数学建模--人口预报问题

数学建模⼈⼝模型⼈⼝预测教学内容数学建模⼈⼝模型⼈⼝预测关于计划⽣育政策调整对⼈⼝数量、结构及其影响的研究【摘要】本⽂着重于讨论两个问题:1、从⽬前中国⼈⼝现状出发，对于中国未来⼈⼝数量进⾏预测。

2、针对深圳市讨论单独⼆胎政策对未来⼈⼝数量、结构及其对教育、劳动⼒供给与就业、养⽼等⽅⾯的影响。

对于问题1从中国的实际情况和⼈⼝增长的特点出发，针对中国未来⼈⼝的⽼龄化、出⽣⼈⼝性别⽐以及乡村⼈⼝城镇化等，提出了 Logistic、灰⾊预测、等⽅法进⾏建模预测。

⾸先，本⽂建⽴了 Logistic 阻滞增长模型，在最简单的假设下，依照中国⼈⼝的历史数据，运⽤线形最⼩⼆乘法对其进⾏拟合，对 2014 ⾄ 2040 年的⼈⼝数⽬进⾏了预测，得出在 2040 年时，中国⼈⼝有 14.32 亿。

在此模型中，由于并没有考虑⼈⼝的年龄、出⽣⼈数男⼥⽐例等因素，只是粗略的进⾏了预测，所以只对中短期⼈⼝做了预测，理论上很好，实⽤性不强，有⼀定的局限性。

然后，为了减少⼈⼝的出⽣和死亡这些随机事件对预测的影响，本⽂建⽴了 GM(1,1)灰⾊预测模型，对 2014 ⾄ 2040 年的⼈⼝数⽬进⾏了预测，同时还⽤ 2002 ⾄ 2013 年的⼈⼝数据对模型进⾏了误差检验，结果表明，此模型的精度较⾼，适合中长期的预测，得出 2040 年时，中国⼈⼝有 14.22 亿。

与阻滞增长模型相同，本模型也没有考虑年龄⼀类的因素，只是做出了⼈⼝总数的预测，没有进⼀步深⼊。

对于问题2针对深圳市⼈⼝结构中⾮户籍⼈⼝⽐重⼤，流动⼈⼝多这⼀特点，我们采⽤了灰⾊GM(1,1)模型，通过matlab 对深圳市⾃2001⾄2010年的数据进⾏拟合，发现其⼈⼝变化近似呈线性增长，线性相关系数⾼达0.99，我们就此认定其为线性相关并给出线性⽅程。

同理，针对其⾮户籍⼈⼝，我们进⾏matlab 拟合发现，其为⾮线性相关，并得出相关函数。

并做出了拟合函数0.0419775(1)17255.816531.2t X t e ?+=?-。

三、模型假设
以下假设全文适用，局部假设将在文中分别给出： 1、顾客排队后就不再离开。 2、顾客不存在插队的情况。 3、收银台服务的时候，服务时间不受意外情况影响。 4、题中所给数据都真实可信。 5、窗口的特性一致。
2
6、假设上午的时间段定义为 09：00—12：00，下午时间段定义为 12：00—18：00， 晚 上时间段定义为 18：00—22：00。
22问题二分析这是一个优化分配问题根据不同时间段内不同的窗口数量建立顾客排队等候时间的目标函数在窗口数量有限的条件下对其进行合理的分配使目标函数达到最小值根据题设数据的类型求解思路是通过对服务对象到来及服务时间的统计规律然后根据这些规律来改进服务系统的结构或重新组织被服务对象达到既能使服务系统满足服务对象的需要又能使机构的费用最经济或某些指标最优的目的排队论是运筹学的一个分支又称随机服务系统理论或等待线理论是研究要求获得某种服务的对象所产生的随机性聚散现象的理论故选择以排队论为理论所构造的模型作为解决题设最优解的方案
0 0
T
，B
(Y Bu )T (Y Bu ) 达到最小值的： 则由最小二乘法，求得使 J u

