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高中物理必修二第五章曲线轨迹知识点总
结
第五章曲线轨迹是高中物理必修二的重要章节，是进一步理解力学与数学知识的基础，本文总结了该章节的重点内容。
1. 曲线的切线和法线
- 任意一点的切线方向是该点速度方向
- 切线方向发生改变，速度大小不变，产生加速度
- 切线方向不变，速度大小改变，产生切向加速度
- 法线方向是切线方向的逆时针旋转90度
2. 一段曲线的长度
- 一段曲线的长度可以近似看作许多小线段的长度之和
- 当小线段长度趋近于0时，该总长度即为曲线长度
3. 曲率和半径
- 曲率指曲线在某一点的弯曲程度
- 曲率越大，曲线弯曲程度越大
- 半径是曲率的倒数，其值越小，曲率越大
4. 圆的运动学方程
- 圆的运动学方程：x²+y²=r²
- 圆的运动可用向量表示：r(t)=<xcosωt,ysinωt>
- 圆的速度大小和方向是一定的
- 圆的加速度大小不变，方向沿切线方向
- 圆的轨迹是一段不断变化曲率的运动轨迹
以上就是第五章曲线轨迹的重点知识点总结。
了解了这些知识，可以更好地理解曲线运动的规律和特点，为高中物理学习打好基础。
第五章曲线运动第六节向心力从2011年4月29日召开的铁路自主创新新闻发布会上获悉：我国已经在时速200千米/时的技术平台上自主创新研制时速300千米/时动车组.2007年年底，国内首列时速300千米/时动车组已问世．据介绍，这些时速300千米/时动车组国产占有率达到80%以上，已经在京津、武广、京沪等客运专线上投用，成为我国高速客运的主力车型．设计这些动车转弯时，就用到了圆周运动的相关知识．1．了解向心力的概念，知道向心力是根据力的效果命名的，会分析向心力的来源．2．知道向心力大小与哪些因素有关，理解向心力公式的含义并能进行简单计算．3．能根据牛顿第二定律理解向心力的表达式，知道向心力公式是牛顿第二定律的一种表现形式．4．知道在变速圆周运动中向心力为合力沿半径方向的分力．一、向心力1．定义：做匀速圆周运动的物体受到的指向圆心的合力．2．方向：始终指向圆心，与速度方向垂直．3．公式：F n＝mω2r或F n＝m v2r．4．来源：(1)向心力是按照力的效果命名的．(2)匀速圆周运动中向心力可能是物体所受外力的合力，也可能是某个力的分力．5．作用：产生向心加速度，改变线速度的方向．二、变速圆周运动做变速圆周运动的物体所受的合力并不指向圆心，此时合力F可以分解为互相垂直的两个力：跟圆周相切的分力F t和指向圆心方向的分力F n.1．F n产生向心加速度，与速度方向垂直，改变速度的方向．2．F t产生切向加速度，与速度方向在一条直线上，改变速度的大小．3．物体做加速圆周运动时，合力方向与速度方向的夹角小于90°，如图甲所示，其中F t只改变速度的大小，F n只改变速度的方向．F n产生的就是向心加速度．同理，物体做减速圆周运动时，合力方向与速度方向的夹角大于90°，如图乙所示，其中F t 只改变速度的大小，F n只改变速度的方向．三、一般曲线运动1．定义：运动轨迹既不是直线也不是圆周的曲线运动．2．处理方法：将曲线运动分成许多小段，每一小段都可看成圆周运动的一部分．几种常见的匀速圆周运动的实例一、实例二、注意点1．抓住研究对象，明确其质量为多少．2．确定圆周运动所在平面，明确圆周运动的轨迹、半径及圆心．3．进行受力分析，确定向心力．4．抓住所给条件是角速度ω还是周期T或是线速度大小v. 5．选用适当的公式进行求解．三、典例剖析(多选)如图所示，一个内壁光滑的圆锥形筒固定不动，有两个质量相等的小球A和B紧贴着内壁分别在图中所示的水平面内做匀速圆周运动，则以下说法中正确的是( ) A．A球的线速度必定大于B球的线速度B．A球的角速度必定小于B球的角速度C．A球的运动周期必定小于B球的运动周期D．A球对筒壁的压力必定大于B球对筒壁的压力解析：小球A或B的受力情况如图所示，由图可知，两球的向心力都来源于重力G和支持力F N的合力，建立如图所示的坐标系，则有FN1＝F N sin θ＝mg，FN2＝F N cos θ＝F，所以F＝mgcot θ.