结构力学2第10章结构动力学资料.
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结构动力学
柔度系数
L
L
L
1
2l 3 3EI
M1图
1 m
1 2m 2l 3 EI
3
3 EI 4ml 3
4ml 3 T 2 3EI
2
第十章 结构动力学简介
二、单自由度体系的受迫振动
内 蒙 古 农 业 大 学
受迫振动指体系是在干扰力 FP (t )持续作用下的振动。 单自由度体系在动荷载下的振动及相应的振动模型如图示:
3、自由振动和受迫振动
自由振动 结构在没有动荷载作用时，由初速度、初位移所引起的振动。 研究结构的自由振动，可得到结构的自振频率、振型和阻尼参数。
第十章 结构动力学简介
强迫振动 结构在动荷载作用下产生得振动。研究强迫振动，可得到结构的
内 蒙 古 农 业 大 学
动力反应。
§10-2 动力自由度
一、自由度的定义
内 蒙 古 农 业 大 学
一、多自由度体系的自由振动
1 多自由度体系振动方程的建立（以两个自由度为例来说明）
（1） 柔度法
在惯性力作用下的位移等于实际的动位移。(力法)
y2
m2 y
m1 y
21
11
P 1 1
22
P2 1
y1
12
M 1图
M 2图
第十章 结构动力学简介
t
无阻尼y- t曲线
第十章 结构动力学简介
②阻尼对振幅的影响.
内 蒙 古 农 业 大 学
振幅ae- ξω t 随时间衰减，相邻两个振幅的比
y k 1 e T 常数 yk
振幅按等比级数递减.
经过一个周期后，相邻两振幅yk和yk+1的比值的对数为:
L
L
L
1
2l 3 3EI
M1图
1 m
1 2m 2l 3 EI
3
3 EI 4ml 3
4ml 3 T 2 3EI
2
第十章 结构动力学简介
二、单自由度体系的受迫振动
内 蒙 古 农 业 大 学
受迫振动指体系是在干扰力 FP (t )持续作用下的振动。 单自由度体系在动荷载下的振动及相应的振动模型如图示:
3、自由振动和受迫振动
自由振动 结构在没有动荷载作用时，由初速度、初位移所引起的振动。 研究结构的自由振动，可得到结构的自振频率、振型和阻尼参数。
第十章 结构动力学简介
强迫振动 结构在动荷载作用下产生得振动。研究强迫振动，可得到结构的
内 蒙 古 农 业 大 学
动力反应。
§10-2 动力自由度
一、自由度的定义
内 蒙 古 农 业 大 学
一、多自由度体系的自由振动
1 多自由度体系振动方程的建立（以两个自由度为例来说明）
（1） 柔度法
在惯性力作用下的位移等于实际的动位移。(力法)
y2
m2 y
m1 y
21
11
P 1 1
22
P2 1
y1
12
M 1图
M 2图
第十章 结构动力学简介
t
无阻尼y- t曲线
第十章 结构动力学简介
②阻尼对振幅的影响.
内 蒙 古 农 业 大 学
振幅ae- ξω t 随时间衰减，相邻两个振幅的比
y k 1 e T 常数 yk
振幅按等比级数递减.
经过一个周期后，相邻两振幅yk和yk+1的比值的对数为:
结构力学第10章动力学2
2、方程的解：
设解的形式： y1 (t ) = Y1 sin(ωt + α ) y2 (t ) = Y2 sin(ωt + α )
惯性力 − m1 &&1 (t ) = m1ω 2Y1 sin(ωt + α ) y 2 − m2 &&2 (t ) = m2ω Y2 sin(ωt + α ) y
k12 M kn2
L
k1n k2n M =0
k 22 − ω 2 m2 L
L k nn − ω 2 mn
n个ω 2的解对应n各ω：ω1 < ω2 < Lωn
ω1 − − − 第一频率或基本频率
3、振型
对应于ωi，其质点的振幅比值是常数，所以有n各振型： Y11 Y12 Y1n Y Y Y Y 1 = 21 ；Y 2 = 22 LY n = 2 n M M M Yn1 Yn 2 Ynn CY1i Y1i CY Y 2i 2i i i 则：CY = 若Y = L L Yni CYni 为方程(K − ω 2 M)Y = 0的解 也为方程的解
( K − ω12 M )Y 1 = 0 17.414Y11 − 5Y21 + 0 × Y31 = 0 − 5Y11 + 6.707Y21 − 3Y31 = 0 0 × Y11 − 3Y21 + 1.707Y31 = 0
令：Y31 = 1；求得： Y21 = 0.569；Y11 = 0.163 0.163 第一振型：Y 1 = 0.569 1
ω2 = (