0.0195 [a , b] T BT B 1 BT Y u 4393.6
(5-6)
即：a=0.0195，b=4393.6； 5.3.2 生成数据序列模型 代入 a、b 得生成数据序列：
二、问题分析
2.1 问题一分析 问题一需要解决的是一周顾客人数的预测问题，从数据的角度分别对上午、下午、 晚上的数据进行分析，得出所给数据量比较欠缺，可靠性低，既含有已知信息又含有不 确定信息的结论， 结合运筹学， 统计学和目标规划 [3] 的方法从四周的数据中建立出若干 个顾客人数动态变化的模型， 对比各个模型及数据的特点最终确定灰色预测 [2] 的数学模 型， 灰色预测是利用这种规律建立灰色模型对灰色系统进行预测，根据已知条件求出各 个参数值代入模型，从而预测出一周时间内的顾客人数。 2.2 问题二分析 这是一个优化分配问题，根据不同时间段内不同的窗口数量建立顾客排队等候时间 的目标函数， 在窗口数量有限的条件下， 对其进行合理的分配， 使目标函数达到最小值， 根据题设数据的类型， 求解思路是通过对服务对象到来及服务时间的统计规律，然后根 据这些规律来改进服务系统的结构或重新组织被服务对象， 达到既能使服务系统满足服 务对象的需要， 又能使机构的费用最经济或某些指标最优的目的，排队论是运筹学的一 个分支, 又称随机服务系统理论或等待线理论, 是研究要求获得某种服务的对象所产生 的随机性聚散现象的理论， 故选择以排队论为理论所构造的模型作为解决题设最优解的 方案。

数学建模之中国人口增长的预测和人口结构的简析随着社会经济的发展，人口增长一直是一个备受关注的问题。

数学建模是研究人口增长和人口结构的重要方法之一、本文将对中国人口增长的预测和人口结构进行简析，并利用数学建模方法进行预测分析。

首先，中国人口增长的情况是众所周知的。

随着中国的经济快速发展，人民生活水平的提高，医疗水平的提高以及计划生育政策的实施，中国的人口增长率逐渐放缓。

根据国家统计数据，自2024年以来，中国的总人口增长率一直在下降，其中在2024年总人口为14亿人，增长率仅为0.35%。

根据这一趋势，可以推断出未来的人口增长率可能会进一步下降。

在进行人口增长预测时，可以运用数学建模方法中的指数增长模型。

指数增长模型是描述人口增长的一种常用方法，其基本形式为：N(t)=N0*e^(r*t)其中，N(t)表示时间t时刻的人口数量，N0表示初始人口数量，r表示人口增长率，e表示自然对数的底数。

利用指数增长模型可以对未来的人口增长进行预测。

但要注意的是，由于人口增长受到多种因素的影响，例如政策调整、经济发展、文化变迁等，所以对于人口的精确预测是一项复杂而困难的任务。

因此，在进行人口预测时，应结合实际情况，综合考虑人口增长的多个因素。

另外，人口结构是指人口在不同年龄段的分布情况。

人口结构反映了一个地区或国家的经济、社会、教育等方面的发展状况。

中国的人口结构表现为老龄化趋势和少子化现象。

根据国家统计数据，中国的老龄化人口比例逐年提高，同时生育率呈下降趋势。

这种人口结构的变化将对中国的社会、经济等多个方面产生深远的影响。

为了分析人口结构的变化，可以利用数学建模中的人口金字塔。

人口金字塔以年龄为横轴，人口数量为纵轴，通过金字塔的形状和比例来反映人口的结构情况。

通过观察人口金字塔的变化，可以了解人口的年龄分布情况，判断人口的变化趋势，为相关政策和规划提供依据。

总之，中国人口增长的预测和人口结构的分析是一个复杂的问题，数学建模可以提供一种客观、科学的方法来分析这些问题。

全国大学生数学建模比赛论文人口预测模型 The manuscript was revised on the evening of 2021中国人口预测模型摘要：人口数量的变化，关系到一个国家的未来。

认识人口数量的变化规律，建立人口模型，能够较准确的预报，是有效控制人口增长的前提。

本文对人口预测的数学模型进行了研究。

首先，建立人口指数模型、Logistic模型及灰度预测模型。

对我国2005年以后45年的人口增长进行了预测，根据1982年人口基本数据运用模型对1982年～2005年进行了预测，并用实际数据对预测结果进行了检验。

我们将预测区间分为2006～2030年、2030～2050年两个区间，以量化未来我国短中期与长期的人口变化。

关键词：人口数量的变化人口指数模型 Logistic模型灰度预测模型MATLAB Excel目录第一部分问题重述 (3)第二部分问题分析 (3)第三部分模型的假设 (3)第四部分定义与符号说明 (3)第五部分模型的建立与求解 (3)模型一 (3)模型二 (8)模型三 (12)第六部分对模型的评价 (14)第七部分参考文献 (15)第八部分附表 (15)一、问题重述人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一。

