东北三省四市(哈尔滨长春沈阳大连)高三第二次联合考试数学(文)

哈尔滨师大附中 东北师大附中 辽宁省实验中学2023年高三第二次联合模拟考试数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）1.已知集合{}1,2,3A =，{}20B x x x m =-+=，若{}2AB =，则B =（ ）A.{}2,1B.{}2,4C.{}2,3D.{}2,1-2.已知复数z 满足24i z z +=+，则z =（ ） A.34i +B.34i -C.34i -+D.34i --3.已知向量()1,0a =，1,22b ⎛=-⎝⎭，则a b -=（ ） A.3C.14.有7名运动员（5男2女）参加A 、B 、C 三个集训营集训，其中A 集训营安排5人，B 集训营与C 集训营各安排1人，且两名女运动员不在同一个集训营，则不同的安排方案种数为（ ） A.18B.22C.30D.365.两条直线()0y kx k =>和2y kx =-分别与抛物线24y x =交于异于原点的A 、B 两点，且直线AB 过点()1,0，则k =（）A.12B.1D.26.如图，直角梯形ABCD 中，3AB CD =，30ABC ∠=︒，4BC =，梯形ABCD 绕AD 所在直线旋转一周，所得几何体的外接球的表面积为（ ）A.1123πB.48πC.128πD.208π7.定义在R 上的奇函数()f x 满足()()11f x f x +=-，且在[]0,1上单调递减，若方程()10f x +=在[)0,1有实数根，则方程()1f x =在区间[)1,11-上所有实数根之和是（ ） A.6B.12C.30D.568.已知三个互异的正数a ，b ，c 满足2ln cc aa=+，()21ab =+，则关于a ，b ，c 下列判断正确的是（ ） A.a b c <<B.a b c >>C.2a c b -<-D.2a c b ->-二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.函数()sin cos f x x x =+，则下列说法正确的是（ ） A.()f x 为偶函数B.()f x 的最小正周期是πC.()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 D.()f x 的最小值为1-10.金枪鱼因为肉质柔嫩鲜美、营养丰富深受现代人喜爱，常被制作成罐头食用.但当这种鱼罐头中的汞含量超过1.0mg/kg 时，食用它就会对人体产生危害.某工厂现有甲、乙两条金枪鱼罐头生产线，现从甲、乙两条生产线中各随机选出10盒罐头并检验其汞含量（单位为mg/kg ），其中甲生产线数据统计如下：0.07，0.24，0.39，0.54，0.61，0.66，0.73，0.82，0.95，0.99，其方差为210.08s =.乙生产线统计数据的均值为20.4x =，方差为220.11s =，下列说法正确的是（ ）A.甲生产线的金枪鱼罐头汞含量数值样本的上四分位数是0.82B.甲生产线的金枪鱼罐头汞含量数值样本的上四分位数是0.775C.由样本估计总体，甲生产线生产的金枪鱼罐头汞含量平均值高于两条生产线生产的金枪鱼罐头汞含量平均值D.由样本估计总体，甲生产线生产的金枪鱼罐头汞含量数值较两条生产线生产的金枪鱼罐头汞含量数值更稳定11.已知正方体1111ABCD A B C D -E ，F 是棱1DD ，1CC 的中点，点M 是侧面11CDD C 内运动（包含边界），且AM 与面11CDD C 所成角的正切值为2，下列说法正确的是（ ）A.1MC 2B.存在点M ，使得AM CE ⊥C.存在点M ，使得AM ∥平面BDFD.所有满足条件的动线段AM 形成的曲面面积为612.已知函数()()1,*mn f x x m n N x=+∈，下列结论正确的是（ ） A.对任意m ，*n N ∈，函数()f x 有且只有两个极值点 B.存在m ，*n N ∈，曲线()y f x =有经过原点的切线 C.对于任意10x >，20x >且12x x ≠，均满足()()121222f x f x x x f ++⎛⎫<⎪⎝⎭D.当0x >时，()()f x f x -≤恒成立第Ⅱ卷（非选择题共90分）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.大气压强p =压力受力面积，它的单位是“帕斯卡”（Pa ，21Pa 1N/m =），已知大气压强()Pa p 随高度()m h 的变化规律是0khp p e -=，其中0p 是海平面大气压强，10.000126m k -=.当地高山上一处大气压强是海平面处大气压强的13，则高山上该处的海拔为______米.（答案保留整数，参考数据ln3 1.1≈） 14.曲线22x y x y +=+围成的图形的面积是______.15.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点为(),0F c ，过点F 且斜率为2的直线与双曲线C 的两条渐近线分别交于M 、N 两点，若P 是线段MN 的中点，且PF =，则双曲线的离心率为______. 16.A 、B 、C 、D 、E 五个队进行单循环赛（单循环赛制是指所有参赛队在竞赛中均能相遇一次），胜一场得3分，负一场得0分，平局各得1分.若A 队2胜2负，B 队得8分，C 队得9分，E 队胜了D 队，则D 队得分为______.四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤）17.（本小题满分10分）记ABC △的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知()21cos 4bc A a +=.（1）证明：3b c a +=； （2）若2a =，7cos 9A =，角B 的内角平分线与边AC 交于点D ，求BD 的长. 18.（本小题满分12分）调查问卷中常常涉及到个人隐私或本人不愿正面回答的问题，被访人可能拒绝回答，即使回答，也不能期望答案是真实的.某小区要调查业主对物业工作是否满意的真实情况，现利用“随机化选答抽样”方法制作了具体调查方案，其操作流程如下：在一个箱子里放3个红球和2个白球，被调查者在摸到球后记住颜色并立即将球放回，如果抽到的是红球，则回答“你的性别是否为男性？”如果抽到的是白球，则回答“你对物业工作现状是否满意？”两个问题均用“是”或“否”回答.（1）共收取调查问卷100份，其中答案为“是”的问卷为60份，求一个业主对物业工作表示满意的概率，已知该小区共有业主500人，估计该小区业主对物业工作满意的人数；（2）现为了提高对物业工作满意的业主比例，对小区业主进行随机访谈，请表示不满意的业主在访谈中提出两个有待改进的问题.（ⅰ）若物业对每一个待改进的问题均提出一个相应的解决方案，该方案需要由5名业主委员会代表投票决定是否可行.每位代表投赞同票的概率均为13，方案需至少3人投赞成票，方能予以通过，并最终解决该问题，求某个问题能够被解决的概率0p ；（ⅱ）假设业主所提问题各不相同，每一个问题能够被解决的概率都为0p ，并且都相互独立.物业每解决一个问题，业主满意的比例将提高一个百分点.为了让业主满意的比例提高到80%，试估计至少要访谈多少位业主？ 19.（本小题满分12分）如图，已知斜四棱柱1111ABCD A B C D -，底面ABCD 为等腰梯形，AB CD ∥，点1A 在底面ABCD 的射影为O ，且11AD BC CD AA ====，2AB =，112AO =，1AA BC ⊥.（1）求证：平面ABCD ⊥平面11ACC A ；（2）若M 为线段11B D 上一点，且平面MBC 与平面ABCD 夹角的余弦值为7，求直线1A M 与平面MBC所成角的正弦值. 20.（本小题满分12分） 已知数列{}n a ，设()12*nn a a a m n N n+++=∈，若{}n a 满足性质Ω：存在常数c ，使得对于任意两两不等的正整数i 、j 、k ，都有()()()k i j i j m j k m k i m c -+-+-=，则称数列{}n a 为“梦想数列”. （1）若()2*nn b n N =∈，判断数列{}n b 是否为“梦想数列”，并说明理由； （2）若()21*n c n n N =-∈，判断数列{}n c 是否为“梦想数列”，并说明理由； （3）判断“梦想数列”{}n a 是否为等差数列，并说明理由. 21.（本小题满分12分）已知椭圆()22122:10x y C a b a b +=>>的离心率为3，x 轴被抛物线22:4x C y b =-截得的线段长与1C 长轴长的比为2:3.（1）求1C 、2C 的方程；（2）设2C 与y 轴的交点为M ，过坐标原点O 的直线l 与2C 相交于点A 、B ，直线MA 、MB 分别与1C 相交与D 、E .（ⅰ）设直线MD 、ME 的斜率分别为1k 、2k ，求12k k 的值； （ⅱ）记MAB △、MDE △的面积分别是1S 、2S ，求12S S 的最小值. 22.（本小题满分12分）已知函数()()ln 10f x x ax a =-->.（1）当1a =时，求过原点且与()f x 相切的直线方程；（2）若()()()0axg x x e f x a =+⋅>有两个不同的零点1x 、()2120x x x <<，不等式212mx x e ⋅>恒成立，求实数m 的取值范围.三省三校第二次模拟答案一、单选题二、多选题三、填空题：13、873014、2π+15 16、18.2ln 2ln c c a a -=-考虑：()()2ln 0f x x x x =->，则()221x f x x x-'=-= ()f x 在()0,2递减；()f x 在()2,+∞递增()()()min 221ln 20f x f ==->（1）当02a <<，2c >时，21a+=设()x xg x =+，是减函数，且()21g =()()2121aaag a g b a =+>=⇒=+>⇒> 2212152a b =+<+=⇒<所以，22c b a a c b >>>⇒->-（2）当02c <<，2a >时，同理可得：22a b c a c b >>>⇒->- 综上可得：2a c b ->-成立. 12.如图：（1）在第一象限+都是凹函数（二阶导数大于零） （2）图二、图三有过原点的切线 （3）极值点的个数是一个或两个（4）当m ，n 同奇数或同偶数时，()()f x f x =-；当m ，n 是一奇，一偶数时，()()f x f x >-； 15.设()11,M x y ，()22,N x y ，()00,P x y2211222222222200MN OP x y b a b k k a x y a b ⎧-=⎪⎪⇒⋅=⎨⎪-=⎪⎩，则OP 的方程为222b y x a =，MN 的方程为：()2y x c =- ()222224242P b y xa c x c OP e a ab y xc ⎧=⎪⇒==+⇒=⎨-⎪=-⎩16.A 队：2胜2负（无平局） C 队：3胜1负（无平局）B 队：2胜2平，则B 队和D 、E 是平局；B 队胜了A 、C这样找到了C 队负的一场，输给B 队 这样B 、C 结束；A 队赢D 、E 最后，E 胜D ，则D 的1分.四、解答题17.（本题满分10分）（1）证明：()222221cos 4142b c a bc A a bc a bc ⎛⎫+-+=⇒+= ⎪⎝⎭()229b c a +=，则3b c a +=……5'（2）由余弦定理得：2222cos a b c b A =+-，则9bc =，又3b c a +=，则3b c ==由角分线可得，95AD =所以，在ABD △中，由余弦定理得：2222cos BD AD c AD c A =+-⋅，BD =10'18.（本题满分12分）（1）记：事件A =“业主对物业工作表示满意”，则()()2316035521004P A P A ⋅+⋅=⇒= 所以，35003754⨯=（人）……4' 答：该小区业主对物业工作表示满意的人数约为375人.（2）（ⅰ）3245345055512121173333381P C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭……8' （ⅱ）设至少要访谈n 位业主31738101280%10047.6481417n n ⎛⎫⎛⎫⋅-⋅⋅≥-⨯⇒≥≈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭答：至少要访谈48位业主.……12' 19.（本题满分12分）（1）证明：等腰梯形ABCD 中，2AB =，1BC CD AD ===则，60ABC ∠=︒……2'1BC ACBC BC AA ⊥⎧⇒⊥⎨⊥⎩平面11A ACC ，BC ⊂平面ABCD ，则平面ABCD ⊥平面11A ACC ，……4' （2）建立如图所示空间直角坐标系C xyz -，则)A，()0,1,0B，2O ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，1122A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，131,0222CD BA ⎛⎫==-⎪ ⎪⎝⎭ 1133,022B DBD ⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭，1112DD AA ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭，1110,,22D⎛⎫- ⎪⎝⎭ 设111,0D M D B λ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭，131,,222M λ⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭ (6)'设平面MBC 的法向量为(),,n x y z =131022220n CM y z n CB y λλ⎧⎛⎫⎧⋅-++=⎪⎪ ⎪⇒⎨⎨⎝⎭⋅⎪⎪⎩=⎩，取1x =，则()1,0,n =-……8' 取平面ABCD 的法向量()0,0,1m =221cos ,417m n m n m nλ⋅==⇒=，则12λ= 即：11,04A M ⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭，1,0,n ⎛= ⎝⎭……10' 设直线1A M 与平面MBC 所成的角为θ，则1113sin cos ,7A M n A M n A M nθ⋅===⋅所以，直线1A M 与平面MBC……12' 20.（本题满分12分）（1）()()()k i j i j m j k m k i m c -+-+-=()()()k j i j i m i k m k j m c -+-+-=所以，0c =当2nn b =时，12m =，23m =，3143m =()()()142612232313033-+-⋅+-⋅=≠所以，{}n b 不是“梦想数列”……4' （2）21i a i =-，21j a j =-，21k a k =-()()()2220k i j i j j k k i k i j-+-+-=所以，{}n c 不是“梦想数列”……6'（3）①令1i =，2j =，3k = ()()()1231121223310312a a a a a a +++-+-+-= 所以，1322a a a +=，即：1a 、2a 、3a 成等差数列……8' ②令1i =，2j =，()3k n n =≥ ()()()21122102n S S n a n n -+-+-= ()()2122310n S n n a n n a +---= ()()21122210n S n n a n n a ++---+= 所以，11121122220n n a na a na a a nd +++--=⇒=+ 所以，()()114n a a n d n =+-≥，当1,2,3n =时也成立. 综上可得，“梦想数列”{}n a 是等差数列. ……12' 21.（本题满分12分）（1）椭圆方程：()222210x y a b a b+=>>13323c b a a ⎧=⎪=⎧⎪⇒⎨=⎩=，所以，221:19x C y +=，221:14C y x =-……4' （2）设直线l 的方程为y kx =，()11,A x y ，()22,B x y22440114y kxx kx y x =⎧⎪⇒--=⎨=-⎪⎩，则121244x x k x x +=⎧⎨⋅=-⎩……6' 又111114y x k x +==，12121164x x k k ==- 联立122114014y k x x k x x y =-⎧⎪⇒-=⎨=-⎪⎩，则114x k =，同理：224x k = 联立()1221122191180990y k x k x k x x y =-⎧⇒+-=⎨+-=⎩ 13211891k x k =+，同理：24221891k x k =+……8' ()()2211221sin 429191181sin 2MA MB AMBS k k S MD ME DME ∠==++∠……10' 2121481916919811616324k k ⎛⎫=+++≥ ⎪⎝⎭，当且仅当112k =±时，取等号 所以，12S S 的最小值为169324. ……12' 22.（本题满分12分）（1）()f x 的定义域为()0,+∞ ()111f x a x x'=-=- 设切点坐标()000,ln 1x x x -+，则切线方程为：()()00001ln 11y x x x x x ⎛⎫--+=--⎪⎝⎭把点()0,0带入切线得：20x e =所以，()f x 的切线方程为：221e y x e-=……4' （2）()()ln 1axg x x ex ax =+--有两个不同零点，则()()()ln ln 10ln 1ln 10ax x ax ax xx e x ax x ax e x ax e-+--=⇒+--=+--=……6' 构造函数()1xu x e x =+-，()1xu x e '=+()u x 为(),-∞+∞增函数，且()00u =即：ln 0x ax -=有两个不等实根1122ln ln ax x ax x =⎧⎨=⎩令1122ln ln x x t x x ==，()01t <<，则12ln ln x t x =，12ln ln ln x x t =+ 122ln 2ln ln 1t x x t t ++=-……8' 设()()2ln 011x v x x x x +=<<-，()()22123ln 1x x v x x x x ⎡⎤+-'=-+⎢⎥-⎣⎦ 设()23ln 1x x x xφ=-+-+，()()()212x x x x φ--'= ()x φ在()0,1递增，()10φ=，则()v x 在()0,1递减，且()10v =所以，()v x 的最小值()1v ，……10' ()()()112ln lim 2ln 31x x x x x x x =→+'=+=-所以，()v x 的最小值为3，即：m 的取值范围为(],3-∞. ……12'。

长、哈尔滨、沈阳、大连高中毕业班数学文科第二次结合考试甲卷本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，试卷满分150 分，答题时间为120 分钟 .第Ⅰ卷（选择题，共60 分）一、选择题（本大题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分。

在每题的四个选项中，只有一项是切合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）1．已知会合 M{ x || x 3 | 5}, N { x | x 6},则M N =（）A ． RB ．C ． { x | 6 x 8}D ． { x | x 8}2．抛物线 y4x 2 的焦点坐标为（ ）A ．（ 2， 0）B ．（ 1， 0）C ．（ 0， 1） D ．（ 0， 1）8163．函数 y e 1x3 的反函数是（）A ． y lnx e( x 3) B ． y lnx 3(x 3)3eC ． y ln3 x( x3)D ． y lne(x 3)e3 x4．△ ABC 中，“ cosA2 sin B sin C ”是“△ ABC 为钝角三角形”的（）A ．必需不充足条件B ．充足不用要条件C ．充要条件D ．既不充足也不用要条件5．在数列 { a n } 中，已知 a 1 1, a 2 5,a n 2a n 1 a n ( n N * ) ，则 a 2007 等于（）A ． 1B ．－ 5C ．4D ． 56．已知向量 a (2,3),b ( 4,7) ，那么 a 在 b 方向上的投影为 （ ）A ．65 B ． 13 C ． 65 D ． 13557．已知、 是两条不重合的直线， 、、 是三个两两不重合的平面，给出以下四个命m n题：①若 m ,m，则 ∥；②若,，则∥ ；④若 m 、n 是异面直线， m , m ∥ ; n,n ∥ ,则∥ .此中的真命题是A ．①和②B ．①和③C ．③和④D ．①和④8．某工厂生产 A 、B 、C 三种不一样型号的产品，产品的数目之比挨次为2:3:5，现用分层抽样的方法抽出样本容量为 n 的样本，样本中 A 型产品有 16 件，那么样本容量n 为（）A ． 100B ． 80C ． 60D ． 209．从 1， 3， 5， 7 中任取 2 个数字，从 2， 4，6， 8 中任取 2 个数字构成没有重复数字的四位数，此中能被 5 整除的数有（）A ． 300 个B ． 240 个C ． 108 个D ．90 个2 y210．已知 P 是以 F 1、 F 2 为焦点的双曲线x 2 1(a0, b0) 上一点，若 PF 1PF 20 ，2batan PF 1 F 22，则此双曲线的离心率为（）A ．35B ． 5C ．3D ． 25211．已知函数 f (x)a x ( x 0),知足对随意 x 1f (x 1 )f ( x 2 )0 成( a 3) x 4a(x 0)x 2 , 都有x 2x 1立，则 a 的取值范围是（）A ． 0,1B ．（ 0， 1）C ． 1,1D ．（ 0， 3）4412．已知 O 是△ ABC 所在平面内的必定点， 动点P 知足 OPOAABAC),(| AB | sin B| AC | sin C(0,) ，则动点 P 的轨迹必定经过△ ABC 的（）A ．心里B ．垂心C ．外心D ．重心第Ⅱ卷（非选择题，共90 分）二、填空题（本大题共 4 小题，每题4 分，共 16 分，把正确答案填在答题卡中的横线上）13． (1 x) 7 (1 x) 的睁开式中 x 2 项的系数是.14．若 f ( x)| x1| ( x0).log 2 x( x, 则f [ f ( 1)]0)15．正四棱柱的底面边长是1，侧棱长是 2，它的八个极点都在同一个球面上，则这个球的表面积为.x 216．设实数x，y 知足拘束条件y x,则 z x2y 2的最大值为.2x y12三、解答题（本大题共 6 小题，共74 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12 分）已知函数 f (x)sin 2x cos2x1.2cosx（1）求f ( x) 的定义域和值域；（ 2）设a是锐角，且tana1f a, 求( )的值.2218．（本小题满分12 分）一个口袋内装有大小同样且已编有不一样号码的 4 个黑球和 3 个红球，某人一次从中摸出 2个球.（ 1）假如摸到的球中含有红球就中奖，那么这人摸球一次中奖的概率是多少？（ 2）假如摸到的两个球都是红球，那么就中大奖，在有放回的 3 次摸球中，这人恰巧两次中大奖的概率是多少？19．（本小题满分12 分）如图，多面体ABCDS中，面 ABCD为矩形， SD⊥ AD，SD⊥ AB，且 AB=2AD， SD= 3 AD，（1）求证：平面 SDB⊥平面 ABCD；（2）求二面角 A— SB— D 的大小 .20．（本小题满分12 分）在等比数列 { a n }中, a1a765, a3 a564,且 a n 1a n , n N * .（ 1）求数列 { a n} 的通项公式；（ 2）若T n lg a2lg a4lg a2n，求T n的最大值及此时n 的值. 21．（本小题满分 12分）已知 F1、 F2分别是椭圆x2y 21(a 0, b 0) 的左、右焦点，其左准线与x 轴a 2 b 2订交于点 N，而且知足，F1F22NF1, | F1F2| 2.（ 1）求此椭圆的方程；（ 2）设 A、B 是这个椭圆上的两点，而且知足NA NB,当[1,1] 时，求直线AB的53斜率的取值范围.22．（本小题满分 14 分）已知函数 f (x)x3ax 2b, x[ 1,1].（ 1）假如f ( x) 是单一函数，务实数 a 的值；（ 2）设1 a 31，最小值为 2 ，求函数f(x)的分析式.，而且函数 f ( x)的最大值是2[]5 60 .1C2D3A4B5C6A7 D8 B9C10B11 A12 D4 16 . 13 14 141 156π16 6874 .171f ( x)2 cosx 0f ( x)的定义域为 { x | xk2, k Z}2f ( x)sin 2x cos 2x 12 sin cos x 2cos 2 x2 cos x2cos xsin x cos x2 sin( x). 44f ( x){ y | 2y2}x k, x4k3 ，但当 x k 时， x k ，此时 y 124442 []2 tan21 4tan2 2911 tan21232( )2αsin4, cos355 7f ( )sin cos125[]f ( )sincos2 sin coscos 2 sin 2 82 2 2 2 2 sin cos2 cos 2 2 sin 2 2 2sin 2 cos 22 22 tan1 tan 222（ 10 分）tan 22 1211 ( 1 ) 2722（ 12 分）1.215()2n 次独立重复试验中某事件恰巧发生k 次的概率公式 .18．本小题考察基本的概率问题以及 解：（ 1）记“从袋中摸出的两个球中含有红球”为事件A ，P( A)C 32 C 31 C 415C 72，7∴这人中奖的概率是5 . （6分）7（ 2）记“从袋中摸出的两个球都是红球”为事件 B ，则 P(B) C 32 1 ，（9分）C 727因为有放回的 3 次摸球，每次能否摸到两个红球之间没有影响，所以 3 次摸球恰巧有两次中大奖相当于做3 次独立重复实验，依据n 次独立重复实验中事件恰巧发生k 次的概率公式得P 3 (2) C 32( 1)2(1 1 )3218 ，7 7 343∴这人恰巧两次中大奖的概率是18 .（12分）34319．本小题考察面面关系及二面角的求法。

