安徽省合肥七中、三十二中、五中、肥西农兴中学2020届高三高考数学(文科)最后一卷试题

2020年安徽省合肥七中高考数学最后一卷2一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 设集合A ={x|x 2≤2x}，B ={x|1<x ≤4}，则A ∪B =( )A. (−∞,4)B. [0,4]C. (1,2]D. (1,+∞) 2. 已知复数z 满足zi =52−i +2，则z 在复平面内对应的点为( )A. (1,2)B. (3,2)C. (−1,4)D. (4,−1)3. 已知等差数列{a n }中，a 4+a 7=42，则前10项和S 10=( ) A. 420 B. 380 C. 210 D. 1404. 设a =0.512,b =0.914,c =log 50.3，则a,b,c 的大小关系是( )． A. a >c >bB. c >a >bC. a >b >cD. b >a >c5. 已知函数f (x )=x 2−1x，则不等式f(e 1−x )>f(e 2x−1)的解集是A. (−∞,−23)B. (−∞,23)C. (−∞,0)D. (23,+∞)6. 已知△ABC 中，AB =2，B =π4，C =π6，点P 是边BC 的中点，则AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 等于( )A. 1B. 2C. 3D. 47. 已知一个扇形弧长为6，扇形圆心角为2rad ，则扇形的面积为( ) A. 2 B. 3 C. 6 D. 98. 我国古代数学著作《九章算术》记载了很多算法问题，现执行如图所示的程序框图，该算法的功能是( )A. 计算1+2+3+4+⋯+n−1的值B. 计算1+2+3+4+⋯+n的值C. 计算1+2+3+4+⋯+(n+l)的值D. 计算1+2+3+4+⋯+n+sinπ+sin2π+⋯+sin(n+2)π的值9.如图是函数f(x)=Asin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π2)的部分图象，则f(3π4)=()A. −2B. −√2C. 2D. √210.F1、F2分别是双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，过点F1的直线l与双曲线的左右两支分别交于A，B两点，若△ABF2是等边三角形，则该双曲线的离心率为()A. √2B. √3C. √5D. √711.边长为2的正三角形ABC中，D，E，M分别是AB，AC，BC的中点，N为DE的中点，将△ADE沿DE折起至A′DE位置，使A′M=√62，设MC的中点为Q，A′B的中点为P，则①A′N⊥平面BCED②NQ//平面A′EC ③DE ⊥平面A′MN④平面PMN//平面A′EC 以上结论正确的是( )A. ①②④B. ②③④C. ①②③D. ①③④12. 若函数f(x)=e x−1+2x −log √2a x (a >0)在区间(0,2)内有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是( )A. (√2,2e2)B. (0,2]C. (√2,2e+22)D. (232,2e+44)二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）13. 在x(1−x)5的展开式中，含x 3的项的系数为______．14. 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 5=2，则S 9=______．15. 在平面四边形ABCD 中，AB =BC =2，AD =CD =√6，∠ABC =90∘，现将ΔACD 沿AC 折起，将点D 折到D′处，当四面体ABCD′的体积最大时，其外接球的表面积为_______．16. 已知抛物线C ：y 2=2px(p >0)的准线为l ，过点M(1,0)且斜率为√3的直线与直线l 相交于点A ，与C 的一个交点为B.若AM =MB ，则实数p =_____．17. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为：{x =2cosαy =2+2sinα(α为参数)，在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ=2π3与C 1的异于极点的交点为A ，与C 2：ρ=8sinθ的异于极点的交点为B ，则AB =______． 三、解答题（本大题共6小题，共65.0分）18. △ABC 中，内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c.若a 2−c 2=2b ，且sinB =4cosAsinC ，求b ．19. 如图，在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 为菱形，∠ABC =120°，△PAD 为等边三角形，E 为棱PC 的中点．(1)证明：PB ⊥平面ADE ；(2)若平面PAD⊥平面ABCD，求二面角A−DE−B的余弦值．20.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个顶点为(0,−1)，离心率e=√22．(1)求椭圆C的方程；(2)过M(0,m)(−1<m<0)的直线l交椭圆C于A、B两点，试问：在椭圆C上是否存在定点T，使得无论直线l如何转动，以AB为直径的圆恒过定点T？若存在，求出m的值及点T的坐标；若不存在，请说明理由．21.某高校为增加应届毕业生就业机会，每年根据应届毕业生的综合素质和学业成绩对学生进行综合评估，已知某年度参与评估的毕业生共有2000名，其评估成绩Z近似的服从正态分布N(μ,σ2).现随机抽取了100名毕业生的评估成绩作为样本，并把样本数据进行了分组，绘制了如下频率分布直方图：(1)求样本平均数x和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)若学校规定评估成绩超过82.7分的毕业生可参加A、B、C三家公司的面试．(i)用样本平均数x作为μ的估计值，用样本标准差s作为σ的估计值，请利用估计值判断这2000名毕业生中，能够参加三家公司面试的人数；(ii)若三家公司每家都提供甲、乙、丙三个岗位，岗位工资表如下：李华同学取得了三个公司的面试机会，经过评估，李华在三个公司甲、乙、丙三个岗位的面试成功的概率均为0.3，0.3，0.4.李华准备依次从A、B、C三家公司进行面试选岗，公司规定：面试成功必须当场选岗，且只有一次机会．李华在某公司选岗时，若以该岗位工资与未进行面试公司的工资期望作为抉择依据，问李华可以选择A、B、C公司的哪些岗位？并说明理由．附：√161≈12.7，若随机变量Z～N(μ,σ2)，则P(μ−σ<Z<μ+σ)=0.6826，P(μ−2σ<Z<μ+2σ)=0.9544．22.求函数f(x)=x−ln(1+x)的极小值．23.已知函数f(x)=|x|+a|x−2|．(Ⅰ)当a=2时，求f(x+1)⩾f(1)的解集；(Ⅱ)当x∈(−1,0)时，不等式f(x)<x恒成立，求a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：∵集合A={x|x2≤2x}={x|0≤x≤2}，B={x|1<x≤4}，∴A∪B={x|0≤x<4}=[0,4]．故选：B．先分别求出集合A，B，由此能求出A∪B．本题考查并集的求法，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.答案：C解析：【分析】本题考查了复数的运算法则、复数的几何意义，属于基础题．利用复数的四则运算求出z，然后利用几何意义求解即可．【解答】解：由题意得：zi =52−i+2，z=5i(2+i)(2−i)(2+i)+2i，则z=i(2+i)+2i=−1+4i，则复数z在复平面内对应的点的坐标为(−1,4)．故选C．3.答案：C解析：【分析】本题考查了等差数列的性质与前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．由等差数列{a n}性质可得：a1+a10=a4+a7=42，再利用等差数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：由等差数列{a n}性质可得：a1+a10=a4+a7=42，∴S10=10(a1+a10)2=5×42=210．故选：C．4.答案：D解析：【分析】本题考查了指数函数性质与对数运算，比较大小，属于基础题．【解答】解：a=0.512=0.2514,b=0.914>0.2514>0,c=log50.3<0，所以b >a >c ． 故选D ． 5.答案：B解析： 【分析】本题主要考查了函数的性质.考查化归与转化的数学思想以及运算求解能力． 【解答】 解：因为f (x )=x 2−1x，是奇函数，且在(0,+∞)上单调递增，所以e 1−x>e 2x −1， 即1−x >2x −1， 解得x <23． 故选B ． 6.答案：B解析： 【分析】本题考查三角形的解法，向量的数量积的应用，考查计算能力．利用三角形的边表示向量AP⃗⃗⃗⃗⃗ ，然后利用向量的数量积求解即可． 【解答】解：△ABC 中，AB =2，B =π4，C =π6，点P 是边BC 的中点，ACsinB =ABsinC ，可得AC =2√2，则AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=12×(2√2)2−12×22=2．故选：B ． 7.答案：D解析： 【分析】本题考查扇形的面积的求法，考查计算能力，属于基础题． 求出扇形的半径，然后求解扇形的面积． 【解答】解：因为扇形弧长为6，扇形圆心角为2rad ，所以扇形半径等于62=3， 则扇形的面积：12×6×3=9． 故选D ． 8.答案：B解析：解：由题意，n 为正整数，则sinnπ=0， 模拟程序的运行，由已知中的程序语句可知：。

绝密★启用前安徽省合肥七中、农兴中学、合肥32中、合肥五中2020届高三毕业班下学期冲刺高考最后一卷英语试题（时间：120分钟满分：150分）第一部分听力（共两节，满分30分）第一节（共5小题，每小题1.5分，满分7.5分）听下面5段对话。

每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。

听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。

每段对话仅读一遍。

1. What does the man like about the play?A. The story.B. The ending.C. The actor.2. Which place are the speakers trying to find?A. A hotel.B. A bank.C. A restaurant.3. At what time will the two speakers meet?A. 5:20.B. 5:10.C. 4:40.4. What will the man do?A. Change the plan.B. Wait for a phone call.C. Sort things out.5. What does the woman want to do?A. See a film with the man.B. Offer the man some help.C. Listen to some1great music.第二节（共15小题：每小题1.5分，满分22.5分）请听下面5段对话。

每段对话后有几个小题，从题中所给出的A、B、C三个选项种选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。

听每段对话前，你将有时间阅读各个小题，每小题5秒钟；听完后，各小题给出5秒钟的作答时间。

每段对话读两遍。

听第6段材料，回答6、7题6. Where is Ben？A. In the kitchen.B. At school.C. In the park.7. What will the children do in the afternoon?A. Help set the table.B. Have a party.C. Light the candles.听第7段材料，回答第8、9题8. What are the two speakers talking about?A. A Family holiday.B. A business trip.C. A travel plan.9. Where did Rachel go?A. Spain.B. Italy.C. China.听第8段材料，回答第10至12题。

合肥市7中、10中2020届高三年级6月联考数学试卷（文）（考试时间：120分钟 满分：150分）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

