高考数学二轮复习 专题对点练17 角与距离 理

考向17 任意角、弧度制及任意角的三角函数【2022·全国·高考真题（理）】沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，AB 是以O 为圆心，OA 为半径的圆弧，C 是AB 的中点，D 在AB 上，CD AB ⊥．“会圆术”给出AB 的弧长的近似值s 的计算公式：2CD s AB OA=+．当2,60OA AOB =∠=︒时，s =（ ）A 1133-B 1143-C 933-D 943-【答案】B【解析】解：如图，连接OC ， 因为C 是AB 的中点， 所以OC AB ⊥，又CD AB ⊥，所以,,O C D 三点共线， 即2OD OA OB ===， 又60AOB ∠=︒， 所以2AB OA OB ===， 则3OC =23CD = 所以(2223114322CD s AB OA -=+=+=故选：B ．【2021·北京·高考真题】若点(cos ,sin )A θθ关于y 轴对称点为(cos(),sin())66B ππθθ++，写出θ的一个取值为___．【答案】512π（满足5,12k k Z πθπ=+∈即可）【解析】(cos ,sin )A θθ与cos ,sin 66B ππθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭关y 轴对称，即,6πθθ+关于y 轴对称，2,6k k Z πθθππ++=+∈，则5,12k k Z πθπ=+∈， 当0k =时，可取θ的一个值为512π． 故答案为：512π（满足5,12k k Z πθπ=+∈即可）．（1）利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数()k k Z ∈赋值来求得所需的角． （2）确定()*,k k N kαα∈的终边位置的方法 先写出k α或k α的范围，然后根据k 的可能取值确定k α或kα的终边所在位置． （3）利用三角函数的定义，已知角α终边上一点P 的坐标可求α的三角函数值；已知角α的三角函数值，也可以求出角α终边的位置．（4）判断三角函数值的符号，关键是确定角的终边所在的象限，然后结合三角函数值在各象限的符号确定所求三角函数值的符号，特别要注意不要忽略角的终边在坐标轴上的情况．v三角函数 定义域 第一象限符号 第二象限符号 第三象限符号 第四象限符号sin α R ＋ ＋ － －cos αR ＋ － － ＋tan α,2k k Z πααπ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭∣＋ － ＋ －1．角的概念（1）任意角：①定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角．（2）所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是{}Z k k S ∈+︒⋅==，αββ360． （3）象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．（4）象限角的集合表示方法：2．弧度制（1）定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad 表示，读作弧度．正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0．（2）角度制和弧度制的互化：rad 180π=︒，rad 1801π=︒，π︒=180rad 1．（3）扇形的弧长公式：r l ⋅=α，扇形的面积公式：22121r lr S ⋅==α．3．任意角的三角函数（1）定义：任意角α的终边与单位圆交于点)(y x P ，时，则y =αsin ，x =αcos ，)0(tan ≠=x xyα． （2）推广：三角函数坐标法定义中，若取点P )(y x P ，是角α终边上异于顶点的任一点，设点P 到原点O 的距离为r ，则r y =αsin ，r x =αcos ，)0(tan ≠=x xyα 三角函数的性质如下表：三角函数定义域第一象限符号第二象限符号第三象限符号 第四象限符号 αsin R ＋ ＋ － － αcosR＋－ － ＋ αtan}2|{Z k k ∈+≠，ππαα＋－＋－记忆口诀：三角函数值在各象限的符号规律：一全正、二正弦、三正切、四余弦． 4．三角函数线如下图，设角α的终边与单位圆交于点P ，过P 作PM ⊥x 轴，垂足为M ，过A （1，0）作单位圆的切线与α的终边或终边的反向延长线相交于点T ．三角函数线有向线段MP为正弦线；有向线段OM为余弦线；有向线段AT为正切线1．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（文））掷铁饼是一项体育竞技活动．如图，这是一位掷铁饼运动员在准备掷出铁饼的瞬间，张开的双臂及肩部近似看成一张拉满弦的“弓”．经测量，此时两手掌心之间的弧长是710π，“弓”所在圆的半径为1.05米，则这位掷铁饼运动员两手掌心之间的距离约为（参考数据：2 1.414≈，3 1.732≈）（）A．1.819米B．1.485米C．1.649米D．1.945米【答案】A【解析】根据题意作图如下，由题意知：ADB的长为710π，D为ADB的中点，7201.053AOCππ∴∠==，322 1.05sin2.1 1.81932AB AC π∴==⨯=⨯≈，即所求距离约为1.819米. 故选：A.2．（2022·河南·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知点()0,2A ，点B 在第一象限内，AO AB =，120OAB ∠=︒，将△AOB 绕点O 逆时针旋转，每次旋转60°，则第2022次旋转后，点B 的坐标为（ ）A ．()3,3 B ．)3,3C ．()23,0D ．()23,0-【答案】B【解析】如图所示，过点B 作BH y ⊥轴与点H ，在直角ABH 中，90,18012060,2AHB BAH AB OA ∠=∠=-===， 所以cos 601,33AH AB BH AH ====因为30BOH ∠=，所以223OB BH ==(3,3)B ，由题意1234567(3,3),(23,0),(3,3),(3,3),(23,0),(3,3),(3,3)B B B B B B B ------，所以点的坐标6次一个循环，即周期为6， 又因为20223376=⨯，所以2022(3,3)B . 故选：B.3．（2022·北京·人大附中三模）半径为3的圆的边沿有一点A ，半径为4的圆的边沿有一点B ，A 、B 两点重合后，小圆沿着大圆的边沿滚动，A 、B 两点再次重合小圆滚动的圈数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】设A 、B 两点再次重合小圆滚动的圈数为n ，则236248n n k k ππππ⨯⨯==⨯⨯=，其中k 、N n *∈， 所以，43kn =，则当3k =时，4n =. 故A 、B 两点再次重合小圆滚动的圈数为4. 故选：D.4．（2022·江苏·常州高级中学模拟预测）已知角α的终边在直线3y x =-上，则310sin cos αα+的值为（ ）A ．610-B ．610C ．0D ．310-【答案】C【解析】由题知：cos 0α≠设角α的终边上一点(),3a a -()0a ≠，则22910r a a =+=.当0a >时，10r a =，310sin 10a ==α10cos 10a =α310sin 3103100cos αα+=-=. 当0a <时，10r a =，310sin 10a =-α10cos 10aα==- 310sin 3103100cos αα+=. 故选：C1．（2022·全国·模拟预测）已知()1,7P 是角α的终边上一点，则()sin 2πα-=（ ） A ．725-B ．2425-C ．725D ．2425【答案】C【解析】()1,7P 是角α的终边上一点，由三角函数定义可得 22sin 5217α==+，22cos 5217α=+ 所以()7sin 2sin 22sin cos 2255252παααα-====. 故选：C.2．（2022·广东·深圳市光明区高级中学模拟预测）已知角θ的终边过点()1,1A -，则sin()6πθ-=（ ）A 26+B 26-+C 26-D 26--【答案】D【解析】因为角θ的终边过点()1,1A -，由任意三角形的定义知：22sin θθ== 26sin()sin cos cos sin 666πππθθθ---=-=故选：D.3．（2022·上海市市西中学高三阶段练习）若圆锥的侧面展开图是半径为4，中心角为5π3的扇形，则由它的两条母线所确定的截面面积的最大值为（ ） A 511B ．4C ．8D 2011【答案】C【解析】设圆锥的底面圆半径为r ，圆锥的高为h 则5π2π43r =⨯， 解得：103r =， 设截面在圆锥底面的轨迹2003AB a a ⎛⎫=<≤ ⎪⎝⎭，则截面等腰三角形的高22241644a ah =-=-， 所以截面面积22211616168224442a a a a S ah ⎛⎫==-=-≤= ⎪⎝⎭，当且仅当221644a a=-，即42a =等号成立，故选：C4．（2022·全国·高三专题练习（理））济南市洪家楼天主教堂于2006年5月被国务院列为全国重点文物保护单位.它是典型的哥特式建筑.哥特式建筑的特点之一就是窗门处使用尖拱造型，其结构是由两段不同圆心的圆弧组成的对称图形.如图2，AC 和BC 所在圆的圆心都在线段AB 上，若rad ACB θ∠=，AC b =，则AC 的长度为（ ）A ．2sin2bθθB ．2cos2bθθC ．sin 2bθθ D ．2cos2bθθ【答案】A【解析】过C 作CD AB ⊥，设圆弧AC 的圆心为O ，半径为R ，则AO CO R ==， 在ACD △中，2ACD θ∠=，所以sinsin22AD AC b θθ=⋅=，coscos22CD AC b θθ=⋅=，所以在直角三角形CDO 中，222CD DO CO +=，所以222cos sin 22b R b R θθ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2sin 2b R θ=，而cos2sin =2sin cos =sin 222sin2b CDCOD b COθθθθθ∠==，所以COD θ∠=，所以2sin2b AC R θθθ==.故选：A.5．（2022·全国·高三专题练习（文））电影《流浪地球》中描述了使用发动机推动地球运动的场景．某科学兴趣小组提出了一套新装置：使用一条强度很大的长金属绳索绕地球赤道一周，一端连接强力发动机P 绷紧绳索，为地球提供动力．若绳索比地球赤道长2 cm ，则发动机距地面的高度约为（取地球半径为6 400 km ；当θ很小时，2111cos 2θθ-≈，31tan 3θθθ-≈．）（ ）A ．9 cmB ．11 cmC ．9 mD ．11 m【答案】C【解析】如右图．记地球半径为R ，绳索比地球赤道长2x=0.02，则tan 0.01,.cos R R x RR h θθθ-==⎧⎪⎨-=⎪⎩ 由题述近似可得321,31,2R x R h θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以2339720m 9m 8h x R ==≈．故选：C6．（2022·全国·高三专题练习（理））若α为第一象限角，则sin 2α，cos2α，sin2α，cos2α中必定为正值的有（ ） A ．0个 B ．1个C ．2个D ．3个【答案】B【解析】解：因为α为第一象限角，所以2α为第一或二象限角， 可得：sin20α>，而cos2α符号不确定， 又2α为第一或三象限角， sin 2α∴，cos 2α可以是正数，也可以是负数，它们的符号均不确定综上所述，必定为正值的只有sin 2α一个 故选：B ．7．（2022·全国·高三专题练习）若角α是第一象限角，则2α是（ ） A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第一或第三象限角 D ．