线面平行面面平行

第三课时线面平行与面面平行【学习目标】①掌握线与面的位置关系及面与面的位置关系。

②掌握线面平行于面面平行的判定与性质定理。

【考纲要求】线面平行与面面平行为B级要求【自主学习】1．线面位置关系2．面面位置关系3．线面平行的判定定理4．线面平行的性质定理5．面面平行的判定定理6 面面平行的性质定理7 本节内容有哪些重要的结论？[课前热身]1下列命题中，正确命题的个数是 .①若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α;②若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都平行；③如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条直线也与这个平面平行；④若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点.2下列条件中，不能判断两个平面平行的是（填序号）.①一个平面内的一条直线平行于另一个平面②一个平面内的两条直线平行于另一个平面③一个平面内有无数条直线平行于另一个平面④一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面3对于平面α和共面的直线m、n，下列命题中假命题是（填序号）.①若m⊥α，m⊥n，则n∥α②若m∥α，n∥α，则m∥n③若m⊂α，n∥α，则m∥n④若m、n与α所成的角相等，则m∥n4已知直线a,b,平面α，则以下三个命题：①若a∥b,b⊂α,则a∥α;②若a∥b,a∥α,则b∥α;③若a∥α,b∥α,则a∥b.其中真命题的个数是 .[典型例析]例1 如图所示，正方体ABCD—A1B1C1D1中，侧面对角线AB1，BC1上分别有两点E，F，且B1E=C1F.求证：EF∥平面ABCD.例2如图所示，平面α∥平面β，点A∈α，C∈α，点B∈β，D∈β,点E，F分别在线段AB ，CD 上，且AE ∶EB =CF ∶FD . （1）求证：EF ∥ ;（2）若E ，F 分别是AB ，CD 的中点，AC =4，BD =6，且AC ，BD 所成的角为60°，求EF 的长.例3如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 分别是BC 、CC 1、C 1D 1、A 1A 的中点.求证： （1）BF ∥HD 1；（2）EG ∥平面BB 1D 1D ； （3）平面BDF ∥平面B 1D 1H .例4正方形ABCD 与正方形ABEF 所在平面相交于AB ，在AE 、BD 上各有一点P 、Q ，且AP =DQ .求证：PQ ∥平面BCE .[当堂检测]1．下列命题，其中真命题的个数为 .①直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α；②若直线a在平面α外，则a∥α;③若直线a∥b,直线b⊂α,则a∥α；④若直线a∥b,b⊂α,那么直线a就平行于平面α内的无数条直线.2. 对于不重合的两个平面α与β，给定下列条件：①存在平面γ，使得α，β都垂直于γ;②存在平面γ，使得α，β都平行于γ;③存在直线l⊂α,直线m⊂β,使得l∥m;④存在异面直线l、m，使得l∥α,l∥β,m∥α,m∥β.其中，可以判定α与β平行的条件有（写出符合题意的序号）.3. （2008·海南，宁夏文，12）已知平面α⊥平面β,α∩β=l,点A∈α,A∉l,直线AB ∥l,直线AC⊥l,直线m∥α,m∥β,则下列四种位置关系中,一定成立的是 .①AB∥m②AC⊥m③AB∥β④AC⊥β4．（2008·湖南理，5）设有直线m、n和平面α、β.下列命题不正确的是（填序号）.①若m∥α,n∥α,则m∥n②若m⊂α，n⊂α,m∥β,n∥β,则α∥β③若α⊥β，m⊂α，则m⊥β④若α⊥β,m⊥β,m⊄α,则m∥α5下列关于互不相同的直线m,l,n和平面α，β的四个命题：①若m⊂α,l∩α=A,点A∉m，则l与m不共面；②若m,l是异面直线，l∥α,m∥α,且n⊥l,n⊥m,则n⊥α;③若l∥α,m∥β,α∥β,则l∥m;④若l⊂α,m⊂α,l∩m=A,l∥β,m∥β,则α∥β.其中假命题的序号是 .[学后反思]____________________________________________________ ____________________________________________________________________。

