人教版高中数学-必修3限时练 均匀随机数的产生

【课堂新坐标】2021高中数学 均匀随机数的产生课时作业 新人教版必修3一、选择题1．以下命题中的假命题是( )A ．依照古典概型概率计算公式P (A )＝n A n ，求出的值是事件A 发生的概率的精准值B ．依照几何概型概率计算公式P (A )＝μAμΩ，求出的值是事件A 发生的概率的精准值C ．依照古典概型实验，用运算机或计算器产生随机整数统计实验次数N 和事件A 发生的次数N 1，取得的值N 1N 是P (A )的近似值D ．依照几何概型实验，用运算机或计算器产生均匀随机数统计实验次数N 和事件A 发生的次数N 1，取得的值N 1N 是P (A )的精准值【解析】 用公式求出的值都是概率的精准值，用实验产生随机数求出的值是频率，即概率的近似值．【答案】 D2．将[0,1]内的均匀随机数转化为[－2,6]内的均匀随机数，需实施的变换为( )【解析】 将[0,1]内的随机数转化为[a ，b ]内的随机数需进行的变换为【答案】 C3．将一个面积为24 cm 2的正方形分成A 、B 、C 、D 四等份，再随机地向那个正方形投一粒铁沙子，而且沙子落在正方形内每一点都是等可能的，那么该粒沙子落在A 或B 内的概率为( )A.14B.12C.116D.18 【解析】 ∵沙子落入A 、B 、C 、D 内的概率都是14，且“沙子落入A ”与“沙子落入B ”互斥，∴P ＝24＝12. 【答案】 B4．电视放映厅有6排座位，每2排为一个区域，共分前、中、后3个区域，每一个区域内座位数相同，且安排到每一个座位上都是等可能的，某人为了取得较好的观看成效，欲坐在前区域位置内，那么该人被安排在前区域的概率为( )A.13B.14C.15D.16【解析】 P (A )＝26＝13. 【答案】 A5．咱们将12∶00～18∶00那个时刻段定为下午时刻段．某人下午欲外出办事，那么其在14∶00～15∶00之间动身的概率为( )A.13B.14C.16D.18 【解析】 所有可能结果对应的时刻段长度为18－12＝6，事件发生对应的时刻段长度为15－14＝1，∴P ＝16. 【答案】 C二、填空题6．一个游戏转盘上有三种颜色，红色占30%，蓝色占50%，黄色占20%，那么指针别离停在红色和蓝色区域的概率比为________．【解析】 P (红)∶P (蓝)＝30%∶50%＝3∶5.【答案】 3∶5图3－3－87．如图3－3－8，边长为2的正方形中有一封锁曲线围成的阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为23，那么阴影区域的面积为________． 【解析】 P ＝S 阴S 正＝23，而S 正＝2×2＝4，∴S 阴＝83.【答案】 838．设A 为圆周上必然点，在圆周上等可能地任取一点与A 连接，那么弦长超过半径的概率为________．【解析】 当弦长等于半径时，弦所对的圆心角为60°，只有当点在优弧上时弦长超过半径．由于∠BOC＝240°，故P ＝240360＝23，即弦长超过半径的概率为23. 【答案】 23 三、解答题9．箱子里装有5个黄球，5个白球，此刻有放回地取球，求掏出的是黄球的概率，若是用运算机模拟该实验，请写出算法．【解】 P ＝510＝12，用运算机模拟法时能够为0～1之间的随机数x 与事件的对应是：当x 在0～0.5时，确信为摸到黄球；当x 在0.5～1之间时确信为摸到白球，具体算法如下：第一步，用计数器n 记录做了多少次摸球的实验，用计算器m 记录其中有多少次显示的黄球，置n ＝0，m ＝0；第二步，用函数rand()产生一个0～1的随机数x ；第三步，若是那个随机数在0～0.5之间，咱们以为是摸到黄球，判定x 是不是在0～0.5之间，若是是，那么m 的值加1，即m ＝m ＋1；不然m 的值维持不变；第四步，表示随机实验次数的记录器n 加1，即n ＝n ＋1，若是还需要继续实验，那么返回第二步继续执行，不然，执行下一步；第五步，摸到黄球发生的频率m n作为概率的近似值． 10．向边长为2的正方形内投飞镖，求飞镖落在中央边长为1的正方形内的概率．【解】 用几何概型概率计算方式可求得概率P ＝S 小正方形S 大正方形＝14.用运算机随机模拟那个实验步骤如下： S 1 用计数器n 记录做了多少次飞镖实验，用计数器m 记录其中有多少次投在中央的小正方形内，置初始值n ＝0，m ＝0；S 2 用函数rand( )*4－2产生两组－2～2的随机数x ，y ，x 表示所投飞镖的横坐标，y 表示所投飞镖的纵坐标；S 3 判定(x ，y )是不是落在中央的小正方形内，也确实是看是不是知足|x |<1，|y |<1，若是是那么m 的值加1，即m ＝m ＋1；不然m 值维持不变；S 4 表示随机实验次数的记录器n 加1，即n ＝n ＋1，若是还需要继续实验，那么返回步骤S 2：不然，执行S 5.S 5 飞镖投在小正方形内发生的频率m n表示概率的近似值． 11．利用随机模拟法近似计算图3－3－9中阴影部份(曲线y ＝9－x 2与x 轴和y ＝x 围成的图形)的面积． 图3－3－9【解】 设A ＝{随机向矩形内投点，所投点落入阴影部份}．(1)利用计算器或运算机产生两组0到1区间的均匀随机数，x 1＝RAND ，y 1＝RAND ；(2)通过伸缩平移变称，x ＝(x 1－0.5)*6，y ＝y 1]N 1,N )，即为概率P (A )的近似值．设阴影部份的面积为S ，矩形的面积为9×6＝54.由几何概率公式得P (A )＝S 54. 因此，阴影部份面积的近似值为S ＝54N 1N .。