第二或第四象限角【答案】C【解析】因为α是第三象限角，所以36036090,k k k Z α⋅<<⋅+∈， 所以18018045,2k k k Z α︒⋅<<⋅+∈，当k 为偶数时，2α是第一象限角， 当k 为奇数时，2α是第三象限角.故选：C ．8．（2022·全国·高三专题练习）设θcos2θ=-，则2θ是（ ） A ．第一象限角 B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角【答案】B【解析】因为()180360270360Z k k k θ+⋅<<+⋅∈， 所以，()90180135180Z 2k k k θ+⋅<<+⋅∈，若k 为奇数，可设()21Z k n n =+∈，则()270360315360Z 2n n k θ+⋅<<+⋅∈，此时2θ为第四象限角；若k 为偶数，可设()2Z k n n =∈，则()90360135360Z 2n n k θ+⋅<<+⋅∈，此时2θ为第二象限角.cos2θ-，则cos02θ≤，故2θ为第二象限角. 故选：B.9．（2022·辽宁·鞍山一中模拟预测）角α的终边过点()3,4P -，则sin 22πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．2425- B ．725- C ．725D ．2425【答案】B【解析】解：2sin 2cos 22cos 12πααα⎛⎫+==- ⎪⎝⎭，由题得3cos 5α==-，所以237sin 22()12525πα⎛⎫+=⨯--=- ⎪⎝⎭. 故选：B10．（2022·全国·南京外国语学校模拟预测）己知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点()1,2P -，则πsin 26α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．B ．CD 【答案】B【解析】角α的终边的经过()1,2P -，所以sinα=cos α== 所以4sin 22sin cos 5ααα==-，23cos 22cos 15αα=-=-，所以πππsin 2sin 2cos cos 2sin 666ααα⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭故选：B ．11．（2022·全国·高三阶段练习）已知α，β，γ是三个互不相同的锐角，则在sin cos αβ+，sin cos βγ+，sin cos γα+）个A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】因为α，β，γ是三个互不相同的锐角， 所以sin cos sin cos sin cos αββγγα+++++πππ444αβγ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++<= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以在sin cos αβ+，sin cos βγ+，sin cos γα+，若令π3α=，π4β=，π6γ=，则sin cos αβ+=+>sin cos βγ+=>sin cos 1γα+=<2个. 故选：C12．（2022·湖北武汉·模拟预测）已知角α的始边与x 轴非负半轴重合，终边上一点()sin3,cos3P ，若02απ≤≤，则α=（ ）A ．3B ．32π- C ．532π- D ．32π-【答案】C【解析】解：因为角α的终边上一点()sin3,cos3P ， 所以cos31tan 0sin 3tan 3α==<， 又cos30,sin30<>， 所以α为第四象限角， 所以23,Z 2k k παπ=+-∈，又因02απ≤≤， 所以532πα=-. 故选：C.13．（2022·北京·首都师范大学附属中学高三开学考试）“角α，β的终边关于y x =轴对称”是“22sin sin 1αβ+=”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若角α，β的终边关于y x =轴对称，则sin α＝cos β，则2222sin sin cos sin =1αβββ+=+； 若22sin sin 1αβ+=，则22sin =cos αβ，则sin α＝±cos β，则角α，β的终边关于y x =或y ＝－x 轴对称； 综上，“角α，β的终边关于y x =轴对称”是“22sin sin 1αβ+=”的充分不必要条件. 故选：A.14．（2022·全国·模拟预测）炎炎夏日，在古代人们乘凉时习惯用的纸叠扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形加工制作而成.如图，扇形纸叠扇完全展开后，扇形ABC 的面积S 为22225cm π，若2BD DA =，则当该纸叠扇的周长C 最小时，BD 的长度为___________cm .【答案】10π【解析】解：设扇形ABC 的半径为r cm ，弧长为l cm ，则扇形面积12S rl =.由题意得212252rl π=，所以2450rl π=.所以纸叠扇的周长2222290060C r l rl ππ=+≥=，当且仅当22,450,r l rl π=⎧⎨=⎩即15r π=，30l π=时，等号成立， 所以()15BD DA cm π+=.又2BD DA =， 所以()1152BD BD cm π+=，所以()3152BD cm π=，故()10BD cm π=. 故答案为：10π15．（2022·浙江绍兴·模拟预测）勒洛三角形是具有类似圆的“定宽性”的面积最小的曲线，它由德国机械工程专家，机构运动学家勒洛首先发现，其作法是：以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．已知等边三角形的边长为1，则勒洛三角形的面积是_______．【答案】π32- 【解析】由题意得，勒洛三角形的面积为：三个圆心角和半径均分别为π3和1的扇形面积之和减去两个边长为1的等边三角形的面积，即221π1ππ33121sin 23232-⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=．故答案为：π32-．16．（2022·山东潍坊·模拟预测）在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于直线y x =对称.若1sin 3α=，则sin()αβ-=___________. 【答案】79-【解析】因在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于直线y x =对称， 则有2,Z 2k k παβπ+=+∈，即2,Z 2k k πβπα=+-∈，而1sin 3α=， 所以，Z k ∈，27sin()sin(22)cos 212sin 29k παβαπαα-=--=-=-+=-. 故答案为：79-17．（2022·上海青浦·二模）已知角α的终边过点()1,2P -，则tan α的值为_________． 【答案】2-【解析】解：因为角α的终边过点()1,2P -， 所以2tan 21y x α===--. 故答案为：-2.18．（2022·全国·模拟预测）已知α为第三象限角，且tan 2α=，则22sin 4cos sin πααα⎛⎫+ ⎪⎝⎭=-______． 10【解析】因为α为第三象限角，且tan 2α=，所以5cos α=，25sin α=，所以()()()()222sin sin cos 21042cos sin cos sin cos sin 2cos sin 2πααααααααααα⎛⎫++ ⎪⎝⎭===--+-． 故答案为：102. 19．（2022·浙江·镇海中学模拟预测）《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》章给出了弧田面积的计算公式．如图所示，弧田是由圆弧AB 及其所对弦AB 围成的图形．若弧田的弦AB 长是2，弧所在圆心角的弧度数也是2，则弧田的弧AB 长为_______，弧田的面积为_________．【答案】2sin1; 211sin 1tan1-. 【解析】由题意可知：111,,sin1sin1tan1tan1======AC BC BC AC AO OC ， 所以弧AB 长122sin1sin1=⨯=，弧田的面积22111111222sin12tan1sin 1tan1⎛⎫=-=⨯⨯-⨯⨯=- ⎪⎝⎭扇形AOB AOB S S ， 故答案为：2sin1；211sin 1tan1-.1．（2022·全国·高考真题（理））沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，AB 是以O 为圆心，OA 为半径的圆弧，C 是AB 的中点，D 在AB 上，CD AB ⊥．“会圆术”给出AB 的弧长的近似值s 的计算公式：2CD s AB OA=+．当2,60OA AOB =∠=︒时，s =（ ）A ．11332- B ．11432- C ．9332- D ．9432- 【答案】B【解析】解：如图，连接OC ， 因为C 是AB 的中点， 所以OC AB ⊥，又CD AB ⊥，所以,,O C D 三点共线， 即2OD OA OB ===， 又60AOB ∠=︒， 所以2AB OA OB ===， 则3OC =，故23CD =-， 所以()22231143222CD s AB OA --=+=+=．故选：B ．2．（2020·山东·高考真题）已知直线sin cos :y x l θθ=+的图像如图所示，则角θ是（ ）A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角【答案】D【解析】结合图像易知，sin 0θ<，cos 0θ>， 则角θ是第四象限角， 故选：D ．3．（2020·全国·高考真题（理））若α为第四象限角，则（ ） A ．cos 2α>0 B ．cos 2α<0 C ．sin 2α>0 D ．sin 2α<0【答案】D【解析】方法一：由α为第四象限角，可得3222,2k k k Z ππαππ+<<+∈， 所以34244,k k k Z ππαππ+<<+∈此时2α的终边落在第三、四象限及y 轴的非正半轴上，所以sin 20α< 故选：D ．方法二：当6πα=-时，cos 2cos 03πα⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，选项B 错误； 当3πα=-时，2cos 2cos 03πα⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，选项A 错误；由α在第四象限可得：sin 0,cos 0αα<>，则sin 22sin cos 0ααα=<，选项C 错误，选项D 正确； 故选：D ．4．（2019·北京·高考真题（文））如图，A ，B 是半径为2的圆周上的定点，P 为圆周上的动点，APB ∠是锐角，大小为β．图中阴影区域的面积的最大值为A ．4β+4cosβB ．4β+4sinβC ．2β+2cosβD ．2β+2sinβ【解析】观察图象可知，当P 为弧AB 的中点时，阴影部分的面积S 取最大值，此时∠BOP =∠AOP =π-β， 面积S 的最大值为2222βππ⨯⨯+S △POB + S △POA =4β+1||sin()2OP OB πβ-‖1||sin()2OP OA πβ+-‖ 42sin 2sin 44sin βββββ=++=+⋅．故选B ．5．（2015·山东·高考真题）终边在y 轴的正半轴上的角的集合是（ ）A ．π2π,2x x k k Z ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭B ．ππ2x x k ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭C ．π2π,2x x k k Z ⎧⎫=-+∈⎨⎬⎩⎭D ．ππ,2x x k k Z ⎧⎫=-+∈⎨⎬⎩⎭【答案】A【解析】终边在y 轴正半轴上的角的集合是π2π,2x k k Z ⎧⎫+∈⎨⎬⎩⎭故选：A6．（2011·全国·高考真题（理））已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos2θ=（ ） A ．45-B ．35 C ．35D ．45【答案】B【解析】由已知条件可知，点()cos ,sin θθ在直线2y x =上，则sin 2cos θθ=，tan 2θ∴=， 所以，22222222cos sin 1tan 3cos 2cos sin cos sin 1tan 5θθθθθθθθθ--=-===-++．7．（2018·北京·高考真题（文））在平面直角坐标系中，,,,AB CD EF GH 是圆221x y +=上的四段弧（如图），点P 在其中一段上，角α以O x 为始边，OP 为终边，若tan cos sin ααα<<，则P 所在的圆弧是A ．AB B ．CDC ．EFD ．GH【答案】C 【解析】 【详解】分析：逐个分析A 、B 、C 、D 四个选项，利用三角函数的三角函数线可得正确结论．详解：由下图可得：有向线段OM 为余弦线，有向线段MP 为正弦线，有向线段AT 为正切线．A 选项：当点P 在AB 上时，cos ,sin x y αα==，cos sin αα∴>，故A 选项错误；B 选项：当点P 在CD 上时，cos ,sin x y αα==，tan yxα=， tan sin cos ααα∴>>，故B 选项错误；C 选项：当点P 在EF 上时，cos ,sin x y αα==，tan y xα=，sin cos tan ααα∴>>，故C 选项正确；D 选项：点P 在GH 上且GH 在第三象限，tan 0,sin 0,cos 0ααα><<，故D 选项错误．综上，故选C ．8．（2014·全国·高考真题（文））已知角α的终边经过点(4,3)-，则cos α=A ．45B ．35C ．35-D ．45- 【答案】D【解析】【详解】试题分析：由题意可知x =-4，y =3，r =5，所以4cos 5x r α==-．故选D ． 考点：三角函数的概念．9．（2021·北京·高考真题）若点(cos ,sin )A θθ关于y 轴对称点为(cos(),sin())66B ππθθ++，写出θ的一个取值为___． 【答案】512π（满足5,12k k Z πθπ=+∈即可） 【解析】(cos ,sin )A θθ与cos ,sin 66B ππθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭关于y 轴对称， 即,6πθθ+关于y 轴对称， 2,6k k Z πθθππ++=+∈， 则5,12k k Z πθπ=+∈， 当0k =时，可取θ的一个值为512π． 故答案为：512π（满足5,12k k Z πθπ=+∈即可）． 10．（2020·浙江·高考真题）已知圆锥的侧面积（单位：2cm ） 为2π，且它的侧面积展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径（单位：cm ）是_______．【答案】1【解析】设圆锥底面半径为r ，母线长为l ，则21222r l r l ππππ⨯⨯=⎧⎪⎨⨯⨯=⨯⨯⨯⎪⎩，解得1,2r l ==．故答案为：111．（2017·北京·高考真题（理））在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称．若1sin 3α=，则cos()αβ-=___________． 【答案】79- 【解析】【详解】试题分析：因为α和β关于y 轴对称，所以π2π,k k αβ+=+∈Z ，那么1sin sin 3βα==，22cos cos 3αβ=-=（或22cos cos 3βα=-=）， 所以()2227cos cos cos sin sin cos sin 2sin 19αβαβαβααα-=+=-+=-=-． 【考点】同角三角函数，诱导公式，两角差的余弦公式12．（2012·山东·高考真题（文））如图，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P 的位置在(0,0)，圆在x 轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于(2,1)时，OP 的坐标为______________．【答案】()2sin 2,1cos2--【解析】【详解】如图，连结AP ，分别过P ，A 作PC ，AB 垂直x 轴于C ，B 点，过A 作AD ⊥PC 于D 点．由题意知BP 的长为2．∵圆的半径为1，∴∠BAP ＝2，故∠DAP ＝2－2π． ∴DP ＝AP ·sin 22π⎛⎫- ⎪⎝⎭＝－cos 2， ∴PC ＝1－cos 2， DA ＝APcos 22π⎛⎫- ⎪⎝⎭＝sin 2． ∴OC ＝2－sin 2． 故OP ＝（2－sin 2，1－cos 2）．。

课时作业(十七) [第17讲 任意角和弧度制及任意角的三角函数](时间：30分钟 分值：80分)1．在下列各组的两个角中，终边不重合的一组是( )A ．－21°与699°B ．180°与－540°C ．470°与590°D ．－90°与990°2．如果角α的终边过点(2sin 30°，－2cos 30°)，则sin α的值等于( ) A.12 B ．－12C ．－32 D ．－333．cos π3－tan 5π4＋34tan 2π6＋sin 11π6＋cos 27π6＋sin 3π2的值等于( ) A ．－1 B ．0C ．1D ．－14 4．若角α的终边落在直线x ＋y ＝0上，则sin α1－sin 2α＋1－cos 2αcos α的值等于( ) A ．2 B ．－2C ．2或－2D ．05．已知角α∈(0，2π)，其正弦线与余弦线的长度相等，但符号相反，那么角α的值是( )A.3π4或5π4B.5π4或7π4C.3π4或7π4D.π4或3π4 6．函数y ＝log sin x (2cos x ＋1)的定义域是( )A ．(2k π－3π4，2k π＋3π4) (k ∈Z ) B ．(2k π，2k π＋3π4) (k ∈Z ) C ．(2k π，2k π＋π2) (k ∈Z ) D ．(2k π，2k π＋π2或2k π＋π2，2k π＋3π4) (k ∈Z ) 7．[2013·河南六市二联] 已知点A (x A ，y A )是单位圆(圆心在坐标原点O )上任意一点，将射线OA 绕O 点逆时针旋转30°到OB ，交单位圆于点B (x B ，y B )，则x A －y B 的最大值为( )A. 2B.32C ．1 D.128．[2013·珠海一中等六校二联] 在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A 的坐标为(3，4)，将向量OA →绕点O 按逆时针方向旋转2π3后得向量OB →，则点B 的坐标是( ) A ．(－32＋2 3，－2－32 3) B ．(－32－2 3，－2＋32 3) C ．(－32＋2 3，－2＋32 3) D ．(－4，3)9．已知角α满足(4k ＋1)π<α<(4k ＋1)π＋π6(k ∈Z )，那么α2是第________象限角，2α是第________象限角．10．已知角α的终边上一点P 与点A (－3，2)关于y 轴对称，角β的终边上一点Q 与点A 关于原点对称，那么sin α＋sin β的值等于________________________________________________________________________．11．若角α和β的终边关于直线x ＋y ＝0对称，且α＝－π3，则角β的集合是________．12．(13分)(1)如果α是第一象限角，那么α3是第几象限角？ (2)如果α是第二象限角，判断sin （cos α）cos （sin α）的符号．13．(12分)扇形AOB 的中心角为2θ，半径为r ，在扇形AOB 中作内切圆O 1及与圆O 1外切，与OA ，OB 相切的圆O 2，问sin θ为何值时，圆O 2的面积最大？最大值是多少？。

17 三角函数一、选择题1．[2018·惠州二调]为了得到函数 ysin 2x 的图象，只需把函数y x sin 2π 6的图象（）π A ．向左平移 12π 个单位长度B ．向右平移12 个单位长度C ．向左平移 π 6个单位长度D ．向右平移 π 6个单位长度2．[2018·遵义航天中学]若 tan3 x ，则4 x πxπtan tan（ ）2 4 2 4 A ． 2 B ．2C ． 3 2D ．3 23．[2018·青岛调研]已知函数f xx2πsin 23，则下列结论错误的是（ ）A ． f x 的最小正周期为 πB ． f x的图象关于直线8π x 对称3C ． f x 的一个零点为π 6πD ． f x在区间0, 上单调递减3π4．[2018宝安调研]函数f xx2sinπ的图象在0,1上恰有两个最大值点，则3的取值范围为（）9πA ．2π,4πB．2π,213π25πC．,6625πD．2π,65．[2018·皖中名校]已知函数f x A x Aπsin0,0,2的最大值为2，其图象相邻两条对称轴之间的距离为π2，且f x的图象关于点π,012对称，则下列判断正确的1是（ ）A ．要得到函数 f x 的图象，只需将 y2 cos 2x 的图象向右平移 π 6个单位 B ．函数 f x 的图象关于直线5x π 对称 12C ．当xπ π , 6 6时，函数 f x 的最小值为 2D ．函数 fx 在 ππ,6 3上单调递增6．[2018·长春质检]函数sin sinf xx πxsinsin 3的最大值为（）A ． 3B ．2C ． 2 3D ．47．[2018·铜仁一中]已知函数 fx cos x sin x 在a ,a上是减函数，则a 的最大值是 （ ）A ．π 4B ．π 2C ．3π4D ． π8．[2018·珠海一中]已知 A 是函数f xxxsin 2018cos 2018的最大值，若存在 ππ63实数 x 1 ， x 2 使得对任意实数 x 总有 f x 1fx f x 2成立，则 Ax 1 x 2 的最小值为（）A ．π 2018π B ．10092π C ．1009D ．π 40369．[2018·武汉联考]如图，己知函数f xA xAπsin0,0,9．[2018·武汉联考]如图，己知函数2的图象关于点2,0M对称，1个单位长3且f x的图象上相邻的最高点与最低点之间的距离为4，将f x的图象向右平移度，得到函数g x的图象；则下列是g x的单调递增区间的为（）27 13 A ． ,3 34 10 B ．, 3 3 1 7 C ．, 3 310 16 D ．,3 310．[2018·江师附中]已知函数 fxsin 2x 2sin 2 x ，给出下列四个结论（）①函数 fx 的最小正周期是 π ；π 5π ②函数 f x在区间,8 8上是减函数； π③函数 f x图像关于,0 8对称； ④函数 f x的图像可由函数 y 2 sin 2x 的图像向右平移 π8个单位，再向下平移1个单位得到．其中正确结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．40,π11．[2018·巴蜀中学]已知 fxsin x（其中 0 ，） f 'xf 'x0 ，122xx 的最小值为 π122f x f π x，3，将 fx的图像向左平移 π 6个单位得 gx ，则 gx的单调递减区间是（）πA．kπ,kπ2π2π，k Z B．，，k Zkπkπ63π5πC．kπ,kπ36π7π，k Z D．kπ,kπ1212，kZ12．[2018·唐山一模]已知函数fx sin x sin3x，x0,2π，则f x的所有零点之和等于（）A．8πB．7πC．6πD．5π二、填空题313．[2018·怀化一模]已知 为第一象限角，sin cos 3，则 cos2019π 23__________．14．[2018·东师附中]已知 tan2，则 cos 2sin2__________．