2020年东北三省⾼三第⼆次联合模拟⽂科数学试题（解析数学试题⼀、选择题：本题共12⼩题，每⼩题5分，共60分．在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的．1．已知集合A、B均为集合U＝{1，2，3，4，5，6}的⼦集，且（?U A）∩B＝{3}，（?U B）∩A＝{6}，A∩B＝{1，2}，则集合B＝（）A．{1，2，3}B．{1，2，6}C．{1，2}D．{1，2，3，4，5} 2．若a+2i＝（1﹣i）（1+bi）（a，b∈R，i为虚数单位），则复数a﹣bi在复平⾯内对应的点所在的象限为（）A．第⼀象限B．第⼆象限C．第三象限D．第四象限3．若实数x、y满⾜，则y﹣x的最⼤值为（）A．3B．0C．﹣3D．﹣94．已知α，β是两个不同的平⾯，直线m?α，下列命题中正确的是（）A．若α⊥β，则m∥βB．若α⊥β，则m⊥βC．若m∥β，则α∥βD．若m⊥β，则α⊥β5．课堂上数学⽼师和同学们做游戏，随机询问甲、⼄、丙、丁4位同学的作业完成情况，甲说：“丙未完成作业或丁未完成作业”；⼄说：“丁未完成作业”；丙说：“我完成作业了”；丁说：“我完成作业了”．他们中恰有⼀个⼈说了谎话，请问：是谁说了谎话？（）A．甲B．⼄C．丙D．丁6．已知正项等⽐数列{a n}，若向量，则log2a1+log2a2+…+log2a9＝（）A．12B．8+log25C．5D．187．我国古代劳动⼈民在筑城、筑堤、挖沟、挖渠、建仓、建囤等⼯程中，积累了丰富的经验，总结出了⼀套有关体积、容积计算的⽅法，这些⽅法以实际问题的形式被收⼊我国古代数学名著《九章算术》中．《九章算术》将底⾯为长⽅形且有⼀条侧棱与底⾯垂直的四棱锥称之为阳马，如图所⽰的阳马三视图，则它的体积为（）A．B．1C．2D．38．已知两个不相等的⾮零向量，满⾜，且与的夹⾓为45°，则的取值范围是（）A．B．C．（0，2]D．9．已知，则sin（60°+α）的值为（）A．B．C．D．10．设函数f（x）＝sin x+cos x+sin x cos x+1，则下列说法中正确的是（）A．f（x）关于（0，1）中⼼对称B．f（x）的极⼩值为C．f（x）的最⼩正周期为πD．f（x）图象的⼀条对称轴为11．已知双曲线上存在⼀点M，过点M向圆x2+y2＝1做两条切线MA、MB，若，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．12．已知函数f（x）＝9（lnx）2+（a﹣3）?xlnx+3（3﹣a）x2有三个不同的零点x1，x2，x3，且x1＜1＜x2＜x3，则的值为（）A．81B．﹣81C．﹣9D．9⼆、填空题：本题共4⼩题，每⼩题5分，共20分．把答案填写在答题纸相应位置上．13．我校⾼⼀、⾼⼆、⾼三共有学⽣1800名，为了了解同学们对“智慧课堂”的意见，计划采⽤分层抽样的⽅法，从这1800名学⽣中抽取⼀个容量为36的样本．若从⾼⼀、⾼⼆、⾼三抽取的⼈数恰好是从⼩到⼤排列的连续偶数，则我校⾼三年级的学⽣⼈数为．14．已知实数a、c满⾜c＜1＜a，关于x的不等式的解集为．15．直线l经过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F，与抛物线交于A，B两点，与直线交于点M，若，且，则抛物线的⽅程为．16．设△ABC的内⾓A、B、C所对的边分别为a、b、c，且（a+b+c）（a﹣b+c）＝3ac，则B＝；若边AC上的点D满⾜BD＝CD＝2AD＝2，则△ABC的⾯积S＝．三、解答题：共70分．解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤．（⼀）必考题：共60分．17．已知数列是公差不为0的等差数列，且a1＝1，a2?a3＝a8．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若，求数列{b n}的前n项和S n．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平⾯ABCD⊥平⾯P AD，AD∥BC，AB＝BC AD＝1，∠APD＝∠BAD＝90°．（Ⅰ）求证：PD⊥PB；（Ⅱ）当P A＝PD时，求三棱锥P﹣BCD的体积．19．2022年冬奥会将由北京和张家⼝联合举办，其中冰壶⽐赛将在改造⼀新的⽔⽴⽅进⾏．⼥⼦冰壶⽐赛将由来⾃全球的⼗⽀最优秀的队伍参加，中国⼥⼦冰壶队作为东道主，将对奥运冠军发起冲击．（Ⅰ）已知参赛球队包括来⾃亚洲的中国队、⽇本队和韩国队，来⾃美洲的加拿⼤对和美国队，以及来⾃欧洲的瑞⼠队、英国对、瑞典队、丹麦队和德国队．每⽀球队有四名参赛队员．若赛前安排球员代表合影，需要以分层抽样的⽅式从三个⼤洲的运动员中抽取10名运动员，则每个⼤洲各需要抽取多少运动员？（Ⅱ）此次参赛的夺冠热门队伍包括加拿⼤对、瑞⼠队、英国对、瑞典队和东道主中国队，若⽐赛的揭幕战随机的从这五⽀球队中选择两⽀球队出站，求中国队被选中的概率．20．已知函数．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）当x∈（0，+∞）时，若函数f（x）与g（x）图象交于P（x1，y1）、Q（x2，y2）（x2＞x1）两点，求实数a的取值范围21．已知椭圆，动直线l与椭圆E交于不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），且△AOB的⾯积为1，其中O为坐标原点．（Ⅰ）为定值；（Ⅱ）设线段AB的中点为M，求|OM|?|AB|的最⼤值．（⼆）选考题：共10分．请考⽣在第22、23题中任选⼀题作答．如果多做，则按所做的第⼀题计分，作答时⽤2B铅笔在答题卡上把所选题⽬对应的题号涂⿊．[选修4-4：坐标系与参数⽅程]22．在直⾓坐标系xOy中，直线l的⽅程是y＝2，曲线C的参数⽅程是（φ为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的⾮负半轴为极轴建⽴极坐标系．（Ⅰ）求直线l和曲线C的极坐标⽅程；（Ⅱ）若A（ρ1，α）是曲线C上⼀点，是直线l上⼀点，求的最⼤值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知a、b、c∈R+，且a+b+c＝6．（Ⅰ）当c＝5时，求的最⼩值；（Ⅱ）证明：a2+b2﹣2b+c2﹣4c≥﹣2．⼀、选择题：本题共12⼩题，每⼩题5分，共60分．在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的．1．已知集合A、B均为集合U＝{1，2，3，4，5，6}的⼦集，且（?U A）∩B＝{3}，（?U B）∩A＝{6}，A∩B＝{1，2}，则集合B＝（）A．{1，2，3}B．{1，2，6}C．{1，2}D．{1，2，3，4，5}根据两个集合的交集，看出两个集合中都含有这两个元素，根据A 的补集与B的交集的元素，看出B中不含有元素6，得到结果．因为集合A、B均为集合U＝{1，2，3，4，5，6}的⼦集，且（?U A）∩B＝{3}，（?U B）∩A＝{6}，A∩B＝{1，2}，所以：3∈B，6?B，1，2∈B，4，5?B，4，5?A；故集合B＝{1，2，3}．故选：A．本题考查⼦集与交集，并集的转换，是⼀个基础题，本题典型的解法是利⽤⽂恩图看出集合B中的元素．2．若a+2i＝（1﹣i）（1+bi）（a，b∈R，i为虚数单位），则复数a﹣bi在复平⾯内对应的点所在的象限为（）A．第⼀象限B．第⼆象限C．第三象限D．第四象限利⽤复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件求得a，b的值，则答案可求．因为a+2i＝（1﹣i）（1+bi）＝（1+b）+（b﹣1）i，∴a＝1+b且2＝b﹣1；所以：a＝4，b＝3；∴复数a﹣bi在复平⾯内对应的点（4，﹣3）所在的象限为第四象限．故选：D．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，考查复数的代数表⽰法及其⼏何意义，是基础题．3．若实数x、y满⾜，则y﹣x的最⼤值为（）A．3B．0C．﹣3D．﹣9画出可⾏域，将⽬标函数变形画出相应的直线，将直线平移⾄B时纵截距最⼤，z最⼤．画出的可⾏域如图：B（6，6）．令z＝y﹣x变形为y＝x+z作直线y＝x将其平移⾄B（6，6）时，直线的纵截距最⼤，最⼤为：0．故选：B．本题主要考查利⽤线性规划求函数的最值，关键是将⽬标函数赋予⼏何意义．4．已知α，β是两个不同的平⾯，直线m?α，下列命题中正确的是（）A．若α⊥β，则m∥βB．若α⊥β，则m⊥βC．若m∥β，则α∥βD．若m⊥β，则α⊥β直接利⽤线⾯垂直和平⾏的判定和性质的应⽤求出结果．对于选项A：若α⊥β，则m∥β也可能m⊥β，故错误．对于选项B：若α⊥β，则m⊥β也可能m∥β，故错误．对于选项C：若m∥β，则α∥β也可能α与β相交，故错误．对于选项D，直线m?α，m⊥β，则α⊥β是⾯⾯垂直的判定，故正确．故选：D．本题考查的知识要点：线⾯垂直和平⾏的判定和性质的应⽤，主要考查学⽣的运算能⼒和转换能⼒及思维能⼒，属于基础题型．5．课堂上数学⽼师和同学们做游戏，随机询问甲、⼄、丙、丁4位同学的作业完成情况，甲说：“丙未完成作业或丁未完成作业”；⼄说：“丁未完成作业”；丙说：“我完成作业了”；丁说：“我完成作业了”．他们中恰有⼀个⼈说了谎话，请问：是谁说了谎话？（）A．甲B．⼄C．丙D．丁根据题意判断其中两⼈说话⽭盾，有⼈说话，其他⼈说真话，可推出．由⼄说：“丁未完成作业，与丁说：“我完成作业了”，则⼄丁有⼀⼈说谎，则甲丙说的真话，可知丙完成作业了，丁未完成作业，进⽽可以判断丁说了假话．故选：D．本题考查简单的合情推理，属于基础题．6．已知正项等⽐数列{a n}，若向量，则log2a1+log2a2+…+log2a9＝（）A．12B．8+log25C．5D．18本题先根据平⾏向量的坐标运算可得a2?a8＝16，再根据等⽐中项的知识，可计算出a5＝4，在求和时根据对数的运算及等⽐中项的性质可得到正确选项．由题意，向量，则8?2﹣a2?a8＝0，即a2?a8＝16，根据等⽐中项的知识，可得a2?a816，∵a5＞0，∴a5＝4，∴log2a1+log2a2+…+log2a9＝log2（a1a2 (9)＝log2[（a1a9）?（a2a8）?（a3a7）?（a4a6）?a5]＝log2a59＝9log24＝18．故选：D．本题主要考查等⽐数列的性质应⽤，以及数列与向量的综合问题．考查了转化与化归思想，平⾏向量的运算，对数的计算，逻辑思维能⼒和数学运算能⼒．本题属中档题．7．我国古代劳动⼈民在筑城、筑堤、挖沟、挖渠、建仓、建囤等⼯程中，积累了丰富的经验，总结出了⼀套有关体积、容积计算的⽅法，这些⽅法以实际问题的形式被收⼊我国古代数学名著《九章算术》中．《九章算术》将底⾯为长⽅形且有⼀条侧棱与底⾯垂直的四棱锥称之为阳马，如图所⽰的阳马三视图，则它的体积为（）A．B．1C．2D．3由三视图还原原⼏何体，可知该⼏何体为四棱锥，底⾯ABCD为矩形，AB＝2，AD＝3，侧棱P A⊥底⾯ABCD，且P A＝1．再由棱锥体积公式求解．由三视图还原原⼏何体如图，可知该⼏何体为四棱锥，底⾯ABCD为矩形，AB＝2，AD＝3，侧棱P A⊥底⾯ABCD，且P A＝1．∴该⼏何体的体积V．故选：C．本题考查由三视图求⾯积、体积，关键是由三视图还原原⼏何体，是中档题．8．已知两个不相等的⾮零向量，满⾜，且与的夹⾓为45°，则的取值范围是（）A．B．C．（0，2]D．如图所⽰，设，，∠CAB＝45°，由图可知，当BC⊥AC时，||的取值最⼩，求出最⼩值，没有最⼤值，即可得到结果．如图所⽰，设，，∠CAB＝45°，由图可知，当BC⊥AC时，||的取值最⼩，此时，则||，⽽||没有最⼤值，故则的取值范围为[，+∞），故选：D．本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其⼏何意义，属于基础题．9．已知，则sin（60°+α）的值为（）A．B．C．D．由已知结合同⾓平⽅关系，诱导公式及⼆倍⾓公式进⾏化简即可求解．∵，则sin（60°+α）＝sin（90°﹣30°+α）＝cos（α﹣30°）＝cos（30°﹣α），＝1﹣2sin2（15°﹣α）＝1．故选：A．本题主要考查了诱导公式及⼆倍⾓公式在三⾓化简求值中的应⽤，属于基础试题．10．设函数f（x）＝sin x+cos x+sin x cos x+1，则下列说法中正确的是（）A．f（x）关于（0，1）中⼼对称B．f（x）的极⼩值为C．f（x）的最⼩正周期为πD．f（x）图象的⼀条对称轴为借助于三⾓函数的性质逐项进⾏判断，选出正确选项．对于A选项，f（x）关于（0，1）中⼼对称，⾸先表达错误，应该说f（x）的图象关于某个点中⼼对称，其次f（x）+f（﹣x）＝2cos x+2不恒等于2，所以A错误；对于B选项，∵f（x）＝sin x+cos x+sin x cos x+1∴f′（x）＝cos x﹣sin x+cos2x，令f′（x）＝0有sin x＝cos x或sin x+cos x＝﹣1．当sin x＝cos x＝±时，有f（x）＝±，当sin x+cos x＝﹣1时，两边平⽅可得1+2sin x cos x＝1，sin x cos x＝0，此时f（x）＝sin x+cos x+sin x cos x+1＝0，所以f（x）的极⼩值不可能为，所以B错误；对于C选项，f（x+π）＝﹣sin x﹣cos x+sin x cos x+1≠f（x），所以π不是f（x）的最⼩正周期，所以C错误；对于D选项，∵f（）＝sin（）+cos（）+sin（）cos （）+1＝cos x+sin x+sin x cos x+1＝f（x），∴f（）＝f（x），所以f（x）图象的⼀条对称轴为x，故D正确．故选：D．本题考查三⾓函数的性质，属于中档题．11．已知双曲线上存在⼀点M，过点M向圆x2+y2＝1做两条切线MA、MB，若，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．利⽤已知条件，推出a的关系式，即可求解结果．双曲线上存在⼀点M，过点M向圆x2+y2＝1做两条切线MA、MB，若，可知MAOB是正⽅形，MO，所以双曲线的实半轴长的最⼤值为，所以a∈．故选：B．本题考查双曲线的简单性质，圆的切线性质的应⽤，考查分析问题解决问题的能⼒，是中档题．12．已知函数f（x）＝9（lnx）2+（a﹣3）?xlnx+3（3﹣a）x2有三个不同的零点x1，x2，x3，且x1＜1＜x2＜x3，则的值为（）A．81B．﹣81C．﹣9D．9把f（x）的零点转化为a﹣3的零点，令t＝3，t∈（0，+∞），可得⽅程9t2﹣（51+a）t+81＝0有两实根t1，t2，由判别式⼤于0解得a的范围，再由根与系数的关系可得6，t1t2＝9，进⼀步得到t1＞3，3，结合x1＜1＜x2＜x3，可得3，3，33，则可知t1，3t2，则．f（x）＝9（lnx）2+（a﹣3）?xlnx+3（3﹣a）x2＝0（a﹣3）（xlnx﹣3x2）＝﹣9（lnx）2a﹣3，令t＝3，则，t∈[3，+∞），a﹣39t2﹣（51+a）t+81＝0．设关于t的⼀元⼆次⽅程有两实根t1，t2，∴△＝（51+a）2﹣4×9×81＞0，可得a＞3或a＜﹣105．∴6，t1t2＝9．⼜∵t1+t2，当且仅当t1＝t2＝3时等号成⽴，由于t1+t2≠6，∴t1＞3，3（不妨设t1＞t2）．∵x1＜1＜x2＜x3，∴3，3，33．则可知t1，3t2．∴．故选：A．本题考查函数零点与⽅程根的关系，考查数学转化思想⽅法，考查⼀元⼆次⽅程根的分布，属难题．⼆、填空题：本题共4⼩题，每⼩题5分，共20分．把答案填写在答题纸相应位置上．13．我校⾼⼀、⾼⼆、⾼三共有学⽣1800名，为了了解同学们对“智慧课堂”的意见，计划采⽤分层抽样的⽅法，从这1800名学⽣中抽取⼀个容量为36的样本．若从⾼⼀、⾼⼆、⾼三抽取的⼈数恰好是从⼩到⼤排列的连续偶数，则我校⾼三年级的学⽣⼈数为700．设从⾼三年级抽取的学⽣⼈数为2x⼈，由题意利⽤分层抽样的定义和⽅法，求出x的值，可得⾼三年级的学⽣⼈数．设从⾼三年级抽取的学⽣⼈数为2x⼈，则从⾼⼆、⾼⼀年级抽取的⼈数分别为2x﹣2，2x﹣4．由题意可得2x+（2x﹣2）+（2x﹣4）＝36，∴x＝7．设我校⾼三年级的学⽣⼈数为N，再根据，求得N＝700，故答案为：700．本题主要考查分层抽样，属于基础题．14．已知实数a、c满⾜c＜1＜a，关于x的不等式的解集为{x|x≥a或x≤c}．由已知可转化为⼆次不等式即可求解．由题意可得（x﹣a）（x﹣c）≥0且x≠1，因为c＜1＜a，所以x≥a或x≤c，故不等式的解集为{x|x≥a或x≤c}．故答案为：{x|x≥a或x≤c}．本题主要考查了分式不等式的求解，体现了转化思想的应⽤．15．直线l经过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F，与抛物线交于A，B两点，与直线交于点M，若，且，则抛物线的⽅程为y2＝4x．由抛物线的⽅程可得焦点F的坐标，由向量的关系可得F为AM的中点，可得A的横坐标，代⼊抛物线的⽅程可得A的纵坐标，进⽽求出直线AB的⽅程与抛物线联⽴求出两根之和，再由抛物线的性质可得AB的值，由题意可得p的值，进⽽求出抛物线的⽅程．由题意如图所⽰，因为，F为AM的中点，所以AF＝AA'＝NF＝2p，设A（x1，y1），B（x2，y2），所以2p＝x1，所以x1，代⼊抛物线的⽅程可得y1p即A（，p）所以k AB，所以直线AB的⽅程为：y（x），直线与抛物线的⽅程联⽴可得：，整理可得：3x2﹣5px0，x1+x2，由抛物线的性质可得AB＝x1+x2+p p，解得p＝2，所以抛物线的⽅程为：y2＝4x，故答案为：y2＝4x．本题考查向量与点的位置关系，以及抛物线的性质，属于中档题．16．设△ABC的内⾓A、B、C所对的边分别为a、b、c，且（a+b+c）（a﹣b+c）＝3ac，则B＝；若边AC上的点D满⾜BD＝CD＝2AD＝2，则△ABC的⾯积S＝．（l）利⽤余弦定理容易求出B的⼤⼩；（2）引⼊⾓α＝∠DBC，根据BD＝DC得α＝C，再利⽤内⾓和定理将A⽤α表⽰出来，最后在△ABD中利⽤正弦定理可求出α，问题迎刃⽽解．（1）根据题意（a+b+c）（a﹣b+c）＝3ac，化简得a2+c2﹣b2＝ac，所以cos B，∵B∈（0，π），∴B；（2）做出图形如下：由题意不妨设∠DBC＝α，则∠ABDα，∠C＝α，所以Aα，在△ABD中由正弦定理得，将AD＝1，BD＝2代⼊化简得，∴．∴A，C，易得AB．∴．故答案为：．本题考查三⾓形中的⼏何计算问题，涉及内⾓和定理、正余弦定理的应⽤，属于中档题．三、解答题：共70分．解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤．（⼀）必考题：共60分．17．已知数列是公差不为0的等差数列，且a1＝1，a2?a3＝a8．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若，求数列{b n}的前n项和S n．本题第（Ⅰ）题先根据数列是公差不为0的等差数列可知1，再列出、、关于d的表达式，根据a2?a3＝a8有?，代⼊表达式可得关于d的⽅程，解出d的值，即可得到等差数列的通项公式，进⼀步可得数列{a n}的通项公式；第（Ⅱ）题先根据第（Ⅰ）题的结果计算出数列{b n}的通项公式，然后运⽤裂项相消法计算前n项和S n．（Ⅰ）由题意，可知1，1+d，1+2d，1+7d，∵a2?a3＝a8，∴?，即（1+d）（1+2d）＝（1+7d），整理，得d2﹣2d＝0，解得d＝0（舍去），或d＝2．∴1+2（n﹣1）＝2n﹣1，∴a n＝（2n﹣1）2，n∈N*．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，[]，∴S n＝b1+b2+…+b n（1）（）[][1][1]．本题主要考查数列求通项公式的计算，以及运⽤裂项相消法计算前n项和．考查了转化与化归思想，⽅程思想，裂项相消法的运⽤，以及逻辑思维能⼒和数学运算能⼒．本题属中档题．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平⾯ABCD⊥平⾯P AD，AD∥BC，AB＝BC AD＝1，∠APD＝∠BAD＝90°．（Ⅰ）求证：PD⊥PB；（Ⅱ）当P A＝PD时，求三棱锥P﹣BCD的体积．（Ⅰ）推导出BA⊥AD，BA⊥PD，AP⊥PD，从⽽PD⊥平⾯P AB，由此能证明PD⊥PB；（Ⅱ）取AD中点O，连接PO，则PO⊥AD，证明PO⊥平⾯ABCD，再由棱锥体积公式求解．证明：（Ⅰ）∵∠BAD＝90°，∴BA⊥AD，∵平⾯ABCD⊥平⾯P AD，交线为AD，∴BA⊥平⾯P AD，从⽽BA⊥PD，∵∠APD＝90°，∴AP⊥PD，∵BA∩AP＝A，∴PD⊥平⾯P AB，∵PB?平⾯P AB，∴PD⊥PB；解：（Ⅱ）∵P A＝PD，取AD中点O，连接PO，则PO⊥AD，由平⾯ABCD⊥平⾯P AD，交线为AD，得PO⊥平⾯ABCD．⼜∠APD＝90°，AD＝2，得PO＝1，∴．即三棱锥P﹣BCD的体积为．本题考查空间中线线、线⾯、⾯⾯间的位置关系等基础知识，考查空间想象能⼒与思维能⼒，训练了多⾯体体积的求法，是中档题．19．2022年冬奥会将由北京和张家⼝联合举办，其中冰壶⽐赛将在改造⼀新的⽔⽴⽅进⾏．⼥⼦冰壶⽐赛将由来⾃全球的⼗⽀最优秀的队伍参加，中国⼥⼦冰壶队作为东道主，将对奥运冠军发起冲击．（Ⅰ）已知参赛球队包括来⾃亚洲的中国队、⽇本队和韩国队，来⾃美洲的加拿⼤对和美国队，以及来⾃欧洲的瑞⼠队、英国对、瑞典队、丹麦队和德国队．每⽀球队有四名参赛队员．若赛前安排球员代表合影，需要以分层抽样的⽅式从三个⼤洲的运动员中抽取10名运动员，则每个⼤洲各需要抽取多少运动员？（Ⅱ）此次参赛的夺冠热门队伍包括加拿⼤对、瑞⼠队、英国对、瑞典队和东道主中国队，若⽐赛的揭幕战随机的从这五⽀球队中选择两⽀球队出站，求中国队被选中的概率．（Ⅰ）利⽤分层抽样法求出从亚洲、美洲、欧洲运动员中抽取的⼈数；（Ⅱ）利⽤列举法求出基本事件数，计算所求的概率值．（Ⅰ）利⽤分层抽样法从亚洲运动员中抽取103（⼈），从美洲运动员中抽取102（⼈），从欧洲运动员中抽取105（⼈）；（Ⅱ）从“加拿⼤队、瑞⼠队、英国队、瑞典队和中国队”中任选两队，基本事件是{加拿⼤队，瑞⼠队}，{加拿⼤队，英国队}，{加拿⼤队，瑞典队}，{加拿⼤队，中国队}，{瑞⼠队，英国队}，{瑞⼠队，瑞典队}，{瑞⼠队，中国队}，。

【新结构】2024届东北三省四市教研联合体高考模拟（二）数学试题❖一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合，，则()A.B.C.D.2.已知复数z 满足，则在复平面内对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知角的终边与单位圆的交点，则()A.B.C.D.4.根据分类变量x 与y 的成对样本数据，计算得，依据的独立性检验，结论为()参考值：A.x 与y 不独立B.x 与y 不独立，这个结论犯错误的概率不超过C.x 与y 独立D.x 与y 独立，这个结论犯错误的概率不超过5.函数在处的切线方程为()A.B.C. D.6.等差数列中，，前n 项和为若，则()A.B. C.D.7.已知函数的图象经过原点，且无限接近直线，但又不与该直线相交，则()A.B.C.D.8.已知正四棱锥的侧棱长为2，且二面角的正切值为，则它的外接球表面积为()A.B.C.D.二、多选题：本题共3小题，共18分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.四名同学各投掷骰子5次，分别记录骰子出现的点数.根据四名同学的统计结果，可能出现点数6的是()A.平均数为5，中位数为2B.众数为2，中位数为3C.平均数为2，方差为D.平均数为3，方差为10.抛物线的焦点F到准线的距离为4，过抛物线的焦点作两条互相垂直的直线，与抛物线C分别交于点A，B和点M，N，则()A.抛物线C的准线方程是B.过抛物线C的焦点的最短弦长为8C.若弦MN的中点为，则直线MN的方程为D.四边形AMBN面积的最小值为12811.阿基米德多面体是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，截角四面体是阿基米德多面体其中的一种.如图所示，将棱长为3a的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面得到所有棱长均为a的截角四面体，则下列说法中正确的是()A.点E到平面ABC的距离为B.直线DE与平面ABC所成角的正切值为2C.该截角四面体的表面积为D.该截角四面体存在内切球三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