也就是说F N在指向圆心方向的分力或重力G和支持力F N的合力F＝mgcot θ提供了小球做圆周运动所需的向心力，可见A、B两球的向心力大小相等．比较两者线速度大小时，由F＝m v2r可知，r越大，v一定较大，故选项A正确．比较两者角速度大小时，由F＝mrω2可知，r越大，ω一定较小，故选项B正确．比较两者的运动周期时，由F ＝mr ⎝⎛⎭⎫2πT 2可知，r 越大，T 一定较大，故选项C 不正确．由受力分析图可知，小球A 和B 受到的支持力F N 都等于mgsin θ，故选项D 不正确．综上所述，本题正确选项为A 、B. 答案：AB1．(多选)对于做匀速圆周运动的物体所受的合力，下列判断正确的是(AD ) A ．大小不变，方向一定指向圆心 B ．大小不变，方向也不变C ．产生的效果既改变速度的方向，又改变速度的大小D ．产生的效果只改变速度的方向，不改变速度的大小 2．(多选)做匀速圆周运动的物体所受的向心力是(BC )A ．因向心力总是沿半径指向圆心，且大小不变，故向心力是一个恒力B ．因向心力指向圆心，且与线速度方向垂直，所以它不能改变线速度的大小C ．物体所受的合外力D ．向心力和向心加速度的方向都是不变的3．甲、乙两个物体都做匀速圆周运动，其质量之比为1∶2，转动半径之比为1∶2，在相同的时间里甲转过60°，乙转过45°，则它们的向心力大小之比为(C )A ．1∶4B ．2∶3C ．4∶9D ．9∶16 4．一质点沿半径为r 的圆周做匀速圆周运动，向心力的大小为F.当保持半径不变，使角速度增大到原来的2倍时，向心力的大小比原来增大18 N ，则原来向心力的大小为F ＝________N.答案：6一、选择题1．关于圆周运动的向心力，下列说法正确的是(AB)A．向心力是根据力的作用效果命名的B．向心力可以是多个力的合力，也可以是其中一个力或多个力的分力C．做圆周运动的物体，所受的合力一定等于向心力D．向心力的效果是改变物体的线速度的大小2．如图所示，在匀速转动的圆筒内壁上紧靠着一个物体一起运动，充当物体所受向心力的是(B)A．重力B．弹力C．静摩擦力 D．滑动摩擦力3．质量为m的木块从半球形的碗口下滑到碗底的过程中，如果由于摩擦力的作用，使得木块的速率不变，那么(B)A．下滑过程中木块的加速度为零B．下滑过程中木块所受合力大小不变C．下滑过程中木块所受合力为零D．下滑过程中木块所受的合力越来越大4．如图所示，在双人花样滑冰运动中，有时会看到被男运动员拉着的女运动员离开地面在空中做圆锥摆运动的精彩场面，目测体重为G的女运动员做圆锥摆运动时与水平冰面的夹角约为30°，重力加速度为g，估算知该女运动员(B)A．受到的拉力为G B．受到的拉力为2GC．向心加速度为3g D．向心加速度为2g解析：如图所示，F1＝Fcos 30°，F2＝Fsin 30°，F2＝G，F1＝ma，所以a＝3g，F＝2G.选项B正确．5．在水平冰面上，狗拉着雪橇做匀速圆周运动，O点为圆心．能正确表示雪橇受到的牵引力F及摩擦力F f的图是(C)解析：由于雪橇在冰面上滑动，其滑动摩擦力方向必与运动方向相反，即沿圆的切线方向．因做匀速圆周运动，合力一定指向圆心，由此可知C正确．6．一种玩具的结构如图所示，竖直放置的光滑铁圆环的半径为R＝20 cm，环上有一穿孔的小球m，仅能沿环做无摩擦滑动．如果圆环绕通过环心的竖直轴线O1O2以ω＝10 rad/s的角速度旋转，g＝10 m/s2，则小球相对环静止时球与圆心O的连线与O1O2的夹角θ可能为(C)A．30° B．45°C．60° D．75°解析：向心力F＝mgtan θ＝mω2Rsin θ，cos θ＝gRω2＝12，θ＝60°.故正确答案为C.7．如图所示，天车下吊着两个质量都是m的工件A和B，系A的吊绳较短，系B的吊绳较长，若天车运动到P处突然停止，则两吊绳所受的拉力F A和F B的大小关系(A)A．F A>F B B．F A<F BC．F A＝F B＝mg D．F A＝F B>mg解析：A、B物体以水平速度摆动，T－mg＝mv2 r.8．关于向心力的说法中错误的是(A)A．向心力总是沿半径指向圆心，且大小不变，向心力是一个恒力B．