线面、面面平行和垂直的定理性质
一、线面平行
1、判定定理：平面外一条直线与平面内一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行。

符合表示：
2、性质定理：如果一条直线与平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。

符号表示：
二、面面平行
1、判定定理：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行。

符号表示：
变形：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。

2、性质定理：如果两个平面平行同时与第三个平面相交，那它们的交线平行。

符号表示：
（更加实用的性质：一个平面内的任一直线平行另一平面）
三、线面垂直
1、判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面。

符号表示：
（经常考到这种逻辑）在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。

符号表示：
三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直。

2、性质定理：垂直同一平面的两条直线互相平行。

（更加实用的性质是：一个平面的垂线垂直于该平面内任一直线。

）
变形：垂直于同一条直线的两个平面平行
四、面面垂直
1、判定定理：经过一个平面的垂线的平面与该平面垂直。

（如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直）
其他：两个平面相交,如果它们所成的二面角是直角，则这两个平面互相垂直。

2、性质定理：已知两个平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。

专题18 线线、线面、面面平行的证明问题知识梳理一、直线与平面平行的判定定理：1、文字语言：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，该直线与此平面平行2、符号： ⎭⎪⎬⎪⎫l ⊄α，m ⊂α，且l ∥m ⇒l ∥α3、图形：二、直线与平面平行的性质定理1、文字语言：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行．2、符号语言：l ∥α，l ⊂β，β∩α＝m ⇒l ∥m .3、图形语言：三、平面与平面平行的判定定理1、文字语言：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”)2、符号语言：∵a ∥β，b ∥β，a ∩b ＝P ，a ⊂α，b ⊂α∴α∥β3、图形：4、判定定理推论：如果一个平面内两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，则这两个平面平行．四、平面与平面平行的性质定理1、文字语言：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行2、符号语言：∵α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，∴a∥b3、图形：4、性质定理推论：推论1：如果两个平面平行，其中一个平面内的任一直线平行于另一个平面．推论2：两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例考向导航例题精讲考向1 线线平行证明【例1】如图，三棱锥P ABC -中，△ABC 为正三角形，点1A 在棱PA 上，1B 、1C 分别是棱PB 、PC 的中点，直线11A B 与直线AB 交于点D ，直线11A C 与直线AC 交于点E ，求证：//DE BC .【答案】证明见解析【解析】在三棱锥P ABC -中，因11,B C 分别是棱PB ，PC 的中点，所以11//B C BC ，又11B C ⊄平面BCED ，BC ⊂平面BCED ，所以11//B C 平面BCED ，又11B C ⊂平面11B C ED ，平面BCED ⋂平面11B C ED DE =，所以11//B C DE ，所以//DE BC .【变式1-1】在如图的几何体中，四边形ABCD 是梯形，//AB CD ，平面ABE 与平面CDE 交于EF ，求证：//CD EF .【答案】证明见解析【解析】因//AB CD ，AB 平面ABE ，⊄CD 平面ABE ，所以//CD 平面ABE ， 又CD ⊂平面CDE ，平面ABE 平面CDE EF =，所以//CD EF【变式1-2】在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形E ，F 分别为BC ，AD 的中点，过EF 的平面与平面PCD 交于M ，N 两点，求证：//AB MN【答案】证明见解析【解析】∵底面ABCD 为平行四边形，E ，F 分别为BC ，AD 的中点， ∴EF ∕∕CD ，∴EF ∕∕AB ．