一、单选题二、多选题1. 命题“存在实数，使”的否定是（ ）A ．不存在实数，使B ．存在实数，使C ．对任意的实数x，都有D ．对任意的实数x，都有2. 在正方体中，、分别是线段、上的动点，且直线与所成的角为，则下列直线中与所成的角必为的是（ ）．A．B．C．D．3. 已知，，则A ．1B ．-1C ．2D ．-24. 已知菱形沿对角线向上折起，得到三棱锥分别是棱的中点.设三棱锥的外接球为球，则下列结论正确的个数为（）①；②上存在点，使得平面；③当二面角为时，球的表面积为.④三棱锥的体积最大值为1.A ．1B ．2C ．3D ．45.过抛物线焦点作倾斜角为的直线交抛物线于，则（ ）A．B．C ．1D ．166. 复数，则（ ）A．B．C．D．7. 数学与音乐有着紧密的关联，我们平时听到的乐音一般来说并不是纯音，而是由多种波叠加而成的复合音．如图为某段乐音的图像，则该段乐音对应的函数解析式可以为（）A．B．C．D．8. 已知，则（ ）A ．有最大值1B ．有最小值1C ．有最大值2D ．有最小值2东北三省三校2022届高三第二次联合模拟考试数学（文科）试题东北三省三校2022届高三第二次联合模拟考试数学（文科）试题三、填空题四、解答题9. 已知函数的零点构成一个公差为的等差数列，把的图象沿轴向右平移个单位得到函数的图象，则（ ）A ．在上单调递增B ．是的一个对称中心C．是奇函数D ．在区间上的值域为10. 下列说法不正确的是（ ）A ．存在，使得B．函数的最小正周期为C ．函数的一个对称中心为D ．若角的终边经过点，则角是第三象限角11.设函数，则关于函数说法正确的是（ ）A ．函数是偶函数B ．函数在单调递减C ．函数的最大值为D ．函数图像关于点对称12. 我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，如图，利用了双曲线的光学性质：，是双曲线的左､右焦点，从发出的光线射在双曲线右支上一点，经点反射后，反射光线的反向延长线过；当异于双曲线顶点时，双曲线在点处的切线平分.若双曲线的方程为，则下列结论正确的是（）A ．射线所在直线的斜率为，则B．当时，C ．当过点时，光线由到再到所经过的路程为13D．若点坐标为，直线与相切，则13.已知，设，①当时，的最大值为______.②当时，的最大值为______.14.在中，记角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，面积为S ，则的最大值为______15.已知函数，.给出下列四个结论：①；②存在，使得；③对于任意的，都有；④.其中所有正确结论的序号是___________.16. 如图，已知双曲线的方程为（），两条渐近线的夹角为，焦点到渐近线的距离为．、两动点在双曲线的两条渐近线上，且分别位于第一象限和第四象限，是直线与双曲线右支的一个公共点，.（1）求双曲线的方程；（2）当时，求的取值范围；（3）试用表示的面积，设双曲线上的点到其焦点的距离的取值范围为集合，若，求的取值范围.17. 直三棱柱中，为正方形，，，为棱上任意一点，点、分别为，的中点.(1)求证：平面；(2)当点为中点时，求直线和平面所成角的正弦值.18.如图，在三棱柱中，平面ABC，D为线段AB的中点，，，，三棱锥的体积为8．(1)证明：平面；(2)求平面与平面夹角的余弦值．19.已知椭圆C： (a>b>0)的焦点为F1，F2，离心率为，点P为其上一动点，且三角形PF1F2面积的最大值为，O为坐标原点．（1）求椭圆C的方程；（2）若点M，N为C上的两个动点，求常数m，使·＝m时，点O到直线MN的距离为定值，求这个定值．20. 人工智能是研究用于模拟和延伸人类智能的技术科学，被认为是21世纪最重要的尖端科技之一，其理论和技术正在日益成熟，应用领域也在不断扩大.人工智能背后的一个基本原理：首先确定先验概率，然后通过计算得到后验概率，使先验概率得到修正和校对，再根据后验概率做出推理和决策.基于这一基本原理，我们可以设计如下试验模型；有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有9个红球和1个白球乙袋中有2个红球和8个白球.从这两个袋子中选择一个袋子，再从该袋子中等可能摸出一个球，称为一次试验.若多次试验直到摸出红球，则试验结束.假设首次试验选到甲袋或乙袋的概率均为（先验概率）.(1)求首次试验结束的概率；(2)在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率（先验概率）进行调整.①求选到的袋子为甲袋的概率，②将首次试验摸出的白球放回原来袋子，继续进行第二次试验时有如下两种方案；方案一，从原来袋子中摸球；方案二，从另外一个袋子中摸球.请通过计算，说明选择哪个方案第二次试验结束的概率更大.21. 已知双曲线与双曲线有相同的渐近线，A，F分别为双曲线C的左顶点和右焦点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于第一象限的点B，的面积为(1)求双曲线C的方程；(2)若直线与双曲线的左､右两支分别交于M，N两点，与双曲线的两条渐近线分别交于P，Q两点，，求实数的取值范围.。

2024年东北三省四城市联考暨沈阳市高三质量检测（二）数 学（参考答案）一、单项选择题：1．D 2．B 3. A 4．C 5.A 6．C 7.B 8.C 二、多项选择题:6．()662163264P A −==，事件AB =“取出的重卦中有3阳3阴或4阳2阴或5阳1阴” 则()345666641264C C C P AB ++==，则()()()4163P AB P B A P A == 【答案】C7. 直线1PA ，1PB ，1PC ，1PD 与平面1111A B C D 所成角大小分别为1θ，2θ，3θ，4θ等价于直线1PA ，1PB ，1PC ，1PD 与直线1AA ，1BB ，1CC ，1DD 成角大小分别为12πθ−，22πθ−，32πθ−,42πθ−，由13θθ=，可知P 在线段BD 上，又24θθ>，则2422ππθθ−<−，1PB 与1BB 成角更小，则点P 在线段OB 上 【答案】B8.由题意可知，两个函数图像都在x 轴上方，任何一个为导函数，则另外一个函数应该单调递增，判断可知，虚线部分为()y f x '=，实线部分为()y f x =，则A ，B 显然错误，对于C ，D 而言，()2()e ()e ()()e e x x x x f x f x f x f x y ''−−'==，由图像可知(),0x ∈−∞，()e xf x y =单调递增，()0,x ∈+∞，()e x f x y =单调递减，所以函数()e xf x y =在0x =处取得最大值为1 【答案】C 9. 由实系数一元二次方程求根公式知i z i z 2321,232121−−=+−=，21,z z 是1的两个立方虚根， 则222123212321z i i z =−−=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+−=(与21,z z 顺序无关），A 正确； 因为13231==z z ，所以03231=−z z ，B 正确；0122221≠−=−z z z z ，C 错误；2121111z z z z z ===，D 正确.【答案】ABD10．已知所有棱长都相等，不妨设为1.A ：过S 作直线l ∥AD ，则l 为平面SAD 与平面SBC 的交线，取AD 中点E ，BC 中点F ，连接ES ，FS ， 则∠ESF 为二面角A-l -B 的平面角，连接EF ，在△EFS 中， cos∠ESF =(√3)2+(√3)2−12(√32)2 = 13≠0所以平面SAD 与平面SBC 不垂直，故A 错；B ：取SB 中点G ，SC 中点H ，连接OGH ，可知平面OGH ∥平面SAD ，所以当P ∈GH 时，OP ∥平面SAD ，这样的点P 有无穷多，故B 正确；C ：由已知可知当Q 在正方形ABCD 各边中点时，SQ 与底面ABCD 所成的角最大， cos∠SEO =12√32=√33>12，所以∠SEO<π3，所以不存在Q 使得SQ 与底面ABCD 成的角为π3，故出错误；D ：作OI 垂直于MN ，连接SI ，则∠SIO 为二面角S-MN-O 的平面角，当MN 都无限向点B 靠拢时，∠SIO →π4；当M →A ，N →C 时，∠SHO →π2， 所以二面角S-MN-O 范围是(π4，π2)，故D 正确. 【答案】BD 11.A ：|a n |=1(n−c )2+1，|a n+1|=1(n+1−c )2+1，(n +1−c )2+1−[(n −c )2+1]=2n +1−2c因为c ≤1,n ∈N ∗，所以2n +1−2c >0 所以(n +1−c )2+1>(n −c )2+1 所以|a n+1|<|a n |，即数列{||}n a 单调递减，故A 正确； B ：a 1=−1(1−c )2+1<0当n 为偶数时，1n a a ≥必成立，c 任意；当n 为奇数且n ≥3时，1n a a ≥为−1(n−c )2+1≥−1(1−c )2+1 等价于(n −c )2+1≥(1−c )2+1 等价于c ≤n+12，而(n+12)min=2，所以c ≤2. 综上c ≤2，故B 错误；C ：显然当i,j 同奇或同偶时，必有0i j a a +≠当i 为奇数，j 为偶数时，a i +a j =−1(i −c )2+1+1(j −c )2+1=(i +j −2c )(i −j )[(i −c )2+1][(j −c )2+1]因为i+j 为奇数，2c 为偶数，*c ∈N ，所以i +j −2c ≠0， 所以0i j a a +≠，故C 正确；D ：先考虑最大项，最小项和为0，再调整： 若和为0，则c 必为相邻两整数正中间，如：上图是c=3.5情形，a 3+a 4=0；当c →3.4时，会有|a 3|>|a 4|,a 3+a 4<0,如下图——当c →3.6时，会有|a 3|<|a 4|,a 3+a 4>0,如下图——即c 靠近偶数时，{}n a 的最大项与最小项之和为正数，临界值为*1122,22k c k k −<<+∈N ，故D 正确.【答案】ACD12.3381log 16333313log 2,161118181log log 2log 22log 31616161616f f f f −<<−⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+=++===⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 13.设点),(y x P ，由PA PB 2=得422=+y x ，若该圆上有且只有3个点直线:340l x y m ++=的距离为1，则圆心到直线的距离1==md ，解得5±=m .1,3,5,,21n +，42121212n n n C +++++21212n n C ++++210212n n C ++−−15．（1）因为sin cos a B A =，由正弦定理可得sin sin cos A B B A =……3分 sin 0B ≠，所以sin A A =，故tan 3A =−，23A π∠= ………………6分 （2）由题意可知ABD ACD ABC S S S ∆∆∆+=，即111sin 60sin 60sin120222c b bc +=，化简可得b c bc +=， ……………9分 在ABC ∆中，由余弦定理得()2222221cos 222b c bc a b c a A bc bc +−−+−===−从而()2220122bc bc bc −−=−，解得5bc =或4bc =−（舍） ………………12分所以11sin 5sin12022534ABC S bc A ∆==⨯= ………………13分16.（1）当0a =时，()e x x f x =，则1()e x x f x −'=，(1)0f '=，1(1)ef =， 所以切线方程为1ey =………………3分 （2）当1a =时，()e e x xf x x −=−，21e ()(1)e e e x x x xx f x x −−−'=−−= ………………4分令2()1e x g x x =−−，2()12e 0x g x '=−−<故()g x 在R 上单调递减，而(0)0g =，因此0是()g x 在R 上的唯一零点即：0是()f x '在R 上的唯一零点 ………………6分 当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：()f x (,0)−∞ ………………8分 ()f x 的极大值为(0)1f =−，无极小值. ………………9分 （3）由题意知1−−≤−x x xeae xe，即x x x e e xe a 1−−−≥，即ee x a x 12−≥，设()e e x x m x 12−=，则()()x x x x e x e xe e x m 22222212−=−='， ………………………………11分令()0='x m ，解得21=x ， 当()()x m x m x ,0,21,>'⎪⎭⎫ ⎝⎛∞−∈单调递增，当()()x m x m x ,0,,21<'⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞∈单调递减， 所以()ee e m x m 2112121max −=−=⎪⎭⎫ ⎝⎛=， ……………………………………………14分 所以ea 21−≥. ………………………………………………………………………………15分17．（1）方法一：AB B A 2111= ,112222AA AB AA AD ∴⋅=⋅== ………………1分 1121AA AD A D −−=()()111121211AA AD AB AP A D P D −+⎪⎭⎫ ⎝⎛−+−=+=∴λλλ ……………2分()()()AD AB AA AD AB AC P D +⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡−+⎪⎭⎫ ⎝⎛−+−=⋅∴11121211λλλ()()()11221121211AA AD AA AB AD AB ⋅−+⋅−+⎪⎭⎫ ⎝⎛−+−=λλλλ()()0142121818=−+⎪⎭⎫ ⎝⎛−+−=λλλ,1AC P D ⊥∴即.1AC P D ⊥ ……………………………………………………5分（1）方法二：如图所示建立空间直角坐标系，设正四棱台的高度为h ，则有 )A，)B，()C ，()D ，122A h ⎛⎫− ⎪ ⎪⎝⎭，122C h ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，122D h ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，()0,2,0M()AC =−()()1(1),22222AP h λλλλ⎛⎫⎛⎫=−+−+−=− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭132D A h ⎛⎫=− ⎪ ⎪⎝⎭112222D P D A AP h h λ⎛⎫=+=−+−+− ⎪ ⎪⎝⎭………………………4分 故10AC D P ⋅=，所以1D P AC⊥………………………………………5分（2）方法一：确定正四棱台的高（传统法） 取OC 中点E ,则ABCD E C 平面⊥1，作AM EF ⊥，垂足为F ，连结F C 1，由三垂线定理得AM F C ⊥1，所以FE C 1∠为平面1AMC 与平面ABCD 所成二面角的平面角，因为22=AB ，2324343=⨯==∆∆AMC AME S S , ……………………………………7分 10103,2321=∴=⋅∴EF AM EF ………………………………………………8分,3102tan ,73cos 11=∠∴=∠FE C FE C 即2,310211=∴=E C EF E C ………………11分 方法二：确定正四棱台的高（空间向量） 设平面ABCD 的法向量为()0,0,1n =设平面1AMC 的法向量为(),,m x y z =，()AM =−，122AC h ⎛⎫=− ⎪ ⎪⎝⎭则有10AM m AC m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即0022x y hz ⎧+=⎪⎨−++=⎪⎩，令x =，则()22,3m = ………………8分又题意可得3cos ,7m n ==，可得2h = ………………11分因为23λ=，经过计算可得40,0,3P ⎛⎫⎪⎝⎭，1D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，142,3D P ⎛⎫= ⎪⎭ ………………13分 将2h =代入，可得平面1AMC 的法向量()42,2m = ………………14分 设直线DP 与平面1AMC 所成角的为θsin cos ,DP m θ===………………17分 18.（1）设(),B x y '，POP θ'∠=，则cos sin x OP y OB θθθθ⎧==⎪⎨==⎪⎩， ……………3分消去θ得22163x y +=所以B '点轨迹Ω的方程22163x y += ……………5分 （2）方法一：设()11,M x y ，()22,N x y ，直线MN 的方程为y kx m =+22163x y y kx m⎧⎪⎨+==+⎪⎩消去y 可得：()222124260k x kmx m +++−= ()()()22222441226488240km k m k m ∆=−+−=−+>，即2263m k <+ 从而122412kmx x k −+=+，21222612m x x k −=+1212121211112222AM AN y y kx m kx m k k x x x x −−+−+−⋅=⋅=⋅−−−−()()()()2212121212111242k x x k m x x m x x x x +−++−==−++整理得24210k km m ++−=，即()()()()2412121210k m k k k m −++=+−+= ………………8分当210k +=时，直线MN 的方程为12y x m =−+ 当210k m −+=时，直线MN 的方程为()21y k x =−+，恒过()2,1A 点，不合题意………………10分 设(),G G G x y ，将()11,M x y ，()22,N x y将M N 、两点代入到椭圆中22112222163163x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 两式相减得22221212063x x y y −−+=，即()()()()()()1212121212121212032602y y y y y y y y x x x x x x x x +⎛⎫−− ⎪−+⎝⎭==−+−+⎛⎫−− ⎪⎝⎭，12MN OG k k ⋅=−，故1OGk = ………………14分设OG 与y 轴负半轴所形成的夹角为α，因为1OG k =，所以4πα=设OA 与x 轴正半轴所形成的夹角为β，因为()2,1A，所以sin 5β=，cos 5β= cos cos 2AOG παβ⎛⎫∠=++ ⎪⎝⎭()()sin sin cos cos 1si 0n αβαβαβ=−+=−+=− …………17分方法二：设()11,M x y ，()22,N x y ，直线AM 的方程为()21y k x =−+()2221163y k x x y ⎧⎪⎨+==−+⎪⎩消去y 可得：()()222212848840k x k k x k k +−−+−−= 从而21288412A k k x x k−−⋅=+，故21244212k k x k −−=+， 将1x 代入直线AM 的方程可得21244112k ky k −−=++，所以222244244,11212k k k k M k k ⎛⎫−−−−+ ⎪++⎝⎭又12AM AN k k ⋅=，将上式点M 中的k 换成12k 得到22224424,11212k k k N k k ⎛⎫−−−−+ ⎪++⎝⎭212112MN y y k x x −==−−，下面同方法一方法三： 以()2,1A 为坐标原点建立新的直角坐标系，新坐标系下椭圆方程()()2221163x y −−+=，在新坐标系下设()11,M x y ，()22,N x y ，直线MN 的方程为1mx ny +=将椭圆方程变形可得：224240x x y y +++=将直线MN 的方程与椭圆方程结合，构成其次分式可得()()224240x x mx ny y y mx ny +++++=整理得()()()224244140n y n m xy m x +++++=即：()()()24244140y y n n m m x x ⎛⎫+++++= ⎪⎝⎭，所以1212141422AM AN y y m k k x x n +⋅=⋅==+，故2n m =， 直线MN 的方程为21mx my +=，12MN k =−，下面同方法一方法四：设()11,M x y ，()22,N x y ，直线MN 的方程为y kx m =+22163x y y kx m ⎧⎪⎨+==+⎪⎩消去y 可得：()222124220k x kmx m +++−= 因为1x ，2x 是上述一元二次方程的两个根，所以()()()()2222121242212k xkmx m k x x x x +++−=+−−①又1212111222AM AN y y k k x x −−⋅=⋅=−− 整理得：()()()()121222211x x y y −−−−− ()()21212112220m m x x k x x k k −−⎛⎫⎛⎫=−−−+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭在①式中令2x =得：()()()()222124128221222kkm mk x x +++−=+−−②令1m x k −=得：()()()222212211111242212m m m m k km m k x x k k k k −−−−⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++−=+−− ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭③②+③()22k ⨯−可得：整理得24210k km m ++−=，下面同方法一（以上方法可酌情给分）19.（1）剔除第10天数据的()911 2.2100.4 2.499i i y y=⨯−===∑新，()12959t +++==新101118.73100.4114.73i i i t y =⎛⎫=−⨯= ⎪⎝⎭∑新；1022138510285i i t =⎛⎫=−= ⎪⎝⎭∑新所以12221114.7395 2.4673285956000ni ii nii b x y nx yxnx==−−⨯⨯===−⨯−∑∑故67322072.4560001200a =−⨯=，所以673220760001200y x =+. ……………4分 （以上每个新数据求解正确，可给1分）（2）由题意可知()1223355n n n P P P n −−=+≥，其中125P =，22231955525P =⨯+= ……6分 将此式变形可得112123232525555n n n n n n P P P P P P λλλλ−−−−−⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫−=−+=−+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪−⎝⎭令3525λλ−=−，解得1λ=或35λ=− ………………8分方法一：当35λ=−时，则()11233355n n n n P P P P n −−−+=+≥，所以135n n P P −⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为常数列首项为2131932152555P P +=+⨯=，故()13125n n P P n −+=≥， 将()13125n n P P n −+=≥变形可得()15352858n n P P n −⎛⎫−=−−≥ ⎪⎝⎭所以58n P ⎧⎫−⎨⎬⎩⎭是以首项为1525985840P −=−=−，公比为35−的等比数列 故15938405n n P −⎛⎫−=−− ⎪⎝⎭，即19354058n n P −⎛⎫=−−+ ⎪⎝⎭………………12分 方法二：当1λ=时，则()()112335n n n n P P P P n −−−−=−−≥， 所以{}1n n P P −−是以首项为21192925525P P −=−=，公比为35−的等比数列， 故()21932n n n P P n −−⎛⎫−=−≥ ⎪成立 ，25593255⎝⎭⎛⎫− ⎪⎝⎭累加可得 0121933325555n n P P −⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫−=−+−++−⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦213319139553254054015n n −−⎛⎫⎛⎫+−⨯− ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭==−−+ ⎪⎛⎫⎝⎭−− ⎪⎝⎭故1113940540n n P P −⎛⎫=−−++ ⎪⎝⎭，即1935533=4058885n nn P −⎛⎫⎛⎫=−−++− ⎪⎪⎝⎭⎝⎭………………12分 （3）解答：①当n 为偶数时，5335330885885nnn P ⎛⎫⎛⎫=+−=+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭单调递减，最大值为21925P =；当n 为奇数时，5335330885885nnn P ⎛⎫⎛⎫=+−=−< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭单调递增，最小值为125P =； 综上：数列{}n P 的最大值为1925，最小值为25. ………………………………14分②证明：对任意0ε>总存在正整数0358log 13N ε⎡⎤⎛⎫=+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，（其中[]x 表示取整函数）当358log 13n ε⎡⎤⎛⎫>+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦时，…………………………17分。

东北三省四市沈阳、大连、长春哈尔滨、第二次联合考试数学（文史类）参考公式：一般地，假设有两个变量X 和Y ，它们的可能取值分别为12{,}x x 和扫12{,}y y ，其样随机变量22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++第I 卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中。

只有一项是符合题目要求的）1．设集合A={1，2}，则满足{1,2,3}A B =，的集合B 的个数是 （A ）1 （B ）3 （C ）4 （D ）82．若复数而312a ii++， （a ∈R ，i 为虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值为 （A ）-2 （B ）6 （C ）4 （D ）-63．已知向量m ，n 满足m=（2，0），3(,22n =．∆ABC ，AB = 2m+2n, 2AC =6m n -，D 为BC 边的中点，则||AD =（A ）2 （B ）4 （C ）6（D ）84．关于函数()sin cos f x x x =+下列命题正确的是（A ）函数()f x 最大值为2 （B ）函数()f x 的一条对称轴为4x π=（C ）函数()f x 的图象向左平移4π个单位后对应的函数是奇函数 （D ）函数产|()|y f x =的周期为2π5．如图给出的是计算1111 (3529)++++的值的一个程序框图，则图中执行框内①处和判断框中的②处应填的语句是（A ）2,15n n i =+= （B ）2,15n n i =+> （C ）1,15n n i =+= （D ）1,15n n i =+>6．两个平面α与β相交但不垂直，直线m 在平面α内，则在平面β内 （A ）一定存在直线与m 平行，也一定存在直线与m 垂直 （B ）一定存在直线与m 平行，但不一定存在直线与m 垂直 （C ）不一定存在直线与m 平行，但一定存在直线与m 垂直 （D ）不一定存在直线与m 平行，也不一定存在直线与m 垂直7．在2010年3月15日那天，哈市物价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量及其y是； 3.2y x a =-+，（参考公式：回归方程；,y bx a a y bx =+=-），则a =（ ） A ．-24 B ．35．6 C ．40．5 D ．408．已知等差数列{}n a 与等比数列{}n b ，满足33a b =，32420b b b -=．则{}n a 前5项的和5S 为 （A ）5（B ）20 （C ）10（D ）409．已知点(,)P x y 是直线40(0)kx y k ++=>上一动点，PA 、PB 是圆C ：2220x y y +-=的两条切线，A 、B 是切点，若四边形PA CB 的最小面积是2，则k 的值为（A（B ）2（C ） （D ）2 10．正方体ABCD 1111A B C D -中M ，N ，P 分别为11A B ，CD ，11B C 的中点，则下列中与直线AM 有关的正确命题是（A ）AM 与PC 是异面直线 （B ）AM PC ⊥（C ）AM //平面1BC N（D ）四边形AMC 1N 为正方形11．已知P 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>左支上一点，12,F F 为双曲线的左右焦点，且12120,cos PF PF PF F =∠则此双曲线离心率是（A （B ）5 （C ） （D ）312．已知定义在（0，+∞）上的函数()f x 为单调函数，且1()[()]1f x f f x x+=，则(1)f =（A ）1 （B （C （D第II 卷（非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分第13题～第21题为必考题，每个试题学生都必须做答第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题（本题共4个小题。