本题要求根据已知数据，运用数学建模的思想对我国人口做出分析和预测。

具体问题如下：从中国的实际情况和人口增长的特点，例如我国老龄化进程加快、出生人口性别比持续升高、乡村人口城镇化等，利用参考附录中所提供的数据，建立中国人口增长的数学模型，由此对中国人口增长的中短期和长期趋势做出预测，并指出模型的优缺点。

二、 模型假设1、假设题目所给的数据真实可靠；2、假设不考虑我国人口大规模的朝国外迁移，也不考虑外国人大量涌入我国；3、假设不考虑战争、自然灾害、疾病对人口数目和性别比的影响；4、假设在本世纪中叶前，我国计划生育政策稳定。

5、假设中短期内生育率和死亡率保持相对稳定6、假设相同年龄段人口性别比基本稳定。

建模示例：如何预报人口的增长人类社会进入20世纪以来，在科学技术和生产力飞速发展的同时，世界人口也以空前的规模增长。

统计数据显示：可以看出，人口每增加十亿的时间，由一百年缩短为十二三年。

我们赖以生存的地球，已经携带着它的60亿子民踏入21世纪。

长期以来，人类的繁殖一直在自发地进行着。

只是由于人口数量的迅速膨胀和环境质量的急剧恶化，人们才猛然醒悟，开始研究人类和自然的关系、人口数量的变化规律，以及如何进行人口控制等问题。

我国是世界第一人口大国，地球上每五个人中就有一个中国人。

在20世纪的一段时间内我国人口的增长速度过快，请看：有效地控制我国人口的增长，不仅是使我国全面进入小康社会、到21世纪中叶建成富强民主文明的社会主义国家的需要，而且对于全人类社会的美好理想来说，也是我们义不容辞的责任。

认识人口数量的变化规律，建立人口模型，做出准确的预报，是有效控制人口增长的前提。

长期以来人们在这方面作了不少工作，下面介绍两个最基本的人口模型，并利用表1给出的近两个世纪的美国人口统计数据（以百万为单位），对模型作检验，最后用它预报2010年美国的人口。

表1 美国人口统计数据1) 指数增长模型最简单的人口增长模型使人所共识的：记今年人口为0x ，k 年后人口为k x ，年增长率为r ，则(1)kk x x r =⋅+ (1) 显然，这个公式的基本条件是年增长率r 保持不变。

二百多年前英国人口学家马尔塞斯（Malths ，1766—1834）调查了英国一百多年的人口统计资料，得出了人口增长率不变的假设，并据此建立了著名的人口指数增长模型。

模型建立 记时刻t 的人口为()x t ，当考察一个国家或一个较大地区的人口时，()x t 是一个很大的整数。

为了利用微积分这一数学工具，将()x t 视为连续、可微函数。

记初始时刻（0=t ）的人口为0x . 假设人口增长率为常数r ，即单位时间内()x t 的增量等于r 乘以()x t . 考虑t 到t t ∆+时间内人口的增量，显然有()()()t t rx t x t t x ∆+=∆+令0→∆t ，得到()t x 满足微分方程：rx dtdx=，0)0(x x = (2) 有这个方程很容易解出()rt e x t x 0= (3)0>r 时(3)式表示人口将按指数规律随时间无限增长，称为指数增长模型。

中国人口预测模型摘要本文对人口预测的数学模型进行了研究。

首先，建立一次线性回归模型, 灰色序列预测模型和逻辑斯蒂模型。

考虑到三种模型均具有各自的局限性，又用加权法建立了熵权组合模型，并给出了使预测误差最小的三个预测模型的加权系数，用该模型对人口数量进行预测，得到的结果如下：单位：（万人）其中加权系数为：,其次，建立Leslie人口模型，充分反映了生育率、死亡率、年龄结构、男女比例等影响人口增长的因素，并利用以1年为分组长度方式和以5年为分组长度方式预测短期和长期人口增长，然后对人口模型进行了改进，构建了反映生育率和死亡率变化率负指数函数，并给出了反映城乡人口迁移的人口转移向量最后我们BP神经网络模型检验以上模型的正确性关键字：一次线性回归灰色序列预测逻辑斯蒂模型Leslie人口模型BP神经网络一、问题重述1. 背景人口增长预测是随着社会经济发展而提出来的。

在过去的几千年里，由于人类社会生产力水平低，生产发展缓慢，人口变动和增长也不明显，生产自给自足或进行简单的以货易货，因而对未来人口发展变化的研究并不重要，根本不用进行人口增长预测。

