四川省渠县崇德实验学校2020年中考第二轮九年级数学三角形、四边形压轴题专题复习(无答案)

四川省渠县崇德实验学校2020年中考九年级数学：四边形综合专题复习题1、如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的角平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E．（1）求证：BE=CD；（2）连接BF，若BF⊥AE，∠BEA=60°，AB=4，求平行四边形ABCD的面积．2、如图，矩形ABCD中，延长AB至E，延长CD至F，BE=DF，连接EF，与BC、AD分别相交于P、Q两点．（1）求证：CP=AQ；（2）若BP=1，PQ=2，∠AEF=45°，求矩形ABCD的面积．3、如图，在▱ABCD中，点E，F在对角线AC上，且AE=CF．求证：（1）DE=BF；（2）四边形DEBF是平行四边形．4、如图，E是▱ABCD的边CD的中点，延长AE交BC的延长线于点F．（1）求证：△ADE≌△FCE．（2）若∠BAF=90°，BC=5，EF=3，求CD的长．5、如图，AC是矩形ABCD的对角线，过AC的中点O作EF⊥AC，交BC于点E，交AD于点F，连接AE，CF．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若AB=，∠DCF=30°，求四边形AECF的面积．（结果保留根号）6、如图，▱ABCD中，AB=2，AD=1，∠ADC=60°，将▱ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D 落到AB边上的点D′处，折痕交CD边于点E．（1）求证：四边形BCED′是菱形；（2）若点P时直线l上的一个动点，请计算PD′+PB的最小值．7、如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，∠ABC：∠BAD=1：2，BE∥AC，CE∥BD．（1）求tan∠DBC的值；（2）求证：四边形OBEC是矩形．8、在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，动点Q从点A出发，以每秒1个单位的速度，沿AB向点B移动；同时点P从点B出发，仍以每秒1个单位的速度，沿BC向点C移动，连接QP，QD，PD．若两个点同时运动的时间为x秒（0＜x≤3），解答下列问题：（1）设△QPD的面积为S，用含x的函数关系式表示S；当x为何值时，S有最大值？并求出最小值；（2）是否存在x的值，使得QP⊥DP？试说明理由．9、如图，点P在矩形ABCD的对角线AC上，且不与点A，C重合，过点P分别作边AB，AD 的平行线，交两组对边于点E，F和G，H．（1）求证：△PHC≌△CFP；（2）证明四边形PEDH和四边形PFBG都是矩形，并直接写出它们面积之间的关系．10、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=∠C，点P在边AB上．（1）判断四边形ABCD的形状并加以证明；（2）若AB=AD，以过点P的直线为轴，将四边形ABCD折叠，使点B、C分别落在点B′、C′上，且B′C′经过点D，折痕与四边形的另一交点为Q．①在图2中作出四边形PB′C′Q（保留作图痕迹，不必说明作法和理由）；②如果∠C=60°，那么为何值时，B′P⊥AB．11、某同学要证明命题“平行四边形的对边相等．”是正确的，他画出了图形，并写出了如下已知和不完整的求证．已知：如图，四边形ABCD是平行四边形．求证：AB=CD，BC=DA（1）补全求证部分；（2）请你写出证明过程．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴∠BAC=∠DCA，∠BCA=∠DAC，在△ABC和△CDA中，，∴△ABC≌△CDA（ASA），∴AB=CD，BC=DA．．12、在矩形ABCD中，E为CD的中点，H为BE上的一点，，连接CH并延长交AB于点G，连接GE并延长交AD的延长线于点F．（1）求证：；（2）若∠CGF=90°，求的值．13、如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG．（1）求证：四边形EFDG是菱形；（2）探究线段EG、GF、AF之间的数量关系，并说明理由；（3）若AG=6，EG=2，求BE的长．14、如图，已知▱ABCD的三个顶点A（n，0）、B（m，0）、D（0，2n）（m＞n＞0），作▱ABCD 关于直线AD的对称图形AB1C1D（1）若m=3，试求四边形CC1B1B面积S的最大值；（2）若点B1恰好落在y轴上，试求的值．15、已知正方形ABCD，P为射线AB上的一点，以BP为边作正方形BPEF，使点F在线段CB的延长线上，连接EA、EC．（1）如图1，若点P在线段AB的延长线上，求证：EA=EC；（2）若点P在线段AB上．①如图2，连接AC，当P为AB的中点时，判断△ACE的形状，并说明理由；②如图3，设AB=a，BP=b，当EP平分∠AEC时，求a：b及∠AEC的度数．16、如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．（1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由．（2）性质探究：试探索垂美四边形ABCD两组对边AB，CD与BC，AD之间的数量关系．猜想结论：（要求用文字语言叙述）___________________________写出证明过程（先画出图形，写出已知、求证）．（3）问题解决：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG 和正方形ABDE，连接CE，BG，GE，已知AC=4，AB=5，求GE长．17、如图1，已知点E，F，G，H分别是四边形ABCD各边AB，BC，CD，DA的中点，根据以下思路可以证明四边形EFGH是平行四边形：（1）如图2，将图1中的点C移动至与点E重合的位置，F，G，H仍是BC，CD，DA的中点，求证：四边形CFGH是平行四边形；（2）如图3，在边长为1的小正方形组成的5×5网格中，点A，C，B都在格点上，在格点上画出点D，使点C与BC，CD，DA的中点F，G，H组成正方形CFGH；（3）在（2）条件下求出正方形CFGH的边长．18、如图，面积为6的平行四边形纸片ABCD中，AB=3，∠BAD=45°，按下列步骤进行裁剪和拼图．第一步：如图①，将平行四边形纸片沿对角线BD剪开，得到△ABD和△BCD纸片，再将△ABD纸片沿AE剪开（E为BD上任意一点），得到△ABE和△ADE纸片；第二步：如图②，将△ABE纸片平移至△DCF处，将△ADE纸片平移至△BCG处；第三步：如图③，将△DCF纸片翻转过来使其背面朝上置于△PQM处（边PQ与DC重合，△PQM和△DCF在DC同侧），将△BCG纸片翻转过来使其背面朝上置于△PRN处，（边PR与BC 重合，△PRN和△BCG在BC同侧）．则由纸片拼成的五边形PMQRN中，对角线MN长度的最小值为．19、如图，在矩形ABCD中，点O为坐标原点，点B的坐标为（4，3），点A、C在坐标轴上，点P在BC边上，直线l1：y=2x+3，直线l2：y=2x﹣3．（1）分别求直线l1与x轴，直线l2与AB的交点坐标；（2）已知点M在第一象限，且是直线l2上的点，若△APM是等腰直角三角形，求点M的坐标；（3）我们把直线l1和直线l2上的点所组成的图形为图形F．已知矩形ANPQ的顶点N在图形F上，Q是坐标平面内的点，且N点的横坐标为x，请直接写出x的取值范围（不用说明理由）．20、如图1，在正方形ABCD内作∠EAF=45°，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF，过点A作AH⊥EF，垂足为H．（1）如图2，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG．①求证：△AGE≌△AFE；②若BE=2，DF=3，求AH的长．（2）如图3，连接BD交AE于点M，交AF于点N．请探究并猜想：线段BM，MN，ND之间有什么数量关系？并说明理由．参考答案：1、【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，AB=CD，∴∠B+∠C=180°，∠AEB=∠DAE，∵AE是∠BAD的平分线，∴∠BAE=∠DAE，∴∠BAE=∠AEB，∴AB=BE，∴BE=CD；（2）解：∵AB=BE，∠BEA=60°，[来源:学#科#网] ∴△ABE是等边三角形，∴AE=AB=4，∵BF⊥AE，∴AF=EF=2，∴BF===2，∵AD∥BC，∴∠D=∠ECF，∠DAF=∠E，在△ADF和△ECF中，，∴△ADF≌△ECF（AAS），∴△ADF的面积=△ECF的面积，∴平行四边形ABCD的面积=△ABE的面积=AE•BF=×4×2=4．2、【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠ABC=∠C=∠ADC=90°，AB=CD，AD=BC，AB∥CD，AD∥BC，∴∠E=∠F，∵BE=DF，∴AE=CF，在△CFP和△AEQ中，，∴△CFP≌△AEQ（ASA），∴CP=AQ；（2）解：∵AD∥BC，[来源:学#科#网Z#X#X#K]∴∠PBE=∠A=90°，∵∠AEF=45°，∴△BEP、△AEQ是等腰直角三角形，∴BE=BP=1，AQ=AE，∴PE=BP=，∴EQ=PE+PQ=+2=3，∴AQ=AE=3，∴AB=AE﹣BE=2，∵CP=AQ，AD=BC，∴DQ=BP=1，∴AD=AQ+DQ=3+1=4，∴矩形ABCD的面积=AB•AD=2×4=8．3、【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥CB，AD=CB，∴∠DAE=∠BCF，在△ADE和△CBF中，∴△ADE≌△CBF，∴DE=BF．（2）由（1），可得∴△ADE≌△CBF，∴∠ADE=∠CBF，∵∠DEF=∠DAE+∠ADE，∠BFE=∠BCF+∠CBF，∴∠DEF=∠BFE，∴DE∥BF，又∵DE=BF，∴四边形DEBF是平行四边形．