精心制作仅供参考唐玲出品高中数学学习材料唐玲出品3.3.2均匀随机数的产生班级:__________姓名:__________设计人:__________日期:__________课后练习基础过关1．把[0，1]内的均匀随机数分别转化为[0，4]和[-4，1]内的均匀随机数，需实施的变换分别为A.，B.，C.，D.，2．设是[0，1]内的均匀随机数，是[-2，1]内的均匀随机数，则与的关系是A. B. C. D.3．在区间[0，10]内任取两个数，则这两个数的平方和也在[0，10]内的概率为A. B. C. D.4．一个路口的红绿灯，红灯亮的时间为30 s，黄灯亮的时间为5s，绿灯亮的时间为40 s，当你到达路口时，事件为“看见绿灯”、事件为“看见黄灯”、事件为“看见的不是绿灯”的概率大小关系为A. B.C. D.5．利用随机模拟方法计算与围成的面积时，利用计算器产生两组O～1之间的均匀随机数，，然后进行平移与伸缩变换精心制作仅供参考唐玲出品马鸣风萧萧，，试验进行100次，前98次中落在所求面积区域内的样本点数为65，已知最后两次试验的随机数，及，，那么本次模拟得出的面积约为 .6．在半径为1的半圆内放置一个边长为的正方形ABCD，向半圆内任投一点，则点落在正方形内的概率为____.7．在长为14 cm的线段AB上任取一点M，以A为圆心，以线段AM为半径作圆.用随机模拟法估算该圆的面积介于9πcm2到16πcm2之间的概率.8．假设小军、小燕和小明所在的班级共有50名学生，并且这50名学生午休到教室先后的可能性是相同的.设计模拟方法估计小燕比小明先到教室的概率.能力提升1．设有一个正方形网格，其中每个最小正方形的边长都等于6 cm，现用直径等于2 cm 的硬币投掷到网格上，用随机模拟方法求硬币落下后与格线有公共点的概率.2．利用随机模拟方法计算阴影部分(曲线写轴，围成的部分)的面积.精心制作仅供参考唐玲出品3.3.2均匀随机数的产生详细答案【基础过关】1．C【解析】根据伸缩平移变换＝＝与＝＝可知.2．B【解析】注意到[-2，1]的区间长度是[0，1]的区间长度3倍，因此设(b是常数)，再用两个区间中点的对应值，得当时，，所以，得b＝-2.因此与的关系式是.3．B4．B【解析】在75 s内的每一时刻到达路口的机会是相同的，属于几何概型.则绿灯亮的时间全部时间，黄灯亮的时间全部时间，不是绿灯亮的时间全部时间红灯或黄灯亮的时间全部时间，或不是绿灯亮的时间全部时间绿灯亮的时间全部时间，于是P(A)＞P(C)＞P(B).5．10.72【解析】由题意知本题是模拟方法估计概率，只需计算出总共100次试验，一共有多少次落在所求面积区域内，结合几何概型的计算公式即可求得.由，得：a=-0，b=3.2，(-0.8，3.2)落在；＝与y＝4围成的区域内，由，得:a＝-0.4，b＝1.2，(-0.4，1.2)落在＝与y＝4围成的区域内，所以本次模拟得出的面积约为＝ 2.精心制作仅供参考唐玲出品马鸣风萧萧6．【解析】正方形，半圆，由几何概型的概率计算公式，得正方形半圆.7．设事件A表示“圆的面积介于9πcm2到16πcm2之间”.(1)利用计算器或计算机产生一组[0，1]上的均匀随机数a1＝RAND.(2)经过伸缩变换a＝14a1得到一组[0，14]上的均匀随机数.(3)统计出试验总次数N和[3，4]内的随机数个数N1(即满足3≤a≤4的个数).(4)计算频率，即为概率P(A)的近似值.8．记事件A“小燕比小明先到教室”.(1)利用计算器或计算机产生两组0到1之间的均匀随机数，a＝RAND，b＝RAND，分别表示小燕和小明两人午休到教室的时间.(2)统计出试验总次数N及其中满足a＜b的次数N1.(3)计算频率，即为事件A的概率的近似值.【能力提升】1．记事件A＝{硬币与格线有公共点}，设硬币中心为B(x，y).步骤：(1)利用计算机或计算器产生两组0到1之间的均匀随机数，x1＝RAND，y1＝RAND.(2)经过平移，伸缩变换，则x＝(x1-0.5)*6，y＝(y1－0.5)*6，得到两组[－3，3]内的均匀随机数.(3)统计试验总次数N及硬币与格线有公共点的次数N1(满足条件|x|≤2或|y|≤2的点(x，y)的个数).(4)计算频率，即为硬币落下后与格线有公共点的概率.2．(1)利用计算机产生两组[0，1]上的均匀随机数，，(2)经过平移和伸缩变换，，得到一组[-1，1]上的均匀随机数和一组[0，2]上的均匀随机数.(3)统计试验总次数N和落在阴影内的点数.(4)计算频率，即为点落在阴影部分的概率的近似值.(5)用几何概型的概率公式求得点落在阴影部分的概率为＝，，所以，即为阴影部分的面积值.【备注】【拓展提升】利用随机模拟方法求不规则图形面积的方法步骤：(1)利用计算器或计算机产生[0，1]的均匀随机数.精心制作仅供参考唐玲出品(2)经过伸缩变换，(i＝1，2)得到两组[a，b]上的均匀随机数.(3)利用随机数估计所求事件发生的频率.(4)从几何角度列出所求事件的概率.(5)解方程，得.。

课时提升卷(二十二)均匀随机数的产生（45分钟 100分）一、选择题(每小题6分,共30分)1.设x1是[0,1]内的均匀随机数,x2是[-2,1]内的均匀随机数,则x1与x2的关系是( )A.x2=2x1-2B.x2=3x1-2C.x2=3x1+2D.x2= x1-22.欧阳修《卖油翁》中写到:“(翁)乃取一葫芦置于地,以钱覆其口,徐以杓酌油沥之,自钱孔入,而钱不湿.”可见“行行出状元”,卖油翁的技艺让人叹为观止,若铜钱是直径为 2.5cm的圆,中间有边长为0.8cm的正方形孔,若你随机向铜钱上滴一滴油,则油(油滴的大小忽略不计)正好落入孔中的概率为( )A. B. C. D.3.在等腰Rt△ABC中,在斜边AB上任取一点M,则AM的长小于AC 的长的概率为( )A. B. C. D.4.在长为60m,宽为40m的矩形场地上有一个椭圆形草坪,在一次大风后,发现该场地内共落有300片树叶,其中落在椭圆外的树叶数为96片,以此数据为依据可以估计出草坪的面积约为( )A.768m2B.1632m2C.1732m2D.868m25.