又因EF ⊄平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，所以EF ∕∕平面PCD ，又过EF 的平面与平面PCD 交于M ，N 两点，∴MN ∕∕EF ，∴AB ∕∕MN ．【变式1-3】在正四棱锥P ABCD -中，,E F 分别是,AB AD 的中点，过直线EF 的平面α分别与侧棱,PB PD 交于点,M N ，求证：//MN BD【答案】证明见解析．【解析】在ABD △中，因为E ，F 分别是,AB AD 的中点，所以EF BD ∕∕且12EF BD =，又因为EF ⊄平面PBD ，BD ⊂平面PBD ，所以EF ∕∕平面PBD ，又EF ⊂平面,αα⋂平面PBD MN =，所以EF MN ∕∕，所以//MN BD ．考向2 线面平行证明【例2】如图，在三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，D 为BC 的中点，连接AD ，DC 1，A 1B ，AC 1，求证：A 1B ∥平面ADC 1.【答案】证明见解析【解析】如图，连接A 1C ，设A 1C ∩AC 1＝O ，再连接OD .因为三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，A 1ACC 1是平行四边形，所以O 是A 1C 的中点，又D 是CB 的中点，所以OD ∥A 1B .又A 1B ⊄平面ADC 1，OD ⊂平面ADC 1，所以A 1B ∥平面ADC 1.【变式2-1】如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AD AB ⊥，//AB DC ，2AD DC AP AB ===，点E 为棱PC 的中点，F 在PA 上满足2PF FA =.（1）证明：//BE 平面P AD ；（2）证明：//PC 平面FBD【答案】（1）证明过程见解析；（2）证明过程见解析.【解析】（1）取PD 中点G ，连接AG ，EG ，又点E 为棱PC 的中点， 所以GE //CD 且12GE CD =，又//AB DC ，且2DC AB =，所以GE //AB ，且GE =AB ，所以四边形ABEG 为平行四边形，所以BE //AG ， 又BE ⊄平面P AD ，AG ⊂平面P AD ，所以BE //平面P AD ；（2）连接AC ，交BD 于点H ，因为AB //CD ，且CD =2AB ，则12AH HC =，又PF =2AF ，所以PC ∥FH ，又FH ⊂平面BDF ，PC ⊄平面BDF ，所以PC //平面BDF .【变式2-2】如图，O 是长方体1111ABCD A B C D -底面对角线AC 与BD 的交点，求证：1//B O 平面11AC D .【答案】证明见解析【解析】如图，连接11B D 交11A C 于点1O ，连接1DO ，∵1111//B B D D B B D D =，，∴四边形11B BDD 为平行四边形，∴11B D BD =， ∵由正方体的性质得1O ，O 分别为11,B D BD 的中点，∴1111//O B DO O B DO =，，∴11O B OD 为平行四边形，∴11//B O O D ，又∵1B O ⊄平面11AC D ，1O D ⊂平面11AC D ，∴1//B O 平面11AC D【变式2-3】已知正方形ABCD ，如图1，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，将ADE 沿DE 折起，如图2所示，求证：//BF 平面ADE .【答案】证明见解析【解析】因为E ，F 分别是AB ，CD 的中点，所以EB FD =又//EB FD ，所以四边形EBFD 为平行四边形，所以//BF ED ，因为DE ⊂平面ADE ，而BF ⊄平面ADE ，所以//BF平面ADE.考向3 面面平行证明【例3】如图，三棱锥P­ABC中，E，F，G分别是AB，AC，AP的中点．证明：平面GFE∥平面PCB.【答案】证明见解析【解析】因为E，F，G分别是AB，AC，AP的中点，所以EF//BC，GF//CP.因为EF，GF⊄平面PCB，BC，CP⊂平面PCB.所以EF//平面PCB，GF//平面PCB.又EF∩GF＝F，所以平面GFE//平面PCB.【变式3-1】如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E，F，G分别是BC，DC和SC的中点．求证：平面EFG∥平面BDD1B1.【答案】证明见解析【解析】如图所示，连接SB，SD，∵F，G分别是DC，SC的中点，∴FG∥SD.又∵SD⊂平面BDD1B1，FG⊄平面BDD1B1，∴FG∥平面BDD1B1.同理可证EG∥平面BDD1B1，又∵EG⊂平面EFG，FG⊂平面EFG，EG∩FG＝G，∴平面EFG∥平面BDD1B1.