而当今社会，经济发展迅速，生产力达到空前水平，这时的生产不仅为了满足个人需求，还要面向社会的需求，所以必须了解供求关系的未来趋势。

而人口增长预测是对未来进行预测的各环节中的一个重要方面。

准确地预测未来人口的发展趋势，制定合理的人口规划和人口布局方案具有重大的理论意义和实用意义。

2. 问题人口增长预测有短期、中期、长期预测之分，而各个国家和地区要根据实际情况进行短期、中期、长期的人口预测。

例如，中国人口预期寿命约为70 岁左右，因此，长期人口预测最好预测到70年以后，中期40—50 年，短期可以是5 年、10年或20 年。

根据2007 年初发布的《国家人口发展战略研究报告》（附录一）及《中国人口年鉴》收集的数据（附录二），再结合中国的国情特点，如老龄化进程加速，人口性别比升高，乡村人口城镇化等因素，建立合理的关于中国人口增长的数学模型，并利用此模型对中国人口增长的中短期和长期趋势做出预测，同时指出此模型的合理性和局限性。

5、计算模型：
指数增长模型：
Logistic模型：
指数增长模型。Malthus 模型的基本假设下，人口的增长率为常数，记为r，记时刻t的人口为 ，（即 为模型的状态变量）且初始时刻的人口为 ，因为 由假设可知 经拟合得到：
根据包头人口从1980年到2009年间的人口数据（如下表），确定人口指数增长模型和Logistic模型中的待定参数，估计出包头2009年以后的的人口。
包头市人口数学建模
1、问题摘要：人口指数增长模型，用logistic模型预测包头人口。
2、问题描述：假设已知t=t0时，人口数是P0，预测出t=t1时的人口数目P。要找出一个人口函数P(t)解释这个模型。
3、模型假设：
a.包头人口看作一封闭系统,没有迁入与迁出。
b.同一年龄组内是无区别的。
c.考虑出生率和死亡率。
包头市人口统计数据（单位：万人）
年份
总人口
年份
总人口
年份
总人口
1980
162.10
1990
185.57
2000
204.31
1981
162.91
1991
186.27
2001
206.16
1982
165.33
1992
187.75
2002
208.02
1983
166.47
1993
189.75
2003
209.33
1989
182.61
1999
203.01
2009
219.59
在matlab中运行以下语句计算：
t=1980:1:2009;
x(t)=[162.10 162.91 165.33 166.47 168.40 172.43 175.05 176.99 180.03 182.61 185.57 186.27 187.75 189.75192.49194.01 196.23 198.92 201.12203.01 204.31 206.16 208.02 209.33 210.24 209.32 212.41 214.60 217.76 219.59];

数学建模论文人口预报问题实验组员：肖育鑫, 蒋忠炳，陈昶实验组长：陈昶实验指导：许志军老师2010年4月5日一、摘要 (3)二、问题重述 (3)三、模型假设 (4)四、分析与建立模型 (5)五、模型求解 (5)六、模型检验 (7)七、模型分析讨论及推广 (10)八、参考文献 (10)九、附录 (10)人口预报问题一、摘要人口是人类最为关心的问题之一，认识人口数量的变化规律，做出较为准确的预测，在现实社会有很大的作用，是帮住有效地控制人口增长的前提。

对于人口问题，我们可通过建立指数增长模型(马尔萨斯人口模型)和阻滞增长模型（logistic模型）分别对人口进行预算，据经验，建立logistic模型求解预测更加精确。

建立中国人口增长的数学模型，并由此对中国人口增长的中短期和长期趋势做出预测对未来的一段时期的人口结构作出总结性的结论，同时对两个模型作出一个总体的评价。

关键字指数增长阻滞增长模型人口模型二、问题重述表1-1 江苏省人口统计数据上表给出了江苏省1981年到2001年共21的人口数据，以1981 作为起始年，建立：（1）建立江苏省人口的指数增长模型(马尔萨斯人口模型)，并 利用该模型进行人口预测，与上表的实际人口数据进行比较，并 计算其误差大小。

（2）建立江苏省人口的阻增长模型（logistic 模型），并利用 该模型进行人口预测，与上表的实际人口数据进行比较，并计算 其误差大小。

三、模型假设（1）对于问题一：①假设人口增长率r 是常数（或单位时间内人口增长量与当时人口呈正比）；②假设人口平稳增长，无大型自然灾害、战争等因素影响； ③假设时刻t 的人口函数是连续可导的；④其中我们假设t 表示年份，r 表示人口增长率，x 表示人口数量。

