2018届山西省太原市高三3月模拟考试(一)数学文试题Word版含答案

高三年级第一次模拟考试60分.在每小题给出的四个选项中，有且合 题目要畚考公式：样本败据x lt 鬲的标准差 尸¥门如一訝+他— 英叩丘为样車屮均数柱体的体积公式Y=*其中/为底!ftl 曲积・h 为海341(1)复数 I ~i = (A) 1+2i (B) 1-2i(C) 2-i (D) 2+i⑵函数的定义域为(A) (-1,2) (B) (0, 2] (C) (0, 2) (D) (-1,2] ⑶ 己知命题p ：办I 砒+ llX ，则了为 锥体的体积公式v=*h 乩中$为底面面枳，h 为商 耶的親血祝*休枳公式$=4庆，評It 中月为球的半牲(A) (C)函数|；宀林匚阴的图象可以由函数'尸沁酬的图象 (A) 64 (B) 31 (C) 32 (D) 63(7) 已知某几何体的三视图如图所示，则其表面积为 (A)右+4观(B)「(C) 2 (D) 8一、选择题：本大题共12小题，毎小题5〕 分，共 只有一 项 符(B)(D)(A) (C)向左平移个单位得到JL个单位得到(B)向右平移3个单位得到 向左平移设变量x 、y 满足约束条件 ⑸ (A) 3 (B) 2 (C) 1 (D) 5(D)向右平移个单位得到g+2y —2 鼻(h[2x +工一7冬6则的最小值为(6)等比数列｛an ｝的公比a>1,血，则-血+口 $+他"卜彌=(8) 算法如图，若输入 m=210,n= 119,则输出的n 为 (A) 2 (B) 3 (C) 7 (D) 11(9) 在 中，/恥C 权」，AB=2, AC=3,则 = (A) 10 (B)-10(C) -4 (D) 4(10) 点A 、B 、C D 均在同一球面上，其中 的体积为(11) 已知何m 2 '黑⑴-代2侧集合」「等于D |『工=对止卡(B)卜： (12) 抛物线 的焦点为F,点A 、B 、C 在此抛物线上，点A 坐标为(1,2).若点F 恰为 的重心，则直线 BC 的方程为 (A)龙卄一0 (B)： tT '■(C)Ly=0 (D) | It \.■二、填空题：本大题共 4小题，每小题5分，共20分.(13) 班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析，从全班 50名同学中按男生、女生用分层 抽样的方法随机地抽取一个容量为 10的样本进行分析•己知抽取的样本中男生人数为 6,则班内女生人数为 ________ .Lif ］町= :—(14) 函数.文+】(X 〉0)的值域是 _________ .(15) 在数列1禺1中，尙=1,如 厂％ = 2门丨，则数列的通项 □」= _________ .—7 --- F ------(16) —P 尺的一个顶点P ( 7，12)在双曲线 产 3上，另外两顶点 F1、F2为该双曲线是正三角形，AD 丄平面 AD=2AB=6则该球(D)(C) 卜 j(—Ak 土(D)(A) (B) 15 (C)的左、右焦点，则屮八几的内心的横坐标为 __________ .三、解答题：本大题共 6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 (17) (本小题满分12分)在厶ABC 中，角A 、B C 的对边分别为a 、b 、c, A=2B,呦占」5 ' (I ) 求cosC 的值；[c\(II)求的值•(18) (本小题满分12分)某媒体对“男女同龄退休”这一公众关注的问题进行了民意调查， 右表是在某单位得到的数据(人数)•(I )能否有90%以上的把握认为对这一问题的看法与性别有关？(II)从反对“男女同龄退休”的甲、 乙等6名男士中选出2人进行陈述，求甲、乙至少有- 人被选出的概率.反对 合计|男 5 6 H 1 女II1 3 "14 合计 16925(19) (本小题满分12分)如图，在三棱柱.A 尅匚 "Q 中，CC1丄底面ABC 底面是边长为2的正三角形，M N 、G 分别是棱CC1 AB, BC 的中点. (I ) 求证：CN//平面AMB1 (II)若X 严2迄，求证:平面AMG.(20) (本小题满分12 分)X'设函数:「—L(I )当a=0时，求曲线在点(1, f(1))处的切线 方程;P(K 2^k) 0.25 Od U 0J0 kL323 2.072 2.706__ ，讯耐一比严 ____(a+附:(II )讨论f(x)的单调性•(21) (本小题满分12分)中心在原点0，焦点F1、F2在x 轴上的椭圆E 经过点C(2, 2),且 ―二◎土：:(I) 求椭圆E 的方程；(II) 垂直于0C 的直线I 与椭圆E 交于A B 两点，当以AB 为直径的圆P 与y 轴相切时，求 直线I 的方程和圆P 的方程•请考生在第(22)、( 23)、(24)三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 •作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑 •(22) (本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲如图，AB 是圆0的直径，以B 为圆心的圆B 与圆0的一个交点为P.过点A 作直线交圆Q 于 点交圆B 于点M N. (I )求证：QM=QNi110(II)设圆0的半径为2,圆B 的半径为1,当AM= 时，求MN 的长.(23) (本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数 方程 以直角坐标系的原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴，.已知直线I 的参数方程为 (t 为参数,(I )求曲线C 的直角坐标方程；(II)设直线I 与曲线C 相交于A B 两点，当a 变化时，求|AB|的最小值.(24) (本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲 设曲线C 的极坐标方程为2cos 0 L朋& *并在两种坐标系中取相同的长度单位(I) 求不等式的解集S;(II) 若关于x不等式应总=1我=；『；：纂釧有解，求参数t的取值范围(18) 解: 由此可知，有90%的把握认为对这一问题的看法与性别有关.…5分(H)记反对“男女同龄退休”的6男士为ai , i = 1, 2，…，6,其中甲、乙分别为a2,从中选出2人的不同情形为： a1a2, a1a3, a1a4, a1a5, a1a6, a2a3, a2a4, a2a5 , a2a6, a3a4, a3a5, a3a6 , a4a5, a4a6, a5a6,…9分共15种可能，其中甲、乙至少有1人的情形有9种，93 所求概率为P = .…12分(19)解:(I)设 AB1的中点为 P ,连结NP 、MP1 1•/ CM^ — A1 , NP^— A1 , • CM^ NP,2 2文科数学参考答案 一、 选择题: A 卷: ADCDC B 卷: BCDAB 二、 填空题： (13) 20 三、 解答题： (17)解：DACB ADDCAB(14) BB CA(-1,1)(15) n2(16) 1(I)： B =(0,亍)，••• cosB = 1— s in 2B =•/ A = 2B ,「.4si nA = 2si nBcosB = , cosA = cos2B = 1 — 2si n2B = 5 , ••• cosC = cos[ —(A + B)] = — cos(A + B) = si nAsi nB — cosAcosB =— 2.525 'sinC =1 — cos2C=11 .525 ，根据由正弦定理,c si nC 11b sinB 5…12分(I) K2= 25 X (5 X 3— 6 X11)216 X 9X 11 X 142.932 > 2.706 a1 ,• CNPK是平行四边形,• CN// MP•/ CN平面AMB1 MP平面AMB1 • CN//平面AMB1 …4分(n)v cc 仏平面 ABC •••平面 CC1B1E L 平面 ABC ， •/ AG 丄 BC, • AGL 平面 CC1B1B • B1M L AG •/ CC1 丄平面 ABC 平面 A1B1C1 //平面 ABC •- CC L AC, CC1 丄 B1C1 ,在 Rt △ MCA 中 , AM k CM 即 AC2= 6. 同理，B1M=6.•/ BB1/ CC1, • BB1 丄平面 ABC •- BB1 丄 AB, • AB1= B1B2+ AB2= C1C2+ AB2= 2.3 , • AM2+ B1M2= AB2, • B1ML AM 又 AG A AM= A , • B1ML 平面 AMG (20)解：, , x2 x(x — 2) (I)当 a = 0 时，f(x) = , f (x)=—亠exex1 1f(i) =T ，f (i) =-^，曲线y = f(x)在点(1 , f(1))处的切线方程为(2x — a)ex — (x2 — ax 土 a)ex e2x(1 )若 a = 2,贝U f (x) w 0 , f(x)在(一a , +s )单调递减. …7 分(2 )若 a v 2,贝 U…10分 …12分1y =肓(x — 1) +(x — 2)(x — a)exA Bf (x)当x€ ( —a , a)或x€ (2 , +a )时，f (x) v 0,当x € (a , 2)时，f (x) > 0 , 此时f(x)在(—a , a)和(2 , +a )单调递减，在(a , 2)单调递增.(3)若a> 2,贝U当x€ ( —a , 2)或x€ (a , +a )时，f (x) v 0,当x € (2 , a)时，f (x) >0 , 此时f(x)在(—a , 2)和(a , +a )单调递减，在(2 , a)单调递增. …12分x2 y2(21)解：(I)设椭圆E的方程为02+ b2 = 1 (a>b> 0),贝y a2+ b2记c= ,a2—b2 ,不妨设F1( — c , 0) , F2(c , 0),则C f1= ( —c—2, —2) , C f2= (c —2, —2),则C f1 • C f2= 8 —c2 = 2 , c2 = 6,即a2 —b2= 6.由①、②得a2= 12, b2= 6. 当m= 3时，直线I 方程为y =— x + 3, 此时，x1 + x2 = 4，圆心为(2 , 1)，半径为2,圆P 的方程为(x — 2)2 + (y — 1)2 = 4; 同理，当 m=— 3时，直线I 方程为y = — x — 3，圆P 的方程为(x + 2)2 + (y + 1)2 = 4. …12分 (22)解：(I)连结 BM BN BQ BP. •/ B 为小圆的圆心，••• BM= BN 又••• AB 为大圆的直径，• BQL MN , •- QM= QN …4 分 (n)v AB 为大圆的直径，•/ APB= 90 , • AP 为圆B 的切线，• AP2= AM- AN …6分 由已知 AB= 4, PB= 1 , AP2= AB2- PB2= 15,所以曲线C 的直角坐标方程为 y2= 2x .(n)将直线l 的参数方程代入 y2 = 2x ,得t2sin2 a — 2tcos a — 1= 0.所以椭圆E 的方程为 x2 y2 i2+ 6 = 1. (也可通过2a = iCFlI + |C ?2|求出a ) (n)依题意，直线 0C 斜率为1，由此设直线I 的方程为y = — X + m 代入椭圆 E 方程，得 3x2 — 4m 灶2m2- 12= 0. 由△= 16m2- 12(2m2 — 12) = 8(18 — m2),得 m2< 18. 4m 2m2— 12 记 A(x1 , y1)、B(x2 , y2)，贝U x1 + x2=^ , x1x2 = -—. 3 3 x1 + x2 圆P 的圆心为（一_， y1 + y2 2 ），半径r = 当圆P 与y 轴相切时, x1 + x2 r = 1 2 1， 2x1x2 = (x1 + x2)2 4 2(2m2 — 12)= 3 = 4m2 —,m2= 9v 18. …10分 (I)由 2cos 0 p = sinr v ，得(p sin 0 )2 = 2 p cos 0, …6分 7 6设A、B两点对应的参数分别为t1、t2，则4C0S2 a 4 2 + = ------------------------ sin4 a sin2 a sin2 a当a =—亍时，|AB|取最小值2 .…10分 (24)解：—x + 3, x v — 3,(I) f(x) = — 3x — 3,— 3<x < 0,x — 3, x >0.如图，函数y = f(x)的图象与直线 y = 7相交于横坐标为 x1 =— 4，x2 = 10的两点, 由此得 S = [ — 4, 10].\ :I…6分(n)由(I )知，f (x )的最小值为一3,则不等式 f(x) + |2t —3| < 0有解必须且只需—3 + |2t — 3| < 0,解得0W t < 3,所以t 的取值范围是[0 , 3]. t1 + t2 = 2C0S a sin2 at1t2 sin2 a :.|AB| = |t1 - t2| = (t1 + t2)2 - 4t1t2 …10分。