如图,在△AOB中,已知∠AOB=60°,OA=2,OB=5,在线段OB上任取一点C,则△AOC为钝角三角形的概率为( )A.0.6B.0.4C.0.2D.0.1二、填空题(每小题8分,共24分)6.b1是[0,1]上的均匀随机数,b=3(b1-2),则b是区间上的均匀随机数.7.已知如图所示的矩形,其长为12,宽为5.在矩形内随机地撒1000颗黄豆,数得落在阴影部分的黄豆数为550颗,则可以估计出阴影部分的面积约为.8.利用随机模拟方法计算y=x2与y=4围成的面积时,利用计算器产生两组0～1之间的均匀随机数a1=RAND,b1=RAND,然后进行平移与伸缩变换a=a1·4-2,b=b1·4,试验进行100次,前98次中落在所求面积区域内的样本点数为65,已知最后两次试验的随机数a1=0.3,b1=0.8及a1=0.4,b1=0.3,那么本次模拟得出的面积约为.三、解答题(9～10题各14分,11题18分)9.小明家订了一份报纸,送报人可能在早上6:30～7:30之间把报纸送到小明家,小明妈妈离开家去工作的时间在早上7:00～8:00之间,若“小明妈妈在离开家前能得到报纸”记为事件A,试用随机模拟方法估计事件A发生的概率,写出操作过程. 10.利用随机模拟方法计算如图中阴影部分(曲线y=2x与x轴、x=±1围成的部分)的面积.11.(能力挑战题)在如图的正方形中随机撒一把芝麻,用随机模拟的方法来估计圆周率π的值.如果撒了1 000粒芝麻,落在圆内的芝麻总数是776粒,求这次模拟中π的估计值.(精确到0.001)答案解析1.【解析】选B.注意到[-2,1]的区间长度是[0,1]的区间长度3倍,因此设x2=3x1+b(b是常数),再用两个区间中点的对应值,得当x1=时,x2=-,所以-=3×+b,得b=-2.因此x1与x2的关系式是x2=3x1-2.2.【解析】选C.由题意知所求概率为P==.【变式备选】在区间[0,10]内任取两个数,则这两个数的平方和也在[0,10]内的概率为( )A. B. C. D.【解析】选B.将取出的两个数分别用(x,y)表示,则0≤x≤10,0≤y≤10,要求这两个数的平方和也在区间[0,10]内,即要求0≤x2+y2≤10,故此题可以转化为求0≤x2+y2≤10在区域0≤x≤10,0≤y≤10内的面积问题,如图所示:即由几何概型知识可得到概率为=.3.【解析】选D.在等腰直角三角形ABC中,设AC长为1,则AB 长为,在AB上取点D,使AD=1,则若M点在线段AD上,满足条件.因为|AD|=1,|AB|=.所以AM的长小于AC的长的概率为=.4.【解析】选B.根据随机模拟的思想,可以认为树叶落在该场地上是随机的,这样椭圆草坪的面积和整个矩形场地的面积之比就近似地等于落在椭圆草坪上的树叶数目和落在整个矩形场地上的树叶数目之比,即可估计出草坪的面积为60×40×=1632(m2).5.【解题指南】试验发生包含的事件对应的是长度为5的一条线段,满足条件的事件是组成钝角三角形,包括两种情况,第一种∠ACO为钝角,第二种∠OAC为钝角,根据等可能事件的概率得到结果.【解析】选B.试验发生包含的事件对应的是长度为5的一条线段,满足条件的事件是组成钝角三角形,包括两种情况:第一种∠ACO为钝角,这种情况的边界是∠ACO=90°的时候,此时OC=1,所以这种情况下,满足要求的是0<OC<1.第二种∠OAC为钝角,这种情况的边界是∠OAC=90°的时候,此时OC=4,所以这种情况下,满足要求的是4<OC<5.综合两种情况,若△AOC为钝角三角形,则0<OC<1或4<OC<5.所以概率P==0.4.【误区警示】本题易出现只考虑一种情况的错误,致使所得结果为0.2.6.【解析】因为b1是[0,1]上的均匀随机数,b=3(b1-2),则b1-2是[-2,-1]上的均匀随机数,所以b=3(b1-2)是[-6,-3]上的均匀随机数.答案:[-6,-3]7.【解题指南】由已知中矩形的长为12,宽为5,易计算出矩形的面积,根据随机模拟试验的概念,易得阴影部分的面积与矩形面积的比约为黄豆落在阴影区域中的频率,由此我们构造关于S阴影的方程,解方程即可求出阴影部分面积.【解析】因为矩形的长为12,宽为5,则S矩形=60,==,S阴影=33.答案:338.【解题指南】由题意知本题是模拟方法估计概率,只需计算出总共100次试验,一共有多少次落在所求面积区域内,结合几何概型的计算公式即可求得.【解析】由a1=0.3,b1=0.8得:a=-0.8,b=3.2,(-0.8,3.2)落在y=x2与y=4围成的区域内,由a1=0.4,b1=0.3得:a=-0.4,b=1.2,(-0.4,1.2)落在y=x2与y=4围成的区域内,所以本次模拟得出的面积约为16×=10.72.答案:10.729.【解析】(1)选定A1格,键入“=rand( )”,按Enter键,则在此格中的数是随机产生的[0,1]之间的均匀随机数.(2)选定A1格,按Ctrl+C快捷键,选定A2至A50,B1至B50,按Ctrl+V快捷键,则在A2至A50,B1至B50的数均为[0,1]之间的均匀随机数.用A列的数加7表示小明妈妈离开家的时间,B列的数加6.5表示报纸到达的时间.这样我们相当于做了50次随机试验.(3)如果A+7>B+6.5,即A-B>-0.5,则表示小明妈妈在离开家前能得到报纸.(4)选定D1格,键入“=A1-B1”;再选定D1,按Ctrl+C,选定D2～D50,按Ctrl+V.(5)选定E1格,键入频数函数“=FREQUENCY(D1∶D50,-0.5)”,按Enter键,此数是统计D列中,比-0.5小的数的个数,即小明妈妈在离开家前不能得到报纸的频数.