4、【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠DAE=∠F，∠D=∠ECF，∵E是▱ABCD的边CD的中点，∴DE=CE，在△ADE和△FCE中，，∴△ADE≌△FCE（AAS）；（2）解：∵ADE≌△FCE，∴AE=EF=3，∵AB∥CD，∴∠AED=∠BAF=90°，在▱ABCD中，AD=BC=5，∴DE===4，∴CD=2DE=8．5、【解答】（1）证明：∵O是AC的中点，且EF⊥AC，∴AF=CF，AE=CE，OA=OC，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠AFO=∠CEO，在△AOF和△COE中，，∴△AOF≌△COE（AAS），∴AF=CE，∴AF=CF=CE=AE，∴四边形AECF是菱形；（2）解：∵四边形ABCD是矩形，∴CD=AB=，在Rt△CDF中，cos∠DCF=，∠DCF=30°，∴CF==2，∵四边形AECF是菱形，∴CE=CF=2，∴四边形AECF是的面积为：EC•AB=2．6、【解答】证明：（1）∵将▱ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D′处，∴∠DAE=∠D′AE，∠DEA=∠D′EA，∠D=∠AD′E，∵DE∥AD′，∴∠DEA=∠EAD′，∴∠DAE=∠EAD′=∠DEA=∠D′EA，∴∠DAD′=∠DED′，∴四边形DAD′E是平行四边形，∴DE=AD′，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=DC，AB∥DC，∴CE=D′B，CE∥D′B，∴四边形BCED′是平行四边形；∵AD=AD′，∴▱DAD′E是菱形，（2）∵四边形DAD′E是菱形，∴D与D′关于AE对称，连接BD交AE于P，则BD的长即为PD′+PB的最小值，过D作DG⊥BA于G，∵CD∥AB，∴∠DAG=∠CDA=60°，∵AD=1，∴AG=，DG=，∴BG=，∴BD==，∴PD′+PB的最小值为．7、【解答】（1）解：∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∠DBC=∠ABC，∴∠ABC+∠BAD=180°，∵∠ABC：∠BAD=1：2，∴∠ABC=60°，∴∠BDC=∠ABC=30°，则tan∠DBC=tan30°=；（2）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，即∠BOC=90°，∵BE∥AC，CE∥BD，∴BE∥OC，CE∥OB，∴四边形OBEC是平行四边形，则四边形OBEC是矩形．8、【解答】解：（1）∵四边形ABCD为矩形，∴BC=AD=4，CD=AB=3，当运动x秒时，则AQ=x，BP=x，∴BQ=AB﹣AQ=3﹣x，CP=BC﹣BP=4﹣x，∴S△ADQ=AD•AQ=×4x=2x，S△BPQ=BQ•BP=（3﹣x）x=x﹣x2，S△PCD=PC•CD=•（4﹣x）•3=6﹣x，又S矩形ABCD=AB•BC=3×4=12，∴S=S矩形ABCD﹣S△ADQ﹣S△BPQ﹣S△PCD=12﹣2x﹣（x﹣x2）﹣（6﹣x）=x2﹣2x+6=（x﹣2）2+4，即S=（x﹣2）2+4，∴S为开口向上的二次函数，且对称轴为x=2，∴当0＜x＜2时，S随x的增大而减小，当2＜x≤3时，S随x的增大而增大，又当x=0时，S=5，当S=3时，S=，但x的范围内取不到x=0，∴S不存在最大值，当x=2时，S有最小值，最小值为4；（2）存在，理由如下：由（1）可知BQ=3﹣x，BP=x，CP=4﹣x，当QP⊥DP时，则∠BPQ+∠DPC=∠DPC+∠PDC，∴∠BPQ=∠PDC，且∠B=∠C，∴△BPQ∽△PCD，∴=，即=，解得x=（舍去）或x=，∴当x=时QP⊥DP．9、【解答】证明：（1）∵四边形ABCD为矩形，∴AB∥CD，AD∥BC．∵PF∥AB，∴PF∥CD，∴∠CPF=∠PCH．∵PH∥AD，∴PH∥BC，∴∠PCF=∠CPH．在△PHC和△CFP中，，∴△PHC≌△CFP（ASA）．（2）∵四边形ABCD为矩形，∴∠D=∠B=90°．又∵EF∥AB∥CD，GH∥AD∥BC，∴四边形PEDH和四边形PFBG都是矩形．∵EF∥AB，∴∠CPF=∠CAB．在Rt△AGP中，∠AGP=90°，PG=AG•tan∠CAB．在Rt△CFP中，∠CFP=90°，CF=PF•tan∠CPF．S矩形DEPH=DE•EP=CF•EP=PF•EP•tan∠CPF；S矩形PGBF=PG•PF=AG•PF•tan∠CAB=EP•PF•tan∠CAB．∵tan∠CPF=tan∠CAB，∴S矩形DEPH=S矩形PGBF．10、【解答】解：（1）四边形ABCD是平行四边形证明：∵在四边形ABCD中，AD∥BC，∴∠A+∠B=180°，∵∠A=∠C，∴∠C+∠B=180°，∴AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形；（2）①作图如下：②当AB=AD时，平行四边形ABCD是菱形，由折叠可得，BP=B′P，CQ=C′Q，BC=B′C′，∠C=∠C′=60°=∠A，当B′P⊥AB时，由B′P∥C′Q，可得C′Q⊥CD，∴∠PEA=30°=∠DEB′，∠QDC′=30°=∠B′DE，∴B′D=B′E，设AP=a，BP=b，则直角三角形APE中，PE=a，且B′P=b，BC=B′C′=CD=a+b，∴B′E=b﹣a=B′D，∴C′D=a+b﹣（b﹣a）=a+a，∴直角三角形C′QD中，C′Q=a=CQ，DQ=C′Q=a，∵CD=DQ+CQ=a+b，∴a+a=a+b，整理得（+1）a=b，∴==，即=．11、【解答】（1）已知：如图，四边形ABCD是平行四边形．求证：AB=CD，BC=DA；故答案为：BC=DA；（2）证明：连接AC，如图所示：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴∠BAC=∠DCA，∠BCA=∠DAC，在△ABC和△CDA中，，∴△ABC≌△CDA（ASA），∴AB=CD，BC=DA；故答案为：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴∠BAC=∠DCA，∠BCA=∠DAC，在△ABC和△CDA中，，∴△ABC≌△CDA（ASA），∴AB=CD，BC=DA．12、【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴CD∥AB，AD=BC，AB=CD，AD∥BC，∴△CEH∽△GBH，∴．（2）解：作EM⊥AB于M，如图所示：则EM=BC=AD，AM=DE，∵E为CD的中点，∴DE=CE，设DE=CE=3a，则AB=CD=6a，由（1）得： =3，∴BG=CE=a，∴AG=5a，∵∠EDF=90°=∠CGF，∠DEF=∠GEC，∴△DEF∽△GEC，∴，∴EG•EF=DE•EC，∵CD∥AB，∴=，∴，∴EF=EG，∴EG•EG=3a•3a，解得：EG=a，在Rt△EMG中，GM=2a，∴EM==a，∴BC=a，∴==3．13、【解答】解：（1）证明：∵GE∥DF，∴∠EGF=∠DFG．∵由翻折的性质可知：GD=GE，DF=EF，∠DGF=∠EGF，∴∠DGF=∠DFG．∴GD=DF．∴DG=GE=DF=EF．∴四边形EFDG为菱形．（2）EG2=GF•AF．理由：如图1所示：连接DE，交AF于点O．∵四边形EFDG为菱形，∴GF⊥DE，OG=OF=GF．∵∠DOF=∠ADF=90°，∠OFD=∠DFA，∴△DOF∽△ADF．∴，即DF2=FO•AF．∵FO=GF，DF=EG，∴EG2=GF•AF．（3）如图2所示：过点G作GH⊥DC，垂足为H．∵EG2=GF•AF，AG=6，EG=2，∴20=FG（FG+6），整理得：FG2+6FG﹣40=0．解得：FG=4，FG=﹣10（舍去）．∵DF=GE=2，AF=10，∴AD==4．∵GH⊥DC，AD⊥DC，∴GH∥AD．∴△FGH∽△FAD．∴，即=．∴GH=．∴BE=AD﹣GH=4﹣=．14、【解答】解：（1）如图1，∵▱ABCD与四边形AB1C1D关于直线AD对称，∴四边形AB1C1D是平行四边形，CC1⊥EF，BB1⊥EF，∴BC∥AD∥B1C1，CC1∥BB1，∴四边形BCEF、B1C1EF是平行四边形，∴S▱BCEF=S▱BCDA=S▱B1C1DA=S▱B1C1EF，∴S▱BCC1B1=2S▱BCDA．∵A（n，0）、B（m，0）、D（0，2n）、m=3，∴AB=m﹣n=3﹣n，OD=2n，∴S▱BCDA=AB•OD=（3﹣n）•2n=﹣2（n2﹣3n）=﹣2（n﹣）2+，∴S▱BCC1B1=2S▱BCDA=﹣4（n﹣）2+9．∵﹣4＜0，∴当n=时，S▱BCC1B1最大值为9；（2）当点B1恰好落在y轴上，如图2，∵DF⊥BB1，DB1⊥OB，∴∠B1DF+∠DB1F=90°，∠B1BO+∠OB1B=90°，∴∠B1DF=∠OBB1．∵∠DOA=∠BOB1=90°，∴△AOD∽△B1OB，∴=，∴=，∴OB1=．由轴对称的性质可得AB1=AB=m﹣n．在Rt△AOB1中，n2+（）2=（m﹣n）2，整理得3m2﹣8mn=0．∵m＞0，∴3m﹣8n=0，∴=．15、【解答】解：（1）∵四边形ABCD和四边形BPEF是正方形，∴AB=BC，BP=BF，∴AP=CF，在△APE和△CFE中，，∴△APE≌△CFE，∴EA=EC；（2）①∵P为AB的中点，∴PA=PB，又PB=PE，∴PA=PE，∴∠PAE=45°，又∠DAC=45°，∴∠CAE=90°，即△ACE是直角三角形；②∵EP平分∠AEC，EP⊥AG，∴AP=PG=a﹣b，BG=a﹣（2a﹣2b）=2b﹣a∵PE∥CF，∴=，即=，解得，a=b；作G H⊥AC于H，∵∠CAB=45°，∴HG=AG=×（2b﹣2b）=（2﹣）b，又BG=2b﹣a=（2﹣）b，∴GH=GB，GH⊥AC，GB⊥BC，∴∠HCG=∠BCG，∵PE∥CF，∴∠PEG=∠BCG，∴∠AEC=∠ACB=45°．∴a：b=：1；∴∠AEC=45°．16、【解答】解：（1）四边形ABCD是垂美四边形．证明：∵AB=AD，∴点A在线段BD的垂直平分线上，∵CB=CD，∴点C在线段BD的垂直平分线上，∴直线AC是线段BD的垂直平分线，∴AC⊥BD，即四边形ABCD是垂美四边形；（2）猜想结论：垂美四边形的两组对边的平方和相等．