1 k11 k 22 1 k k k k −k k + ) ± [ ( 11 + 22 )]2 − 11 22 12 21 2 m1 m2 2 m1 m2 m1m2
《结构力学》_龙驭球_第10章_动力学(1)
每个结点位移参数只在相邻两个单元内引起挠度。在图10-9 b 和 c中分别 给出结点位移参数 y1 和θ1 相应的形状函数φ1(x) 和φ2(x)。 梁的挠度可用八个广义坐标及其形状函数表示如下：
y( x) y1 1 ( x) 1 2 ( x) y4 7 ( x) 4 8 ( x)
⑵
1
k
1
m
EI
EI
1
k
12 EI h3
6EI h2
3EI h3
EI
h
EI h
6EI h2
12 EI h3
EI h
3EI h2
3EI h3
k
15EI h3
两端刚结的杆的 12EI 侧移刚度为： l3
一端铰结的杆的 3EI 侧移刚度为： l3
例10-4、图示三根单跨梁，EI为常数，在梁中点有集中质量m，不考虑梁的质 量，试比较三者的自振频率。
频率和周期的讨论：
T 2
m st 2 k g
⑴ 只与结构的质量与刚度有关，与外界干扰无关； ⑵ Ｔ 与m 的平方根成正比，与 k 成反比，据此可改变周期；
⑶ 是结构动力特性的重要数量标志。
例10-1、计算图示结构的频率和周期。 m
EI
l 2
1
l 2
1
2 EI
2 l l3 1 l l ( ) ( ) 3 4 48EI 2 4 2
第 10 章
结构动力计算基础
高耸结构
结构特点
•风荷载起控制作用； •无围护结构，构件的维护保养很重要； •施工技术： 对于钢结构，分段制作、高空吊装和拼接技术； 对于钢筋混凝土结构，模板提升、混凝土垂直运输技术； •与周围环境协调，比如可能需安装航空障碍标志； •主要承受的风荷载、地震荷载有动力性质，需考虑结构振动特性； •基础不同于一般结构，会出现拔力甚至起控制作用。
y( x) y1 1 ( x) 1 2 ( x) y4 7 ( x) 4 8 ( x)
⑵
1
k
1
m
EI
EI
1
k
12 EI h3
6EI h2
3EI h3
EI
h
EI h
6EI h2
12 EI h3
EI h
3EI h2
3EI h3
k
15EI h3
两端刚结的杆的 12EI 侧移刚度为： l3
一端铰结的杆的 3EI 侧移刚度为： l3
例10-4、图示三根单跨梁，EI为常数，在梁中点有集中质量m，不考虑梁的质 量，试比较三者的自振频率。
频率和周期的讨论：
T 2
m st 2 k g
⑴ 只与结构的质量与刚度有关，与外界干扰无关； ⑵ Ｔ 与m 的平方根成正比，与 k 成反比，据此可改变周期；
⑶ 是结构动力特性的重要数量标志。
例10-1、计算图示结构的频率和周期。 m
EI
l 2
1
l 2
1
2 EI
2 l l3 1 l l ( ) ( ) 3 4 48EI 2 4 2
第 10 章
结构动力计算基础
高耸结构
结构特点
•风荷载起控制作用； •无围护结构，构件的维护保养很重要； •施工技术： 对于钢结构，分段制作、高空吊装和拼接技术； 对于钢筋混凝土结构，模板提升、混凝土垂直运输技术； •与周围环境协调，比如可能需安装航空障碍标志； •主要承受的风荷载、地震荷载有动力性质，需考虑结构振动特性； •基础不同于一般结构，会出现拔力甚至起控制作用。
结构力学：第十章结构动力学2
9.8kN
2)ξ=1（临界阻尼）情况 l ( ± 2 1) l
y 2y 2 y 0(15.16) y (C1 C2t)et y [ y0 (1t)v0t]et
y tg0 v0
θ0
y0
这条曲线仍具有衰减性，
但不具有波动性。
t
临界阻尼常数cr为ξ=1时的阻尼常数。（振与不振的分界点）
c 2m cr 2m 2 mk c cr 阻尼比。反映阻尼情况的基本参数。
P0 (cos(t u)cost) m 2
y
st
2sin
u
2
sin
(t
u 2
)
另解：短时荷载可认为由两个突加荷载叠加而成。 P(t)
y(t) yst (1cost)
P
t P(t)
y(t) yst (1cos(t u))
当0<t< u
P
P(t)
u
t
y(t) yst (1cost)
P
当t> u
t u
质点围绕静力平衡 位置作简谐振动
[ y(t)]max 2
yst
0
π
y(t)
2π
3π
ωt
2）短时荷载
0,
P(t)
P0
,
0,
t0 0tu
t u
P
P(t) t
u
阶段Ⅰ(0<t<u)：与突加荷载相同。 y(t) yst (1cost)
