流体力学习题
习题一 场论和张量代数
1．证明 ()n n n n ⋅∇=⨯rot ,其中n 为单位向量。
2．证明n a n a n a ⋅⋅-⨯=[()()]grad rot div ，其中a 是变矢量，n 是单位常矢量。
3．用两种方法证明()()∇⨯⨯=-⋅∇-⨯⨯+a b a b a b a b a b rot +rot div 。
4．将其分解为对称的和反对称的两部分，并以w 表示相当于反对称部分的矢量，12
i ijk jk w p ε=。试证 ()()2()P P ⋅⋅-⋅⋅=⋅⨯u v v u w u v ，
其中u 及v 为任意矢量。
5．张量P 为反对称张量的充分必要条件是：对任意矢量a 有下述恒等式成立：
a a ⋅⋅=()P 0
习题二 流体运动描述
1． 流体质点绕oz 轴以等角速度ω 旋转，
（1）试以欧拉变量写出流体运动的速度场；
（2）试以拉哥朗日变量写出流体质点的运动规律；
（3）试分析流场的流线和轨迹；
（4）试求流体质点的加速度；
（5）用极坐标解此题。
2． 一维收缩管内的不可压缩流动，其速度分布为：)/1(1L x V V +=，试决定：
（1）流场内任一质点的加速度
（2）给出 t=0时刻位于0x x =点的质点的运动规律，并比较用两种方法得到的加速度。
3． 流体质点在定常流场内运动，流体质点是否具有加速度，为什么?
4． 设流场为：2Xt u =，2
Yt v =，0=w 。试求流场的流线，流体质点的轨迹和加速度，
并以拉哥朗日变数表示质点的速度和加速度。
5． 设流场为：ky u =，)(t x k v λ-=，0=w ，其中k 和λ 均为常数。试求：t=0 时经
过点M(a ，b ，c)的流线及t=0时经过M(a ，b ，c)处的流体质点的轨迹，最后考虑0=λ时的情形。
6． 考虑下述速度分量定义的二维流动： C
v Bt A u =+= 其中A 、B 、C 为常数。试证流线为直线，质点的轨迹为抛物线。
7． 二维流场kyt v a u ==,，试决定其流线与轨迹。
8． 设流场的速度分布为：
，，，02
222=+=+-=w y x kx v y x ky u 其中 k 为常数，试求流线、轨迹和流体质点的加速度，并用极坐标解上题。
9． 试证明由直角坐标系到极坐标系和由极坐标系到直角坐标系速度的变换公式如下：
⎩⎨⎧-=+=θ
θθθθsin cos cos sin u v v u v v r ⎩
⎨⎧+=-=θθθθθθcos sin sin cos v v v v v u r r 10． 已知流体运动的速度大小和流线的方程分别为22y x V +=和=-22y x constant ，试求速度场两速度分量。
11． 已知二维流动：y v x u -==,，试求流线方程和通过点（2，3）的流线。
12． 一定常流管，其中心线上的流速在40cm 的一段距离内由14m/s 变为15m/s 。若变化是均匀的，求这段上起点和终点的对流加速度。
13． 试导出在极坐标，柱坐标及球坐标系中之流线和轨迹的微分方程。
14． 速度场为j i V b ay +=，其中，速度的单位为m/sec ，y 以米给出，a =2m/sec ，b =1m/sec ，试决定场点（1，2，0）上的速度分量，，，w v u 以及通过该点的流线的斜率。
15． 在二维不定场流场内，同一时刻测的速度分量为：
x y u v
0 0 20 10
1 0 2
2 15
0 1 14 5
在x=0，y=0 点上，于不同时刻也进行了速度测量，测量结果为：
t u v
0 20 10
2/1 30 10
其中u 、v 的单位为 m/sec ，t 的单位为sec ，x 、y 的单位为 m ，试求出 x=y=0点上分别沿x 和y 方向的平均加速度分量。
习题三 质量连续性方程
1． 试证明不可压缩流体作定常流动时，速度必沿等密度面进行，反之亦然
2． 已知某平面不可压流场的速度沿x 轴方向的分量为：2u ax by =+
求沿y 轴方向速度分量v ，已知y=0时，v=0
3． 某流场，以拉哥朗日变数表示为：
)c o s ()
s i n (t ka Re b y t ka Re a x kb kb σσ+-=++=
其中σ,,k R 为常数，a ， b 为拉哥朗日变数， 试证明此流场为不可压流场。
4． 流体在弯曲的细管中流动，试分别以拉哥朗日变数和欧拉变数给出连续方程式。
5． 设有一明渠，宽为 b(x )，水深为h(x ，t )，x 代表明渠任一界面的位置。如果认为同一截面上速度相同，即v=v(x )，试求连续方程。
6． 在上题中，如果静止时h=h(x )（即渠底不平），由于外部扰动，使自由表面产生了一波动，此时任一截面的水深可表为()(),h h x x t ζ=+， 其中，(),x t ζ为波剖面。设流
体为不可压流体，试证明此时连续方程为：
0)(=∂∂+∂∂s
b t b t σζ 7． 设σ为一细流管的截面面积，试证明连续方程为：
0)()(=∂∂+∂∂s
t ρσυρσ 8． 流体质点的运动对于某固定中心对称，求其连续方程。如流体为不可压，阐明此连续方
程的物理意义。
9．流体质点在通过oz 轴的诸平面上运动，求连续方程式。
10．流体质点的轨迹为圆，且这些圆的圆心都位于某一固定轴上，试证明连续方程为：
()0t ρρωθ
∂∂+=∂∂ 式中ω为流体质点绕oz 轴转动的角速度。
11．如果流体质点的轨迹位于共轴的圆柱面上，试求其连续方程式。
12．不可压流体在一平面内运动，在极坐标系下，已知：
2cos r
k v r θ-= 其中k 为常量，试给出速度的θv 分量和速度的大小。
13．如果流体质点在一球面上运动，证明连续方程为：
0)cos '()cos (cos =∂∂+∂∂+∂∂θρφ
θρωθθρw t 此处φθ和分别为纬度和经度，ωω'和分别为质点位置经度和纬度的变化率。
14．流体质点的运动位于轴线与z 轴共轴并有共同顶点的圆锥面上，试求连续方程。
15．一脉冲在一均匀直管中传播，已知 )(0x vt -Φ=ρρ，求质点的速度分布，设原点处
质点的速度为0v 。
16．说明y v x u ==,是否为一不可压流动。假设一个不可压流动的速度x 分量为u=x ，那
么，其y 分量v 的函数形式是什么形式？
习题四 速度分析 有旋运动和无旋运动
1． 流速在平板附近的速度分布为：0,0,===w v ky u ，试求流体微团的膨胀速度，和转
动角速度。
2． 在无旋流动中，0t 时刻组成小球2222R =++ζ
ηξ的质点在d t 时间后必然构成椭球
面，试证之。
3． 在匀变形情况下，位于同一平面上的质点永远位于同一平面上，位于同一直线上的质点
永远位于同一直线上，试证之。
4． 以A 代表某个流动的变形速度张量，试证明剪切速度231312,A A A 和可分别被解释为由于
剪切变形引起的位于x-y ， x-z 和y-z 三个坐标面上的正方形对角线的相对伸长速度。
5． 流体运动时，流线为绕OZ 轴之同心圆，角速度与离OZ 轴距离的n 次方成正比，求旋度