向心力是沿着半径指向圆心方向的合力，是根据力的作用效果命名的C．向心力可以是重力、弹力、摩擦力等各种力的合力，也可以是其中某个力的分力D．向心力只改变物体线速度的方向，不可能改变物体线速度的大小9．上海磁悬浮线路的最大转弯处半径达到8 000 m，如图所示，近距离用肉眼看几乎是一条直线，而转弯处最小半径也达到1 300 m，一个质量为50 kg的乘客坐在以360 km/h的不变速率行驶的车里，随车驶过半径为2 500 m的弯道，下列说法正确的是(AD)A．乘客受到的向心力大小约为200 NB．乘客受到的向心力大小约为539 NC．乘客受到的向心力大小约为300 ND．弯道半径设计特别大可以使乘客在转弯时更舒适解析：由F n＝m v2r，可得F n＝200 N，选项A正确．设计半径越大，转弯时乘客所需要的向心力越小，转弯时就越舒适，D正确．二、非选择题10．一个做匀速圆周运动的物体，如果转动半径不变而速率增加到原来的3倍，则其向心力增加到原来的______________倍；若向心力增加了80 N，则物体原来所受的向心力大小为________ N.解析：由F＝m v2r可知F变为原来的9倍．由题意得9F－F＝80 N，故F＝10 N.答案：9 1011．如图所示，行车的钢丝长L＝3 m，下面吊着质量为m＝2.8×103 kg的货物，以速度v＝2 m/s匀速行驶的行车突然刹车，钢丝绳受到的拉力是________N.解析：刹车时，货物绕悬挂点做圆周运动， 则T －mg ＝m v 2L ，得T ＝mg ＋m v2L ，代入数据得T ＝3.173×104N. 答案：3.173×104N12．现在有一种叫做“魔盘”的娱乐设施(如图所示)，“魔盘”转动很慢时，盘上的人都可以随盘一起转动而不至于被甩开．当盘的转速逐渐增大时，盘上的人便逐渐向边缘滑去，离转动中心越远的人，这种滑动的趋势越厉害．设“魔盘”转速为6 r/min ，一个体重为30 kg 的小孩坐在距离轴心1 m 处随盘一起转动(没有滑动)．则：这个小孩受到的向心力有多大？这个向心力是由什么力提供的？解析：由n ＝6 r/min 可知ω＝2πn 60＝π5，又知r ＝1 m ，m ＝30 kg. 则小孩受到的向心力F n ＝m ω2r ＝30×⎝⎛⎭⎫π52×1 N ≈11.8 N.对小孩进行受力分析可知，竖直方向受力平衡，水平方向仅受静摩擦力，所以小孩做圆周运动的向心力由静摩擦力提供．答案：11.8 N 由静摩擦力提供。
(名师选题)部编版高中物理必修二第五章抛体运动知识点总结归纳完整版单选题1、某物体做平抛运动时，它的速度方向与水平方向的夹角为θ，其正切值tan θ随时间t 变化的图象如图所示，（g 取10m/s 2）则（ ）A ．第1s 物体下落的高度为5mB ．第1s 物体下落的高度为10mC ．物体的初速度为5m/sD ．物体的初速度为15m/s答案：ACD ．因tanθ=gt v 0对应图象可得 v 0=10m/s故CD 错误；AB ．第1s 内物体下落的高度h =12gt 2=12×10×12m=5m故A 正确，B 错误。
故选A 。
2、如图所示，在摩托车障碍赛中，运动员越过一个高度差h =0.8m 的壕沟，若运动员所做的运动可视为平抛运动，取g =10m/s 2，则运动员恰好安全越过壕沟的时间是（ ）A ．0.4 sB ．0.8 sC ．1.2 sD ．1.6 s答案：A由平抛运动的规律可知，摩托车在空中的时间由竖直方向上的位移决定，由ℎ=12gt 2 得t =√2ℎg=0.4s 故选A 。
3、平抛实验测v 0时产生误差，与误差无关的是（ ）A ．弧形槽与球间有摩擦B ．弧形槽末端切线不水平C ．小球受空气阻力不可忽略D ．小球每次自由滚下的位置不同答案：AA ．只要让它从同一高度、无初速开始运动，在相同的情形下，即使球与槽之间存在摩擦力，仍能保证球做平抛运动的初速度相同，因此，斜槽轨道是否光滑不会产生误差，故A 正确；B ．当斜槽末端切线没有调整水平时，小球脱离槽口后的初速度方向就不是水平方向，小球运动做斜抛运动，所以有误差产生，故B 错误；C ．小球受空气阻力，导致其水平方向上不是匀速运动，所以会产生误差，故C 错误；D ．若小球每次自由滚下的位置不同，则平抛的初速度就不同，会导致平抛轨迹不同，在确定平抛轨迹上的点时，会产生误差，故D 错误。
