圆锥曲线的几何性质

培优点十七 圆锥曲线的几何性质

1．椭圆的几何性质

例1：如图，椭圆()22

22+10x y a b a b =>>的上顶点、左顶点、左焦点分别为B 、A 、F ，中

心为O ，则:ABF BFO S S =△△（ ）

A ．(2:3

B ．()

3:3

C ．(2:2

D ．()

3:2

【答案】B

【解析】由ABF ABO BFO S S S =-△△△，得(

)()

::

:A B F B F O A B O B

F O B

F O S S S S S a b b c b c =

-=-△△

△△

△

而c a =

()

:3:3ABF BFO S S =△△，故选B ．

2．抛物线的几何性质

例2：已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，准线:1l x =-，点M 在抛物线C 上，点M

在直线:1l x =-上的射影为A ，且直线AF 的斜率为MAF △的面积为（ ）

A B ．C ．D ．【答案】C 【解析】

设准线l 与x 轴交于点N ，所以2FN =，因为直线AF 的斜率为60AFN ∠=︒，

所以4AF =，

由抛物线定义知，MA MF =，且60MAF AFN ∠=∠=︒，所以MAF △是以4为边长的正三

2

4=C ．

3．双曲线的几何性质

例3：已知点P 是双曲线2213664

x y -=的右支上一点，M ，N 分别是圆()2

2104x y ++=和

()

2

2101x y -+=上的点，则PM PN -的最大值为_________．

【答案】15

【解析】在双曲线22

13664x y -=中，6a =，8b =，10c =，

()110,0F ∴-，()210,0F ，12212PF PF a -==，

11MP PF MF ≤+，22PN PF NF ≥-，112215PM PN PF MF PF NF ∴-≤+-+=．

一、单选题

1．抛物线()220y px p =>上的动点Q 到其焦点的距离的最小值为1，则p =（ ） A ．12

B ．1

C ．2

D ．4

【答案】C

【解析】抛物线()220y px p =>上的动点Q 到其焦点的距离的最小值即到准线的最小值， 很明显满足最小值的点为抛物线的顶点，据此可知：

12

p

=，2p ∴=．本题选择C 选项． 2．设点1F ，2F 是双曲线2

2

13y x -=的两个焦点，点P 是双曲线上一点，若1234PF PF =，

则12PF F △的面积等于（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．对点增分集训

【答案】B

【解析】据题意，124

3

PF PF =

，且122PF PF -=，解得18PF =，26PF =． 又124F F =，在12PF F △中由余弦定理，得2

2

2

1212

1212

7cos 28

PF PF F F F PF PF PF +-∠==

．

从而12sin F PF ∠=

，所以121682PF F S =⨯⨯=△，故选B ． 3．经过椭圆2222x y +=的一个焦点作倾斜角为45︒的直线l ，交椭圆于M ，N 两点，设O 为坐标原点，则OM ON ⋅等于（ ） A ．3- B ．13±

C ．13-

D ．12

-

【答案】C

【解析】椭圆方程为2

212

x y +=

，a =，1b =，1c =，取一个焦点()1,0F ，则直线方程

为1y x =-，

代入椭圆方程得2340x x -=，()0,1M -，41,33N ⎛⎫

⎪⎝⎭，所以13OM ON =⋅-，故选C ．

4．过抛物线()20y mx m =>的焦点作直线交抛物线于P ，Q 两点，若线段PQ 中点的横坐标为3，5

4

PQ m =，则m =（ ）

A ．4

B ．6

C ．8

D ．10

【答案】B

【解析】设PQ 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，线段PQ 中点的横坐标为3，则12

32

x x +=，125

644

m PQ x x p m =++=+

=，由此解得6m =．故选B ． 5．已知双曲线()22

2210,0x y a b a b -=>>的右焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上，OAF △是

边长为2的等边三角形（O 为原点），则双曲线的方程为（ ） A ．2

213x y -=

B ．2

2

13

y x -=

C ．221412

x y -=

D ．221124

x y -=

【答案】B

【解析】双曲线()22

2210,0x y a b a b -=>>的右焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上，OAF

△是边长为2的

等边三角形（O 为原点），可得2c =

，b

a =，即223

b a =，2223

c a a -=，解得1a =

，b

双曲线的焦点坐标在x 轴，所得双曲线的方程为2

2

13

y x -=，故选B ．

6．如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 变轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道I 绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道

Ⅲ绕月飞行．已知椭圆轨道I 和Ⅱ的中心与F 在同一直线上，设椭圆轨道I 和Ⅱ的长半轴长

分别为1a ，2a ，半焦距分别为1c ，2c ，则有（ ）

A ．

12

12

c c a a =

B ．1122a c a c -<-

C ．1212

c c a a >

D ．1122a c a c ->-

【答案】C

【解析】设圆形轨道Ⅲ的半径为R ，1122a c a c R -=-=，11111

1c a R R

a a a -==-，22222

1c a R R a a a -==-， 由12a a >知

12

12

c c a a >

，故选C ． 7．已知双曲线22

1:14x C y -=，双曲线()22222:10x y C a b a b

-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，

M 是双曲线2C 的一条渐近线上的点，且2OM MF ⊥，O 为坐标原点，若216OMF S =△，且双

曲线1C ，2C 的离心率相同，则双曲线2C 的实轴长是（ ） A ．32

B ．4

C ．8

D ．16