每小题只有一个正确答案，请把正确答案涂在答题卡上）1．设集合{}{}>1,|(2)0A x x B x x x ==-<，则B A I 等于（ ）A ．{|2}x x >B ．{}02x x << C ．{} 12x x << D ．{|01}x x << 2.下列说法正确的是（ ）A. 命题“若21x =，则1x = ”的否命题为“若21x =，则1x ≠”B. 命题“2000,10x R x x ∃∈+-<”的否定是“2,10x R x x ∀∈+->”C. 命题“若x y =，则 sin sin x y = ”的逆否命题为假命题D. 若“p 或q ”为真命题，则p ，q 中至少有一个为真命题 3.函数x e x f x3)(+=的零点个数是 （ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 4. 已知31log ,31log ,221231===-c b a ，则（ ） A ．c b a >>B. b c a >>C. b a c >>D. a b c >>5.函数()123x f x x =-+( ) A ．(3,0]- B ．(3,1]--C ．(,3)(3,0)-∞-⋃-D ．(,3)(3,1)-∞-⋃-6．等比数列{n a }的各项均为正数，且564738a a a a a a ++＝27，则313233310log log log log a a a a +++⋅⋅⋅+＝（ ）A ．12B ．10C ．8D ．2＋3log 5 7.已知()21cos 4f x x x =+，()f x '为()f x 的导函数，则()f x '的图象是（ ）8.为了得到函数的图象，可以将函数的图象（ ）A.向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度B.向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度C.向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度D.向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度9.直线1+=kx y 与曲线b ax x y ++=3相切于点)3,1(A ，则b a +2的值为( ) A ．2B ．1-C ．1D ．2-10.函数()y f x =是R 上的奇函数，满足(3)(3)f x f x +=-，当()0,3x ∈时()2xf x =，则当()6,3x ∈--时，()f x =（ ）A ．62x +B ．62x +-C ．62x -D ．62x --11.已知非零向量,a b r r 满足2a b =r r ，若函数3211()132f x x a x a bx =++•+r r r在R 上存在极值，则a r 和b r夹角的取值范围为（ ）A. 0,6π⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B.2,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C. 2,33ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦D. ,3ππ⎛⎤⎥⎝⎦ 12.已知定义在R 上的可导函数()y f x =的导函数为()f x '，满足()()1,(0)2019f x f x f '->=，则不等式()20201xf x e >-g(其中e 为自然对数的底数）的解集为（ ） A ．(),0(0,)-∞⋃+∞ B ．),2020(+∞C ．()0,+∞D ．(),0(2020,)-∞⋃+∞第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分,共20分).13.已知向量，若，则m 的值是______ ．14.已知函数()122,11log ,1x x f x x x -⎧≤=⎨->⎩，则满足 ()2f x ≤的x 的取值范围是______ ．15.设α为锐角，若cos （α+）=，则sin （2α+）的值为______．16． 已知函数33|log |,03()2log ,3x x f x x x <≤⎧=⎨->⎩，若,,a b c 互不相等，且()()()f a f b f c ==，则a b c ++的取值范围为____________________(用区间表示)三、 解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. （本小题满分10分）已知等差数列{a n }满足：a 4=7，a 10=19，其前n 项和为S n ． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式a n 及S n ； （Ⅱ）若b n =，求数列{b n }的前n 项和T n ．18.（本小题满分12分）.函数f (x ) = A sin(ωx +φ)+B 的部分图象如图所示，其中A >0，ω>0，|φ|<． （Ⅰ）求函数y = f (x )解析式；（Ⅱ）求x ∈[0,]时，函数y = f (x )的值域.19.（本小题满分12分）已知数列的前n 项和为，且．（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）设，求数列的前n 项和nT ．20.（本小题满分12分）在ABC ∆中，角A,B,C 的对边分别是a,b,c,满足.2cos 2b a B c += （Ⅰ）求角C;（Ⅱ）若D 为AB 的中点，CD=1，a=2，求ABC ∆的面积.21.（本小题满分12分）已知函数3()ln 42x a f x x x =+--，其中，且曲线 在点处的切线垂直于直线12y x =. （Ⅰ）求a 的值； （Ⅱ）求函数的单调区间与极值．22.（本小题满分12分）已知函数2()2ln f x x ax =-．（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）若αβ、都属于区间[]1,4,且1βα-=，()()f f αβ= ，求实数a 的取值范围.2020届高三年级7中、10中联考数学（文科）试卷参考答案一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分． 1-5、CDBCA 6-10、BADCB 11-12、DC二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13.-3 14.[0,)+∞ 15.50217 16. 19(,11)3三、解答题：本大题共6小题，共70分．17．（本小题满分10分） [解]（Ⅰ）设等差数列{a n }的公差为d ，则，解得：a 1=1，d =2， ∴a n =1+2（n -1）=2n -1， S n 22)121(n n n =-+=．---5分（Ⅱ）b n )121121(21)12)(12(111+--=+-==+n n n n a a n n ，∴数列{b n }的前n 项和为T n 12)1211(21)121121()5131()311(21+=+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-+-+-=n nn n n Λ ---10分 18．（本小题满分10分）[解]（Ⅰ）根据函数f （x ）=A sin （ωx +ϕ）+B 的一部分图象，其中A ＞0，ω＞0，|φ|＜2π， 可得A =4-2=2，B =2，61252414ππωπ-=•=T ，∴ω=2． 又2•6π+φ=2π，∴φ=6π，∴f （x ）=2sin （2x +6π）+2．---6分（Ⅱ）∵x ∈[0，2π]，∴2x +6π∈[6π，67π]，∴sin （2x +6π）∈[-21，1]，∴y =f （x ）∈[1，4]．---12分19．（本小题满分12分） [解] （Ⅰ）142-=nn a S Θ时，，即，解得；时，由得，所以数列是首项为21，公比为2的等比数列，即212221--=⨯=n n n a ----6 分 (Ⅱ)222321-=-=-+n n n n a a b nn n b b b b T n n n n n 2)14(61241)41(222222132311321--=---⨯=-++++=++++=∴---ΛΛ---12分． 20．（本小题满分12分）[解]（Ⅰ）由,2cos 2b a B c +=得,222222b a ac b c a c +=-+⋅化简得,222c b a ab -+=- 故2122cos 222-=-=-+=ab ab ab c b a C ,又C ),,0(π∈故C=32π----6分（Ⅱ）设AD=BD=x ，则x x BDC x b x ADC 241cos 21cos 222-+-=∠-=-+=∠化简得,2222+=b x ① 又214442cos 22222-=-+=-+=∠b x b ab c b a ACB 即,44222x b b =++② 由①②得2424222=∴+=++b b b b故ABC ∆的面积3232221sin 21=⨯⨯⨯=∠=ACB ab S ------12分21．（本小题满分12分） [解]（Ⅰ）23ln 4)(--+=x x a x x f Θ， ，曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线垂直于直线x y 21=． ，解得：45=a ．------6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知：23ln 454)(--+=x x x x f ， 令，解得5=x ，或1-=x (舍)Θ当)5,0(∈x 时，，当),5(+∞∈x 时，，故函数f(x)的单调递增区间为),5(+∞； 单调递减区间为(0,5)；当5=x 时，函数取极小值5ln -．------12分22．（本小题满分12分）[解]Ⅰ）()222()0ax f x x x-'=>1 当0a ≤时，()0f x '>在(0,)+∞上恒成立，则()f x 在(0,)+∞上单调递增；02 当0a >时，由()0f x '>得0x a<<； 由()0f x '<得x a >则()f x 在)a上单调递增，在()a +∞上单调递减；综上，当0a ≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递增；当0a >时，()f x 在(0,)a 上单调递增，在)a+∞上单调递减．---5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，当0a ≤时，()f x 在[1,4]上单增，不合题意，故0a >．由()()f f αβ= 则222ln 2ln a a ααββ-=-，即2ln 2ln ()0a αβαβ-++= 即2ln 2ln(1)(21)0a ααα-+++=[1,3]α∈ ()*设()2ln 2ln(1)(21)h x x x a x =-+++ [1,3]x ∈22()201h x a x x '=-+>+在(1,3)上恒成立；所以()h x 在[1,3]上递增， 由()*式，函数()h x 在[1,3]有零点，则(1)02ln 230242ln ln 2(3)02ln32ln 470733h a a h a ≤-+≤⎧⎧⇒⇒≤≤⎨⎨≥-+≥⎩⎩ 故实数a 的取值范围为242[ln ,ln 2]733．------12分。