故选A 。
4、如图甲所示，用小锤轻击弹性金属片，A球沿水平方向飞出，同时B球被松开，竖直向下运动。
【高中物理】高中物理必修二第五章知识点：曲线运动
高中物理是高中学习的重要学科，整理了高中物理知识点，供广大高中生学习参考，希望有所帮助！
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第五章曲线运动
一、知识点
(一)曲线运动的条件：再分外力与运动方向无此一条直线上
(二)曲线运动的研究方法：运动的合成与分解(平行四边形定则、三角形法则)
(三)曲线运动的分类：合力的性质(坯变速箱：元显恭甩运动、非匀变速箱曲线：匀速圆周运动)
(四)匀速圆周运动
1受力分析，所受到合力的特点：向心力大小、方向
2向心加速度、线速度、角速度的定义(文字、定义式)
3向心力的公式(多角度的：线速度、角速度、周期、频率、转回)
(五)平抛运动
1受力分析，只受到重力
2速度，水平、竖直方向分速度的表达式;位移，水平、竖直方向位移的表达式
3速度与水平方向的夹角、加速度与水平方向的夹角
(五)离心运动的定义、条件
二、实地考察内容、建议及方式
1曲线运动性质的判断：明确曲线运动的条件、牛二定律(选择题)
2匀速圆周运动中的动态变化：熟练掌握匀速圆周运动各物理量之间的关系式(挑选、填空题)
3匀速圆周运动中物理量的计算：受力分析、向心加速度的几种表示方式、合力提供向心力(计算题)
3运动的制备与水解：分后运动与和运动的等时性、耦合性(挑选、填空题)
4平抛运动相关：平抛运动中速度、位移、夹角的计算，分运动与和运动的等时性、等效性(选择、填空、计算)
5Vergt运动：临界条件、最小静摩擦力、匀速圆周运动有关排序(挑选、排序)。
高中物理必修2第五章《曲线运动》全章新课教学课时同步强化训练汇总（附参考答案）一、《曲线运动》课时同步强化训练（附详细参考答案）二、《平抛运动》课时同步强化训练（附详细参考答案）三、《实验：研究平抛运动》课时同步强化训练（附详细参考答案）四、《圆周运动》课时同步强化训练（附详细参考答案）五、《向心加速度》课时同步强化训练（附详细参考答案）六、《向心力》课时同步强化训练（附详细参考答案）七、《生活中的圆周运动》课时同步强化训练（附详细参考答案）★★★必修2第五章《曲线运动》单元检测（附详细参考答案）§§5.1《曲线运动》课时同步强化训练班级：_________ 姓名：__________ 成绩：___________(40分钟50分)一、选择题(本题6小题,每题5分,共30分。
每题至少一个选项正确)1.做曲线运动的物体,在运动过程中,一定变化的物理量是( )A.速率B.速度C.加速度D.合外力2.关于曲线运动,下面说法正确的是( )A.物体运动状态改变,它一定做曲线运动B.物体做曲线运动,它的运动状态一定在改变C.物体做曲线运动时,它的加速度的方向始终和速度的方向一致D.物体做曲线运动时,它的加速度方向和所受到的合外力方向一致3.若已知物体运动的初速度v0的方向及它受到的恒定的合外力F的方向,图a、b、c、d表示物体运动的轨迹,其中正确的是( )4.如图所示,跳伞员在降落伞打开一段时间以后,在空中做匀速运动。
若跳伞员在无风时竖直匀速下落,着地速度大小是4.0 m/s。
当有正东方向吹来的风,风速大小是3.0 m/s,则跳伞员着地时的速度( )A.大小为5.0 m/s,方向偏西B.大小为5.0 m/s,方向偏东C.大小为7.0 m/s,方向偏西D.大小为7.0 m/s,方向偏东5.一只船在静水中的速度为3 m/s,它要横渡一条30 m宽的河,水流速度为4 m/s,下列说法正确的是( )A.这只船不可能垂直于河岸抵达正对岸B.这只船对地的速度一定是5 m/sC.过河时间可能是6 sD.过河时间可能是12 s6.A、B两物体通过一根跨过定滑轮的轻绳相连放在水平面上,现物体A以v1的速度向右匀速运动,当绳被拉成与水平面夹角分别是α、β时,如图所示。