如图2，已知四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为E，求证：AD2+BC2=AB2+CD2证明：∵AC⊥BD，∴∠AED=∠AEB=∠BEC=∠CED=90°，由勾股定理得，AD2+BC2=AE2+DE2+BE2+CE2，AB2+CD2=AE2+BE2+CE2+DE2，∴AD2+BC2=AB2+CD2；（3）连接CG、BE，∵∠CAG=∠BAE=90°，∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC，即∠GAB=∠CAE，在△GAB和△CAE中，，∴△GAB≌△CAE，∴∠ABG=∠AEC，又∠AEC+∠AME=90°，∴∠ABG+∠AME=90°，即CE⊥BG，∴四边形CGEB是垂美四边形，由（2）得，CG2+BE2=CB2+GE2，∵AC=4，AB=5，∴BC=3，CG=4，BE=5，∴GE2=CG2+BE2﹣CB2=73，∴GE=．17、【解答】（1）证明：如图2，连接BD，∵C，H是AB，DA的中点，∴CH是△ABD的中位线，∴CH∥BD，CH=BD，同理FG∥BD，FG=BD，∴CH∥FG，CH=FG，∴四边形CFGH是平行四边形；（2）如图3所示，（3）解：如图3，∵BD=，∴FG=BD=，∴正方形CFGH的边长是．18、【解答】解：∵△ABE≌△CDF≌△PMQ，∴AE=DF=PM，∠EAB=∠FDC=∠MPQ，∵△ADE≌△BCG≌△PNR，∴AE=BG=PN，∠DAE=∠CBG=∠RPN，∴PM=PN，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠DAB=∠DCB=45°，∴∠MPN=90°，∴△MPN是等腰直角三角形，当PM最小时，对角线MN最小，即AE取最小值，∴当AE⊥BD时，AE取最小值，过D作DF⊥AB于F，∵平行四边形ABCD的面积为6，AB=3，∴DF=2，∵∠DAB=45°，∴AF=DF=2，∴BF=1，∴BD==，∴AE===，∴MN=AE=，故答案为：．19、【解答】解：（1）直线l1：当y=0时，2x+3=0，x=﹣则直线l1与x轴坐标为（﹣，0）直线l2：当y=3时，2x﹣3=3，x=3则直线l2与AB的交点坐标为（3，3）；（2）①若点A为直角顶点时，点M在第一象限，连结AC，如图1，∠APB＞∠ACB＞45°，∴△APM不可能是等腰直角三角形，∴点M不存在；②若点P为直角顶点时，点M在第一象限，如图2，过点M作MN⊥CB，交CB的延长线于点N，则Rt△ABP≌Rt△PNM，∴AB=PN=4，MN=BP，设M（x，2x﹣3），则MN=x﹣4，∴2x﹣3=4+3﹣（x﹣4），x=，∴M（，）；③若点M为直角顶点时，点M在第一象限，如图3，设M1（x，2x﹣3），过点M1作M1G1⊥OA，交BC于点H1，则Rt△AM1G1≌Rt△PM1H1，∴AG1=M1H1=3﹣（2x﹣3），∴x+3﹣（2x﹣3）=4，x=2∴M1（2，1）；设M2（x，2x﹣3），同理可得x+2x﹣3﹣3=4，∴x=，∴M2（，）；综上所述，点M的坐标为（，），（2，1），（，）；（3）x的取值范围为﹣≤x＜0或0＜x≤或≤x≤或≤x≤2．20、【解答】解：（1）①由旋转的性质可知：AF=AG，∠DAF=∠BAG．[来源:学。

四川省渠县崇德实验学校2020 年中考九年级数学几何图形综合题专题复习1、如图，在 ?ABCD中，点 E 在边 BC上，点 F 在边 AD的延长线上，且DF=BE，BE与 CD交于点 G（1）求证： BD∥ EF；（ 2）若=，BE=4，求EC的长．2、如图，在Rt △ABC中，∠C＝ 90°，AC＝6，∠BAC＝ 60°，AD均分∠BAC交BC于点D，过点 D作 DE∥ AC交 AB于点 E.点 M是线段 AD上的动点，连结BM并延长分别交DE，AC于点F， G.EF(1)求 CD的长；(2)若点 M是线段 AD的中点，求DF的值；(3)请问当 DM的长知足什么条件时，在线段DE上恰巧只有一点 P，使得∠ CPG＝60°？3、如图，在△ABC中， AD⊥ BC， BE⊥ AC，垂足分别为D，E， AD与 BE订交于点F．（1）求证：△ ACD∽△ BFD；（2）当 tan ∠ ABD=1， AC=3时，求 BF的长．4、如图， ?ABCD的对角线AC、 BD交于点 O， EF过点 O且与 BC、 AD分别交于点E、 F．试猜想线段 AE、 CF 的关系，并说明原因．5、如图，平行四边形 ABCD的对角线 AC、BD订交于点 O，E，F 分别是 OA，OC的中点，连结BE， DF（1）依据题意，补全原形；（2）求证：BE=DF．6、如图，在正方形ABCD中，点E是BC的中点，将△ABE沿AE折叠后获得△AFE，点F在正方形 ABCD的内部，延长 AF交 CD于点 G.(1)猜想并证明线段 FG与 CG的数目关系；(2) 若将图①中的正方形改成矩形，其余条件不变，如图②，那么线段FG与 CG之间的数目关系能否改变？请证明你的结论；(3) 若将图①中的正方形改成平行四边形，其余条件不变，如图③，那么线段FG 与 CG 之间的数目关系能否会改变？请证明你的结论．7、如图，四边形ABCD是菱形， CE⊥ AB交 AB的延长线于点E， CF⊥AD交 AD的延长线于点F，求证： DF=BE．8、如图，□A BCD中， BD是它的一条对角线，过A、C 两点作 AE⊥ BD，CF⊥ BD，垂足分别为E、 F，延长 AE、 CF分别交 CD、 AB于 M、 N。

四川省渠县崇德实验学校2020年中考九年级数学：相似三角形复习测试题一、选择题（每小题3分，共36分）1.下列说法正确的是( )A.两个直角三角形一定相似B.两个相似图形一定是位似图形C.两个菱形一定相似D.两个正三角形一定相似 2.如图，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果AC AB ＝BCAC，那么称线段AB 被点C 黄金分割，AC 与AB 的比叫做黄金比，其比值是( )A.5－12B.3－52C.5＋12D.3＋523.下列命题是真命题的是( )A.如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的周长比为2∶3B.如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的周长比为4∶9C.如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的面积比为2∶3D.如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的面积比为4∶9 4.如图，在△ABC 中，点D ，E ，F 分别在边AB ，AC ，BC 上，且DE∥BC，EF∥AB.若AD ＝2BD ，则CFBF的值为( )A.12B.13C.14D.235.要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为5 cm ，6 cm 和9 cm ，另一个三角形的最短边长为2.5 cm ，则它的最长边为( ) A.3 cm B.4 cm C.4.5 cm D.5 cm6.如图，在△ABC 中，点D 是边AB 上的一点，∠ADC＝∠ACB，AD ＝2，BD ＝6，则边AC 的长为( )A.2B.4C.6D.87.学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置BD 绕O 点旋转到AC 位置，已知AB⊥BD，CD⊥BD.垂足分别为B ，D ，AO ＝4 m ，AB ＝1.6 m ，CO ＝1 m ，则栏杆C 端应下降的垂直距离CD 为( )A.0.2 mB.0.3 mC.0.4 mD.0.5 m 8.如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在AB 和AC 上，DE∥BC，M 为BC 边上一点(不与点B ，C 重合)，连接AM 交DE 于点N ，则( )A.AD AN ＝AN AEB.BD MN ＝MN CEC.DN BM ＝NE MCD.DN MC ＝NE BM9.如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，已知AD 平分∠BAC 交⊙O 于点D ，交BC 边于点E ，AD ＝5，BD ＝2，则DE 的长为( )A.35B.425C.225D.4510.如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在AB ，AC 边上，DE∥BC，∠ACD＝∠B.若AD ＝2BD ，BC ＝6，则线段CD 的长为( )A.2 3B.3 2C.2 6D.511.如图，在正方形ABCD 中，E ，F 分别在边AD ，CD 上，AF ，BE 相交于点G.若AE ＝3ED ，DF ＝CF ，则AGGF的值是( )A.43B.54C.65D.7612.如图所示，若△ABC 内一点P 满足∠PAC＝∠PBA＝∠PCB，则点P 为△ABC 的布洛卡点.三角形的布洛卡点(Brocard point)是法国数学家和数学教育家克洛尔(A.L.Crelle 1780－1855)于1816年首次发现，但他的发现并未被当时的人们所注意，1875年，布洛卡点被一个数学爱好者法国军官布洛卡(Brocard 1845－1922)重新发现，并用他的名字命名.问题：已知在等腰Rt△DEF 中，∠EDF＝90°.若点Q 为Rt△DEF 的布洛卡点，DQ ＝1，则EQ ＋FQ ＝( )A.5B.4C.3＋ 2D.2＋ 2 二、填空题（每小题3分，共18分） 13.若x y ＝23，则x －2y y＝.14.如图，在▱ABCD 中，点E 是边AD 的中点，EC 交对角线BD 于点F ，则EF∶FC 等于.15.如图，一组平行横格线，其相邻横格线间的距离都相等，已知点A ，B ，C ，D ，O 都在横格线上，且线段AD ，BC 交于点O ，则AB∶CD 等于.16.如图，点E 是▱ABCD 的边BC 延长线上一点，连接AE ，交CD 于点F ，连接BF.写出图中任意一对相似三角形：17.在▱ABCD 中，E 是AD 上一点，且点E 将AD 分为2∶3的两部分，连接BE ，AC 相交于F ，则S △AEF ∶S △CBF 是18.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，CD∥AB，∠ABC的平分线BD交AC于E，DE＝三、解答题（共66分）19.如图，在▱ABCD中，连接对角线AC，延长AB至点E，使BE＝AB，连接DE，分别交BC，AC交于点F，G.