2020年高考数学模拟试卷（文科）（6月份）一、选择题（共12小题）.1.设集合A ＝{x |x ＞1}，B ＝{x |x （x ﹣2）＜0}，则A ∩B 等于（ ） A. {x |x ＞2} B. {x |0＜x ＜2}C. {x |1＜x ＜2}D. {x |0＜＜1}【答案】C 【分析】先解一元二次不等式化简集合B ，再与集合A 求交集，求A ∩B 即可．【详解】∵集合20{|()}0}2{|B x x x x x ＝﹣＜＝＜＜，又1{|}A x x ＝＞， {|12}A B x x ∴⋂＝＜＜，故选：C ．【点睛】本题考查集合的交集，考查一元二次不等式解法，属于基础题. 2.下列说法正确的是（ ）A. 命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为“若x 2＝1，则x ≠1”B. 命题“∃x 0∈R ，20x +x 0﹣1＜0”的否定是“∀x ∈R ，x 2+x ﹣1＞0” C. 命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”的逆否命题为假命题 D. 若“p 或q ”为真命题，则p ，q 中至少有一个为真命题 【答案】D 【分析】对于A ，根据否命题的概念可得到结论; 对于B ，特称命题的否定是全称命题；对于C ，逆否命题与原命题为等价命题，即可判断出正误；对于D ，利用“或”命题真假的判定方法即可得出．【详解】对于A ，命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为“若x 2≠1，则x ≠1”，因此不正确； 对于B ，命题“∃x 0∈R ，20x +x 0﹣1＜0”的否定是“∀x ∈R ，x 2+x ﹣1≥0”，因此不正确； 对于C ，命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”正确，其逆否命题为真命题，因此不正确； 对于D ，命题“p 或q ”为真命题，则p ，q 中至少有一个为真命题，正确． 故选：D ．【点睛】这个题目考查了四种命题的真假性的判断，涉及到命题的否定和否命题的写法，否命题既否结论又否条件，命题的否定只否结论；特称命题的否定是全称命题，需要换量词，否结论，不变条件. 3.函数()3x f x e x =+的零点个数是 （ ） A. 0 B. 1C. 2D. 3【答案】B【分析】根据零点的判断定理，即可求出函数f （x ）的零点个数． 【详解】：∵f （x ）=e x +3x 为增函数， ∵f （0）=1＞0，f （-1）=e -1-3＜0，∴在（-1，0）内函数f （x ）存在唯一的一个零点， 即零点的个数为1个， 故选B.【点睛】本题主要考查函数零点个数的判断，函数零点的判断条件是解决本题的关键．4.已知132a -=，21log 3b =，121log 3c =，则（ ）． A. a b c >> B. a c b >> C. c a b >> D. c b a >>【答案】C试题分析：因为13212112(0,1),log 0,log 1,33a b c -=∈==所以.b a c <<选C ． 考点：比较大小 5.函数()f x = ） A.(3,0]-B. (3,1]-C. (,3)(3,0]-∞--UD. (,3)(3,1]-∞--U【答案】A【详解】由题意得120{30x x -≥+>，所以30.x -<≤ 故选A.6.等比数列{a n }的各项均为正数，且56473827a a a a a a ++＝，则313233310log a log a log a log a +++⋯+＝（ ） A. 12 B. 10C. 8D. 2+log 35【答案】B 【分析】由题设条件知569a a ＝，再由等比数列的性质以及对数运算法则求出结果．【详解】解：∵等比数列{a n }的各项均为正数，且56473827a a a a a a ++＝，5647389a a a a a a ∴＝＝＝,313233310log a log a log a log a ∴+++⋯+ 312310log a a a a ⨯⨯⨯⋯⨯＝（）1033log ＝10＝．故选：B ．【点睛】本题考查等比中项和对数运算性质的应用，解题时充分利用这些运算性质，可简化计算，考查计算能力，属于中等题． 7.已知f （x ）214x =+cos x ，'()f x 为f （x ）的导函数，则'()f x 的图象是（ ） A.B.C. D.【答案】A 【分析】求出导函数，利用导函数的解析式，判利用还是的奇偶性已经特殊点断函数的图象即可． 【详解】解：()214f x x cosx =+，∴'()f x 12x sinx =-，'()f x 是奇函数，排除B ，D ．当x 4π=时，'()f x 28π=0，排除C ． 故选：A【点睛】本题考查了函数求导，函数图像识别，意在考查学生对于函数知识的综合运用.8.为了得到函数2sin 3cos y x x x =+的图象，可以将函数sin 2y x =的图象（ ）． A. 向左平移6π个单位长度，再向下平移12个单位长度 B. 向右平移6π个单位长度，再向上平移12个单位长度C. 向左平移12π个单位长度，再向下平移12个单位长度D. 向右平移12π个单位长度，再向上平移12个单位长度 【答案】D 【分析】将函数用降幂公式和二倍角公式化简，再根据平移法则求解即可【详解】函数可化简为()111cos 22sin 22262y x x x π⎛⎫=-+=-+⎪⎝⎭，即11sin 2=sin 262122y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可由函数sin 2y x =的图象向右平移12π个单位长度，再向上平移12个单位长度得到 故选D ．【点睛】本题考查复合三角函数的化简，复合三角函数的平移法则，其中用到降幂公式，二倍角的正弦公式，平时训练当中应熟记基本的降幂公式和二倍角公式，以便争分夺秒，决胜考场 9.直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 3＋ax ＋b 相切于点A (1，3)，则2a ＋b 的值等于（ ） A. 2 B. －1 C. 1 D. －2【答案】C 【分析】 利用切点A 在切线上求出k ，同时点A 在曲线上，以及1|x y k ='=，建立,a b 方程组，求解即可.【详解】Q 直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 3＋ax ＋b 相切于点A (1，3)，∴点A 在直线y ＝kx ＋1，得31,2k k =+∴=，且点A 在曲线y ＝x 3＋ax ＋b 上，2a b ∴+=，213,|32,1,3x y x a y a a b ='=+'=+=∴=-=，21a b ∴+=.故选：C.【点睛】本题考查导数的几何意义，属于基础题. 10.函数()y f x =是R 上的奇函数，满足()()33f x f x +=-，当()0,3x ∈,()2x f x =，则当()6,3x ∈--时，()f x = （ ）A.62x +B.62x +-C.62x -D.62x --【答案】B【分析】由题意可知(3)(3)f x f x +=-,设(6,3)x ∈--，则6(0,3)x +∈，代入化简，即可求解. 【详解】由题意可知(3)(3)f x f x +=-, 设(6,3)x ∈--，则6(0,3)x +∈时，6(6)2()()x f x f x f x ++==-=-，即6()2x f x +=-，故选B.【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性和函数的对称性的应用，其中解答中合理应用函数的基本性质是解答此类问题的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.11.已知非零向量,a b rr 满足2a b =r r ，若函数3211().132f x x a x a bx =+++r r r 在R 上存在极值，则a r 和b r 夹角的取值范围为（ ） A. 0,6π⎡⎫⎪⎢⎣⎭B. ,3ππ⎛⎤⎥⎝⎦C. 2,33ππ⎛⎤⎥⎝⎦D. ,3ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B设a v和b v的夹角为θ∵()3211132f x x a x abx ⋅=+++v v v 在R 上存在极值 ∴2()0f x x a x a b =++⋅'=r r r 有两个不同的实根，即240a a b ∆=-⋅>r r r∵2a b =v v∴2248cos 0b b θ->r r ，即1cos 2θ<∵[0,]θπ∈ ∴3πθπ<≤故选B点睛：本题主要考查向量的模及平面向量数量积公式、利用导数研究函数的极值，属于难题.平面向量数量积公式有两种形式，一是cos a b a b θ⋅=r rr r ，二是1212a b x x y y ⋅=+r r ，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角，·cos ·a b a b θ=rr r r （此时a b r r g 往往用坐标形式求解）；（2）求投影，a r 在b r 上的投影是a b b⋅r r r ；（3）a r ，b r 向量垂直则0a b =r r g ；(4)求向量ma nb +r r 的模（平方后需求a b r rg ）. 12.已知定义在R 上的可导函数()y f x =的导函数为()f x '，满足()()1f x f x '->，()02019f =，则不等式()20201x f x e >-（其中e 为自然对数的底数）的解集为（ ）A. ()(),00,-∞⋃+∞B. ()2020,+∞C.()0,∞+D.()(),02020,-∞⋃+∞【答案】C 【分析】结合已知可考虑构造函数()()1xf xg x e+=，然后结合导数可判断单调性，进而可解不等式． 【详解】令()()1xf xg x e+=， 因为()()1f x f x '->，()02019f =，则()()()'1xf x f xg x e--'=＞0故()gx 在R 上单调递增，且()02020g =，由()12020x f x e +>，可得()12020xf x e+>，即()()0g x g >，所以0x >， 故选：C【点睛】本题考查的是利用导数判断函数的单调性，解答本题的关键是构造出函数()()1xf xg x e +=，属于中档题.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）.13.已知向量()1,2a =-r ，(),1b m =-r ，()3,2c =-r，若()a b c -⊥r r r ，则m 的值是_____．【答案】3- 【分析】求出向量a b -r r的坐标，利用垂直向量的坐标表示可得出关于m 的等式，进而可求得实数m 的值.【详解】()1,2a =-r Q ，(),1b m =-r ，()1,3a b m ∴-=--r r，()3,2c =-rQ ，且()a b c -⊥r r r ，()()()3132390a b c m m ∴-⋅=⨯--+⨯-=--=r r r ，解得3m =-.故答案为：3-.【点睛】本题考查利用向量垂直求参数，涉及向量垂直的坐标表示的应用，考查计算能力，属于基础题.14.设函数122,1,(){1log ,1,x x f x x x -≤=->则不等式()2f x ≤的解集是__________．【答案】[0,)+∞【详解】原不等式等价于11{22x x -≤≤或21{1log 2x x >-≤，解得[]0,1或(1,)+∞，故解集为[)0,+∞. 15.设α为锐角，若4cos()65πα+=，则sin(2)12πα+的值为______.【答案】50试题分析：247cos(2)213525πα⎛⎫+=⋅-= ⎪⎝⎭，24sin(2)325πα+=，所以sin(2)sin(2)1234πππαα+=+-2472252550⎫=-=⎪⎝⎭. 考点：三角恒等变形、诱导公式、二倍角公式、同角三角函数关系．【思路点晴】本题主要考查二倍角公式，两角和与差的正弦公式.题目的已知条件是单倍角，并且加了6π，我们考虑它的二倍角的情况，即247cos(2)213525πα⎛⎫+=⋅-= ⎪⎝⎭，同时求出其正弦值24sin(2)325πα+=，而要求的角sin(2)sin(2)1234πππαα+=+-，再利用两角差的正弦公式，就能求出结果.在求解过程中要注意正负号.16.已知函数()33log ,032log ,3x x f x x x ⎧<≤=⎨-⎩＞，若a 、b 、c 互不相等，且()()()f a f b f c ==，则a b c ++的取值范围为_____（用区间表示）【答案】19,113⎛⎫⎪⎝⎭【分析】先画出图象，设()()()m f a f b f c ===，可得出01m <<，可得出13m a =，3mb =，93mc =，进而得出1033m m a b c ++=+，令()31,3mt =∈，然后构造函数()10g t t t=+，利用双勾函数的单调性求得函数()10gt t t=+在区间()1,3上的值域，即为所求. 【详解】作出函数()33log ,032log ,3x x f x x x ⎧<≤=⎨-⎩＞的图象如下图所示：不妨设a b c <<，设()()()m f a f b f c ===，则a 、b 、c 可视为直线y m =与函数()y f x =的图象的三个交点的横坐标，由图象可得01m <<，且333log log 2log a b c m -==-=，可得13m a=，3mb =，93mc =， 所以，1033m m a b c ++=+，令()31,3mt =∈，设()10g t t t=+， 由双勾函数的单调性可知，函数()10g t t t =+在()1,3上单调递减，则()()()31g g t g <<，即()19113g t <<. 因此，a b c ++的取值范围是19,113⎛⎫⎪⎝⎭. 故答案为：19,113⎛⎫⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查零点相关的代数式的取值范围的计算，构造新函数，将问题转化为新函数的值域问题是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.已知等差数列{}n a 满足：47a =，1019a =，其前n 项和为n S .（1）求数列{}n a 的通项公式n a 及n S ；（2）若11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和为n T ．【答案】（1）21n a n =-，2n S n =；（2）21nnT n =+．【分析】 （1）设等差数列{}n a 的公差为d ，根据题意可得出关于1a 和d 的方程组，解出这两个量，进而可求得n a 及n S ；（2）求出数列{}n b 的通项公式，然后利用裂项求和法可求得nT.【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，则4110137919a a d a a d =+=⎧⎨=+=⎩，解得11a =，2d =，()()1112121n a a n d n n ∴=+-=+-=-，()21212n n n S n +-==；（2）()()111111212122121nn n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪-+-+⎝⎭，∴数列{}n b 的前n 项和为111111123352121n T n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L 11122121n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭. 【点睛】本题考查等差数列通项公式以及前n 项和公式的计算，同时也考查了裂项求和法，考查计算能力，属于基础题.18.函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）+B的部分图象如图所示，其中A ＞0，ω＞0，|φ|2π＜．（Ⅰ）求函数y ＝f （x ）解析式； （Ⅱ）求x ∈[0，2π]时，函数y ＝f （x ）的值域． 【答案】（Ⅰ）f （x ）＝2sin （2x 6π+）+2；（Ⅱ）[1，4].【分析】（Ⅰ）根据已知图象，分析出A ，B ，T ，然后求出ω的值．根据五点作图法求出φ的值．综合即可写出函数f （x ）的解析式．（Ⅱ）由已知可求范围2x 6π+∈[6π，76π]，利用正弦函数的图象和性质可得sin （2x 6π+）∈[12-，1]，即可求解【详解】解：（Ⅰ）∵根据函数f （x ）＝A sin （ωx +ϕ）+B 的一部分图象，其中A ＞0，ω＞0，|φ|2π＜，可得A ＝4﹣2＝2，B ＝2，12544126T πππω=⋅=-， ∴ω＝2，又∵2•6π+φ2π=，∴φ6π=，∴f （x ）＝2sin （2x 6π+）+2．（Ⅱ）∵x ∈[0，2π]，∴2x 6π+∈[6π，76π]， ∴sin （2x 6π+）∈[12-，1]，∴y ＝f （x ）∈[1，4]．【点睛】本题考查三角函数的图像的综合性质问题，属于基础题. 19.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且241n n S a =-．（1）求{}n a 的通项公式；（2）设12n n n b a a +=⋅-，求数列{}n b 的前n 项和nT．【答案】（1）22n n a -=；（2）()14126nn T n =--． 【分析】 根据公式111{2nn n S n a S S n -==-≥，当1n =时，求数列的首项，当2n ≥时，11241n n S a --=-，与241n n S a =-相减得到1244n n n a a a -=-，求得12nn a a -=，即数列{}n a 是等比数列，利用等比数列通项公式求出n a 即可； （2）根据（1）的结果求出 2322n n b -=-，然后利用分组求和即可得到n T ．【详解】解：（1）因为241n n S a =-所以当1n =时，11241S a =-，即11241a a =-，解得112a =； 当2n ≥时，241n n S a =-①11241n n S a --=-②由①﹣②得，1244n n n a a a -=-所以12n n a a -=. 所以，数列{}n a 是首项为12，公比为2的等比数列，即121222n n n a --=⨯=. （2）由（1）知231222n n n n b a a -+=⋅-=-所以，12n n T b b b =+++L 1132322222n n --=++++-L()1214214n n -⨯-=-- ()14126n n =-- 所以，()14126n n T n =--． 【点睛】本题主要考查111{2n n n S n a S S n -==-≥、等比数列的通项公式、等比数列前n 项和公式以及分组求和法，考查学生的计算能力，属于中档题. 20.在ABC V 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，满足2cos 2c B a b =+．（Ⅰ）求角C ；（Ⅱ）若D 为AB 的中点，1CD =，2a =，求ABC V 的面积．【答案】（Ⅰ）23C π=；（Ⅱ. 【分析】（Ⅰ）由余弦定理把cos B 化成边，再有边的关系整体代换求角C 的余弦值，进而可求角C ； （Ⅱ）利用中线向量可得2CD CA CB =+u u u r u u u r u u u r ，可得出()224CD CA CB =+u u u r u u u r u u u r ，可得出关于b 的方程，解出b 的值，进而可计算出ABC V 的面积．【详解】（Ⅰ）由2cos 2c B a b =+，得222222a c b c a b ac+-⋅=+，化简得222a b c ab +-=-， 故2221cos 222a b c ab C ab ab +--===-，又()0,C π∈，故23C π=； （Ⅱ）由向量加法的平行四边形法则可得2CD CA CB =+u u u r u u u r u u u r ，()224CD CA CB∴=+u u u r u u u r u u u r ， 即2224CA CA CB CB +⋅+=u u u r u u u r u u u r u u u r ，2222cos 43b ab a π∴++=，即220b b -=，0b >Q ，解得2b =，因此，ABC V 的面积为211sin 2222ABC S ab C ==⨯⨯=V 【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，同时也考查了三角形中线问题的处理，一般转化为向量来求解，考查计算能力，属于中等题.21.已知函数()3ln 42x a f x x x =+--，其中a R ∈，且曲线()y f x =在点()()11f ，处的切线垂直于直线12y x =． （1）求a 的值；（2）求函数()f x 的单调区间与极值． 【答案】(1)54(2) 在(0,5)内为减函数；在(5，＋∞)内为增函数． 极小值f (5)＝－ln 5.无极大值． 试题分析：（1）由曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线垂直于直线12y x =可得12f '=-（），可求出a 的值；（2）根据（1）可得函数的解析式和导函数的解析式，分析导函数的符号，进而可得函数f （x ）的单调区间与极值．试题解析：（1）对()f x 求导得211()4a f x x x =--，由()f x 在点(1,(1))f 处的切线垂直于直线12y x =知3(1)24f a =--=-，解得54a =． （2）由（1）知53()ln 442x f x x x =+--，则2245()4x x f x x--=， 令()0f x =，解得1x =-或5x =．因为1x =-不在()f x 的定义域(0,)+∞内，故舍去．当(0,5)x ∈时，()0f x '<，故()f x 在(0,5)上为减函数；当(5,)x ∈+∞时，()0f x '>，故()f x 在(5,)+∞上为增函数．由此知函数()f x 在5x =时取得极小值，(5)ln 5f =-．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程，利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值22.已知函数2()2ln f x x ax =-．（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）若αβ、都属于区间[]1,4,且1βα-=，()()f f αβ=，求实数a 的取值范围．【答案】（Ⅰ）当0a ≤时，()f x (0,)+∞上单调递增，当0a >时，()f x 在上单调递增，在)+∞上单调递减；（Ⅱ）242[ln ,ln 2]733． 试题分析：第一问对函数求导，结合参数的范围，确定出导数的符号，从而求得函数的单调性，第二问有两个自变量对应的函数值相等，从函数的单调区间出发，来研究对应的单调性，从而确定出参数所满足的不等关系，最后求得结果．试题解析：（Ⅰ）()222()0ax f x x x'-=> 01当0a ≤时，()0f x '>在(0,)+∞上恒成立，则()f x 在(0,)+∞上单调递增；02当0a >时，由()0f x '>得0x<<； 由()0f x '<得x >； 则()f x 在上单调递增，在)+∞上单调递减； 综上，当0a ≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递增；当0a >时，()f x 在上单调递增，在)+∞上单调递减． （Ⅱ）由（Ⅰ）知，当0a ≤时，()f x 在[1,4]上单增，不合题意，故0a >．由()()f f αβ=则222ln 2ln a a ααββ-=-，即2ln 2ln ()0a αβαβ-++=即2ln 2ln(1)(21)0a ααα-+++=[1,3]α∈()*设()2ln 2ln(1)(21)h x x x a x =-+++[1,3]x ∈22()201h x a x x ++'=->在(1,3)上恒成立；所以()h x 在[1,3]上递增， 由()*式，函数()h x 在[1,3]有零点，则(1)02ln 230242{{ln ln 2(3)02ln 32ln 470733h a a h a ≤-+≤⇒⇒≤≤≥-+≥ 故实数a 的取值范围为242[ln,ln 2]733．12分 考点：导数的应用．。