(6)选定F1格,键入“=1-E1/50”,按Enter键,此数是表示统计50次试验中,小明妈妈在离开家前能得到报纸的频率,也就是所求事件A的概率的近似值.【一题多解】设送报人到达的时间为x,小明妈妈离家的时间为y,记小明妈妈离家前能得到报纸为事件A;则(X,Y)可以看成平面中的点,试验的全部结果所构成的区域为Ω={(X,Y)|6.5≤X≤7.5,7≤Y≤8},这是一个矩形区域,面积为SΩ=1, 事件A所构成的区域为A={(X,Y)|6.5≤X≤7.5,7≤Y≤8,X≤Y},面积为S A=1-0.125=0.875.这是一个几何概型,所以P(A)==0.875.10.【解析】(1)利用计算机产生两组[0,1]上的均匀随机数,a1=RAND,b1=RAND.(2)经过平移和伸缩变换,a=(a1-0.5)×2,b=b1×2,得到一组[-1,1]上的均匀随机数和一组[0,2]上的均匀随机数.(3)统计试验总次数N和落在阴影内的点数N1.(4)计算频率,即为点落在阴影部分的概率的近似值.(5)用几何概型的概率公式求得点落在阴影部分的概率为P=,=,所以S≈,即为阴影部分的面积值.【拓展提升】利用随机模拟方法求不规则图形面积的方法步骤(1)利用计算器或计算机产生[0,1]的均匀随机数.(2)经过伸缩变换y i=(b-a)x i+a,(i=1,2)得到两组[a,b]上的均匀随机数.(3)利用随机数估计所求事件发生的频率.(4)从几何角度列出所求事件的概率.(5)解方程=,得S A.11.【解析】假设正方形的边长是2,则正方形的面积是4,圆的半径是1,则圆的面积是π,根据几何概型的概率公式得到≈.所以π≈3.104.关闭Word文档返回原板块。

高中必修三-第三章-3.2.2 均匀随机数的产生（检测学生版）班级： 姓名：一、单选题1．在直角ABC ∆中，三条边恰好为三个连续的自然数，以三个顶点为圆心的扇形的半径为1，若在ABC ∆中随机地选取m 个点，其中有n 个点正好在扇形里面，则用随机模拟的方法得到的圆周率的近似值为（ ） A. 16n m B. 12n m C. 8n m D. 6n m2．一只小蜜蜂在一个棱长为4的正方体内自由飞行,若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体六个表面的距离均大于1,称其为“安全飞行”,则蜜蜂“安全飞行”的概率为( )A. B. C. D.3．在区间[0,2]上随机地取一个数x ,则事件“-1≤lo ≤1”发生的概率为( )A. B. C. D.4．要产生[－3,3]上的均匀随机数y ，现有[0,1]上的均匀随机数x ，则y 可取为( )A. －3xB. 3xC. 6x －3D. －6x －35．与均匀随机数特点不符的是( )A. 它是[0,1]内的任何一个实数B. 它是一个随机数C. 出现的每一个实数都是等可能的D. 是随机数的平均数6．用均匀随机数进行随机模拟,下列说法正确的是( )A. 只能求几何概型的概率,不能解决其他问题B. 能求几何概型的概率,还能计算图形的面积C. 能估计几何概型的概率,还能估计图形的面积D. 适合估计古典概型的概率二、填空题7．利用计算机随机模拟方法计算图中阴影面积(如图所示).第一步:利用计算机产生两组均匀随机数x ,y ,其中-1<x<1,0<y<1;第二步:拟(x ,y )为点的坐标.共做此试验N 次.若落在阴影部分的点的个数为N 1,则可以估计阴影部分的面积S.例如,做了2 000次试验,即N=2 000,模拟得到N 1=1 396,所以S ≈_____.8．已知利用计算机产生[0,1]上的均匀随机数x=0.2,则利用伸缩和平移变换后,得到在[2,4]内的均匀随机数为_____.9．一鱼缸盛有a升水,内有b条鱼苗,用一个水杯从鱼缸中取出c(c<a)升水,用随机模拟的方法判断这杯水中大约含有_____条鱼苗.10．下图的矩形，长为，宽为，在矩形内随机地撒颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为颗，则我们可以估计出阴影部分的面积为_____.。

3.3.2均匀随机数的产生【明目标、知重点】1．了解均匀随机数的意义，会利用计算器(计算机)产生均匀随机数．2．会用模拟方法(包括计算器产生随机数进行模拟)估计概率．3．理解用模拟方法估计概率的实质，会利用均匀随机数解决具体的有关概率的问题．【填要点、记疑点】1．均匀随机数的产生(1)计算器上产生[0,1]的均匀随机数的函数是RAND函数．(2)Excel软件产生[0,1]区间上均匀随机数的函数为“rand()”．2．用模拟的方法近似计算某事件概率的方法(1)试验模拟的方法：制作两个转盘模型，进行模拟试验，并统计试验结果．(2)计算机模拟的方法：用Excel软件产生[0,1]区间上均匀随机数进行模拟．注意操作步骤．3．[a，b]上均匀随机数的产生．利用计算器或计算机产生[0,1]上的均匀随机数x＝RAND，然后利用伸缩和平移交换，x ＝x1]就可以得到[a，b]内的均匀随机数，试验的结果是[a，b]上的任何一个实数，并且任何一个实数都是等可能的．【探要点、究所然】[情境导学]在古典概型中我们可以利用(整数值)随机数来模拟古典概型的问题，那么在几何概型中我们能不能通过随机数来模拟试验呢？如果能，我们又如何产生随机数呢？这就是本节课要解决的问题．探究点一均匀随机数的产生思考1我们常用的是[0,1]上的均匀随机数，如何利用计算器产生0～1之间的均匀随机数？如何利用计算机产生0～1之间的均匀随机数？答用计算器产生0～1之间的均匀随机数的方法见教材；用计算机的方法如下：用Excel演示．(1)选定A1格，键入“＝rand()”，按Enter键，则在此格中的数是随机产生的[0,1]上的均匀随机数；(2)选定A1格，点击复制，然后选定要产生随机数的格，比如A2～A100，点击粘贴，则在A1～A100的数都是[0,1]上的均匀随机数．