(1)求证：BF＝CF；(2)若BC＝6，DG＝4，求FG的长.20.如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边AB，AD上，EF⊥CE于点E. (1)求证：△AEF∽△BCE；(2)若BEAE＝12，求EFCE的值.21.如图，∠ABD＝∠BCD＝90°，DB平分∠ADC，过点B作BM∥CD交AD于点M，连接CM交DB于点N.(1)求证：BD2＝AD·CD；(2)若CD＝6，AD＝8，求MN的长.22.如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P为△ABC内部一点，且∠APB＝∠BPC＝135°.(1)求证：△PAB∽△PBC；(2)求证：PA＝2PC；(3)若点P到三角形的边AB，BC，CA的距离分别为h1，h2，h3，求证：h21＝h2h3.参考答案：一、选择题1-12 DABACBCCDCCD二、填空题13、－43 14、1∶2 15、2∶3 16、答案不唯一，如△EFC∽△AFD，△EAB∽△AFD，△EFC∽△EAB. 17、4∶25或9∶25. 18、955. 三、解答题19、解：(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD∥BC，AD ＝BC. ∴△EBF∽△EAD. ∴BF AD ＝EB EA ＝12. ∴BF＝12AD ＝12BC.∴BF＝CF.(2)∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD∥BC.∴△FGC∽△DGA. ∴FG DG ＝FC AD ，即FG 4＝12. 解得FG ＝2.20、解：(1)∵∠A＝∠B＝90°，∠FEC＝90°， ∴∠AEF＋∠AFE＝90°，∠AEF＋∠BEC＝90°. ∴∠AFE＝∠BEC. ∴△AEF∽△BCE. (2)由BE AE ＝12，设BE ＝x ，则AE ＝2x ，AB ＝3x ＝BC. ∵△AEF∽△BCE，∴EF CE ＝AE BC ＝23. 21解：(1)证明：∵BD 平分∠ADC， ∴∠ADB＝∠BDC.又∵∠ABD＝∠BCD＝90°， ∴△DAB∽△DBC.∴BD CD ＝ADBD，即BD 2＝AD·CD. (2)由(1)可知：BD 2＝AD·CD. ∵CD＝6，AD ＝8，∴BD 2＝6×8＝48. ∴BC 2＝BD 2－CD 2＝48－36＝12.∵BM∥CD，∴∠MBD＝∠BDC＝∠ADB，∠MBC＝180°－∠BCD＝90°. ∴DM＝BM.∵∠ADB＋∠A＝∠MBD＋∠MBA＝90°， ∴∠A＝∠MBA.∴AM＝BM ＝DM ＝12AD ＝4.∴CM＝BM 2＋BC 2＝16＋12＝27. ∵BM∥CD，∴△BMN∽△DCN.∴MN CN ＝BMCD.设MN ＝x ，则CN ＝27－x. 则x 27－x ＝46.解得x ＝475.经检验，x ＝475是原分式方程的解.∴MN＝475. 22、证明：(1)∵∠ACB＝90°，AC ＝BC ， ∴∠ABC＝∠PBA＋∠PBC＝45°. 又∵∠APB＝135°，∴∠PAB＋∠PBA＝45°.∴∠PBC＝∠PAB. 又∵∠APB＝∠BPC＝135°，∴△PAB∽△PBC. (2)∵△PAB∽△PBC，∴PA PB ＝PB PC ＝ABBC . 在Rt△ABC 中，BC ＝AC ，∴ABBC＝ 2. ∴PB＝2PC ，PA ＝2PB.∴PA＝2PC.(3)过点P 作PD⊥BC 于点D ，PE⊥A C 于点E ，PF⊥AB 于点F. ∴PF＝h 1，PD ＝h 2，PE ＝h 3.∵∠CPB＋∠APB＝135°＋135°＝270°， ∴∠APC＝90°.∴∠EAP＋∠ACP＝90°. 又∵∠ACB＝∠ACP＋∠PCD＝90°， ∴∠EAP＝∠PCD.∴Rt△AEP∽Rt△CDP. ∴PE DP ＝AP PC ＝2，即h 3h 2＝2.∴h 3＝2h 2.∵△PAB∽△PBC，∴h1h2＝ABBC＝2.∴h1＝2h2.∴h21＝2h22＝2h2·h2＝h2h3，即h21＝h2h3.。

四川省渠县崇德实验学校2020年中考九年级数学：几何四边形复习练习题一．选择题1．矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（）A．对边平行且相等B．对角相等C．对角线互相平分D．对角线相等2．在正方形ABCD中，AB＝1，则AC的长是（）A．1 B C D．23．如图，设M是▱ABCD一边上任意一点，设△AMD的面积为S1，△BMC的面积为S2，△CDM 的面积为S，则（）A．S＝S1+S2B．S＞S1+S2C．S＜S1+S2D．不能确定4．四边形ABCD的对角线AC、BD互相平分，要使它成为矩形，需要添加的条件是（）A．AB＝CD B．AC＝BD C．AB＝BC D．AC⊥BD5．已知△ABC（如图1），按图2图3所示的尺规作图痕迹，（不需借助三角形全等）就能推出四边形ABCD是平行四边形的依据是（）A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形 B．对角线互相平分的四边形是平行四边形C．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 D．两组对边分别相等的四边形是平行四边形6．如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，∠OAB＝∠OAD，BO＝DO，那么下列条件中不能判定四边形ABCD是菱形的为（）A．OA＝OC B．BC＝DC C．AD＝BC D．AD＝DC7．若四边形的两条对角线相等且互相垂直，则顺次连接该四边形各边中点所得的四边形是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形8．如图，四个菱形①②③④的较小内角均与已知平行四边形ABCD的∠A相等，边长各不相同．将这四个菱形如图所示放入平行四边形中，未被四个菱形覆盖的部分用阴影表示．若已知两个阴影部分的周长的差，则不需测量就能知道周长的菱形为（）A．①B．②C．③D．④9．如图，在边长为2的正方形ABCD中，以BC为边作等边△BCM，连接AM并延长交CD于N，则CN的长为（）A．B．C D10．如图，在矩形ABCD中，AD AB，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE于点H，连接BH并延长交CD于点F，连接DE交BF于点O，下列结论：①∠AED＝∠CED；②OE＝OD；③BH＝HF；④BC﹣CF＝2HE；⑤AB＝HF．其中正确的有（）A．①②③④⑤B．①②③④C．①③④⑤D．①②③⑤二．填空题11．在平行四边形ABCD中，∠A与∠B的度数之比为2：1，则∠A＝°．12．如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC、BD相交于点O，如果再添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，这个条件可以是．13．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC＝8cm，DB＝6cm，DH⊥AB于点H，则DH的长为．14．如图，把矩形ABCD沿EF折叠，使点C落在点A处，点D落在点G处，若CD＝2，AD＝3，则边ED的长为．15．如图，在▱ABCD中，AC与BD交于点M，点F在AD上，AF＝6cm，BF＝12cm，∠FBM＝∠CBM，点E是BC的中点，若点P以1cm/s秒的速度从点A出发，沿AD向点F运动；点Q同时以2cm/秒的速度从点C出发，沿CB向点B运动，点P运动到F点时停止运动，点Q也同时停止运动，当点P运动秒时，以P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形．三．解答题16．如图，在▱ABCD中，点E，F分别在边BC，AD上，且AF＝CE．求证：四边形AECF是平行四边形．17．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，DE∥AC，CE∥BD．（1）判断四边形OCED的形状，并进行证明；（2）点E是否在AB的垂直平分线上？若在，请进行证明；若不在，请说明理由．18．如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AB∥DC，AB＝BC，BD平分∠ABC，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若AB＝BD＝4，求OE的长．19．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O作一条直线分别交DA，BC 的延长线于点E，F，连接BE，DF．（1）求证：四边形BFDE是平行四边形；（2）若EF⊥AB，垂足为M，1=2MOMB，AE＝2，求菱形ABCD的边长．20．如图1，在正方形ABCD中，点E是CD上一点（不与C，D两点重合），连接BE，过点C 作CH⊥BE于点F，交对角线BD于点G，交AD边于点H，连接GE，（1）求证：△DHC≌△CEB；（2）如图2，若点E是CD的中点，当BE＝8时，求线段GH的长；（3）设正方形ABCD的面积为S1，四边形DEGH的面积为S2，当CEDE的值为34时，12SS的值为．。