2020年安徽省合肥七中、三十二中、五中、肥西农兴中学高考数学最后一卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内）1. 设全集U＝{1, 2, 3, 4, 5}，集合M＝{1, 3, 5}，集合N＝{3, 4}，则图中阴影部分所示的集合是（）A.{3, 4}B.{1}C.{2, 3, 4}D.{4}2. 已知i为虚数单位，复数z=21+i+3i，则复数z的虚部是（）A.1B.iC.2iD.23. 如图是某学校高三年级的三个班在一学期内的六次数学测试的平均成绩y关于测试序号x的函数图象，为了容易看出一个班级的成绩变化，将离散的点用虚线连接，根据图象，给出下列结论：①一班成绩始终高于年级平均水平，整体成绩比较好；②二班成绩不够稳定，波动程度较大；③三班成绩虽然多次低于年级平均水平，但在稳步提升．其中错误的结论的个数为（）A.1B.0C.2D.34. 对于实数m，n，“mn>0”是“方程mx2+ny2=1对应的曲线是椭圆”的（）A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5. 鲁班锁起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，相传由春秋时代鲁国工匠鲁班所作．如图是某个经典的六柱鲁班锁及其六个构件的图片，下图是其中一个构件的三视图（单位：mm），则此构件的体积为（）A.33000mm3B.34000mm3C.32000mm3D.30000mm36. 已知α为锐角，且cos(α+π4)=35，则cos2α＝（）A.725B.2425C.±2425D.−24257. 如图的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《数书九章》中的“中国剩余定理”．执行该程序框图，则输出的n为（）A.53B.50C.59D.628. 设函数f(x)=5x+2sin x3x−3−x,x∈[−π,0)∪(0,π]，则函数f(x)的图象大致为（）A. B.C. D.9. 已知函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(2+x)+f(x)＝0，当x∈[−2, 0]时，f(x)＝−x2−2x，则当x∈[4, 6]时，y＝f(x)的最小值为（）A.−1B.−8C.0D.110. 已知F1，F2是双曲线E:x2a2−y2b2=1(a>0, b>0)的左、右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1=14，则双曲线E的离心率为（）A.5 3B.√153C.2D.311. 古希腊雅典学派算学家欧道克萨斯提出了“黄金分割”的理论，利用尺规作图可画出已知线段的黄金分割点，具体方法如下：(l)取线段AB＝2，过点B作AB的垂线，并用圆规在垂线上截取BC=12AB＝1，连接AC；以C为圆心，BC为半径画弧，交AC于点D；（3）以A为圆心，以AD为半径画弧，交AB于点E．则点E即为线段AB的黄金分割点．若在线段AB上随机取一点F，则使得BE≤AF≤AE的概率约为（参考数据：√5≈2.236）（）A.0.382B.0.236C.0.472D.0.61812. 一个等腰三角形的周长为10，四个这样相同等腰三角形底边围成正方形，如图，若这四个三角形都绕底边旋转，四个顶点能重合在一起，构成一个四棱锥，则围成的四棱锥的体积的最大值为( )A.500√227B.500√281C.15√2D.5√3二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将每题的正确答案填在题中的横线上）不等式组{x+y−2≥0x−y+1≤0y−3≤0，则表示区域的面积为________．已知向量AB→=(12,√32)，BC→=(√32,12)，则∠ABC＝________．若直线y＝kx+b是曲线y＝e x−2的切线，也是曲线y＝e x−1的切线，则b＝________12ln2−12．如图，在平面四边形ABCD中，CD＝2，sin∠DAC=√2114，D=2π3,B=π3，则四边形ABCD的面积的最大值为________9√3．三、解答题（本大题满分60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AC⊥BC，E为A1C1的中点，CE⊥AC1．(Ⅰ)证明：CE⊥平面AB1C1．(Ⅱ)若C1E=√3,AA1=√6，AB＝2BC，求三棱锥E−AB1C的体积．设{a n}是等比数列，其前n项的和为S n，且a2＝2，S2−3a1＝0．(Ⅰ)求{a n}的通项公式；(Ⅱ)若S n+a n>48，求n的最小值．某大学为调研学生在A，B两家餐厅用餐的满意度，从在A，B两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了100人，每人分别对这两家餐厅进行评分，满分均为60分．整理评分数据，将分数以10为组距分成6组：[0, 10),[10, 20),[20, 30),[30, 40),[40, 50),[50, 60]，得到A餐厅分数的频率分布直方图，和B餐厅分数的频数分布表：[50, 60]35(Ⅱ)从对B餐厅评分在[0, 20)范围内的人中随机选出2人，求2人中恰有1人评分在[0, 10)范围内的概率；(Ⅲ)如果从A，B两家餐厅中选择一家用餐，你会选择哪一家？说明理由．已知圆F：(x−2)2+y2＝4，动点Q(x, y)(x≥0)，线段QF与圆F相交于点P，线段PQ的长度与点Q到y轴的距离相等．(Ⅰ)求动点Q的轨迹W的方程；(Ⅱ)过点A(2, 4)作两条互相垂直的直线与W的交点分别是M和N（M在N的上方，A，M，N为不同的三点），求向量NM→在y轴正方向上的投影的取值范围．已知函数f(x)=12x2−2x+a ln x，a>1e．(Ⅰ)讨论f(x)的单调性；(Ⅱ)若f(x)存在极值，求所有极值之和的取值范围．请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为{x=2−√2ty=−1+√2t（t为参数），以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2cos(θ+π4)．（1）判断曲线C1与曲线C2的位置关系；（2）设点M(x, y)为曲线C2上任意一点，求2x+y的最大值．[选修4-5：不等式选讲]已知函数f(x)＝|2x−a|．（1）当a＝2，求不等式f(x)+|x|≤6的解集；（2）设f(x)+|x−1|+3x≤0对x∈[−2, −1]恒成立，求a的取值范围．参考答案与试题解析2020年安徽省合肥七中、三十二中、五中、肥西农兴中学高考数学最后一卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内）1.【答案】此题暂无答案【考点】Ve都n资表达长合氧关系及运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答2.【答案】此题暂无答案【考点】复三的刺算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答3.【答案】此题暂无答案【考点】命题的真三判断州应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答4.【答案】此题暂无答案【考点】椭于凸定义必要条水表综分条近与充要条件的判断【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答5.【答案】此题暂无答案【考点】棱使、求族非棱台的体积【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【答案】此题暂无答案【考点】二倍角于三角术数【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答7.【答案】此题暂无答案【考点】程正然图【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答8.【答案】此题暂无答案【考点】函来锰略也与图象的变换【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答9.【答案】此题暂无答案【考点】函根的萄送木其几何意义函体奇序微病性质与判断【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答10.【答案】此题暂无答案【考点】双曲根气离心率【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答11.【答案】此题暂无答案【考点】几何概表计声（集长样、角度奇附积、体积有关的几何概型）【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答12.【答案】此题暂无答案【考点】柱体三锥州、台到的体建计算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将每题的正确答案填在题中的横线上）【答案】此题暂无答案【考点】二元验我不等烛（组）判平面区域【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】数量来表示冷个向让又夹角【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】利用三数定究曲纵上迹点切线方程【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】三角形射面积公放解都还形【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答三、解答题（本大题满分60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）【答案】此题暂无答案【考点】棱使、求族非棱台的体积直线验周面垂直【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】等比数使的前n种和【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】频率都着直方图古典因顿二其比率计算公式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】直三与臂容在的位置关系轨表方擦【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】利用验我研究务能的单调性利来恰切研费函数的极值【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]【答案】此题暂无答案【考点】圆的较坐标停程参数较严与普码方脂的互化【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答[选修4-5：不等式选讲]【答案】此题暂无答案【考点】绝对常不等至的保法与目明【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答。