**2017-2018学年度高三第二学期第三次模拟考试试题**数学（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．命题P ：()2,00≥∈∃x f R x 则P ⌝为（）A.()2,≥∈∀x f R xB. ()2,<∈∀x f R xC.()2,0≤∈∃x f R x D. ()2,0<∈∃x f R x2．复数i iz -=1（i 为虚数单位）在复平面内关于虚轴对称的点位于A.第一象限B. 第二象限C.第三象限D.第四象限3.下面是一段演绎推理：大前提：如果一条直线平行于一个平面，则这条直线平行于这个平面内的所有直线； 小前提：已知直线b ∥平面α，直线a ⊂平面α；结论：所以直线b ∥直线a. 在这个推理中( )A. 大前提正确，结论错误B. 大前提错误，结论错误C. 大、小前提正确，只有结论错误D. 小前提与结论都是错误的 4.设的三内角、、成等差数列，、、成等比数列，则这个三角形的形状是（）A. 等边三角形B. 钝角三角形C. 直角三角形D. 等腰直角三角形5.运行如图所示的程序框图，若输出的S 是254，则 应为（）A. 5?n ≤B. 6?n ≤C. 7?n ≤D. 8?n ≤6．已知函数()()2sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>≤ ⎪⎝⎭的部分图像如图所示，将函数()f x 的图像向左平移12π个单位长度后，所得图像与函数()y g x =的图像重合，则A.()2sin23g x xπ⎛⎫=+⎪⎝⎭ B.()2sin26g x xπ⎛⎫=+⎪⎝⎭C.()2sin2g x x=D.()2sin23g x xπ⎛⎫=-⎪⎝⎭7.某几何体的三视图如图所示，图中网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的外接球的表面积为B.C.D.8．已知直线与两坐标轴围成的区域为，不等式组所形成的区域为，现在区域中随机放置一点，则该点落在区域的概率是（）A.B.C.D.9．两个正数a、b的等差中项是72，一个等比中项是a b＜，则双曲线22221x ya b-=的离心率e等于（）A. 34 B.152 C.54 D.5310．如图,,,45AB AC BAD CADαβαβ⊥⊂⊂∠=∠=，则BAC∠=（）A. 90°B. 60°C. 45°D. 30°11．魔术师用来表演的六枚硬币中，有5 枚是真币，1 枚是魔术币，它们外形完全相同，但是魔术币与真币的重量不同，现已知和共重10 克，共重11 克，共重16 克，则可推断魔术币为( )A.B. C.D.12.已知双曲线2213xy-=的右焦点恰好是抛物线22y px=（0p>）的焦点F，且M为抛物线的准线与x轴的交点，N为抛物线上的一点，且满足NF=，则点F到直线MN的距离为（）A. 12 B. 1C. D. 2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.用秦九韶算法求多项式,当时多项式的值为_______________ .14.已知,αβ是两个不同的平面，,m n是两条不同的直线，给出下列命题：①若,m mαβ⊥⊂,则αβ⊥②若,,m n mαα⊂⊂∥,nβ∥β,则α∥β③若,m nαα⊂⊄,且,m n是异面直线，则n与α相交④若,m nαβ⋂=∥m，且,n nαβ⊄⊄, 则n∥α且n∥β.其中正确的命题是_____（只填序号）.15.已知向量()()()1,,3,1,1,2a b cλ===，若向量2a b c-与共线，则向量a在向量c方向上的投影为___________.16.若直角坐标平面内两点,P Q满足条件：①,P Q两点分别在函数()y f x=与()y g x=的图象上；②,P Q关于y 轴对称，则称(),P Q 是函数()y f x =与()y g x =的一个“伙伴点组”（点组(),P Q 与(),Q P 看作同一个“伙伴点组”）.若函数()(),(0){0lnx x f x x >=≤与()1g x x a =++有两个“伙伴点组”，则实数a 的取值范围是_______.三、解答题17.（12分）已知数列{an}的首项a1＝1，前n 项和为Sn ，且数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫Sn n 是公差为2的等差数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若bn ＝(－1)nan ，求数列{bn}的前n 项和Tn.18.（12分）前几年随着网购的普及，线下零售遭遇挑战，但随着新零售模式的不断出现，零售行业近几年呈现增长趋势，下表为20142017~年中国百货零售业销售额（单位：亿元，数据经过处理，14~分别对应20142017~）：（1）由上表数据可知，可用线性回归模型拟合y 与x 的关系，请用相关系数加以说明；（2）建立y 关于x 的回归方程，并预测2018年我国百货零售业销售额；（3）从20142017~年这4年的百货零售业销售额及2018年预测销售额这5个数据中任取2个数据，求这2个数据之差的绝对值大于200亿元的概率.参考数据：4411800,2355i i i i i y x y ====∑∑ 2.236≈≈参考公式：相关系数()()n x x y y r --=回归方程ˆˆˆy a bx =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为()()()121ˆni i i n i i x x y y b x x ==--=-∑∑，ˆˆa y bx =-.19．（12分）在三棱锥中，底面，，，是的中点，是线段上的一点，且，连接，，.（1）求证：平面；（2）求点到平面的距离.20．（12分）已知椭圆：的一个焦点与抛物线：的焦点重合，且经过点.（1）求椭圆的方程；（2）已知斜率大于0且过点的直线与椭圆及抛物线自上而下分别交于，如图所示，若，求.21.（12分）已知函数()xf x e ax a=+-（a R∈且0a≠）.（1）若函数()f x在0x=处取得极值，求实数a的值；并求此时()f x在[]2,1-上的最大值；（2）若函数()f x不存在零点，求实数a的取值范围.选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22．【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为1{x cos y sin θθ=+=（θ为参数），以坐标原点O 为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为24sin 3ρρθ-=. （Ⅰ）求曲线1C 的极坐标方程和2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）直线3πθ=与曲线12C C ，分别交于第一象限内的，两点，求AB .23.【选修4 -5:不等式选讲】已知|42||1|-++=x x x f ）（. (Ⅰ）求不等式）（x f <7的解集；(Ⅱ)若)23(-≥x a x f ）（在R 上恒成立，求a 的取值范围.文科答案1.【解析】根据特称命题的否定为全称命题,易知原命题的否定为:．故选B. 2.A3.【解析】直线平行于平面，则直线可与平面内的直线平行、异面、异面垂直． 故大前提错误，结论错误． 故选B ．4.【解析】由题意，根据等差数列、等比数列的中项公式，得，又,所以,，由正弦定理得，又，得，从而可得，即为等边三角形，故正确答案为A.5.【解析】根据程序框图可知：该程序的作用是累加S=2+22+…+2n 的值， 并输出满足循环的条件． ∵S=2+22+…+26+27=254， 故①中应填n≤7． 故选：C ． A7.【解析】由三视图知，该几何体为三棱锥，高为3，其一个侧面与底面垂直，且底面为等腰直角三角形，所以球心在垂直底面的侧面的三角形高上，设球半径为R ，则解得，所以球的表面积为，故选A.8.【解析】作出约束条件表示的可行域，如图所示，其面积为，由，解得，即，所得区域的面积为，根据几何概型及其概率公式，得该点落在区域内的概率为，故选C ．9.【解析】由题意可得：(2722{a b ab +==，结合0a b <<求解方程组可得：3{4a b ==，则双曲线中：55,3c c e a ====.本题选择D 选项.10. B【解析】由三余弦定理得001πcos cos cos cos45cos4523BAC BAD CAD BAC ∠=∠∠==⇒∠=选B.11.【解析】5枚真币重量相同，则任意两枚硬币之和一定为偶数，由题意可知，C ，D 中一定有一个为假的，假设C 为假币，则真硬币的重量为5克，则C 的重量为6克，满足A ，C ，E 共重16克，故假设成立，若D 为假币，则真硬币的重量为5克，不满足A ，C ，E 共重16克，故假设不成立，则D 是真硬币，故选：C ．12.【解析】分析：求出双曲线的右焦点，即为抛物线的焦点，可得4p =，求出抛物线的准线方程，由抛物线的定义，结合三角形的有关知识求得结果.详解：双曲线2213x y -=的右焦点为()2,0，抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则22p =，解得4p =，则抛物线方程为28y x =，准线方程为2x =-，由点N 向抛物线的准线作垂线，垂足为R ，则由抛物线的定义，可得NR NF ==，从而可以得到60NMR ∠=︒，从而得到30NMF ∠=︒，所以有点F 到直线MN的距离为4sin302d=︒=，故选D.13.【解析】，则，故答案为.14.【解析】对于①，由面面垂直的判定定理可得αβ⊥，故①正确．对于②，由题意知，满足条件的平面,αβ的位置关系为α∥β或αβ，相交，故②不正确．对于③，由题意知当满足条件时有n与α相交或n∥α，故③不正确．对于④，由线面平行的判定方法可得n∥α且n∥β，故④正确．综上可得①④正确．答案：①④15.【解析】016.【解析】设点(),x y在()f x上，则点(),x y-所在的函数为()(),0{ln x xh xx-<=≥，则()g x与()h x有两个交点，()g x的图象由1y x=+的图象左右平移产生，当()1f x=时，x e=-，如图，所以，当()g x左移超过e个单位时，都能产生两个交点，所以a的取值范围是(),e+∞。