阶段Ⅱ(t>u)：无荷载，体系以t=u时刻的位移 y(u) yst (1cosu)
77613m86l El3I2l
5l3 )
32
71l 3
7m68E3I
结构力学第10章-结构动力计算基础
对于无阻尼自由振动，质点在惯性力FI和弹性恢复力FS作用下处于 动力平衡状态，则有 FI + Fs = 0 ,即m& y& (t)+k11y(t)=0，此式可改写为
&y&(t) + k11 y(t) = 0 m
此式为单自由度体系无阻尼自由振动的运动方程，这种由力系平 衡条件建立运动微分方程的方法称为刚度法。
1）运动微分方程的建立
利用动静法建立运动微分方程有两种方法：刚度法和柔度法。
(a) EI y(t)
l
(b)
(c)
EI FI
FS
FI
l
(a) 简支梁振动 (b) 力系平衡条件 (c) 变形协调条件
§10-2 单自由度体系无阻尼自由振动
1）运动微分方程的建立
⑴刚度法：
设质点m在振动中任一时刻的位移为y(t)。取质点m为隔离体(图b)， 其受力情况为：弹性恢复力 Fs k11y(t) ，其中k11为结构刚度系数，FS与 质点位移y(t)的方向相反；惯性力FI =-m& y&t，它与质点加速度 &y&( t ) 的方 向相反。若将质点位移的计算始点取在质点静力平衡位置上，则质点 重量的影响不必考虑。
对单自由度体系，有 δ11
1 k11
，令 ω2 = k11 = 1 ，得到统一的运动方 m mδ11
程为
& y& t+ω2yt=0
其通解为 yt=c1 co sω t+c2sin ω t，式中的c1和c2为积分常数，由 初始条件确定。
§10-2 单自由度体系无阻尼自由振动
1）运动微分方程的建立
若当t=0时，yt = y0 ，y&t = y&0 ，则有
&y&(t) + k11 y(t) = 0 m
此式为单自由度体系无阻尼自由振动的运动方程，这种由力系平 衡条件建立运动微分方程的方法称为刚度法。
1）运动微分方程的建立
利用动静法建立运动微分方程有两种方法：刚度法和柔度法。
(a) EI y(t)
l
(b)
(c)
EI FI
FS
FI
l
(a) 简支梁振动 (b) 力系平衡条件 (c) 变形协调条件
§10-2 单自由度体系无阻尼自由振动
1）运动微分方程的建立
⑴刚度法：
设质点m在振动中任一时刻的位移为y(t)。取质点m为隔离体(图b)， 其受力情况为：弹性恢复力 Fs k11y(t) ，其中k11为结构刚度系数，FS与 质点位移y(t)的方向相反；惯性力FI =-m& y&t，它与质点加速度 &y&( t ) 的方 向相反。若将质点位移的计算始点取在质点静力平衡位置上，则质点 重量的影响不必考虑。
对单自由度体系，有 δ11
1 k11
，令 ω2 = k11 = 1 ，得到统一的运动方 m mδ11
程为
& y& t+ω2yt=0
其通解为 yt=c1 co sω t+c2sin ω t，式中的c1和c2为积分常数，由 初始条件确定。
§10-2 单自由度体系无阻尼自由振动
1）运动微分方程的建立
若当t=0时，yt = y0 ，y&t = y&0 ，则有
结构力学——结构的动力计算
11
11[ P(t ) m(t )] y
P (t )
y(t ) 11[ P(t ) m(t )] y
l
l3 柔度系数 m(t ) 11 y 3EI 3EI (t ) 3 y (t ) P(t ) my l
二、刚度法
P (t )
l
EI
m m(t ) y y (t )
简谐荷载 周期 非简谐荷载 确定 冲击荷载 非周期 突加荷载 动荷载 其他确定规律的动荷载 风荷载 地震荷载 不确定 其他无法确定变化规律的荷载
§1.2
结构动力学的研究内容和任务
结构动力学是研究动荷作用下结构动力反应规律的学科。 一.结构动力学的研究内容 当前结构动力学的研究内容为: 第一类问题：结构动力荷载的确定
结构力学
傅向荣
第十章 结构的动力 计算
§1. 绪论
§1.1 动荷载及其分类
一.动荷载的定义 大小、方向和作用点随时间变化;在其作用下，结构上的惯性力 与外荷比不可忽视的荷载。
自重、缓慢变化的荷载，其惯性力与外荷比很小，分析时仍视作 静荷载。 静荷只与作用位置有关，而动荷是坐标和时间的函数。
二.动荷载的分类
P (t )
EI
m
EI1
EI
l
1
24 EI k 3 l
11
1
k
EI1
1 11 k
12 EI / l 3 12 EI / l 3
l l
EI EI
k2
EI1
EI EI
k1 ?
k1
k2 ?