【变式3-2】如图，已知ABCD是矩形，ABPE是梯形，2AE BP，BP=，1==，//AD AEAFG平面PEC.F，G分别是BC，BP的中点，求证：平面//【答案】证明见解析【解析】因F，G分别是BC，BP的中点，则//FG CP，而FG⊄平面CPE，CP⊂平面CPE，则//FG平面CPE，而1AE BP，BG PG AE===，且//于是得四边形AEPG是平行四边形，即//EP AG，又AG⊄平面CPE，EP⊂平面CPE，从而是//AG平面CPE，因AG FG G⋂=，,AG FG⊂平面AFG，所以平面//AFG平面PEC.【变式3-3】如图，在几何体ABCDE中，四边形ABCD是矩形，2AB BE EC===，GMF平面ADE.G，F，M分别是线段BE，DC，AB的中点，求证：平面//【答案】证明见解析【解析】因G，M分别是线段BE，AB的中点，则有//GM AE，又AE⊂平面ADE，GM⊄平面ADE，于是得//GM平面ADE，在矩形ABCD中，由F，M分别是DC，AB的中点可得//MF AD，又AD⊂平面ADE，MF⊄平面ADE，因此，//MF平面ADE，而GM MF MGM MF⊂平面GMF，⋂=，,GMF平面ADE.所以平面//【题组1 线线平行证明】1、如图，四棱锥P ABCD-的底面是边长为8的正方形，点G，E，F，H分别是棱PB，AB，DC，PC上共面的四点，//GH EFBC平面GEFH，证明：//【答案】证明见解析【解析】∵//BC 平面GEFH ，BC ⊂平面PBC ，平面PBC 平面GEFH GH =，∴//BC GH .又∵//BC 平面GEFH ，BC ⊂平面ABCD ，平面ABCD 平面GEFH EF =， ∴//BC EF ，//BC GH ，//BC EF ，∴//EF GH .2、如图，在四面体ABCD 中，E ，F 分别为DC ，AC 的中点，过EF 的平面与BD ，AB 分别交于点G ，H .求证：//EF GH【答案】证明见解析.【解析】因为E ，F 分别为DC ，AC 的中点，所以//AD EF ，因为AD ⊄平面EFHG ，EF ⊂平面EFHG ， 所以//AD 平面EFHG ，又平面EFHG ⋂平面ABD HG =，AD ⊂平面ABD 所以//AD GH ，因为//AD EF ，//AD GH ，所以//EF GH .3、如图，已知四面体ABCD 中，E ､F ､G ､H 分别是边,,,AB BC CD DA 上的点(与端点不重合)，//BD 平面EFGH ，且EH FG =. （1）求证：//EH FG ；（2）求证：//HG 平面ABC .【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】（1）因为//BD平面EFGH，BD⊂平面ABD，平面EFGH平面ABD EHBD EH.=，所以//又因为//BD平面EFGH，BD⊂平面BCD，平面EFGH平面BCD FGBD FG.=，所以//所以//EH FG.（2）因为EH FGEH FG，所以四边形EHGF为平行四边形.=，//所以//HG EF.又因为EF⊂平面ABC，所以//HG平面ABC.4、如图，梯形ABCD中，//BC AD，E是PD的中点，过BC和点E的平面与PA交于点F.求证：//BC EF.【答案】证明见解析【解析】∵//BC AD，BC⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，∴//BC平面PAD，∵BC⊂平面BCEF，平面BCEF平面PAD EF=，∴//BC EF5、如图，在四棱锥P ABCD-中，底面ABCD为平行四边形，M是PC的中点，在DM上取一点G，过点G和AP作平面，交平面BDM于GH，点H在线段BD上.求证：//AP GH.【答案】证明见解析【解析】如图，连接AC，设AC交BD于点O，连接MO．∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是AC的中点又M是PC的中点，∴//MO PA.又MO⊂平面BDM，PA⊄平面BDM，∴//PA平面BDM又PA⊂平面PAHG，平面PAHG⋂平面BDM GH=，∴//AP GH．【题组2 线面平行证明】1、在三棱锥D ABC-中，O，E，F，分别是线段AC，AD，BD的中点，G是OC 中点.求证：//FG平面BOE.【答案】证明见解析【解析】取BC中点H，连GH，FH，∵O，E，F，H分别是AC，AD，BD，BC中点，∴//OE CD，//FH CD，∴//OE FH，∵OE⊂平面BOE，FH⊄平面BOE，∴//FH平面BOE，∵,G H分别是,OC BC的中点，∴//GH OB，∵OB⊂平面BOE，GH⊄平面BOE，∴//GH平面BOE，∵FH GH H=，FH⊂平面FGH，GH⊂平面FGH，∴平面//BOE平面FGH，∵FG⊂平面FGH，∴//FG平面BOE.2、如图，直三棱柱111ABC A B C-中，D、E分别是AB、1BB的中点，12AA AC CB AB===，证明：1//BC平面1A CD.【答案】证明见解析【解析】连接1AC交1A C于点O，连接OD，则O为1AC的中点，因为D为AB的中点，所以1OD BC，//又因为OD⊂平面1A CD，1BC⊄平面1A CD，所以1//BC平面1A CD.3、如图，在正方体1111-中，M，O分别是1A B，AC的中点．求证：// ABCD A B C DOM 平面11BB C C．