山西省太原市2018届高三三模文数试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

，则错误！未找到引用源。

（）A. 错误！未找到引用源。

B. 错误！未找到引用源。

C. 错误！未找到引用源。

D. 错误！未找到引用源。

【答案】C【解析】解：由题意可知：错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

，由交集的定义可得：错误！未找到引用源。

，表示为区间即错误！未找到引用源。

.本题选择C选项.2. 复数错误！未找到引用源。

（）A. 错误！未找到引用源。

B. 错误！未找到引用源。

C. 错误！未找到引用源。

D. 错误！未找到引用源。

【答案】A【解析】解：由复数的运算法则可得：错误！未找到引用源。

.本题选择A选项.3. 在等差数列错误！未找到引用源。

中，错误！未找到引用源。

，则错误！未找到引用源。

（）A. 8B. 6C. 4D. 3【答案】D【解析】解：由等差数列的性质可知：错误！未找到引用源。

.本题选择D选项.4. 已知错误！未找到引用源。

，若错误！未找到引用源。

，则错误！未找到引用源。

（）A. 错误！未找到引用源。

B. 错误！未找到引用源。

C. 错误！未找到引用源。

D. 错误！未找到引用源。

【答案】B【解析】解：由题意可知：错误！未找到引用源。

，上式平方可得：错误！未找到引用源。

.本题选择B选项.5. 函数错误！未找到引用源。

的图像大致为（）A. B. C.D.【答案】D6. 已知圆错误！未找到引用源。

,直线错误！未找到引用源。

,在错误！未找到引用源。

上随机选取一个数错误！未找到引用源。

,则事件“直线错误！未找到引用源。

与圆错误！未找到引用源。

相离”发生的概率为（）A. 错误！未找到引用源。

B. 错误！未找到引用源。

C. 错误！未找到引用源。

D. 错误！未找到引用源。

【答案】C【解析】当直线错误！未找到引用源。

太原市2018年高三模拟试题（一）数学试卷（理工类）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}21|log ,2,|,12xA y y x xB y y x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫==>==<⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，则A B =I （ ）A ． ()1,+∞B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭2. 若复数11miz i+=+在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是（ ） A ．()1,1- B ．()1,0- C ．()1,+∞ D ．(),1-∞-3. 已知命题2000:,10p x R x x ∃∈-+≥；命题:q 若a b <，则11a b>，则下列为真命题的是（ ） A ．p q ∧ B ．p q ∧⌝ C ．p q ⌝∧ D ．p q ⌝∧⌝ 4. 执行如图所示的程序框图，输出S 的值为（ ）A ．213log 32+B ．2log 3 C. 3 D ．2 5. 已知等比数列{}n a 中，2583218,S 3a a a a a =-=+，则1a =（ ） A ．12 B ．12- C. 29- D ．19- 6. 函数2ln x y x x=+的图像大致为（ ）A ．B ．C. D ．7. 已知不等式22ax by -≤在平面区域(){},|11x y x y ≤≤且上恒成立，若a b +的最大值和最小值分别为M 和m ，则Mm 的值为（ ）A ． 4B ． 2 C. -4 D ．-28.已知抛物线()220y px p =>的焦点为F ，准线为,,l A B 是抛物线上的两个动点，且满足060AFB ∠=．设线段AB 的中点M 在l 上的投影为N ，则 （ ）A ．2AB MN ≥ B ．23AB MN ≥ C. 3AB MN ≥ D ．AB MN ≥ 9. 某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．43 B ．83C. 2 D ．4 10.已知函数()()2sin f x x ωϕ=+，若()2,04f f ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭，在,43ππ⎛⎫⎪⎝⎭上具有单调性，那么ω的取值共有 （ ）A ． 6个B ． 7个 C. 8个 D ．9个11.三棱锥D ABC -中，CD ⊥底面,ABC ABC ∆为正三角形，若//,2AE CD AB CD AE ===，则三棱锥D ABC -与三棱锥E ABC -的公共部分构成的几何体的外接球的体积为（ ） A 163 B 323 C. 203π D 23 12.设函数()2ln 2f x x x x =-+，若存在区间[]1,,2a b ⎡⎫⊆+∞⎪⎢⎣⎭，使()f x 在[],a b 上的值域为()()2,2k a k b ++⎡⎤⎣⎦，则k 的取值范围是（ ）A ．92ln 21,4+⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．92ln 21,4+⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C.92ln 21,10+⎛⎤ ⎥⎝⎦ D ．92ln 21,10+⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、填空题：本大题共4道，每小题5分，共20分．13.在多项式()()65121x y ++的展开式中，3xy 的系数为___________．14.已知双曲线2222:1x y C a b-=的右焦点为F ，过点F 向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为M ，交另一条渐近线于N ，若2MF FN =u u u r u u u r，则双曲线的离心率e =___________．15.某人在微信群中发了一个7元“拼手气”红包，被甲、乙、丙三人抢完，若三人均领到整数元，且每人至少领到1元，则甲领取的钱数不少于其他任何人的概率是___________．16.数列{}n a 中，()()*110,121,2n n a a a n n N n -=--=-∈≥，若数列{}n b满足811n n b n -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则数列{}n b 的最大项为第__________项．三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.ABC ∆的内角为,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知cos sin sin cos a b cC B B C=+． （1）求()()sin sin cos cos A B A A A B +++-的最大值； （2）若b =，当ABC ∆的面积最大时，ABC ∆的周长；18.某校倡导为特困学生募捐，要求在自动购水机处每购买一瓶矿泉水，便自觉向捐款箱中至少投入一元钱．现统计了连续5天的售出矿泉水箱数和收入情况，列表如下：20名，获一等奖学金500元；综合考核21-50名，获二等奖学金300元；综合考核50名以后的不获得奖学金． （1）若x 与y 成线性相关，则某天售出9箱水时，预计收入为多少元？ （2）甲乙两名学生获一等奖学金的概率均为25，获二等奖学金的概率均为13，不获得奖学金的概率均为415，已知甲乙两名学生获得哪个等级的奖学金相互独立，求甲乙两名学生所获得奖学金之和X 的分布列及数学期望；附：回归方程ˆˆˆybx a =+，其中()()()121ˆˆ,niii nii x x y y b ay bx x x ==--==--∑∑． 19. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 的正方形，PA BD ⊥． （1）求证：PB PD =；（2）若,E F 分别为,PC AB 的中点，EF ⊥平面PCD ，求直线PB 与平面PCD 所成角的大小．20.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右顶点分别为12,A A ，右焦点为()21,0F ，点31,2B ⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆C 上．（1）求椭圆方程；（2）若直线()():40l y k x k =-≠与椭圆C 交于,M N 两点，已知直线1A M 与2A N 相交于点G ，证明：点G 在定直线上，并求出定直线的方程． 21. ()()()()1,1,xf x a xg x ax e a R =-=-∈．（1）证明：存在唯一实数a ，使得直线()y f x =和曲线()y g x =相切； （2）若不等式()()f x g x >有且只有两个整数解，求a 的范围．22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 过点(),1P a ，其参数方程为212x a ty t⎧=⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数，a R ∈），以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos 4cos 0ρθθρ+-=．（1）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）求已知曲线1C 和曲线2C 交于,A B 两点，且2PA PB =，求实数a 的值．23.选修4-5：不等式选讲已知函数()21f x x m x =++-．（1）当1m =-时，求不等式()2f x ≤的解集；（2）若()21f x x ≤+的解集包含3,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求m 的取值范围．试卷答案一、选择题1-5: AABDB 6-10: CCDAD 11、12：BC 二、填空题 23 15. 2516. 6三、解答题 17.解：（1）由cos sin sin cos a b c C B B C =+得：cos sin cos sin sin cos a b C c BC B B C+=， cos sin a b C c B =+，即sin sin cos sin sin A B C C B =+，cos sin B B =，4B π=；由()()()sin sin cos cos 2sin cos sin cos A B A A A B A A A A +++-=++， 令sin cos t A A =+，原式211222t t =+-， 当且仅当4A π=时，上式的最大值为52． （2）22212sin ,b 2cos 2S ac B ac a c ac B ===+-，即()222222,22a c ac ac ac =+-≥-≤+，当且仅当22a c ==+等号成立；212MAX S +=， 周长2222L a b c =++=++．18.解：（1）6,146x y ==，经计算ˆ20,26ba ==，所以线性回归方程为ˆ2026y x =+， 当9x =时，y 的估计值为206元；（2）X 的可能取值为0，300，500，600，800，1000；()441601515225P X ==⨯=；()418300215345P X ==⨯⨯=；()2416500251575P X ==⨯⨯=； ()111600339P X ==⨯=；()21480025315P X ==⨯⨯=；()22410005525P X ==⨯=；X0 300 500 600 800 1000P16225 845 1675 19 415 425所以X 的数学期望()600E X =． 19．解：（1）连接,AC BD 交于点O ，连接PO ，∵底面ABCD 是正方形，∴,AC BD OB OD ⊥=， 又,PA BD PA ⊥⊂平面,PAC AC ⊂平面,PAC PA AC A =I ，∴BD ⊥平面PAC ，∵PO ⊂平面PAC ，∴BD PO ⊥， 又OB OD =，∴PB PD =； （2）设PD 的中点为Q ，连接,AQ EQ ，则1//,2EQ CD EQ CD =， 又11//,22AF CD AF AB CD ==，∴//,EQ AF EQ AF =， ∴四边形AQEF 为平行四边形，∴//EF AQ ， ∵EF ⊥平面PCD ，∴AQ ⊥平面PCD ， ∴AQ PD ⊥，∵Q 是PD 的中点，∴2AP AD ==∵AQ ⊥平面PCD ，∴AQ CD ⊥，又,AD CD AQ AD A ⊥=I ， ∴CD ⊥平面PAD ，∴CD PA ⊥，又,BD PA BD CD D ⊥=I ，∴PA ⊥平面ABCD ，以A 为坐标原点，以,,AB AD AP 为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则)(()222,0,0,2,0,0,0,0,,22BP A Q ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，∴220,,2,0,222AQ PB ⎛==- ⎝⎭u u u r u u ur ，∵AQ ⊥平面PCD ，∴AQ uuu r 为平面PCD 的一个法向量． ∴1cos ,2AQ PB AQ PB AQ PB==-u u u r u u u ru u u r u u u r g u u u r u u u r g ，设直线PB 与平面PCD 所成角为θ，则1sin cos ,2AQ PB θ==u u u r u u u r ，∴直线PB 与平面PCD 所成角为6π．20.解：（1）()21,0F ，∴1c =，由题目已知条件知222219141a b a b ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，∴2,a b ==，所以22143x y +=； （2）由椭圆对称性知G 在0x x =上，假设直线l过椭圆上顶点，则(M ，∴8,455k N ⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭，))12:2,:222A M A N l y x l y x =+=--，∴1,2G ⎛ ⎝⎭，所以G 在定直线1x =上．当M 不在椭圆顶点时，设()()1122,,,M x y N x y ，()224143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2222343264120k x k x k +-+-=，所以22121222326412,3434k k x x x x k k -+==++g ，()()121212:2,:222A M A N y y l y x l y x x x =+=-+-，当1x =时，1212322y y x x -=+-得()12122580x x x x -++=， 所以()222222834641232250343434k k k k k k+--+=+++显然成立，所以G 在定直线1x =上． 21.解：（1）设切点为()00,x y ，则()()()0000000011,1x x x y a x ax e a x e x e =-=--+= ①，()y f x =和()y g x =相切，则()()()00000001,1x x x x a g x a ax e a x e e e '==+-+-= ②，所以00000011xxxx e x x e e -+=+-，即0020xe x +-=．令()()2,10x xh x e x h x e '=+-=+>，所以()h x 单增．又因为()()010,110h h e =-<=->，所以，存在唯一实数0x ，使得0020x e x +-=，且()00,1x ∈．所以只存在唯一实数a ，使①②成立，即存在唯一实数a 使得()y f x =和()y g x =相切． （2）令()()f x g x >，即()()11xa x ax e ->-，所以11x x a x e -⎛⎫-< ⎪⎝⎭， 令()1x x m x x e-=-，则()2x x e x m x e +-'=，由（1）可知，()m x 在()0,x -∞上单减，在()0,x +∞单增，且()00,1x ∈，故当0x ≤时，()()01m x m ≥=，当1x ≥时，()()11m x m ≥=，当0a <时，因为要求整数解，所以()m x 在x Z ∈时，()1m x ≥，所以()1am x <有无穷多整数解，舍去；当01a <<时，()1m x a <，又()()11,011m m a >==，所以两个整数解为0，1，即()()1211m am a ⎧≥⎪⎪⎨⎪-≥⎪⎩，所以2221e a e ≥-，即22,121e a e ⎡⎫∈⎪⎢-⎣⎭， 当1a ≥时，()1m x a <，因为()11,m x a≤在x Z ∈内大于或等于1， 所以()1m x a <无整数解，舍去，综上，22,121e a e ⎡⎫∈⎪⎢-⎣⎭． 22.考点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程的互化，直线的参数方程中t 的几何意义．解：（1）1C的参数方程1x a y ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩，消参得普通方程为10x y a --+=，2C 的极坐标方程为2cos 4cos 0r q q r +-=两边同乘r 得222cos 4cos 0r q r q r +-=即24y x =；（2）将曲线1C的参数方程标准化为212x a y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数，ˆa R I ）代入曲线22:4C y x =得211402t a -+-=，由(()214?1402D a =->，得0a >， 设,A B 对应的参数为12,t t ，由题意得122t t =即122t t =或122t t =-，当122t t =时，()1212122214t t t t t t a =⎧⎪+=⎨⎪=-⎩，解得136a =，当122t t =-时，()1212122214t t t t t t a =-⎧⎪+=⎨⎪=-⎩解得94a =，综上：136a =或94． 23．考点：绝对值不等式解：（1）当1m =-时，()121f x x x =-+-， ①1x ≥时，()322f x x =-≤，解得413x ≤≤； ②当112x <<时，()2f x x =≤，解得112x <<； ③当12x ≤时，()232f x x =-≤，解得102x ≤≤； 综合①②③可知，原不等式的解集为4|03x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭．（2）由题意可知()21f x x ≤+在3,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，当3,24x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()21212121f x x m x x m x x x =++-=++-≤+=+，从而可得2x m +≤，即2222x m x m x -≤+≤⇔--≤≤-，且()max 1124x --=-，()min 20x -=，因此11,04m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦．。