内容简介：第五章曲线运动第六章万有引力与航天第七章机械能守恒定律具体可以分为：知识网络、高考常考点的分析和指导和常考模型规律示例总结，是高一高三复习比较好的资料。
一、第五章曲线运动（一）、知识网络（二）重点内容讲解1、物体的运动轨迹不是直线的运动称为曲线运动，曲线运动的条件可从两个角度来理解：（1）从运动学角度来理解；物体的加速度方向不在同一条直线上；（2）从动力学角度来理解：物体所受合力的方向与物体的速度方向不在一条直线上。
曲线运动的速度方向沿曲线的切线方向，曲线运动是一种变速运动。
曲线运动是一种复杂的运动，为了简化解题过程引入了运动的合成与分解。
一个复杂的运动可根据运动的实际效果按正交分解或按平行四边形定则进行分解。
合运动与分运动是等效替代关系，它们具有独立性和等时性的特点。
运动的合成是运动分解的逆运算，同样遵循平等四边形定则。
2、平抛运动平抛运动具有水平初速度且只受重力作用，是匀变速曲线运动。
研究平抛运动的方法是利用运动的合成与分解，将复杂运动分解成水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动。
其运动规律为：（1）水平方向：a x =0，v x =v 0，x= v 0t 。
（2）竖直方向：a y =g ，v y =gt ，y= gt 2/2。
（3）合运动：a=g ，22y x t v v v +=，22y x s +=。
v t 与v 0方向夹角为θ，tan θ= gt/v 0，s 与x 方向夹角为α，tan α= gt/ 2v 0。
平抛运动中飞行时间仅由抛出点与落地点的竖直高度来决定，即ght 2=，与v 0无关。
水平射程s= v 0gh 2。
3、匀速圆周运动、描述匀速圆周运动的几个物理量、匀速圆周运动的实例分析。
正确理解并掌握匀速圆周运动、线速度、角速度、周期和频率、向心加速度、向心力的概念及物理意义，并掌握相关公式。
圆周运动与其他知识相结合时，关键找出向心力，再利用向心力公式F=mv 2/r=mr ω2列式求解。
高一物理必修二知识点1。
曲线运动1．曲线运动的特征（1）曲线运动的轨迹是曲线。
（2)由于运动的速度方向总沿轨迹的切线方向,又由于曲线运动的轨迹是曲线，所以曲线运动的速度方向时刻变化。
即使其速度大小保持恒定，由于其方向不断变化，所以说:曲线运动一定是变速运动。
（3)由于曲线运动的速度一定是变化的，至少其方向总是不断变化的，所以，做曲线运动的物体的中速度必不为零，所受到的合外力必不为零，必定有加速度。
（注意：合外力为零只有两种状态:静止和匀速直线运动。
）曲线运动速度方向一定变化,曲线运动一定是变速运动，反之，变速运动不一定是曲线运动.2．物体做曲线运动的条件（1）从动力学角度看:物体所受合外力方向跟它的速度方向不在同一条直线上。
（2)从运动学角度看:物体的加速度方向跟它的速度方向不在同一条直线上。
3．匀变速运动：加速度(大小和方向）不变的运动.也可以说是:合外力不变的运动。
4曲线运动的合力、轨迹、速度之间的关系（1）轨迹特点：轨迹在速度方向和合力方向之间，且向合力方向一侧弯曲。
（2）合力的效果：合力沿切线方向的分力F2改变速度的大小，沿径向的分力F1改变速度的方向.①当合力方向与速度方向的夹角为锐角时，物体的速率将增大。
②当合力方向与速度方向的夹角为钝角时，物体的速率将减小。
③当合力方向与速度方向垂直时，物体的速率不变.（举例：匀速圆周运动）2。
绳拉物体合运动：实际的运动。
对应的是合速度。
方法：把合速度分解为沿绳方向和垂直于绳方向。
3.小船渡河例1:一艘小船在200m 宽的河中横渡到对岸，已知水流速度是3m/s ，小船在静水中的速度是5m/s, 求：(1）欲使船渡河时间最短，船应该怎样渡河?最短时间是多少?船经过的位移多大？（2）欲使航行位移最短,船应该怎样渡河？最短位移是多少？渡河时间多长？船渡河时间：主要看小船垂直于河岸的分速度，如果小船垂直于河岸没有分速度，则不能渡河.min cos d dt t v v θ=⇒=船船（此时θ=0°，即船头的方向应该垂直于河岸）解：（1）结论：欲使船渡河时间最短,船头的方向应该垂直于河岸。