四川省渠县崇德实验学校 2021年中考第二轮九年级数学三角形、四边形压轴题专题复习一、选择题1、如图，矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝2，E 为AB 的中点，F 为EC 上一动点，P 为DF 中点， 连接PB ，那么PB 的最小值是〔 〕A ．2B ．4C ． 2D ．2 22、如图，在Rt△ABO 中，∠OBA＝90°，A(4，4)，点C 在边AB 上，且AC＝1，点D 为BC 3OB 的中点，点P 为边OA 上的动点，当点 P 在OA 上移动时，使四边形 PDBC 周长最小的点 P 的坐标为〔〕A ．(2，2)B ．(5，5)C ．(8，8)D ．(3，3)2 23 33、如图，正方形 ABCD ，点F 在边AB 上，且AF ：FB ＝1：2，CE ⊥DF ，垂足为 M ，且交AD 于点E ，AC 与DF 交于点N ，延长CB 至G ，使BG ＝1BC ，连接GM ．有如下结论：①DE ＝22 AF ；②AN ＝AB ；③∠ADF ＝∠GMF ；④S △ANF ：S 四边形CNFB ＝1：8．上述结论中，所有正4确结论的序号是〔 〕A．①②B．①③C．①②③D．②③④二、填空题4、在矩形 ABCD中，M，N，P，Q分别为边AB，BC，CD，DA上的点〔不与端点重合〕．对于任意矩形ABCD，下面四个结论中，①存在无数个四边形MNPQ是平行四边形；②存在无数个四边形MNPQ是矩形；③存在无数个四边形MNPQ是菱形；④至少存在一个四边形MNPQ是正方形．所有正确结论的序号是______5、如图，一个正方体由27个大小相同的小立方块搭成，现从中取走假设干个小立方块，得到一个新的几何体．假设新几何体与原正方体的外表积相等，那么最多可以取走个小立方块．6、如图，?ABCD的对角线AC，BD交于点O，CE平分∠BCD交AB于点E，交BD于点F，且∠ABC＝60°，AB＝2BC，连接OE．以下结论：①EO⊥AC；②S△AOD＝4S△OCF；③AC：BD＝：7；④FB2＝OF?DF．其中正确的结论有〔填写所有正确结论的序号〕7、如图，在以A为直角顶点的等腰直角三角形纸片ABC中，将B角折起，使点B落在AC边上的点D〔不与点A，C重合〕处，折痕是EF．如图1，当CD＝1AC时，tanα1＝3；如图2，当CD＝1AC时，tanα2＝5；24312如图3，当CD＝137；依此类推，当CD＝14AC时，tanα＝24AC〔n为正整数〕时，n＋1tanαn＝．8、在平面直角坐标系中，直线l：y＝x+1与y轴交于点A1，如下图，依次作正方形OA1B1C1，正方形C1A2B2C2，正方形C2A3B3C3，正方形C3A4B4C4，，点A1，A2，A3，A4，在直线l上，点C1，C2，C3，C4，在x轴正半轴上，那么前n个正方形对角线长的和是．三、解答题9、如图1，正方形ABDE和BCFG的边AB，BC在同一条直线上，且AB＝2BC，取EF的中点M，连接MD，MG，MB．〔1〕试证明DM⊥MG，并求MB的值．MG〔2〕如图2，将图1中的正方形变为菱形，设∠EAB＝2α〔0＜α＜90°〕，其它条件不变，问〔1〕中MB的值有变化吗？假设有变化，求出该值〔用含α的式子表示〕；假设无变化，说MG明理由．10、【问题探究】〔1〕如图1，△ABC和△DEC均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点B，D，E在同一直线上，连接AD，BD．①请探究AD与BD之间的位置关系：；②假设AC＝BC＝，DC＝CE＝，那么线段AD的长为；【拓展延伸】〔2〕如图2，△ABC和△DEC均为直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝，BC＝，CD＝，CE＝1．将△DCE绕点C在平面内顺时针旋转，设旋转角∠BCD为α〔0°≤α＜360°〕，作直线BD，连接AD，当点B，D，E在同一直线上时，画出图形，并求线段AD的长．11、如图，在正方形E点ABCD中，AB＝10cm，E为对角线BD上一动点，连接AE，CE，过作EF⊥AE，交直线BC于点F．E点从B点出发，沿着BD方向以每秒2cm的速度运动，当点E与点D重合时，运动停止．设△BEF的面积为ycm2，E点的运动时间为x秒．〔1〕求证：CE＝EF；〔2〕求y与x之间关系的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；〔3〕求△BEF面积的最大值．12、在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC于点D．1〕如图1，点M，N分别在AD，AB上，且∠BMN＝90°，当∠AMN＝30°，AB＝2时，求线段AM的长；2〕如图2，点E，F分别在AB，AC上，且∠EDF＝90°，求证：BE＝AF；3〕如图3，点M在AD的延长线上，点N在AC上，且∠BMN＝90°，求证：AB+AN＝AM．13、如图，四边形ABCD是正方形，△EFC是等腰直角三角形，点E在AB上，且∠CEF＝90°，FG⊥AD，垂足为点C．1〕试判断AG与FG是否相等？并给出证明；（2〕假设点H为CF的中点，GH与DH垂直吗？假设垂直，给出证明；假设不垂直，说明理由．ABCD中，AB∥CD，∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，OD14、：如图，在四边形垂直平分 A C．点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点D出发，沿DC方向匀速运动，速度为1cm/s；当一个点停止运动，另一个点也停止运动．过点P作PE⊥AB，交BC于点E，过点Q作QF∥AC，分别交AD，OD于点F，G．连接OP，EG．设运动时间为t〔s〕〔0＜t＜5〕，解答以下问题：1〕当t为何值时，点E在∠BAC的平分线上？（2〕设四边形PEGO的面积为S〔cm2〕，求S与t的函数关系式；〔3〕在运动过程中，是否存在某一时刻t，使四边形PEGO的面积最大？假设存在，求t的出值；假设不存在，请说明理由；〔4〕连接OE，OQ，在运动过程中，是否存在某一时刻t，使OE⊥OQ？假设存在，求t的出值；假设不存在，请说明理由．15、如图1，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝10，E是CD边上一点，连接AE，将矩形ABCD 沿AE折叠，顶点D恰好落在BC边上点F处，延长AE交BC的延长线于点G．〔1〕求线段CE的长；2〕如图2，M，N分别是线段AG，DG上的动点〔与端点不重合〕，且∠DMN＝∠DAM，设AM＝x，DN＝y．①写出y关于x的函数解析式，并求出y的最小值；②是否存在这样的点M，使△DMN是等腰三角形？假设存在，请求出x的值；假设不存在，请说明理由．16、如图，△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°．〔1〕如图1，连接BE，CD，BE的廷长线交AC于点F，交CD于点P，求证：BP⊥CD；〔2〕如图2，把△ADE绕点A顺时针旋转，当点D落在AB上时，连接BE，CD，CD的延长线交BE于点P，假设BC＝6，AD＝3，求△PDE的面积．17、如图1，菱形AEGH的顶点E、H在菱形ABCD的边上，且∠BAD＝60°，请直接写出HD：GC：EB的结果〔不必写计算过程〕〔2〕将图1中的菱形AEGH绕点A旋转一定角度，如图2，求HD：GC：EB；〔3〕把图2中的菱形都换成矩形，如图3，且AD：AB＝AH：AE＝1：2，此时HD：GC：EB的结果与〔2〕小题的结果相比有变化吗？如果有变化，直接写出变化后的结果〔不必写计算过程〕；假设无变化，请说明理由．18、问题提出：如图，图①是一张由三个边长为1的小正方形组成的“L〞形纸片，图②是一张a×b的方格纸〔a×b的方格纸指边长分别为a，b的矩形，被分成a×b个边长为1的小正方形，其中a≥2，b≥2，且a，b为正整数〕．把图①放置在图②中，使它恰好盖住图②中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？问题探究：为探究规律，我们采用一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进，最后得出一般性的结论．探究一：把图①放置在2×2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？如图③，对于2×2的方格纸，要用图①盖住其中的三个小正方形，显然有4种不同的放置方法．探究二：把图①放置在3×2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？如图④，在3×2的方格纸中，共可以找到2个位置不同的22×方格，依据探究一的结论可知，把图①放置在3×2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有2×4＝8种不同的放置方法．探究三：把图①放置在a×2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？如图⑤，在a×2的方格纸中，共可以找到个位置不同的2×2方格，依据探究一的结论可知，把图①放置在a×2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有种不同的放置方法．探究四：把图①放置在a×3的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？如图⑥，在a×3的方格纸中，共可以找到个位置不同的2×2方格，依据探究一的结论可知，把图①放置在a×3的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有种不同的放置方法．问题解决：把图①放置在a×b的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，置共有多少种不同的放方法？〔仿照前面的探究方法，写出解答过程，不需画图．〕问题拓展：如图，图⑦是一个由4个棱长为1的小立方体构成的几何体，图⑧是一个长、宽、高分别为a，b，c〔a≥2，b≥2，c≥2，且a，b，c是正整数〕的长方体，被分成了a×b×c个棱长为1的小立方体．在图⑧的不同位置共可以找到个图⑦这样的几何体．四川省渠县崇德实验学校中考第二轮九年级数学三角形、四边形压轴题专题复习(无答案)11 / 111119、如图1，菱形ABCD 的顶点A ，D 在直线上，∠BAD ＝60°，以点A 为旋转中心将菱形ABCD 顺时针旋转α〔0°＜α＜30°〕，得到菱形AB ′C ′D ′，B ′C ′交对角线AC 于点M ，C ′D ′交直线l 于点N ，连接MN ．1〕当MN ∥B ′D ′时，求α的大小．2〕如图2，对角线B ′D ′交AC 于点H ，交直线l 与点G ，延长C ′B ′交AB 于点E ，连接EH ．当△HEB ′的周长为2时，求菱形ABCD 的周长．20、如图，在正方形DM 边分别与射线ABCDBA 、直线中，边长为 4，∠MDNAC 交于E 、Q 两点，＝90°，将∠DN 边与射线MDN 绕点BC 交于点D 旋转，其中F ；连接EF ，且EF 与直线AC交于点P ．1〕如图1，点E 在线段AB 上时，①求证：AE ＝CF ；②求证：DP 垂直平分EF ；2〕当AE ＝1时，求PQ 的长．。