这样我们就很快就得到了100个0～1之间的均匀随机数，相当于做了100次随机试验．思考2 计算机只能产生[0,1]上的均匀随机数，如果试验的结果是区间[a ，b ]上等可能出现的任何一个值，则需要产生[a ，b ]上的均匀随机数，对此，你有什么办法解决？答 首先利用计算器或计算机产生[0,1]上的均匀随机数X ＝RAND ，然后利用伸缩和平移变换：Y ＝X *(b —a )＋a 计算Y 的值，则Y 为[a ，b ]上的均匀随机数．思考3 利用计算机产生100个[2,6]上的均匀随机数，具体如何操作？答 (1)在A1～A100产生100个0～1之间的均匀随机数；(2)选定B1格，键入“＝A1]例1 取一根长度为5 m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，用均匀随机模拟方法估计剪得两段的长都不小于2 m 的概率有多大？解 设剪得两段的长都不小于2 m 为事件A .(1)利用计算器或计算机产生n 个0～1之间的均匀随机数，x ＝RAND.(2)作伸缩变换：y ＝x *(5－0)，转化为[0,5]上的均匀随机数．(3)统计出[2,3]内均匀随机数的个数m .(4)则概率P (A )的近似值为m n. 反思与感悟 通过模拟试验求某事件发生的概率，不同于古典概型和几何概型试验求概率，前者只能得到概率的近似值，后者求得的是准确值．跟踪训练1 如图所示，向边长为2的正方形内投飞镖，用计算机随机模拟这个试验，求飞镖落在中央边长为1的正方形内的概率．解 用计算机随机模拟这个试验，步骤如下：(1)利用计算器或计算机产生两组[0,1]上的均匀随机数a 1＝RAND ，b 1＝RAND.(2)经过伸缩平移变换，a ＝(a 1－0.5)*4，b ＝(b 1－0.5)*4得到两组[－2,2]上的均匀随机数．(3)统计出试验总次数N ，落在阴影部分的次数N 1.(4)计算频率f n (A )＝N 1N就是飞镖落在小正方形内的概率的近似值． 探究点二 随机模拟方法例2 假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上6：30～7：30之间把报纸送到你家，你父亲离开家去上班的时间在早上7：00～8：00之间，如果把“你父亲在离开家之前能得到报纸”称为事件A ，则事件A 的概率是多少？思考1 设X 、Y 为[0,1]上的均匀随机数，6.5＋X 表示送报人到达你家的时间，7＋Y 表示父亲离开家的时间，若事件A 发生，则X 、Y 应满足什么关系？答 7＋Y >6.5＋X ，即Y >X －0.5.思考2 设送报人到达你家的时间为x ，父亲离开家的时间为y ，若事件A 发生，则x 、y 应满足什么关系？不等式組表示的平面區域如何？答 ⎩⎪⎨⎪⎧ 6.5≤x ≤7.5，7≤y ≤8，y ≥x .思考3 根据几何概型的概率计算公式，事件A 发生的概率为多少？答 试验的全部结果所构成的区域的面积为边长为1的正方形，面积为1；图中的阴影部分面积为1－12×12×12＝78，所以P (A )＝781＝78. 思考4 你能设计一种随机模拟的方法近似计算上面事件A 发生的概率吗？答 方法一 (随机模拟的方法)做两个只带有分针的圆盘，标上时间，分别旋转两个圆盘，记下父亲在离家前能得到报纸的次数，则P (A )＝父亲在离家前能得到报纸的次数试验的总次数. 方法二 用计算机产生随机数模拟试验．X 是0～1之间的均匀随机数，Y 也是0～1之间的均匀随机数．如果Y ＋7>X ＋6.5，即Y >X －0.5，那么父亲在离开家前能得到报纸．在计算机上做M 次试验，查一下Y >X －0.5的Y 的个数，如果为N ，则所求概率为N /M . 反思与感悟 用随机数模拟的关键是把实际问题中事件A 及基本事件总体对应的区域转化为随机数的范围．用转盘产生随机数，这种方法可以亲自动手操作，但费时费力，试验次数不可能很大．随机数模拟的关键是把实际问题中事件A 及基本事件总体对应的区域转化为随机数的范围．用计算机产生随机数，可以产生大量的随机数，又可以自动统计试验的结果，同时可以在短时间内多次重复试验，可以对试验结果的随机性和规律性有更深刻的认识． 跟踪训练2在右图的正方形中随机撒一把豆子，计算落在圆中的豆子数与落在正方形中的豆子数之比并以此估计圆周率的值.解 随机撒一把豆子，每个豆子落在正方形内任何一点是等可能的，落在每个区域的豆子数与这个区域的面积近似成正比，即圆的面积︰正方形的面积≈落在圆中的豆子数︰落在正方形中的豆子数．设正方形的边长为2，则圆半径为1，所以π≈落在圆中的豆子数落在正方形中的豆子数×4.由于落在每个区域的豆子数是可以数出来的，所以就得到了π的近似值．探究点三 用模拟法估计面积型的几何概率例3 利用随机模拟方法计算由y ＝1和y ＝x 2所围成的图形的面积．解 以直线x ＝1，x ＝－1，y ＝0，y ＝1为边界作矩形，(1)利用计算器或计算机产生两组0～1区间的均匀随机数，a 1＝RAND ，b 1＝RAND ；(2)进行平移和伸缩变换，a ＝2(a 1－0.5)；(3)数出落在阴影内的样本点数N 1，用几何概型公式计算阴影部分的面积．例如做1 000次试验，即N ＝1 000，模拟得到N 1＝698，所以P ＝阴影面积矩形面积＝6981 000， 即阴影面积S ＝矩形面积×6981 000＝2×6981 000＝1.396. 反思与感悟 解决本题的关键是利用随机模拟法和几何概率公式分别求得几何概率，然后通过解方程求得阴影部分面积的近似值，解决此类问题时注意两点：一是选取合适的对应图形，二是由几何概型正确计算概率．跟踪训练3利用随机模拟的方法近似计算图中阴影部分(y ＝2－2x －x 2与x 轴围成的图形)的面积． 