第五章曲线运动【知识点汇总】一曲线运动1.曲线运动的位移x方向的分位移：x A=l cosθy方向的分位移：y A=l sinθ（θ为合位移l与x轴正方向的夹角）合位移为 l=√x A2+y A2，tanθ=y Ax A2.曲线运动的速度x方向的分速度：v x=v cosθy方向的分速度：v y=v sinθ合速度为v=√v x2+v y2，tanθ=v y（θ为合速度v与x方向分速度的夹角）v x3.物体做曲线运动的条件初速度不为零，即v0≠0；合力不为零，即F合≠0；初速度方向与合力方向不在同一直线上。
4.曲线运动的性质曲线运动的速度方向时刻改变，一定是变速运动；做曲线运动的物体受到的合外力一定不为零，加速度一定不为零；曲线运动是否是匀变速运动取决于物体所受的合力情况。
合外力为恒力，物体做匀变速曲线运动。
5.运动的合成与分解（1）已知分运动求合运动，叫运动的合成；已知合运动求分运动，叫运动的分解。
求解时遵循矢量运算的平行四边形定则。
（2）合运动和分运动的关系：等效性、独立性、等时性、同体性。
（3）进行运动分解的步骤：①确定合运动方向（实际运动方向）；②分析合运动的运动效果；③依据合运动效果确定两分运动方向；④依据平行四边形定则作出分解矢量图。
二平抛运动1.平抛运动的条件：①物体具有水平方向的初速度；②运动过程中只受重力作用。
2.平抛运动的性质：做平抛运动的物体只受重力，其加速度恒为g；平抛运动是匀变速曲线运动，3.解决平抛运动问题的方法：将其分解为水平方向上的匀速直线运动；竖直方向上的自由落体运动。
4.平抛运动的速度 水平分速度：v x ＝v 0 竖直分速度：v y =gtt 时刻平抛物体的速度大小和方向：v t =√v x 2+v y 2=√v 02+（gt ）2设v t 与x 轴正方向的夹角为α，则tan α=v y v x=gt v 0任意时刻速度的水平分量均等于初速度v 0；任意相等时间间隔△t 内的速度改变量均竖直向下，且∆v ＝△v y ＝g ·∆t 。
5.平抛运动的位移 水平分位移：x ＝v 0t 竖直分位移：y =12gt 2t 时间内合位移的大小：s =√x 2+y 2设合位移s 与x 轴正方向的夹角为θ，则tan θ=yx=12gt 2v 0t=gt2v 0由x =v 0t =v 0√2y g 知平抛物体的水平位移由初速度v 0和下落的高度y 共同决定。
平抛运动的轨迹是一条抛物线。
6.平抛运动的五结论（1）运动时间t =√2hg ，即做平抛运动的物体在空中飞行时间仅取决于下落的高度，与初速度v 0无关。
（2）落地的水平距离x =v 0√2hg ，即水平距离与初速度v 0和下落高度h 有关，与其他因素无关。
（3）落地速度v =√v 02+2gh ，即落地速度只与初速度v 0和下落高度h 有关。
（4）做平抛运动的物体，速度矢量的反向延长线过水平位移x 的中点O ’。
如图所示，因为 tan θ=v y v x=gt v 0， 由几何关系知 tan θ=PA O ′A =yO ′A =gt 22O ′A，联立以上两式得 O ′A =12v 0t =x2（5）做平抛运动的物体在t 时刻的速度与水平方向的夹角θ（速度偏向角）和位移与水平方向的夹角α（位移偏向角）的关系为tan θ=2tan α。
因为tan α=y x ，而tan θ=y O ′A =yx 2，故tan θ=2tan α。
三圆周运动1.描述圆周运动的物理量（1）线速度v：质点做圆周运动通过的弧长 ∆s 和所用时间 ∆t 的比值，v=∆s∆t（单位：m/s）；描述质点沿圆周运动的快慢；线速度方向沿圆周上该点的切线方向与半径垂直。
（2）角速度ω ：质点做匀速圆周运动时，连接运动质点所在的半径转过的角度 ∆θ 跟所用时间 ∆t 的比值，ω=∆θ∆t（单位：rad/s）；描述质点转过圆心角的快慢；在匀速圆周运动中角速度是个恒量。
（3）周期T：做圆周运动的物体运动一周所需的时间。
（ω=2πT 、T=2πω）（3）频率f：做圆周运动物体，在1s内转过的圈数叫频率（单位：Hz）。
