考点2.比较大小 比较幂值大小的三种类型及处理方法
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1 0 .9 0.44 y1 4 , y2 8 , y3 则( ) 例2 2 A. y3 y1 y2 B. y2 y1 y3 C. y1 y2 y3
课堂互动讲练
1.5
D. y1 y3 y2
解 令 t＝ax (a>0 且 a≠1)，
1 ∈a，a，
则原函数化为 y＝(t＋1)2－2 (t>0)．
①当 0<a<1 时，x∈[－1,1]，t＝a 此时
1 f(t)在a，a上为增函数．
x
1 1 所以 f(t)max＝fa＝a＋12－2＝14. 1 1 1 ＋12＝16，所以 a＝－ 或 a＝ . 所以 a 5 3
指 数 函 数
性 质
(0，＋∞) 值域：_______________ y＝1 当x＝0时，_______ 当x>0时，y>1；当x<0时， 当x>0时，0<y<1；当x<0 0<y<1 时，y>1 在(－∞，＋∞)上是 在(－∞，＋∞)上是 减函数 增函数 __________ ________
考点突破
o 当x>0时, y>1. 在R上是 减 函数
1.定义域： 当x<0时, 性0<y<1. 2. 值域： 质
(, )
(0, )
3.过点 (0,1),即x=
4.在R上是 增 函数
0时,y=1
2.指数函数 形如y＝ax(a>0，且a≠1)的函数叫指数函数，定义域 定义 R 为_____. a>1 0<a<1 图 象
得出原函数的单调性.
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考向瞭望把脉高考
命题预测
近两年高考对指数和指数函数的考题主要是以其性质及图象 为依托，常与其他函数进行复合，试题以选择题，填空题为 主，考查学生计算能力和数形结合能力，属低档题．题型有 数值的计算、函数值的求法、数值的大小比较、简单指数不 等式等． 预测2014年的高考中,主要以指数函数的性质为主,利用性质比 较大小和解不等式为重点,同时关注解答题与导数的融合．
决；(3)恒成立问题关键是探求f(x)的最小值．
【解】
(1)函数定义域为 R，关于原点对称．
a － 又∵f(－x)＝ 2 (a x－ax)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数． a －1 (2)当 a>1 时，a2－1>0，y＝ax 为增函数，y＝a 从而 y＝ax－a
－x －x
为减函数，
为增函数，∴f(x)为增函数．
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2.两类常见的翻折变换
(1)函数y=|f(x)|的图象可以将函数y=f(x)的图象的x轴下方
部分沿x轴翻折到x轴上方，去掉原x轴下方部分，并保留 y=f(x)的x轴上方部分即可得到. (2)函数y=f(|x|)的图象可以将函数y=f(x)的图象右侧部分沿 y轴翻折到y轴左侧替代原y轴左侧部分并保留y=f(x)在y轴右 侧部分即可得到.
【领悟归纳】
指数幂的化简与求值的常用方法
(1)化负指数为正指数； (2)化根式为分数指数幂； (3)化小数为分数．
探究提高
根式运算或根式与指数式混合运算时，将根式化为指数式计 算较为方便，对于计算的结果，不强求统一用什么形式来表 示，如果有特殊要求，要根据要求写出结果．但结果不能同 时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．
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练习：k 为何值时，方程|3 x－1|＝k 无解？有一解？有两解？
解 函数 y＝|3x－1|的图象是由函数 y＝3x
的图象向下平移一个单位后，再把位于 x 轴下方的图象沿 x 轴翻折到 x 轴上方得到 的，函数图象如图所示．
当 k<0 时，直线 y＝k 与函数 y＝|3x－1|的图象无交点，即方 程无解；当 k＝0 或 k≥1 时，直线 y＝k 与函数 y＝|3x－1|的 图象有惟一的交点，所以方程有一解；
am (1)a n ＝ ______(a>0，m，n∈N*，且 n>1)；
m
n
1
(2)a
－
m
an n ＝______
m
(a>0，m，n∈N*，且 n>1)．
有理指数 (1)ar·s＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)， a ars 幂的运算 (2)(ar)s＝______ (a>0，r，s∈Q)， arbr 性质 (3)(ab)r＝_______ (a>0，b>0，r∈Q).