24 EI k1 k 2 3 l
层间侧移刚度 对于带刚性横梁的刚架(剪切型刚架), 当两层之间发生相对单位水平位移时,两 层之间的所有柱子中的剪力之和称作该 层的层间侧移刚度. l l
结构力学第10章 结构的动力计算
F k
1
2 1 2
yst sin t
A yst
F F yst F 2 m k
动荷载幅值当作静载 作用时质体的位移
1
2 1 2
A yst
动力系数
§10-3
单自由度体系的强迫振动
动力系数的讨论
0， 1
荷载变化比较慢，可按静载处理。
解
对于竖向振动，柔度系数为
l3 48 EI
ml 3 T 2 m 2 48 EI
1 48 EI ml 3 m
§10-2
单自由度体系的自由振动
例题10-2 求图示悬臂杆的水平和竖向振动时的自振周期
解 （1）水平振动
当杆顶作用水平力W时，杆 顶的水平位移为
Wl 3 st 3EI
杜哈梅积分(Duhamel)
1 t y (t ) 0 FP sin t d m
零初始条件下，单自由度体系在任意荷载下的动位移公式
若 则
y0 0
v0 0 v0
1 y y0 cos t sin t m
t
0
FP ( ) sin t d
y t C1 sin t C2 cos t
F y t y t y * t C1 sin t C2 cos t sin t 2 2 m
§10-3
单自由度体系的强迫振动
代入初始条件
y 0 0 C2 0; F y 0 0 C1 m 2 2
（2）竖向振动
Wl 3 T 2 3EIg
当杆顶作用竖向力W时，杆顶的 竖向位移为
结构力学课后答案第10章结构动力学
对于CD杆件，相当于在中点作用一集中力
10-34试说明用振型分解法求解多自由度体系动力响应的基本思想，这一方法是利用了振动体系的何种特性
10-35试用振型分解法计算题10-32。
解：
刚度矩阵 质量矩阵
其中
由刚度矩阵和质量矩阵可得：
则 应满足方程
其稳态响应为：
同理：
显然最大位移
10-36试用振型分解法计算题10-31结构作有阻尼强迫振动时，质量处的最大位移响应。已知阻尼比ξ1＝ξ2＝。
得振型方程：
)
，令
，由频率方程D=0
解得： ，
，
(c)
解：
图 图
（1） ， ，
（2）振型方程
。
令 ，频率方程为：
（3）当 时，设
当 时，设
绘出振型图如下：
第一振型 第二振型
(d)
解：
#
图 图
频率方程为：
取 代入整理得：
其中
~
振型方程为：
将 代入（a）式中的第一个方程中，得：
绘出振型图如下：
第一振型 第二振型
\
解：
若 为静力荷载，弹簧中反力为 。
已知图示体系为静定结构，具有一个自由度。设为B点处顺时针方向转角 为坐标。建立动力方程：
则弹簧支座的最大动反力为 。
10-21设图a所示排架在横梁处受图b所示水平脉冲荷载作用，试求各柱所受的最大动剪力。已知EI=6×106Nm2，t1＝，FP0＝8×104N。
(a)
设 ，
；
使 ，则
（2）
设
如果使速度响应最大，则 最大，设 ，显然要求 最小。使： 得 。
（3）
令 显然要求 最小。
则 解的：
10-34试说明用振型分解法求解多自由度体系动力响应的基本思想，这一方法是利用了振动体系的何种特性
10-35试用振型分解法计算题10-32。
解：
刚度矩阵 质量矩阵
其中
由刚度矩阵和质量矩阵可得：
则 应满足方程
其稳态响应为：
同理：
显然最大位移
10-36试用振型分解法计算题10-31结构作有阻尼强迫振动时，质量处的最大位移响应。已知阻尼比ξ1＝ξ2＝。
得振型方程：
)
，令
，由频率方程D=0
解得： ，
，
(c)
解：
图 图
（1） ， ，
（2）振型方程
。
令 ，频率方程为：
（3）当 时，设
当 时，设
绘出振型图如下：
第一振型 第二振型
(d)
解：
#
图 图
频率方程为：
取 代入整理得：
其中
~
振型方程为：
将 代入（a）式中的第一个方程中，得：
绘出振型图如下：
第一振型 第二振型
\
解：
若 为静力荷载，弹簧中反力为 。
已知图示体系为静定结构，具有一个自由度。设为B点处顺时针方向转角 为坐标。建立动力方程：
则弹簧支座的最大动反力为 。
10-21设图a所示排架在横梁处受图b所示水平脉冲荷载作用，试求各柱所受的最大动剪力。已知EI=6×106Nm2，t1＝，FP0＝8×104N。
(a)
设 ，
；
使 ，则
（2）
设
如果使速度响应最大，则 最大，设 ，显然要求 最小。使： 得 。
（3）
令 显然要求 最小。
则 解的：
结构力学Ⅱ课件：结构动力学(一)
• 结构的动力计算不但要考虑动力荷载的性质，还要 考虑结构本身的动力特性：刚度分布、质量分布、 阻尼特性分布的影响；