学习界的专题13 利用导数解决函数的极值、最值【高考地位】导数在研究函数的极值与最值问题是高考的必考的重点内容，已由解决函数、数列、不等式问题的辅助工具上升为解决问题的必不可少的工具，特别是利用导数来解决函数的极值与最值、零点的个数等问题，在高考中以各种题型中均出现，对于导数问题中求参数的取值范围是近几年高考中出现频率较高的一类问题，其试题难度考查较大.类型一利用导数研究函数的极值例1 已知函数f (x) =+ ln x ，求函数f (x)的极值.x【变式演练1】（极值概念）【西藏日喀则市拉孜高级中学2020 届月考】下列说法正确的是（）A.当f '(x0 ) = 0 时，则f (x0 ) 为f (x) 的极大值B.当f '(x0 ) = 0 时，则f (x0 ) 为f (x) 的极小值C.当f '(x0 ) = 0 时，则f (x0 ) 为f (x) 的极值D.当f (x0 ) 为f (x) 的极值且f '(x0 ) 存在时，则有f '(x0 ) = 0【变式演练2】（图像与极值）【百师联盟2020 届高三考前预测诊断联考全国卷1】如图为定义在R 上的函数f (x)=ax3 +bx2 +cx +d (a ≠ 0)的图象，则关于它的导函数y =f '(x)的说法错误的是（）A．f '(x)存在对称轴B．f '(x)的单调递减区间为⎛-∞,1 ⎫2 ⎪ ⎝⎭C．f '(x)在(1, +∞)上单调递增D．f '(x)存在极大值【变式演练3】（解析式中不含参的极值）【江苏省南通市2020 届高三下学期高考考前模拟卷】已知函数f (x)=(ax2 +x +1)e x ，其中e是自然对数的底数，a ∈R .（1）当a = 2 时，求f (x )的极值；（2）写出函数f (x )的单调增区间；（3）当a = 0 时，在y 轴上是否存在点P，过点P 恰能作函数f (x)图象的两条切线？若存在，求出所有这样的点；若不存在，请说明理由.【变式演练4】（解析式中含参数的极值）【四川省德阳市2020 届高三高考数学（理科）三诊】已知函数f (x )=ax - 2 ln x - 2 ，g (x )=axe x - 4x ．（1）求函数f (x )的极值；（2）当a > 0 时，证明：g (x )- 2 (ln x -x +1)≥ 2 (ln a - ln 2 )．【变式演练5】（由极值求参数范围）【黑龙江省哈尔滨一中2020 届高三高考数学（理科）一模】已知函数学习界的007f ( x ) = x ln x -1 (m + 1) x2 - x 有两个极值点，则实数m 的取值范围为（）2A ． ⎛ - 1 , 0⎫B ． ⎛-1, 1 -1⎫C ． ⎛ -∞, 1 -1⎫ ）D ． (-1, +∞)e ⎪ e⎪ e⎪ ⎝ ⎭ ⎝⎭⎝⎭【变式演练 6】（由极值求其他）【四川省江油中学 2020-2021 学年高三上学期开学考试】已知函数f ( x ) = 1x 3 + ax 2 + bx (a , b ∈ R ) 在 x = -3 处取得极大值为 9.3（1） 求 a ， b 的值；（2） 求函数 f (x ) 在区间[-4, 4] 上的最大值与最小值.类型二 求函数在闭区间上的最值万能模板内 容使用场景 一般函数类型解题模板第一步 求出函数 f (x ) 在开区间(a , b ) 内所有极值点；第二步 计算函数 f (x ) 在极值点和端点的函数值；第三步 比较其大小关系，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.例 2 【河南省天一大联考 2020 届高三阶段性测试】已知函数 f ( x ) = ln x - x ， g ( x ) = ax 2+ 2x (a < 0) .（1） 求函数 f( x ) 在⎡1 , e ⎤上的最值； ⎢⎣ e ⎥⎦（2） 求函数 h( x ) = f (x ) + g (x ) 的极值点.【变式演练 7】（极值与最值关系）【安徽省皖江联盟 2019-2020 学年高三上学期 12 月联考】已知函数 f ( x ) 在区间(a , b ) 上可导，则“函数 f ( x ) 在区间(a , b ) 上有最小值”是“存在 x 0 ∈(a ,b ) ，满足 f '(x 0 ) = 0 ”的⎨ 1 （）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【变式演练 8】（由最值求参数范围）【湖北省武汉市 2020 届高三下学期六月模拟】若函数⎧a ln x - x 2 - 2 (x > 0 )f ( x ) = ⎪x + + a (x < 0) 的最大值为 f (-1) ，则实数a 的取值范围为（ ）⎩⎪ xA ． ⎡⎣0, 2e 2 ⎤⎦B ． ⎡⎣0, 2e 3⎤⎦C ． (0, 2e 2⎤⎦D ． (0, 2e 3⎤⎦【变式演练 9】（不含参数最值）【安徽省江淮十校 2020-2021 学年高三上学期第一次联考】已知函数f (x ) = cos 2 x s in 2x ，若存在实数 M ，对任意 x 1 , x 2 ∈R 都有 f ( x 1 ) - f (x 2 ) ≤ M 成立.则 M 的最小值为（）A.3 38B.32C.3 3 4D.2 3 3【变式演练 10】（含参最值）【重庆市经开礼嘉中学 2020 届高三下学期期中】已知函数f (x ) = (x - a - 1)e x -1 - 1x 2 + ax , x > 02（1） 若 f (x ) 为单调增函数，求实数 a 的值；（2） 若函数 f (x ) 无最小值，求整数 a 的最小值与最大值之和.【高考再现】1.【2018 年全国普通高等学校招生统一考试数学（江苏卷）】若函数 ƒ(x ) = 䂸x 3 — t x 䂸 + 1(t C R )在(t h + œ) 内有且只有一个零点，则 ƒ(x )在[ — 1h 1]上的最大值与最小值的和为．2【. 2018 年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标 I 卷）】已知函数 ƒ x = 䂸sinx + sin 䂸x ，则 ƒ x的最小值是 ．3. 【2020 年高考全国Ⅱ卷理数 21】已知函数 f (x ) = sin 2x sin 2x ．3 381 2 n （1） 讨论 f ( x ) 在区间(0,π) 的单调性；（2） 证明： f (x ) ≤ ；（3） 设 n ∈ N *，证明： sin 2x sin 22x sin 24x sin 22nx ≤ 3 ． 4n4. 【2020 年高考天津卷 20】已知函数 f (x ) = x3+ k ln x (k ∈ R ) ， f ' (x ) 为 f ( x ) 的导函数．（Ⅰ）当 k = 6 时，（i ） 求曲线 y = f ( x ) 在点(1, f (1)) 处的切线方程；（ii ）求函数 g (x ) = f (x ) - f '(x ) + 9的单调区间和极值；x（Ⅱ）当 k - 3 时，求证：对任意的 x , x ∈[1, +∞) ，且 x> x ， 有 f '( x ) + f ' (x ) > f (x 1 )- f (x 2 ) ． 1 2 1 2 2x - x 1 25. 【2018 年全国卷Ⅲ理数】已知函数 ƒ x = 䂸+ x + tx 䂸 ln 1 + x — 䂸x ．（1） 若 t = t ，证明：当— 1 ǹ x ǹ t 时，ƒ x ǹ t ；当 x Σ t 时，ƒ x Σ t ；（2） 若 x = t 是 ƒ x 的极大值点，求 t ．6. 【2018 年全国普通高等学校招生统一考试文科】设函数 ƒ(x ) = [tx 䂸 — (3t + 1)x + 3t + 䂸]e x .（Ⅰ）若曲线 y = ƒ(x )在点(䂸h ƒ(䂸))处的切线斜率为 0，求 a ；（Ⅱ）若 ƒ(x)在 x = 1 处取得极小值，求 a 的取值范围.7. 【2018 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（天津卷）】设函数 ƒ(x )=(x — t 1)(x — t 䂸)(x — t 3)，其中t 1h t 䂸h t 3 C R ,且t 1h t 䂸h t 3是公差为 d 的等差数列.（I ）若t 䂸 = t h d = 1h 求曲线 y = ƒ(x )在点(t h ƒ(t ))处的切线方程；（II ） 若 d = 3，求 ƒ(x)的极值；4 4 （III ） 若曲线 y = ƒ(x) 与直线 y =— (x — t 䂸) — 6 3有三个互异的公共点，求d 的取值范围.【反馈练习】1.【2020 届高三 6 月质量检测巩固卷数学（文科）】若函数 f ( x ) = e x (-x 2 + 2x + a )在区间(a , a +1) 上存在最大值，则实数a 的取值范围为（）⎛ -1 A ．, -1 + 5 ⎫ B ． (-1, 2)2 2 ⎪ ⎝ ⎭⎛ -1 C ． 2 ⎫ , 2⎪⎛ -1 D ．2⎫, -1⎪ ⎝ ⎭⎝⎭2. 【黑龙江省大庆市第四中学 2020 届高三下学期第四次检测】若函数 f (x ) = ae x- 1在其定义域上只有 3x个极值点，则实数a 的取值范围（）⎛ e 2 ⎫⎛ e 2 ⎫ A ． -∞, - ⎪ (1, +∞)⎝⎭ B ． -∞, - ⎪⎝⎭C ． ⎛-e , -1 ⎫ (1, +∞)D ． ⎛-∞, - 1 ⎫4e 2 ⎪ e ⎪ ⎝ ⎭⎝ ⎭xx2 x3. 【湖北省金字三角 2020 届高三下学期高考模拟】已知函数 f ( x ) = e + - ln x 的极值点为1 ，函数 2g ( x ) = e x + x - 2 的零点为 x ，函数 h ( x ) = ln x的最大值为x ，则（ ） 2 2x 3A. x 1 > x 2 > x 3B. x 2 > x 1 > x 3C. x 3 > x 1 > x 2D. x 3 > x 2 > x 14. 【湖北省宜昌一中、龙泉中学 2020 届高三下学期 6 月联考】已知函数（ff (e ) = 1，当 x ＞0 时，下列说法正确的是（）ex ）满足 x 2 f '(x ) + 2xf (x ) = 1+ ln x ，① f (x ) 只有一个零点；② f (x ) 有两个零点；- 5 + 5 - 5③ f (x) 有一个极小值点；④ f (x) 有一个极大值点A．①③B．①④C．②③D．②④5.【山东省潍坊市2020届高三6月高考模拟】已知函数f(x)的导函数f'(x)=x4(x-1)3(x-2)2(x-3)，则下列结论正确的是（）A．f (x)在x = 0 处有极大值B．f (x )在x = 2 处有极小值C. f (x)在[1, 3]上单调递减D．f (x )至少有3 个零点6.【云南省曲靖市2020 届高三年级第二次教学质量监测】已知实数a, b 满足0 ≤a ≤1，0 ≤b ≤ 1 ，则函数f (x)=x3 -ax2 +b2 x +1 存在极值的概率为（）A．1B．3C．16 6 3D.37.【云南省红河自治州2019-2020 学年高三第二次高中毕业生复习统一检测】下列关于三次函数f ( x) =ax3 +bx2 +cx +d (a ≠ 0) ( x ∈R) 叙述正确的是（）①函数f (x) 的图象一定是中心对称图形；②函数f (x) 可能只有一个极值点；③当x ≠-b时，f (x) 在x =x 处的切线与函数y = f (x) 的图象有且仅有两个交点；0 3a 0④当x ≠-b时，则过点(x, f (x))的切线可能有一条或者三条．0 3a 0 0A．①③B．②③C．①④D．②④8.【2020 届江西省分宜中学高三上学期第一次段考】已知e 为自然对数的底数，设函数f (x)=1 x2 -ax +b ln x 存在极大值点x ，且对于a 的任意可能取值，恒有极大值f (x )< 0 ,则下列结论2 0 0bb ( ) 中正确的是()A. 存在 x 0= ,使得f (x 0 ) < - 12eB. 存在 x 0= ，使得f (x 0 ) > -e 2C.b 的最大值为e 3D.b 的最大值为 2e 2ax 2⎛ 1 , 3⎫9. 【四川省内江市 2020 届高三下学期第三次模拟考试】函数f （x ）＝ 2+（1﹣2a ）x ﹣2ln x 在区间 2 ⎪⎝ ⎭内有极小值，则 a 的取值范围是（）A ． ⎛ -2, -1 ⎫B ． ⎛-2, -1 ⎫3 ⎪2 ⎪ ⎝ ⎭⎝ ⎭C ． ⎛ -2, - 1 ⎫ ⋃⎛ - 1 , +∞⎫D ． ⎛ -2, - 1 ⎫ ⋃ ⎛ - 1 , +∞ ⎫ 3 ⎪ 3 ⎪ 2 ⎪ 2 ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭⎝ ⎭ ⎝ ⎭10.【河北省衡水中学 2019-2020 学年高三下学期期中】已知函数 f (x ) =(x2- a )2- 3 x 2 -1 - b ，当时（从①②③④中选出一个作为条件），函数有 .（从⑤⑥⑦⑧中选出相应的作为结论，只填出一．组．即可）1 3 5 9① a ≤ - ② < a < ③ a = 1 ，-2 < b < 0 ④ a = 1 ，- < b < -2 或b = 0 ⑤4 个极小值点⑥1 个极小值点2 2 2 4⑦6 个零点⑧4 个零点1. 【福建省漳州市 2020 届高三高考数学（文科）三模】已知函数 f (x ) = ( x + 3) e x- 2m ， m ∈ R .（1）若 m = 3，求 f ( x ) 的最值；2（2）若当 x ≥ 0 时， f (x - 2) + 2m ≥ 1 mx 2+ 2x +1 ，求 m 的取值范围.e 212. 【安徽省合肥七中、三十二中、五中、肥西农兴中学 2020 届高三高考数学（文科）最后一卷】已知函数 f (x ) = 1 x 2- 2x + a ln x ， a > 1 . 2e（1） 讨论 f( x ) 的单调性；（2）若f (x )存在两个极值点x1 、x2 ，求f (x1 )+f (x2 )的取值范围.13.【2020 届安徽省芜湖市高三下学期教育教学质量监测】已知函数f (x)=ae x + 2e -x+(a - 2 )x .（1）若y =f (x )存在极值，求实数 a 的取值范围；（2）设1 ≤a ≤ 2 ，设g (x)= f (x)-(a + 2)cos x 是定义在⎛-∞,π ⎤上的函数.2 ⎥⎝⎦（ⅰ）证明：y =g'(x )在⎛-∞,π ⎤上为单调递增函数( g'(x)是y =g (x )的导函数)；2 ⎥⎝⎦ （ⅱ）讨论y =g (x )的零点个数.14.【广东省惠州市2021 届高三上学期第一次调研】已知函数f (x) =x- ln(ax) ．a（1）若a > 0 ，求f (x) 的极值；（2）若e x ln x +mx 2 +(1 -e x )x +m ≤ 0 ，求正实数m 的取值范围．15.【北京五中2020 届高三（4 月份）高考数学模拟】设函数f（x）＝me x﹣x2+3，其中m∈R.（1）如果f（x）同时满足下面三个条件中的两个：①f（x）是偶函数；②m＝1；③f（x）在（0，1）单调递减.指出这两个条件，并求函数h（x）＝xf（x）的极值；（2）若函数f（x）在区间[﹣2，4]上有三个零点，求m 的取值范围.16.【辽宁省锦州市渤大附中、育明高中2021 届高三上学期第一次联考】已知函数f (x) =ae x - cos x -x(a ∈R).（1）若 a = 1 ，证明：f (x) ≥ 0 ；（2）若f (x) 在(0,π) 上有两个极值点，求实数 a 的取值范围.17.【西南地区名师联盟2020 届高三入学调研考试】已知函数f (x)=1x3 +bx2 +cx ，b 、c 为常数，且3学习界的007- 1< b < 1， f '(1) = 0 . 2（1）证明： -3 < c < 0 ；（2）若 x 是函数 y = f (x ) - cx 的一个极值点，试比较 f ( x - 4) 与 f (-3) 的大小. 0218.【山东省威海荣成市 2020 届高三上学期期中】某水产养殖公司在一片海域上进行海洋牧场生态养殖， 如图所示，它的边界由圆O 的一段圆弧 PMQ （ M 为此圆弧的中点）和线段 PQ 构成.已知圆O 的半径为12 千米， M 到 PQ 的距离为16 千米.现规划在此海域内修建两个生态养殖区域，养殖区域 R 1 为矩形 ABCD ，养殖区域 R 2 为 A M B ，且 A , B 均在圆弧上，C ,D 均在线段 PQ 上，设∠AOM =α.（Ⅰ）用α分别表示矩形 ABCD 和 A M B 的面积，并确定cos α的范围；（Ⅱ）根据海域环境和养殖条件，养殖公司决定在 R 1 内养殖鱼类，在 R 2 内养殖贝类，且养殖鱼类与贝类单位面积的年产值比为3 : 2 .求当α为何值时，能使年总产值最大.19.【江苏省南通市 2020 届高三下学期高考考前模拟卷】已知函数 f (x ) = ( x - a ) e x + b (a , b ∈ R ) ．（1） 讨论函数 f( x ) 的单调性；（2） 对给定的 a ，函数 f( x ) 有零点，求b 的取值范围；（3）当 a = 2 ， b = 0 时， F (x ) = f ( x ) - x + ln x ，记 y = F ( x ) 在区间⎛ 1 ,1⎫上的最大值为 m ，且4 ⎪ ⎝ ⎭m ∈[n, n + 1), n ∈Z ，求n 的值．20.【陕西省西安中学2020-2021 学年高三上学期第一次月考】已知函数f ( x) =x -1 -a ln x ．（1）当 a = 1 时，求f(x)的最小值；（2）设m 为整数，且对于任意正整数n ，(1+1)(1+1) ⋅⋅⋅ (1+1) <m ，求m 的最小值．2 22 2n。