πtan 215．[2018·漳平一中]已知6π 7π，,6 6，则sin cos3cos 23 2 2 22_____．16．[2018·江师附中]已知函数 fx 2sin x1（ 0 ，π ）的一个零点是x π ，且当 πx时， fx 取得最大值，则当 取最小值时，下列说法正确的是36___________．（填写所有正确说法的序号） 2① ； 3 ② f1；③当xπ 5π ,6 3 时，函数 f x 单调递减；7π④函数 f x的图象关于点, 1 12对称．4答 案 与 解 析一、选择题1．【答案】B 【解析】π πy sin 2x sin 2 x12 6π ，故应向右平移12 个单位长度．故选 B ． 2．【答案】Cxxxtan 1 tan 1 4 tanxxπ π2223 【解析】因为 tantan2 tan x2 42 4 1tan 1 tan1 tan2xxx2222，故选 C ． 3．【答案】Bf xx2πsin 2【解析】函数32π ，周期为T π ，故 A 正确； 2 函数图像的对称轴为 2 π x不是对称轴，x 2ππ k ， kZ xπk π ， kZ ， 8π3212 23故 B 不正确； 函数的零点为 2 π k Z x ， k Z ，当 k 1时，得到一个零点为x 2π k ， π k π x 2π k ， π k π3 3 2π 6，故 C 正确；x kk2ππ3π函数的单调递减区间为2π,π322，k Z，解得x的范围为πkπ5kπ,π122122π，k Z，区间0,3是其中的一个子区间，故D正确．故答案为B．4．【答案】C【解析】由题意得，故选C．π5π，π9π，13π25π3232665．【答案】A【解析】因为f x的最大值为2，故A 2，又图象相邻两条对称轴之间的距离为π2T ，π22，故5即2，所以fx 2sin2x，令x π，则ππ即ππk k ，kZ，1266因π，故πf xx，π2sin2266．πππy2cos2x2sin2x2sin2x266，故向右平移π6个单位后可以得到f x x2sin2π6，故A正确；f5π5ππ2sin012665π，故函数图像的对称中心为,012，故B错；当x xππ时，π2ππ2，故fx，故C错；66662min2当ππ时，π2π5πf x xπx x2sin2，632666ππ在,63为减函数，故D错．综上，故选A．6．【答案】A【解析】函数f xx πx 1x 3xx sin sin sin cos sin3223331πsin x cos x3sin x cos x3sin x322226，故最大值为3，故答案为A．7．【答案】A【解析】f 'xsin x cos x，由题设，有f 'x0在a,a上恒成立，所以π2sin x043ππ，故2kπx 2kπ，k Z．443π2kπa4所以πa 2kπ4，因a 0，故k 0即0πa ，a的最大值为4π4，故选A．8．【答案】B6sin 2018 cos 2018f xxxππ 【解析】633 1 1 3 sin 2018x cos2018x cos2018xsin 2018x2 2 2 23 sin 2018 cos 2018 2sin 2018 x xx πx x x π6，，周期 2π π A fxT，max22018 1009又存在实数 x ， x 2 ，对任意实数 x 总有 fx 1 f x fx 2 成立，1，f x 2 f x max 2 f x 1f x min2 ，Ax x 的最小值为 1 πAT，故选 B ．12210099．【答案】D【解析】由图象可知 A 3 ，因为 fx 的图象上相邻的最高点与最低点之间的距离为 4，2T2222所以2 342，解得T 4 ，即 2π4 ，即πw2w ，则f x π x3sin ， 2因为函数 f x 关于点 M 2,0对称，即 f2 0，得π3sin 2 3sin2，f x π x3sin解得0 ，所以2，将 f x的图象向右平移 13 个单位长度，得到 gx 的图象， π 1 π π即g x3sin x3sin x 2 32 6 ， 由2k π x2k πk xk ， k Z ，， kZ ，得 2 4 4 4π π π π 2 26 233当 k 1时，1016x ，即函数的单调增区间为 ,当 k1时，10 1610 163 33 3 ，故选 D ． 10．【答案】Bf xxxxxx πsin 2 2sinsin 2cos 21 2 sin 21 【解析】24函数 f x 的最小正周期 2π πT，故①正确27令ππ 3π，解得 ππ 5ππ2k π 2x 2k πkxk ， 2 428 8π5π当 k 0 时， f x 在区间,8 8上是减函数，故②正确x π ，解得 ππ x ，则 f x图像关于令 2 0, 1x ，则 fx 图像关于4 88对称，故③错误f xx π2 sin 2 1，可以由 f x 2 sin 2x 的图象向左平移4π 8个单位，再向下平移一个单位得到， 故④错误综上，正确的结论有 2个，故选 B ． 11．【答案】 A0, π【解析】∵ f x sin x（其中0 ，2）由f ' xf ' x0 可得，12x ， x 2是函数的极值点， 1∵ x 1 x 2 的最小值为π 2，∴1 π π ，2 ， f x sin 2x ， T 2 2f x f xπ又，∴ fx 的图象的对称轴为 x π ， 2 π π πk ， k Z ， 6 6 23令k 0可得πf x x，πsin266，将f x的图象向左平移π6ππ个单位得g x xxsin2cos266的图象，令2kπ2x 2kππ，πππk x k，2πkπ,kπ则g x cos2x的单调递减区间是2，k Z，故选A．12．【答案】B【解析】由已知函数fx sin x sin3x，x0,2π，令fx0，即sin x sin3x 0，即8sin x sin 3xsin x cos 2x cos x sin 2x sin x cos 2x 2sin x cos 2 x ，即sin x cos 2x 2 cos x10 ，解得sin x 0 或 cos 2x 2cos 2 x10 ，2当sin x 0 ，x 0, 2π时，x0 或 x π 或 x 2π ；当 cos 2x 2cos 2 x10 时，即 2cos 2 x 2cos 2 x 2 0 ，解得 cos2x，2又由 x0, 2π，解得x π 或 3π 44或 5π 4或 7π 4 ， 所以函数 fx的所有零点之和为 0 π 3π π 5π 7π 2π 7π，故选 B ． 4 4 4 4二、填空题13．【答案】 53【解析】 cos 2019π 2cos2 ，因为sincos，3 ，所以1sin2 1 ， sin2233 33 因为sin cos0 ， 为第一象限角， 3所以 2 π2 πkk， kZ ，kπk π ， kZ ， 4 π π 24 π π4225 所以 cos2 ，故答案为35 3．14．【答案】1cos2sincos 12tan 1 2 2 2【解析】tan 2 ，原式1． sincostan1 212222故答案为 1． 15．【答案】5513ππ【解析】原式sin cos sincos2236，π7π因为,66π，所以，因0,π6πtan26π5，所以cos65，填55．16．【答案】①④【解析】函数fx 2sin x1（0，π）的一个零点是πx，39则fππ2sin 1 0 33π1sin，32，或 5π 2ππ π ππZ ，2k πk k2n π nZ ，36662 22 两式相减得4 kn，又，则，min33 此时 2π 5π ， kn ，11π2 π 2k πk ， 9 6 18 又π ，则11πf xx，211π， 2sin118318当xπ 5π ,6 37π时，函数 f x 先减后增，函数 f x的图象关于点, 1 12对称， 11π f0 2sin1 1，18故填①④．10。

考点突破练15 圆锥曲线中的定点、定值、证明问题1.(2022·湖南岳阳质检二)已知椭圆C :y 2a 2+x 2b 2=1(a>b>0),F 为上焦点,左顶点P 到F 的距离为√2,且离心率为√22,设O 为坐标原点,点M 的坐标为(0,2). (1)求椭圆C 的标准方程;(2)若过F 的直线l 与C 交于A ,B 两点,证明:∠OMA=∠OMB.2.(2022·陕西西安四区县联考一)已知抛物线x 2=ay (a>0),过点M 0,a2作两条互相垂直的直线l 1,l 2,设l 1,l 2分别与抛物线相交于A ,B 及C ,D 两点,当A 点的横坐标为2时,抛物线在点A 处的切线斜率为1. (1)求抛物线的方程;(2)设线段AB ,CD 的中点分别为E ,F ,O 为坐标原点,求证:直线EF 过定点.3.(2022·北京石景山一模)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的短轴长等于2√3,离心率e=12. (1)求椭圆C 的标准方程;(2)过右焦点F 作斜率为k 的直线l ,与椭圆C 交于A ,B 两点,线段AB 的垂直平分线交x 轴于点P ,判断|PF ||AB |是否为定值,请说明理由.4.(2022·全国乙·理20)已知椭圆E 的中心为坐标原点,对称轴为x 轴、y 轴,且过A (0,-2),B (32,-1)两点. (1)求E 的方程;(2)设过点P (1,-2)的直线交E 于M ,N 两点,过M 且平行于x 轴的直线与线段AB 交于点T ,点H 满足MT ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =TH ⃗⃗⃗⃗⃗ .证明:直线HN 过定点.5.(2022·河南濮阳一模)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的离心率e=√32,且圆x 2+y 2=2过椭圆C 的上、下顶点.(1)求椭圆C 的方程;(2)若直线l 的斜率为12,且直线l 与椭圆C 相交于P ,Q 两点,点P 关于原点的对称点为E ,点A (-2,1)是椭圆C 上一点,若直线AE 与AQ 的斜率分别为k AE ,k AQ ,证明:k AE ·k AQ ≤0.6.(2022·广西柳州三模)已知点A (2,√3),B (-2,-√3),点M 与y 轴的距离记为d ,且点M 满足MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =d24-1,记点M 的轨迹为曲线W. (1)求曲线W 的方程;(2)设点P 为x 轴上除原点O 外的一点,过点P 作直线l 1,l 2,l 1交曲线W 于C ,D 两点,l 2交曲线W 于E ,F 两点,G ,H 分别为CD ,EF 的中点,过点P 作x 轴的垂线交GH 于点N ,设CD ,EF ,ON 的斜率分别为k 1,k 2,k 3,求证:k 3(k 1+k 2)为定值.考点突破练15 圆锥曲线中的定点、定值、证明问题1.(1)解 左顶点P 到F 的距离为√2,可得a=√2,又e=ca=√22,故c=1,从而b=1.∴椭圆C 的标准方程为y 22+x 2=1.(2)证明 当l 与y 轴重合时,∠OMA=∠OMB=0°.当l 与y 轴不重合时,设l 的方程为y=kx+1,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),直线MA ,MB 的斜率之和为k MA +k MB =y 1-2x 1+y 2-2x 2=kx 1-1x 1+kx 2-1x 2=2k-(1x 1+1x 2)=2k-x 1+x 2x 1x 2,联立方程{y =kx +1,y 22+x 2=1,可得(2+k 2)x 2+2kx-1=0,x 1+x 2=-2k 2+k2,x 1x 2=-12+k2,∴2k-x 1+x 2x 1x 2=2k-2k=0,从而k MA +k MB =0,故直线MA ,MB 的倾斜角互补,∴∠OMA=∠OMB. 综上,∠OMA=∠OMB. 2.