一、动力计算的特点 • 动力计算与静力计算的本质区别：不能忽略惯性力
（1） 计算中考虑惯性力 FI ma my （2）利用达朗伯原理原理，把惯性力视为外力参与
瞬时的平衡，将动力问题转化为静力问题来处理。 （3）动力方程是二阶微分方程，方程求解复杂困难。
F (t )
动荷载：F (t) 干扰力、受迫力、激励
阻尼力： FD cy 和速度方向相反
16
刚度法建立动力方程
y (t )
FD
FI
F(t) y，y, y
FS
质点平衡方程： FI FD FS F (t )
惯性力： FI my
阻尼力： FD cy
约束力（恢复力)： FS ky
刚度法的运动方程： my cy ky F(t) （2-1）
三、动力计算中体系的自由度 • 集中质量法——
假定忽略杆的轴向变形和质点的转动。 平面内每个质点最多有两个线位移。
• 质点体系的振动自由度确定方法—附加链杆法
使每个质点不发生线位移所施加的附加链杆数，即为体 系动力计算的自由度。
11
三、动力计算中体系的自由度
2个自由度
1个自由度
2个自由度 单自由度
研究对象
• 求解杆系结构在动荷载 作用下的变形和内力。
本章重点
• 单自由度体系的自振频 率及在简谐荷载作用下
的动力响应。
§10.1 概述
一、动力计算的特点
• 动力计算研究结构在动力荷载作用下的变形和内力，即 研究结构的动力反应。
• 动力荷载：大小、方向、作用点随时间变化的荷载。 • 结构的动力反应不但与动力荷载的性质有关，还与结构
一、动力计算的特点 • 动力计算与静力计算的本质区别：不能忽略惯性力
（1） 计算中考虑惯性力 FI ma my （2）利用达朗伯原理原理，把惯性力视为外力参与
瞬时的平衡，将动力问题转化为静力问题来处理。 （3）动力方程是二阶微分方程，方程求解复杂困难。
F (t )
动荷载：F (t) 干扰力、受迫力、激励
阻尼力： FD cy 和速度方向相反
16
刚度法建立动力方程
y (t )
FD
FI
F(t) y，y, y
FS
质点平衡方程： FI FD FS F (t )
惯性力： FI my
阻尼力： FD cy
约束力（恢复力)： FS ky
刚度法的运动方程： my cy ky F(t) （2-1）
三、动力计算中体系的自由度 • 集中质量法——
假定忽略杆的轴向变形和质点的转动。 平面内每个质点最多有两个线位移。
• 质点体系的振动自由度确定方法—附加链杆法
使每个质点不发生线位移所施加的附加链杆数，即为体 系动力计算的自由度。
11
三、动力计算中体系的自由度
2个自由度
1个自由度
2个自由度 单自由度
研究对象
• 求解杆系结构在动荷载 作用下的变形和内力。
本章重点
• 单自由度体系的自振频 率及在简谐荷载作用下
的动力响应。
§10.1 概述
一、动力计算的特点
• 动力计算研究结构在动力荷载作用下的变形和内力，即 研究结构的动力反应。
• 动力荷载：大小、方向、作用点随时间变化的荷载。 • 结构的动力反应不但与动力荷载的性质有关，还与结构
《结构力学》_龙驭球_第10章_动力学(4)解析
§10-4 阻尼对自由振动的影响
忽略阻尼影响时所得结果 能大不体能上 反映实际结构的振动规律。
忽略阻尼的振动规律
考虑阻尼的振动规律
结构的自振频率是结构的固有特性，与外因无关。
简谐荷载作用下有可能出现共振。
自由振动的振幅永不衰减。
自由振动的振幅逐渐衰减。
共振时的振幅趋于无穷大。
共振时的振幅较大但为有限值。
τ
d
t
t
可视为以 v0 = FP dt / m，y0= 0 为初始条件的自
由振动：
y
e-t
FP dt
mr
sin rt
③ 将荷载FP (t) 的加载过程 看作 一系列瞬时冲量：
dy
FP ( )d mr
e- (t - )
sin r (t
- )
④ 总反应
y(t)
t 0
FP ( )e-(t- ) mr
sin r (t
- )d
e -
t
y0
cos r t
v0
y0 r
sin r t
⑴ 突加荷载FP0
y(t)
FP 0
m 2
[1 -
e-t
(cos
r
t
-
r
sin
r
t
)]
ys
t
0π
具有阻尼的体系在 突加荷载作用下，最初 所引起的最大位移接近 于静位移 yst =FP0 / mω2 的两倍， 然后逐渐衰 减，最后停留在静力平 衡位置。
设 yk 和 yk+n 是相隔 n 个周期的两个振幅则:
1 ln yk 2n ykn
工程中常用此方法测定阻尼
一般钢混结构 0.05，钢结构 (0.02~0.03)。
忽略阻尼影响时所得结果 能大不体能上 反映实际结构的振动规律。
忽略阻尼的振动规律
考虑阻尼的振动规律
结构的自振频率是结构的固有特性，与外因无关。
简谐荷载作用下有可能出现共振。
自由振动的振幅永不衰减。