四川省渠县崇德实验学校备战2020 年中考九年级数学：与切线有关压轴题复习1、如图，△OAB 中，OA=OB，∠A=30°，⊙O 经过AB 的中点E 分别交OA、OB 于C、D 两点，连接CD．（1）求证：AB 是⊙O 的切线．（2）求证：CD∥AB．（3）若CD=4，求扇形OCED 的面积．2、如图，⊙O 是Rt△ABC 的外接圆，∠ABC=90°，弦BD=BA，AB=12，BC=5，BE⊥DC 交DC 的延长线于点E．（1）求证：∠BCA=∠BAD；（2）求DE 的长；（3）求证：BE 是⊙O 的切线．3、如图，已知⊙O 的半径为4，CD 是⊙O 的直径，AC 为⊙O 的弦，B 为CD 延长线上的一点，∠ABC=30°，且AB=AC．（1）求证：AB 为⊙O 的切线；（2）求弦AC 的长；（3）求图中阴影部分的面积．4、如图，已知⊙O 是等腰直角三角形ADE 的外接圆，∠ADE=90°，延长ED 到C 使DC=AD，以AD，DC 为邻边作正方形ABCD，连接AC，连接BE 交AC 于点H．求证：（1）AC 是⊙O 的切线．（2）HC=2AH．5、如图，在△ABC 中，AB=AC，以AB 为直径的圆O 交BC 于点D，交AC 于点E，过点D 作DF⊥AC，垂足为F．（1）求证：DF 为⊙O 的切线；（2）若过A 点且与BC 平行的直线交BE 的延长线于G 点，连接CG．当△ABC 是等边三角形时，求∠AGC 的度数．6、如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AC 是直径，过点O 作OD⊥AB 于点D，延长DO 交⊙O 于点P，过点P 作PE⊥AC 于点E，作射线DE 交BC 的延长线于F 点，连接PF．（1）若∠POC=60°，AC=12，求劣弧PC 的长；（结果保留π）（2）求证：OD=OE；（3）求证：PF 是⊙O 的切线．7、如图，AB、AC 分别是⊙O 的直径和弦，点D 为劣弧AC 上一点，弦DE⊥AB 分别交⊙O 于E，交AB 于H，交AC 于F．P 是ED 延长线上一点且PC=PF．（1）求证：PC 是⊙O 的切线；（2）点D 在劣弧AC 什么位置时，才能使AD2=DE•DF，为什么？（3）在（2）的条件下，若OH=1，AH=2，求弦AC 的长．8、如图所示，AB 是⊙O 的直径，AE 是弦，C 是劣弧AE 的中点，过C 作CD⊥AB 于点D，CD 交AE 于点F，过C 作CG∥AE 交BA 的延长线于点G．（1）求证：CG 是⊙O 的切线．（2）求证：AF=CF．（3）若∠EAB=30°，CF=2，求GA 的长．9、如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，BD 为圆O 的直径，AB=AC，AD 交BC 于E，ED=2AE．（1）求证：AB2=AD•AE；（2）求∠ADB 的度数；（3）延长DB 到F，使BF=BO，连接FA．求证：直线FA 为⊙O 的切线．10、如图，直线AB 经过⊙O 上的点C，并且OA=OB，CA=CB，⊙O 交直线OB 于E，D，连接EC，CD．（1）求证：直线AB 是⊙O 的切线；（2）试猜想BC，BD，BE 三者之间的等量关系，并加以证明；（3）若tan∠CED=12，⊙O 的半径为3，求OA 的长．11、已知△ABC 内接于⊙O，过点A 作直线EF．（1）如图①所示，若AB 为⊙O 的直径，要使EF 成为⊙O 的切线，还需要添加的一个条件是（至少说出两种）：或者．（2）如图②所示，如果AB 是不过圆心O 的弦，且∠CAE=∠B，那么EF 是⊙O 的切线吗？试证明你的判断．12、如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC，AB 是⊙O 的直径，⊙O 交BC 于点D，DE⊥AC 于点E，BE 交⊙O 于点F，连接AF，AF 的延长线交DE 于点P．（1）求证：DE 是⊙O 的切线；（2）求tan∠ABE 的值；（3）若OA=2，求线段AP 的长．13、如图，在△ABC 中，∠ABC=90°，D 是边AC 上的一点，连接BD，使∠A=2∠1，E 是BC 上的一点，以BE 为直径的⊙O 经过点D．（1）求证：AC 是⊙O 的切线；（2）若∠A=60°，⊙O 的半径为2，求阴影部分的面积．（结果保留根号和π）14、如图，在△ABC 中，∠ABC=90°，以AB 的中点O 为圆心、OA 为半径的圆交AC 于点D，E 是BC 的中点，连接DE，OE．（1）判断DE 与⊙O 的位置关系，并说明理由；（2）求证：BC2=CD•2OE；（3）若cos∠BAD=35，BE=6，求OE 的长．15、如图，在平面直角坐标系，A，B 两点的坐标分别为（0，﹣2），（0，8），以AB 为一边作正方形ABCD，再以CD 为直径的半圆P．设x 轴交半圆P 于点E，交边CD 于点F．（1）求线段EF 的长；（2）连接BE，试判断直线B 与⊙P 的位置关系，并说明你的理由；（3）直线BE 上是否存在着点Q，使得以Q 为圆心、r 为半径的圆，既与y 轴相切又与⊙P 外切？若存在，试求r 的值；若不存在，请说明理由．16、如图，△ABC 内接于半圆，AB 为直径，过点A 作直线MN，若∠MAC=∠ABC．（1）求证：MN 是半圆的切线．（2）设D 是弧AC 的中点，连接BD 交AC 于G，过D 作DE⊥AB 于E，交AC 于F，求证：FD=FG．（3）在（2）的条件下，若△DFG 的面积为4.5，且DG=3，GC=4，试求△BCG 的面积．17、如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=﹣2x﹣8 分别与x 轴，y 轴相交于A，B 两点，点P（0，k）是y 轴的负半轴上的一个动点，以P 为圆心，3 为半径作⊙P．（1）连接PA，若PA=PB，试判断⊙P 与x 轴的位置关系，并说明理由；（2）当k 为何值时，以⊙P 与直线l 的两个交点和圆心P 为顶点的三角形是正三角形．18、如图所示，扇形OAB 的半径OA=r，圆心角∠AOB=90°，点C 是上异于A、B 的动点，过点C 作CD⊥OA 于点D，作CE⊥OB 于点E，点M 在DE 上，DM=2EM，过点C 的直线PC 交OA 的延长线于点P，且∠CPD=∠CDE．（1）求证：DM=23r；（2）求证：直线PC 是扇形OAB 所在圆的切线；（3）设y=CD2+3CM2，当∠CPO=60°时，请求出y 关于r 的函数关系式．19、已知四边形ABCD 内接于⊙O，∠ADC=90°，∠DCB＜90°，对角线AC 平分∠DCB，延长DA，CB 相交于点E．（1）如图1，EB=AD，求证：△ABE 是等腰直角三角形；（2）如图2，连接OE，过点E 作直线EF，使得∠OEF=30°，当∠ACE≥30°时，判断直线EF 与⊙O 的位置关系，并说明理由．20、如图，在直角坐标系xoy 中，O 是坐标原点，点A 在x 正半轴上，，点B在y 轴的正半轴上，OB=12cm，动点P 从点O 开始沿OA 以cm/s 的速度向点A 移动，动点Q 从点A 开始沿AB 以4cm/s 的速度向点B 移动，动点R 从点B 开始沿BO 以2cm/s 的速度向点O 移动．如果P、Q、R 分别从O、A、B 同时移动，移动时间为t（0＜t＜6）s．（1）求∠OAB 的度数．（2）以OB 为直径的⊙O′与AB 交于点M，当t 为何值时，PM 与⊙O′相切？（3）写出△PQR 的面积S 随动点移动时间t 的函数关系式，并求s 的最小值及相应的t 值．（4）是否存在△APQ 为等腰三角形？若存在，求出相应的t 值；若不存在请说明理由．。

四川省渠县崇德实验 学校2020年中考九年级数学专题复习：图形与坐标练习题一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.若点P （m ，2+m ）的横坐标与纵坐标互为相反数，则点P 一定在（ ） A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限 2.已知点P （-2，5），Q （n ，5）且PQ =4，则n 的值为（ ） A .2 B .2或4 C .2或-6 D .-63.在平面直角坐标系中，点A （0，2），B （4，0），点N 为线段AB 的中点，则点N 的坐标为（ ） A .（1，2） B .（4，2） C .（2，4） D .（2，1）4.小明和小丽下棋，小明执白子，小丽执黑子，如图是在直角坐标系中棋子摆出的图案，若再摆放一白一黑两枚棋子，使9枚棋子组成的图案既是轴对称图形又是中心对称图形，则这两枚棋子的坐标分别是（ ） A .黑子（2，3），白子（1，3） B .黑子（1，3），白子（2，3） C .黑子（2，3），白子（4，0） D .黑子（4，0），白子（2，3）5.若点A 位于x 轴上方，到x 轴的距离为2，到y 轴的距离为5，则 点A 坐标为（ ）A .（2，5）B .（5，2）或（-5，2）C .（5，2）D .（2，5）或（-2，5）6.已知点A （2m -2，m 5+4）在第一象限角平分线上，则m 的值为（ ） A .6 B .-1 C .2或3 D .-1或67.如图，ABO Rt ∆和CBD Rt ∆中，=∠=∠CBD ABO 90°，若=∠CBA 60°，BD BO =，点A 坐标为（32，-2）则点C 的坐标是（ ）A .（2，32）B .（1，3）C .（3，1）D .（32，2） 8.如图，⊙1O 与x 轴相交于点A （2，0），B （8，0），与y 轴相切于点C ，则圆心1O 的坐标是（ ）A .（3，5）B .（5，3）C .（4，5）D .（5，4）9.如图，在ABC ∆中，ACB ∠=90°，AC =2，BC =1，点A 和点C 分别在x 轴和y 轴上，当点A 在x 轴正半轴上运动时，点C 随之在y 轴正半轴上运动，在运动过程中，点B 到原点O 的最大距离为（ ）A .5B .6C .1+2D .310.若A （-2，0），B （1，2），点P 为直线y =4上一动点，且PAB ∆的面积为6，则点P 的坐标为（ ）A .（-2，4）B .（0，4）或（10，4）C .（9，4）D .（-2，4）或（10，4） 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分）11.在电影票上如果将“8排4号”记作（8，4），那么“3排5号”记作_______. 12.直角坐标平面内有两点A （-3，1）和B （3，-1），则A 和B 两点间的距离等于_______. 13.点A （a ，5）和点B （3，b ）关于y 轴对称，则b a +=_______.14.