绝密★启用前安徽省合肥七中、农兴中学、合肥32中、合肥五中2020届高三毕业班下学期冲刺高考最后一卷英语试题参考答案解析一、听力1-5 CABBA 6-10 CBACB11-15 CAABC 16-20 CABAC二、阅读21．D 22．B 23．D【解析】这是一篇应用文。

deCaires Taylor's水下展览是一个集艺术和拯救海洋生物于一体的展览。

文章介绍了其中四处展览的特色。

1．细节理解题。

根据第一段的and with over 1,000 underwater artworks across the globe,deCaires Taylor has artfully highlighted the threats to our oceans while actively helping to create new life in them.(全球有超过1000件水下艺术品,deCaires Taylor巧妙地强调了对海洋的威胁,同时积极帮助创造新的生命)可知,deCaires Taylor 水下展览的共同特点是把艺术展览和拯救海洋生物巧妙地结合在一起。

D. Combining art with saving ocean creatures.(把艺术和拯救海洋生物结合在一起)符合以上说法,故选D项。

2．细节理解题。

根据Nassau, Bahamas部分下的Off the coast of Nassau sits the world's largest underwater sculpture, shallow enough for divers to view.(在拿骚的海岸附近,有世界上最大的水下雕塑,浅到足以让潜水者们可以看见)可知,在Nassau可以看到世界上最大的水下雕塑。

故选B项。

3．细节理解题。

根据Great Barrier Reef, Australia部分下的Expected to open to the public in early 2020 , deCaires Taylor's latest project aims to rehabilitate parts of the world's largest reef system.(预计在2020年对公众开放,deCaires Taylor's的最新项目是修复世界上最大的珊瑚礁的部分)可知,Museum of Underwater Art的目的是修复珊瑚礁。

安徽省合肥七中、肥西农兴中学、合肥三十二中、合肥五中2020届高三下学期冲刺高考最后一卷数学(理)试题一、单选题(★★★) 1. 已知集合，，则（）A．B．C．D．(★) 2. 已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限(★★) 3. 设等比数列的前项和为，，则（）A．2B．0C．D．(★★★) 4. 已知，，，则的大小关系为（）A．B．C．D．(★★★) 5. 已知函数，其中为自然对数数的底数，则不等式的解集是（）A．B．C．D．(★★★) 6. 在中，，，点是边上一动点，则（）A．4B．2C．D．(★★)7. “数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出入怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以又有“怀袖雅物”的别号.如图是折扇的示意图，为的一个靠近点的三等分点，若在整个扇形区域内随机取一点，则此点取自扇面（扇环）部分的概率是（）A．B．C．D．(★★★) 8. 如图的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《数书九章》中的“中国剩余定理”.执行该程序框图，则输出的为（）A．B．C．D．(★★★) 9. 函数（，）的部分图象如图所示，则下列说法错误的是（）A．函数的最小正周期为B．直线为函数的一条对称轴C．点为函数的一个对称中心D．函数的图象向右平移个单位后得到的图象(★★★★) 10. 设双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与双曲线左右两支交于，两点，以为直径的圆过，且，则双曲线 C的离心率为（）A．B．C．D．(★★★) 11. 如图，在矩形中，，为边的中点，将沿直线翻折成．若为线段的中点，则在翻折过程中，给出以下命题：①存在某个位置，使平面；②存在某个位置，使；③线段的长是定值；④存在某个位置，使平面．其中所有正确命题的编号是（）A．①②B．①③C．②④D．①③④(★★★★) 12. 若函数，，若有两个零点，则的取值范围为（）A．B．C．D．二、填空题(★) 13. 展开式中的的系数为______．(★★★) 14. 已知等差数列的前 n项和为，且，.数列中，，.则________.(★★★)15. 在四面体ABCD中，若，则当四面体ABCD的体积最大时，其外接球的表面积为________.(★★★) 16. 过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点，与圆交于两点，（从下至上依次为）．若，则直线的斜率为______．三、解答题(★★) 17. 的内角 A， B， C的对边分别为 a， b， c，已知，.（1）求 A及 a；（2）若，求 BC边上的高.(★★★) 18. 如图，四棱锥中，四边形是菱形，，， E是上一点，且，设.（1）证明：平面；（2）若，，求二面角的余弦值.(★★★) 19. 已知椭圆的离心率为，且过点.（1）求椭圆E的方程；（2）若过点的任意直线与椭圆E相交于A，B两点，线段AB的中点为M，求证，恒有.(★★★) 20. 国庆70周年阅兵式上的女兵们是一道靓丽的风景线，每一名女兵都是经过层层筛选才最终入选受阅方队，筛选标准非常严格，例如要求女兵身高（单位： cm）在区间内.现从全体受阅女兵中随机抽取200人，对她们的身高进行统计，将所得数据分为，，，，五组，得到如图所示的频率分布直方图，其中第三组的频数为75，最后三组的频率之和为0.7.（1）请根据频率分布直方图估计样本的平均数和方差（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（2）根据样本数据，可认为受阅女兵的身高 X（ cm）近似服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差.（ i）求；（ ii）若从全体受阅女兵中随机抽取10人，求这10人中至少有1人的身高在174.28 cm以上的概率.参考数据：若，则，，，，，.(★★★★★) 21. 已知函数，.（1）若存在极小值，求实数的取值范围；（2）设是的极小值点，且，证明：.(★★★) 22. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为. （1）判断曲线与曲线的位置关系；（2）设点为曲线上任意一点，求的最大值.(★★★) 23. 已知函数.（1）当，求不等式的解集；（2）设对恒成立，求的取值范围.。