【答案】证明见解析.【解析】连接11,AB B C.因为11ABB A为正方形，所以M是1A B的中点，所以1=，AM MB又O是AC的中点，所以1OM B C.//因为OM⊄平面11BB C C，BB C C，1B C⊂平面11所以OM∥平面11BB C C.4、如图，三棱锥A BCD-被一平面所截，截面为平行四边形EFGH，求证：CD∥平面EFGH．【答案】证明见解析【解析】因为四边形EFGH为平行四边形，所以EF GH∕∕，因为GH⊂平面BCD，EF⊄平面BCD，所以EF∕∕平面BCD，又因为EF⊂平面ACD，且平面ACD平面BCD CD=，所以EF CD∕∕，又因为⊄CD平面EFGH，EF⊂平面EFGH，所以CD∥平面EFGH5、如图，四棱锥A DBCE-中，O为底面平行四边形DBCE对角线的交点，F为AE的中点．求证：AB∥平面DCF．【答案】证明见解析【解析】连接OF，∵O为底面平行四边形DBCE对角线的交点，则BO OE=△ABE中，BO OE=，AF FE=，则//AB OF又AB⊄平面DCF，OF⊂平面DCF，则AB∥平面DCF．【题组3 面面平行证明】1、如图所示，四棱柱1111ABCD A B C D -的侧棱与底面垂直，122,2,,AC AA AD DC AC BD ====交于点E ，且E ，F 分别为1,AC CC 的中点，2BE =11//B CD 平面1A BD【答案】证明见解析【解析】如图，连接1AD ，设11AD A D H ⋂=，则H 为1AD 的中点，而E 为AC 的中点，连接EH ，则EH 为1ACD △的中位线，所以1//EH CD ，又EH ⊄平面11B CD ，1CD ⊂平面11B CD ，所以//EH 平面11B CD ，又因为四棱柱1111ABCD A B C D -的侧棱与底面垂直，所以11//BB DD ，11=BB DD ，所以四边形11BB D D 为平行四边形，所以11//B D BD ，BD ⊄平面11B CD ，11B D ⊂平面11B CD ，所以//BD 平面11B CD ，又因为BD EH E ⋂=，,BD EH ⊂面1A BD ，所以平面11//B CD 平面1A BD ．2、如图，在四棱锥S -ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，AD //BC ，2BC AD =，P ，Q 是AB ，CD 的中，点M ，N 分别是SB ，CB 的中点， 求证∶平面AMN //平面SCD【答案】证明见解析【解析】因为M、N分别是SB，CB的中点，所以//MN SC，因为MN⊄平面SCD，SC⊂平面SCD，所以//MN平面SCD，又//AD CN且AD CN=，所以ADCN为平行四边形，所以//AN DC，因为AN⊄平面SCD，DC⊂平面SCD，所以//AN平面SCD，又AN MN NAN MN⊂平面AMN，=，,所以平面//AMN平面SCD.3、已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，M分别是A1C1，A1D和B1A上任意一点．求证：平面1//A EF平面1B MC.【答案】证明见解析【解析】根据正方体的性质可知11//A DB C，由于1A D⊄平面1B AC，1B C⊂平面1B AC，所以1A D//平面1B AC .同理可证得11//A C 平面1B AC ，由于1111A D AC A ⋂=，所以平面11//AC D 平面1B AC ，所以平面1//A EF 平面1B MC .4、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，P ，Q ，R 分别为棱11D C ，BC ，11B C 上异于顶点的点，M ，N ，K 分别为线段AP ，PQ ，QR 的中点．求证：平面//MNK 平面ABCD ．【答案】证明见解析【解析】连接,AQ PR ，在PAQ △中，因为M ，N ，分别为线段AP ，FQ 的中点． 所以//MN AQ ，又MN ⊄平面ABCD ，AQ ⊂平面ABCD ，所以//MN 平面ABCD ，同理//NK PR ，因为NK ⊄平面1111D C B A ，PR ⊂平面1111D C B A ，所以//NK 平面1111D C B A ，因为平面ABCD //平面1111D C B A ，NK ⊄平面ABCD ，所以//NK 平面ABCD ，又MN NK N ⋂=，,MN NK ⊂平面MNK ，所以平面//MNK 平面ABCD ．△和ABF均为等腰直5、如图，四边形ABCD为矩形，,,,A EB F四点共面，且ABE角三角形，90∠=∠=，求证：平面//BAE AFBBCE平面ADF.【答案】证明见解析.【解析】因为四边形ABCD为矩形，所以//BC AD，又因为BC⊄平面ADF，AD⊂平面ADF，所以//BC平面ADF，因为ABE△和ABF均为等腰直角三角形，且90∠=∠=，BAE AFB所以45AF BE，∠=∠=，所以//BAF ABE又因为BE⊄平面ADF，AF⊂平面ADF，所以//BE平面ADF，又由BC⊂平面BCE，BE⊂平面BCE，且BC BE B=，所以平面//BCE平面ADF。