向左平移1个单位
＋
1 法二：①由 y＝( )|x|可知函数是偶函数，其图象关于 y 轴对称， 3 1x 故先作出 y＝( ) 的图象保留 x≥0 的部分，当 x<0 时，其图象 3 1x 1 |x| 是将 y＝( ) (x≥0)图象关于 y 轴对折， 从而得出 y＝( ) 的图象． 3 3 1 |x| 1 |x＋ 1| ②将 y＝( ) 向左平移 1 个单位，即可得 y＝( ) 的图象，如 3 3 图所示． (2)由图象知函数在(－∞，－1]上是增函数，在[－1，＋∞)上 是减函数． (3)由图象知当 x＝－1 时，有最大值 1，无最小值．
指数函数问题一般要与其它函数复合．本题可利用换元法将 原函数化为一元二次函数．结合二次函数的单调性和指数函 数的单调性判断出原函数的单调性，从而获解． 由于指数函数的单调性取决于底数的大小，所以要注意对底 数的分类讨论，避免漏解．
考点5
指数函数的综合应用
指数函数y＝ax(a>0，a≠1)是单调函数，复合函数y＝au(其中u 是关于x的函数u(x))的单调性是由y＝au 和u＝u(x)的单调性综 合确定(遵循同增异减的规律)．利用指数函数的单调性，可以 处理有关指数式的比较大小问题，以及某些最简指数方程(不 等式)的求解．
－
1
1
1
7 0.5 10 －2 37 －2 0 (3)(2 ) ＋0.1 ＋(2 ) 3－3π ＋ . 9 27 48
【思路分析】
(1)因为题目中的式子既有根式又有分数指数
幂，先化为分数指数幂以便用法则运算；
(2)、(3)题目中给出的是分数指数幂，先看其是否符合运算法
则的条件，如符合用法则进行下去，如不符合应再创设条 件去求．
例5 已知 f(x)＝ 2 a (ax－a－ x)(a>0 且 a≠1)． a －1
(1)判断 f(x)的奇偶性； (2)讨论 f(x)的单调性； (3)当 x∈[－1,1]时，f(x)≥b 恒成立，求 b 的取值范围．
【思路分析】
(1)首先看函数的定义域而后用奇偶性定义判
断；(2)单调性利用复合函数单调性易于判断，还可用导数解
1 又因为 a>0，所以 a＝ . 3
②当 a>1 时，x∈[－1,1]，t＝a 此时
1 f(t)在a，a上是增函数．
x
1 ∈a，a，
所以 f(t)max＝f(a)＝(a＋1)2－2＝14， 解得 a＝3(a＝－5 舍去)． 1 综上得 a＝ 或 3. 3
探究提高
探究提高
(1)与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数 函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象． (2)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数 型函数图象数形结合求解．
【拓展提升】 1.指数函数y=ax(a>0,a≠1)常见的两种图象变换
(1)平移变换(φ＞0),如图1所示. (2)对称变换,如图2所示.
【思维总结】 指数函数 y＝ax 的单调性取决于 a 与 1 的大小 1x 关系，且 y＝a 与 y＝a ＝( ) 单调性相反． a
x
－x
巩固练习
1 1.求函数 y 3
x 2 3 x 2
的定义域、值域、单调区间。
解：定义域为R．
1 32 1 (x ) , t∈［ , +∞). 4 2 4 ∴值域为(0, 4 3 ］.
指数与指数函数
要点梳理
n
忆一忆知识要点
1．指数幂的概念与性质
(1)( a)n＝__； a n a (2)当 n 为奇数时， an＝___， 根式的性 __ a≥0 a n n 质 |a| 当 n 为偶数时， a ＝___＝ ； ____ a<0 －a 负数 (3)_____没有偶次方根； 0 (4)零的任何次方根都是____. 分数指数 幂的意义
y b y ax
x
y
y cx y dx
0 b a 1 d c
o
x=1
x
例3
1 |x＋ 1| 已知函数 y＝( ) . 3
(1)作出函数的图象(简图)； (2)由图象指出其单调区间； (3)由图象指出当 x 取什么值时有最值，并求出最值．
化简 作出相应基本 由变换 利用图象 【思路分析】 解析式 → 函数的图象 → 得图象 → 得结果 .
考点 1 指数式的化简与求值
在进行幂和根式的化简时，一般是先将根式化成幂的形式， 并化小数指数幂为分数指数幂， 并尽可能地统一成分数指数 幂形式，再利用幂的运算性质进行化简、求值、计算．
例1
2
5 4 5 3 化简：(1)(a5b 5) 2· a ÷ b ；
－ －
8
6
1
a3· 1－2· 2·3 b a－ b (2) ； 6 a·5 b
令t＝x2－3x＋2＝
3 3 t 在(-∞, )上为增函数，在( , +∞)上为减函数. 2 2 1 ∵y=( )t在R上为减函数,根据复合函数的单调性知 3 1 x 2 3x 2 3 3 y= ( ) 在(-∞, )上为增函数，在( +∞)上为减函数. 3 2 2
【拓展提升】 1.指数型复合函数的单调性的求解步骤 (1)求定义域:依据题意明确研究范围. (2)拆分: 把原函数拆分成几个基本函数. (3)定性质:分层逐一求单调性. (4)下结论:根据复合函数的单调性法则，即“同增异减”,