（4）转速n：做圆周运动的物体，在单位时间内转过的圈数，常用单位：转每秒（r/s）、转每分（r/min）。
2.圆周运动中各物理量之间的关系（1）v、T、r的关系：物体在转动一周的过程中，通过的弧长Δs=2πr，用时为T，则v=ΔsΔt =2πrT。
（2）ω、T的关系：物体在转动一周的过程中，转过的角度Δθ=2π，用时为T，则ω=ΔθΔt =2πT。
（3）ω、n的关系：物体在1秒内转过n圈，1圈转过的角度为2π，则1秒内转过的角度∆θ=2πn，即ω=2πn。
（4）v、ω、r的关系：v=ωr。
3.常见的传动装置及其特点（1）共轴传动A点和B点在同轴的一个圆盘上，如图所示。
圆盘转动时，它们的线速度、角速度、周期存在以下定量关系，并且转动方向相同。
ωA=ωBνAνB =rRT A=T B2.皮带传动A点和B点分别是两个轮子边缘的点，两个轮子用皮带连接起来，并且皮带不打滑。
如图所示，轮子转动时，它们的线速度、角速度、周期存在以下定量关系，并且转动方向相同。
νA=νBωAωΒ=rRT AT B=Rr3.齿轮转动A点和B点分别是两个齿轮边缘上的点，两个齿轮轮齿啮合。
如图所示，齿轮转动时，它们的线速度、角速度、周期存在以下定量关系，并且两点转动方向相反。
νA=νB T AT B =r1r2=n1n2ωAωΒ=r2r1=n2n1，其中n1、n2分别表示两齿轮的齿数。
四向心加速度和向心力1.任何做匀速圆周运动的物体，加速度都指向圆心，这个加速度被称为向心加速度，描述线速度方向改变的快慢；方向总是沿着圆周运动的半径指向圆心，即方向始终与运动方向垂直。
2.向心加速度的公式：a n=ν2r=rω2，不论加速度a n的大小是否变化，a n的方向是时刻改变的，所以圆周运动一定是变加速运动。
3.不同形式的各种表达式①对应线速度：a n=ν2r ；②对应角速度：a n=rω2；③对应周期：a n=4π2T2r④对应转速：a n=4π2n2r；⑤推导公式：a n=ων4.做匀速圆周运动的物体具有向心加速度，是由于它受到了指向圆心的力，这个合力叫做向心力；向心力的方向总是指向圆心，故方向时刻在变化，所以向心力是变力；向心力的作用效果只是改变物体速度的方向，而不改变速度的大小。
5.向心力的大小F n=mω2r=m v2r=mωvF n=m(2πT)2r=m(2πf)2r=m(2πn)2r6.向心力是按力的作用效果命名的，可以是重力、弹力、摩擦力的各种力，也可以是几个力的合力或某个力的分力。
7.解决圆周运动问题的关键：从“供”、“需”两方面来进行研究（1）供：分析物体受力，求沿半径方向指向圆心的合外力。
（2）需：确定物体圆周轨道平面，定圆心、找半径，用公式求出所需向心力。
（3）算：根据“供”“需”平衡列方程F供=F需五生活中的圆周运动1.火车转弯模型F=mg tanθsinθ=hL当θ很小时，sinθ=tanθ故可推得：v0=√ghRL（1）当火车转弯速率 v 等于v0，F=F0，内外轨道对轮缘都没有侧压力。
（2）当火车转弯速率 v 大于v0，F＜F0，外轨对轮缘有侧压力。
（3）当火车转弯速率 v 小于v 0，F ＞F 0，内轨对轮缘有侧压力。
2.拱形桥模型内容项目汽车过凸形桥汽车过凹形桥受力分析以向心力方 向为正方向mg −F N =m v 2rF N =mg −m v 2rF N −mg =m v 2rF N =mg +m v 2r牛顿第三定律F 压=F N =mg −m v 2r ；v 增大，F 压减小；当v 增大到√rg 时，F 压=0F 压=F N =mg +m v 2rv 增大，F 压 增大3.航天器中的完全失重现象航天器在近地轨道运动时，对航天器，重力充当向心力，满足的关系为mg ＝mv 2R，航天器的速度v =√gR ；对航天员，由重力和座椅的支持力提供向心力，满足的关系式为mg −F N =mv 2R，由此可得F N =0，航天员处于失重状态，对座椅无压力（不是物体不受重力）。
4.轻绳模型（1）在最高点时，小球的受力有两种情况①当v =√gR 时，小球只受重力mg 的作用，F 向=mg 。