【线面平行】1.判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.符号表示：ααα//,//,,a b a b a 则⊂⊄.2.直线与平面平行的性质性质定理：如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的任一平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.符号表示：b a b a a //,,,//则=⋂⊂βαβα3.直线与平面平行的证明方法（1）利用定义：证明直线与平面无公共点.（2）利用直线与平面平行的判定定理：即证明平面外的一条直线与平面内的一条直线平行.（3）利用平面与平面平行的的定义：两个平面平行，则一个平面内的所有直线都平行于另一个平面，即若βαβα//,,//l l 则⊂.【例题与变式】例1.在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，12AA =，点M 是BC 的中点．点N 是1AA 的中点．求证：//MN 平面1A CD ；FEDCAP变式2-1.如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是边长为a 的正方形,侧面PAD ⊥底面ABCD ，且22PA PD AD ==,若E 、F 分别为线段PC 、BD 的中点．求证：直线EF //平面PAD ；变式2-2.已知,,,E F G H 为空间四边形ABCD 的边,,,AB BC CD DA 上的点，且//EH FG ．求证：//EH BD .变式2-3.如图，在正方体ABCD D C B A 1111-中，（1）求证：1BC ∥平面11D AB ；（2）若E、F 分别为C D 1、BD 的中点，则EF∥平面11A ADD .H G FE D BAC【面面平行】2.平面与平面平行的判定：定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.符号表示：.//,//,//,,,βαααββ则b a P b a b a =⋂⊂⊂3.平面与平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行.【例题与变式】例2.已知m、n 是两条直线，βα、是两个平面，有以下命题：①m,n 相交且都在平面βα、外，βαβαβα//,//,//,//,//则n n m m ；②若βαβα//,//,//则m m ；③若βαβα//,//,//,//则n m n m .其中正确的命题个数是（）A.0B.1C.2D.3变式2-1.已知βα、是两个不重合的平面，在下列条件中，可确定βα//的是（）A.βα、都平行于直线lB.α内有三个不共线的点到β的距离相等C.l,m 是α内两条直线，且ββ//,//m l D.l,m 是两条异面直线，且ααββ//,////,//m l m l ，例3.如图，在三棱锥S −ABC 中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS=AB，过A 作AF⊥SB，垂足为F，点E，G 分别是棱SA，SC 的中点.求证：(1)平面EFG∥平面ABC；变式3-1.如图所示，在三棱柱1111D C B A ABCD -中，点D，E 分别是BC 与11C B 的中点.求证：平面EB A 1//平面1ADC .1.如图，已知在正方体''''D C B A ABCD -中，对角线'AB 、'BC 上分别有两点E、F,且FC E B ''=求证：(1)EF∥平面ABCD；(2)平面'ACD ∥平面''BC A .。