解 (1)利用计算机产生两组[0,1]上的均匀随机数，a 1＝RAND ，b 1＝RAND.(2)经过平移和伸缩变换a ＝a 1]N 1,N )就是点落在阴影部分的概率的近似值．(5)设阴影部分面积为S .由几何概型概率公式得点落在阴影部分的概率为S 12. ∴S 12≈N 1N. ∴S ≈12N 1N即为阴影部分面积的近似值． 【当堂测、查疑缺】1．将[0,1]内的均匀随机数转化为[－3,4]内的均匀随机数，需要实施的变换为( ) A ．a ＝a 1*7B.a ＝a 1*7+3C.a= a 1*7-3D.a ＝a 1*4答案 C解析 根据伸缩和平移变换a=a 1*［4-（-3）］+（-3）=a 1*7-3. 2．用随机模拟方法求得某几何概型的概率为m ，其实际概率的大小为n ，则( )A ．m >nB ．m <nC ．m ＝nD ．m 是n 的近似值 答案 D解析 随机摸拟法求其概率，只是对概率的估计．3．在区间[－1,1]上随机任取两个数x ，y ，则满足x 2＋y 2<14的概率为________． 答案 π16解析 当x ，y ∈[－1,1]时，点(x ，y )构成的区域是一个边长为2的正方形，其面积等于2×2＝4，而满足x 2＋y 2<14的点(x ，y )构成的区域是一个半径为12的圆的内部，其面积等于π4，所以所求概率P ＝π44＝π16. 4．某汽车站每隔10分钟有一班汽车通过，求乘客候车时间不超过4分钟的概率，并尝试用计算机模拟该实验．解 因为乘客到达车站的时间是随机的，设乘客候车时间不超过4分钟为事件A . 由题意，可得P (A )＝区间(0，4)的长度区间(0，10)的长度＝25. 随机模拟试验的步骤：(1)利用计算机产生[0,1]上的均匀随机数，a 1＝RAND.(2)经过伸缩变换：a ＝10]N 1,N )，即为所求概率的近似值．呈重点、现规律】1．在区间[a ，b ]上的均匀随机数与整数值随机数的共同点都是等可能取值，不同点是均匀随机数可以取区间内的任意一个实数，整数值随机数只取区间内的整数．2．利用几何概型的概率公式，结合随机模拟试验，可以解决求概率、面积、参数值等一系列问题，体现了数学知识的应用价值．。

均匀随机数的产生课文知识点解析全析提示对于几何概型，因为其基本事件个数有无穷多个，故不适合用整数值随机数做模拟试验，这时应利用均匀随机数.下面以常见的科学计算器怎样产生［0，1］区间内的三位小数随机数为例来看一下随机数的产生.SHIFT—→RAN#—→=根据基本事件是无穷多个还是有限多个决定采用整数值随机数模拟试验还是采用均匀随机数模拟试验.以后每按一次“=”，均产生一个三位小数的随机数.如何产生［1，25］区间内的均匀随机数呢？24—→X—→SHIFT—→RAN#—→+—→1—→=以后每按一次“=”，都会产生一个［1，25］区间内的三位小数的随机数.也可以使用计算软件来产生随机数，这里介绍SCILAB中产生随机数的方法.SCILAB中用RAND（）函数来产生0～1的均匀随机数，每调用一次RAND（）函数，就产生一个随机数.利用SHIFT—→RAN#产生［0，1］内的均匀随机数，乘以24便是［0，24］内的均匀随机数，再加1便是［1，25］内的均匀随机数.掌握此原理可产生任意区间内的均匀随机数.如果要产生a～b之间的随机数，可以使用变换RAND（）*（b－a）+a得到，请同学们想一想其中的道理.这种变换是平移和伸缩的结合，类似于函数中的平移变换、伸缩变换.课本的例2介绍了几何概型概率的两种方法，在第一种方法中，阴影部分如图3－3－9所示，图中线段AB表示什么？其来历是什么呢？在图中，由于横坐标表示送报人到达的时间，纵坐标表示父亲离家的时间，线段AB上的点其横、纵坐标相等，表示送报人到达的时间恰好是父亲离家的时间，也即恰好能收到报纸的时候.阴影部分内的点其纵坐标大于横坐标，即父亲离家时间大于（晚于）送报人到达的时间，这时也能收到报纸.理解了这些，后面的计算便顺理成章了.图3－3－9处理几何概型问题时，要根据题意找到两“长度”，特别是事件A的“长度”，其界限是什么，这是处理几何概型问题的关键.此题的方法二是采用随机模拟的方法求概率，但动手实验费时费力、不易操作，用计算机产生随机数进行模拟试验简单易行.题目中用计算机产生了［0，1］区间内的两组随机数，一组代表X，一组代表Y，需理解好的是Y+7代表父亲离家的时间，X+6.5代表送报人到达的时间，Y+7＞X+6.5恰好代表父亲离家的时间晚于送报人到达的时间，这时父亲能够在离家前得到报纸，这样在50组数据中数出有多少组满足Y＞X－0.5，计算频率就可得到概率.利用随机模拟方法可求概率问题，其实质是先求频率，用频率近似代替概率.其关键是设计好“程序”或者说“步骤”，并找到各数据需满足的条件.例3的模拟试验实际上结合了解析几何的思想方法，在第（1）步中用计算器或计算机产生了［0，1］区间内的两组随机数a1、b1，第（2）步中进行了平移和伸缩变换，a=（a1－0.5）*2，b=（b1－0.5）*2，显然a∈［－1，1］，b∈［－1，1］，而a、b表示正方形要找到随机数满足的条件，对随机数进行怎样的平移、伸缩变换，可利用解析几何知识，根据两“长度”曲线的方程进行.中各点的横、纵坐标.在第（3）步中满足a 2+b 2＜1的数组即为落到圆内的豆子，有多少这样的数组便有多少落在圆内的豆子，通过这样的豆子数N 1，计算π=NN 14，N 代表落在正方形中的豆子数，也就是本例中所作随机试验的总次数.例3启发我们，利用几何概型，并通过随机模拟方法可以近似计算不规则图形的面积，例4便是此类型题目的具体应用.其基本思想是规则图形的面积不规则图形的面积=P （A ）=试验总次数数不规则图形内的样本点.利用随机模拟方法求不规则图形的面积，其实质是利用概率相等.。