（2）对于问题二：①假设人口增长率r 为人口x(t)的函数r(x)(减函数)，最简单地可假设(),,0r x r sx r s =->(线性函数)，r 叫做固有增长率； ②自然资源和环境条件年容纳的最大人口容量为m x ； ③假设在时刻t ，人口增长的速率与当时人口数成正比；④其中我们假设t 表示年份,r 表示人口增产率，x 表示人口数量。

数学建模报告——浙江省人口增长预测模型的建立与分析问题综述:为了加快中国的经济建设进程，全面落实科学的发展观，按照构建社会主义和谐社会的要求，实现人口与经济社会资源环境的协调和可持续发展。

我们确定人口发展战略，必须既着眼于人口本身的问题，又处理好人口与经济社会资源环境之间的相互关系，构建社会主义和谐社会，统筹解决人口数量、素质、结构、分布等问题。

人口增长预测的研究是国家（地区）制定未来人口发展目标和生育政策等有关人口政策的基础，对于经济计划的制定和社会战略目标的决策具有重要参考价值。

一般的人口预测统计学模型，其预测精度难以保证。

所以选择一个好的人口预测模型，首先应符合人口基本理论和数学建模的要求，这是选择模型的关键，其次要保证模型数据可得一致性与可比性，在数据预测检验阶段应充分拟合原始数据。

浙江省是人口大省、地域小省(资源小省)，虽然从“资源小省、经济小省(国家投入小省)、工业小省”迅速发展成为“经济大省”，但人口问题始终是制约浙江省发展的关键因素之一。

根据已有数据，运用数学建模的方法，对浙江省做出分析和预测是一个重要问题。

近年来浙江省的人口发展出现了一些新的特点，例如，老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高，以及乡村人口城镇化等因素，这些都影响着浙江省人口的增长。

从浙江省的实际情况和人口增长的特点出发, 建立浙江省人口增长的数学模型，并由此对浙江省人口增长的中短期和长期趋势做出预测。

解：假设：不考虑特别年份的特殊性,例如特大自然灾害等对人口增长的影响；在研究 Logistic生物模型,假设其研究对象p(t) {p(t)表示在t时刻种群的大小}是连续的；不考虑男女出生比例对人口增长的影响。

模型建立：1.短期人口预测影响人口增长的因素有很多，有经济、政策、科学技术、自然环境等，这些众多的因素之间的关系难以准确描述出来, 它们对人口增长的作用不是用几个指标就能精确计算出来的。

人口系统具有明显的灰色性, 是一个部分信息已知而部分信息未知的系统。

模型建立： 假设时刻t=0是人口数为 x0 ，时刻t的人口为 是t的连续、可微函数。 x(t ) x(t ) t到 t& t ) x(t ) rx(t ) t
由此得到微分方程
dx rx （*） dt x(0) x0
人口增长到一定数量后，资源， 环境等因素将对人口的增长加以 限制 ，并且，人口数量越大，资 源，环境问题越明显，人口增长 率值将会减小，即r(x)是x的减函 数，当人口数量达到人口最大容 量 时，人口不在增长，即人口 增长率r（x）=0
忽略因素： 1-近似认为x(t)是t的一个连续可微函数 2-忽略战争、瘟疫、地震等灾害造成人口数 骤变 3-医疗水平稳定，对人口数量影响较小 4-计划生育政策在短期内不会发生重大改变
模型分析： 搜集我国历史上每年的人口数量，统计分 析，认识和了解人口数量的变化规律，从 而建立初步的数学模型，应用数学软件等 对数据进行拟合，求解出已建立模型中的 未知参数，从而监理处完善的，可供利用 的数学模型，最后，利用模型求解出所需 要的数据。
人口数量预测
组长：李 组员：宋 李 李 * * * * 石** 孙 ** 马**
题目：根据中国历史上每年人 口数量，分析其变化规律，预 测2020年以前每年的人口数量。
符号说明



r——人口增长率 t——时间 ——1978年人口数量 x(t)——时刻t的人口数 r(x)——增长率的函数 ——人口最大容量 S ——人口增长率函数系数
设r（x）= r-sx （r,s > 0） 由上述分析得0= r -s x 从而 r ( x) r (1 ）
xm
解得 （**）
r s xm
将（**）代入（*）可得