(1)解 ∵y'=2xa ,由题意得2×2a=1,∴a=4,∴抛物线的方程为x 2=4y. (2)证明 由题意得直线l 1,l 2的斜率都存在且都不为0,由M (0,2),可设直线AB 的方程为y=kx+2(k ≠0), 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由{y =kx +2,x 2=4y ,得x 2-4kx-8=0,则x 1+x 2=4k ,∴y 1+y 2=k (x 1+x 2)+4=4k 2+4,∴AB 的中点E (2k ,2k 2+2).∵l 1⊥l 2,∴直线CD 的斜率为-1k,同理可得CD 的中点F -2k ,2k2+2,∴EF 的方程为y-(2k 2+2)=2k 2+2-2k 2-22k+2k(x-2k ),化简整理得y=k-1k x+4, ∴直线EF 恒过定点(0,4).3.解 (1)由题意得b=√3,e=√1-b 2a 2=√1-3a 2=12,解得a=2,所以椭圆的方程为x 24+y23=1.(2)是定值.理由如下:由椭圆的方程x 24+y 23=1,得右焦点F (1,0),设直线l 的方程为y=k (x-1),A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 由{y =k (x -1),x 24+y23=1,得(3+4k 2)x 2-8k 2x+4k 2-12=0,则x 1+x 2=8k 23+4k 2,x 1x 2=4k 2-123+4k 2, |AB|=√1+k 2|x1-x 2|=√1+k 2√(x 1+x 2)2-4x 1x 2=12(1+k 2)3+4k 2,设线段AB 的中点为D (x 0,y 0),则x 0=x 1+x 22=4k 23+4k2,则y 0=k (x 0-1)=-3k3+4k2,即D (4k 23+4k2,-3k 3+4k 2),所以直线l 的中垂线的方程为y--3k3+4k2=-1k x-4k 23+4k 2.令y=0,得x P =k 23+4k 2,所以|PF|=|x P -1|=|k 23+4k 2-1|=3(k 2+1)3+4k 2,所以|PF ||AB |=3(k 2+1)3+4k 212(1+k 2)3+4k2=14. 4.(1)解 设椭圆E 的方程为mx 2+ny 2=1(m>0,n>0), 则{4n =1,94m +n =1,解得{m =13,n =14. 故椭圆E 的方程为x 23+y 24=1. (2)证明 由点A (0,-2),B (32,-1),可知直线AB 的方程为y=23x-2.当过点P 的直线MN 的斜率不存在时,直线MN 的方程为x=1.由{x =1,x 23+y 24=1,解得{x =1,y =2√63或{x =1,y =-2√63,则点M (1,-2√63),N (1,2√63). 将y=-2√63代入y=23x-2,得x=3-√6,则点T (3-√6,-2√63). 又MT ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =TH ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以点H (5-2√6,-2√63),所以直线HN 的方程为y-2√63=-2√63-2√635-2√6-1x-1),即y=(2√63+2)x-2, 所以直线HN 过点(0,-2).当过点P 的直线MN 的斜率存在时,设直线MN 的方程为y+2=k (x-1),点M (x 1,y 1),N (x 2,y 2). 由{y +2=k (x -1),x 23+y 24=1,消去y ,得(4+3k 2)x 2-6k (k+2)x+3k (k+4)=0,则Δ>0,x 1+x 2=6k (k+2)4+3k 2,x 1x 2=3k (k+4)4+3k 2. 将y=y 1代入y=23x-2,得x=32(y 1+2),则点T (32(y 1+2),y 1).又MT ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =TH ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以点H (3y 1+6-x 1,y 1).所以直线HN 的方程为(3y 1+6-x 1-x 2)(y-y 2)=(y 1-y 2)(x-x 2),即(3y 1+6-x 1-x 2)(y-y 2)-(y 1-y 2)(x-x 2)=0.将x=0,y=-2代入上式,整理得12-2(x 1+x 2)+3y 1y 2+6(y 1+y 2)-x 1y 2-x 2y 1=0.(*) 因为x 1+x 2=6k (k+2)4+3k2,x 1x 2=3k (k+4)4+3k2,所以y 1+y 2=k (x 1-1)-2+k (x 2-1)-2=-8k -164+3k 2,x 1y 2+x 2y 1=x 1[k (x 2-1)-2]+x 2[k (x 1-1)-2]=-24k4+3k 2,y 1y 2=[k (x 1-1)-2][k (x 2-1)-2]=-8k 2+16k+164+3k 2,所以(*)式左边=12-12k (k+2)4+3k2+-24k 2+48k+484+3k2+-48k -964+3k2−-24k 4+3k 2=0=右边,即(*)式成立.所以直线HN 过点(0,-2).综上所述,直线HN 恒过定点(0,-2).5.(1)解 由题可知{b =√2,c a =√32,a 2=b 2+c 2,解得a=2√2,b=√2,∴椭圆C 的方程为x 28+y 22=1. (2)证明 设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),则E (-x 1,-y 1).设直线l 为y=12x+t ,代入椭圆方程得x 2+2tx+2t 2-4=0,则Δ=4t 2-4(2t 2-4)>0,解得-2<t<2,x 1+x 2=-2t ,x 1x 2=2t 2-4,则k AE +k AQ =y 2-1x 2+2+-y 1-1-x 1+2=(2-x 1)(y 2-1)-(2+x 2)(y 1+1)(2+x 2)(2-x 1),又y 1=12x 1+t ,y 2=12x 2+t ,∴(2-x 1)(y 2-1)-(2+x 2)(y 1+1)=2(y 2-y 1)-(x 1y 2+x 2y 1)+x 1-x 2-4=x 2-x 1-(x 1x 2+tx 1+tx 2)+x 1-x 2-4=-x 1x 2-t (x 1+x 2)-4=-(2t 2-4)-t (-2t )-4=0,即k AE +k AQ =0,∴k AE =-k AQ .于是k AE ·k AQ =-k AQ 2≤0.6.(1)解 设M (x ,y ),由题意得d=|x|,MA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2-x ,√3-y ),MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2-x ,-√3-y ), ∵MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =d 24-1,∴(2-x ,√3-y )·(-2-x ,-√3-y )=d 24-1,∴x 2-4+y 2-3=x 24-1.∴3x24+y 2=6,M 的轨迹方程为x 28+y 26=1. (2)证法一 显然GH 斜率存在,设P (x 0,0),设GH 的方程为y=k 4x+m ,由题意知CD 的方程为y=k 1(x-x 0),联立方程{y =k 1(x -x 0),y =k 4x +m ,解得{x =k 1x 0+mk 1-k 4,y =k 1(k 4x 0+m )k 1-k 4,可得G k 1x 0+m k 1-k 4,k 1(k 4x 0+m )k 1-k4,设C (x C ,y C ),D (x D ,y D ),则有x C28+y C26=1,x D28+y D26=1,两式相减得:x C 2-x D28+y C 2-y D26=0,则有k 1=y C -y D x C-x D=-34·x C +xD y C+y D,又G 为CD 中点,则有k 1=-34·k 1x 0+mk1(k 4x 0+m ),将G 坐标代入CD 的方程可得4(k 4x 0+m )k 12+3x 0k 1+3m=0,同理可得4(k 4x 0+m )k 22+3x 0k 2+3m=0,故k 1,k 2为关于k 的方程4(k 4x 0+m )k 2+3x 0k+3m=0的两实根. 由韦达定理得k 1+k 2=-3x 04(k4x 0+m ).将x=x 0代入直线GH :y=k 4x+m ,可得N (x 0,k 4x 0+m ),故有k 3=k 4x 0+m x 0,则k 3(k 1+k 2)=k 4x 0+m x 0[-3x 04(k 4x 0+m )]=-34, 故k 3(k 1+k 2)为定值-34.证法二 由题意知直线CD ,EF ,ON 的斜率都存在,分别为k 1,k 2,k 3,设P (t ,0),N (t ,k 3t )(t ≠0),则直线CD ,EF 的方程分别为y=k 1(x-t ),y=k 2(x-t ),两直线分别与曲线W 相交,联立方程{y =k 1(x -t ),x 28+y 26=1,得(6+8k 12)x 2-16k 12tx+8k 12t 2-48=0,解得{x G =x 1+x 22=4k 12t3+4k 12,y G =-3k 1t3+4k 12,可得G (4k 12t3+4k 12,-3k 1t3+4k 12),同理可得H (4k 22t3+4k 22,-3k 2t3+4k 22),。

高考数学二轮复习专题指导与训练选择题、填空题 78分练（一）一、选择题 ( 本大题共10 小题 , 每题 5 分 , 共 50 分 . 在每题给出的四个选项中, 只有一项为哪一项切合题目要求的 )1. 设会合 M={x|x<2014},N={x|0<x<1},则以下关系中正确的选项是()A.M∪ N=RB.M∩ N={x|0<x<1}C.N∈ MD.M∩ N=【分析】选 B.M∩ N={x|x<2014} ∩ {x|0<x<1}={x|0<x<1}.2. 命题 p: 若 a· b>0, 则 a 与 b 的夹角为锐角 ; 命题 q: 若函数 f(x)在(-∞ ,0]及(0,+∞ )上都是减函数,则f(x)在 (- ∞ ,+ ∞) 上是减函数 . 以下说法中正确的选项是()A. “ p 或 q”是真命题B. “ p 或 q”是假命题C. p 为假命题D. q 为假命题【分析】选 B. 当 a·b=| a|| b| 时, a 与 b 的夹角为0, 不是锐角 , 故命题 p 是假命题 .当 f(x)=时,知足在(-∞ ,0]及(0,+∞ )上都是减函数, 但 f(x) 在 (- ∞ ,+ ∞ ) 上不是减函数 , 故命题 q 是假命题 , 综上知“ p 或 q”是假命题 .3. 函数 y=+的定义域是 ()A.(0,2]B.(0,2)C.(1,2)D.[1,2)【分析】选 D. 由题意知 ,解得1≤ x<2.4. 已知 {a n} 是由正数构成的等比数列,S n表示 {a n} 的前 n 项的和 , 若 a1=3,a 2a4=144, 则 S5的值是()A. B.69 C.93 D.189【分析】选 C. 由于 {a n} 是由正数构成的等比数列, 因此=a2a4=144, 即 a3=12. 又由于a1=3, 因此 q=2, 因此S5 ==93.5.(2014 ·金华模拟 ) 已知双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率为, 则双曲线的渐近线方程为()A.y= ±xB.y= ±xC.y= ± 2xD.y= ±x【分析】选 A. 由题意得 , 双曲线的离心率e= =,故=, 故双曲线的渐近线方程为y=±x.【加固训练】双曲线-=1 的离心率为e=2, 则 m=()A.24B.36C.48D.60【分析】选 C. 由题意知a2=16, 即 a=4,又 e=2, 因此 c=2a=8, 则 m=c2-a 2=48.6.(2014 ·北京高考 ) 若 x,y 知足且z=y-x的最小值为-4,则k的值为()A.2B.-2C.D.-【解题提示】作出可行域,l0:y-x=0,向右下平移取最小值.【分析】选 D. 如图 , 作出可行域 ,向右下平移l 0:y-x=0,过点A时,z取最小值.