2024年东北三省四市教研联合体高考模拟（二）数学试卷（本试卷满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的姓名、准考证号分别填写在试卷和答题卡规定的位置上.2．答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡对应题目的答案涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其它答案.非选择题的答案必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题卡上相应的区域内，写在本试卷上无效.一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}1,0,1,2,3A =-，{}2N 60B x x x =∈--<，则A B = （）A.{}1,2 B.{}0,1,2 C.{}1,0,1- D.{}1,0,1,2-【答案】B 【解析】【分析】本题解出一元二次不等式，再取解集范围内的自然数，从而求得B 集合的解集，再求其与集合A 的交集即可得出结果.【详解】{}{}{}2N 60N 230,1,2B x x x x x =∈--=∈-= ＜＜＜，又{}1,0,1,2,3A =-，{}0,1,2A B ∴⋂=.故选：B2.已知复数z 满足236i z z -=+，则z 在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】A 【解析】【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，共轭复数的定义，以及复数的几何意义，即可求解.【详解】设()i ,R z a b a b =+∈，则i z a b =-，因为236i z z -=+，所以()()2i i 36i a b a b --+=+，即3i 36i a b -=+，所以3,2a b ==-，所以z 在复平面内对应的点坐标为()3,2，位于第一象限.故选：A .3.已知角α的终边与单位圆的交点34,55P ⎛⎫-⎪⎝⎭，则πsin 2α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A.45-B.35-C.35D.45【答案】B 【解析】【分析】根据题意可知3cos 5α=，利用诱导公式运算求解.【详解】因为角α的终边与单位圆的交点34,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，可知3cos 5α=，所以π3sin cos 25αα⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭.故选：B.4.根据分类变量x 与y 的成对样本数据，计算得2 2.826χ=，依据0.05α=的独立性检验，结论为（）参考值：α0.10.050.01x α2.7063.8416.635A.x 与y 不独立B.x 与y 不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.05C.x 与y 独立D.x 与y 独立，这个结论犯错误的概率不超过0.05【答案】C 【解析】【分析】利用独立性检验的基本思想即可得解.【详解】零假设0H 为：x 与y 独立，由2 2.826 3.841χ=<，依据0.05α=的独立性检验，可得0H 成立，故可以认为x 与y 独立.故选：C .5.函数()31f x x =+在=1x -处的切线方程为（）A.46y x =+B.26y x =-+C.33y x =--D.31y x =--【答案】D 【解析】【分析】当0x <时()31f x x =-+，利用导数的几何意义求出切线的斜率，再由点斜式求出切线方程.【详解】因为()31f x x =+，则()()31112f -=-+=，当0x <时()31f x x =-+，则()23f x x '=-，所以()()21313f '-=-⨯-=-，所以切点为()1,2-，切线的斜率为3-，所以切线方程为()231y x -=-+，即31y x =--.故选：D6.等差数列{}n a 中，12020a =，前n 项和为n S ，若101221210S S -=-，则2023a =（）A.2026-B.2024- C.2- D.3-【答案】B 【解析】【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，根据等差数列求和公式得到()112n n d S a n -=+，由101221210S S -=-求出d ，即可得到通项公式，再由通项公式计算可得.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则()112n n n dS na -=+，所以()112n n d S a n -=+，因为101221210S S -=-，即()()11121101222dd a a ⎡⎤--+-+=-⎢⎥⎣⎦，解得2d =-，所以()1122022n a a n d n =+-=-+，所以20232202320222024a =-⨯+=-.故选：B7.已知函数||12x y a b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象经过原点，且无限接近直线2y =，但又不与该直线相交，则ab =（）A.1-B.2-C.4-D.9-【答案】C 【解析】【分析】由题意可得0a b +=且2b =，求出a ，即可求解.【详解】因为函数1()(2xy f x a b ==+图象过原点，所以01()02a b +=，得0a b +=，又该函数图象无限接近直线2y =，且不与该直线相交，所以2b =，则2a =-，所以4ab =-.故选：C8.已知正四棱锥P ABCD -的侧棱长为2，且二面角P AB C --，则它的外接球表面积为（）A.16π3 B.6πC.8πD.28π3【答案】A 【解析】【分析】设正方形ABCD 中心为O ，取AB 中点H ，连接PO 、PH 、OH ，由正四棱锥的性质可知PH AB ⊥，OH AB ⊥，PO ⊥平面ABCD ，则PHO ∠为二面角P AB C --的平面角，设正方形ABCD 的边长为()0a a >，利用锐角三角函数求出a ，即可求出PO ，AO ，再设球心为G ，则球心在直线PO 上，设球的半径为R ，利用勾股定理求出R ，最后再由球的表面积公式计算可得.【详解】设正方形ABCD 中心为O ，取AB 中点H ，连接PO 、PH 、OH ，则PH AB ⊥，OH AB ⊥，PO ⊥平面ABCD ，所以PHO ∠为二面角P AB C --的平面角，即tan POPHO OH∠==，设正方形ABCD 的边长为()0a a >，则62PO a =，又122AO AC ==，2PA =，所以222PO AO PA +=，即2262422a a ⎛⎫⎛⎫+=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得a =，则PO =，1AO =，设球心为G ，则球心在直线PO 上，设球的半径为R ，则)2221R R=+，解得233R =，所以外接球的表面积22164π4ππ33S R ⎛==⨯= ⎪⎝⎭.故选：A【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是确定二面角的平面角，利用锐角三角函数求出底面边长与高，再由正四棱锥的性质确定球心在PO 上.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.四名同学各投掷骰子5次，分别记录骰子出现的点数．根据四名同学的统计结果，可能出现点数6的是（）A.平均数为5，中位数为2B.众数为2，中位数为3C.平均数为2，方差为2.4D.平均数为3，方差为2.8【答案】BD 【解析】【分析】推出A 、C 数据矛盾，利用特例说明B 、D.【详解】对于A ，若平均数为5，则点数和为5525⨯=，又中位数为2，则从小到大排列的前3个数不能大于2，即和不超过6，后2个数的和最大为12，显然不满足条件，故不可能出现平均数为5且中位数为2的数据，故A 错误；对于B ，当掷骰子出现的结果为2，2，3，4，6时，满足中位数为3，众数为2，可以出现点6，所以B 正确；对于C ，若平均数为2，且出现点数6，则方差221(62) 3.2 2.45s >-=>，所以当平均数为2，方差为2.4时，一定不会出现点数6，所以C 错误；对于D ，当掷骰子出现的结果为1，2，3，3，6时，满足中位数为3，平均数为1(12336)35++++=，方差为2222221(13)(23)(33)(33)(63) 2.85s ⎡⎤=-+-+-+-+-=⎣⎦，所以可以出现点6，所以D 正确，故选：BD10.抛物线()2:20C y px p =>的焦点F 到准线的距离为4，过抛物线的焦点作两条互相垂直的直线，与抛物线C 分别交于点A ，B 和点M ，N ，则（）A.抛物线C 的准线方程是4x =-B.过抛物线C 的焦点的最短弦长为8C.若弦MN 的中点为()m,2，则直线MN 的方程为24y x =-D.四边形AMBN 面积的最小值为128【答案】BCD 【解析】【分析】首先表示出焦点坐标与准线方程，依题意求出p ，即可得到抛物线方程，从而判断A ，根据焦点弦的性质判断B ，利用点差法求出MN k ，即可判断C ，设直线AB 为()()20y k x k =-≠，联立直线与抛物线方程，消元，列出韦达定理，由焦点弦公式表示出AB ，MN ，再由12AMBN S AB MN =及基本不等式计算面积最小值，即可判断D.【详解】抛物线()2:20C y px p =>焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程为2px =-，依题意可得4p =，则抛物线方程为28y x =，所以准线方程为2x =-，故A 错误；过抛物线C 的焦点且与x 轴垂直时弦长最短，最短弦长为28p =，故B 正确；设()11,M x y ，()22,N x y ，则2118y x =，2228y x =，所以()2212128y y x x -=-，即()()()1212128y y yy x x -+=-，又弦MN 的中点为(),2m ，所以124y y +=，所以12121282y y x x y y -==-+，即2MN k =，又弦MN 过焦点()2,0F ，所以弦MN 的方程为()22y x =-，即24y x =-，故C 正确；依题意直线AB 的斜率存在且不为0，设直线AB 为()()20y k x k =-≠，由()228y k x y x⎧=-⎨=⎩，消去y 整理得()22224840k x k x k -++=，显然0∆>，所以2248A B k x x k ++=，所以22248848A B k AB x x p k k+=++=+=+，同理可得288MN k =+，所以()2222118188832222AMBN S AB MN k k k k ⎛⎫⎛⎫==++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭322128⎛≥+= ⎝，当且仅当221k k=，即1k =±时取等号，故D 正确.故选：BCD11.阿基米德多面体是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，截角四面体是阿基米德多面体其中的一种．如图所示，将棱长为3a 的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面得到所有棱长均为a 的截角四面体，则下列说法中正确的是（）A.点E 到平面ABC 的距离为263a B.直线DE 与平面ABC 所成角的正切值为2C.该截角四面体的表面积为2D.该截角四面体存在内切球【答案】AC 【解析】【分析】如图，将该截角四面体补成正四面体P MNQ -.对于A ：由平面ABC ∥平面MNQ 可知点E 到平面ABC 的距离即为点S 到平面ABC 的距离，运算求解即可；对于B ：由DE ∥PN ，可知直线DE 与平面ABC 所成角即为PN 与平面MNQ 所成角PNS ∠，运算求解即可；对于C ：根据正三角的面积结合比例关系运算求解；对于D ：假设存在内切球根据对称性可知该球心为正四面体P MNQ -的中心O ，求点O 到平面ABC 的距离即可判断.【详解】如图，将该截角四面体补成正四面体P MNQ -，取底面MNQ 的中心S ，连接,PS NS ，可知PS ⊥平面MNQ ，则2sin 60QMNS ==︒，可得PS ==，对于选项A ：由题意可知：平面ABC ∥平面MNQ ，则点E 到平面ABC 的距离即为点S 到平面ABC 的距离233d PS a ==，故A 正确；对于选项B ：由题意可知：DE ∥PN ，则直线DE 与平面ABC 所成角即为PN 与平面MNQ 所成角PNS ∠，可得tan PSPNS SN∠==，所以直线DE 与平面ABC ，故B 错误；对于选项C ：由题意可知：2139399224MNQ QEF S S a a a ==⨯⨯⨯⨯=△△，则23332EFHILK MNQ QEF S S S =-=△△，所以该截角四面体的表面积为222333334424EFHILK QEF S S a a +=⨯+⨯=△，故C 正确；对于选项D ：若该截角四面体存在内切球，根据对称性可知该球心为正四面体P MNQ -的中心O ，可知OP ON OS ==-，因为222ON NS OS =+，即)2223OSa OS -=+，解得64OS a =，由选项A 可知：点S 到平面ABC 的距离22633d PS a ==，则点O 到平面ABC 的距离为12d OS a OS -=≠，所以该截角四面体不存在内切球，故D 错误；故选：AC.【点睛】关键点点睛：本题解题关键是将该截角四面体补成正四面体P MNQ -，结合正四面体的性质分析求解.三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分．12.已知向量()1,a m = ，(),6b n = ，若3b a = ，则a b ⋅= ______．【答案】15【解析】【分析】根据向量共线的坐标表示求出m 和n ，再利用向量数量积的坐标表示求解即可.【详解】 3b a =，即()(),,633n m =，∴3n =，2m =，∴()1,2a =，()3,6b =r ，∴132615a b ⋅=⨯+⨯= .故答案为：15.13.以双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上一点A 为圆心的圆与x 轴恰好相切于双曲线的右焦点F ，且与y 轴交于B ，C 两点．若ABC 为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率是______．【答案】2【解析】【分析】由题设可得2,b A c a ⎛⎫⎪⎝⎭，根据圆A 与坐标轴的位置关系及ABC 为等腰直角三角形得到关于a 和c的齐次方程，即可求离心率.【详解】A 为双曲线上一点，不妨设A 在第一象限，(),0Fc ，A 与x 轴相切于双曲线的焦点F ，∴A 的横坐标为c ，将x c =代入22221x y a b -=得，22221c y a b -=，又222c a b =+，解得2b y a =±，∴2,b A c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴A 的半径r 为2b AF a =，点A 到y 轴的距离为AN c =,ABC 为等腰直角三角形，所以22cos 2AN c BAN b ABa∠===，所以2c =，即2c =所以210e -=，解得262e =， 1e >，∴2e =，即双曲线的离心率为262.故答案为：2+.14.已知函数()f x 满足：()1tan cos 2f x x=，则111(2)(3)(2024)232024f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭______．【答案】0【解析】【分析】借助三角恒等变换公式可得()1tan 0tan f x f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即可得解.【详解】()2222221cos sin 1tan tan cos 2cos sin 1tan x x x f x x x x x++===--，则()222222221111tan 1tan tan 1tan tan 01tan 1tan 1tan tan 11tan x x x x f x f x x x x x ++++⎛⎫+=+== ⎪---⎝⎭-，则111(2)(3)(2024)232024f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()111232024232024f f f f f f ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦0000=+++=L .故答案为：0.四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15.如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的侧棱长和底面边长均为2，M 是BC 的中点，N 是1AB 的中点，P 是11B C的中点．（1）证明：//MN 平面1A CP ；（2）求点P 到直线MN 的距离．【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）建立如图空间直角坐标系A xyz -，设平面1A CP 的一个法向量为(,,)n x y z =，利用空间向量法证明0MN n ⋅= 即可；（2）利用空间向量法即可求解点线距.【小问1详解】由题意知，1AA ⊥平面ABC ，60BAC ︒∠=，而AB ⊂平面ABC ，所以1AA AB ⊥，在平面ABC 内过点A 作y 轴，使得AB ⊥y 轴，建立如图空间直角坐标系A xyz -，则11(0,0,0),(2,0,0),(0,0,2),(2,0,2)A B C A B，得33((1,0,1),(2222M N P ，所以11312),((,22AC A P MN =-==-- ，设平面1A CP 的一个法向量为(,,)n x y z = ，则112033022n A C x z n A P x y ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令1x =，得1y z ==-，所以(1,1)n =- ，所以11()(1(1)022MN n ⋅=-⨯+-⨯+⨯-= ，又MN 不在平面1A CP 内即//MN 平面1A CP ；【小问2详解】如图，连接PM ，由（1）得(0,0,2)PM =- ，则2MN PM ⋅=-，2MN PM == ，所以点P 到直线MN的距离为d =16.近日，H 市流感频发，主要以1L 型流感为主，据疾控中心调查，全市患病率为5%．某单位为加强防治，通过验血筛查患1L 型流感的员工．已知该单位共有5000名员工，专家建议随机地按k （1k >且为5000的正因数）人一组分组，然后将各组k 个人的血样混合再化验．如果混管血样呈阴性，说明这k 个人全部阴性，其中每个人记作化验1k次；如果混管血样呈阳性，说明其中至少有一人的血样呈阳性，就要对该组每个人再分别化验一次．设每个人平均化验X 次．（1）若10k =，求和均值()E X ；（2）若按全市患病率估计，试比较4k =与5k =时哪一种情况下化验总次数更少.（参考数据：40.950.815≈，50.950.774≈，100.950.599≈）【答案】（1）分布列见解析，()0.501E X =（2）5k =时化验总次数更少【解析】【分析】（1）根据独立重复试验的概率计算公式、对立事件的概率计算公式求出X 的分布列即可；（2）根据独立重复试验的概率计算公式、对立事件的概率计算公式求出X 的分布列和均值()E X ，比较当4k =与5k =时()E X 的大小即可.【小问1详解】10k =，如果混管血样呈阴性，则110X =；如果混管血样呈阳性，则11111010X =+=，∴X 的所有可能取值为110，1110，1010.950.59910P X ⎛⎫==≈ ⎪⎝⎭，101110.950.40110P X ⎛⎫==-≈ ⎪⎝⎭，∴X 的分布列为X1101110P 0.5990.401()1110.5990.4010.5011010E X =⨯+⨯=；【小问2详解】如果混管血样呈阴性，则1X k =；如果混管血样呈阳性，则11X k =+，∴X 的所有可能取值为1k ，11k +，10.95k P X k ⎛⎫== ⎪⎝⎭，1110.95k P X k ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，∴X 的分布列为X1k 11k +P 0.95k 10.95k-()()1110.95110.9510.95k k k E X k k k ⎛⎫=⨯++⨯-=+- ⎪⎝⎭，当4k =时，()4110.950.4354E X =+-≈，当5k =时，()5110.950.4265E X =+-≈， 0.4260.435<，∴当5k =时化验总次数更少.17.某校为激发学生对冰雪运动的兴趣，丰富学生体育课活动项目，设计在操场的一块扇形区域内浇筑矩形冰场.如图，矩形内接于扇形，且矩形一边AB 落在扇形半径OP 上，该扇形半径50OP =米，圆心角π3POQ ∠=．矩形的一个顶点C 在扇形弧上运动，记POC α∠=.（1）当π4α=时，求OCD 的面积；（2）求当角α取何值时，矩形冰场面积最大？并求出这个最大面积．【答案】（1）(62533-（2）当π6α=时，矩形ABCD 的面积最大为【解析】【分析】（1）先在Rt OBC △中求出BC ，再在Rt OAD △中求出OD ，根据差角的正弦公式求出sin DOC ∠，利用面积公式求解即可.（2）在Rt OBC △中用α表示BC 和OB ，在Rt ADO △中求出OA ，则AB OB OA =-，将矩形的面积写成关于α的三角函数的形式，转化为三角函数求最值即可求解.【小问1详解】在Rt OBC △中，50OC =，π4BOC POC ∠=∠=，∴250sin 2BO BC OC C ⨯⋅∠===，∴AD =，在Rt OAD △中，sin AD DOA OD ∠=，即32522OD =，解得5063OD =， πππ3412DOC DOP POC ∠=∠-∠=-=，∴πππππππ62sin sin sin sin cos cos sin 123434344DOC -⎛⎫∠==-=-= ⎪⎝⎭，∴(62531150662sin 5022343OCD S OD OC DOC =⋅⋅⋅∠=⨯ ；【小问2详解】在Rt OBC △中，50sin BC α=，50cos OB α=，在Rt ADO △中，tan 3AD OA π==，所以OA AD α===，所以50cosAB OB OA αα=-=-，设矩形ABCD 的面积为S ，则S AB BC=⋅50cos 50sinααα⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭22500sin cosααα⎛⎫=- ⎪⎝⎭132500sin 2226αα⎛=+- ⎝⎭3π25003n(2)366α=+-⎥⎣⎦，由π03α<<，得ππ5π2666α<+<，所以当ππ262α+=，即π6α=时，max 33125032500363S ⎛=-= ⎝⎭，因此，当π6α=时，矩形ABCD 的面积，最大面积为125033.18.如图，圆I 的半径为4，圆心()1,0I -，G 是圆I 上任意一点，定点()1,0K ，线段GK 的垂直平分线和半径IG 相交于点H ，当点G 在圆上运动时，动点H 运动轨迹为Γ．（1）求点H 的轨迹Γ的方程；（2）设动直线:l y kx m =+与轨迹Γ有且只有一个公共点P ，且与直线4x =相交于点Q ，试探究：在x 轴上是否存在定点M ，使得以PQ 为直径的圆恒过点M ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）22143x y Γ+=：（2）存在，且()1,0M 【解析】【分析】（1）借助垂直平分线的性质、圆的半径与椭圆定义即可得；（2）联立曲线，消去y ，借助Δ0=可得k 与m 的关系，借助k 与m 可表示点Q 坐标，结合圆上的点的性质可得0MP MQ ⋅= ，代入数据计算即可得.【小问1详解】连接HK ，由题意可得HG HK =，又4IG HI GH =+=，故4HI HK +=，即点H 到定点()1,0I -、()1,0K 的距离之和为4，即点H 的轨迹为以()1,0I -、()1,0K 为焦点，4为长轴长的椭圆，即有2a =，1c =，则b ==22143x y Γ+=：；【小问2详解】由22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 并整理，得()2224384120k x kmx m +++-=，因为直线l ：y kx m =+与椭圆Γ有且只有一个公共点P ，所以()()()222Δ84434120km k m =-+-=，即22430k m -+=，所以0m ≠，此时24443P km k x k m =-=-+，22443P k k m y k m m m m -+⎛⎫=-+== ⎪⎝⎭，所以43,k P m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由4y kx m x =+⎧⎨=⎩，得()4,4Q k m +，假设存在定点()00,M x y ，使得以PQ 为直径的圆恒过点M ，则0MP MQ ⋅= ，又0043,k MP x y m m ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，()004,4MQ x k m y =-+- ，所以()()000043440k MP MQ x x y k m y m m ⎛⎫⎛⎫⋅=---+-⋅+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理，得()22000004314430k x m k y x y x m m ⎛⎫⋅-+---++-+= ⎪⎝⎭，所以0022000100430x y x y x -=⎧⎪=⎨⎪+-+=⎩，解得0010x y =⎧⎨=⎩，故存在定点()1,0M ，使得以PQ 为直径的圆恒过点M .【点睛】方法点睛：求解直线或曲线过定点问题的方法指导：（1）把直线或曲线方程中的变量x ，y 当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x ，y 的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点．（2）由直线方程确定其过定点时，若得到了直线方程的点斜式00()y y k x x -=-，则直线必过定点00(,)x y ；若得到了直线方程的斜截式y kx m =+，则直线必过定点(0,)m ．19.南宋的数学家杨辉“善于把已知形状、大小的几何图形的求面积，体积的连续量问题转化为求离散变量的垛积问题”．在他的专著《详解九章算法·商功》中，杨辉将堆垛与相应立体图形作类比，推导出了三角垛、方垛、刍薨垛、刍童垛等的公式．如图，“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……第1n +层球数是第n 层球数与1n +的和，设各层球数构成一个数列{}n a ．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）证明：当0x >时，()ln 11xx x+>+（3）若数列{}n b 满足2ln(2)2ln n n n b a n=-，对于*n ∈N ，证明：11232n n b b b b n +++++<⨯ ．【答案】（1）()12n n n a +=（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）依题意可得1n n a a n --=()2n ≥，利用累加法计算可得；（2）设()()ln 11x f x x x=+-+()0,x ∈+∞，利用导数说明函数的单调性，即可得证；（3）由（2）令1x n =()*n ∈N 即可得到11ln 11n n ⎛⎫+> ⎪+⎝⎭，从而得到()12n n b n <+⨯，再利用错位相减法计算可得.【小问1详解】根据题意，12341,3,6,10,a a a a ==== ，则有213212,3,,n n a a a a a a n --=-=-= ，当2n ≥时，()()()112211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+ ()()()112212n n n n n +=+-+-+++=，又11a =也满足，所以()12n n n a +=.【小问2详解】设()()ln 11x f x x x=+-+，()0,x ∈+∞，则()()()22110111x f x x x x =-=>+++'，所以()f x 在()0,∞+上单调递增，则()()00f x f >=，即()ln 101x x x+->+，即当0x >时，()ln 11x x x +>+.【小问3详解】由（2）可知当0x >时，()ln 11x x x +>+，令1x n =()*n ∈N ，则11ln 11n n ⎛⎫+> ⎪+⎝⎭，所以()()()222222121ln(2)2ln ln 1ln 1ln 1ln n n n n n n n b n a n n n n n n n n ====<+⨯-+-+⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎣⎦+ ⎪⎢⎝⎭⎣⎦，所以()31122322324212n n b n b b b +++⨯⨯+⨯+++<++⨯ ，令()12322324212nn T n =⨯+⨯++++⨯⨯L ，则()2341222324212n n T n +=⨯+⨯+⨯+++⨯L ，所以()12312222212n n n T n +-=+++++-+⨯ ()()11212212212n n n n n ++-=+-+⨯=-⨯-，所以12n n T n +=⨯，所以11232n n b b b b n +++++<⨯ .【点睛】关键点点睛：本题第三问关键是结合（2）的结论，令1x n =()*n ∈N 得到11ln 11n n ⎛⎫+> ⎪+⎝⎭，从而得到()12n n b n <+⨯.。