自由振动的振幅逐渐衰减。
共振时的振幅趋于无穷大。
共振时的振幅较大但为有限值。
τ
d
t
t
可视为以 v0 = FP dt / m，y0= 0 为初始条件的自
由振动：
y
e-t
FP dt
mr
sin rt
③ 将荷载FP (t) 的加载过程 看作 一系列瞬时冲量：
dy
FP ( )d mr
e- (t - )
sin r (t
- )
④ 总反应
y(t)
t 0
FP ( )e-(t- ) mr
sin r (t
- )d
e -
t
y0
cos r t
v0
y0 r
sin r t
⑴ 突加荷载FP0
y(t)
FP 0
m 2
[1 -
e-t
(cos
r
t
-
r
sin
r
t
)]
ys
t
0π
具有阻尼的体系在 突加荷载作用下，最初 所引起的最大位移接近 于静位移 yst =FP0 / mω2 的两倍， 然后逐渐衰 减，最后停留在静力平 衡位置。
设 yk 和 yk+n 是相隔 n 个周期的两个振幅则:
1 ln yk 2n ykn
工程中常用此方法测定阻尼
一般钢混结构 0.05，钢结构 (0.02~0.03)。
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考虑惯性力的作用是结构动力计算的最主要特征。
3. 结构动力计算可分为两大类：
自由振动：结构受到外部因素干扰发生振动，而在以后的振动过程中不再受外 部干扰力作用。
强迫振动：如果结构在振动过程中还不断受到外部干扰力作用，则称为强迫 振动。
4. 结构动力计算的任务：
(1) 分析计算自由振动，得到的结构的动力特性(自振频率、振型和阻尼参数)；
aθ m3
EI=∞ θ a
θ EI=∞ m1
m2
θ
aθ
a
a
a
确定绝对刚性杆件上三个质点
的位置只需杆件转角(t)便可，
故为单自由度结构。
§10-2 结构振动的自由度
x
虽然只有一个集中质点，但其位置需
y
由水平位移x和竖向位移y两个独立参数
才能确定，因此振动自由度等于2，为
多自由度体系。
y1( t ) y (t)
第十章 结构动力学
§10-1 概述 §10-2 结构的振动自由度 §10-3 单自由度结构的自由振动 §10-4 单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动 §10-5 单自由度结构在任意荷载作用下的强迫振动 §10-6 多自由度结构的自由振动
§10-7 多自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动 §10-8 振型分解法 §10-9 无限自由度结构的振动 §10-10 计算频率的近似方法
x
m
水塔的质量大部分集中在塔顶上，可简化成
以x(t)为位移参数的单自由度结构。
§10-2 结构振动的自由度
x dx
凡属需要考虑杆件本身质量（称为质(c量) 杆）m的l /4结构都m是l无/2限自m由l /度4 体系。
(a)
m 例：用集中l 质量法将连
续分(a)
m
ll/ 2
l/ 2
(b)布 由度质体量系的。简支m梁d简x 化为有限自((bd))
x dx
m dmx
x dx y( t )
(c) ml /4
ml /2 ml /4
((ce))
ml /m4 l/ 6
mml/l
/2 3
mlm/ l3/4ml/ 6
l/ 2
l/ 2
l/ 2 l/ 3
l/
l/ 2 3
l/ 3
(d)
m
(d()f)
m
y(t)
y1y( t ) y2
(e)
将中m梁质l/二量6 等，m分单l/3，自m集由l中度/3 成体m三 系l/6个 。集(e)
振动自由度。
刚性链杆法：在结构上施加最少数量的刚性链杆以限制刚架上所 有质点的位置， 则该刚架的自由度数即等于所加链杆数目。
具有两个集中质量，加入三根链杆即能 使各质量固定不动其振动自由度为3。
注意：体系振动自由度的数目不完全取决于质点的数目，也与体系是否静定或超 静定无关。体系的自由度数目与计算假定和计算精度有关。如果考虑质点的转动 惯性，还应增加控制转动的约束，才能确定结构的振动自由度数目。
单自由度结构
m
y(t)
多自由度结构（自由度大于1的结构）
y1( t ) y (t)
2
y (t) 3
(a) (a)
(b) (b)
(c)
§10-2 结构振动的自由度
由质点竖向挠度为独立参数的单自由度结构
m
l
m
y(t) m
y(t)
当梁本身的质量远小于电动机的质量时，可以不计梁本身的质量，同时不考虑 梁的轴向变形和质点的转动，则梁上质点的位置只需由挠度y(t)就可确定。
§10-1 概述
一、结构动力计算的特点和任务
1. 动力荷载与静力荷载的区别： 静力荷载：大小、方向和作用位置不随时间变化，或变化