线面、面面平行和垂直的八大定理一、线面平行。

1、判定定理：平面外一条直线与平面内一条直线平行，那么这条直线与这个平ab a //面平行。

符合表示：a// b2、性质定理：如果一条直线与平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。

符号表示：aa//a // bab二、面面平行。

1、判定定理：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行。

n // b m // aa b M //mnN符号表示：2、性质定理：如果两个平面平行同时与第三个平面相交，那它们的交线平行。

//符号表示：l l// d （更加实用的性质：一个平d面内的任一直线平行另一平面）三、线面垂直。

1、判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直a c线垂直这个平面。

符号表示： a b ab c M＄：三垂线定理：（经常考到这种逻辑）在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直aoApoa oA A2、性质定理：垂直同一平面的两条直线互相平行。

（更加实用的性质是：一个平 面的垂线垂直于该平面内任一直线。

）四、面面垂直。

1、 判定定理：经过一个平面的垂线的平面与该平面垂直。

a , a2、 性质定理：已知两个平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一 个平面。

， b, a ,a b a 符号表示:a PA。

面面平行,线面平行,线线平行之间的关系平面几何作为数学中的一个重要分支，其中涉及到一些基本的概念，其中就包括线面平行、面面平行和线线平行等三个概念，这些概念在日常生活中很常见，比如我们常常会听到地平线与天平线在水平面上平行等。

