＝1，φ＝－π6C ．ω＝2，φ＝π6D ．ω＝2，φ＝－π65．把函数y ＝sin x (x ∈R)的图象上所有的点向左平移π3个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到的图象所表示的函数是( )A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，x-RayB ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6，x ∈RC ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，x-RayD ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3，x ∈R 6．将y ＝f(x)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，然后再将整个图象沿x 轴向右平移π2个单位，得到的曲线与y ＝12sin x 图象相同，则y ＝f(x)的函数解析式为( )A ．y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π2 B ．y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 C ．y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π2 D ．y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2 二、填空题7．已知函数y ＝Asin(ωx ＋φ)在同一周期内，当x ＝π12时，y 最大＝2，当x ＝7π12时，y 最小＝－2，那么函数的解析式为________________． 8．函数y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6与y 轴最近的对称轴方程是__________． 9．已知函数y ＝sin(ωx ＋φ) (ω>0，－π≤φ<π)的图象如下图所示，则φ＝________．10．函数y ＝sin 2x 的图象向右平移φ个单位(φ>0)得到的图象恰好关于x ＝π6对称，则φ的最小值是_________________________________________________________________．三、解答题11．已知曲线y ＝Asin(ωx ＋φ) (A>0，ω>0)上的一个最高点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，2，此点到相邻最低点间的曲线与x 轴交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫38π，0，若φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2． (1)试求这条曲线的函数表达式；。

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正弦函数的图象与性质1。

能正确使用“五点法”、“几何法”作出正弦函数的图象.(难点）2.理解正弦函数的性质，会求正弦函数的最小正周期、奇偶性、单调区间及最值.(重点)［基础·初探］教材整理1 正弦函数的图象阅读教材P37～P38“例1”以上部分，完成下列问题.1。

利用正弦线可以作出y＝sin x，x∈［0,2π］的图象,要想得到y＝sin x(x∈R）的图象，只需将y＝sin x，x∈[0,2π］的图象沿x轴平移±2π，±4π…即可，此时的图象叫做正弦曲线。

2。

“五点法”作y＝sin x，x∈[0，2π］的图象时,所取的五点分别是（0,0），错误!，（π，0)，错误!和(2π，0）。

判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)正弦函数的图象向左右是无限伸展的。

( ）（2)正弦函数y＝sin x的图象在x∈［2kπ，2kπ＋2π]，(k∈Z）上的图象形状相同,只是位置不同。

（)（3）正弦函数y＝sin x（x∈R)的图象关于x轴对称。

（)(4）正弦函数y＝sin x(x∈R)的图象关于原点成中心对称。

（）【解析】由正弦曲线的定义可知只有(3）错误.【答案】(1)√(2)√（3）×(4)√教材整理2 正弦函数的性质阅读教材P39～P40“例2”以上部分,完成下列问题.1。