非常缓慢，不会促使结构产生显著的运动状态的变化，结构 将处于平衡状态。计算平衡状态下结构的内力和变形问题称 为静力计算。
动力荷载（干扰力）：随时间迅速变化的荷载 随时间变化的结构的位移和内力，称为动位移和动内力，并 称为动力反应。计算动力荷载作用下结构的动力反应问题，称 为动力计算。
(2) 分析计算动力荷载作用下结构的动力反应，确定动力荷载作用下结构的位 移、内力等量值随时间而变化的规律，从而找出其最大值以作为设计的依据。
§10-1 概述
二、动力荷载的分类
1. 周期荷载
周期荷载—— 随时间周期地变化的荷载。其中最简单、最重要的是
简谐荷载(按弦或余弦函数规律变化)。
F (t)
r
m
F θt
F
t
o
l/ 2
l/ 2
简谐荷载
非简谐性周期荷载 例：打桩时落锤撞击所产生的荷载。
F (t)
t
o
周期撞击荷载
§10-1 概述
2. 冲击荷载
在很短的时间内，荷载值急剧减小(或增加)，如爆炸时所产生的荷载。
F (t)
F (t)
F
F
3. 突加常o 量荷tr载
t
o tr
t
突然作用于结构上、荷载值在较长时间内保持不变。例：起重机起吊重 物时所产生的荷载。
§10-2 结构振动的自由度
实际结构中，除有较大的集中质量外，还有连续分布的质量。对此， 需要采用一定的简化措施，把无限多自由度的问题简化为单自由度或者 有限多自由度的问题进行计算
简化方法有多种，如集中质量法、广义坐标法和有限元法等。本章重点讨 论集中质量法。
集中质量法：把体系的连续分布质量集中为有限个集中质量(实际上是质 点)，把原来是无限自由度的问题简化成为有限自由度的问题。
注意：区分静力荷载与动力荷载，不是单纯从荷载本身性 质来看，要看其对结构产生的影响。
§10-1 概述
2. 结构动力计算的特点
结构静力计算的特点：结构的位移和内力只取决于静力荷载的大小及其分布 规律，与时间无关。
结构动力计算的特点：在动力荷载作用下，结构将产生振动，其位移和内力都 是随时间变化的。在运动过程中，结构的质量具有加速 度，必须考虑惯性力的作用。
2
y3( t )
三层平面刚架横梁的刚度可看作无穷 大，结构振动时横梁不能竖向移动和 转动而只能作水平移动，故振动自由 度等于3，多自由度体系。
(a)Байду номын сангаас(a)
(b) (b)
(c)
§10-2 结构振动的自由度
分析刚架的振动自由度时，仍可引用受弯直杆任意两点之间的距离保持不变
的假定，即略去杆件的轴向变形。因此，可采用施加刚性链杆法来确定结构的
F(t)
F
上述荷载是时间的确定函数，称之为
确定性动力荷载。
t
o
§10-1 概述
4. 随机荷载
随机荷载（非确定性荷载）——荷载的变化极不规则，在任—时刻的数 值无法预测。地震荷载和风荷载都是随机荷载。
F (t)
t
o
随机荷载（非确定性荷载）
§10-2 结构振动的自由度
结构振动的自由度:结构在弹性变形过程中确定全部质点位置所需的独立 参数的数目
3. 结构动力计算可分为两大类：
自由振动：结构受到外部因素干扰发生振动，而在以后的振动过程中不再受外 部干扰力作用。
强迫振动：如果结构在振动过程中还不断受到外部干扰力作用，则称为强迫 振动。
4. 结构动力计算的任务：
(1) 分析计算自由振动，得到的结构的动力特性(自振频率、振型和阻尼参数)；
aθ m3
EI=∞ θ a
θ EI=∞ m1
m2
θ
aθ
a
a
a
确定绝对刚性杆件上三个质点
的位置只需杆件转角(t)便可，
故为单自由度结构。
§10-2 结构振动的自由度
x
虽然只有一个集中质点，但其位置需
y
由水平位移x和竖向位移y两个独立参数
才能确定，因此振动自由度等于2，为
多自由度体系。
y1( t ) y (t)
第十章 结构动力学
§10-1 概述 §10-2 结构的振动自由度 §10-3 单自由度结构的自由振动 §10-4 单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动 §10-5 单自由度结构在任意荷载作用下的强迫振动 §10-6 多自由度结构的自由振动
§10-7 多自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动 §10-8 振型分解法 §10-9 无限自由度结构的振动 §10-10 计算频率的近似方法
x
m
水塔的质量大部分集中在塔顶上，可简化成
以x(t)为位移参数的单自由度结构。
§10-2 结构振动的自由度
x dx
凡属需要考虑杆件本身质量（称为质(c量) 杆）m的l /4结构都m是l无/2限自m由l /度4 体系。
(a)