此时x=-,y=0,因此 0+ =-4, 解得 k=-.7.(2014 ·舟山模拟 ) 函数 f(x)=Asin(ω x+φ )+B的一部分图象以下图, 则 f(-1)+ f(13)=()A.3B.2C.D.【分析】选 B. 由图象可知即T==4, 因此ω =,因此 f (x)= sin+1.又由于 f(2)=1,且(2,1)是“五点作图”中的第三个点,因此× 2+φ =(2k+1) π ,k ∈ Z, 即φ =2kπ ,k ∈Z,因此 f(x)=sin x+1,则 f(-1)=sin+1= ,f(13)=sinπ +1=, 因此 f(-1)+f(13)=+=2.8.(2014 ·温州模拟 ) 某几何体的三视图以下图, 则该几何体的体积是()A.4B.3C.D.【分析】选 D.由三视图可知: 原几何体为四棱柱, 四棱柱的高为1, 上下底面为直角梯形, 直角梯形的两底边分别为 1 和 2, 高为 1, 因此这个几何体的体积为 V= ××1× 1= .9. 若对随意正数x, 均有 a2<1+x, 则实数 a 的取值范围是()A.[-1,1]B.(-1,1)C.[-,]D.(-,)22【分析】选 A. 依题意 ,a <1+x 对随意正数 x 恒建立 , 则 a ≤ 1,求得 -1 ≤ a≤ 1.10. 把一个皮球放入以下图的由8 根长均为 20cm的铁丝接成的四棱锥形骨架内, 使皮球的表面与8 根铁丝都相切 , 则皮球的半径为()A.10cmB.10 cmC.10cmD.30 cm【分析】选 B. 由于底面是一个正方形, 一共有四条棱 , 又正方形的中心到四条棱的距离为10, 因此皮球的表面与 8 根铁丝都有接触点时, 球心为底面正方形的中心, 因此球的半径是10cm.二、填空题 ( 本大题共7 小题 , 每题 4 分, 共 28 分 . 把答案填在题中横线上)11.(2014 ·郑州模拟 ) 已知向量 a=(1,x), b=(x 2,2), 则 (2 a) ·b 的最小值为.【分析】由于 (2 a) ·b=2(1,x)·(x2,2)=2(x2+2x)=2(x+1)2-2,因此 (2 a) ·b 的最小值为 -2.12. 若变量 x,y 知足拘束条件则z=x+2y的最小值为.【分析】依据得可行域如图中暗影部分所示, 依据 z=x+2y 得 y=- + , 平移直线 y=-,在 M点处 z 获得最小值 . 依据得此时z=4+2× (-5)=-6.答案:-613. 已知正项等比数列{a n} 中 ,a 1=3,a 3=243, 若数列 {b n} 知足b n=log 3a n, 则数列的前n 项和S n =.【分析】设数列 {a n} 的公比为q(q>0),2由于 a3=a1q , 解得 q=9,n-1n-12n-1因此 a =a q=3×9 =3 ,n1因此 b n=log 3a n=log 332n-1 =2n-1,因此==,因此数列的前n 项和 S n=+ +===×=.答案 :14. 设 A,B,C,D是椭圆+=1(a>b>0) 的四个极点 , 四边形ABCD有一个内角为120° , 则椭圆的离心率为.【分析】由题意知四边形ABCD是一个菱形 , 又 a>b>0, 因此 tan30 °= =, 则== , 因此 e=.答案 :15. 若函数y=f(x)(x∈ R)知足f(x+2)=f(x),且x∈(-1,1]时,f(x)=1-x2,函数g(x)=则函数h(x)=f(x)-g(x)在区间[-5,5]上零点的个数是.【分析】由图象可知有8 个交点 .答案:816. 设 x 为实数 ,[ x] 为不超出实数x 的最大整数 , 记 {x}=x-[x],则{x}的取值范围为[0,1),现定义无量数列{a n} 以下 :a 1={a}, 当 a n≠ 0 时,a n+1=; 当 a n=0 时 ,a n+1=0. 当<a≤时,对随意的自然数n 都有 a n=a, 则实数 a 的值为.【分析】当<a≤时,2≤<3.a1 ={a}=a,a 2== -2.由于当<a≤时,对随意自然数n 都有 a n=a,因此 a= -2, 即 a2+2a-1=0,因此 a=-1 或 a=--1( 不合题意 , 舍去 )答案:-117.(2014 ·宁波模拟 ) 正实数x1,x 2及函数f(x)知足4x=且f(x1)+f(x2)=1,则f(x1+x2)的最小值为.【分析】由于 4x =,因此 f(x)=.由于 f(x )+f(x2)=1,1因此+=1,通分并化为整式得-3=+≥ 2·,即-2-3 ≥0,(-3)(+1)≥ 0 得≥ 3 或≤-1( 舍),f(x1+x )==1-2≥1-=.答案 :。

专题七 三角函数的概念、图像和性质一、多选题1．（2020·湖南永州市·高三月考）已知函数()sin f x x x ωω=(0>ω)相邻的最高点的距离为2π，则下列结论正确的是（ ） A ．函数()y f x =的图象关于点2,03π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称 B ．函数()y f x =的图象关于直线12x π=对称C ．函数()f x 在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为[1，2] D ．将函数()y f x =的图象上所有点的横坐标缩短为原来的12，然后向左平移4π个单位得72sin 212y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭2．（2020·湖北黄石市·黄石二中高三月考）设函数()2sin sin 2cos2f x x x =++，给出下列四个结论：则正确结论的序号为（ ） A ．()20f >B ．()f x 在53,2ππ⎛⎫--⎪⎝⎭上单调递增 C ．()f x 的值域为[]12cos2,32cos2-++ D ．()f x 在[]0,2π上的所有零点之和为4π3．（2020·重庆高一月考）已知函数()(sin cos )sin cos f x x x x x =+-，下列说法正确的是（ ） A ．()f x 是周期函数B ．若()()122f x f x +=，则12k 2x x π+=()k ∈Z C ．()f x 在区间,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数 D ．函数()()1g x f x =+在区间[0,2]π上有且仅有1个零点4．（2020·江苏省黄桥中学高三月考）关于函数()24cos 4sin cos 6f x x x x π⎛⎫=++⎪⎝⎭，下列说法正确的是（ ）A ．若12,x x 是函数()f x 的零点，则12x x -是2π的整数倍 B ．函数()f x 的图象关于点,16π⎛⎫-⎪⎝⎭对称C ．函数()f x 的图象与函数216y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图象相同D ．函数()f x 的图象可由2y x =的图象先向上平移1个单位长度，再向左平移3π个单位长度得到 二、单选题5．（2020·浙江高一期末）已知函数()cos(2)f x x ϕ=+()R ϕ∈，若()3f x f x π⎛⎫-=⎪⎝⎭且()2f f ππ⎛⎫>⎪⎝⎭，则函()f x 数取得最大值时x 的可能值为（ ） A ．23π B ．6π C ．3π D ．2π 6．（2020·四川攀枝花市·（文））关于函数()cos |||sin |f x x x =+的下述四个结论中，正确的是（ ） A ．()f x 是奇函数 B ．()f x 的最大值为2 C ．()f x 在[,]-ππ有3个零点 D ．()f x 在区间π0,4⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 7．（2020·全国高三其他模拟（理））已知函数()2sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的部分图象如图所示，点(A ，,03B π⎛⎫⎪⎝⎭，则下列说法错误的是（ ） A ．直线12x π=是()f x 图象的一条对称轴B ．()f x 的最小正周期为πC ．()f x 在区间,312ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增 D ．()f x 的图象可由2sin 2g xx 向左平移3π个单位而得到8．（2020·云南师大附中高三月考（文））已知()2sin cos f x x x =，下列结论中错误的是（ ）A ．()f x 即是奇函数也是周期函数B ．()f x 的最大值为3C ．()f x 的图象关于直线2x π=对称D ．()f x 的图象关于点(),0π中心对称9．（2020·浙江高一单元测试）已知函数()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的一条对称轴与相邻的一个对称中心的距离为4π，将其向右平移6π后得到函数()g x 的图象，若函数()g x 的图象在区间3[,]4ππ上单调递增，则ϕ的取值范围为（ ） A ．,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．5,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．2,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 10．（2020·安徽宣城市·高三其他模拟（文））如图，O 与x 轴的正半轴交点为A ，点B ，C 在O 上，且43,55B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，点C 在第一象限，,1AOC BC α∠==，则5cos 6πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．45-B ．35C ．35D ．4511．（2020·广东中山市·高一期末）已知函数()2cos f x x = ([0,]x π∈) 的图象与函数()3tan g x x =的图象交于A ，B 两点，则OAB ∆（O 为坐标原点）的面积为（ ）A ．4π B ．4C ．2π D ．212．（2020·全国高三其他模拟（文））已知函数()()()2cos 22f x x x πϕϕϕ⎛⎫=+++< ⎪⎝⎭图象关于直线0x =对称，由此条件给出5个结论：①()f x 的值域为[]2,2-；②()f x 图像关于点3,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称；③()f x 的图像向右平移6π后可得到()2cos 23g x x π=-⎛⎫ ⎪⎝⎭；④()f x 在区间0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减；⑤0ϕ=且4f π⎛⎫= ⎪⎝⎭） A ．①②③④B ．①③④⑤C ．②③⑤D ．③④⑤13．（2020·全国高三专题练习（理））已知函数()sin (,06f x x x R πωω⎛⎫=+∈> ⎪⎝⎭）的最小正周期为π，将()f x 的图象向右平移φ(φ0)>个单位长度，所得图象关于y 轴对称，则φ的一个值是 A ．23πB ．3π C ．4π D ．8π 14．（2020·全国高一课时练习）将函数()2cos2f x x =的图象向右平移个6π单位后得到函数()g x 的图象，若函数()g x 在区间[0,]3a和7[2,]6a π上均单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[,]32ππB ．[,]62ππC ．[,]63ππD ．3[,]48ππ15．（2020·江苏高一课时练习）已知函数()sin()(0,)2f x wx w πϕϕ=+><的最小正周期为π，其图象关于直线6x π=对称．给出下面四个结论：①将()f x 的图象向右平移6π个单位长度后得到函数图象关于原点对称；②点5(,0)12π为()f x 图象的一个对称中心；③1()42f π=；④()f x 在区间[0,]6π上单调递增．