高三第二次联合考试 数学试题（文科）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，其中第II 卷第22题~第24题为选考题，其它题为必考题．考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．参考公式：球的表面积公式24S R π=，其中R 为球的半径．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}0232=+-=x x x A ，{}log 42x B x ==，则A B = （ ）A ．{}2,1,2-B ．{}1,2C ． {}2D ．{}2,2-2．若复数i a a a z )3()32(2++-+=为纯虚数（i 为虚数单位），则实数a 的值是（ ） A ．3- B ．3-或1 C ．3 或1- D ．1 3．下面的茎叶图表示的是某城市一台自动售货机的销售额情况（单位：元），图中的数字7表示的意义是这台自动售货机的销售额为（ ）A ．7元B ．37元C ．27元D ．2337元4．设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若2a 、4a 是方程022=--x x 的两个实数根，则5S 的值为（ ）A ．25B ．5C ． 25- D ．5- 5．如果不共线向量,a b满足2a b = ，那么向量22a b a b +- 与的夹角为（ ）A ．6πB ．3πC ．2πD ．23π6．若利用计算机在区间(0,1)上产生两个不等的随机数a 和b ，则方程2bx x=有不等实数根的概率为（ ）1 23 4028 02337 12448 238A ．14B ．12C ．34D ．257．设,a b 是平面α内两条不同的直线，l 是平面α外的一条直线，则“l a ⊥，l b ⊥”是“l α⊥”的（ ）A ．充要条件B ．充分而不必要的条件C ．必要而不充分的条件D ．既不充分也不必要的条件8．曲线x x y 2313-=在1=x 处的切线的倾斜角是（ ）A ．6πB ．43πC ．4πD ．3π9．已知点1F 、2F 分别为椭圆C ：22143x y +=的左、右焦点，点P 为椭圆C 上的动点，则12PF F △ 的重心G 的轨迹方程为（ ）A ．221(0)3627x y y +=≠B ． 2241(0)9x y y +=≠C ． 22931(0)4x y y +=≠D ． 2241(0)3y x y +=≠ 10．已知某程序框图如右图所示，则该程序运行后，输出的结果为（ ） A ．53B ． 54C ．21D ．51 11．过双曲线)0(152222>=--a a y a x 的右焦点F 作一条直线，当直线斜率为2时，直线与双曲线左右两支各有一个交点；当直线斜率为3时，直线与双曲线右支有两个不同交点，则双曲线离心率的取值范围为（ ）A ． )5,2(B ．C ．D ．)2,1(12．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为A B C ∠∠∠、、的对边，三边a 、b 、c 成等差数列，且4B π=，则cos cos A C -的值为（ ）A ．BCD．第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知tan 2α=，则sin()sin()23cos()cos()2ππααπαπα+-+++-的值为 ．14．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知数列{}n S 是首项和公比都是3的等比数列，则数列{}n a 的通项公式n a = ．某种产品按质量标准分成五个等级，等级编号x 依次为1,2,3,4,5．现从一批产品中随机抽取20件，对其等级编号进行统计分析，得到频率分布表如下：（I ）若所抽取的20件产品中，等级编号为4的恰有3件，等级编号为5的恰有2件，求a ，b ，c 的值；（Ⅱ）在（I ）的条件下，将等级编号为4的3件产品记为123,,x x x ，等级编号为5的2件产品记为12,y y ，现从12312,,,,x x x y y 这5件产品中任取两件（假定每件产品被取出的可能性相同），写出所有可能的结果，并求这两件产品的等级编号恰好相同的概率．（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期； （Ⅱ）若[0,]2x π∈，求函数()f x 值域．19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥ABCD P -中，⊥PA 底面ABCD ，四边形ABCD 为长方形，2AD AB =，点E 、F 分别是线段PD 、PC 的中点． （Ⅰ）证明：//EF 平面PAB ；（Ⅱ）在线段AD 上是否存在一点O ，使得⊥BO 平面PAC ，若存在，请指出点O 的位置，并证明⊥BO 平面PAC ；若不存在，请说明理由． 20．（本小题满分12分）已知函数x ax x f ln 1)(--=()a ∈R ．（Ⅰ）讨论函数)(x f 在定义域内的极值点的个数；（Ⅱ）已知函数)(x f 在1=x 处取得极值，且对x ∀∈),0(+∞,2)(-≥bx x f 恒成立，求实数b 的取值范围． 21．（本小题满分12分）如图，已知抛物线C ：()220y px p =>和⊙M ：1)4(22=+-y x ，过抛物线C 上一点)1)(,(000≥y y x H 作两条直线与⊙M 相切于A 、B 两点，分别交抛物线于,E F 两点，圆心点M 到抛物线准线的距离为417． （Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）当AHB ∠的角平分线垂直x 轴时， 求直线EF 的斜率；（Ⅲ）若直线AB 在y 轴上的截距为t ，求t 的最小值．请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑． 22．（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲已知AB 为半圆O 的直径，4AB =，C 为半圆上一点，过点C 作半圆的切线CD ，过点A 作AD CD ⊥于D ，交半圆于点E ，1DE =． （Ⅰ）求证：AC 平分BAD ∠； （Ⅱ）求BC 的长．23．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点O 处，极轴与x 轴的正半轴重合，且长度单位相同．直线l 的极坐标方程为：)4sin(210πθρ-=,点(2cos ,2sin 2)P αα+，参数[]0,2απ∈．（Ⅰ）求点P 轨迹的直角坐标方程； （Ⅱ）求点P 到直线l 距离的最大值． 24．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲已知函数a a x x f +-=2)(．（Ⅰ）若不等式6)(≤x f 的解集为{}32≤≤-x x ，求实数a 的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若存在实数n 使)()(n f m n f --≤成立，求实数m 的取值范围．参考答案说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分． 三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分． 一．选择题1．B ；2．D ；3．C ；4．A ；5．C ；6．B ；7．C ；8．B ；9．C ；10．A ；11．B ； 12． D ． 二、填空题13．3-；14．13,(1)23.(2)n n n -=⎧⎨∙≥⎩；15． 29π；16．(,1)-∞． 三、解答题 17．解：（Ⅰ）由频率分布表得a ＋0．2＋0．45＋b ＋c ＝1，即0.35a b c ++=．2分因为抽取的20件轴承中，等级编号为4的恰有3件，所以30.1520b ==． 等级编号为5的恰有2件，所以20.120c ==． 4分从而0.350.1a b c =--=．所以0.1a =，0.15b =，0.1c =．6分（Ⅱ）从轴承123,,x x x ，12,y y 中任取两件，所有可能的结果为：{}{}{}{}{}{}121311122321,,,,,,,,,,,,x x x x x y x y x x x y{}{}{}{}22313212,,,,,,,x y x y x y y y ．8分设事件A 表示“从轴承123,,x x x ，12,y y 中任取两件，其等级编号相等”， 则A 包含的基本事件为：{}{}{}{}12132312,,,,,,,x x x x x x y y 共4个． 10分又基本事件的总数为10， 故所求的概率4()0.410P A ==． 12分18．解：（Ⅰ）211()cos 222sin 1cos 222222f x x x x x x =-+=--⋅=m n 1sin(2)6x π=-+． 4分所以其最小正周期为22T ππ==． 6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知()1sin(2)6f x x π=-+，又 7[0,],2[,]2666x x ππππ∈∴+∈， 1sin(2)[,1]62x π+∈-．10分所以函数()f x 的值域为3[0,]2．12分19．证明：（Ⅰ）∵CD EF //，AB CD //，∴AB EF //，又∵⊄EF 平面PAB ,⊂AB 平面PAB ， ∴//EF 平面PAB ． 6分（Ⅱ） 在线段AD 上存在一点O ，使得⊥BO 平面PAC ，此时点O 为线段AD 的四等分点，且AD AO 41=，8分∵⊥PA 底面ABCD ，∴BO PA ⊥，又∵长方形ABCD 中，△ABO ∽△ACD ，∴BO AC ⊥， 10分又∵A AC PA = ，∴⊥BO 平面PAC ． 12分20．解：（Ⅰ）xax x a x f 11)(-=-='， 1分 当0≤a 时，0)(≤'x f 在),0(+∞上恒成立，函数)(x f 在),0(+∞单调递减， ∴)(x f 在),0(+∞上没有极值点； 3分 当0>a 时，0)(≤'x f 得a x 10≤<，0)(≥'x f 得ax 1≥， ∴)(x f 在⎥⎦⎤ ⎝⎛a 1,0上递减，在⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,1a 上递增，即)(x f 在a x 1=处有极小值． 5分∴当0≤a 时)(x f 在),0(+∞上没有极值点，当0>a 时，)(x f 在),0(+∞上有一个极值点． （Ⅱ）∵函数)(x f 在1=x 处取得极值，∴1=a ， ∴b xxx bx x f ≥-+⇔-≥ln 112)(， 8分令xxx x g ln 11)(-+=，可得)(x g 在(]2,0e 上递减，在[)+∞,2e 上递增，10分∴22min 11)()(e e g x g -==，即211b e ≤-． 12分21．解：（Ⅰ）∵点M 到抛物线准线的距离为=+24p 417， ∴21=p ，即抛物线C 的方程为x y =2． 2分 （Ⅱ）法一：∵当AHB ∠的角平分线垂直x 轴时，点)2,4(H ，∴HE HF k k =-， 设11(,)E x y ，22(,)F x y ， ∴1212H H H H y y y y x x x x --=---，∴ 12222212H H H H y y y y y y y y --=---， ∴1224H y y y +=-=-．5分212122212121114EF y y y y k x x y y y y --====---+． 7分 法二：∵当AHB ∠的角平分线垂直x 轴时，点)2,4(H ，∴60=∠AHB ，可得3=H A k ，3-=H B k ，∴直线HA 的方程为2343+-=x y ，联立方程组⎩⎨⎧=+-=x y x y 22343，得023432=+--y y ，∵23E y +=∴363-=E y ，33413-=E x ． 5分同理可得363--=F y ，33413+=F x ，∴41-=EF k ．7分（Ⅲ）法一：设),(),,(2211y x B y x A ，∵411-=x y k MA ，∴114y x k HA -=， 可得，直线HA 的方程为0154)4(111=-+--x y y x x ， 同理，直线HB 的方程为0154)4(222=-+--x y y x x ，∴0154)4(101201=-+--x y y y x ，0154)4(202202=-+--x y y y x ，9分∴直线AB 的方程为0154)4(020=-+--x yy y x ， 令0=x ，可得)1(154000≥-=y y y t ， ∵t 关于0y 的函数在[1,)+∞单调递增， ∴11min -=t ．12分法二：设点2(,)(1)H m m m ≥，242716HM m m =-+，242715HA m m =-+．以H 为圆心，HA 为半径的圆方程为22242()()715x m y m m m -+-=-+， ①⊙M 方程：1)4(22=+-y x ． ②①-②得：直线AB 的方程为2242(24)(4)(2)714x m m y m m m m -----=-+． 9分当0x =时，直线AB 在y 轴上的截距154t m m=-(1)m ≥， ∵t 关于m 的函数在[1,)+∞单调递增， ∴11min -=t12分22．解：（Ⅰ）连结AC ，因为OA OC =，所以OAC OCA ∠=∠， 2分因为CD 为半圆的切线，所以OC CD ⊥，又因为AD CD ⊥，所以OC ∥AD ，所以OCA CAD ∠=∠，OAC CAD ∠=∠，所以AC 平分BAD ∠． 4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知BC CE =， 6分连结CE ，因为ABCE 四点共圆，B CED ∠=∠，所以cos cos B CED =∠， 8分所以DE CBCE AB=，所以2BC =． 10分23．解：（Ⅰ）2cos ,2sin 2.x y αα=⎧⎨=+⎩且参数[]0,2απ∈，所以点P 的轨迹方程为22(2)4x y +-=． 3分（Ⅱ）因为)4sin(210πθρ-=，所以)104πθ-=，所以sin cos 10ρθρθ-=，所以直线l 的直角坐标方程为100x y -+=． 6分法一：由（Ⅰ） 点P 的轨迹方程为22(2)4x y +-=，圆心为(0,2)，半径为2．d ==，所以点P 到直线l 距离的最大值2．10分法二：)44d πα==++，当74πα=，max 2d =，即点P 到直线l距离的最大值2．10分24．解：（Ⅰ）由26x a a -+≤得26x a a -≤-，∴626a x a a -≤-≤-，即33a x -≤≤，∴32a -=-，∴1a =． 5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知()211f x x =-+,令()()()n f n f n ϕ=+-，则()124, 211212124, 22124, n 2n n n n n n n ϕ⎧-≤-⎪⎪⎪=-+++=-<≤⎨⎪⎪+>⎪⎩∴()n ϕ的最小值为4，故实数m 的取值范围是[)4,+∞． 10分。

一、单选题二、多选题1. 已知函数（）在内有且仅有3个零点，则的值可以是（ ）A ．3B ．5C ．7D ．92. 将函数的图象向左平移个单位长度得到如图所示的奇函数的图象，且的图象关于直线对称，则下列选项不正确的是（）A ．在区间上为增函数B．C．D．3. 已知函数，，若方程恰有三个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是（ ）A．B．C．D．4.设为等差数列的前项和，若，，则的公差为A ．1B ．3C ．6D ．25. 若是第二象限角，则（ ）A．B．C．D．6. 已知集合，，则（ ）A．B．C．D．7. 若，则（ ）A．B．C．D．8. 函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，则（ ）A．B．C．D．9. “出租车几何”或“曼哈顿距离”（Manhattan Distance ）是由十九世纪的赫尔曼·闵可夫斯基所创词汇，是种被使用在几何度量空间的几何学用语．在平面直角坐标系内，对于任意两点、，定义它们之间的“欧几里得距离”，“曼哈顿距离”为，则下列说法正确的是（ ）A．若点为线段上任意一点，则为定值B ．对于平面上任意一点，若，则动点的轨迹长度为C．对于平面上任意三点、、，都有D ．若、为椭圆上的两个动点，则最大值为东北三省四市教研联合体2023届高三二模数学试题三、填空题四、填空题五、填空题六、解答题七、解答题10. 已知函数，下列说法正确的是（ ）A ．当时，；当时，B．函数的减区间为，增区间为C ．函数的值域D ．恒成立11. 已知为抛物线的焦点，点在抛物线上，过点的直线与抛物线交于，两点，为坐标原点，抛物线的准线与轴的交点为，则下列说法正确的是（ ）A．的最大值为B．若点，则的最小值为5C ．无论过点的直线在什么位置，总有D ．若点在抛物线准线上的射影为，则存在，使得12. 已知命题：“”，则：______________．13. 在直三棱柱内有一个与其各面都相切的球O 1，同时在三棱柱外有一个外接球.若,，,则球的表面积为______.14. 已知，，则______________________．15. 已知，则__________(填“>”或 “<”)；__________(用表示)16. 用表示不超过的最大整数，已知数列满足：，，.若，，则________；若，则________.17. 直线与轴交于点，交圆于，两点，过点作圆的切线，轴上方的切点为，则__________；的面积为__________．18. 如图，两射线、均与直线l 垂直，垂足分别为D 、E 且.点A 在直线l 上，点B 、C 在射线上.(1)若F 为线段BC 的中点（未画出），求的最小值；(2)若为等边三角形，求面积的范围.19. 学习强国”APP 是由中宣部主管以习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神为主要内容的“PC 端+手机客户端”两大终端二合一模式的学习平台，2019年1月1日上线后便成了党员干部群众学习的“新助手”，为了调研某地党员在“学习强国”APP 的学习情况，研究人员随机抽取了200名该地党员进行调查，将他们某两天在“学习强国”APP 上所得的分数统计如下表所示：八、解答题九、解答题十、解答题分数人数501002030(1)现用分层抽样的方法从80分及以上的党员中随机抽取5人，再从抽取的5人中随机选取2人作为学习小组长，求所选取的两位小组长的分数都在上的概率；(2)为了调查“学习强国”APP 得分情况是否受到学习时长的影响，研究人员随机抽取了部分党员作出调查，得到的数据如下表所示：日均学习两小时以上日均学习不足两小时分数超过80220150分数不超过808050判断是否有99%的把握认为“学习强国”APP 得分情况与学习时长有关.附：，.0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.82820. 已知双曲线：的左，右焦点分别为，，离心率为，过焦点且垂直于轴的直线截双曲线所得弦长为．直线：与双曲线C的左支交于，两点，点A 关于原点О对称的点为D ．(1)求双曲线的方程；(2)证明：直线与圆O ：相切．21. 西尼罗河病毒（WNV ）是一种脑炎病毒，WNV 通常是由鸟类携带，经蚊子传播给人类．1999年8-10月，美国纽约首次爆发了WNV 脑炎流行．在治疗上目前尚未有什么特效药可用，感染者需要采取输液及呼吸系统支持性疗法，有研究表明，大剂量的利巴韦林含片可抑制WNV 的复制，抑制其对细胞的致病作用．现某药企加大了利巴韦林含片的生产，为了提高生产效率，该药企负责人收集了5组实验数据，得到利巴韦林的投入量x （千克）和利巴韦林含片产量y （百盒）的统计数据如下：投入量x （千克）12345产量y （百盒）1620232526由相关系数可以反映两个变量相关性的强弱，，认为变量相关性很强；，认为变量相关性一般；，认为变量相关性较弱．（1）计算相关系数r ，并判断变量x 、y 相关性强弱；（2）根据上表中的数据，建立y 关于x的线性回归方程；为了使某组利巴韦林含片产量达到150百盒，估计该组应投入多少利巴韦林？参考数据：.参考公式：相关系数，线性回归方程中，．22.已知函数(1)若是的一个极值点，求的最小值；(2)若函数有两个零点，求的取值范围．。

2020年高三第二次联合模拟考试文科数学时间：150分钟满分：150分注意事项：1．本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡的相应位置上．2．回答第I 卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．写在本试卷上无效．3．回答第II 卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．第I 卷（选择题共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A 、B 均为集合{}6,5,4,3,2,1=U 的子集，且{}3)(=B A C U ，{}6)(=A B C U ，{}2,1=B A ，则集合B=（）A ．{}3,2,1B ．{}6,2,1C ．{}2,1D ．{}5,4,3,2,12．若),,)(1)(1(2为虚数单位i R b a bi i i a ∈+-=+，则复数bi a -在复平面内对应的点所在的象限为（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限哈尔滨师大附中东北师大附中辽宁省实验中学3．若实数x 、y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥-6362x y x y x ，则y-x 的最大值为（）A ．3B ．0．C ．-3D ．-94．已知βα、是两个不同的平面，直线α⊂m ，下列命题中正确的是（）A ．若βα⊥，则β∥mB ．若βα⊥，则β⊥mC ．若β∥m ，则βα∥D ．若β⊥m ，则βα⊥5．课堂上数学老师和同学们做游戏，随机询问甲、乙、丙、丁4位同学的作业完成情况，甲说：“丙未完成作业或丁未完成作业”；乙说：“丁未完成作业”；丙说：“我完成作业了”；丁说：“我完成作业了”．他们中恰有一个人说了谎话，请问：是谁说了谎话?（）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁6．已知正项等比数列{}n a ，若向量b a a b a a ∥),2,(),,8(82==，则922212log log log a a a +++ =（）A ．12B ．5log 82+C ．5D ．187．我国古代劳动人民在筑城、筑堤、挖沟、挖渠、建仓、建囤等工程中，积累了丰富的经验，总结出了一套有关体积、容积计算的方法，这些方法以实际问题的形式被收入我国古代数学名著《九章算术》中．《九章算术》将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，如图所示的阳马三视图，则它的体积为（）A ．21B ．1C ．2D ．38．已知两个不相等的非零向量b a ,2=b ，且b 与a b -的夹角为45a ）A ．]2,0(B ．)2,2[C ．]2,0(D ．),2[+∞9．已知210tan )215sin(=-α，则)60sin(α+ 的值为（）A ．31B ．31-C ．32D ．32-10．设函数1cos sin cos sin )(+++=x x x x x f ，则下列说法中正确的是（）A ．f （x ）关于（0，1）中心对称B ．f （x ）的极小值为2-21C ．f （x ）的最小正周期为πD ．f （x ）图象的一条对称轴为4π=x 11．已知双曲线)1(14222>=-a y a x 上存在一点M ，过点M 向圆122=+y x 做两条切线MA 、MB ，若0=⋅MB MA ，则实数a 的取值范围是（）A ．2,1(B ．]2,1(C ．)2[∞+，D ．)2(∞+，12．已知函数22)3(3ln )3()(ln 9)(x a x x a x x f -+⋅-+=有三个不同的零点321,,x x x ，且3211x x x <<<，则)ln 3)(ln 3()ln 3(3322211x x x x x x ---的值为（）A ．81B ．-81C ．-9D ．9第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在答题纸相应位置上．13．我校高一、高二、高三共有学生1800名，为了了解同学们对“智慧课堂”的意见，计划采用分层抽样的方法，从这1800名学生中抽取一个容量为36的样本．若从高一、高二、高三抽取的人数恰好是从小到大排列的连续偶数，则我校高三年级的学生人数为．14．已知实数a 、c 满足c<1<a ，关于x 的不等式220(1)x ax cx acx --+≥-的解集为．15．直线l 经过抛物线y 2=2px （p>0）的焦点F ，与抛物线交于A ，B 两点，与直线2px =-交于点M ，若FM AF =，且163AB =，则抛物线的方程为．16．设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且（a+b+c ）（a-b+c ）=3ac ，则B=；若边AC 上的点D 满足BD=CD=2AD=2，则△ABC 的面积S=．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（一）必考题：共60分．17．（本小题满分12分）已知数列是公差不为0的等差数列，且a 1=1，a 2·a 3=a8（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）若1n n n nb a a +=⋅，求数列{b n }的前n 项和S n ．18．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P —ABCD 中，平面ABCD ⊥平面PAD ，AD ∥BC ，AB=BC=12AD=1，090APD BAD ∠=∠=．（Ⅰ）求证：PD ⊥PB ；（Ⅱ）当PA=PD 时，求三棱锥P —BCD的体积．19．（本小题满分12分）2022年冬奥会将由北京和张家口联合举办，其中冰壶比赛将在改造一新的水立方进行.女子冰壶比赛将由来自全球的十支最优秀的队伍参加，中国女子冰壶对作为东道主，将对奥运冠军发起冲击.（Ⅰ）已知参赛球队包括来自亚洲的中国队、日本队和韩国队，来自美洲的加拿大对和美国队，以及来自欧洲的瑞士队、英国对、瑞典队、丹麦队和德国队.每支球队有四名参赛队员.若赛前安排球员代表合影，需要以分层抽样的方式从三个大洲的运动员中抽取10名运动员，则每个大洲各需要抽取多少运动员？（Ⅱ）此次参赛的夺冠热门队伍包括加拿大对、瑞士队、英国对、瑞典队和东道主中国队，若比赛的揭幕战随机的从这五支球队中选择两支球队出站，求中国队被选中的概率.20．（本小题满分12分）已知函数a x x g ex x f x +-==2)1()(,)(（Ⅰ）求)(x f 的单调区间；（Ⅱ）当),0(+∞∈x 时，若函数)(x f 与)(x g 图象交于))(,(),(122211x x y x Q y x P >、两点，求实数a 的取值范围21．本小题满分12分）已知椭圆1422=+y x E ：，动直线l 与椭圆E 交于不同的两点),(),,(2211y x B y x A ，且AOB ∆的面积为1，其中O 为坐标原点．（Ⅰ）22212221y y x x ++为定值；（Ⅱ）设线段AB 的中点为M ，求AB OM ⋅的最大值.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分，做答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程是y=2，曲线C 的参数方程是⎩⎨⎧==ϕϕsin 2cos 2y x （ϕ为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（I ）求直线l 和曲线C 的极坐标方程；（Ⅱ）若),(1αρA 是曲线C 上一点，4,(2παρ+B 是直线l 上一点，求2211OBOA +的最大值.23．[选修4-5：不等式选讲]已知a 、b 、c ∈+R ，且a+b+c=6．（1）当c=5时，求)11)(11(22--ba 的最小值：（I ）证明：242222-≥-+-+c c b b a ．二模文数参考答案二． 填空题13. 700 14. (,][,)c a -∞+∞ 15. x y 42= 16.3π；233三．解答题17. （本小题满分12分） （Ⅰ）设数列}{n a 的公差为d ，d d d a a a 71)21)(1(,832+=++=解得2=d ，……3分 )1(21-+=n a n ，所以2)12(-=n a n ；……6分（Ⅱ）])12(1)12(1[81)12()12(2222+--=+-=n n n n n b n ……9分2222222)12(2])12(1)12(15131311[81++=+--++-+-=n nn n n S n ……12分 18. （本小题满分12分）（I ）平面ABCD ⊥平面PAD ，平面 ABCD 平面PAD AD =，ABCD AB 平面⊂，AD AB ⊥，APD AB 平面⊥∴，又APD PD 平面⊂，PD AB ⊥∴，……3分A AB AP AP PD =⊥ ,，ABP ，PB ABP ，PD 平面又平面⊂⊥∴ ∴PD PB ⊥……6分（II ） 垂足为 平面ABCD ⊥平面PAD ，平面 ABCD 平面PAD AD =，APD PH 平面⊂，ABCD PH 平面⊥∴，……9分AP PD =且 故的中点为AD H ，2,==∆AD AD PA PAD Rt 中，等腰，故1=PH ，//AD BC ，1,=⊥AB AD AB ，所以21112121=⋅⋅=⋅=∆AB BC S DBC 三棱锥P BCD -的体积：611213131=⋅⋅=⋅=∆-PH S V DBC BCDP . ……12分HAD ，PH P ⊥作过H ，AD PH 于⊥19. （本小题满分12分）（Ⅰ）抽取比例4110410=⋅=k……3分 亚洲需要抽取共34112=⨯人；美洲需要抽取共2418=⨯人；欧洲需要抽取共54120=⨯人； ………………………………………………………………………………6分（Ⅱ）从这五支球队中选择两支球队：{加，瑞士}，{加，英}，{加，瑞典}，{加，中}，{瑞士，英}，{瑞士，瑞典}，{瑞士，中}， {英，瑞典}，{英，中}，{瑞典，中}共10个不同的选法， ……8分其中中国队被选中：{加，中}，{瑞士，中}，{英，中}，{瑞典，中}共4种不同的选法， ……10分若比赛的揭幕战随机的从这五支球队中选择两支球队出战，则中国队被选中的概率52104==P .……12分 20. （本小题满分12分） （I ）xe xx f -='1)( ……………………………………2分10)(,10)(>⇒<'<⇒>'x x f x x f ，的单调递增区间)1,(-∞，单调递减区间),1(+∞； ……………………………………4分（II ）当(0,)x ∈+∞时，若函数()()f x g x 与图像交于1122(,)(,)P x y Q x y 、21()x x >两点，即有两个不同的解，不妨设为 ，设： )21)(1()1(21)(,)1()()()()(2+--=---='---=∴-=ex x e x x F a x ex x F x g x f x F xx递减递增，在在所以),1()1,0()(,10)(;100)(+∞>⇒<'<<⇒>'x F x x F x x F ……6分若 又两个不同的解，则函数 在 有两个零点，故 时， ，所以①； ………………………………8分 且1010)0(->⇒>--⇒>a a F ②； ……………………………………………………10分 由①②得 ， 所以 ，故存在 即方程 在(0,)x ∈+∞有两个不同的解，即函数()()f x g x 与图像交于不同两点 综上 ………………………………………………12分()f x )()(,0x g x f x =>210x x <<)()(,0x g x f x =>0>x 01)1()(min <-==a eF x F ea 1<e a 11<<-043)3(3<--=a eF 0)(,0)(),3,1(),1,0(211==∈∈x F x F x x )(x F ),0(+∞e a 11<<-)()(x g x f =（I ）（ⅰ）当直线l 的斜率不存在时，A B ，两点关于x 轴对称，所以2121x x y y ==-，．因为11()A x y ，在椭圆上，所以有221114x y +=，又因为AOB S △=1，所以11||||1x y =解得11||||x y ==，此时22124x x +=，22121y y +=，221222124x x y y +=+ ……2分（ⅱ）当直线l 的斜率存在时，设其方程为y kx m =+，由题意0m ≠．将y kx m =+代入方程2214x y +=中，整理得222(14)8440k x kmx m +++-=222222644(41)(44)16(41)0k m k m k m ∆=-+-=-+>①21212228444141km m x x x x k k --+==++，， ……4分则||AB ==因为点O 到直线l 的距离为d =，所以1||12ABC S AB d ==△得224120k m +-=且符合①式， 此时222121212()2x x x x x x +=+-=222222648(1)(41)41k m m k k --++=4= 2222121211144x x y y +=-+-=，所以221222124x x y y +=+，综上所述，221222124x x y y +=+（定值） ……8分（II ）因为222222121221214||||()()()()OM AB x x y y x x y y +=++++-+-=222212122[()()]x x y y +++=10所以224||||2||||52OM AB OM AB +⋅=≤，即5||||2OM AB ⋅≤当且仅当2||||OM AB ==成立，所以||||OM AB ⋅的最大值为52． ………………………………………………12分（I ）由⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x 得直线2=y 的极坐标方程为2sin =θρ； ……………………2分将曲线C 的此时方程)(sin 2cos 2为参数ϕϕϕ⎩⎨⎧==y x 化为：12422=+y x 由⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x 得曲线C 的极坐标方程为4)sin 1(22=+θρ ……………………5分 （II ）点),(1αρA 在曲线C 上，所以4)sin 1(221=+αρ，所以4sin 11221αρ+=，即4sin 1122α+=OA…………………………………………6分点)4,(2παρ+B 在直线l 上，所以2)4sin(12)4sin(22παρπαρ+==+，所以即2)4sin(1πα+=OB 所以82sin 18)22cos(14)4(sin 122απαπα+=+-=+=OB…………………………………………7分 所以)42sin(822182sin 182cos 382sin 1422cos 1182sin 14sin 111222πααααααα-+=++-=++-+=+++=+OBOA…………………………………………9分 当()322428k k k Z πππαπαπ-=+=+∈，即时，)42sin(πα-取到最大值1 2211OBOA+取到最大值8221+…………………………………………10分 23. （本小题满分10分）（Ⅰ）6a b c ++=，且5c =，所以1a b +=；()()()()2222222211111111(1)(1)2(1)(1)1a a b b a b a b a b a b a b ab ab -+-+--++-⋅-=⋅===+…………2分1a b a b =+≥=时取到等号）14ab ⇒≤…………4分 所以2211(1)(1)9a b -⋅-≥当且仅当112a b a b a b =⎧==⎨+=⎩即时取到等号 当 12a b ==时2211(1)(1)a b-⋅-取到最小值为9……………………5分（未指出取等条件扣1分）（Ⅱ）22222224(1)(2)5a b b c c a b c +-+-=+-+-- …………………………………………6分 由柯西公式：()2222222(1)(2)111(12)a b c a b c ⎡⎤+-+-⋅++≥+-+-⎣⎦（当且仅当12a b c =-=-时取到等号）， 得2222(3)(1)(2)3a b c a b c ++-+-+-≥ …………………………………………9分又因为6a b c ++=，所以222(1)(2)3a b c +-+-≥，即222242a b b c c +-+-≥-（当且仅当112263a abc b a b c c =⎧=-=-⎧⎪=⎨⎨++=⎩⎪=⎩即时取到等号） ………………………………………10分（不写取等条件可不扣分）。

2010年东北三省四市长春、哈尔滨、沈阳、大连第二次联合考试长春市高中毕业班第三次调研测试数 学（文科）本试卷分I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间为120分钟，其中第II 卷22—24题为选考题，其它题为必考题。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1．答题前，考生必须将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面整洁，不要折叠、不要弄破、不准使用涂改液、刮纸刀。