太原市2018年高三年级模拟试题（三）文科数学一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}22|10,|3A x x B x x ⎧⎫=-<=>⎨⎬⎩⎭，则A B =（ ） A ．()1,1- B ．()1,+∞ C ．21,3⎛⎫- ⎪⎝⎭ D ．2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭2.已知复数z 满足4312ii z i+=+，则复数z 在复平面内对应的点在（ ） A ． 第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3. 设命题:p 函数sin 2y x =的最小正周期为π；命题:q 函数cos y x =的图象关于直线2x π=对称，则下列结论正确的是（ ）A ．p 为假B ．q ⌝为假C ．p q ∨为假D ．p q ∧为假 4. 若01a b <<<，则1,log ,log b b aa ab 的大小关系为（ ）A ．1log log b b aa ab >> B ．1log log b b aa b a >>C. 1log log b b aa b a >> D ．1log log b b aa ab >>5. 中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”人们把此类题目称为“中国剩余定理”，若正整数n 除以正整数m 后的余数为r ，则记为()mod n r m =，例如()112mod3=.现将该问题设计一个程序框图，执行该程序框图，则输出的n 等于（ ）A ．21B ． 22 C. 23 D ．246. 已知等比数列{}n a 满足12233,6a a a a +=+=，则8a =（ ） A ．243 B ．128 C. 81 D ．647.设不等式组31036x y x y +≥⎧⎨+≤⎩表示的平面区域为D ，若在区域D 上存在函数()log 1a y x a =>图象上的点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()3,+∞B ．()1,3 C. [)3,+∞ D ．(]1,3 8.已知函数()2cos 3x f x πϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的一个对称中心是()2,0，且()()13f f >，要得到函数()f x 的图象，可将函数2cos 3xy π=的图像（ ）A ． 向右平移12个单位长度 B ． 向右平移6π个单位长度C. 向左平移12个单位长度 D ．向左平移6π个单位长度 9. 已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的实轴长为16，左焦点为F ，M 是双曲线C 的一条渐近线上的点，且OM MF ⊥，O 为坐标原点，若16OMF S ∆=，则双曲线C 的离心率为（ ）A 10.如图是某几何体的三视图，则这个几何体的体积是（ ）A ．22π+B ．23π+C. 43π+D ．42π+11. 已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，直线PF 与抛物线交于,M N 两点，若3PF MF =，则MN =（ ）A ．163B ．8 C. 16 D 12.已知函数()()2ln x x t f x x+-=，若对任意的[]()()1,2,0x f x x f x '∈+>恒成立，则实数t 的取值范围是（ ）A ． (-∞ B ．3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ C. 3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ D ．32⎫⎪⎭二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上13.已知函数()2,02,0x x a x f x x -⎧≥=⎨<⎩若()11f f -=-⎡⎤⎣⎦，则实数a =． 14.在ABC ∆中，若()274cos cos 222A B C -+=，则角A =． 15.已知,a b 是单位向量，0a b =，若向量c 满足1c a b --=，则c 的最大值是.16.已知圆22:210C x y x +--=，直线:34120l x y -+=，在圆C 内任取一点P ，则P 到直线的距离大于2的概率为．三、解答题 ：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分. 17.已知数列{}n a 满足111,221n n n a a a a +==+. （1）证明数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，并求{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n b 满足12n n nb a =，求数列{}n b 的前n 项和n S . 18.按照我国《机动车交通事故责任强制保险条例》规定，交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通7座以下私家车投保交强险第一年的费用（基准保费）统一为a 元，在下一年续保时，实行的是保费浮动机制，保费与上一、二、三个年度车辆发生道路交通事故的情况相关联，发生交通事故的次数越多，费率也就越高，具体浮动情况如下表：车在下一年续保时的情况，统计得到了下面的表格： 的概率；（2）某销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基准保费的车辆记为事故车. ①若该销售商部门店内现有6辆该品牌二手车（车龄已满3年），其中两辆事故车，四辆非事故车.某顾客在店内随机挑选两辆车，求这两辆车中恰好有一辆事故车的概率；②以这80辆该品牌车的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率.该销售商一次购进120辆（车龄已满三年）该品牌二手车，若购进一辆事故车亏损4000元，一辆非事故车盈利8000元.试估计这批二手车一辆车获得利润的平均值.19.已知空间几何体ABCDE 中，BCD ∆与CDE ∆均为边长为2的等边三角形，ABC ∆为腰长为3的等腰三角形，平面CDE ⊥平面BCD ，平面ABC ⊥平面,,BCD M N 分别为,DB DC 的中点. （1）求证：平面//EMN 平面ABC ； （2）求三棱锥A ECB -的体积.20. 已知抛物线21:y 8C x =的焦点也是椭圆()22222:10x y C a b a b+=>>的一个焦点，点()0,2P 在椭圆短轴CD 上，且1PC PD =-.（1）求椭圆2C 的方程；（2）设Q 为椭圆2C 上的一个不在x 轴上的动点，O 为坐标原点，过椭圆的右焦点2F 作OQ 的平行线，交曲线2C 于,M N 两点，求QMN ∆面积的最大值. 21.已知函数()2ln x af x e x -=-.（1）当12a =时，求()f x 的单调区间； （2）当1a ≤时，证明：()0f x >.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为3cos 33sin x y ϕϕ=⎧⎨=+⎩（ϕ为参数），以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求圆C 的普通方程；（2）直线l 的极坐标方程是2sin 6πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭射线:6OM πθ5=与圆C 的交点为P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ的长.23.选修4-5：不等式选讲设函数()21f x x x=++-.（1）求()f x的最小值及取得最小值时x的取值范围；（2）若不等式()10f x ax+->的解集为R，求实数a的取值范围.试卷答案一、选择题1-5: DCDDC 6-10: BCAAA 11、12：CB二、填空题13.14- 14.3π1 16.324ππ+三、解答题17.解：（1）∵121nnnaaa+=+，∴1112n na a+-=，∴1na⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，∴()111122nn na a=+-=，即12nan=；（2）∵22n nnb=，∴1221231222n n nnS b b b-=+++=++++，则23112322222n nnS =++++， 两式相减得23111111112122222222n n n nn n nS -⎛⎫=+++++-=-- ⎪⎝⎭， ∴1242n n nS -+=-. 18.解：（1）所求概率为1551804+=； （2）①设两辆事故车为,A B ，四辆非事故车为,,,a b c d ，从这六辆车中随机挑取两辆车共有(),A B ，()()()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,,,,,A a A b A c A d B a B b B c B d a b a c ，()()()(),,,,,,,a d b c b d c d 共15种情况，其中两辆车中恰有一车事故车共有(),A a ，()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,A b A c A d B a B b B c B d 8种情况，所以所求概率为815； ②由统计数据可知，若该销售商一次购进120辆（车龄已满三年）该品牌二手车中，有事故车30辆，非事故车90辆，所以一辆获得利润的平均值为()()13040009080005000120⨯-+⨯⨯=⎡⎤⎣⎦. 19.证明：（1）取BC 中点H ，连结AH ，∵ABC ∆为等腰三角形， ∴AH BC ⊥，又平面ABC ⊥平面,BCD AH ⊥平面ABC ， ∴AH ⊥平面BCD ，同理可证EN ⊥平面BCD ， ∴//EN AH ，∵EN ⊄平面,ABC AH ⊂平面ABC ， ∴//EN 平面ABC ，又,M N 分别为,BD DC 中点，∴//MN BC ， ∵MN ⊄平面,ABC BC ⊂平面ABC ， ∴//MN 平面ABC ， 又MNEN N =，∴平面//EMN 平面ABC ；（2）连结DH ，取CH 中点G ，连结NG ，则//NG DH ， 由（1）知//EN 平面ABC ，所以点E 到平面ABC 的距离与点N 到平面ABC 的距离相等， 又BCD ∆是边长为2的等边三角形，∴DH BC ⊥， 又平面ABC BCD ⊥平面，平面ABC平面,BCD BC DH =⊂平面BCD ，∴DH ⊥平面ABC ，∴NG ⊥平面ABC ，∴DH =N 为CD 中点，∴NG =，又3,2AC AB BC ===，∴122ABC S BC AH ∆== ∴163E ABC N ABC ABC V V S NG --∆===.20.解：（1）由21:8C y x=，知焦点坐标为()2,0，所以224a b-=，由已知，点,C D的坐标分别为()()0,,0,b b-，又1PC PD=-，于是241b-=-，解得225,9b a==，所以椭圆2C的方程为22195x y+=；（2）设()()()112233,,,,,M x y N x y Q x y，直线MN的方程为2x my=+，由222195x myx y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得()225920250m y my++-=，则1212222025,5959my y y ym m-+==-++，所以()2230159m MNm+ ===+，t=，则()()222230303011,4545195t tm t t Stt tt=-≥===+-++，所以()45f t tt=+在[)1,+∞上单调递增，所以当1t=时，()f t取得最小值，其值为9.所以QMN∆的面积的最大值为103.21.解：（1）12a=时，()()()111ln,0x xf x e x f x e xx--'=-=->，因为()10f'=，故01x<<时，()0f x'<；1x>时，()0f x'>，所以()f x在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增；（2）当1a≤时，()222,lnxx a x f x e x--≥-≥-，令()2lnxx e xϕ-=-，则()21xx exϕ-'=-，显然()xϕ'在()0,+∞上单调递增，且()()10,20ϕϕ''<>，所以()xϕ'在()0,+∞上存在唯一零点()00,1,2x x∈，又0x x<<时，()00,x x xϕ'<>时，()0xϕ'>，所以()0,x∈+∞时，()()0200lnxx x e xϕϕ-≥=-，由()00xϕ'=，得00221,x xe x ex--==，∴()()2000000111ln22220xx e x xx x xϕ-=-=--=+->-=，综上，当1a≤时，()0f x> .22.解：（1）圆C的参数方程为3cos33sinxyϕϕ=⎧⎨=+⎩，（ϕ为参数），∴圆C的普通方程为()2239x y+-=；（2）化圆C的普通方程为极坐标方程6sinρθ=，设()11,Pρθ，则由6sin6ρθπθ=⎧⎪5⎨=⎪⎩解得1153,6πρθ==，设()22,Q ρθ，则由2sin 656πρθπθ⎧⎛⎫-= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪=⎪⎩，解得2254,6πρθ==， ∴211PQ ρρ=-=.23.解：（1）∵函数()()21213f x x x x x =++-≥+--=，故函数()21f x x x =++-的最小值为3，此时21x -≤≤；（2）当不等式()10f x ax +->的解集为R ，函数()1f x ax >-+恒成立， 即()f x 的图象恒位于直线1y ax =-+的上方，函数()21,2213,2121,1x x f x x x x x x --<-⎧⎪=++-=-≤≤⎨⎪+>⎩，而函数1y ax =-+表示过点()0,1，斜率为a -的一条直线，如图所示：当直线1y ax =-+过点()1,3A 时，31a =-+，∴2a =-，当直线1y ax =-+过点()2,3B -时，321a =+，∴1a =，数形结合可得a 的取值范围为()2,1-.。