线段CD 是由线段AB 平移得到的，点A （-1，-4）的对应点为C （3，0），则点B （-3，1）的对应点D 的坐标是_______.第8题图15.如图，过点A （-3，4）的直线l ∥x 轴，OA =5，点B 在x 轴的正半轴上，OC 平分AOB ∠ 交l 于点C ，则点C 的坐标是_______.16.如图，1A ，2A ，3A ，4A ，…，n A ，1+n A 是直线1l ：x y 3=上的点，且===32211A A A A OA …21=+n n A A ，分别过点1A ，2A ，3A ，4A ，…，n A ，1+n A 作1l 的垂线与直线2l ：x y 33=相交于点1B ，2B ，3B ，4B …，n B ，1+n B ，连接21B A ，21A B ，32B A ，32A B ，…，1+n n B A ，1+n n A B ，交点依次为1P ，2P ，3P ，4P ，…，n P ，设211A A P ∆，322A A P ∆，433A A P ∆，…，1+∆n n n A A P 的面积分别为1S ，2S ，3S ，…，n S ，则n S =__________. 三、解答题（第17题8分，第18题10分，共18分）17.直线3+=kx y 和x 轴，y 轴的交点分别为B ，C ，点A （3-，0），OBC ∠=30°，另一条直线经过点A ，C .（1）求点B 的坐标及k 的值； （2）求证：BC AC ⊥.18.如图，在平面直角坐标系中，ABC ∆的顶点坐标分别是A （0，1），B （1，3），C （4，3）. （1）将ABC ∆平移得到111C B A ∆，且1C 的坐标是（0，-1），画出111C B A ∆； （2）将ABC ∆绕点A 逆时针旋转90°得到222C B A ∆，画出222C B A ∆，写出的2C 坐标.四、解答题（第19题10分，第20题10分，共20分）19.如图，直线4+=kx y 与x 轴和y 轴分别相交于点B 和点C ，且点B （8，0）.若点A 的坐标为（6，0），点P （x ，y ）是该直线在第一象限上的一个动点.（1）求k的值；（2）在点P运动的过程中，求出POA∆的面积S与x的函数关系式；（3）若POA∆的面积是6，求点P的坐标.y=，经过A（2，4），xAB⊥轴于点B.（1）求该正比例函数的解析式；（2）将ABO∆绕点A逆时针旋转90°，得到ADC∆，求点C的坐标.五、解答题（第21题10分，第22题10分，共20分）21.如图，点A的坐标为（1，0），点B在y轴上，将OAB∆沿x轴负方向平移，平移后的图形为DEC∆，且点C的坐标为（-3，2）.（1）直接写出点E的坐标；（2）在四边形ABCD中，点P从点B出发，沿BC→CD移动，若点P的速度为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，回答下列问题：①t=_______秒时，点P的横坐标与纵坐标互为相反数；②用含有t的式子表示点P的坐标.22.如图，在平面直角坐标系中，等边OAB ∆的一条边OB 在x 轴的正半轴上，点A 在双曲线xky =（k ≠0）上，其中点B 为（2，0）. （1）求k 的值及点A 的坐标；（2）OAB ∆沿直线OA 平移，当点B 恰好在双曲线上时，求平移后点B 的对应点1B 的坐标.六、解答题（满分12分）23.如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 为菱形，点C 的坐标为（4，0），AOC ∠=60°，垂直于x 轴的直线l 从y 轴出发，沿x 轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线l 与菱形OABC 的两边分别交于点M 和点N （点M 在点N 的上方）. （1）求A ，B 两点的坐标；（2）设OMN ∆的面积为S ，直线l 运动时间为t （0≤t ≤6）秒，试求S 与t 的函数表达式.七、解答题（满分12分）24.在平面直角坐标系中，A（-2，0），点B在y轴负半轴上，以点A为顶点，AB为腰，在x轴下方作等腰ABCRt∆.（1）如图①，若OB=4且点C在第三象限，求点C的坐标；（2）如图②，若点C在第四象限且xOB-的值；CE⊥轴于点E，求CE（3）如图③，点P（-2，-2），点M（0，m）在y轴负半轴上，点N（n，0）在x轴正半轴上，且PNm+的值.PM⊥，请直接写出n八、解答题（满分14分）25.如图，在平面直角坐标系中，抛物线c=2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，+xbxy+对称轴为直线x=2，点A的坐标为（1，0）.（1）求该抛物线的表达式及顶点坐标；（2）点D为抛物线上一点（不与点A重合），连接CD.当ACB∠时，求点D的坐标；=DCB∠（3）在对称轴上是否存在点P，使以P，B，C三点为顶点的三角形是直角三角形，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.备用图。

四川省渠县崇德实验学校2020年中考九年级数学专题复习：等腰三角形测试题一、选择题（每小题3分，共24分）1．在△ABC中，其两个内角的度数如下，则能判定△ABC为等腰三角形的是(C)A．∠A＝40°，∠B＝50° B．∠A＝40°，∠B＝60°C．∠A＝20°，∠B＝80° D．∠A＝40°，∠B＝80°2．如图，AB∥CD，AD＝CD，∠1＝50°，则∠2的度数是(C)A．55° B．60° C．65° D．70°3．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠A＝40°，观察图中尺规作图的痕迹，可知∠BCG 的度数为(C)A．40° B．45° C．50° D．60°4．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线．若AB＝13，AD＝12，则BC的长为(B)A．5 B．10 C．20 D．245．如图，在等边△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC＝45°，则∠ACE等于(A)A．15° B．30° C．45° D．60°6．如图，在△ABC中，AC＝BC，点D和E分别在AB和AC上，且AD＝AE.连接DE，过点A的直线GH与DE平行．若∠C＝40°，则∠GAD的度数为(C)A．40° B．45° C．55° D．70°7．如图，在△ABC中，∠B＝50°，CD⊥AB于点D，∠BCD和∠BDC的平分线相交于点E，F为边AC的中点，CD＝CF，则∠ACD＋∠CED＝(C)A．125° B．145° C．175° D．190°8．“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，OC＝CD＝DE，点D，E可在槽中滑动．若∠BDE＝75°，则∠CDE的度数是(D)A．60° B．65° C．75° D．80°二、填空题（每小题3分，共27分）9．如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD平分∠ABC，则图中等腰三角形的个数是3.10．等腰三角形的两边长分别为6 cm，13 cm，其周长为32cm.11．如图，直线a∥b，△ABC的顶点C在直线b上，边AB与直线b相交于点D.若△BCD 是等边三角形，∠A＝20°，则∠1＝40°.12．在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝40°，则∠B ＝70°．13．如图，以△ABC 的顶点B 为圆心，BA 长为半径画弧，交BC 边于点D ，连接AD.若∠B ＝40°，∠C ＝36°，则∠DAC 的大小为34°．14．定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k 称为这个等腰三角形的“特征值”．若在等腰△ABC 中，∠A ＝80°，则它的特征值k ＝85或14.15．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 在AC 上，且BD ＝BC ＝AD ，则∠A ＝36°．16．在等腰△ABC 中，BD ⊥AC ，垂足为D ，且BD ＝12AC ，则等腰△ABC 底角的度数为45°，75°或15°．17．如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，BC ＝DC ，∠A ＝60°，点E 为AD 边上一点，连接BD ，CE ，CE 与BD 交于点F ，且CE ∥AB.若AB ＝8，CE ＝6，则BC 的长为三、解答题（共49分）18．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 是BC 边上的中点，连接AD ，BE 平分∠ABC 交AC 于点E ，过点E 作EF ∥BC 交AB 于点F.(1)若∠C ＝36°，求∠BAD 的度数； (2)求证：FB ＝FE.解：(1)∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC.∵∠C＝36°，∴∠ABC＝36°.∵BD＝CD，AB＝AC，∴AD⊥BC.∴∠ADB＝90°.∴∠BAD＝90°－36°＝54°.(2)证明：∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE.∵EF∥BC，∴∠FEB＝∠CBE.∴∠FBE＝∠FEB.∴FB＝FE.19.如图，在△ABC中，∠C＝∠ABC，BE⊥AC，△BDE是等边三角形．求∠C的度数．解：∵△BDE是等边三角形，∴∠DBE＝60°.∵BE⊥AC，∴∠BEC＝90°.∵∠C＝∠ABC＝∠ABE＋∠EBC，∴∠EBC＝∠C－60°.∵∠EBC＋∠C＝90°，即∠C－60°＋∠C＝90°，∴∠C＝75°.20．如图，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥AC，AE⊥AB.(1)求∠C 的度数；(2)求证：△ADE 是等边三角形．解：(1)∵AB ＝AC ，∠BAC ＝120°， ∴∠B ＝∠C ＝30°.(2)证明：∵∠B ＝∠C ＝30°，AD ⊥AC ，AE ⊥AB ， ∴∠DAC ＝∠EAB ＝90°. ∴∠ADC ＝∠AEB ＝60°.∴∠ADC ＝∠AEB ＝∠EAD ＝60°. ∴△ADE 是等边三角形．21．在等边△ABC 中，点E 在AB 上，点D 在CB 的延长线上，且AE ＝BD. (1)当点E 为AB 的中点时，如图1，求证：EC ＝ED ；(2)当点E 不是AB 的中点时，如图2，过点E 作EF ∥BC ，求证：△AEF 是等边三角形； (3)在(2)的条件下，EC 与ED 还相等吗？请说明理由．解：(1)证明：∵△ABC 为等边三角形， ∴∠ABC ＝∠ACB ＝∠A ＝60°. ∵点E 为AB 的中点，∴AE ＝EB ＝BD ，∠ECB ＝12∠ACB ＝30°.∴∠EDB ＝∠DEB ＝12∠ABC ＝30°.∴∠EDB ＝∠ECB.∴EC ＝ED.(2)证明：∵EF ∥BC ，∴∠AEF ＝∠ABC ＝60°，∠AFE ＝∠ACB ＝60°. ∴∠A ＝∠AEF ＝∠AFE ＝60°. ∴△AEF 为等边三角形． (3)EC ＝ED.理由：∵△AEF 为等边三角形， ∴AE ＝AF ＝EF ＝BD. ∵∠AFE ＝∠ABC ＝60°， ∴∠EFC ＝∠DBE ＝120°. ∵AB ＝AC ，AE ＝AF ，∴AB －AE ＝AC －AF ，即BE ＝FC. 在△DBE 和△EFC 中，⎩⎪⎨⎪⎧DB ＝EF ，∠DBE ＝∠EFC ，BE ＝FC ，∴△DBE ≌△EFC(SAS)． ∴ED ＝CE.。