1．3.1正弦函数的图象与性质第二课时正弦型函数y＝A sin(ωx＋φ)(1)函数y＝A sin(ωx＋φ)的初相、振幅、周期、频率分别为多少？(2)将y＝sin(x＋φ)(其中φ≠0)的图象怎样变换，能得到y＝sin x的图象？(3)函数y ＝A sin x ，x ∈R(A ＞0且A ≠1)的图象，可由正弦曲线y ＝sin x ，x ∈R 怎样变换得到？(4)函数y ＝sin ωx ，x ∈R(ω＞0且ω≠1)的图象，可由正弦曲线y ＝sin x ，x ∈R 怎样变换得到？[新知初探]1．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，A ＞0，ω＞0中参数的物理意义[点睛] 当A ＜0或φ＜0时，应先用诱导公式将x 的系数或三角函数符号前的数化为正数，再确定初相φ.如函数y ＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的初相不是φ＝－π4. 2．φ，ω，A 对函数y ＝sin(x ＋φ)图象的影响 (1)φ对函数y ＝sin(x ＋φ)，x ∈R 的图象的影响(2)ω(ω＞0)对y ＝sin(ωx ＋φ)的图象的影响(3)A (A ＞0)对y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的影响[点睛] (1)A 越大，函数图象的最大值越大，最大值与A 是正比例关系．(2)ω越大，函数图象的周期越小，ω越小，周期越大，周期与ω为反比例关系． (3)φ大于0时，函数图象向左平移，φ小于0时，函数图象向右平移，即“加左减右”．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R 的最大值为A .( ) (2)函数y ＝3sin(2x －5)的初相为5.( )(3)由函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象得到y ＝sin x 的图象，必须向左平移．( ) (4)把函数y ＝sin x 的图象上点的横坐标伸长到原来的3倍就得到函数y ＝sin 3x 的图象．( )答案：(1)× (2)× (3)× (4)×2．函数y ＝13sin ⎝⎛⎭⎫13x ＋π6的周期、振幅、初相分别是( ) A ．3π，13，π6B ．6π，13，π6C ．3π，3，－π6D ．6π，3，π6答案：B3．为了得到函数y ＝sin(x ＋1)的图象，只需把函数y ＝sin x 的图象上所有的点( ) A ．向左平行移动1个单位长度 B ．向右平行移动1个单位长度 C ．向左平行移动π个单位长度 D ．向右平行移动π个单位长度 答案：A4．将函数y ＝sin x 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的14倍(纵坐标不变)得________的图象．答案：y ＝sin 4x[典例] 说明y ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋1的图象是由y ＝sin x 的图象经过怎样变换得到的． [解] [法一 先伸缩后平移]y ＝sin x 的图象――――――――――――――――――→各点的纵坐标伸长到原来的2倍且关于x 轴作对称变换y ＝－2sin x 的图象――――――――――→各点的横坐标缩短到原来的12y＝－2sin 2x 的图象π−−−−−−−→12向右平移个单位长度y ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的图象―――――――――→向上平移1个单位长度y ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋1的图象． [法二 先平移后伸缩]y ＝sin x 的图象――――――――――――――――→各点的纵坐标伸长到原来的2倍且关于x 轴作对称变换y ＝－2sin x 的图象π−−−−−−−→6向右平移个单位长度y ＝－2sin x －π6的图象―――――――――――→各点的横坐标缩短到原来的12y ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的图象―――――――――――→向上平移1个单位长度 y ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋1的图象．由函数y ＝sin x 的图象通过变换得到函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的步骤[活学活用]1．将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6向左平移π6个单位，可得到函数图象是( ) A ．y ＝sin 2x B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6 D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3 解析：选C y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的图象π−−−−−−→6向左平移个单位y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6－π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象．2．把函数y ＝f (x )的图象向左平移π4个单位长度，向下平移1个单位长度，然后再把所得图象上每个点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标保持不变)，得到函数y ＝sin x 的图象，则y ＝f (x )的解析式为( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋1 B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2＋1 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π4－1 D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π2－1解析：选B 将函数y ＝sin x 的图象上每个点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标保持不变)，得到函数y ＝sin 2x 的图象，将所得图象向上平移1个单位长度，得到函数y ＝sin 2x ＋1的图象，再将所得图象向右平移π4个单位长度，得到函数y ＝sin 2⎝⎛⎭⎫x －π4＋1＝sin2x －π2＋1的图象．