安徽省合肥市2020届高三高考数学（文科）三模试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题3}，集合B ＝{x |﹣2＜x ＜2}，则A ∩B ＝（ ） A.（﹣2，2）B.（﹣1，2）C.（﹣2，3）D.（﹣1，3）2.已知i 是虚数单位，则复数121iz i-=+在复平面上所对应的点位于（ ） A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.在新冠肺炎疫情联防联控期间，某居委会从辖区内A ，B ，C 三个小区志愿者中各选取1人，随机安排到这三个小区，协助小区保安做好封闭管理和防控宣传工作．若每个小区安排1人，则每位志愿者不安排在自己居住小区的概率为（ ） A.16B.13C.12D.234.若,x y R ∈，则22x y >是1xy>成立的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件5.已知函数()11()xxa a f x a =->，则不等式()()2210f x f x +->的解集是（ ） A.1(,1),2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭B.1,(1,)2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭C.1,12⎛⎫-⎪⎝⎭D.11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭6.已知向量a →，b →满足|||2|a b a b →→→→+=-，其中b →是单位向量，则a →在b →方向上的投影是（ ） A.1B.34C.12D.147.公元前1650年的埃及莱因德纸草书上载有如下问题：“十人分十斗玉米，从第二人开始，各人所得依次比前人少八分之一，问每人各得玉米多少斗？”在上述问题中，第一人分得玉米（ ）A.10101010887⨯-斗 B.9101010887⨯-斗 C.8101010887⨯-斗 D.91070881⨯-斗 8.在△ABC 中，若11112sin sin tan tan ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭A B A B ，则（ ） A.C 的最大值为3π B.C 的最大值为23π C.C 的最小值为3π D.C 的最小值为6π 9.某校高一年级研究性学习小组利用激光多普勒测速仪实地测量复兴号高铁在某时刻的速度，其工作原理是：激光器发出的光平均分成两束射出，在被测物体表面汇聚，探测器接收反射光．当被测物体横向速度为零时，反射光与探测光频率相同．当横向速度不为零时，反射光相对探测光会发生频移p 2sin f νϕλ=，其中v 为测速仪测得被测物体的横向速度，λ为激光波长，φ为两束探测光线夹角的一半，如图，若激光测速仪安装在距离高铁1m 处，发出的激光波长为1550nm （1nm ＝10﹣9m ），测得某时刻频移为9.030×109（1/h ），则该时刻高铁的速度约等于（ ）A.320km/hB.330km/hC.340km/hD.350km/h10.已知过抛物线24y x =的焦点F 的直线交抛物线于()11,A x y ，()22,B x y 两点，则4AF BF +的最小值为（ ）A.4B.8C.9D.1211.点P 是正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的侧面DCC 1D 1内的一个动点，若△APD 与△BCP 的面积之比等于2，则点P 的轨迹是（ ） A.圆的一部分B.椭圆的一部分C.双曲线的一部分D.抛物线的一部分12.若关于x 的不等式（a +2）x ≤x 2+a ln x 在区间[1e，e ]（e 为自然对数的底数）上有实数解，则实数a 的最大值是（ ） A.﹣1B.12(1)-+e e e C.(3)1--e e e D.(2)1--e e e 第II 卷（非选择题）二、填空题（题型注释）13.设函数()()222,5,x e x ef x log x x e ⎧<⎪=⎨-⎪⎩（其中e 为自然对数的底数），则f （f （3））的值等于_____．14.某高中各年级男、女生人数统计如表：按年级分层抽样，若抽取该校学生80人中，高二学生有27人，则表中a ＝_____．15.已知数列{}n a 中n a n =，数列{}n b 的前n 项和21nn S =-．若数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T M <对于n N *∀∈都成立，则实数M 的最小值等于_____．16.已知长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱AA 1＝2，AD ＝3，点E ，F 分别为棱BC ，CC 1上的动点．若四面体A 1B 1EF 的四个面都是直角三角形，则下列命题正确的是_____．（写出所有正确命题的编号）①存在点E ，使得1EF A F ⊥； ②不存在点E ，使得11B E A F ⊥；③当点E 为BC 中点时，满足条件的点F 有3个； ④当点F 为CC 1中点时，满足条件的点E 有3个；⑤四面体A1B1EF四个面所在平面，有4对相互垂直．三、解答题（题型注释）“十三五”节能减排综合工作方案》，空气质量明显改善．该市生态环境局统计了某月（30天）空气质量指数，绘制成如图频率分布直方图．已知空气质量等级与空气质量指数对照如表：（1）在这30天中随机抽取一天，试估计这一天空气质量等级是优或良的概率； （2）根据体质检查情况，医生建议：当空气质量指数高于90时，某市民不宜进行户外体育运动．试问：该市民在这30天内，有多少天适宜进行户外体育运动？ 18.如图，边长为2的等边ABC 所在平面与菱形11A ACC 所在平面互相垂直，且11//BC B C ，112BC B C =,11AC =．（1）求证：11//A B 平面ABC ；（2）求多面体111ABC A B C -的体积V ．19.已知函数())0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示.（1）求函数()f x 的解析式； （2）将函数()f x 的图象向左平移4π个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到函数()g x 的图象，求函数()g x 在区间[]0,π上的值域.20.在平面直角坐标系xOy 中，已知点P 是椭圆E ：24x +y 2＝1上的动点，不经过点P 的直线l 交椭圆E 于A ，B 两点．（1）若直线l 经过坐标原点，证明：直线P A 与直线PB 的斜率之积为定值；（2）若0OA OB OP ++=，证明：△ABP 三边的中点在同一个椭圆上，并求出这个椭圆的方程．21.已知函数f （x ）＝e x ﹣e ﹣x ，g （x ）＝ax （e 为自然对数的底数），其中a ∈R ． （1）试讨论函数F （x ）＝f （x ）﹣g （x ）的单调性；（2）当a ＝2时，记函数f （x ），g （x ）的图象分别为曲线C 1，C 2．在C 2上取点P n （x n ，y n ）作x 轴的垂线交C 1于Q n ，再过点Q n 作y 轴的垂线交C 2于P n +1（x n +1，y n +1）（n ∈N *），且x 1＝1． ①用x n 表示x n +1；②设数列{x n }和{ln x n }的前n 项和分别为S n ，T n ，求证：S n ﹣T n +1＞n ln2．22.在平面直角坐标系中，直线m 的参数方程为 cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，0≤α＜π）．以坐标原点为极点，以x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．曲线E 的极坐标方程为ρ2+2ρcos θ﹣3＝0，直线m 与曲线E 交于A ，C 两点．（1）求曲线E 的直角坐标方程和直线m 的极坐标方程；（2）过原点且与直线m 垂直的直线n ，交曲线E 于B ，D 两点，求四边形ABCD 面积的最大值．23.已知函数()|22||1|f x x x =--+的最小值为m ． （1）求m 的值；（2）若0a b c m +++=，证明：2222420a b c b c ++-++．参考答案1.B【解析】1.直接用交集运算求解.作示意图如图所示：则(1,2)A B=-.故选：B.2.C【解析】2.利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数z，从而可得结果.由于复数()()()()12112131112i ii izi i i-----===++-，在复平面的对应点坐标为13,22⎛⎫--⎪⎝⎭.∴在第三象限. 故选：C.3.B【解析】3.基本事件总数336n A==，每位志愿者不安排在自己居住小区包含的基本事件个数111 2112m C C C==,由此能求出每位志愿者不安排在自己居住小区的概率.由题意，基本事件总数336n A==，每位志愿者不安排在自己居住小区包含的基本事件个数1112112m C C C==，∴每位志愿者不安排在自己居住小区的概率为2163mPn===,故选：B 4.B【解析】4. 根据()100x x y y x y y y->⇔>⇔->，解出不等式可得：22x y >成立；反之，举例可知不成立． 由于()0,1000y x x y y x y x y y y >⎧->⇔>⇔->⇔⎨->⎩或00y x y <⎧⎨-<⎩， 所以22x y >， 反之不成立， 例如2,1x y ==-，满足22x y >，而1xy >不成立． 所以22x y >是1xy>成立的必要不充分条件． 故选：B ． 5.D【解析】5.首先判断()f x 的单调性和奇偶性，由此化简不等式，求得不等式的解集.()f x 的定义域为R ，且()()1x xf x a f x a -=-=-，所以()f x 为奇函数， 由于1a >，所以()f x 在R 上递减. 由()()2210f xf x +->，得()()()2211f x f x f x >--=-，所以221x x <-，()()2212110x x x x +-=-+<，解得112x -<<.所以不等式的解集为11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭.故选：D 6.C【解析】6.由条件|||2|a b a b →→→→+=-平方求出a b →→⋅，利用向量在向量上的投影公式计算即可.|||2|a b a b →→→→+=-，222a b a b →→→→⎛⎫⎛⎫∴= ⎪ ⎭⎝-⎪⎝⎭+，2222244a a b b a a b b ∴+⋅+=-⋅+，b →是单位向量，12a b →→∴⋅=， a →∴在b →方向上的投影为12||a bb →→→⋅=， 故选：C 7.B【解析】7.直接根据等比数列的求和公式求解即可． 由题意可知，每人所得玉米数构成公比为78的等比数列；且数列的前10 项和为10； 设首项为a ；则1071810718a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝=-⎭-； ∴910101010110108878718a ⨯⨯==--. 故选：B ． 8.A【解析】8. 由商数关系，可得11cos cos 2 sin sin sin sin A B A B A B ⎛⎫⎪⎝++⎭=，结合辅助角公式，化简整理为sin sin 2sin B A C +=，于是2b a c +=，由均值不等式可知，()224a b ab c +≤=，由余弦定理知，222cos 2a b c C ab+-=，将所得结论代入进行运算可得1cos 2C ≥，结合三角形内角关系，即可求解． 由题可知，1111cos cos 22sin sin tan tan sin sin A B A B A B A B ⎛⎫+=+=⎛⎫⎪⎝+ ⎪⎝⎭⎭，所以()()sin sin 2sin cos cos sin 2sin 2sin B A B A B A A B C +=+=+=， 由正弦定理知，sin sin sin a b cA B C==，所以2b a c +=， 由均值不等式可知，()224a b ab c +≤=，由余弦定理知，222222232331cos 1122222a b c c ab c c C ab ab ab c +--===-≥-=，因为()0,C π∈，所以03C π<≤，即C 的最大值为3π． 故选：A ． 9.D【解析】9.先计算sin ϕ，再根据所给公式计算v 即可.3sin ϕ-==故99.03010⨯=即9.03=故9.03349982.480.04v ⨯=≈米/小时350km /h ≈，故选：D 10.C【解析】10.当直线AB 的斜率不存在时，可得1x =，从而可得121x x ==，利用焦点弦公式求出4AF BF +；当直线AB 的斜率存在时，设出直线AB 方程：()1y k x =-，将直线方程与抛物线方程联立，可得121=x x ，根据焦点弦公式借助基本不等式即可求解. 由题意可知1212444522p p AF BF x x x x ⎛⎫+=+++=++ ⎪⎝⎭， 当直线AB 的斜率不存在时，可得1x =，所以121x x ==，即410AF BF +=；当直线AB 的斜率存在时，设斜率为k ，则直线AB 方程：()1y k x =-， 则()214y k x y x⎧=-⎨=⎩，整理可得()222240k x k x k -++=，所以121=x x ，所以122214454559AF BF x x x x +=++=++≥=， 当且仅当211,22x x ==时，取等号， 故4AF BF +的最小值为9. 故选：C 11.A【解析】11.根据题意得，动点P 到侧棱BC 的距离实际上是P 点到点C 的距离，点P 到侧棱AD 的距离就是P 到点D 的距离；根据面积比转化为高的比，建立平面直角坐标系求解即可得到结论．由题意得，若APD △与BCP 的面积之比等于2， 因为两个三角形的底相等；故对应的高之比为2:1；动点P 到侧棱BC 的距离实际上是P 点到点C 的距离，点P 到侧棱AD 的距离就是P 到点D 的距离．即2PD PC =；建立如图所示的坐标系，则()()0,0,,0C D a ，设(),P x y ，故()222PD PC =；()()22224x a y x y ∴-+=+；2223230x ax y a ∴++-=；故点P 的轨迹是圆的一部分． 故选：A ． 12.D【解析】12.先对2(2)ln a x x a x +≤+化简，2(ln )2a x x x x -≤-，用导数判断ln x x -在x ∈1[,]e e的符号为正，可转化为22ln -≤-x x a x x，在x ∈1[,]e e 有解，设()f x = 22ln x xx x --，利用导数求函数()f x 的最大值max ()f x ，则a max ()f x ≤，即实数a 的最大值为max ()f x .由2(2)ln a x x a x +≤+，得2(ln )2a x x x x -≤-，令()g x = ln x x -，x ∈1[,]e e ，则1()1g x x '=-，则()g x 在1[,1)e递减，在(1,]e 递增，则()(1)10g x g ≥=>， 即由2(ln )2a x x x x -≤-，得22ln -≤-x x a x x ，x ∈1[,]e e 有解， 设()f x = 22ln x x x x--，x ∈1[,]e e ， 则()f x '=221(22)(ln )(1)(2)(ln )x x x x x xx x ------2(1)(22ln )(ln )x x x x x -+-=-， 令()22ln u x x x =+-，x ∈1[,]e e ，则2()1u x x'=-，故()u x 在1[,2)e递减，在(2,]e 递增，故()(2)42ln 20u x u ≥=->，故()f x 在1[,1)e 递减，在(1,]e 递增，又1()f e =2120e e e -<+，22()1e ef e e -=-0>， 故2max2()()1e e f x f e e -==-，故a ≤221e ee --， 即实数a 的最大值为221e ee --. 故选：D. 13.2e 2【解析】13.直接根据分段函数解析式计算可得；解：因为()222,()105,x e x ef xg x x e⎧<⎪=⎨-⎪⎩ 所以()()223log 352f =-=，所以()()()2322ff f e==故答案为：22e 14.480；【解析】14.根据分层抽样满足每个个体被抽到的概率是相等的，建立等量关系式，求得结果. 根据题意，由分层抽样方法得8027592528563517520563517a =++++++，解得480a =， 故答案为：480. 15.4【解析】15.由数列{}n b 的前n 项和21nn S =-得，12n n b -=，则112n n n a n b -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，利用错位相减法得到12442n n n T -+=-<，即可得出结论. 由数列{}n b 的前n 项和21nn S =-得，当2n ≥时，有()()11121212nn n n n n b S S ---=-=---=，当1n =时，有11211S b =-==也适合上式， 故12n nb -=，n a n =，112n n n a n b -⎛⎫∴=⋅ ⎪⎝⎭，()0121111112312222n n T n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=⨯+⨯+⨯++⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()12311111123222222nn T n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯++⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由()()12-得：1231111111111211222222212nn n nn T n n -⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭=+++++-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-()1222nn ⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭，即12442n n n T -+=-<. 又n T M <对于n N *∀∈都成立， 所以4M ≥,故实数M 的最小值等于4. 故答案为：4. 16.①②④【解析】16.①②利用假设存在，推出条件正确，推出矛盾，则不存在；③④建立空间坐标系，利用已知条件设1,BE m C F n ==，写坐标，利用垂直关系，求出,m n 的值，即可得出结论；⑤利用线面垂直推面面垂直关系即可得出结论.由题意知11A B ⊥面1B EF ，则11111111,,A B B E A B B F A B EF ⊥⊥⊥， 则1111,A B E A B F 为直角三角形，在1B EF 中，由题意知1B E 不能垂直1B F ， 又1B EF 为直角三角形，则190B EF ∠=︒或190B FE ∠=︒； ①假设存在点E ，使得1EF A F ⊥， 又111111,A B EF A B A F A ⊥=，则EF ⊥面11A B F ，即EF ⊥1B F ，满足题意，①正确； ②假设存在点E ，使得11B E A F ⊥， 又111A B B E ⊥，1111A B A F A =，则1B E ⊥面11A B F ，则11B E B F ⊥这与1B E 不能垂直1B F 矛盾， 所以不存在点E ，使得11B E A F ⊥，②正确；③建立如图所示的空间坐标系，设1,BE m C F n ==，则03m <<，02n <<，由题意得()()130,0,0,2,,0,,3,02B E F n ⎛⎫⎪⎝⎭，()132,,0,,3,02EF n B F n ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭,若EF ⊥1B F ，则10EF B F =， 即()9202n n -+=，整理得：22490n n -+=， ∆<0，所以方程无实根；③不正确.④()()()10,0,0,2,,0,1,3,0B E m F ，()()()111,3,0,1,3,0,2,,0EF m B F B E m =--==， 若EF ⊥1B F ，则10EF B F =，则()81330,3m m -+-==， 若EF ⊥1B E ，则10EF B E =， 则()230,1m m m -+-==或2m =， 故④正确；⑤由题意知11A B ⊥面1B EF ，若EF ⊥面11A B E ，由图形观察可知：有3对相互垂直，分别为面11A B E ⊥面1B EF ，面11A B F ⊥面1B EF ，面11A B E ⊥面1A EF .则⑤不正确. 故答案为：①②④. 17.（1）1415；（2）27【解析】17.（1）先根据频率分布直方图求出各组的频率，列表表示，再由空气质量等级是优或良，则空气质量指数为(0,100]，求出概率；（2）由（1）中频率表，计算空气质量指数高于90的频率，求出频数. （1）由频率分布直方图，列出分组和对应的频率：由130151030m ++++=，得15m =，空气质量等级是优或良，则空气质量分数为(0,100]， 故P =114130215m --=，即估计一天空气质量等级是优或良的概率为1415. （2）由空气质量指数高于90时，某市民不宜进行户外体育运动， 则适宜进行户外体育运动的天数为130(1)2730m ⨯--=天. 18.（1）证明见详解；（2）52.【解析】18.（1）先利用已知条件得到线面平行，再证面//ABC 面111A B C ，即可得出结论；（2）利用已知条件分别求出三棱锥111B A B C -和四棱锥11B A ACC -的体积，相加即为多面体111ABC A B C -的体积.（1）四边形11A ACC 是菱形，∴11//AC A C ，又AC ⊂面ABC ,11A C ⊄面ABC ，11//A C 面ABC ,同理得，11//B C 面ABC ，1111,AC B C ⊂面111A B C ，且11111AC B C C =，∴面//ABC 面111A B C ，又11A B ⊂面111A B C ，11//A B ∴平面ABC ；（2）1111111//,//,60AC AC BC B C AC B ACB ∴∠=∠=︒，11112,22AC AC B C BC ====，1111122A B C S=⨯⨯=在菱形11A ACC 中，113AC =，160ACC ∴∠=︒，11222A ACC S=⨯⨯=面ABC ⊥面1ACC ，取AC 的中点M ，连接1,BM C M ，∴BM ⊥面1ACC ，1C M ⊥面ABC ，由（1）知，面//ABC 面111A B C ，∴ 点B 到面111A B C 的距离为1C M =又点B 到面11A ACC 的距离为BM =，连接1BC ，则111111532B A B C B A ACC V V V --=+=⨯=⎝.19.（1）()24f x x π⎛⎫- ⎝=⎪⎭；（2）⎡-⎣.【解析】19.（1）由五点法作图以及特殊点的坐标求出ω、ϕ的值，可得()f x 得解析式．（2）利用函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，求得()g x 的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，求出函数()g x 在区间[0，]π上的值域．解：（1）由图象可得()01f =-可得sin 2ϕ=-，又||2ϕπ<，故4πϕ=-，又08f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，故84k ωπππ⨯-=即82k ω=+，其中k ∈N . 因为()f x 在0,8π⎛⎫⎪⎝⎭为增函数，故82T π≤即4T π≥，所以08ω<≤，所以2ω=，故()24f x x π⎛⎫- ⎝=⎪⎭.（2）将函数()f x 的图象向左平移4π个单位，所得图象对应的解析式为24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到函数()g x 的图象，则()4g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当[]0,x π∈时，5,444x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，故sin 42x π⎡⎤⎛⎫+∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，故()g x 的值域为⎡-⎣.20.（1）证明见解析；（2）证明见解析，椭圆的方程为2241x y +=.【解析】20.（1）设11(,)A x y ，22(,)P x y ，则11(,)B x y --，再将PA PB k k ⋅表示出来，根据,A B 在椭圆上化简，证得直线P A 与直线PB 的斜率之积为定值；（2）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)P x y ，由0OA OB OP ++=，得1230x x x ++=，1230y y y ++=，再得到AB 的中点1212(,)22x x y y D ++，化简得33(,)22x y D --，又223314x y +=，则2233()4()122x y -+-=，知D 在椭圆2241x y +=上，同理可得,AP BP 的中点都在椭圆2241x y +=，得证.（1）设11(,)A x y ，22(,)P x y ，则11(,)B x y --， 则PA PBk k ⋅2212122122121221y y y y y y x x x x x x ----=⋅=----， 又222214x y +=，221114x y +=，相减得222221211()4y y x x -=--， 得PA PB k k ⋅14=-，即直线P A 与直线PB 的斜率之积为定值，定值为14-. （2）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)P x y ，由0OA OB OP ++=， 得1230x x x ++=，1230y y y ++=， AB 的中点1212(,)22x x y y D ++，化简得33(,)22x y D --， 又223314x y +=，则2233()4()122x y -+-=，知D 在椭圆2241x y +=上，同理可得,AP BP 的中点都在椭圆2241x y +=，即△ABP 三边的中点在同一个椭圆上，这个椭圆的方程为2241x y +=.21.（1）当2a ≤时，()F x 在R 上递增；当2a >时，()F x在(,ln -∞，)+∞上递增，在(ln 上递减.（2）①11()2nn x x n x e e -+=-；②证明见解析.【解析】21.（1）求出21()1()x x xx xe ae F x e a e e-+'=+-=，先讨论当0a ≤时，()0F x '>，得到单调性，令x t e =(0)t >，2()1u t t at =-+，则24(2)(2)a a a ∆=-=-+，再分02a <≤和2a >判断导函数()F x '的符号，得到单调性，综合并下结论；（2）①根据点n P ，求得点n Q ，再得到1n P +，从而得到n x 与1n x +的关系；②可用数学归纳法证明，递推时，用到数列前n 项和和通项公式的关系，并分析两边从*,n k k N =∈到1n k =+时，分析左右的特点，证得不等式.（1）()xxF x e eax -=--，则21()1()x x xx xe ae F x e a e e -+'=+-=，令x t e =(0)t >，2()1u t t at =-+，则24(2)(2)a a a ∆=-=-+，当0a ≤时，()0F x '>，()F x 在R 上递增；当02a <≤时，0∆≤，则()0u t ≥，则()0F x '≥，()F x 在R 上递增；当2a >时，当2(0,(,)22a a a t -+∈+∞时，()0u t >，即24ln2aa x 或24ln2aa x 时，()0F x '>；()F x 在(,ln 2a --∞，(ln ,)2a ++∞上递增；当(22a a t -+∈时，()0u t <，即x ∈(ln ,(ln 22a a -+时，'()0F x <；()F x 在(ln )22a a -+上递减；综上可得，当2a ≤时，()F x 在R 上递增；当2a >时，()F x 在(,ln -∞，)+∞上递增，在(ln 上递减.（2）①由题(,2)n n n P x x ，又n x xx x y e e-=⎧⎨=-⎩，得(,)n nx x n n Q x e e --， 又过点Q n 作y 轴的垂线交C 2于P n +1（x n +1，y n +1）， 则1nn x x n y ee -+=-12n x +=，得11()2nn x x n x e e -+=-. ②可用数学归纳法证明如下(i)当1n =时，111S x ==，2121ln ln ln 2e e T x x -=+=， 则左边12121ln ln ln 212e e e S T e e --=-=>-，即1n =时，不等式成立； (ii)假设n k =，*k N ∈时，不等式成立，即1ln 2k k S T k +->，则当1n k =+时，12k k S T ++-112()(ln )k n k k S x T x +++=+-+12ln 2ln k k k x x ++>+-， 又12ln k k x x ++-1112ln ln 2k k k x x x e e e+++-=>- 即12k k S T ++-12ln 2ln k k k x x ++>+-(1)ln 2k >+，即当1n k =+时，不等式也成立.综合(i) (ii)可知，证式成立.22.（1）()2214x y ++=，()R θαρ=∈；（2）7【解析】22.（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． （2）利用极径的应用和三角函数关系式的恒等变换求出结果．（1）曲线E 的极坐标方程为22cos 30ρρθ+-=，所以曲线E 的直角坐标方程为()2214x y ++=， 因为直线m 的参数方程为 cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，0απ≤<） 所以tan y x α=⋅，所以直线m 的极坐标方程为()R θαρ=∈ ．（2）设点,A C 的极坐标分别为()()12,,,ραρα．由22cos 30θαρρθ=⎧⎨+-=⎩ 可得22cos 30ρρα+-=， 12122cos ,3ρραρρ∴+=-=-，12AC ρρ∴-＝＝同理得BD =设四边形ABCD 面积为S ，221cos 3sin 372S AC BD αα=⋅=≤+++=， 当且仅当22cos 3sin 3αα+=+，即4πα=或3 4π时，等号成立，∴四边形ABCD 面积的最大值为7．23.（1）2m =-；（2）证明见解析；【解析】23. （1）写出分段函数解析式，画图求得函数最小值；（2）结合（1）可得2a b c ++=，然后配凑柯西不等式证明2222420a b c b c ++-++．（1）解：3,1()22113,113,1x x f x x x x x x x -<-⎧⎪=--+=--<⎨⎪-⎩，作出函数的图象如图：根据函数图象得，()f x 的最小值为2-，2m ∴=-；（2）证明：由（1）知，2a b c ++=，22222222[(1)(2)](111)[1(1)1(2)1](1)9a b c a b c a b c ∴+-+++++-++=+++=， 222(1)(2)3a b c ∴+-++，当且仅当12a b c =-=+，2a b c ++=，即1a =，2b =，1c =-时等号成立， 2222420a b c b c ∴++-++．。