四川省渠县崇德实验学校2020年中考九年级数学：直角三角形专题复习测试题一、选择题（每小题3分，共30分） 1.如图，图中直角三角形有(C)A.1个B.2个C.3个D.4个2.如图，点E 在正方形ABCD 的边AB 上.若EB ＝1，EC ＝2，则正方形ABCD 的面积为(B)A. 3B.3C. 5D.5 3.满足下列条件时，△ABC 不是直角三角形的为(C)A.AB ＝41，BC ＝4，AC ＝5B.AB∶BC∶AC＝3∶4∶5C.∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5D.|cosA －12|＋(tanB －33)2＝04.已知M ，N 是线段AB 上两点，AM ＝MN ＝2，NB ＝1，以点A 为圆心，AN 长为半径画弧；再以点B 为圆心，BM 长为半径画弧，两弧交于点C ，连接AC ，BC ，则△ABC 一定是(B)A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形5.如图，点D 在BC 的延长线上，DE⊥AB 于点E ，交AC 于点F.若∠A＝35°，∠D＝15°，则∠ACB 的度数为(B)A.65°B.70°C.75°D.85°6.如图，数轴上点A 表示的数是－1，原点O 是线段AB 的中点，∠BAC ＝30°，∠ABC＝90°，以点A 为圆心，AC 为半径画弧，交数轴于点D ，则点D 表示的数是(D)A.233－1 B.233 C.433 D.433－1 7.如图，在△ABC 中，AC ＝8，∠ABC＝60°，∠C＝45°，AD⊥BC，垂足为D ，∠ABC 的平分线交AD 于点E ，则AE 的长为(C)A.433 B.2 2 C.832 D.3 28.如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝7，点E为BC上一动点，把△ABE沿AE折叠，当点B的对应点B′落在∠ADC 的角平分线上时，则点B′到BC的距离为(A)A.1或2B.2或3C.3或4D.4或59.“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲.如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b.若ab ＝8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为(D)A.9B.6C.4D.310.勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载.如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内.若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出(C)A.直角三角形的面积B.最大正方形的面积C.较小两个正方形重叠部分的面积D.最大正方形与直角三角形的面积和二、填空题（每小题3分，共30分）11.如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CM是斜边AB上的中线，E，F分别为MB，BC的中点.若EF＝1，则AB ＝4.12.如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，E是AC的中点.若AD＝6，DE＝5，则CD的长等于8.13.无盖圆柱形杯子的展开图如图所示.将一根长为20 cm的细木筷斜放在该杯子内，木筷露在杯子外面的部分至少有5cm.14.若实数m，n满足|m－3|＋n－4＝0，且m，n恰好是直角三角形的两条边的长，则该直角三角形的斜边长为5或4.15.如图，我国古代数学家得出的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形，若小正方形与大正方形的面积之比为1∶13，则直角三角形较短的直角边a与较长的直角边b的比值为2∶3.16.把两个同样大小的含45°角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个三角尺的直角顶点重合于点A ，且另外三个锐角顶点B ，C ，D 在同一直线上.若AB ＝2，则CD ＝6－ 2.17.如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB ＋∠PBA＝45°(点A ，B ，P 是网格线交点).18.如图，在扇形OAB 中，∠AOB＝90°.P 为AB ︵上的一点，过点P 作PC⊥OA，垂足为C ，PC 与AB 交于点D.若PD ＝2，CD ＝1，则该扇形的半径长为5.19.如图，在△ABC 中，AC ＝3，BC ＝4，若AC ，BC 边上的中线BE ，AD 垂直相交于点O ，则AB ＝ 5.20.如图，已知线段AB ＝4，O 是AB 的中点，直线l 经过点O ，∠1＝60°，P 点是直线l 上一点，当△APB 为直角三角形时，则BP ＝2或23或27.三、解答题（共60分）21.如图，在△ABC 中，内角∠A，∠B，∠C 所对的边分别为a ，b ，c.若aa －b ＋c ＝12（a ＋b ＋c ）c ，求证：△ABC 是直角三角形.证明：∵aa －b ＋c ＝12（a ＋b ＋c ）c ， ∴ac＝12(a ＋b ＋c)(a －b ＋c).∴2ac＝(a ＋c)2－b 2. ∴b 2＝a 2＋c 2.∴△ABC 是直角三角形.22.如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离BC 为0.7米，梯子顶端到地面的距离AC 为2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离A′D 为1.5米，求小巷有多宽？解：在Rt△ACB 中，∵∠ACB＝90°，BC ＝0.7米，AC ＝2.4米， ∴AB 2＝0.72＋2.42＝6.25. 在Rt△A′BD 中，∵∠A′DB＝90°，A′D＝1.5米， BD 2＋A′D 2＝A′B′2， ∴BD 2＋1.52＝6.25. ∴BD 2＝4.∵BD＞0，∴BD＝2米.∴CD＝BC ＋BD ＝0.7＋2＝2.7(米). 答：小巷的宽度CD 为2.7米.23.如图，等腰直角三角板如图放置，直角顶点C 在直线m 上，分别过点A ，B 作AE⊥m 于点E ，BD⊥m 于点D. (1)求证：EC ＝BD ；(2)若设△AEC 三边长分别为a ，b ，c ，利用此图证明勾股定理.证明：(1)∵∠ACB＝90°，∴∠ACE＋∠BCD＝90°. ∵BD⊥m，AE⊥m，∴∠CDB＝90°，∠AEC＝90°. ∴∠ACE＋∠CAE＝90°.∴∠CAE＝∠BCD. 在△AEC 和△CDB 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠AEC＝∠CDB，∠CAE＝∠BCD ，AC ＝CB ，∴△AEC≌△CDB(AAS).∴EC＝BD.(2)由(1)知BD ＝CE ＝a ，CD ＝AE ＝b ，∴S 梯形ABDE ＝12(a ＋b)(a ＋b)＝12a 2＋ab ＋12b 2.又∵S 梯形ABDE ＝S △AEC ＋S △BCD ＋S △ABC ＝12ab ＋12ab ＋12c 2＝ab ＋12c 2，∴12a 2＋ab ＋12b 2＝ab ＋12c 2.∴a 2＋b 2＝c 2. ∴直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.24.如图，在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝13，BC 上的中线AD ＝6，求BC 的长.解：延长AD 至点E ，使DE ＝AD ，连接BE. 在△ADC 和△EDB 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝ED ，∠ADC＝∠EDB，CD ＝BD ，∴△ADC≌△EDB(SAS).∴AC＝BE ＝13. ∵在△ABE 中，AB ＝5，AE ＝12，BE ＝13， ∴AB 2＋AE 2＝BE 2. ∴∠BAE＝90°.∵在△ABD 中，∠BAD＝90°，AB ＝5，AD ＝6， ∴BD＝AB 2＋AD 2＝61. ∴BC＝261.25.如图，一艘船由A 港沿北偏东60°方向航行10km 至B 港，然后再沿北偏西30°方向航行10 km 至C 港. (1)求A ，C 两港之间的距离(结果精确到0.1 km ，参考数据：2≈1.414，3≈1.732)； (2)确定C 港在A 港的什么方向？解：(1)由题意可得，∠PBC＝30°，∠MAB＝60°， ∴∠CBQ＝60°，∠BAN＝30°. ∴∠ABQ＝30°.∴∠ABC＝90°.∵AB＝BC＝10 km，∴AC＝AB2＋BC2＝102≈14.1(km).答：A，C两港之间的距离约为14.1 km.(2)由(1)知，△ABC为等腰直角三角形，∴∠BAC＝45°.∴∠CAM＝15°.∴C港在A港北偏东15°的方向上.。