故选B.[典例] 如图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的图象的一部分，求此函数的解析式．[解] [法一 逐一定参法] 由图象知A ＝3， T ＝5π6－⎝⎛⎭⎫－π6＝π， ∴ω＝2πT＝2， ∴y ＝3sin(2x ＋φ)．∵点⎝⎛⎭⎫－π6，0在函数图象上， ∴0＝3sin ⎝⎛⎭⎫－π6×2＋φ. ∴－π6×2＋φ＝k π，得φ＝π3＋k π(k ∈Z)．∵|φ|<π2，∴φ＝π3.∴y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. [法二 待定系数法]由图象知A ＝3.∵图象过点⎝⎛⎭⎫π3，0和⎝⎛⎭⎫5π6，0，∴⎩⎨⎧πω3＋φ＝π，5πω6＋φ＝2π，解得⎩⎪⎨⎪⎧ω＝2，φ＝π3.∴y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. [法三 图象变换法]由A ＝3，T ＝π，点⎝⎛⎭⎫－π6，0在图象上，可知函数图象由y ＝3sin 2x 向左平移π6个单位长度而得，所以y ＝3sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π6，即y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3.给出y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的一部分，确定A ，ω，φ的方法(1)第一零点法：如果从图象可直接确定A 和ω，则选取“第一零点”(即“五点法”作图中的第一个点)的数据代入“ωx ＋φ＝0”(要注意正确判断哪一点是“第一零点”)求得φ.(2)特殊值法：通过若干特殊点代入函数式，可以求得相关待定系数A ，ω，φ.这里需要注意的是，要认清所选择的点属于五个点中的哪一点，并能正确代入列式．(3)图象变换法：运用逆向思维的方法，先确定函数的基本解析式y ＝A sin ωx ，再根据图象平移规律确定相关的参数．[活学活用]如图为函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0) 的图象的一部分，试求该函数的解析式． 解：由图可得：A ＝3，T ＝ 2|MN |＝π.从而ω＝2πT ＝2， 故y ＝3sin(2x ＋φ)，又∵2×π3＋φ＝2 k π，k ∈Z ，∴φ＝－2π3＋2 k π，k ∈Z.∴y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －2π3. [典例] 在函数y ＝2sin ⎝⎭⎫4x ＋2π3的图象的对称中心中，离原点最近的一个中心的坐标是________．[解析] 设4x ＋2π3＝k π(k ∈Z)，得x ＝k π4－π6(k ∈Z)∴函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋2π3图象的对称中心坐标为⎝⎛⎭⎫k π4－π6，0(k ∈Z)． 取k ＝1得⎝⎛⎭⎫π12，0满足条件． [答案] ⎝⎛⎭⎫π12，0正弦型函数对称轴、对称中心的求法[活学活用]将本例中对称中心改为对称轴，其他条件不变，则离y 轴最近的一条对称轴方程为________．解析：由4x ＋2π3＝k π＋π2，得x ＝k π4－π24， 取k ＝0时，x ＝－π24满足题意．答案：x ＝－π24[典例] 已知弹簧上挂着的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移s (cm)随时间t (s)的变化规律为s ＝4sin ⎝⎛⎭⎫2t ＋π3，t ∈[0，＋∞)．用“五点法”作出这个函数的简图，并回答下列问题：(1)小球在开始振动(t ＝0)时的位移是多少？(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少？ (3)经过多长时间小球往复振动一次？ [解] 列表如下，描点、连线，图象如图所示．(1)将t ＝0代入s ＝4sin ⎝⎛⎭⎫2t ＋π3，得s ＝4sin π3＝23， 所以小球开始振动时的位移是2 3 cm.(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是4 cm 和－4 cm. (3)因为振动的周期是π，所以小球往复振动一次所用的时间是π s.解三角函数应用问题的基本步骤[活学活用]通常情况下，同一地区一天的温度随时间变化的曲线接近函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的图象.2018年2月下旬某地区连续几天最高温度都出现在14时，最高温度为14 ℃；最低温度出现在凌晨2时，最低温度为零下2 ℃.(1)求出该地区该时段的温度函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A >0，ω>0，|φ|<π，x ∈[)0，24)的表达式；(2)29日上午9时某高中将举行期末考试，如果温度低于10 ℃，教室就要开空调，请问届时学校后勤应该开空调吗？解：(1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ A ＋b ＝14，－A ＋b ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝8，b ＝6，易知T 2＝14－2，所以T ＝24，所以ω＝π12，易知8sin ⎝⎛⎭⎫π12×2＋φ＋6＝－2， 即sin ⎝⎛⎭⎫π12×2＋φ＝－1， 故π12×2＋φ＝－π2＋2k π，k ∈Z ， 又|φ|<π，得φ＝－2π3，所以y ＝8sin ⎝⎛⎭⎫π12x －2π3＋6(x ∈[0,24))． (2)当x ＝9时，y ＝8sin ⎝⎛⎭⎫π12×9－2π3＋6＝8sin π12＋6<8sin π6＋6＝10.所以届时学校后勤应该开空调．层级一 学业水平达标1．最大值为12，最小正周期为2π3，初相为π6的函数表达式是( )A ．y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫x 3＋π6 B ．y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫x 3－π6 C ．