m 例：用集中l 质量法将连
续分(a)
m
ll/ 2
l/ 2
(b)布 由度质体量系的。简支m梁d简x 化为有限自((bd))
x dx
m dmx
x dx y( t )
(c) ml /4
ml /2 ml /4
((ce))
ml /m4 l/ 6
mml/l
/2 3
mlm/ l3/4ml/ 6
l/ 2
l/ 2
l/ 2 l/ 3
l/
l/ 2 3
l/ 3
(d)
m
(d()f)
m
y(t)
y1y( t ) y2
(e)
将中m梁质l/二量6 等，m分单l/3，自m集由l中度/3 成体m三 系l/6个 。集(e)
振动自由度。
刚性链杆法：在结构上施加最少数量的刚性链杆以限制刚架上所 有质点的位置， 则该刚架的自由度数即等于所加链杆数目。
具有两个集中质量，加入三根链杆即能 使各质量固定不动其振动自由度为3。
注意：体系振动自由度的数目不完全取决于质点的数目，也与体系是否静定或超 静定无关。体系的自由度数目与计算假定和计算精度有关。如果考虑质点的转动 惯性，还应增加控制转动的约束，才能确定结构的振动自由度数目。
单自由度结构
m
y(t)
多自由度结构（自由度大于1的结构）
y1( t ) y (t)
2
y (t) 3
(a) (a)
(b) (b)
(c)
§10-2 结构振动的自由度
由质点竖向挠度为独立参数的单自由度结构
m
l
m
y(t) m
y(t)
当梁本身的质量远小于电动机的质量时，可以不计梁本身的质量，同时不考虑 梁的轴向变形和质点的转动，则梁上质点的位置只需由挠度y(t)就可确定。
§10-1 概述
一、结构动力计算的特点和任务
1. 动力荷载与静力荷载的区别： 静力荷载：大小、方向和作用位置不随时间变化，或变化
非常缓慢，不会促使结构产生显著的运动状态的变化，结构 将处于平衡状态。计算平衡状态下结构的内力和变形问题称 为静力计算。
动力荷载（干扰力）：随时间迅速变化的荷载 随时间变化的结构的位移和内力，称为动位移和动内力，并 称为动力反应。计算动力荷载作用下结构的动力反应问题，称 为动力计算。
(2) 分析计算动力荷载作用下结构的动力反应，确定动力荷载作用下结构的位 移、内力等量值随时间而变化的规律，从而找出其最大值以作为设计的依据。
§10-1 概述
二、动力荷载的分类
1. 周期荷载
周期荷载—— 随时间周期地变化的荷载。其中最简单、最重要的是
简谐荷载(按弦或余弦函数规律变化)。
F (t)
r
m
F θt
F
t
o
l/ 2
l/ 2
简谐荷载
非简谐性周期荷载 例：打桩时落锤撞击所产生的荷载。
F (t)
t
o
周期撞击荷载
§10-1 概述
2. 冲击荷载
在很短的时间内，荷载值急剧减小(或增加)，如爆炸时所产生的荷载。
F (t)
F (t)
F
F
3. 突加常o 量荷tr载
t
o tr
t
突然作用于结构上、荷载值在较长时间内保持不变。例：起重机起吊重 物时所产生的荷载。
§10-2 结构振动的自由度
实际结构中，除有较大的集中质量外，还有连续分布的质量。对此， 需要采用一定的简化措施，把无限多自由度的问题简化为单自由度或者 有限多自由度的问题进行计算
简化方法有多种，如集中质量法、广义坐标法和有限元法等。本章重点讨 论集中质量法。
集中质量法：把体系的连续分布质量集中为有限个集中质量(实际上是质 点)，把原来是无限自由度的问题简化成为有限自由度的问题。
注意：区分静力荷载与动力荷载，不是单纯从荷载本身性 质来看，要看其对结构产生的影响。
§10-1 概述
2. 结构动力计算的特点
结构静力计算的特点：结构的位移和内力只取决于静力荷载的大小及其分布 规律，与时间无关。
结构动力计算的特点：在动力荷载作用下，结构将产生振动，其位移和内力都 是随时间变化的。在运动过程中，结构的质量具有加速 度，必须考虑惯性力的作用。
2
y3( t )
三层平面刚架横梁的刚度可看作无穷 大，结构振动时横梁不能竖向移动和 转动而只能作水平移动，故振动自由 度等于3，多自由度体系。
(a)Байду номын сангаас(a)
(b) (b)
(c)
§10-2 结构振动的自由度
分析刚架的振动自由度时，仍可引用受弯直杆任意两点之间的距离保持不变
的假定，即略去杆件的轴向变形。因此，可采用施加刚性链杆法来确定结构的
F(t)
F
上述荷载是时间的确定函数，称之为
确定性动力荷载。
t
o
§10-1 概述
4. 随机荷载
随机荷载（非确定性荷载）——荷载的变化极不规则，在任—时刻的数 值无法预测。地震荷载和风荷载都是随机荷载。
F (t)
t
o
随机荷载（非确定性荷载）
§10-2 结构振动的自由度
结构振动的自由度:结构在弹性变形过程中确定全部质点位置所需的独立 参数的数目