均匀随机数的产生 课文练习答案方法点拨P 131 思考答案：先利用计算器或计算机产生［0，1］上的均匀随机数x ，然后再实施伸缩和平移变换即可，即x *（b －a ）+a . P 134 练习利用函数中的平移、伸缩变换可将［0，1］区间的随机数转化为任意区间［a ，b ］上的随机数.1.解：由题意知此试验符合几何概型，故其概率P =10111.0=， 即小杯水中含有这个细菌的概率为101. 由取水样的随机性可知符合几何概型.2.解：因为黄豆随机撒在图形上，它落在图形中各点的机会是均等的，符合几何概型的条件.在图（1）中，阴影为圆内接等腰三角形，底边为圆的直径，设圆半径为R ，则S 阴影=21×2R ×R =R 2，而S 圆=πR 2， ∴这粒黄豆落到阴影部分的概率为P =π1π22==R R S S 圆阴影.因为“随机”，所以“等可能”.因为“点”，所以有“无限性”.由此判定为几何概型问题.在图（2）中，整个圆被平均分成8份，而阴影部分占3份，由几何概型知P =83，即此粒黄豆落在阴影部分的概率为83.3.解：由于红色区域占整个靶面的21，由几何概型知200标中有100标左右能落在红色区域.P 137 习题3.3求两“长度”的比是求几何概型问题的必经之路.A 组1.解：由于豆子是随机地扔到桌面上，故豆子落到桌面上每一点的可能性都是相等的，它符合几何概型.以下几问均可直接利用几何概型概率公式.（1）P =94；（2）P =3193=；（3）P =92； （4）P =96=32；（5）P =95. 关于两“长度”的比，本题中即为“面积”的比.2.解：由于飞镖是随机地扎在靶上，它也符合几何概型，由几何概型概率公式，得（1）P =261；（2）P =212613=；（3）P =263； （4）P =131262=；（5）P =212613=；（6）P =133266=.找出事件A 的“长度”，利用弧长比、面积比均可求得概率.3.解：由于到达路口的时间是随机的、等可能的，符合几何概型的条件，由几何概型概率公式，得时间是连续的、无限的，据题意又是等可能的，故属于几何概型问题.（1）P 1=5275304053030==++；（2）P 2=151755405305==++；（3）P 3=1－P 1=53， 即当你到达路口时，看见红灯的概率为52，看见黄灯的概率为151，不是红灯的概率为53. B 组解：设甲、乙两船到达泊位的时间分别为x 、y ，由于是随机到达，故是几何概型问题.由题意知0≤x ≤24，0≤y ≤24，而|x －y |≤6，即只要点落在阴影部分就表示至少有一艘船在停靠泊位时必须等待，即事件A 发生，所以P （A ）=167241821224222=⨯⨯-.x167. 在判断为几何概型的前提下，通过寻找两变量的取值范围及关系便可找到两“长度”.复习参考题三A 组方法点拨1.解：（1）经试验，摸到白球的频率接近0.9. （2）摸到红球的频率接近0.1. 摸到白球的频率与摸到红球的频率的和接近1，因为摸到红球与摸到白球是两个对立事件.在试验次数较多的情况下，频率近似等于概率.而对立事件的概率和等于1.2.解：由古典概型公式知 （1）此人体重减轻的概率P 1=250137500274=. （2）此人体重不变的概率P 2=50093. （3）此人体重增加的概率P 3=500133. 个体服从总体，故计算500人这个总体的概率即可.3.解：将一枚质地均匀的硬币连续投掷4次，共产生2×2×2×2=16个基本事件，其中“2次正面朝上，2次反面朝上”包含（正，正，反，反），（正，反，正，反），（正，反，反，正），（反，正，正，反），（反，正，反，正），（反，反，正，正）共6个，故“2次正面朝上，2次反面朝上”的概率P 1=83166=；“3次正面朝上，1次反面朝上”包含（反，正，正，正），（正，反，正，正），（正，正，反，正），（正，正，正，反）4个基本事件，故其概率P 2=41164=. 计算基本事件总数时，可分“步”进行，故用乘法.计算事件A 包含的基本事件总数时因情况较少，可用列举法. 4.解：由古典概型概率公式得（1）“50岁以上具有专科或专科以上学历”的概率P 1=1251850021060=++. （2）“具有本科学历”的概率P 2=254500102050=++.（3）“35岁以下具有研究生学历”的概率P 3=100750035=. （4）“50岁以上”的概率为P 4=500515002106030=+++. 透彻理解表格给出的信息，合理找出事件A 包含的基本事件数.5.解：设“两球颜色相同”的事件为A ，“两球同为白色”“两球同为红色”“两球同为黑色”的事件分别为B 、C 、D ，则B 、C 、D 为互斥事件，且A =B ∪C ∪D ，∴P （B ）=625302525103=⨯⨯， P （C ）=62542252567=⨯⨯， P （D ）=6251352525915=⨯⨯， ∴P （A ）=P （B ）+P （C ）+P （D ）=625207. “两球同色”包含三种情况，实质就是三个互斥事件，故可利用互斥事件概率加法公式.6.解：由于每个人在每一层离开是等可能的，故共有9×9=81个基本事件.他们在不同楼层离开的事件包含9×8个基本事件，故2人在不同楼层离开的概率P =989989=⨯⨯. 求基本事件总数及事件A 包含的基本事件数时都可分“步”进行，故都用乘法计算.B 组1.解：我们可以用0表示反面朝上，1表示正面朝上，利用计算机不断产生0，1两个随机数，每10个随机数看作一组，代表抛掷均匀硬币10次，不妨产生100组，代表作了100次试验，数出1的个数多于0的个数的组数，设有N 1组，则出现正面的次数多于反面次数的概率为1001N .（参考答案：0.38） 当基本事件过多、难以计算时，我们可以采取随机模拟的方法. 2.解：发第二张牌是A 包含“第一张第二张都是A ”和“第一张不是A ，分清情况，理清事件第二张是A ”两个互斥事件，此概率只跟前两张牌有关，故只考虑前两张牌. 