其中正确的结论为（ ） A ．①②B ．②③C ．②④D ．①④16．（2020·全国高三专题练习）已知函数()sin cos sin cos f x x x x x =++-，下列结论正确的是（ ） A ．函数图像关于4x π=对称B ．函数在,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 C ．若()()124f x f x +=，则()1222x x k k Z ππ+=+∈D ．函数()f x 的最小值为2-17．（2020·江西赣州市·高三月考（理））已知曲线()sin cos f x x m x ωω=+，()m R ∈相邻对称轴之间的距离为2π，且函数()f x 在0x x =处取得最大值，则下列命题正确的是（ ）①当0,126x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，m 的取值范围是⎣； ②将()f x 的图象向左平移04x 个单位后所对应的函数为偶函数； ③函数()()y f x f x =+的最小正周期为π； ④函数()()y f x f x =+在区间00,3x x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭上有且仅有一个零点. A ．①②B ．①③C ．①③④D ．②④18．（2020·湖南长沙市·长沙一中高三月考（理））已知函数()2sin()(0)f x x ωϕω=+>满足23f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，()0f π=，且()f x 在区间5,312ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调，则ω的取值个数为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．1019．（2020·广西柳州市·高三三模（文））若函数()()()2sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的相邻两条对称轴间的距离为2π，且在6x π=取得最大值2，则4f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）AB ．1C ．2D20．（2020·全国高三专题练习）已知函数1()sin (0)62f x x πωω⎛⎫=--> ⎪⎝⎭，若函数()f x在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上有且只有两个零点，则ω的取值范围为（ ）A ．2,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．2,23⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．142,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．142,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭21．（2020·全国高三月考（理））已知向量(22cos m x =，()1,sin 2n x =，设函数()1f x m n =⋅-，则下列关于函数()y f x =的性质的描述正确的是( )A ．关于直线12x π=对称B ．关于点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 C ．周期为2πD ．在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭上是增函数22．（2019·四川成都市·双流中学高三月考（理））已知函数()g x 的图象是由()3sin 24f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位长度得到的，若函数()g x 在区间,2a π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则a 的最大值为（ ） A ．83πB ．52πC ．3πD ．73π 第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 三、解答题23．（2021·山西太原市·高一期末）已知函数()22sin cos 6f x x x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭． （1）当0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的最大值和最小值； （2）若不等式()1f x m -<在,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，求实数m 的取值范围． 24．（2020·深圳实验学校高三月考）已知函数2())2sin 1(0,0)2x f x x πωϕωϕωϕ+⎛⎫++-><< ⎪⎝⎭为奇函数，且()f x 图象的相邻两对称轴间的距离为π2. （1）当[,]24ππx ∈-时，求()f x 的单调递减区间； （2）将函数()f x 的图象向右平移π6个单位长度，再把横坐标缩小为原来的12 （纵坐标变），得到函数()y g x =的图象，当[,]126ππx ∈-时，求函数()g x 的值域. （3）（*）对于第（2）问中的函数()g x ，记方程4()3g x =在4[,]63ππx ∈上的根从小到依次为1x ，2x ，n x ，试确定n 的值，并求1231222n n x x x x x -+++++的值.25．（2020·新绛县第二中学高一月考）已知函数()12sin 23f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，. （1）求()f x 的最大值和最小值；（2）若不等式()2f x m -<在42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，上恒成立，求实数m 的取值范围.26．（2019·湖北黄石市·高二月考）某公园欲将一块空地规划成如图所示的区域，其中在边长为20米的正方形EFGH 内种植经红色郁金香，在正方形ABCD 的剩余部分（即四个直角三角形内）种植黄色郁金香．现要在以AB 为边长的矩形ABMN 内种植绿色草坪，要求绿色草坪的面积等于黄色郁金香的面积．设GFB θ∠=，AN y =米．（1）求y 与θ之间的函数关系式；（2）求AN 的最大值．27．（2020·全国高三专题练习（理））已知0a >，函数()2sin(2)26f x a x a b π=-+++，当[0,]2x π∈时，()51f x -≤≤. （1）求常数,a b 的值； （2）设()()2g x f x π=+且()lg 0g x >，求()g x 的单调区间.28．（2020·安徽高二月考）若函数()()πcos 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的一个零点和与之相邻的对称轴之间的距离为π4，且当2π3x =时，()f x 取得最小值.（1）求()f x 的解析式；（2）若π5π,46x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求()f x 的值域. 29．（2020·陕西高一期末）已知函数()2sin 213f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭． （1）求()f x 的单调递增区间； （2）当713,1212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，关于x 的方程22[()](21)()0f x m f x m m -+++=恰有三个不同的实数根，求m 的取值范围．30．（2020·山西大同市·大同一中高一月考）如图，矩形ABCD 的长AD =宽1AB =，,A D 两点分别在x 轴，y 轴的正半轴上移动，, B C 两点在第一象限.求2OB 的最大值.31．（2020·江苏高三二模）已知函数()()()sin f x A x x R ωϕ=+∈（其中0A >，0>ω，02πϕ<<）的图象与x 轴的相邻两个交点之间的距离为2π，且图象上一个最低点为2,23M π⎛⎫-⎪⎝⎭. （1）求()f x 的解析式；（2）当,122x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的最大值及相应的x 的值. 32．（2017·黑龙江哈尔滨市·哈尔滨三中高三期中（理））已知函数()221468x x f x sin cos πππ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭.（1）求()f x 的最小正周期； （2）求当04x ≤≤时，()f x 的值域. 四、填空题33．（2019·台州市黄岩中学高一月考）函数()()()1sin 1(13)f x x x x π=---<<的所有零点之和为________.34．（2020·全国高三专题练习）已知函数2sin 3y x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭(0>ω)在区间,3ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有且仅有一个零点，则ω的取值范围为______. 35．（2020·全国）函数()13sin cos cos 222f x x x x π⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭的最小值为___________________．36．（2020·全国）已知函数()()()sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<，对任意x ∈R ,()()2f x f x +=-，将函数()f x 的图象向右平移13个单位后，所得图象关于原点中心对称，则函数()y f x =在0,1上的值域为_______. 37．（2020·上海市七宝中学高一期中）函数sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移3π个单位后与函数()f x 的图象重合，则下列结论正确的是______. ①()f x 的一个周期为2π-； ②()f x 的图象关于712x π=-对称； ③76x π=是()f x 的一个零点； ④()f x 在5,1212ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递减； 38．（2020·渭南市尚德中学高一月考）下列命题中，正确命题的序号是______． ①函数44sin cos y x x =-的最小正周期是π； ②终边在y 轴上的角的集合是π,2k k Z αα⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭；③在同一坐标系中，函数sin y x =的图像与函数cos y x =图像在[]0,2π内有1个公共点； ④把函数π3sin 23y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像的对称轴是ππ,122=+∈k x k Z ． 39．（2020·安徽省太和第一中学高二月考（理））若将函数()()()()1sin 2cos 2022f x x x ϕϕϕπ=+++<<的图象向左平移4π个单位长度，平移后的图象关于点,02π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，则函数()()sin g x x ϕ=+在,26ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值为______.五、双空题40．（2020·全国高三专题练习）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知tan(+4Aπ)＝2，则sin A 的值为______，若B ＝4π，a ＝4，则△ABC 的面积等于___．。