山西省太原市2018届高三模拟考试（一）数学（文）试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M={x |-1＜x ＜1}, N={x |3x ＞1}, 则M ∩N= A ．∅B ．{x |x ＞0}C ．{x |x ＜1}D ．{x |0＜x ＜1} 2．复数2＋i1－2i 等于A ．- 35iB ．35iC ．-iD ．i3．已知函数()f x =sin(2 x +α) 在x =π12 时有极大值，则α的一个可能值是A ．π3B ．- π3C ．π6D ．- π64．下列命题中，真命题的是 A ．∃0[0,],2x π∈ sin x +cos x ≥2B ．∀2(3,),31x x x ∈+∞>-C ．∃0,x R ∈ 21x x +=-D ．∀(,),tan sin 2x x x ππ∈>5．在五个数字1,2,3,4,5中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字的和是奇数的概率是 A ．0.3B ．0.4C ．0.5D ．0.66．已知数列{}n a ，若点（n ，n a ）(n N *∈) 在经过点（8,4）的定直线l 上，则数列{}n a 的前15项和S 15= A ．12 B ．32C ．60D ．1207．右图是一算法的程序框图，若输出结果为S=720， 则在判断框中应填入的条件是 A ．k ≤6? B ．k ≤7? C ．k ≤8?D ．k ≤9?8．下图是一个几何体的正视图和侧视图，其俯视图是面积为82的矩形，则该几何体的表面积是A ．8B ．20+8 2C ．16D ．24+8 29．设00(,)M x y 为抛物线C ：28x y =上一点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C 的准线相交，则0y 的取值范围是 A ．（0，2）B ．[0，2]C ．(2,+∞)D ．[2,+∞)10．过双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左焦点F （-c ，0）(c ＞0),作圆2224x y a +=的切线，切点为E ，延长FE 交曲线右支于点P ，若→OE =12(→OF +→OP ), 则双曲线的离心率为 A ．10B ．105C ．102D ． 211．已知球的直径SC=4，A 、B 是该球球面上的两点，AB= 3 ,∠ASC=∠BSC=30°,则棱锥S ―ABC 的体积为 A ． 3 B ．2 3C ．3 3D ．112．已知方程sin xk x=在（0，+∞）上有两个不同的解α，β（α＜β），则下面结论正确的是 A ．sin α=αcos βB ．sin α=-αcos βC ．cos α=βsin βD ．sin β=-βsin α二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知sin α+cos α=12,则cos4α= .14．已知P 是直线3480x y ++=上的动点，C 是圆222210x y x y +--+=的圆心，那么|PC|的最小值是 .15．已知点P (,)x y 满足条件⎩⎨⎧x ≥0y ≤x 2x ＋y ＋k ≤0(k 为常数)，若3z x y =+的最大值为8，则实数k= . 16．在数列{}n a 中，已知1211,,1n n a a a +==+ 10096a a = ，则910a a += . 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为,,a b c, 若△ABC的外接圆的半径为 2 ，且sin sin()sin.-=-a A c C ab B（I）求∠C；（Ⅱ）求△ABC的面积S的最大值．18．（本小题满分12分）某园艺师培育了两种珍稀树苗A与B，株数分别为8与12，现将这20株树苗的高度编写成如下茎叶图（单位：cm）:若树高在175cm以上(包括175cm)定义为“生长良好”，树高在175cm以下（不包括175cm)定义为“非生长良好”，且只有“B生长良好”的才可以出售.(Ⅰ)对于这20株树苗，如果用分层抽样的方法从“生长良好”和“非生长良好”中共抽取5株，再从这5株中任选2株，那么至少有一株“生长良好”的概率是多少？(II)若从所有“生长良好”中选2株，求所选中的树苗都能出售的概率.19．（本题满分12分）如图，在斜三棱柱ABC—A1B1C1中，点O是A1C1的中点，AO⊥平面A1B1C1.已知∠BCA=90°，AA1=AC=BC=2．（I）求证：AB1⊥A l C；（Ⅱ）求点C到平面AA1B1的距离.20．（本小题满分12分）已知函数()(2)2(1ln)f x a x x a=--++.（I）当a=1时，求()f x的单调区间；（Ⅱ）若函数()f x在区间（0，12）无零点，求a的最小值．21．（本小题满分12分）已知中心在原点O，左右焦点分别为F1，F2的椭圆的离心率为63,焦距为2 2 ，A，B是椭圆上两点.（I ）若直线AB 与以原点为圆心的圆相切，且OA ⊥OB,求此圆的方程； （Ⅱ）动点P 满足：→OP =→OA +3→OB ，直线OA 与OB 的斜率的乘积为- 13,求动点P 的轨迹方程.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请把答题卡上所选题目题号后的方框涂黑． 22．（本小题满分10分）选修4一1：几何证明选讲如图，已知PA 与⊙O 相切于点A ，经过点O 的割线PBC 交圆O 于点B ，C ，∠APC 的平分线分别交AB 、AC 于点D 、E.23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，曲线C 1的参数方程为cos (0,)sin x a a b y b ϕϕϕ=⎧>>⎨=⎩为参数，且曲线C 1上的点M （2，3）对应的参数ϕ=π3 .且以O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线θ=π4与曲线C 2交于点D （ 2 ,π4）.（I ）求曲线C 1的普通方程，C 2的极坐标方程；（Ⅱ）若A(ρ1,θ)，B(ρ2,θ+π2)是曲线C 1上的两点，求221211ρρ+的值.24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数()|21||3|.f x x x =+-- （I ）解不等式()4f x ≤；（Ⅱ）若存在x 使得()0f x a +≤成立，求实数a 的取值范围.。

太原市2018年高三年级模拟试题（三）文科数学一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：先分别求出集合A和B，由此能求出．详解：A={x|x2﹣1＜0}={x|﹣1＜x＜1}，∴故选：D点睛：本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．2. 已知复数满足，则复数在复平面内对应的点在（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C【解析】由已知得，故选C。