若“第一张、第二张都是A ”，其概率P 1=515234⨯⨯；若“第一张不是A ，第二张是A ”，其概率P 2=5152448⨯⨯.故所求概率P =P 1+P 2=1315152448515234=⨯⨯+⨯⨯.间的关系，套用相关公式，对“无关紧要”的量（如本例中后50张牌）可不予理睬.3.解：我们利用数字1，2，3，4，5，6，7，8代表8只鞋，其中1、2为一双，3、4为一双，5、6为一双，7、8为一双.用计算机或计算器产生1至8的随机数，每4个算一组，相当于随机取4只鞋，不妨产生100组这样的随机数组，（1）数出1、2，3、4，5、6，7、8都不成对的数组数N 1，则取出的鞋都不成对的概率P 1=1001N .用同样的方法可解决（2）、（3）、（4）.（参考答案：P 1=0.23，P 2=0.46，P 3=0.77，P 4=0.09）利用随机试验求得的是频率，但在试验次数较多的情况下，它近似的可代替概率.此题的关键是设计好“程序”，数出适合题意的数组数. 4.解：（1）利用计算器或计算机产生两组0～1区间的均匀随机数，y =6x +12a 1=RAND ，b 1=RAND.（2（3）数出落在y 轴右边阴影内（即满足b ＞a 2+1）的样本点数N 1，用几何概型公式计算阴影部分的面积.例如做1000次试验，即N =1000，模拟得到N 1=556， 所以S ≈2×NN 156=14.9. 要计算阴影部分的面积，根据图形的对称性，可先计算y 轴右边这一部分的面积.。

人教A版高中数学必修三第3章332均匀随机数的产生同步训练(1一、单选题(共6题；共12分)1.（2分）已知某运动员每次投篮命中的概率都是40%．现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有一次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数作为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数：907，966，191，925，271，932，812，458，569，683，431，257，393，027，556，488，730，113，537，989．据此估计，该运动员三次投篮恰有一次命中的概率为（）A.0.25B.0.2C.0.35D.0.42.（2分）把[0,1]内的均匀随机数某分别转化为[0,4]和[-4,1]内的均匀随机数y1,y2,需实施的变换分别为（）A.y1=-4某,y2=5某-4B.y1=4某-4,y2=4某+3C.y1=4某,y2=5某-4D.y1=4某,y2=4某+33.（2分）下列说法正确的是（）A.任何事件的概率总是在(0，1]之间B.频率是客观存在的，与试验次数无关C.随着试验次数的增加，事件发生的频率一般会稳定于概率第1页共6页D.概率是随机的，在试验前不能确定4.（2分）某次数学测试6位同学成绩的茎叶图如下，将这6位同学成绩作为总体，从总体中任取两位同学成绩作为一个样本，则样本平均数大于总体平均数的概率是（）68A.B.C.D.5.（2分）从一批电视机中随机抽出10台进行检验，其中有1台次品，则关于这批电视机，下列说法正确的是（）A.次品率小于10%B.次品率大于10%C.次品率等于10%D.次品率接近10%6.（2分）某校团委要组建诗歌、绘画、演讲三个协会,某位学生只报了其中的2个,则基本事件共有（）A.1个B.2个C.3个D.4个第2页共6页二、填空题(共5题；共5分)7.（1分）(2022高二上·黑龙江期中)从自动打包机包装的食盐中，随机抽取20袋，测得各袋的质量分别为单位：：492496494495498497501502504496 497503506508507492496500501499根据频率分布估计总体分布的原理，该自动包装机包装的袋装食盐质量在之间的概率约为________．8.（1分）小明在抛掷图钉时,在200次至300次抛掷中钉尖触地的频率约在35%~35.4%之间,那么再抛掷100次,钉尖触地次数的取值范围是________.9.（1分）在用随机(整数)模拟求“有个男生和个女生，从中取个，求选出个男生个女生”的概率时，可让计算机产生的随机整数，并用代表男生，用代表女生.因为是选出个，所以每个随机数作为一组.若得到的一组随机数为“”，则它代表的含义是________.10.（1分）有一个正12面体,12个面上分别写有1～12这12个整数,投掷这个12面体一次,则向上一面的数字是2的倍数或3的倍数的概率为________.11.（1分）(2022高一下·苏州期末)袋中装有5个大小相同的球，其中3个黑球，2个白球，从中一次摸出2个球，则摸出1个黑球和1个白球的概率等于________．三、解答题(共4题；共25分)12.（5分）一个学生在一次竞赛中要回答道题是这样产生的：从道物理题中随机抽取道；从第3页共6页（1）求取到的2个球中恰好有1个是黑球的概率；（2）求取到的2个球中至少有1个是红球的概率.14.（5分）一个学生在一次竞赛中要回答道题是这样产生的：从道物理题中随机抽取道；从15.（5分）一个体育代表队共有名水平相当的运动员.现从中任意抽取人参加某场比赛，其中运动员甲必须参加，写出利用随机模拟抽取的过程.第4页共6页参考答案一、单选题(共6题；共12分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、二、填空题(共5题；共5分)7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、三、解答题(共4题；共25分)12-1、第5页共6页13-1、13-2、14-1、15-1、第6页共6页。