参考公式：如果事件A 、B 互斥，柱体体积公式：V Sh =，那么()()()P A B P A P B +=+． 其中S 表示柱体底面积的半径，h 表示柱体的高． 球表面积公式：24S R π= 锥体体积公式：13V Sh =， 球体积公式：343V R π=其中S 表示锥体的底面积，h 表示椎体的高．其中R 表示球的半径第I 卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有．．一项．．是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上。

） 1．设复数121,2z i z bi =+=+，若21z z 为纯虚数，则实数b =A ．2-B 1-C ．1D ．22．已知集合{}1,2M =，且()()M N MN ⊇，则N =A ．φB ．{}1C ．{}2D ．{}1,23．已知向量(2,1)a =，(1,)a b k +=，若a b ⊥，则实数k =A ．12B ．2-C ．7-D ．34．已知m ，n 为不同直线，α，β为不同平面，则下列选项：①//m n ，n α⊥；②m n ⊥，//n α；③//,m βαβ⊥；④,//m βαβ⊥，其中能使m α⊥成立的充分条件有A ．①②B ．①③C ．①④D ．③④5．函数1()1f x gx x=-+的零点所在的区间是 A ．（0，1） B ．（1，10） C ．（10，100）D ．（100，+∞）6．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的S =A ．63B ．31C ．15D ．77．已知双曲线221x y -=的两个焦点分别为1F ，2F ，P 为双曲线上的一点，且12F PF ∠=90°,则12PF PE =A ．12- B ．1C ．2D ．48．如图，函数()y f x =的图像在点P 处的切线方程为20x y -+=，则(1)'(1)f f +=A ．1B ．2C ．3D ．49．在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，且2cos 22A b c c+=，则ABC ∆一定是 A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．无法确定10．已知函数()sin()2f x x π=+，()cos()2g x x π=-，设()()()h x f x g x =，则下列说法不．正确．．的是A ．,()()2x R f x g x π∃∈+=B ．,()()2x R f x g x π∀∈-=C ．,()()x R h x h x ∀∈-=D ．,()()x R h x h x π∀∈+=11．一组数据共有7个数，记得其中有10，2，5，2，4，2，还有一个数没记清，但知道这组数的平均数、中位数、众数依次成等差数列，这个数的所有可能值的和为A ．9B ．3C ．17D ．-1112．已知定义域为R 的函数()y f x =，则下列命题正确的是：A ．若(1)(1)0f x f x ++-=恒成立，则函数()y f x =的图像关于（1，0）点对称；B ．若(1)(1)f x f x -=-恒成立，则函数()y f x =的图像关于直线1x =对称；C ．函数(1)y f x =--的图像与函数(1)y f x =-的图像关于原点对称；D ．函数(1)y f x =-的图像与函数(1)y f x =-的图像关于y 轴对称；第II 卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题—21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题—24题为选考题，考生根据要求作答。

三省三校第二次模拟答案三、填空题：13、8730 14、2π+ 1516、1 8. 2ln 2ln c c a a -=-考虑：()2ln(0)f x x x x =->，则22'()1x f x x x-=-=()f x 在(0,2)递减；()fx 在(2,)+∞递增 min ()(2)2(1ln 2)0f x f ==->（1）当02,2a c <<>时，21a +=设()x x g x =+，是减函数，且(2)1g = ()(2)121a a a g a g b a =+>=⇒=+>⇒> 2212152a b =+<+=⇒<所以，2|||2|c b a a c b >>>⇒->-（2）当02,2c a <<>时，同理可得：2|||2|a b c a c b >>>⇒->- 综上可得：|||2|a c b ->-成立.12.如图：（1）在第一象限+都是凹函数（二阶导数大于零）（2）图二、图三有过原点的切线（3）极值点的个数是一个或两个（4）当,m n 同奇数或同偶数时，()|()|f x f x =-；当,m n 是一奇，一偶数时，()|()|f x f x >-；15.设112200(,),(,),(,)M x y N x y Px y2211222222222200MN OP x y b a b k k a x yab⎧-=⎪⎪⇒⋅=⎨⎪-=⎪⎩，则OP 的方程为222b y x a =，MN 的方程为：2()y x c =- 2222()b y x a y x c ⎧=⎪⇒⎨⎪=-⎩22244P a c x c OP e a b ==+⇒=-16.A 队：2胜2负（无平局）C 对：3胜1负（无平局）B 队：2胜2平，则B 队和D 、E 是平局；B 队胜了A 、C这样找到了C 队负的一场，输给B 队这样B 、C 结束；A 队赢D 、E最后，E 胜D ，则D 的1分.四、解答题17.（本题满分10分）（1）证明：22222(1cos )4(1)42b c a bc A a bc a bc +-+=⇒+= 22()9b c a +=，则3b c a +=5' （2）由余弦定理得： 2222cos a b c b A =+-， 则9bc =，又3b c a +=，则3b c ==由角分线可得，95AD = 所以，在ABD ∆中，由余弦定理得：2222cos BD AD c AD c A =+-⋅，5BD = 10'18.（本题满分12分）（1）记：事件A = “业主对物业工作表示满意”，则231603()()5521004P A P A ⋅+⋅=⇒= 所以，35003754⨯=（人） 4' 答：该小区业主对物业工作表示满意的人数约为375人.（2）（i ）332445505551212117()()()()3333381P C C C =⋅+⋅+= 8'（ii ）设至少要访谈n 位业主 3173810(1)2(80%)10047.6481417n n ⋅-⋅⋅≥-⨯⇒≥≈ 答：至少要访谈48为业主. 12'2D C B A19.（本题满分12分）（1）证明：等腰梯形ABCD 中，2,1AB BC CD AD ==== 则，060ABC ∠= 2' 1BC AC BC BC AA ⊥⎧⇒⊥⎨⊥⎩平面11A ACC ，BC ⊂平面ABCD ，则平面ABCD ⊥平面11A ACC ， 4'（2）建立如图所示空间直角坐标系C xyz -，则(0,1,0),(2A B O ，131131(,0,),(,,0)22222A CD BA ==- 11111333111(,,0),(,0,),(0,,)222222B D BD DD AA D ==-==-- 设111333131(,0),(,,)222222D M D B M λλλλλ==---+， 6' 设平面MBC 的法向量为(,,)n x y z = 3131()022220n CM y z n CB y λλ⎧⎧⋅-++=⎪⎪⇒⎨⎨⋅⎪⎪⎩=⎩，取1x =，则(1,0,3)n λ=- 8'取平面ABCD 的法向量(0,0,1)m = 2||21|cos ,|417||||m n m n m n λ⋅<>==⇒=，则12λ= 即：13313(,,0),(1,0,)442A M n =-=-10' 设直线1A M 与平面MBC 所成的角为θ，则111||3sin |cos ,|37||||A M n A M n A M n θ⋅=<>==⋅ 所以，直线1A M 与平面MBC 所成的角正弦值为7. 12'20.（本题满分12分）（1）()()()k i j i j m j k m k i m c -+-+-= ()()()k j i j i m i k m k j m c -+-+-=当2nn b =时，123142,3,3m m m === 1426(12)(23)2(31)3033-+-⋅+-⋅=≠ 所以，{}n b 不是“梦想数列” 4'（2）21,21,21i j k a i a j a k =-=-=- 222()()()0k i j i j j k k i k i j-+-+-= 所以，{}n c 不是“梦想数列” 6'（3）①令1,2,3i j k === 123112(12)(23)(31)0312a a a a a a +++-+-+-= 所以，1322a a a +=，即：123a a a 、、成等差数列 8' ②令1,2,(3)i j k n n ===≥21(12)(2)(1)02n S S n a n n -+-+-= 2122(3)(1)0n S n n a n n a +---=21122(2)(1)0n S n n a n n a ++---+=所以，11121122220n n a na a na a a nd +++--=⇒=+所以，1(1)(4)n a a n d n =+-≥，当1,2,3n =时也成立. 综上可得， “梦想数列”{}n a 是等差数列. 12'21.（本题满分12分） （1）椭圆方程：22221(0)x y a b a b+=>>13323c b a a ⎧=⎪=⎧⎪⇒⎨=⎩=，所以，222121:1,:194x C y C y x +==- 4'（2）设直线l 的方程为y kx =，1122(,),(,)A x y B x y 2440y kx x kx =⎧⎪⇒--=，则124x x k +=⎧6'又1112112111,4164y x x x k k k x +====- 联立122114014y k x x k x x y =-⎧⎪⇒-=⎨=-⎪⎩，则114x k =，同理：224x k = 联立12211221(91)180990y k x k x k x x y =-⎧⇒+-=⎨+-=⎩ 13211891k x k =+，同理：24221891k x k =+ 8'2211221||||sin 42(91)(91)181||||sin 2MA MB AMB S k k S MD ME DME ∠==++∠ 10' 21214819169(19)811616324k k =+++≥，当且仅当112k =±时，取等号 所以，12S S 的最小值为169324. 12'22.（本题满分12分）（1）()f x 的定义域为(0,)+∞11'()1f x a x x=-=- 设切点坐标000(,ln 1)x x x -+，则切线方程为：00001(ln 1)(1)()y x x x x x --+=-- 把点(0,0)带入切线得：20x e = 所以，()f x 的切线方程为：221e y x e -= 4'（2）()(ln 1)ax g x x e x ax =+--有两个不同零点，则 ln (ln 1)0(ln )1(ln )10ax x ax ax x x e x ax x ax e x ax e -+--=⇒+--=+--=6' 构造函数()1,'()1x x u x e x u x e =+-=+()u x 为(,)-∞+∞增函数，且(0)0u =即：ln 0x ax -=有两个不等实根ln ax x =⎧令1122ln ,(01)ln x x t t x x ==<<，则1212ln ln ,ln ln ln x t x x x t ==+ 122ln 2ln ln 1t x x t t ++=- 8' 设22212()ln (01),'()[3ln ]1(1)x x x v x x x v x x x x x++-=<<=-+-- 设22(1)(2)()3ln 1,'()x x x x x x x x φφ--=-+-+= ()x φ在(0,1)递增，(1)0φ=，则()v x 在(0,1)递减，且(1)0v = 所以，()v x 的最小值(1)v ， 10' 11(2)ln lim ((2)ln )'|31x x x x x x x =→+=+=- 所以，()v x 的最小值为3，即：m 的取值范围为(,3]-∞. 12'。

东北三省三校2022届高三第二次联合模拟考试数学（文科）试题本试卷满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号，并将条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上．3．非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}2log 1M x x =<，{}21N x x =≤，则M N ⋃=（ ）A ．(],1-∞B ．(),2-∞C ．[)1,2-D ．(]0,12．复数43i2iz -=-（其中i 为虚数单位）的模为（ ）A ．1B C ．D ．53．双曲线221169x y -=的渐近线方程是（ ）A ．34yx B ．35y x =±C ．43y x =±D ．53y x =±4．命题“2x ∀≥，2440x x -+≥”的否定是（ ） A ．2x ∀≥，2440x x -+< B ．2x ∃<，2440x x -+< C ．2x ∀<，2440x x -+<D ．2x ∃≥，2440x x -+<5．为研究变量x ，y 的相关关系，收集得到下面五个样本点（x ，y ）：若由最小二乘法求得y 关于x 的回归直线方程为 3.2y x a =-+，则据此计算残差为0的样本点是（ ）A ．（9，11） B ．（10，8）C ．（10.5，6）D ．（11．5）6．将函数sin 46y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移6π个单位，所得图象对应的函数（ ） A ．在区间0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增B ．在区间（6π-，12π）上单调递减 C ．图象关于点（3π，0）对称D ．图象关于直线12x π=对称7．下列说法错误．．的是（ ） A ．由函数1y x x -=+的性质猜想函数1y x x -=-的性质是类比推理 B ．由ln10≤，ln 21<，ln32<…猜想()ln 1N*n n n ≤-∈是归纳推理 C ．由锐角x 满足sin x x <及0122ππ<<，推出sin1212ππ<是合情推理D ．“因为()cos cos x x -=恒成立，所以函数cos y x =是偶函数”是省略大前提的三段论 8．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若4a =，sin 2sin A C =，1cos 4A =-，则ABC 的面积S =（ ）A B ．C ．1 D9．已知圆锥的顶点为点S 倍，点A ，B 是底面圆周上的两点，当SAB △是等边三角形时面积为 ）AB ．C ．D ．10．定义域为R 的奇函数()f x 满足()()2f x f x =-+，则()2022f =（ ） A ．0B ．1-C ．1D ．不确定11．椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左焦点为点F ，过原点O 的直线与椭圆交于P ，Q两点，若120PFQ ∠=︒，OF =OP =C 的离心率为（ ）A B C D 12．已知实数,,a b c 满足2a <，ln 2ln 22a a a -=-，b <ln b b b 12c >，111ln ln 222c c c -=-，则（ ） A ．c b a << B ．b c a << C ．a c b << D ．a b c <<二、填空题13．盒子中装有编号为0，1，2，3，4的五个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是______．14．在爱尔兰小说《格列佛游记》里，有格列佛在小人国一顿吃了1728份小人饭的叙述，作者为什么要使用这么复杂的数字呢？许多研究者认为，之所以选用这个数字，跟英国人计数经常使用的十二进制有关系．中国文化中，十二进制也有着广泛应用，如12地支，12个时辰，12生肖…．十二进制数通常使用数字0—9以及字母A ，B 表示，其中A 即数字10，B 即数字11．对于下面的程序框图，若输入a=1728，k=12，则输出的数为________．15．在正六边形ABCDEF 中，点G 为线段DF （含端点）上的动点，若CG CB CD λμ=+（λ，μ∈R ），则λμ+的取值范围是________．16．如图，多面体ABCDEF 中，面ABCD 为正方形，DE ⊥平面ABCD ，CF DE ∥，且2AB DE ==，1CF =，G 为棱BC 的中点，H 为棱DE 上的动点，有下列结论：①当H 为棱DE 的中点时，GH ∥平面ABE ； ①存在点H ，使得GH AC ⊥； ①三棱锥B GHF -的体积为定值； ①三棱锥A BCF -的外接球表面积为9π．其中正确的结论序号为______．（填写所有正确结论的序号） 三、解答题17．如图，正三棱柱111ABC A B C -中，12BA BB ==，点D 是棱1AA 的中点．(1)求证：1BD B C ⊥； (2)求点B 到平面1DCB 的距离．18．五常市是黑龙江省典型农业大县（市）、国家重要的商品粮食基地，全国粮食生产十大先进县之一，也是全国水稻五强县之一，被誉为张广才岭下的“水稻王国”．五常大米受产区独特的地理、气候等因素影响，干物质积累多，直链淀粉含量适中，支链淀粉含量较高．由于水稻成熟期产区昼夜温差大，大米中可速溶的双链糖积累较多，对人体健康非常有益．五常大米根据颗粒、质地、色泽、香味等评分指标打分，得分在区间0,25，(]25,50，(]50,75，(]75,100内分别评定为四级大米、三级大米、二级大米、一级大米．某经销商从五常市农民手中收购一批大米，共400袋（每袋25kg ），并随机抽取20袋分别进行检测评级，得分数据的频率分布直方图如图所示：(1)求a 的值，并用样本估计，该经销商采购的这批大米中，一级大米和二级大米的总量能否达到采购总量一半以上；(2)该经销商计划在下面两个方案中选择一个作为销售方案：方案1：将采购的400袋大米不经检测，统一按每袋300元直接售出；方案2：将采购的400袋大米逐袋检测分级，并将每袋大米重新包装成5包（每包5kg ），检测分级所需费用和人工费共8000元，各等级大米每包的售价和包装材料成本如下表所示：该经销商采用哪种销售方案所得利润更大？通过计算说明理由．19．已知等差数列{}n a 公差不为零，1235a a a a ++=，238a a a ⋅=，数列{}n b 各项均为正数，11b =，221132n n n n b b b b ++-=．(1)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； (2)若16n n a b λ++≥恒成立，求实数λ的最小值． 20．设函数()()()ln 12af x x a x x =+-+． (1)若2a =，过点()2,8A --作曲线()y f x =的切线，求切点的坐标； (2)若()f x 在区间()2,+∞上单调递增，求整数a 的最大值．21．已知点F 为抛物线E ：22y px =（0p >）的焦点，点P （−3，2），PF =，若过点P 作直线与抛物线E 顺次交于A ，B 两点，过点A 作斜率为1的直线与抛物线的另一个交点为点C ． (1)求抛物线E 的标准方程； (2)求证：直线BC 过定点；(3)若直线BC 所过定点为点Q ，①QAB ，①PBC 的面积分别为S 1，S 2，求12S S 的取值范围22．在平面直角坐标系xOy 中，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，点,A B 的极坐标分别为5(2,),(2,)44A B ππ，圆1C 以AB 为直径，直线l 的极坐标方程为cos 64πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭． (1)求圆1C 及直线l 的直角坐标方程； (2)圆1C经过伸缩变换2x x y y ⎧=⎪⎪⎨=''⎪⎪⎩得到曲线2C ，已知点P 为曲线2C 上的任意一点，求点P 到直线l 距离的取值范围．23．已知函数()2121f x x x =--+的值域为[],M a b =． (1)若x M ∈，y M ∈，求证：22221644x y x y +≥+； (2)若2y az +<，1by z +<，求证：1z <．参考答案：1．C 【解析】 【分析】求出集合M ，N ，然后进行并集的运算即可. 【详解】①{}02M x x =<<，{}11N x x =-≤≤， ①[1,2)M N ⋃=-. 故选：C . 2．B 【解析】 【分析】根据复数的乘除运算化简z ，再求其模长即可. 【详解】 因为43i 2iz -=-()()()()43i 2i 112i 112i 2i 2i 555-+-===--+，故z故选：B. 3．A 【解析】 【分析】根据双曲线的方程求解. 【详解】因为双曲线方程为221169x y -=，所以a =4，b =3， 所以其渐近线方程是34y x ， 故选：A 4．D【解析】 【分析】对原命题“改量词，否结论”即可求得结果. 【详解】命题2x ∀≥，2440x x -+≥的否定是：2x ∃≥，2440x x -+<. 故选：D. 5．B 【解析】 【分析】先求出线性方程的样本中心点，从而可求得 3.240y x =-+，再根据残差的定义可判断. 【详解】 由题意可知，99.51010.511105x ++++==，111086585y ++++==所以线性方程的样本中心点为(10,8)， 因此有8 3.21040a a =-⨯+⇒=， 所以 3.240y x =-+，在收集的5个样本点中，(10,8)一点在 3.240y x =-+上，故计算残差为0的样本点是(10,8).故选：B 6．A 【解析】 【分析】根据函数的伸缩变换和平移变换得到()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，逐项判断.【详解】将函数sin 46y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移6π个单位，得()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因为0,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以2,662πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭x ，故A 正确；因为,612x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以2,062ππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭x ，故B 错误；sin 2sin 103362ππππf ⎛⎫⎛⎫=⨯-==≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 错误；sin 2sin 00112126πππf ⎛⎫⎛⎫=⨯-==≠± ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故D 错误； 故选：A 7．C 【解析】 【分析】根据类比推理、归纳推理、合情推理、演绎推理的概念判断. 【详解】A 中两个函数形式相似，因此可以根据前者的性质猜测后者的性质，是类比推理，A 正确；B 中，由特殊到一般的猜想推理，是归纳推理，B 正确；C 中是三段论的演绎推理，不属于合情推理，C 错；D 中，省略了大前提：函数()f x 满足()()f x f x -=恒成立，则()f x 是偶函数，D 正确. 故选：C. 8．D 【解析】 【分析】根据正弦定理，结合余弦定理、三角形面积公式、同角的三角函数关系式进行求解即可. 【详解】根据正弦定理，由4a =，sin 2sin 22A C a c c =⇒=⇒=， 由余弦定理可知：222212cos 16422()4a b c bc A b b =+-⋅⇒=+-⋅⋅-，解得3b =，或4b =-（舍去），因为1cos 4A =-，所以si n A ==因此11sin 3222S bc A =⋅=⨯⨯=， 故选：D 9．D 【解析】【分析】根据SAB △是等边三角形时面积为径，然后由圆锥的侧面积公式求解. 【详解】解：设圆锥的高为h ，母线为l ，底面半径为r ，则由题意得h ，21sin 602l =，所以l =又222l h r =+，则2r =，所以圆锥的侧面积为S rl π==， 故选；D 10．A 【解析】 【分析】根据奇函数的性质，结合已知等式可以求出函数的周期，利用周期进行求解即可. 【详解】因为函数()f x 是奇函数， 所以()()f x f x -=-，所以由()()()()()()()2242f x f x f x f x f x f x f x =-+⇒-=+=-⇒+=-+()()4f x f x ⇒=+，所以该函数的周期为4，所以()()()()()20225054222200f f f f f ==-+=⨯+==， 故选：A 11．B 【解析】 【分析】设F '为椭圆的右焦点，根据椭圆的对称性，得到,2PF QF m PF QF a m ''====-，分别在PQF △和FQF '，利用余弦定理列出方程组，求得3a =，结合离心率的定义，即可求解. 【详解】解：设F '为椭圆的右焦点，根据椭圆的对称性可知，四边形PFQF '为平行四边形， 令,2PF QF m PF QF a m ''====-，在PQF △中，22PQ OP == 则2222cos 28PF FQ PF FQ PFQ PQ +-∠==， 即22(2)(2)28m a x x a x +-+-=在FQF '中，18060FPF PFQ '∠=-∠=， 则2222cos 12PF PF PF PF FPF FF ''''+-∠==， 即22(2)(2)12m a x x a x +---=，联立方程组22)222)2((2)28((2)12a x a x m x a x m x a x --⎧++-=⎨+--=⎩，解得3a =，因为c OF ==c e a ==. 故选：B.12．D 【解析】 【分析】令()ln f x x x x =-，利用导数可求得()f x 的单调性，可知()()10f x t t =-<<有两个不等解12,x x ，并得到101x <<，21e x <<，根据()()()()212f a f f b f f c f ⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭⎩和()2f f>可确定,,a b c 的大小关系. 【详解】由题意得：ln 2ln 22ln 111ln ln 222a a a b b b c c c ⎧-=-⎪⎪-⎨⎪⎪-=-⎩令()ln f x x x x =-，则()ln f x x '=，∴当()0,1x ∈时，()0f x '<；当()1,x ∈+∞时，()0f x '>；()f x ∴在()0,1上的单调递减，在()1,+∞上单调递增；()()min 11f x f ∴==-；又()e 0f =，当()0,1x ∈时，()0f x <；∴方程()()10f x t t =-<<有两个不等解12,x x ，101x ∴<<，21e x <<； ()()()()212f a f f b f f c f ⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭⎩，又1012e 2<<<<<，01a ∴<<，01b <<，1e c <<；又()2f f>，()()f a f b ∴>，a b ∴<；综上所述：a b c <<. 故选：D. 13．910##0.9 【解析】 【分析】列举出基本事件，利用古典概型的概率公式直接求解. 【详解】盒子中装有编号为0，1，2，3，4的五个球，从中任意取出两个，有：01，02，03，04，12，13，14，23，24，34共10种，其中积为偶数的有：01，02，03，04，12，14，23，24，34共9种，故所取的这两个球的编号之积为偶数的概率是910p =. 故答案为：910. 14．1000 【解析】 【分析】利用程序框图，模拟程序框图的运行过程即可求解 【详解】输入a k ==172812，，q =÷=1728121440；a k ==14412，，q =÷=14412120；a k ==1212，，q =÷=121210；a k ==112，，q =÷=11201；所以输出的数为1000. 故答案为：1000. 15．[1,4] 【解析】 【分析】以正六边形的中心为坐标原点建立平面直角坐标系，根据已知条件，用点G 的横坐标表示λμ+，结合点G 横坐标的取值范围，即可求得结果.【详解】根据题意，不妨设正六边形ABCDEF 的边长为O 建立平面直角坐标系，如下所示：则可得())()),,,3F DC B--，设点G 的坐标为(),m n ，则()()()23,,3,3,3,3CG m n CB CD =-=--=-，由CG CB CD λμ=+可得：m -=，即2λμ+=+，数形结合可知：m ⎡∈-⎣，则[]21,4+∈，即λμ+的取值范围为[]1,4. 故答案为：[]1,4. 【点睛】本题考查用解析法处理平面向量中的范围问题，解决问题的关键是用点G 的坐标表达λμ+，属中档题.16．①①① 【解析】 【分析】根据线面平行的判定定理，以及线线垂直的判定，结合棱锥体积的计算公式，以及棱锥外接球半径的求解，对每一项进行逐一求解和分析即可. 【详解】对①：当H 为DE 的中点时，取EA 中点为M ，连接,MH MB ，因为,H M 分别为,ED EA 的中点， 故可得MH //AD ，12MH AD =， 根据已知条件可知：BG //1,2AD BG AD =， 故MH //,BG MH BG =，故四边形HMBG 为平行四边形，则HG //MB ，又MB ⊂平面,ABE HG ⊄平面ABE ， 故HG //面ABE ，故①正确；对①：因为ED ⊥平面,,ABCD DA DC ⊂平面ABCD ， 故,DE DA DE DC ⊥⊥， 又四边形ABCD 为矩形，故DA DC ⊥，则,,DE DA DC 两两垂直，以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示：则()()()2,0,0,0,0,2,1,2,0A E G ，设()0,0,H m ，[]0,2m ∈， 若GH ①AE ，则()()1,2,2,0,20GH AE m ⋅=--⋅-=， 即220m +=，解得1m =-，不满足题意，故①错误； 对①：B GFH H BGF V V --=，因为,,B F G 均为定点，故BGFS为定值，又DE //,CF CF ⊂平面,BGF DE ⊄平面BGF ， 故DE //面BGF ，又点H 在DE 上运动，故点H 到平面BGF 的距离是定值， 故三棱锥B GFH -的体积为定值，则①正确；对①：由题可得CF ⊥平面ABCD ，又面ABCD 为正方形， ①,,AB BC CF AB BC CF C ⊥⊥⋂=，①AB ①平面BCF ，则AB ，BC ，CF 两两垂直， ①AF 为三棱锥A BCF -的外接球的直径， 又22222212219AF AB BC CF =++=++=， ①三棱锥A BCF -的外接球表面积为9π，故①正确. 故答案为：①①①. 17．(1)证明见解析【解析】 【分析】（1）取AB 的中点为M ，连接1B M ，CM ，易知1B BM BAD △△≌，得到1BD B M ⊥，再由CM ⊥平面11ABB A ，得到BD CM ⊥，然后证明BD ⊥平面1B CM 即可；（2）设点B 到平面1DCB 的距离为h ，利用等体积法，由11113B DCB DCBC BDB V S h V --=⋅=△求解.(1)证明：如图所示：设AB 的中点为M ，连接1B M ，CM ， ①正方形11ABB A 中，1B B BA =，BM AD =，①1B BM BAD △△≌， ①1BD B M ⊥，①1AA ⊥平面ABC ，CM ⊂平面ABC ， ①1AA CM ⊥，又AC BC =，M 为AB 中点， ①CM AB ⊥， ①1AB AA A ⋂=， ①CM ⊥平面11ABB A ， ①BD ⊂平面11ABB A ， ①BD CM ⊥，①1B M CM M ⋂=，1B M ⊂平面1B CM ，CM ⊂平面1B CM ， ①BD ⊥平面1B CM ， ①1B C ⊂平面1B CM ， ①1BD B C ⊥； (2)设点B 到平面1DCB 的距离为h ， ①11113B DCB DCBC BDB V S h V --=⋅=△，①1B D DC =1=BC ，①112DCB S =⨯=△由（1）CM ⊥平面11ABB A ，①2CM ==1C BDB -的高， 又112222BDB S =⨯⨯=△，①1123C BDB V -=⨯①13h =①h =故点B 到平面1DCB 18．(1)0.010a =，能达到(2)该经销商采用方案2所得利润更大，理由见解析 【解析】 【分析】（1）利用频率和为1，求出a ，即可判断； （2）分别计算方案1和方案2的收入，即可判断. (1)①()0.0040.0120.014251a +++⨯=①0.010a = ①()0.0140.010250.60.5+⨯=>①估计经销商采购的这批大米中，一级大米和二级大米的总量能够达到采购总量的一半以上． (2)若经销商采用方案1，则收入为400300120000⨯=元． 若经销商采用方案2400袋大米中四级大米约4000.0042540⨯⨯=袋，405200⨯=包 三级大米约4000.01225120⨯⨯=袋，1205600⨯=包 二级大米约4000.01425140⨯⨯=袋，1405700⨯=包 一级大米约4000.01025100⨯⨯=袋，1005500⨯=包400袋大米共卖20055600687008550098160300⨯+⨯+⨯+⨯=元 400袋大米的包装袋成本为20026002700450056900⨯+⨯+⨯+⨯=元， ①收入为16030069008000145400--=元 ①145400120000>，且400袋大米成本相同， ①该经销商采用方案2所得利润更大．19．(1)21n a n =-，113n n b -⎛⎫= ⎪⎝⎭(2)181【解析】 【分析】（1）求数列{}n a 的通项公式，根据等差数列，利用基本量计算即可求解，求数列{}n b 的通项公式，先因此分解，得到数列{}n b 为等比数列后可求解； （2）根据（1）得273n n λ-≥，再令273nnn c -=，再研究其单调性可求解. (1)设等差数列{}n a 的公差为d ，由条件，()()11111334,27,a d a d a d a d a d +=+⎧⎨++=+⎩ 解得100a d =⎧⎨=⎩，或112a d =⎧⎨=⎩，①0d ≠，①112a d =⎧⎨=⎩ ①1(1)221n a n n =+-⨯=-①2211320n n n n b b b b +++-=，①()()1130n n n n b b b b +++-=，①0n b >，①113n n b b +=又110b =≠，①0n b ≠，①113n n b b +=， ①{}n b 是以1为首项，13为公比的等比数列．①113n n b -⎛⎫= ⎪⎝⎭(2)①11,213n n n b a n -⎛⎫==- ⎪⎝⎭，①16n n a b λ++≥， 即62113nn λ+≥-⎛⎫ ⎪⎝⎭，即273nn λ-≥恒成立， 设273n n n c -=，则11125274(4)333n nn n n n n n c c +++-----=-=， 即1,2,3n =时1n n c c +>；4n =时1n n c c +=；5,n n N *≥∈时1n n c c +<，①4n =或5时，181n c =为{}n c 的最大项． ①181λ≥，故实数λ的最小值为181．20．(1)切点坐标为()1,2-和()4,12ln 25- (2)8 【解析】 【分析】（1）设切点为()00,P x y ，表示出点P 处切线方程，将()2,8A --代入解得01x =，或04x =，求出切点坐标为()1,2-和()4,12ln 25-； （2）把题意转化为2x >时，()ln 102a ag x x x =++-≥恒成立，()221a x a g x x x x-'=-=.对a 分类讨论：i.2a ≤时，ii.2a >时，分别求出满足条件的整数a 的范围，即可求得. (1)2a =时，()()()2ln 1f x x x x =+-+，()()2ln 0f x x x x'=+>， 设切点为()00,P x y ，则点P 处切线方程为：()()()00000022ln 1ln y x x x x x x x ⎛⎫-+++=+- ⎪⎝⎭，将()2,8A --代入得：()()()000000282ln 1ln 2x x x x x x ⎛⎫--+++=+-- ⎪⎝⎭．即00472x x --=-，解得01x =，或04x =， 01x =时，()002y f x ==-；04x =时，()0012ln 25y f x ==-．①所求切点坐标为()1,2-和()4,12ln 25-． (2)()()()ln 12a f x x a x x =+-+．记()()()1ln 02a ag x f x x x x '==++-> ①()f x 在()2,+∞上单调递增，①2x >时，()ln 102a ag x x x =++-≥恒成立. ()221a x ag x x x x-'=-= i.20a -≥，即2a ≤时，2x >时，0x a ->，20x >，①()0g x '>，①()g x 在()2,+∞上单调递增， ①()()2ln 21ln 21022a ag x g >=++-=+>，故a Z ∈，2a ≤时满足条件． ii.20a -<，即2a >时．在()2,a 上，0x a -<，20x >，所以()0g x '<，()g x 单调递减； 在(),a +∞上，0x a ->，20x >，所以()0g x '>，()g x 单调递增， ①()()min ln 22ag x g a a ==+-， 记()ln 22a h a a =+-，在()2,+∞上()1102h a a '=-<，()h a 单调递减， ①()28ln82ln 20h e =->-=，()()()55111594ln 35ln81ln ln81ln 02222h e ⎛⎫⎛⎫=-=-<-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 因为a Z ∈，38a ≤≤时满足条件．由i 和ii 知，满足条件的整数a 的最大值为8． 【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用． 21．(1)24y x = (2)证明见解析 (3)(0,1) 【解析】 【分析】（1）利用,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭表示出||FP ，化简即可求出答案.（2）设出直线AB ，联立直线AB 与抛物线E ，利用韦达定理则可表示出AB 、两点的关系.再由点A 写出直线AC ，联立直线AC 与抛物线E ，利用韦达定理则可表示出A C 、两点的关系.写出直线BC 的方程，根据两个关系式消掉A 点，则可得出结论.（3）将1S 、2S 用、、A B C 点表示出来，再利用韦达定理用直线AB 的斜率k 表示出12S S ，最后化简即可得出答案. (1)焦点,0,||2p F FP ⎛⎫= ⎪⎝⎭①0p >，①2p =抛物线E 的标准方程为24y x = (2)显然．直线AB 斜率存在，设AB 的方程为2(3)y k x -=+由22(3)4y k x y x -=+⎧⎨=⎩，化简得：()2248120,0,163210ky y k k k k -++=≠∆=--+>， 设()()1122,,,A x y B x y ，则121248,12y y y y k k+==+，①()1212122y y y y -=+ ① 直线AC 的方程为2114y y y x -=-，由211244y y y x y x ⎧-=-⎪⎨⎪=⎩化简得：()2221111440,Δ16440y y y y y y -+-==-->， 设()33,C x y 则134y y += ①由①①得()()323241224y y y y --=-+，①()2323220y y y y +=+ ①（①）若直线BC 没有斜率，则230y y +=，又()2323220y y y y +=+，①2320y =，①23354y x ==，①BC 的方程为5x =．（①）若直线BC 有斜率，为2323234y y x x y y -=-+， 直线BC 的方程为2222344y y y x y y ⎛⎫-=- ⎪+⎝⎭，即()232340x y y y y y -++=，将①代入得()()232342200x y y y y y -+++-=，①()23(2)4(5)0y y y x +-+-=， 故直线BC 有斜率时过点(5,2)． 由（①）（①）知，直线BC 过点(5,2)．(3) 211121212111||2||||22218422PBQ PAQS SSPQ y PQ y PQ y y y y y y =-=⋅--⋅-=⋅-=⨯⨯-=-22323231211||844422S PQ yy y y y y y y=⋅-=⨯⨯-=-=+- 由（2）得121248,12y y y y k k +==+，12y y -==()20,163210k k k ≠∆=--+>，①113k -<<，且0k ≠，1212124y y SSy y -===+-设11,k u t u-==， 12S S ===①113k -<<，且0k ≠，①31,11,22t ⎛⎫⎛⎫∈---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(0,1)，故12S S 的取值范围是(0,1)． 【点睛】本题考查抛物线的标准方程、直线过定点.属于难题.其中证明直线过定点，寻找坐标之间的关系进行消元是解题的关键. 22．(1)224x y +=，0x y --= (2)[4,8] 【解析】 【分析】（1）由题意得到2OAOB ==，求得1C 的极坐标方程为2ρ=，进而得到曲线1C 的直角坐标方程，化简直线l 的极坐标方程为cos sin 0ρθρθ--=，结合极坐标与直角坐标的互化公式，即可求解直线l 的直角坐标方程；（1）由题意得到x y y ''⎧=⎪⎨=⎪⎩，代入224x y +=，求得曲线2C 的通方程，得到2C 的参数方程，设)P θθ，求得点P 到l 的距离为62cos 3d πθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，结合三角函数的性质，即可求解. (1)解：由题意，点,A B 的极坐标分别为5(2,),(2,)44A B ππ， 可得极点O 为AB 的中点，且2OA OB ==，所以1C 的极坐标方程为2ρ=，又由ρ1C 的直角坐标方程为224x y +=，由cos 64πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，可得cos sin 0ρθρθ--=，因为cos ,sin x y ρθρθ==，所以直线l的直角坐标方程为0x y --=． (2)解：由2x x y y ⎧=⎪⎪⎨=''⎪⎪⎩，可得x y y ''⎧=⎪⎨=⎪⎩，代入224x y +=，可得224246x y ''+=， 即22126x y ''+=，所以曲线2C 的通方程为22126x y +=，则2C的参数方程为(x y θθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数)，设)P θθ为2C 上任意一点，点P 到l 的距离为d ，则62cos 3d πθ⎛⎫===-+ ⎪⎝⎭， 所以当cos 13πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，max 8d =；当cos 13πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，min 4d =，所以P 到l 的距离的取值范围是[4,8]. 23．(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解析】 【分析】（1）由绝对值三角不等式得2121(21)(21)2x x x x --+≤--+=，得到函数()f x 的值域为[2,2]-，又由不等式可化为()()22440y x --≥，即可求解；（2）由（1）得到|2|2,|2|1y z y z -<+<，则|5||(2)2(2)||2|2|2|z y z y z y z y z =+--≤++-，即可求解.(1)解：因为2121(21)(21)2x x x x --+≤--+=，当且仅当(21)(21)0x x -+≥，即12x ≤-或12x ≥时，等号成立，所以2|21||21|2x x -≤--+≤，即函数()f x 的值域为[2,2]-， 原不等式等价于 222244160x y x y --+≥，即()()2224440xyy -+-≥，所以()()22440y x --≥，因为22,22x y -≤≤-≤≤，所以()()22440y x --≥成立，所以22221644x y x y +≥+成立． (2)解：由（1）得2,2a b =-=，则不等式2y az +<，1by z +<，即为|2|2,|2|1y z y z -<+<， 所以|5||(2)2(2)||2|2|2|1225z y z y z y z y z =+--≤++-<+⨯=， 所以||1z <.。