3. 设命题函数的最小正周期为；命题函数的图象关于直线对称，则下列结论正确的是（）A. 为假B. 为假C. 为假D. 为假【答案】D【解析】分析：由题设条件可先判断出两个命题的真假，再根据复合命题真假的判断规则判断出选项中复合命题的真假即可得出正确选项．详解：由于函数y=sin2x的最小正周期为π，故命题p是真命题；函数y=cosx的图象关于直线x=kπ对称，k∈Z，故q是假命题，为真命题．结合复合命题的判断规则知：p∧q为假命题，p∨q为是真命题．故选：D．点睛：本题考查复合命题的真假判断，解题的关键是正确判断所涉及命题的真假及熟练掌握复合命题的真假判断规则，本题属于高考常考题型也是对命题考查的常规题型，属于基础题．4. 若，则的大小关系为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】分析：利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．详解：∵0＜a＜b＜1，a b∈（0，1），log b a＞log b b=1，z=log b＜0，则的大小关系为．故选：D．点睛：利用指数函数对数函数及幂函数的性质比较实数或式子的大小，一方面要比较两个实数或式子形式的异同，底数相同，考虑指数函数增减性，指数相同考虑幂函数的增减性，当都不相同时，考虑分析数或式子的大致范围，来进行比较大小，另一方面注意特殊值的应用，有时候要借助其“桥梁”作用，来比较大小．5. 中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”人们把此类题目称为“中国剩余定理”，若正整数除以正整数后的余数为，则记为，例如.现将该问题设计一个程序框图，执行该程序框图，则输出的等于（）A. 21B. 22C. 23D. 24【答案】C【解析】从21开始，输出的数是除以3余2，除以5余3，满足条件的是23，故选C.6. 已知等比数列满足，则（）A. 243B. 128C. 81D. 64【答案】B【解析】分析：利用条件确定等比数列的首项与公比，从而得到结果.详解：设等比数列的公比为，∴，∴，即∴128故选：B点睛：等比数列的基本量运算问题的常见类型及解题策略：①化基本量求通项．求等比数列的两个基本元素和，通项便可求出，或利用知三求二，用方程求解．②化基本量求特定项．利用通项公式或者等比数列的性质求解．③化基本量求公比．利用等比数列的定义和性质，建立方程组求解．④化基本量求和．直接将基本量代入前项和公式求解或利用等比数列的性质求解．7. 设不等式组表示的平面区域为，若在区域上存在函数图象上的点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：结合二元一次不等式（组）与平面区域的关系画出其表示的平面区域，再利用函数y=log a x（a＞1）的图象特征，结合区域的角上的点即可解决问题详解：作出不等式组对应的平面区域如图：由a＞1，对数函数的图象经过可行域的点，满足条件，由，解得A（3，1），此时满足log a3≤1，解得a≥3，∴实数a的取值范围是：[3，+∞），故选：C．点睛：利用线性规划求最值的步骤①在平面直角坐标系内作出可行域；②考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形；③在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解；④将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值．8. 已知函数的一个对称中心是，且，要得到函数的图象，可将函数的图像（）A. 向右平移个单位长度B. 向右平移个单位长度C. 向左平移个单位长度D. 向左平移个单位长度【答案】A【解析】分析：结合条件利用余弦函数的图象和性质求得ω和φ的值，可得函数的解析式，再利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．详解：∵函数f（x）=2cos（x+φ）图象的一个对称中心为（2，0），∴+φ=kπ+，k∈Z，故可取φ=﹣，f（x）=2cos（x﹣），满足f（1）＞f（3），故可将函数y=2cos x的图象向右平移个单位，得到f（x）=2cos（x﹣）的图象，故选：A．点睛：由的图象变换出的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换,利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少.途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)先将的图象向左或向右平移个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的倍()，便得的图象.途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换：先将的图象上各点的横坐标变为原来的倍()，再沿轴向左()或向右()平移个单位，便得的图象.9. 已知双曲线的实轴长为16，左焦点为，是双曲线的一条渐近线上的点，且，为坐标原点，若，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由于焦点到渐近线的距离为,故,依题意有,所以离心率为.【点睛】本小题主要考查直线和双曲线的位置关系,考查双曲线渐近线的几何性质,考查三角形的面积公式和双曲线离心率的求法.设双曲线的焦点为,双曲线的渐近线为,故双曲线焦点到渐近线的距离为,故焦点到渐近线的距离为.10. 如图是某几何体的三视图，则这个几何体的体积是（ ）A. B. C. D.【答案】A【解析】由三视图可知，该几何体是由一个半圆柱与三棱柱组成的几何体则故选11. 已知抛物线的焦点为，准线为，是上一点，直线与抛物线交于两点，若，则（ ） A. B. 8 C. 16 D.【答案】C【解析】分析：利用抛物线性质分析线段比，进而得直线斜率，写出直线的方程，再将直线的方程与抛物线y 2=4x 的方程组成方程组，消去y 得到关于x 的二次方程，最后利用根与系数的关系结合抛物线的定义即可求线段MN 的长．详解：抛物线C ：的焦点为F （1，0），准线为l ：x=﹣1，与x 轴交于点Q设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），M ，N 到准线的距离分别为d M ，d N ，由抛物线的定义可知|MF|=d M =x 1+1，|NF|=d N =x 2+1，于是|MN|=|MF|+|NF|=x 1+x 2+2．∵，∴，即，∴.∴,∴直线AB的斜率为，∵F（1，0），∴直线PF的方程为y=（x﹣1），将y=（x﹣1），代入方程y2=4x，得3（x﹣1）2=4x，化简得3x2﹣10x+3=0，∴x1+x2=，于是|MN|=|MF|+|NF|=x1+x2+2=+2=．故选：A．点睛：该题考查的是有关抛物线的焦点弦长的问题，以及抛物线的定义和性质，在解题的过程中，求焦点弦长的时候，也可以联立方程组，利用求得结果.12. 已知函数，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：对任意的x∈[1，2]，f′（x）•x+f（x）＞0恒成立⇔对任意的x∈[1，2]，恒成立⇔对任意的x∈[1，2]，2x2﹣2tx+1＞0恒成立，⇔t＜恒成立，求出x+在[1，2]上的最小值即可．详解：∵∴对任意的x∈[1，2]，f′（x）•x+f（x）＞0恒成立⇔对任意的x∈[1，2]，恒成立，⇔对任意的x∈[1，2]，2x2﹣2tx+1＞0恒成立，⇔t＜恒成立，又g（x）=x+在[1，2]上单调递增，∴，∴t＜．故选：B．点睛：利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上13. 已知函数若，则实数__________．【答案】【解析】分析：先求出内层，再求外层f（2）即可.详解：∵f[f（﹣1）]=，∴f[f（﹣1）]=f（2）=a•22=4a=∴．故答案为：．点睛：(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．14. 在中，若，则角__________．【答案】【解析】分析：由三角形的内角和定理得到B+C=π﹣A，代入已知的等式中，再利用二倍角的余弦函数公式化简已知的等式，得到关于cosA的方程，求出方程的解得到cosA的值，由A的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数详解：∵A+B+C=π，即B+C=π﹣A，∴4cos2﹣cos2（B+C）=2（1+cosA）﹣cos2A=﹣2cos2A+2cosA+3=，∴2cos2A﹣2cosA+=0，∴cosA=，又0＜A＜π，∴A=；点睛：本题考查了二倍角余弦公式以及解一元二次方程，属于基础题.15. 已知是单位向量，，若向量满足，则的最大值是__________.【答案】【解析】分析：通过建立直角坐标系，利用向量的坐标运算和圆的方程及数形结合即可得出．详解：∵||=||=1，且，∴可设，，．∴．∵，∴，即（x﹣1）2+（y﹣1）2=1．∴的最大值==．故答案为：．点睛：本题利用坐标法明确了向量的终点的轨迹方程，问题转化为圆上点到原点的最大距离问题.16. 已知圆，直线，在圆内任取一点，则到直线的距离大于2的概率为__________．【答案】【解析】分析：根据几何概型，求出圆心到直线的距离，利用几何概型的概率公式分别求出对应的测度即可得到结论．详解：由题意知圆的标准方程为（x﹣1）2+y2=2的圆心是（1，0），圆心到直线3x﹣4y+12=0的距离是d==3，当与3x﹣4y+12=0平行，且在直线下方距离为2的平行直线为3x﹣4y+b=0，则d==2，则|b﹣12|=10，即b=22（舍）或b=2，此时直线为3x﹣4y+2=0，则此时圆心到直线3x﹣4y+2=0的距离d=1，即三角形ACB为直角三角形，当P位于3x﹣4y+2=0时，此时P到直线l的距离大于2，则根据几何概型的概率公式得到P==故答案为：．点睛：解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考察对象和对象的活动范围．当考察对象为点，点的活动范围在线段上时，用线段长度比计算；当考察对象为线时，一般用角度比计算，即当半径一定时，由于弧长之比等于其所对应的圆心角的度数之比，所以角度之比实际上是所对的弧长(曲线长)之比,本题点的活动范围是在圆面上.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17. 已知数列满足.（1）证明数列是等差数列，并求的通项公式；（2）若数列满足，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】分析：（1）两边取倒数可得，从而得到数列是等差数列，进而可得的通项公式；（2），利用错位相减法求和即可.详解：（1）∵，∴，∴是等差数列，∴，即；（2）∵，∴，则，两式相减得，∴.点睛：用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“S n”与“qS n”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“S n－qS n”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解. 18. 按照我国《机动车交通事故责任强制保险条例》规定，交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通7座以下私家车投保交强险第一年的费用（基准保费）统一为元，在下一年续保时，实行的是保费浮动机制，保费与上一、二、三个年度车辆发生道路交通事故的情况相关联，发生交通事故的次数越多，费率也就越高，具体浮动情况如下表：交强险浮动因素和浮动费率比率表投保类型浮动因素浮动比率上一个年度未发生有责任道路交通事故下浮10%上两个年度未发生有责任道路交通事故下浮20%上三个及以上年度未发生有责任道路交通事故下浮30%上一个年度发生一次有责任不涉及死亡的道路交通事故0%上一个年度发生两次及两次以上有责任不涉及死亡的道路上浮10%交通事故上一个年度发生有责任道路交通死亡事故上浮30%某机构为了研究某一品牌普通7座以下私家车的投保情况，随机抽取了80辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车在下一年续保时的情况，统计得到了下面的表格：类型数量20101020155（1）根据上述样本数据，估计一辆普通7座以下私家车（车龄已满3年）在下一年续保时，保费高于基准保费的概率；（2）某销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基准保费的车辆记为事故车.①若该销售商部门店内现有6辆该品牌二手车（车龄已满3年），其中两辆事故车，四辆非事故车.某顾客在店内随机挑选两辆车，求这两辆车中恰好有一辆事故车的概率；②以这80辆该品牌车的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率.该销售商一次购进120辆（车龄已满三年）该品牌二手车，若购进一辆事故车亏损4000元，一辆非事故车盈利8000元.试估计这批二手车一辆车获得利润的平均值.【答案】（1）；（2）①；②.【解析】分析：(1)根据题意易得所求概率为；(2)①设两辆事故车为，四辆非事故车为，从这六辆车中随机挑取两辆车共有15种情况，两辆车中恰有一车事故车共有8种情况，从而得到所求概率，②由统计数据可知，若该销售商一次购进120辆（车龄已满三年）该品牌二手车中，有事故车30辆，非事故车90辆，从而求得这批二手车一辆车获得利润的平均值详解：（1）所求概率为；（2）①设两辆事故车为，四辆非事故车为，从这六辆车中随机挑取两辆车共有，，共15种情况，其中两辆车中恰有一车事故车共有，8种情况，所以所求概率为；②由统计数据可知，若该销售商一次购进120辆（车龄已满三年）该品牌二手车中，有事故车30辆，非事故车90辆，所以一辆获得利润的平均值为.点睛：有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数：1．基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举；2．注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用．19. 已知空间几何体中，与均为边长为2的等边三角形，为腰长为3的等腰三角形，平面平面，平面平面分别为的中点.（1）求证：平面平面；（2）求三棱锥的体积.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】分析：（1）要证平面平面，转证平面，平面即可；（2）由（1）知平面，所以点到平面的距离与点到平面的距离相等，利用等体积法有，从而得到结果.详解：证明：（1）取中点，连结，∵为等腰三角形，∴，又平面平面平面，∴平面，同理可证平面，∴，∵平面平面，∴平面，又分别为中点，∴，∵平面平面，∴平面，又，∴平面平面；（2）连结，取中点，连结，则，由（1）知平面，所以点到平面的距离与点到平面的距离相等，又是边长为2的等边三角形，∴，又平面平面，平面平面平面，∴平面，∴平面，∴，又为中点，∴，又，∴，∴.点睛：空间几何体体积问题的常见类型及解题策略(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解．(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解.20. 已知抛物线的焦点也是椭圆的一个焦点，点在椭圆短轴上，且.（1）求椭圆的方程；（2）设为椭圆上的一个不在轴上的动点，为坐标原点，过椭圆的右焦点作的平行线，交曲线于两点，求面积的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】分析：(1)由题意布列关于a，b的方程组，从而得到椭圆的方程；(2)设，直线的方程为，与椭圆方程联立可得，利用根与系数的关系得到，进而表示面积，结合换元法及对勾函数的性质求最值即可.详解：（1）由，知焦点坐标为，所以，由已知，点的坐标分别为，又，于是，解得，所以椭圆的方程为；（2）设，直线的方程为，由，可得，则，所以，令，则，所以在上单调递增，所以当时，取得最小值，其值为9.所以的面积的最大值为.点睛：圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；③利用基本不等式求出参数的取值范围；④利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．21. 已知函数.（1）当时，求的单调区间；（2）当时，证明：.【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增；（2）见解析.【解析】分析：(1) ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间；(2)当时，，要证，即证.详解：（1）时，，因为，故时，；时，，所以在上单调递减，在上单调递增；（2）当时，，令，则，显然在上单调递增，且，所以在上存在唯一零点，又时，时，，所以时，，由，得，∴，综上，当时， .点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数），以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求圆的普通方程；（2）直线的极坐标方程是，射线与圆的交点为，与直线的交点为，求线段的长.【答案】（1）；（2）1.【解析】分析：（1）消去参数即可得普通方程；（2）将圆的普通方程为极坐标方程得，直线的极坐标方程是，将代入求极径，作差可得解.详解：（1）∵圆的参数方程为∴圆的普通方程为；（2）化圆的普通方程为极坐标方程得，设，则由，解得，设，则由，解得，∴点睛：该题考查的是有关坐标系与参数方程的问题，在解题的过程中，一定要时刻关注由参数方程向普通方程转化，直角坐标方程与极坐标方程的互化规律求得结果，尤其第二问中用的方法，将两个方程都用极坐标方程表示，利用极径的意义解决问题，这个是我们不常用的.23. 选修4-5：不等式选讲设函数.（1）求的最小值及取得最小值时的取值范围；（2）若不等式的解集为，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】分析：（1）利用绝对值三角不等式,求得的最小值,以及取得最小值时x的取值范围;（2）当不等式的解集为，函数恒成立，即的图象恒位于直线的上方,数形结合求得的取值范围.详解：（1）∵函数，故函数的最小值为3，此时；（2）当不等式的解集为，函数恒成立，即的图象恒位于直线的上方，函数，而函数表示过点，斜率为的一条直线，如图所示：当直线过点时，，∴，当直线过点时，，∴，数形结合可得的取值范围为.点睛:恒成立问题的解决方法:(1)f(x)<m恒成立，须有[f(x)]max<m；(2)f(x)>m恒成立，须有[f(x)]min>m；(3)不等式的解集为R，即不等式恒成立；(4)不等式的解集为空集，即不等式无解．。

XXX2018年高三下学期期初考试(3月)数学(文)试题2018年全国高三文科数学统一联合考试一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。

1.已知集合$A=\{x|x\leq1\}$，且$A\cap B=\{0,1\}$，则集合$B$可能是(。

)A.$\{x|x\geq\}$B.$\{x|x>-1\}$C.$\{-1,0,1\}$D.$\{0,1,2\}$2.已知向量$a=(1,2)$，$b=(-1,0)$，则$2a-b=$(。

)A.$17$B.$17\vec{a}$C.$5$D.$25$3.若复数$z$在复平面内对应的点的坐标是$(1,-2)$，则$z=$ (。

)A.$1-2i$B.$1+2i$C.$2-i$D.$-2-i$4.《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢，各穿几何？”题意是：“有两只老鼠从墙的两边同时相向打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半.”如果这两只老鼠恰好用了7天把墙打穿，则墙厚为(。

)A.$8255$尺B.$129$尺C.$2079$尺D.$65$尺5.若双曲线$C:-\frac{x^2}{x^2+y^2}=1$的离心率为3，则实数$m=$ (。

)frac{m}{m+1}$A.$1$B.$2$C.$1$或$-2$D.$1$或$2$6.已知命题$p:\exists m\in R$，使得$f(x)=x^2+mx$是偶函数；命题$q:x^2=1\Rightarrow x=1$，现给出下列命题：①$p$；②$q$的逆否命题；③$p\land q$；④$p\lor(\negq)$。

其中真命题的个数为(。

)A.$0$B.$1$C.$2$D.$3$7.如图，网格纸上小正方形的边长为$1$，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为(。