绝密★启用前安徽省合肥七中、合肥十中2020届高三毕业班下学期高考模拟联合考试数学(文)试题(解析版)2020年6月一、选择题（共12小题）.1.设集合A ＝{x |x ＞1}，B ＝{x |x （x ﹣2）＜0}，则A ∩B 等于（ ）A. {x |x ＞2}B. {x |0＜x ＜2}C. {x |1＜x ＜2}D. {x |0＜＜1} 【答案】C【解析】【分析】先解一元二次不等式化简集合B ，再与集合A 求交集，求A ∩B 即可． 【详解】∵集合20{|()}0}2{|B x x x x x ＝﹣＜＝＜＜，又1{|}A x x ＝＞，{|12}A B x x ∴⋂＝＜＜，故选：C ．【点睛】本题考查集合的交集，考查一元二次不等式解法，属于基础题.2.下列说法正确的是（ ）A. 命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为“若x 2＝1，则x ≠1”B. 命题“∃x 0∈R ，20x +x 0﹣1＜0”的否定是“∀x ∈R ，x 2+x ﹣1＞0”C. 命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”的逆否命题为假命题D. 若“p 或q ”为真命题，则p ，q 中至少有一个为真命题【答案】D【解析】【分析】对于A ，根据否命题的概念可得到结论; 对于B ，特称命题的否定是全称命题；对于C ，逆否命题与原命题为等价命题，即可判断出正误；对于D ，利用“或”命题真假的判定方法即可得出．【详解】对于A ，命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为“若x 2≠1，则x ≠1”，因此不正确；对于B ，命题“∃x 0∈R，20x +x 0﹣1＜0”的否定是“∀x ∈R，x 2+x ﹣1≥0”，因此不正确；对于C ，命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”正确，其逆否命题为真命题，因此不正确；对于D ，命题“p 或q ”为真命题，则p ，q 中至少有一个为真命题，正确． 故选：D ．【点睛】这个题目考查了四种命题的真假性的判断，涉及到命题的否定和否命题的写法，否命题既否结论又否条件，命题的否定只否结论；特称命题的否定是全称命题，需要换量词，否结论，不变条件.3.函数()3x f x e x =+的零点个数是 （ ）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】【分析】根据零点的判断定理，即可求出函数f （x ）的零点个数．【详解】：∵f（x ）=e x +3x 为增函数，∵f（0）=1＞0，f （-1）=e -1-3＜0，∴在（-1，0）内函数f （x ）存在唯一的一个零点，即零点的个数为1个，故选B.【点睛】本题主要考查函数零点个数的判断，函数零点的判断条件是解决本题的关键．。