y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫3x －π6 D ．y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6 解析：选D 由最小正周期为2π3，排除A 、B ；由初相为π6，排除C.2．为了得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3的图象，只需把函数y ＝sin x 的图象( )A ．向左平移π3个单位长度B ．向右平移π3个单位长度C ．向上平移π3个单位长度D ．向下平移π3个单位长度解析：选B 将函数y ＝sin x 的图象向右平移π3个单位长度，所得图象对应的函数解析式为y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3. 3．已知简谐运动f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3x ＋φ⎝⎛⎭⎫|φ|＜π2的图象经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T 和初相φ分别为( )A ．T ＝6，φ＝π6B ．T ＝6，φ＝π3C ．T ＝6π，φ＝π6D ．T ＝6π，φ＝π3解析：选A T ＝2πω＝2ππ3＝6，∵图象过(0,1)点，∴sin φ＝12.∵－π2＜φ＜π2，∴φ＝π6.4．将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的图象向左平移π个单位长度，则平移后的函数图象( ) A ．关于直线x ＝π3对称B ．关于直线x ＝π6对称C ．关于点⎝⎛⎭⎫π3，0对称D ．关于点⎝⎛⎭⎫π6，0对称 解析：选A 函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的图象向左平移π个单位长度，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋π＝－sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的图象，其对称轴方程为x ＋π6＝k π＋π2，k ∈Z ，即x ＝k π＋π3，k ∈Z ，令k ＝0，得x ＝π3，故选A.5．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3在区间⎣⎡⎦⎤－π2，π上的简图是( )解析：选A 当x ＝0时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π3＝－32<0， 故可排除B 、D ；当x ＝π6时，sin ⎝⎛⎭⎫2×π6－π3＝sin 0＝0，排除C. 6．将函数y ＝sin x 的图象向左平移φ(0≤φ＜2π)个单位长度后，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6的图象，则φ＝________.解析：因为φ∈[0,2π)，所以把y ＝sin x 的图象向左平移φ个单位长度得到y ＝sin (x ＋φ)的图象，而sin ⎝⎛⎭⎫x ＋11π6＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋11π6－2π＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6，即φ＝11π6. 答案：11π67.已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)的图象如图所示，则ω＝________. 解析：由题意设函数周期为T ， 则T 4＝2π3－π3＝π3，∴T ＝4π3. ∴ω＝2πT ＝32.答案：328．将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的5倍，可得到函数__________________的图象．解析：y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3的图象――――――――――――→图象上各点的纵坐标不变横坐标伸长为原来的5倍y ＝sin ⎝⎛⎭⎫15x －π3的图象． 答案：y ＝sin ⎝⎛⎭⎫15x －π39．已知函数f (x )的图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标扩大到原来的2倍，然后把所得的图象沿x 轴向左平移π2个单位长度，这样得到的图象与y ＝12sin x 的图象相同，求f (x )的解析式．解：反过来想，y ＝12sin x π−−−−−−−→2向右平移个单位长度y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫x －π2−−−−−−−→1横坐标变为原来的倍2 y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2，即f (x )＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2. 10．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π)的图象的一段如图所示，求它的解析式．(1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数f (x )的最小正周期、频率、振幅、初相． 解：(1)由图象可知A ＝2，T 2＝5π6－π6＝2π3，∴T ＝4π3，ω＝2πT ＝32.将N ⎝⎛⎭⎫π6，－2代入y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫32x ＋φ得， 2sin ⎝⎛⎭⎫32×π6＋φ＝－2，∴π4＋φ＝2k π－π2，φ＝2k π－3π4(k ∈Z)． ∵|φ|＜π，∴φ＝－3π4.∴函数的解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫32x －3π4. (2)由(1)，知f (x )的最小正周期为4π3＝8，频率为34π，振幅为2，初相为－3π4. 层级二 应试能力达标1.如图所示的是一个半径为3米的水轮，水轮的圆心O 距离水面2米，已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点P 到水面的距离y (米)与时间t (秒)满足关系式y ＝A sin(ωt ＋φ)＋2，则( )A ．