2018年山西省太原市高考数学三模试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合，则A∩B=（）A．（﹣1，1）B．（1，+∞）C．D．2．已知复数z满足，则复数z在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．设命题p：函数y=sin2x的最小正周期为π；命题q：函数y=cosx的图象关于直线对称，则下列结论正确的是（）A．p为假B．￢q为假C．p∨q为假D．p∧q为假4．若0＜a＜b＜1，则的大小关系为（）A．B．C．D．5．中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”人们把此类题目称为“中国剩余定理”，若正整数N除以正整数m后的余数为n，则记为N=n（modm），例如11=2（mod3）．现将该问题以程序框图的算法给出，执行该程序框图，则输出的n等于（）A．21 B．22 C．23 D．246．已知等比数列{a n}中，a1+a2=3，a2+a3=6，则a8=（）A．64 B．128 C．256 D．5127．设不等式组表示的平面区域为D，若在区域D上存在函数y=log a x （a＞1）图象上的点，则实数a的取值范围是（）A．（3，+∞）B．（1，3） C．[3，+∞）D．（1，3]8．已知函数的一个对称中心是（2，0），且f（1）＞f（3），要得到函数f（x）的图象，可将函数的图象（）A．向左平移个单位长度B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度D．向右平移个单位长度9．已知双曲线的实轴长为16，左焦点为F，M是=16，则双双曲线C的一条渐近线上的点，且OM⊥MF，O为坐标原点，若S△OMF曲线C的离心率为（）A．B．C．D．10．如图是某个几何体的三视图，则这个几何体体积是（）A．B．C．D．11．已知抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，直线PF与抛物线交于M，N两点，若，则|MN|=（）A．B．8 C．16 D．12．已知函数f（x）=，若对任意的x∈[1，2]，f′（x）•x+f（x）＞0恒成立，则实数t的取值范围是（）A．（﹣∞，] B．（﹣∞，） C．（﹣∞，]D．[，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上13．已知函数，若f[f（﹣1）]=﹣1，则实数a=．14．在△ABC中，若，则角A=．15．已知•是单位向量，•=0．若向量满足|﹣﹣|=1，则||的最大值是．16．已知圆C：x2+y2﹣2x﹣1=0，直线l：3x﹣4y+12=0，在圆C内任取一点P，则P到直线的距离大于2的概率为．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．已知数列{a n}满足．（1）证明数列是等差数列，并求{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足，求数列{b n}的前n项和S n．18．按照我国《机动车交通事故责任强制保险条例》规定，交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通7座以下私家车投保交强险第一年的费用（基准保费）统一为a元，在下一年续保时，实行的是保费浮动机制，保费与上一、二、三个年度车辆发生道路交通事故的情况相关联，发生交通事故的次数越多，费率也就越高，具体浮动情况如下表：某机构为了研究某一品牌普通7座以下私家车的投保情况，随机抽取了80辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车在下一年续保时的情况，统计得到了下面的表格：（1）根据上述样本数据，估计一辆普通7座以下私家车（车龄已满3年）在下一年续保时，保费高于基准保费的概率；（2）某销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基准保费的车辆记为事故车．①若该销售商部门店内现有6辆该品牌二手车（车龄已满3年），其中两辆事故车，四辆非事故车．某顾客在店内随机挑选两辆车，求这两辆车中恰好有一辆事故车的概率；②以这80辆该品牌车的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率．该销售商一次购进120辆（车龄已满三年）该品牌二手车，若购进一辆事故车亏损4000元，一辆非事故车盈利8000元．试估计这批二手车一辆车获得利润的平均值．19．已知空间几何体ABCDE中，△BCD与△CDE均为边长为2的等边三角形，△ABC为腰长为3的等腰三角形，平面CDE⊥平面BCD，平面ABC⊥平面BCD，M，N分别为DB，DC的中点．（1）求证：平面EMN∥平面ABC；（2）求三棱锥A﹣ECB的体积．20．已知抛物线的焦点也是椭圆的一个焦点，点P（0，2）在椭圆短轴CD上，且．（1）求椭圆C2的方程；（2）设Q为椭圆C2上的一个不在x轴上的动点，O为坐标原点，过椭圆的右焦点F2作OQ的平行线，交曲线C2于M，N两点，求△QMN面积的最大值．21．已知函数f（x）=e x﹣2a﹣lnx．（1）当时，求f（x）的单调区间；（2）当a≤1时，证明：f（x）＞0．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10.00分）在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（φ为参数）以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C的普通方程；（2）直线l的极坐标方程是，射线与圆C的交点为O、P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）=|x+2|+|x﹣1|．（1）求f（x）的最小值及取得最小值时x的取值范围；（2）若集合{x|f（x）+ax﹣1＞0}=R，求实数a的取值范围．2018年山西省太原市高考数学三模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合，则A∩B=（）A．（﹣1，1）B．（1，+∞）C．D．【分析】先分别求出集合A和B，利用交集定义能求出A∩B．【解答】解：∵集合，∴A={x|﹣1＜x＜1}，B={x|x＞}，∴A∩B={x|}=（）．故选：D．【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．2．已知复数z满足，则复数z在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简求得z，得到z的坐标得答案．【解答】解：∵，∴z=，∴复数z在复平面内对应的点的坐标为（﹣1，﹣2），在第三象限．故选：C．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3．设命题p：函数y=sin2x的最小正周期为π；命题q：函数y=cosx的图象关于直线对称，则下列结论正确的是（）A．p为假B．￢q为假C．p∨q为假D．p∧q为假【分析】由题设条件可先判断出两个命题的真假，再根据复合命题真假的判断规则判断出选项中复合命题的真假即可得出正确选项．【解答】解：由于函数y=sin2x的最小正周期为π，故命题p是真命题；函数y=cosx的图象关于直线x=kπ对称，k∈Z，故q是假命题．结合复合命题的判断规则知：p∧q为假命题，p∨q为是真命题．故选：D．【点评】本题考查复合命题的真假判断，解题的关键是正确判断所涉及命题的真假及熟练掌握复合命题的真假判断规则，本题属于高考常考题型也是对命题考查的常规题型，知识性强，难度不大．4．若0＜a＜b＜1，则的大小关系为（）A．B．C．D．【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．【解答】解：∵0＜a＜b＜1，∴log b a＞log b b=1＞a b＞0＞，∴log b a＞a b＞，故选：D．【点评】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5．中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”人们把此类题目称为“中国剩余定理”，若正整数N除以正整数m后的余数为n，则记为N=n（modm），例如11=2（mod3）．现将该问题以程序框图的算法给出，执行该程序框图，则输出的n等于（）A．21 B．22 C．23 D．24【分析】该程序框图的作用是求被3和5除后的余数为2的数，根据所给的选项，得出结论．【解答】解：该程序框图的作用是求被3除后的余数为2，被5除后的余数为3的数，在所给的选项中，满足被3除后的余数为2，被5除后的余数为3的数只有23，故选：C．【点评】本题主要考查程序框图的应用，属于基础题．6．已知等比数列{a n}中，a1+a2=3，a2+a3=6，则a8=（）A．64 B．128 C．256 D．512【分析】根据等比数列的条件，建立方程组求出等比数列的首项和公比即可得到结论．【解答】解：在等比数列中，a1+a2=3，a2+a3=6，则q=2，又a1+a2=a1+2a1=3a1=3，解得a1=1，∴a8=27=128，故选：B．【点评】本题主要考查等比数列的通项公式的应用，利用条件建立方程组是解决本题的关键．7．设不等式组表示的平面区域为D，若在区域D上存在函数y=log a x （a＞1）图象上的点，则实数a的取值范围是（）A．（3，+∞）B．（1，3） C．[3，+∞）D．（1，3]【分析】不等式组，表示的平面区域为D，联立，解得A（3，1）．根据函数y=log a x（a＞1）的图象上存在区域D上的点，可得经过点A时，a 取得最小值，可得a．【解答】解：如图所示，不等式组，表示的平面区域为D，联立，解得A（3，1），∵函数y=log a x（a＞1）的图象上存在区域D上的点，∴经过点A时，a取得最小值，1=log a3，解得a=3．则实数a的取值范围是[3，+∞）．故选：C．【点评】本题考查了线性规划、对数函数的单调性、不等式与方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8．已知函数的一个对称中心是（2，0），且f（1）＞f（3），要得到函数f（x）的图象，可将函数的图象（）A．向左平移个单位长度B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度D．向右平移个单位长度【分析】结合条件利用余弦函数的图象和性质求得ω和φ的值，可得函数的解析式，再利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】解：∵函数f（x）=2cos（x+φ）图象的一个对称中心为（2，0），∴+φ=kπ+，k∈Z，故可取φ=﹣，f（x）=2cos（x﹣），满足f（1）＞f（3），故可将函数y=2cos x的图象向右平移个单位，得到f（x）=2cos（x﹣）的图象，故选：C．【点评】本题主要考查余弦函数的图象和性质，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．9．已知双曲线的实轴长为16，左焦点为F，M是双曲线C的一条渐近线上的点，且OM⊥MF，O为坐标原点，若S=16，则双△OMF曲线C的离心率为（）A．B．C．D．【分析】求得双曲线C一条渐近线方程为y=x，运用点到直线的距离公式，结合勾股定理和三角形的面积公式，化简整理解方程可得c=4 ，进而得到双曲线的离心率．【解答】解：设F（﹣c，0），双曲线C一条渐近线方程为y=x，可得|FM|==b，即有|OM|==a，由S=16，可得ab=16，△OMF∵2a=16，∴a=8∴b=4∴c2=a2+b2=64+16=80，∴c=4 ，∴e==故选：A．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，注意运用点到直线的距离公式和离心率公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．10．如图是某个几何体的三视图，则这个几何体体积是（）A．B．C．D．【分析】由三视图可知：该几何体由一个半圆柱与三棱柱组成的几何体．【解答】解：由三视图可知：该几何体由一个半圆柱与三棱柱组成的几何体．这个几何体体积V=+×（）2×2=2+．故选：A．【点评】本题考查了圆柱与三棱柱的三视图与体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．11．已知抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，直线PF与抛物线交于M，N两点，若，则|MN|=（）A．B．8 C．16 D．【分析】先根据题意写出直线的方程，再将直线的方程与抛物线y2=4x的方程组成方程组，消去y得到关于x的二次方程，最后利用根与系数的关系结合抛物线的定义即可求线段AB的长．【解答】解：抛物线C：y2=4x的焦点为F（1，0），准线为l：x=﹣1，设M（x1，y1），N（x2，y2），M，N到准线的距离分别为d M，d N，由抛物线的定义可知|MF|=d M=x1+1，|NF|=d N=x2+1，于是|MN|=|MF|+|NF|=x1+x2+2．∵，∴直线MN的斜率为±，∵F（1，0），∴直线PF的方程为y=±（x﹣1），将y=±（x﹣1），代入方程y2=4x，得3（x﹣1）2=4x，化简得3x2﹣10x+3=0，∴x1+x2=，于是|MN|=|MF|+|NF|=x1+x2+2=+2=故选：A．【点评】本题考查抛物线的定义和性质，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．12．已知函数f（x）=，若对任意的x∈[1，2]，f′（x）•x+f（x）＞0恒成立，则实数t的取值范围是（）A．（﹣∞，] B．（﹣∞，） C．（﹣∞，]D．