2024年东北三省四城市联考暨沈阳市高三质量检测（二）数 学沈阳命题：沈阳市第一二〇中学 东北育才学校 沈阳铁路实验中学沈阳主审：沈阳市教育研究院本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上，并将条码粘贴在答题卡指定区域．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡指定位置书写作答，在本试题卷上作答无效．3．考试结束后，考生将答题卡交回．第Ⅰ卷（选择题 共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合{}1,0,1,2A =-，{}3|B x x x ==，则A B = （ ）A. {}1-B. {}1,1-C. {}0,1D. {}1,0,1-2. 抛物线2:y ax Γ=过点()2,1，则Γ的准线方程为（ ） A 1x =B. 1y =-C. 2x =-D. =2y -3. 已知向量()()2,4,3,1a b ==-，则“k =是“()()a kb a kb +⊥- ”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4. 已知()0,πa ∈，且1sin cos 5a a +=，则tan2a =（ ） A.127B. 127-C.247D. 247-.5. 甲、乙、丙三人从事,,a b c 三项工作，乙的年龄比从事c 工作人的年龄大，丙的年龄与从事b 工作人的年龄不同，从事b 工作人的年龄比甲的年龄小，则甲、乙、丙的职业分别是（ ） A. ,,a b cB. ,,c a bC. ,,c b aD. ,,b c a6. 我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化，每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，记事件A =“取出的重卦中至少有1个阴爻”，事件B =“取出的重卦中至少有3个阳爻”．则()P B A =（ ）A.516B.1132C.4163D.15647. 正方体1111ABCD A B C D -中，P 为正方形ABCD 内一点（不含边界），记O 为正方形ABCD 的中心，直线1111,,,PA PB PC PD 与平面1111D C B A 所成角分别为123,,θθθ，4θ．若1324,θθθθ=>，则点P 在（ ） A. 线段OA 上B. 线段OB 上C. 线段OC 上D. 线段OD 上8. 在同一平面直角坐标系内，函数()y f x =及其导函数()y f x ='的图象如图所示，已知两图象有且仅有一个公共点，其坐标为()0,1，则（ ）A. 函数()e xy f x =⋅的最大值为1B. 函数()e xy f x =⋅最小值为1C. 函数()exf x y =的最大值为1的D. 函数()exf x y =最小值为1二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 设方程210x x ++=在复数范围内的两根分别为12,z z ，则下列关于12,z z 的说法正确的有（ ） A. 212z z =B. 33120z z -=C. 22120z z -=D. 121z z =10. 已知正四棱锥S ABCD -的所有棱长均相等，O 为顶点S 在底面内的射影，则下列说法正确的有（ ）A. 平面SAD ⊥平面SBCB. 侧面SBC 内存在无穷多个点P ，使得//OP 平面SADC. 在正方形ABCD 的边上存在点Q ，使得直线SQ 与底面所成角大小为π3D. 动点,M N 分别在棱AB 和BC 上（不含端点），则二面角S MN O --的范围是ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭11. 已知数列{}n a 的通项公式为()()()2111,2,3,1nn a n n c =-⋅=+- ，则下列说法正确的有（）A. 若1c ≤，则数列{}n a 单调递减 B. 若对任意*n ∈N ，都有1n a a ≥，则1c ≤ C. 若*c ∈N ，则对任意*,i j ∈N ，都有0i j a a +≠ D. 若{}n a 的最大项与最小项之和为正数，则*1122,22k c k k -<<+∈N 第Ⅱ卷（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，其中14小题第一空2分，第二空3分，共15分．12. 已知函数()()3,02,0xx f x f x x ⎧>⎪=⎨+≤⎪⎩，则31log 16f ⎛⎫= ⎪⎝⎭________．13. 已知()()1,0,4,0,2A B PB PA --=，若平面内满足到直线:340l x y m ++=的距离为1的点P 有且只有3个，则实数m =________． 14. 有序实数组()()*12,,,n x x x n ⋅⋅⋅∈N称为n 维向量，12n xx x ++⋅⋅⋅+为该向量的范数，范数在度量向的量的长度和大小方面有着重要的作用．已知n 维向量()12,,,n a x x x =⋅⋅⋅，其中{}0,1,2,1,2,,i x i n ∈=⋅⋅⋅．记范数为奇数的a的个数为n A ，则4A =______；21n A +=______．（用含n 的式子表示）四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c，已知sin cos a B A =，角A 的平分线交边BC 于点D ，且1AD =. （1）求角A 大小；（2）若BC =，求ABC 的面积. 16. 已知函数()e ,ex x xf x a a =-∈R ． （1）当0a =时，求()f x 在1x =处的切线方程； （2）当1a =时，求()f x 的单调区间和极值； （3）若对任意x ∈R ，有()1ex f x -≤恒成立，求a 的取值范围．17. 正四棱台1111ABCD A B C D -的下底面边长为1112A B AB =，M 为BC 中点，已知点P 满足()1112AP AB AD AA λλλ=-+⋅+，其中()0,1λ∈．（1）求证1D P AC ⊥；（2）已知平面1AMC 与平面ABCD 所成角的余弦值为37，当23λ=时，求直线DP 与平面1AMC 所成角的正弦值．18.P 为大圆上一动点，大圆半径OP 与小圆相交于点,B PP x '⊥轴于,P BB PP ⊥'''于,B B ''点的轨迹为Ω．的（1）求B '点轨迹Ω的方程；（2）点()2,1A ，若点M N 、在Ω上，且直线AM AN 、的斜率乘积为12，线段MN 的中点G ，当直线MN 与y 轴的截距为负数时，求AOG ∠的余弦值．19. 入冬以来，东北成为全国旅游和网络话题的“顶流”．南方的小土豆们纷纷北上体验东北最美的冬天，这个冬天火的不只是东北的美食、东北人的热情，还有东北的洗浴中心，拥挤程度堪比春运，南方游客直接拉着行李箱进入．东北某城市洗浴中心花式宠“且”，为给顾客更好的体验，推出了A 和B 两个套餐服务，顾客可自由选择A 和B 两个套餐之一，并在App 平台上推出了优惠券活动，下表是该洗浴中心在App 平台10天销售优惠券情况． 日期t12345678910销售量y （千张） 1.9 1.98 2.2 2.36 2.43 2.59 2.68 2.76 2.7 0.4经计算可得：1011 2.210i i y y ===∑，101118.73i i i t y ==∑，1021385i i t ==∑． （1）因为优惠券购买火爆，App 平台在第10天时系统出现异常，导致当天顾客购买优惠券数量大幅减少，现剔除第10天数据，求y 关于t 的经验回归方程（结果中的数值用分数表示）； （2）若购买优惠券的顾客选择A 套餐的概率为25，选择B 套餐的概率为35，并且A 套餐可以用一张优惠券，B 套餐可以用两张优惠券，记App 平台累计销售优惠券为n 张的概率为n P ，求n P ； （3）记（2）中所得概率n P 的值构成数列{}()*N n P n∈．①求n P 最值；②数列收敛的定义：已知数列{}n a ，若对于任意给定的正数ε，总存在正整数0N ，使得当0n N >时，n a a ε-<，（a 是一个确定的实数），则称数列{}n a 收敛于a ．根据数列收敛的定义证明数列{}n P 收敛．的参考公式：()()()1122211ˆnniii ii i nniii i x x yy x ynx ybx x xnx ====---⋅==--∑∑∑∑，ˆˆa y bx=-． 参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合{}1,0,1,2A =-，{}3|B x x x ==，则A B = （ ）A. {}1-B. {}1,1-C. {}0,1D. {}1,0,1-【答案】D 【解析】【分析】化简集合B ，由集合的交集定义计算即可. 【详解】因为{}{}3|1,0,1B x x x ===-，所以{}1,0,1A B =- . 故选：D2. 抛物线2:y ax Γ=过点()2,1，则Γ的准线方程为（ ） A. 1x = B. 1y =- C. 2x =-D. =2y -【答案】B 【解析】【分析】把点()2,1代入抛物线方程，再求得准线方程. 【详解】把点()2,1代入抛物线方程2y ax =，得14a =，解得14a =， 所以抛物线方程为24x y =，准线方程为1y =-. 故选：B.3. 已知向量()()2,4,3,1a b ==-，则“k =是“()()a kb a kb +⊥- ”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【解析】【分析】计算()()a kb a kb +⊥-时k 的取值，再根据必要与充分条件的定义判断即可.【详解】当()()a kb a kb +⊥- 时，()()0a kb a kb +⋅-= ，即2220ak b -=，故()()2222224310k⎡⎤+-+-=⎣⎦，解得k =故“k =是“()()a kb a kb +⊥-”的充分不必要条件.故选：A4. 已知()0,πa ∈，且1sin cos 5a a +=，则tan2a =（ ） A.127B. 127-C.247D. 247-【答案】C 【解析】【分析】根据1sin cos 5a a +=结合()0,πa ∈可得sin ,cos a a 与tan a ，进而可得tan2a . 【详解】1sin cos 5a a +=则()21sin cos 12sin cos 25a a a a +=+=，即12sin cos 25a a =-，又因为()0,πa ∈，故sin 0a >，cos 0a <，π,π2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故()249sin cos 12sin cos 25a a a a -=-=，因为π,π2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则7sin cos 5a a -=，结合1sin cos 5a a +=可得4sin 5a =，3cos 5a =-，则4tan 3a =-.故2282tan 243tan21tan 7413a a a -===-⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 故选：C5. 甲、乙、丙三人从事,,a b c 三项工作，乙的年龄比从事c 工作人的年龄大，丙的年龄与从事b 工作人的年龄不同，从事b 工作人的年龄比甲的年龄小，则甲、乙、丙的职业分别是（ ） A. ,,a b cB. ,,c a bC. ,,c b aD. ,,b c a【解析】【分析】根据题意合理进行推理，求解答案即可.【详解】由题意得丙的年龄与从事b 工作人的年龄不同，故从事b 工作的人不是丙， 又从事b 工作人年龄比甲的年龄小，故从事b 工作的人不是甲， 则推出从事b 工作的人一定是乙，又从事b 工作人的年龄比甲的年龄小，故乙的年龄小于甲的年龄， 而乙的年龄比从事c 工作人的年龄大，故从事c 工作的人是丙， 可反推出从事a 工作的人是甲，显然甲、乙、丙的职业分别是,,a b c . 故选：A6. 我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化，每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，记事件A =“取出的重卦中至少有1个阴爻”，事件B =“取出的重卦中至少有3个阳爻”．则()P B A =（ ）A.516B.1132C.4163D.1564【答案】C 【解析】【分析】根据条件概率的公式，分析()(),P A P AB 求解即可.【详解】662163()264P A -==，事件AB =“取出的重卦中有3阳3阴或4阳2阴或5阳1阴”， 则3456666C +C +C 41()264P AB ==，则()41()()63P AB P B A P A ==∣ 故选：C7. 正方体1111ABCD A B C D -中，P 为正方形ABCD 内一点（不含边界），记O 为正方形ABCD 的中心，的直线1111,,,PA PB PC PD 与平面1111D C B A 所成角分别为123,,θθθ，4θ．若1324,θθθθ=>，则点P 在（ ） A. 线段OA 上 B. 线段OB 上C. 线段OC 上D. 线段OD 上【答案】B 【解析】【分析】根据线面角的定义可得直线1111,,,PA PB PC PD 与直线1111,,,AA BB CC DD 所成角大小关系，再根据1324,θθθθ=>判断即可.【详解】直线1111,,,PA PB PC PD 与平面1111D C B A 所成角大小分别为1234,,,θθθθ， 等价于直线1111,,,PA PB PC PD 与直线1111,,,AA BB CC DD 成角大小分别为1234ππππ,,,2222θθθθ----， 由13θθ=，可知P 在线段BD 上，又24θθ>，则241ππ,22PB θθ-<-与1BB 所成角更小， 则点P 在线段OB 上.故选：B.8. 在同一平面直角坐标系内，函数()y f x =及其导函数()y f x ='的图象如图所示，已知两图象有且仅有一个公共点，其坐标为()0,1，则（ ）A. 函数()e xy f x =⋅的最大值为1B. 函数()e xy f x =⋅的最小值为1C. 函数()exf x y =最大值为1D. 函数()exf x y =的最小值为1【答案】C 【解析】【分析】AB 选项，先判断出虚线部分为()y f x '=，实线部分为()y f x =，求导得到()e xy f x =⋅在R上单调递增，AB 错误；再求导得到(,0)x ∈-∞时，()e x f x y =单调递增，当,()0x ∈+∞时，()e xf x y =单调递减，故C 正确，D 错误.【详解】AB 选项，由题意可知，两个函数图像都在x 轴上方，任何一个为导函数， 则另外一个函数应该单调递增，判断可知，虚线部分为()y f x '=， 实线部分为()y f x =，故()()()()()0e e e xxxy f x f x f x f x ='''=⋅+⋅+>⋅恒成立，故()e xy f x =⋅在R 上单调递增，则A ，B 显然错误，对于C ，D ，()2()e ()e ()()e e x xxx f x f x f x f x y ''--'==，由图像可知(,0)x ∈-∞，e ()()0x f x f x y '-=>'恒成立，故()e xf x y =单调递增，当,()0x ∈+∞，()()0e x f x f x y '-'=<，()exf x y =单调递减， 所以函数()e x f x y =在0x =处取得极大值，也为最大值，()010ef =，C 正确，D 错误. 故选：C二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 设方程210x x ++=在复数范围内的两根分别为12,z z ，则下列关于12,z z 的说法正确的有（ ） A. 212z z = B. 33120z z -=C. 22120z z -=D. 121z z =【答案】ABD的【解析】【分析】求解可得121122z z =-=--，再逐个选项判断即可.【详解】对A ，由实系数一元二次方程求根公式知121122z z =-=--，则22121122z z ⎛⎫=-+=-= ⎪ ⎪⎝⎭（与12,z z 顺序无关），故A 正确； 对B ，因为33121z z ==，所以33120z z -=，故B 正确； 对C ，由A ，2212210z z z z -=-≠，故C 错误；对D ，由韦达定理可得121z z =，故D 正确． 故选：ABD10. 已知正四棱锥S ABCD -的所有棱长均相等，O 为顶点S 在底面内的射影，则下列说法正确的有（ ）A. 平面SAD ⊥平面SBCB. 侧面SBC 内存在无穷多个点P ，使得//OP 平面SADC. 在正方形ABCD 的边上存在点Q ，使得直线SQ 与底面所成角大小为π3D. 动点,M N 分别在棱AB 和BC 上（不含端点），则二面角S MN O --的范围是ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭【答案】BD 【解析】【分析】过S 作直线l AD ∥，则l 为平面SAD 与平面SBC 的交线，取AD 中点,E BC 中点F ，连接,ES FS ，求得cos ESF ∠可判断A ；取SB 中点,G SC 中点H ，连接,,OG OH GH ，可得，P GH ∈，可判断B ；由已知可知当Q 在正方形ABCD 各边中点时，SQ 与底面ABCD 所成的角最大，可得1cos 2SEO ∠>，判断C ；作OI 垂直于MN ，连接SI ，则SIO ∠为二面角S MN O --的平面角，求得二面角S MN O --范围是ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭，判断D . 【详解】已知所有棱长都相等，不妨设为1．对于A ：过S 作直线l AD ∥，因为BC AD ∥，所以l BC ∥， 所以l 为平面SAD 与平面SBC 的交线，取AD 中点,E BC 中点F ，连接,ES FS ，由正四棱锥S ABCD -， 可得,SE AD SF BC ⊥⊥，所以,l AD l BC ⊥⊥， 所以ESF ∠为二面角A l B --的平面角，连接EF ，在EFS中，2211cos 03ESF +-∠==≠ 所以平面SAD 与平面SBC 不垂直，故A 错误；对于B ：取SB 中点,G SC 中点H ，连接,,OG OH GH ，因为,OG SD OH SA ，又,OG OH ⊄平面 SAD ，,SD SA ⊂平面SAD ， 所以//OG 平面SAD ，//OH 平面SAD ，又OG OH O = ，所以平面//OGH 平面SAD ，所以当P GH ∈时，//OP 平面SAD ，这样的点P 有无穷多，故B 正确； 对于C ：由已知可知当Q 在正方形ABCD 各边中点时，SQ 与底面ABCD 所成角最大，1cos 2SEO ∠==>，所以π3SEO ∠<，所以不布存Q 使得SQ 与底面ABCD 成的角为3π，故C错误；对于D ：作OI 垂直于MN ，连接SI ，因为SO ⊥平面ABCD ，又MN ⊂平面ABCD ，所以SO MN ⊥，又SO OI O = ，所以MN ⊥平面SIO ，因为SI ⊂平面SIO ，所以MN ⊥SI ， 因为则SIO ∠为二面角S MN O --的平面角，的当MN 都无限向点B 靠拢时，π4SIO ∠→；当,M A N C →→时，π2SHO ∠→， 所以二面角S MN O --范围是ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭，故D 正确． 故选：BD.11. 已知数列{}n a 的通项公式为()()()2111,2,3,1nn a n n c =-⋅=+- ，则下列说法正确的有（）A. 若1c ≤，则数列{}n a 单调递减B. 若对任意*n ∈N ，都有1n a a ≥，则1c ≤C. 若*c ∈N ，则对任意*,i j ∈N ，都有0i j a a +≠D. 若{}n a 的最大项与最小项之和为正数，则*1122,22k c k k -<<+∈N 【答案】ACD 【解析】【分析】对于选项A ，求出12211,()1(1)1n n a a n c n c +==-++-+，再作差判断两式分母的大小关系判断即可；对于选项B ，求解1a ，再分n 为奇数与偶数的情况讨论即可；对于选项C ，分n 为奇数与偶数的情况讨论，进而求和分析是否为0即可；对于选项D ，先将条件转化为：到c 距离最小的正奇数到c 的距离大于到c 距离最小的正偶数到c 的距离，再分情况讨论即可. 【详解】对于选项A ，由条件知()211n a n c =+-，()12111n a n c +=-++，而()()()()22112112c n c n c n -+-+=--++，结合1c ≤，*N n ∈知212210n c n +-≥->，所以()()22111n c n c +>+--+， 所以1n n a a +<，即数列{}n a 单调递减，故A 正确； 对于选项B ，首先有()121011a c =-<+-. 若2≤c ，则当n 为偶数时，()()122110111n a c a n c >---+=>=+，从而1n a a ≥必成立；而当n 为奇数且3n ≥时，由30n c c -≥->，知332341n c n c c c c c c -=-≥-=-+≥-+=-，31n c n c c c -=-≥->-，从而1c n c -≤-，即()()221c n c --≤，这意味着()()12211111n a c c a n -≥--+=-=+.所以只要2≤c ，就一定有1n a a ≥恒成立，所以由1n a a ≥恒成立不可能得到1c ≤，故B 错误； 对于选项C ，显然当,i j 同为奇数或同为偶数时，必有,i j a a 同号，故0i j a a +≠； 而当,i j 的奇偶性不同时，i j +为奇数，此时不妨设,i j 分别是奇数和偶数，则()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()2222222222221121111111111i ji j i j c a i c j c i c j c i c j c i c j c i c j c i c j c a +-+--+-+=-+===+++++++-----------+- 因为*c ∈N ，故2c 为偶数，而i j +为奇数，所以20i j c +-≠， 所以0i j a a +≠，故C 正确；对于选项D ，首先显然的是，最大项必定是某个第偶数项，最小项必定是某个第奇数项. 当1n n =为偶数时，要让()211n a n c =+-最大，即要让n c -最小；而当2n n =为奇数时，要让()211n n c a =--+最小，即要让n c -最小.设1n 和2n 分别是到c 距离最小的正偶数和正奇数，则条件相当于120n n a a +>. 而()()()()()()()()12222122221212111111n n n n a c a n n n n c c c c c =----+--+=-+++-，故条件等价于()()2221n c n c ->-，即21c n c n ->-.这表明，条件等价于，到c 距离最小的正奇数到c 的距离，大于到c 距离最小的正偶数到c 的距离. 若1c ≤，则到c 距离最小的正奇数和正偶数分别是1和2，而由1110c -≥-=可知2211c c c c -≥->-=-，不符合条件；若1c >，c 是正奇数，则到c 距离最小的正奇数到c 的距离为0，不可能大于到c 距离最小的正偶数到c 的距离，不符合条件；若1c >，且c 不是正奇数，设到c 的距离最近的正偶数为()*2k k ∈N，则2121k c k -<<+.此时到c 距离最小的正偶数到c 的距离为2k c -，从而到c 距离最小的正奇数到c 的距离大于2k c -，进一步知任意正奇数到c 的距离都大于2k c -.从而212k c k c +->-，212k c k c -->-，这意味着()()()22021********k c k c k c k c <+---=⋅+-=+-，()()()22021********k c k c k c c k <----=-⋅--=-+，所以112222k c k -<<+. 综上，112222k c k -<<+，*k ∈N ，故D 正确． 故选：ACD【点睛】关键点点睛：本题的数列通项中含有()1n-，这往往意味着我们需要对n 的奇偶性作分类讨论，分两种情况对数列进行讨论才可全面地解决问题.第Ⅱ卷（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，其中14小题第一空2分，第二空3分，共15分．12. 