一、面面平行面面平行，是指两个平面之间没有交点，且在三维空间中，它们的法线向量方向相同。

当两个不同平面是面面平行时，两个平面看起来就像是彼此不同的两个平行的平面，并且它们之间的距离是不变的。

图1是一个很好的例子，其中PABCD与QWXYZ两个平面是面面平行的。

在图中可以看出，这两个平面没有交点，且它们的法线向量方向相同。

图1中的平面PABCD和QWXYZ，并不是你常见的平分面，为了更好地解释这个概念，我们可以举个例子。

比如常见的斜视图投影中，地面和墙面之间就是面面平行的。

二、线面平行线面平行，是指一条直线与一个平面之间没有交点，且这个直线在与平面相交的任何一条直线上的投影，都和这个平面上的任何一点垂直。

如果一个平面和一条直线是线面平行的，那么这条直线在这个平面上的投影将是一条平行线。

图2是一个简单的线面平行的示意图。

在该示意图中可以看出直线l与平面ABC是线面平行的，这也就意味着平面ABC通过平行于它的直线l的投影，得到的投影线也将会保持平行。

三、线线平行线线平行，是指两条直线互相没有交点，且在三维空间中，它们都位于不同平面上。

如果两条直线是线线平行的，则它们不管在什么距离内，始终都不可能相交。

图3是一个线线平行的示意图。

在图中，如果一条直线和一个平面平行，那么与这条直线在同一平面中的另一条直线必须与该平面平行，这样这两条直线才能既平行于同一平面，又互相平行。

通过以上的解释，可以发现，这三个理念之间存在一些必要的联系。

例如，如果有两个平面，它们之间是面面平行的，那么这两个平面上的任何一条线与第三个平面都是线面平行的。

因为这两个面彼此平行，所以在它们之间的任何一条线都与这两个面平行，因此在第三个平面上所投影出的线也将是平行的。

线面平行与面面平行专题复习【知识梳理】线线平行二线面平行=面面平行定理图形符号简称①若平面外一条直线和这个面的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行a(zabaaa//ba all a线线平行* 线面平行②若一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，则这条直线就和交线平行。

l//ctI u a a Pl 0= m=> I // m线面平行，线线平行③若一个平面的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。

a、bua aQb= A a.b// p•nail p线线平行，面面平行④若两个平行平面同时和第三个平面相交，那么所得的两条交线平行。

all p ' af]y = a PC\y= l\vcillb面面平行线线平行⑤若两个平面平行，那么其中一个平面的直线必平行于另一个平面。

/亠/ / /all p"aua= "//0面面平行线面平行题型一线面平行的判定与性质1♦已知：平面afl平面0 =人aua、bu队求证：alll 归纳2 '在正方体中，0为面ABCD的中心，B,求证：4。

//平面妨cp・归纳：3、已知：点是平行四边形ABCD所在平面外一点，Q是PA的中点, 求证：PC//平面BQD.归纳：4 ♦如图，两个正方形ABCD和ABEF所在的平面相交于AB, M, N分别是对角线AC, BF上的点，AM=FN ‘ 求证：MN//平面BCE.小结1 :证明线面平行的方法常常转化为面外线与面线平行，而证明两线平行的方法常有：题型二、面面平行的判定与性质1 ♦在正方体ABCD — AgD】中，求证：平WU3Q//平面C、BC・归纳:C2、如图，已知正三棱柱ABC-A8C 中，点£>为AC 的中点求证 ⑴BCJ/平面A 坊D;(2)p 为ACfl 勺中点，求证：平面冋04〃平而BCQ.3、已知平面a 〃平面0, AB.CD 是异面直线，A 已a 、Cea 、Be 卩、D 已卩、EF 分别为4氏CZXI 勺中点，求证：EFIIallp归纳： 练习：1・如图，£>,£分别是正三梭柱ABC —人坊C ；的棱A4、的中点、, 求证：人疋〃平面BDC,；2 •在直三梭柱ABC-A^C.中，E 、F 分别为 AG 、的中点，Q 为棱CC ］上任一点. 求证：直线£F ||平面ABD ；3 ♦如图，在正方体ABCD — ABiCQ 中，E ，F 分别是梭BC ，C ；®的中点，求证：EF// 平面 BB 、D\D •4.如图，在四梭锥P —ABCD中，ABCD是平行四边形，M，N分别是AB、PC的中点• 求证：MN//平面PAD・p线面平行练习题11.三棱柱ABC--A）B\Ci中，若〃为BB\上一点* M为AB的中点，用为BC的中点.求证：刖||平面M皿〃；2、如图，在底面为平行四边形的四棱锥P-ABCI）中-EE是PI）的中点.求证：PB//平面AEC ；3 •四棱锥P-ABCI）中，底面ABCI）是矩形＞M ' N分别是AB、PC的中点，求证：MN||平面PAI）；线面平行练习题24 •在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形Ub N分别是AB > PC的中点•求证：MN||平面PAD；4、如图，在正方体ABCD——ABCD中，0是底面ABCD 对角线的交点•求证：GO//平面ADB・5、如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，I）是AC的中点。