②当v ＞√gR 时，小球重力mg 和绳子拉力F 两个力的合力提供向心力，即F 向=mg +F （2）在最低点，小球的受力只有一种情况小球受到向下的重力mg 和向上的拉力F ′作用，这二力的合力提供向心力，即F 向=F ′−mg （3）拓展：小球在竖直放置的光滑圆形轨道内侧做圆周运动，实际上就是轻绳 模型。
如图所示，小车到达最高点A 时，轨道内侧对小球施压力F ，由牛顿第二 定律得mg +F =m v A 2R，F ≥0即小球过最高点时的速度为v A ≥√gR 。
5.轻杆模型：（1）在最高点，小球的受力有三种情况：①当v=√gR时，小球只受重力mg的作用，F向=mg；②当v＞√gR时，小球受到重力mg和杆向下的拉力F两个力的作用，两个力的合力提供向心力，F向=mg+F。
③当0≤v＜√gR时，小球受到重力mg和杆向上的支持力F两个力的作用，两个力的合力提供向心力，F向=mg−F。
（2）在最低点，小球的受力只有一种情况：小球受到向下的重力G和向上的拉力F的作用，这二力的合力提供向心力，F向=F−mg。
（3）拓展：小球在竖直放置的光滑圆管内做圆周运动，实际上就是轻杆模型。
①当小球的速度v=√gR，小球只受重力的作用，即不受内管的压力也不受外管的支持力；②当v＞√gR时，小球将受到外管内壁的压力；③当0≤v＜√gR时小球将受到内管外壁的支持力。
6.离心运动（1）做圆周运动物体，一旦提供向心力的外力突然消失，或者外力不能提供足够的向心力时，物体做远离圆心的运动，即离心运动。
（2）合外力与向心力的关系①若F合=mrω2或F合=mv2r，物体做匀速圆周运动，即“提供”满足“需要”。
②若F合＞mrω2或F合＞mv2r，物体做半径变小的近心运动，即“提供”大于“需要”。
③若F合＜mrω2或F合＜mv2r，则外力不足以将物体拉回到原轨道上，而做离心运动，即“提供不足”，也就是“需要”大于“提供”。
④若F合=0，则物体做直线运动。
第五章曲线运动综合测试一选择题（16×3分＝48分）1.下列说法中正确的是（）A.曲线运动一定是变速运动B.变速运动一定是曲线运动C.匀速圆周运动就是速度不变的运动D.匀速圆周运动就是角速度不变的运动2.质点从同一高度水平抛出，不计空气阻力，下列说法正确的是（）A.质量越大，水平位移越大B.初速度越大，落地时竖直方向速度越大C.初速度越大，空中运动时间越长D.初速度越大，落地时速度越大3.做曲线运动的物体在运动过程中，下列说法正确的是（）A.速度大小一定改变B.加速度大小一定改变C.速度方向一定改变D.加速度方向一定改变4.一质点做匀速圆周运动，下列说法中，错误的是（）A.任意相等的时间内，通过相等的弧长B.任意相等的时间内，通过的位移相同C.任意相等的时间内，转过相等的角度D.任意相等的时间内，速度的变化相同5.如图，在不计滑轮摩擦和绳子质量的条件下，当小车匀速向右运动时，物体A的受力情况是（）A.绳的拉力等于A的重力B.绳的拉力等于A的重力C.绳的拉力小于A的重力D.拉力先大于重力，后变为小于重力6.在某变速箱中有甲乙丙三个齿轮，如图所示，其半径分别为r1、r2、r3，若甲轮的角速度为ω1，则丙轮的角速度为（）A.r1ω1r3 B.r3ω1r1C.r3ω1r2 D.r1ω1r27.质量为m的石块从半径为R的半球形的碗口下滑到碗的最低点的过程中，如果摩擦力的作用使得石块的速度大小不变，如图所示，那么（）A.因为速率不变，所以石块的加速度为零B.石块下滑过程中受的合外力越来越大C.石块下滑过程中的摩擦力大小不变D.石块下滑过程中的加速度大小不变，方向始终指向球心8.雨滴由静止开始下落，遇到水平方向吹来的风，下列说法中正确的是（）A.风俗越大，雨滴下落的时间越长B.风俗越大，雨滴着地时的速度越大C.雨滴下落时间与风速无关D.雨滴着地时的速度与风速无关9.关于平抛运动，下列说法正确的是（）可知，物体平抛的初速度越大，飞行时间越短A.由t=xv0可知，物体下落的高度越大，飞行时间越长B.由t=√2hgC.任意连续相等的时间内，物体下落高度之比为1:3:5：…D.任意连续相等的时间内，物体运动速度的改变量相等10.质量不计的轻质弹性杆P插入桌面上的小孔中，杆的另一端套有一个质量为m的小球，如图所示。