ω＝152π，A ＝3 B ．ω＝2π15，A ＝3 C ．ω＝2π15，A ＝5 D ．ω＝152π，A ＝5 解析：选B 由题意知A ＝3，ω＝2π×460＝2π15.2．要得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象( ) A ．向左平移π12个单位B ．向右平移π12个单位C ．向左平移π3个单位D ．向右平移π3个单位解析：选B 由y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3＝sin 4⎝⎛⎭⎫x －π12得，只需将y ＝sin 4x 的图象向右平移π12个单位即可，故选B.3．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω＞0)的最小正周期为π，则该函数的图象( ) A ．关于直线x ＝π8对称B ．关于点⎝⎛⎭⎫π4，0对称 C ．关于直线x ＝π4对称D ．关于点⎝⎛⎭⎫π8，0对称解析：选A 依题意得T ＝2πω＝π，ω＝2，故f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，所以f ⎝⎛⎭⎫π8＝sin ⎝⎛⎭⎫2×π8＋π4＝sin π2＝1，f ⎝⎛⎭⎫π4＝sin ⎝⎛⎭⎫2×π4＋π4＝sin 3π4＝22，因此该函数的图象关于直线x ＝π8对称，不关于点⎝⎛⎭⎫π4，0和点⎝⎛⎭⎫π8，0对称，也不关于直线x ＝π4对称．故选A. 4．把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫5x －π2的图象向右平移π4个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍，所得函数图象的解析式为( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫10x －3π4B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫10x －7π2 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫10x －3π2 D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫10x －7π4 解析：选D 将原函数图象向右平移π4个单位长度，得y ＝sin ⎣⎡⎦⎤5⎝⎛⎭⎫x －π4－π2＝sin ⎝⎛⎭⎫5x －7π4的图象，再把y ＝sin ⎝⎛⎭⎫5x －7π4的图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫10x －7π4的图象．5．将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4图象上所有点的横坐标保持不变，纵坐标________(填“伸长”或“缩短”)为原来的________倍，将会得到函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图象． 解析：A ＝3＞0，故将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4图象上所有点的横坐标保持不变，纵坐标伸长为原来的3倍即可得到函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图象． 答案：伸长 36．将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，－π2≤φ≤π2图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度得到y ＝sin x 的图象，则f ⎝⎛⎭⎫π6＝________. 解析：将y ＝sin x 的图象向左平移π6个单位长度可得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的图象，保持纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍可得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π6的图象，故f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π6，所以f ⎝⎛⎭⎫π6＝sin ⎝⎛⎭⎫12×π6＋π6＝sin π4＝22. 答案：227．求函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3图象的对称轴、对称中心． 解：令2x ＋π3＝k π＋π2(k ∈Z)，得x ＝k π2＋π12(k ∈Z)．令2x ＋π3＝k π，得x ＝k π2－π6(k ∈Z)．即对称轴为直线x ＝k π2＋π12(k ∈Z)，对称中心为⎝⎛⎭⎫k π2－π6，0(k ∈Z)．8.如图为函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|<π2的一个周期内的图象． (1)写出f (x )的解析式；(2)若y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，写出g (x )的解析式；(3)指出g (x )的周期、频率、振幅、初相． 解：(1)由图知A ＝2，T ＝7－(－1)＝8， ∴ω＝2πT ＝2π8＝π4，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋φ. 将点(－1,0)代入，得0＝2sin ⎝⎛⎭⎫－π4＋φ. ∵|φ|<π2，∴φ＝π4，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋π4. (2)作出与f (x )的图象关于直线x ＝2对称的图象(图略)，可以看出g (x )的图象相当于将f (x )的图象向右平移2个单位长度得到的，∴g (x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤π4(x －2)＋π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x －π4. (3)由(2)知，g (x )的周期T ＝2ππ4＝8，频率f ＝1T ＝18，振幅A ＝2，初相φ0＝－π4.。