已知函数()()3,02,0xx f x f x x ⎧>⎪=⎨+≤⎪⎩，则31log 16f ⎛⎫= ⎪⎝⎭________．【答案】8116【解析】【分析】根据分段函数解析式结合自变量范围求解即可. 【详解】331log log 1616=-Q ，233163<<， 313log 216∴-<<-，381log 1633331118181log log 2log 22log 31616161616f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+=++=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭故答案为：811613. 已知()()1,0,4,0,2A B PB PA --=，若平面内满足到直线:340l x y m ++=的距离为1的点P 有且只有3个，则实数m =________．【答案】5或5- 【解析】【分析】设出动点P 的坐标，由2PB PA =求得其轨迹方程，由题意知，只需使圆心到直线:340l x y m ++=的距离等于1即可.【详解】设点(,)P x y ，由||2||PB PA == 两边平方整理得：224x y +=，即点P 的轨迹是圆,圆心在原点，半径为2. 若该圆上有且只有3个点到直线:340l x y m ++=的距离为1， 则圆心到直线的距离||15m d ==，解得5m =±． 故答案为：5或5-.14. 有序实数组()()*12,,,n x x x n ⋅⋅⋅∈N称为n 维向量，12n xx x ++⋅⋅⋅+为该向量的范数，范数在度量向量的长度和大小方面有着重要的作用．已知n 维向量()12,,,n a x x x =⋅⋅⋅，其中{}0,1,2,1,2,,i x i n ∈=⋅⋅⋅．记范数为奇数的a的个数为n A ，则4A =______；21n A +=______．（用含n 的式子表示）【答案】 ①. 40 ②.21312n +- 【解析】【分析】根据乘法原理和加法原理即可求解4A ；根据21(21)n ++和21(21)n +-的展开式相减得到21n A +的通项公式.【详解】根据乘法原理和加法原理得到133444C 2C 240A =⋅+⋅=．奇数维向量，范数为奇数，则1i x =的个数为奇数，即1的个数为1，3，5，…，21n +， 根据乘法原理和加法原理得到123225242102121212121C 2C 2C 2C 2nn n n n n n n n A --++++++=++++L ，212102112222210212121213(21)C 2C 2C 2C 2n n n n n n n n n n +++-+++++=+=++++L 2102112222210212121211(21)C 2C 2C 2C 2n n n n n n n n n ++-+++++=-=-+--L两式相减得到2121312n n A ++-=.故答案为：2；21312n +-. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知sin cos a B A =，角A 的平分线交边BC 于点D ，且1AD =. （1）求角A 的大小；（2）若BC =，求ABC 的面积. 【答案】（1）2π3（2 【解析】【分析】（1）由两角和的正弦公式以及正弦定理可得tan A =，可得结果；（2）由三角形面积公式并利用ABD ACD ABC S S S +=△△△，可得b c bc +=，再由余弦定理即可求得5bc =,由三角形的面积公式可得结果. 【小问1详解】因为sin cos a B A =，由正弦定理可得sin sin cos A B B A =sin 0B ≠，所以sin A A =，故tan A =，2π3A =. 【小问2详解】由题意可知ABD ACD ABC S S S +=△△△， 即1π1π12πsin sin sin 232323c b bc +=，化简可得b c bc +=， 在ABC 中，由余弦定理得()2222221cos 222b c bc a b c a A bc bc +--+-===-，从而()2220122bc bc bc--=-，解得5bc =或4bc =-（舍），所以11sin 5sin12022ABC S bc A ==⨯⨯︒=△.16. 已知函数()e ,ex x xf x a a =-∈R ． （1）当0a =时，求()f x 在1x =处的切线方程； （2）当1a =时，求()f x 的单调区间和极值； （3）若对任意x ∈R ，有()1e xf x -≤恒成立，求a 的取值范围．【答案】（1）1ey =（2）()f x 的单调递增区间为：()0,∞+；递减区间为：(),0∞-，()f x 的极大值为1-，无极小值（3）12ea ≥- 【解析】【分析】（1）利用已知确定切点，导数的几何意义确定斜率，求出切线方程即可. （2）利用导数先求解单调性，再确定极值即可. （3）利用分离参数法结合导数求解参数范围即可. 【小问1详解】 当0a =时，()ex x f x =， 则()1e x xf x -'=，()10f '=，()11ef =， 所以切线方程为1ey =． 【小问2详解】当1a =时，()e e xxf x x -=-，()()21e 1e e exxxxx f x x -'--=--=． 令()21e xg x x =--，()212e0xg x =--<'，故()g x 在R 上单调递减，而()00g =，因此0是()g x 在R 上的唯一零点 即：0是()f x '在R 上的唯一零点当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：x(),0∞-()0,∞+()f x ' +-()f x极大值()f x 的单调递增区间为：()0,∞+；递减区间为：(),0∞- ()f x 的极大值为()01f =-，无极小值【小问3详解】 由题意知1ee exx x x a ---≤，即1e e ex x xx a ---≥，即21e e x x a ≥-， 设()21e e x x m x =-，则()()22222e 2e 12e e x x x x x x m x '--==， 令()0m x '=，解得12x =， 当1,2⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭x ，()0m x '>，()m x 单调递增，当1,2x ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭，()0m x '<，()m x 单调递减， 所以()max 1e11122e 2e m x m ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭， 所以12ea ≥-17. 正四棱台1111ABCD A B C D -的下底面边长为1112A B AB =，M 为BC 中点，已知点P 满足()1112AP AB AD AA λλλ=-+⋅+，其中()0,1λ∈．（1）求证1D P AC ⊥；（2）已知平面1AMC 与平面ABCD 所成角的余弦值为37，当23λ=时，求直线DP 与平面1AMC 所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）方法一运用空间向量的线性运算，进行空间位置关系的向量证明即可. 方法二：建立空间直角坐标系，进行空间位置关系的向量证明即可. （2）建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法求解即可. 【小问1详解】 方法一：∵1112A B AB =，∴112AA AB AA AD ⋅=⋅== ． ∵1112D A AD AA =--∴()()111111122D P D A AP AB AD AA λλλ⎛⎫=+=-+-+- ⎪⎝⎭∴()()()11111122D P AC AB AD AA AB AD λλλ⎡⎤⎛⎫⋅=-+-+-⋅+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦()()()22111111122AB AD AB AA AD AA λλλλ⎛⎫=-+-+-⋅+-⋅ ⎪⎝⎭()()1181841022λλλ⎛⎫=-+-+-= ⎪⎝⎭．∴1D P AC ⊥，即1D P AC ⊥．方法二：以底面ABCD 的中心O 为原点，以OM 方向为y 轴，过O 点平行于AD 向前方向为x 轴， 以过点O 垂直平面ABCD 向上方向为z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，设正四棱台的高度为h ，则有)A，)B，()C，()D，1A h⎫⎪⎪⎭，1C h⎛⎫⎪⎪⎝⎭，1D h⎛⎫⎪⎪⎝⎭，()M，()AC=-()()()110,,,2AP h λλλλ⎛⎫⎛⎫=-+-+=⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1D A h⎫=-⎪⎪⎭，11D P D A AP h hλ⎛⎫=+=++-⎪⎪⎝⎭．故1AC D P⋅=，所以1D P AC⊥．【小问2详解】设平面ABCD的法向量为()0,0,1n=，设平面1AMC的法向量为(),,m x y z=，()AM=，1AC h⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭，则有1AM mAC m⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即x y hz⎧+=⎪⎨++=⎪⎩，令x=，则(),3m=．又题意可得3cos,7m n==，可得2h=．因为23λ=，经过计算可得40,0,3P⎛⎫⎪⎝⎭，12D⎛⎫⎪⎪⎝⎭，143D P⎫=⎪⎭．将2h =代入，可得平面1AMC的法向量()m =． 设直线DP 与平面1AMC 所成角的为θsin cos ,DP θ=18.P 为大圆上一动点，大圆半径OP 与小圆相交于点,B PP x '⊥轴于,P BB PP ⊥'''于,B B ''点的轨迹为Ω．（1）求B '点轨迹Ω的方程；（2）点()2,1A ，若点M N 、在Ω上，且直线AM AN 、的斜率乘积为12，线段MN 的中点G ，当直线MN 与y 轴的截距为负数时，求AOG ∠的余弦值．【答案】（1）22163x y += （2） 【解析】【分析】（1）设(,),B x y POP θ''∠=，根据条件得到cos sin x OP y OB θθθθ⎧==⎪⎨==⎪⎩，消元即可求出结果； （2）法一：设()()1122,,,M x y N x y ，直线MN 的方程为y kx m =+，联立直线MN 与椭圆方程得到()222124260k x kmx m +++-=，由韦达定理得2121222426,1212km m x x x x k k --+==++，根据题设得到直线MN 的方程为12y x m =-+，再利用点()()1122,,,M x y N x y 在椭圆上，得到1OG k =，从而有OG与y轴负平轴所形成的夹角为π4α=，再求出OA 与x 正半轴所形成的夹角，即可解决问题；法二：设()()1122,,,M x y N x y ，直线AM 的方程为(2)1y k x =-+，直接求出,M N ，再根据条件求出12MN k =-，后面同法一；法三：建立新的坐标系，在新的坐标系中，得椭圆的方程为22(2)(1)163x y --+=，及直线MN 的方程为1mx ny +=，联立直线与椭圆，再结合条件得到2n m =，从而有12MN k =-，后面同法一；法四：设()()1122,,,M x y N x y ，直线MN 的方程为y kx m =+，联立椭圆方程得()222124220kxkmx m +++-=，进而得到()()()()2222121242212k xkmx m k x x x x +++-=+--，通过令2x =，得到()()()()222124128221222k km m k x x +++-=+--，令1mx k-=，得到()()2222122(1)1111242212m m m m k km m k x x k k k k ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++-=+-- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，从而有 24210k km m ++-=，下面同方法一.【小问1详解】设(,),B x y POP θ''∠=，则cos sin x OP y OB θθθθ⎧==⎪⎨==⎪⎩，消去θ得22163x y +=，所以B '点轨迹Ω的方程为22163x y +=. 【小问2详解】方法一：设()()1122,,,M x y N x y ，直线MN 的方程为y kx m =+，22163y kx mx y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得()222124260k x kmx m +++-=， ()()22222Δ(4)41226488240km k mk m =-+-=-+>，即2263m k <+由韦达定理知2121222426,1212km m x x x x k k --+==++， ()()221212121212121212(1)(1)111112222242AM ANk x x k m x x m y y kx m kx m k k x x x x x x x x +-++---+-+-⋅=⋅=⋅==-----++， 所以222222222(226)4(1)128(1)1226122114m k m k m k k m km k k m ++---++--++=++，整理得24210k km m ++-=， 即()241(21)(21)(21)0k m k k k m -++=+-+=， 当210k +=时，直线MN 的方程为12y x m =-+ 当210k m -+=时，直线MN 的方程为(2)1y k x =-+，恒过(2,1)A 点，不合题意 设(),G G G x y ，将()()1122,,,M x y N x y ，将M 、N 两点代入到椭圆得22112222163163x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得22221212063x x y y --+=， 即()()()()()()121212*********2032602y yy y y y y y x x x x x x x x +⎛⎫-- ⎪-+⎝⎭==-+-+⎛⎫--⎪⎝⎭，所以12MN OG k k ⋅=-，故1OG k =，设OG与y 轴负平轴所形成的夹角为α，因为1OG k =，所以π4α=， 设OA与x 正半轴所形成的夹角为β，因为(2,1)A，所以sin ββ==πcos cos sin()(sin cos cos sin )2AOG αβαβαβαβ⎛⎫∠=++=-+=-+= ⎪⎝⎭方法二：设()()1122,,,M x y N x y ，直线AM 的方程为(2)1y k x =-+22(2)1163y k x x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 可得：()()222212848840k x k k x k k +--+--=从而21288412A k k x x k --⋅=+，故21244212k k x k --=+，将1x 代入直线AM 的方程可得21244112k ky k --=++，所以222244244,11212k k k k M k k ⎛⎫----+ ⎪++⎝⎭， 又12AM ANk k ⋅=，将式点M 中的k 换成12k 得到22224424,11212k k k N k k ⎛⎫----+ ⎪++⎝⎭， 212112MN y y k x x -==--，下面同方法一方法三：以(2,1)A 为坐标原点建立新的直角坐标系，新坐标系下椭圆方程22(2)(1)163x y --+=，在新坐标系下设()()1122,,,M x y N x y ，直线MN 的方程为1mx ny += 将椭圆方程变形可得：224240x x y y +++=将直线MN 的方程与椭圆方程结合，构成其次分式可得224()24()0x x mx ny y y mx ny +++++=， 整理得22(42)(44)(14)0n y n m xy m x +++++=即：2(42)(44)(14)0y y n n m m x x ⎛⎫+++++= ⎪⎝⎭，所以1212141422AM AN y y m k k x x n +⋅=⋅==+，故2n m =， 直线MN 的方程为121,2MN mx my k +==-，下面同方法一 方法四：设()()1122,,,M x y N x y ，直线MN 的方程为y kx m =+22163y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 可得：()222124220k x kmx m +++-= 因为12,x x 是上述一元二次方程的两个根，所以()()()()2222121242212k xkmx m k x x x x +++-=+--①又1212111222AM AN y y k k x x --⋅=⋅=--整理得：()()()()121222211x x y y -----()()21212112220m m x x k x x k k --⎛⎫⎛⎫=---+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭在①式中令2x =得：()()()()222124128221222kkm mk x x +++-=+--②令1m x k -=得：()()2222122(1)1111242212m m m m k km m k x x k k k k ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++-=+-- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭③()22k +⨯-②③可得：整理得24210k km m ++-=，下面同方法一【点睛】关键点点晴，本题的关键在于第（2）问，通过设出直线MN 的方程为y kx m =+，()()1122,,,M x y N x y ，联立直线MN 与椭圆方程得到()222124260k x kmx m +++-=，由韦达定理得2121222426,1212km m x x x x k k--+==++，根据题设得到直线MN 的方程为12y x m =-+，再利用点()()1122,,,M x y N x y 在椭圆上，得到1OG k =，从而将问题转化成πcos cos 2AOG αβ⎛⎫∠=++ ⎪⎝⎭解决，其中α为OG与y 轴负平轴所形成的夹角，β为OA与x 正半轴所形成的夹角.19. 入冬以来，东北成为全国旅游和网络话题的“顶流”．南方的小土豆们纷纷北上体验东北最美的冬天，这个冬天火的不只是东北的美食、东北人的热情，还有东北的洗浴中心，拥挤程度堪比春运，南方游客直接拉着行李箱进入．东北某城市洗浴中心花式宠“且”，为给顾客更好的体验，推出了A 和B 两个套餐服务，顾客可自由选择A 和B 两个套餐之一，并在App 平台上推出了优惠券活动，下表是该洗浴中心在App 平台10天销售优惠券情况． 日期t12345678910销售量y （千张） 1.9 1.98 2.2 2.36 2.43 2.59 2.68 2.76 2.7 0.4经计算可得：1011 2.210i i y y ===∑，101118.73i i i t y ==∑，1021385i i t ==∑． （1）因为优惠券购买火爆，App 平台在第10天时系统出现异常，导致当天顾客购买优惠券数量大幅减少，现剔除第10天数据，求y 关于t 的经验回归方程（结果中的数值用分数表示）； （2）若购买优惠券的顾客选择A 套餐的概率为25，选择B 套餐的概率为35，并且A 套餐可以用一张优惠券，B 套餐可以用两张优惠券，记App 平台累计销售优惠券为n 张的概率为n P ，求n P ； （3）记（2）中所得概率n P 的值构成数列{}()*N n P n ∈．①求n P 的最值；②数列收敛的定义：已知数列{}n a ，若对于任意给定的正数ε，总存在正整数0N ，使得当0n N >时，n a a ε-<，（a 是一个确定的实数），则称数列{}n a 收敛于a ．根据数列收敛的定义证明数列{}n P 收敛．参考公式：()()()1122211ˆnniii ii i nniii i x x yy x ynx ybx x xnx ====---⋅==--∑∑∑∑，ˆˆa y bx=-． 【答案】（1）673220760001200y t =+ （2）533885nn P ⎛⎫=+⋅- ⎪⎝⎭（3）①最大值为1925，最小值为25；②证明见解析【解析】【分析】（1）利用最小二乘法，结合数据分析与公式的变换即可得解； （2）利用全概率公式得到1223(3)55n n n P P P n --=+≥，再两次利用构造法依次求得135n n P P -⎧⎫+⎨⎬⎩⎭常数列，是58n P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列，从而得解；（3）①结合（2）中结论，分类讨论n 为偶数与n 为奇数，结合数列的单调性即可得解；②理解数列收敛的定义，取0358log 13N ε⎡⎤⎛⎫=+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，从而得证.【小问1详解】剔除第10天数据的911 2.2100.4() 2.499i i y y =⨯-===∑新， 123456789()59t ++++++++==新，91118.73100.4114.73i i i t y =⎛⎫=-⨯= ⎪⎝⎭∑新，922138510285i i t =⎛⎫=-= ⎪⎝⎭∑新， 所以91292219()()114.7395 2.46732859560ˆ009()i i i i i x y t y b t t ==⎛⎫-⋅ ⎪-⨯⨯⎝⎭===-⨯⎛⎫- ⎪⎝⎭∑∑新新新新新， 故67322072.4560001200a =-⨯=，所以673220760001200y t =+． 【小问2详解】由题意可知1223(3)55n n n P P P n --=+≥， 其中12222319,555525P P ==⨯+=， 所以11233(3)55n n n n P P P P n ---+=+≥，又2131932152555P P +=+⨯=， 所以135n n P P -⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是首项为1的常数列，故131(2)5n n P P n -+=≥， 所以1535(2)858n n P P n -⎛⎫-=--≥ ⎪⎝⎭，又1525985840P -=-=-， 所以58n P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以首项为940-，公比为35-的等比数列，故15938405n n P -⎛⎫-=-⋅- ⎪⎝⎭，即19355334058885n nn P -⎛⎫⎛⎫=-⋅-+=+⋅- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 【小问3详解】①当n 为偶数时，53353358858858n nn P ⎛⎫⎛⎫=+⋅-=+⋅> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭单调递减，最大值为21925P =；当n 为奇数时，53353358858858nnn P ⎛⎫⎛⎫=+⋅-=-⋅< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭单调递增，最小值为125P =； 综上：数列{}n P 的最大值为1925，最小值为25.②证明：对任意0ε>总存在正整数0358log 13N ε⎡⎤⎛⎫=+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，（其中[]x 表示取整函数）， 当358log 13n ε⎡⎤⎛⎫>+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦时，358log 353333338858585n n n P εε⎛⎫⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⋅-=⋅<⋅= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以数列{}n P 收敛.【点睛】思路点睛：本题第2小问求n P 的常见思路是，利用独立事件的概率公式、条件概率公式或全概率公式等得到关于n P 的递推式，再利用数列的构造法即可得解.。