[，+∞）【分析】对任意的x∈[1，2]，f′（x）•x+f（x）＞0恒成立⇔对任意的x∈[1，2]，恒成立，⇔对任意的x∈[1，2]，2x2﹣2tx+1＞0恒成立，⇔t＜恒成立，求出x+在[1，2]上的最小值即可．【解答】解：∵∴对任意的x∈[1，2]，f′（x）•x+f（x）＞0恒成立⇔对任意的x∈[1，2]，恒成立，⇔对任意的x∈[1，2]，2x2﹣2tx+1＞0恒成立，⇔t＜恒成立，又g（x）=x+在[1，2]上单调递增，∴，∴t＜．故选：B．【点评】本题考查了导数的应用，恒成立问题的基本处理方法，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上13．已知函数，若f[f（﹣1）]=﹣1，则实数a=．【分析】根据函数f（x）的解析式求得f（﹣1）以及f[f（﹣1）]的值，列方程求解即可．【解答】解：函数，则f（﹣1）=2﹣（﹣1）=2，∴f[f（﹣1）]=f（2）=a•22=4a=﹣1，解得a=﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查了分段函数的应用问题，是基础题．14．在△ABC中，若，则角A=．【分析】利用三角恒等变换，解方程求得cosA的值，可得A的值．【解答】解：△ABC中，若，则4×﹣cos2（π﹣A ）=，即2+2cosA﹣cos2A=，即2+2cosA﹣（2cos2A﹣1）=，求得cosA=，可得A=，故答案为：．【点评】本题主要考查三角恒等变换，根据三角函数的值求角，属于基础题．15．已知•是单位向量，•=0．若向量满足|﹣﹣|=1，则||的最大值是．【分析】通过建立直角坐标系，利用向量的坐标运算和圆的方程及数形结合即可得出．【解答】解：∵•是单位向量，•=0．若向量满足|﹣﹣|=1，∴设=（1，0），=（0，1），=（x，y），则﹣﹣=（x﹣1，y﹣1），∵|﹣﹣|=1，∴（x﹣1）2+（y﹣1）2=1，故向量||的轨迹是在以（1，1）为圆心，半径等于1的圆上，∴||的最大值为，故答案为：【点评】本题主要考查平面向量的应用，利用坐标系是解决本题的关键．，要求熟练掌握向量的坐标运算和圆的方程及数形结合的应用．16．已知圆C：x2+y2﹣2x﹣1=0，直线l：3x﹣4y+12=0，在圆C内任取一点P，则P到直线的距离大于2的概率为．【分析】根据题意，将圆的方程变形为标准方程，分析其圆心与半径，求出圆心到直线3x﹣4y+12=0的距离d，进而设与3x﹣4y+12=0平行，且在直线下方距离为2的平行直线为3x﹣4y+b=0，分析可得=2，解可得b=2，进而分析可得圆心到直线3x﹣4y+2=0的距离d=1，即三角形ACB为直角三角形，由直线与圆的位置关系分析可得当P位于直线AB下方且在圆内部时，P到直线l的距离大于2，由几何概型公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，圆C：x2+y2﹣2x﹣1=0，则其标准方程为（x﹣1）2+y2=2的圆心是（1，0），半径为，圆心到直线3x﹣4y+12=0的距离d===3，设与3x﹣4y+12=0平行，且在直线下方距离为2的平行直线为3x﹣4y+b=0，则有=2，变形可得|b﹣12|=10，解可得：b=22（舍）或b=2，此时直线为3x﹣4y+2=0，则此时圆心到直线3x﹣4y+2=0的距离d=1，即三角形ACB为直角三角形，当P位于直线AB下方且在圆内部时，P到直线l的距离大于2，圆的面积S=π（）2=2π，直线AB的下方的圆内部分的面积S1=×2π+××=+1，则P到直线的距离大于2的概率P===；故答案为：．【点评】本题主要考查几何概型的概率计算，利用条件确定圆C内的点A到直线l的距离小于2对应区域是解决本题的关键．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．已知数列{a n}满足．（1）证明数列是等差数列，并求{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足，求数列{b n}的前n项和S n．【分析】（1）由，取倒数可得：，即可证明是等差数列，利用通项公式即可得出．（2）由，利用错位相减法即可得出．【解答】（1）证明：∵，∴，∴是等差数列，∴，即；（2）解：∵，∴，则，两式相减得，∴．【点评】本题考查了数列递推关系、等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．按照我国《机动车交通事故责任强制保险条例》规定，交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通7座以下私家车投保交强险第一年的费用（基准保费）统一为a元，在下一年续保时，实行的是保费浮动机制，保费与上一、二、三个年度车辆发生道路交通事故的情况相关联，发生交通事故的次数越多，费率也就越高，具体浮动情况如下表：某机构为了研究某一品牌普通7座以下私家车的投保情况，随机抽取了80辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车在下一年续保时的情况，统计得到了下面的表格：（1）根据上述样本数据，估计一辆普通7座以下私家车（车龄已满3年）在下一年续保时，保费高于基准保费的概率；（2）某销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基准保费的车辆记为事故车．①若该销售商部门店内现有6辆该品牌二手车（车龄已满3年），其中两辆事故车，四辆非事故车．某顾客在店内随机挑选两辆车，求这两辆车中恰好有一辆事故车的概率；②以这80辆该品牌车的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率．该销售商一次购进120辆（车龄已满三年）该品牌二手车，若购进一辆事故车亏损4000元，一辆非事故车盈利8000元．试估计这批二手车一辆车获得利润的平均值．【分析】（1）由古典概型能估计一辆普通7座以下私家车（车龄已满3年）在下一年续保时，保费高于基准保费的概率．（2）①设两辆事故车为A，B，四辆非事故车为a，b，c，d，从这六辆车中随机挑取两辆车，利用列举法能法语出这两辆车中恰好有一辆事故车的概率．②由统计数据可知，若该销售商一次购进120辆（车龄已满三年）该品牌二手车中，有事故车30辆，非事故车90辆，由此能求出一辆获得利润的平均值．【解答】解：（1）估计一辆普通7座以下私家车（车龄已满3年）在下一年续保时，保费高于基准保费的概率为；（2）①设两辆事故车为A，B，四辆非事故车为a，b，c，d，从这六辆车中随机挑取两辆车共有15种情况，分别为：（A，B），（A，a），（A，b），（A，c），（A，d），（B，a），（B，b），（B，c），（B，d），（a，b），（a，c），（a，d），（b，c），（b，d），（c，d），其中两辆车中恰有一车事故车共有8种情况，分别为：（A，a），（A，b），（A，c），（A，d），（B，a），（B，b），（B，c），（B，d），∴这两辆车中恰好有一辆事故车的概率为p=．②由统计数据可知，若该销售商一次购进120辆（车龄已满三年）该品牌二手车中，有事故车30辆，非事故车90辆，∴一辆获得利润的平均值为．【点评】本题考查概率的求法，考查利润的平均值的求法，考查古典概型、列举地等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．19．已知空间几何体ABCDE中，△BCD与△CDE均为边长为2的等边三角形，△ABC为腰长为3的等腰三角形，平面CDE⊥平面BCD，平面ABC⊥平面BCD，M，N分别为DB，DC的中点．（1）求证：平面EMN∥平面ABC；（2）求三棱锥A﹣ECB的体积．【分析】（1）取BC中点H，连结AH，证明MN∥BC，即可证明平面EMN∥平面ABC；（2）连结DH，取CH中点G，连结NG，则NG∥DH，可得点E到平面ABC的距离与点N到平面ABC的距离相等，由．能求出三棱锥A﹣EBC的体积．【解答】证明：（1）取BC中点H，连结AH，∵△ABC为等腰三角形，∴AH⊥BC，又平面ABC⊥平面BCD，AH⊥平面DBC，∴AH⊥平面BCD，同理可证EN⊥平面BCD，∴EN∥AH，∵EN⊄平面ABC，AH⊂平面ABC，∴EN∥平面ABC，又M，N分别为BD，DC中点，∴MN∥BC，∵MN⊄平面ABC，BC⊂平面ABC，∴MN∥平面ABC，又MN∩EN=N，∴平面EMN∥平面ABC；解：（2）连结DH，取CH中点G，连结NG，则NG∥DH，由（1）知EN∥平面ABC，所以点E到平面ABC的距离与点N到平面ABC的距离相等，又△BCD是边长为2的等边三角形，∴DH⊥BC，又平面ABC⊥BCD平面，平面ABC∩平面BCD=BC，DH⊂平面BCD，∴DH⊥平面ABC，∴NG⊥平面ABC，∴，又N为CD中点，∴，又AC=AB=3，BC=2，∴，∴．【点评】本题考查满足线面平行的直线的确定与证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，是中档题20．已知抛物线的焦点也是椭圆的一个焦点，点P（0，2）在椭圆短轴CD上，且．（1）求椭圆C2的方程；（2）设Q为椭圆C2上的一个不在x轴上的动点，O为坐标原点，过椭圆的右焦点F2作OQ的平行线，交曲线C2于M，N两点，求△QMN面积的最大值．【分析】（1）利用抛物线与椭圆的焦点坐标相同，推出a2﹣b2=4，通过．求解a，b即可得到椭圆方程．（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），Q（x3，y3），直线MN的方程为x=my+2，联立直线与椭圆方程，通过韦达定理以及弦长公式，利用基本不等式求解三角形的面积的最值即可．【解答】解：（1）由，知焦点坐标为（2，0），所以a2﹣b2=4，由已知，点C，D的坐标分别为（0，﹣b），（0，b），又，于是4﹣b2=﹣1，解得b2=5，a2=9，所以椭圆C2的方程为；（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），Q（x3，y3），直线MN的方程为x=my+2，由，可得（5m2+9）y2+20my﹣25=0，则，所以，令，则，所以在[1，+∞）上单调递增，所以当t=1时，f（t）取得最小值，其值为9．所以△QMN的面积的最大值为．【点评】本题考查抛物线与椭圆的简单性质的应用，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想设而不求方法的应用，考查计算能力．21．已知函数f（x）=e x﹣2a﹣lnx．（1）当时，求f（x）的单调区间；（2）当a≤1时，证明：f（x）＞0．【分析】（1）利用函数的导数，判断导函数的符号，推出函数的单调区间即可．（2）当a≤1时，x﹣2a≥x﹣2，f（x）≥e x﹣2﹣lnx，令φ（x）=e x﹣2﹣lnx，则，判断函数的单调性，通过函数的零点，求解函数的极值转化求解即可．【解答】解：（1）时，，因为f'（1）=0，故0＜x＜1时，f'（x）＜0；x＞1时，f'（x）＞0，所以f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增；（2）证明：当a≤1时，x﹣2a≥x﹣2，f（x）≥e x﹣2﹣lnx，令φ（x）=e x﹣2﹣lnx，则，显然φ'（x）在（0，+∞）上单调递增，且φ'（1）＜0，φ'（2）＞0，所以φ'（x）在（0，+∞）上存在唯一零点x0，x0∈（1，2），又0＜x＜x0时，φ'（x）＜0，x＞x0时，φ'（x）＞0，所以x∈（0，+∞）时，，由φ'（x0）=0，得，∴，综上，当a≤1时，f（x）＞0．【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的极值以及单调性的判断，考查分析问题解决问题的能力．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10.00分）在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（φ为参数）以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C的普通方程；（2）直线l的极坐标方程是，射线与圆C的交点为O、P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．【分析】（1）圆C的参数方程消去参数，能求出圆C的普通方程．（2）圆C的普通方程化为极坐标方程得ρ=6sinθ，设P（ρ1，θ1），由，解得，设Q（ρ2，θ2），由，解得，由此能求出|PQ|．【解答】解：（1）∵圆C的参数方程为（ϕ为参数）∴圆C的普通方程为x2+（y﹣3）2=9；（2）化圆C的普通方程为极坐标方程得ρ=6sinθ，设P（ρ1，θ1），则由，解得，设Q（ρ2，θ2），则由，解得，∴|PQ|=ρ2﹣ρ1=1．【点评】本题考查圆的普通方程的求法，考查弦长的求法，考查参数方程、极坐标方程、直角坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）=|x+2|+|x﹣1|．（1）求f（x）的最小值及取得最小值时x的取值范围；（2）若集合{x|f（x）+ax﹣1＞0}=R，求实数a的取值范围．【分析】（1）利用绝对值三角不等式，求得f（x）的最小值及取得最小值时x的取值范围．（2）当集合{x|f（x）+ax﹣1＞0}=R，函数f（x）＞﹣ax+1恒成立，即f（x）的图象恒位于直线y=﹣ax+1的上方，数形结合求得a的范围．【解答】解：（1）∵函数f（x）=|x+2|+|x﹣1|≥|x+2﹣（x﹣1）|=3，故函数f （x）=|x+2|+|x﹣1|的最小值为3，此时，﹣2≤x≤1．（2）函数f（x）=|x+2|+|x﹣1|=，而函数y=﹣ax+1表示过点（0，1），斜率为﹣a的一条直线，如图所示：当直线y=﹣ax+1过点A（1，3）时，3=﹣a+1，∴a=﹣2，当直线y=﹣ax+1过点B（﹣2，3）时，3=2a+1，∴a=1，故当集合{x|f（x）+ax﹣1＞0}=R，函数f（x）＞﹣ax+1恒成立，即f（x）的图象恒位于直线y=﹣ax+1的上方，数形结合可得要求的a的范围为（﹣2，1）．【点评】本题主要考查绝对值三角不等式，带有绝对值的函数，函数的恒成立问题，属于中档题．。