2019年高考数学二轮复习专题对点练17 角与距离理1.如图,在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中,面ABEF为正方形,AF=2FD,∠AFD=90°,且二面角D-AF-E与二面角C-BE-F都是60°.(1)证明:平面ABEF⊥平面EFDC;(2)求二面角E-BC-A的余弦值.(1)证明由已知可得AF⊥DF,AF⊥FE,所以AF⊥平面EFDC.又AF⊂平面ABEF,故平面ABEF⊥平面EFDC.(2)解过D作DG⊥EF,垂足为G,由(1)知DG⊥平面ABEF.以G为坐标原点,的方向为x轴正方向,||为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系G-xyz.由(1)知∠DFE为二面角D-AF-E的平面角,故∠DFE=60°,则|DF|=2,|DG|=,可得A(1,4,0),B(-3,4,0),E(-3,0,0),D(0,0,).由已知,AB∥EF,所以AB∥平面EFDC.又平面ABCD∩平面EFDC=CD,故AB∥CD,CD∥EF.由BE∥AF,可得BE⊥平面EFDC,所以∠CEF为二面角C-BE-F的平面角,∠CEF=60°.从而可得C(-2,0,).所以=(1,0,),=(0,4,0),=(-3,-4,),=(-4,0,0),设n=(x,y,z)是平面BCE的法向量,则所以可取n=(3,0,-).设m是平面ABCD的法向量,则同理可取m=(0,,4),则cos<n,m>==-.故二面角E-BC-A的余弦值为-.2.(2017山东,理17)如图,几何体是圆柱的一部分,它是由矩形ABCD(及其内部)以AB边所在直线为旋转轴旋转120°得到的,G是的中点.(1)设P是上的一点,且AP⊥BE,求∠CBP的大小;(2)当AB=3,AD=2时,求二面角E-AG-C的大小.解 (1)因为AP⊥BE,AB⊥BE,AB,AP⊂平面ABP,AB∩AP=A,所以BE⊥平面ABP,又BP⊂平面ABP,所以BE⊥BP,又∠EBC=120°.因此∠CBP=30°.(2)解法一:取的中点H,连接EH,GH,CH.因为∠EBC=120°,所以四边形BEHC为菱形,所以AE=GE=AC=GC=.取AG中点M,连接EM,CM,EC,则EM⊥AG,CM⊥AG,所以∠EMC为所求二面角的平面角.又AM=1,所以EM=CM==2.在△BEC中,由于∠EBC=120°,由余弦定理得EC2=22+22-2×2×2×cos 120°=12,所以EC=2,因此△EMC为等边三角形,故所求的角为60°.解法二:以B为坐标原点,分别以BE,BP,BA所在的直线为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.由题意得A(0,0,3),E(2,0,0),G(1,,3),C(-1,,0),故=(2,0,-3),=(1,,0),=(2,0,3),设m=(x1,y1,z1)是平面AEG的一个法向量.由可得取z1=2,可得平面AEG的一个法向量m=(3,-,2).设n=(x2,y2,z2)是平面ACG的一个法向量.由可得取z2=-2,可得平面ACG的一个法向量n=(3,-,-2).所以cos<m,n>=.因此所求的角为60°.3.如图,菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O,AB=5,AC=6,点E,F分别在AD,CD上,AE=CF=,EF 交BD于点H.将△DEF沿EF折到△D'EF的位置,OD'=.(1)证明:D'H⊥平面ABCD;(2)求二面角B-D'A-C的正弦值.解 (1)由已知得AC⊥BD,AD=CD.又由AE=CF得,故AC∥EF.因此EF⊥HD,从而EF⊥D'H.由AB=5,AC=6得DO=BO==4.由EF∥AC得.所以OH=1,D'H=DH=3.于是D'H2+OH2=32+12=10=D'O2,故D'H⊥OH.又D'H⊥EF,而OH∩EF=H,所以D'H⊥平面ABCD.(2)如图,以H为坐标原点,的方向为x轴正方向,建立空间直角坐标系H-xyz.则H(0,0,0),A(-3,-1,0),B(0,-5,0),C(3,-1,0),D'(0,0,3),=(3,-4,0),=(6,0,0),=(3,1,3).设m=(x1,y1,z1)是平面ABD'的法向量,则所以可取m=(4,3,-5).设n=(x2,y2,z2)是平面ACD'的法向量,则所以可取n=(0,-3,1).于是cos<m,n>==-.sin<m,n>=.因此二面角B-D'A-C的正弦值是.4.(2017北京,理16)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,平面PAD⊥平面ABCD,点M 在线段PB上,PD∥平面MAC,PA=PD=,AB=4.(1)求证:M为PB的中点;(2)求二面角B-PD-A的大小;(3)求直线MC与平面BDP所成角的正弦值.(1)证明设AC,BD交点为E,连接ME.因为PD∥平面MAC,平面MAC∩平面PDB=ME,所以PD∥ME.因为ABCD是正方形,所以E为BD的中点.所以M为PB的中点.(2)解取AD的中点O,连接OP,OE.因为PA=PD,所以OP⊥AD.又因为平面PAD⊥平面ABCD,且OP⊂平面PAD,所以OP⊥平面ABCD.因为OE⊂平面ABCD,所以OP⊥OE.因为ABCD是正方形,所以OE⊥AD.如图建立空间直角坐标系O-xyz,则P(0,0,),D(2,0,0),B(-2,4,0),=(4,-4,0),=(2,0,-).设平面BDP的法向量为n=(x,y,z),则令x=1,则y=1,z=.于是n=(1,1,),平面PAD的法向量为p=(0,1,0).所以cos<n,p>=.由题知二面角B-PD-A为锐角,所以它的大小为.(3)解由题意知M,C(2,4,0),.设直线MC与平面BDP所成角为α,则sin α=|cos<n,>|=.所以直线MC与平面BDP所成角的正弦值为.5.如图,在四棱锥P-ABCD中,PC⊥底面ABCD,底面ABCD是直角梯形,AB⊥AD,AB∥CD,AB=2AD=2CD=2,E是PB上的一点.(1)求证:平面EAC⊥平面PBC;(2)若二面角P-AC-E的余弦值为,求直线PA与平面EAC所成角的正弦值.(1)证明∵PC⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,∴AC⊥PC.∵AB=2,AD=CD=1,∴AC=BC=,∴AC2+BC2=AB2,∴AC⊥BC.又BC∩PC=C,∴AC⊥平面PBC.∵AC⊂平面EAC,∴平面EAC⊥平面PBC.(2)解如图,取AB的中点F,连接CF,以C为原点,分别以为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系,则C(0,0,0),A(1,1,0),B(1,-1,0).设P(0,0,a)(a>0),则E=(1,1,0),=(0,0,a),.取m=(1,-1,0),则m·=m·=0,即m为平面PAC的一个法向量.设n=(x,y,z)为平面EAC的法向量,则n·=n·=0,即取x=a,y=-a,z=-2,则n=(a,-a,-2).依题意,|cos<m,n>|=,则a=2.于是n=(2,-2,-2),=(1,1,-2).设直线PA与平面EAC所成角为θ,则sin θ=|cos <,n>|=,即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为.〚导学号16804201〛6.(2017山东潍坊一模,理18)在如图所示的几何体中,四边形ABCD为矩形,直线AF⊥平面ABCD,EF∥AB,AD=2,AB=AF=2EF=1,点P在棱DF上.(1)求证:AD⊥BF;(2)若P是DF的中点,求异面直线BE与CP所成角的余弦值;(3)若,求二面角D-AP-C的余弦值.(1)证明∵AF⊥平面ABCD,∴AF⊥AD.又AD⊥AB,AB∩AF=A,∴AD⊥平面ABEF.又BF⊂平面ABEF,∴AD⊥BF.(2)解∵直线AF⊥平面ABCD,AB,AD⊂平面ABCD,∴AF⊥AB,AF⊥AD.又AD⊥AB,∴以A为原点,AB,AD,AF所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,则B(1,0,0),E,P,C(1,2,0),∴.设异面直线BE与CP所成角为θ,则cos θ=,∴异面直线BE与CP所成角的余弦值为.(3)解由(2)得AB⊥平面ADF,∴平面ADF的一个法向量n1=(1,0,0).由知P为FD的三等分点,且此时P.在平面APC中,=(1,2,0).∴平面APC的一个法向量n2=(-2,1,-1).∴|cos<n1,n2>|=.又二面角D-AP-C为锐角,∴该二面角的余弦值为.〚导学号16804202〛7.如图,△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形,平面MCD⊥平面BCD,AB⊥平面BCD,AB=2.(1)求点A到平面MBC的距离;(2)求平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值.解取CD的中点O,连接OB,OM,则OB⊥CD,OM⊥CD.又平面MCD⊥平面BCD,所以MO⊥平面BCD.以O为原点,直线OC,BO,OM分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.则C(1,0,0),M(0,0,),B(0,-,0),A(0,-,2).(1)设n=(x,y,z)是平面MBC的法向量,则=(1,,0),=(0,).由n⊥,得x+y=0;由n⊥,得y+z=0.取n=(,-1,1),=(0,0,2),则d=.(2)=(-1,0,),=(-1,-,2).设平面ACM的法向量为n1=(x,y,z),由n1⊥,n1⊥,得解得x=z,y=z,取n1=(,1,1).又平面BCD的一个法向量为n2=(0,0,1),所以cos<n1,n2>=.设所求二面角为θ,则sin θ=.〚导学号16804203〛8.(2017全国Ⅲ,理19)如图,四面体ABCD中,△ABC是正三角形,△ACD是直角三角形,∠ABD=∠CBD,AB=BD.(1)证明:平面ACD⊥平面ABC;(2)过AC的平面交BD于点E,若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分,求二面角D-AE-C的余弦值.解 (1)由题设可得,△ABD≌△CBD,从而AD=DC.又△ACD是直角三角形,所以∠ADC=90°.取AC的中点O,连接DO,BO,则DO⊥AC,DO=AO.又由于△ABC是正三角形,故BO⊥AC.所以∠DOB为二面角D-AC-B的平面角.在Rt△AOB中,BO2+AO2=AB2,又AB=BD,所以BO2+DO2=BO2+AO2=AB2=BD2,故∠DOB=90°.所以平面ACD⊥平面ABC.(2)由题设及(1)知,OA,OB,OD两两垂直,以O为坐标原点,的方向为x轴正方向,||为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz.则A(1,0,0),B(0,,0),C(-1,0,0),D(0,0,1).由题设知,四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的,从而E到平面ABC的距离为D 到平面ABC的距离的,即E为DB的中点,得E.故=(-1,0,1),=(-2,0,0),.设n=(x,y,z)是平面DAE的法向量,则可取n=.设m是平面AEC的法向量,则同理可取m=(0,-1,).则cos<n,m>=.所以二面角D-AE-C的余弦值为.。