先前我国人口基数大，国家推行了计划生育政策，提倡少生优生晚生。近年来，
于人口老龄化问题严重，国家现以开放二胎政策，鼓励人们生育。相信大家只要
关注新闻都有些了解。 我们小组成员平常时候也是极喜爱阅读，通过腾讯新闻，微博等对开放二胎政策 略有些了解，正巧遇上MATLBA作业，于是我们的数学建模原型由此而来。
下面从机理上分析人口问题的模型。人口的出生率b和死亡率d可设为常数 N（t+△t）——N（t）=(b—d）*N（t） 令r=b—d,△t→0，可得：
N’（t）=rN(t)
假设N（t0）=N0exp(r(t-t0)) 此为人口学Malthus模型。可见对数据图的推测是有道理的。
（2）修正
最后利用历史数据来确定参数和r。如果只有两个数据，则和r 是唯一的。问题是有很多数据， 而且这些数据并不在同一数据线上。事实上，由于政策、经济、
%----------------------------------------
------------function N=li4_17fun(c,t) N=c(1)*exp(c(2)*t)
其优化结果如下表
初始值 拟合结果
1949年人口N0(BW)
541.7
609.2
2021年人口N24(BW)
N=c（1）*exp(c(2)*t)
其实现的MATELAB的程序代码如下： function youhua clear all;clc t=0:1:21;
N=[54167 57482 61465 65346 66457 70499 76032 82542 88761 9326
101654 105851 111026 115823 119850 123626 126743 129227 13144

数学与计算科学学院实验报告实验项目名称人口预报所属课程名称数学模型实验类型综合型实验日期班级信计1001班学号201053100127姓名徐超成绩129207 129735 130137）得人口预测方程：0.022552ˆ()176060.7575988.75t Xt e -=- 将各个年份分别代入上面的方程即得各个年份的人口数据预测值，然后将其分别与实际值比较，并计算出其误差.实际值与预测值的比较图[1］该模型对于中短期的人口预测，所得结果较为准确,大部分预测数据与实际数据的误差率都在2%以内，较好地估计出了最近几十年的人口数量。

根据我们的模型所预测出的结果，到本世纪中叶我国的人口数量将超过15亿，但是根据国内的本课题专家研究，随着我国经济社会发展和计划生育工作加强，可以预测我国的总人口将于2010年、2020年分别达到13.6亿人和14。

5亿人,2033年前后达到峰值15亿人左右，即我国人口的上限不会超过15亿人。

这一结论与我们的模型所得到的数据有所出入。

于是我们将模型进行改进,选择在长期预测方面比较精准的模型(2)Logistic 人口模型来求解. B 、模型（2）这个问题是典型的伯努利方程初值问题，其解为：()-(-)01(-1)0w mw t t t w m ew μ=+分析上式可知：(1）当t →∞时，()m w t w →,即无论人口初值如何随着时间推移而变化，人口总数总是趋向于一个确定的值m w ；（2)222(1)md w wdt w μ=-，所以当人口达到极限值的一半2m w 时，属于加速增长，超过一半属于减速增长，但是增长率仍为正的，并且其增长率随时间的增加而减少。

根据1981年~2005年的全国人口统计数据，利用计算机Matlab 编程得，0.0422μ=，150000Wm =从而得到全国总人口数的Logistic 模型方程为：0.0422(1981)150000()1500001(1)100072t w t e --=+-利用该模型对1981年～2005年的人口数据进行检验并对2006年～2050年的人口数据进行预测。

§9 如何预报人口的增长人口的增长是当前世界上引起普遍关注的问题，我们常在报刊上看见关于人口增长的预报，而且你可能注意到不同的报刊对同一时间同一国家或地区的人口预报在数字上常有较大的差别，这其实是由于使用了不同的人口模型计算的结果.建立人口模型的意义在于利用模型中的参数及时控制人口的增长.模型一 Malthus 指数增长模型英国人口学家malthus 根据百余年的人口统计资料，于1787年提出著名的指数增长模型. 假设 1、某国家或地区在时刻t 的人口)(t x 为连续可微函数；2、人口的增长率r 是常数，或者说，单位时间人口的增长量与当时的人口成正比. 建模 记0x 为初始时刻)0(=t 的人口，由假设2，t 到t t ∆+时间内的人口增量为 t t rx t x t t x ∆=-∆+)()()( 易导出下面的微分方程⎪⎩⎪⎨⎧==0)0(x x rxdt dx求解 易解出)0()(0>=r e x t x rt分析 模型与19世纪以前欧洲一些地区和国家的人口增长率长期稳定不变的人口统计数据可以很好地吻合，但是与19世纪以后许多国家的人口统计资料却有很大差异.出现这种差异的原因是19世纪以后人口的增长率已不再是常数.比如美国19世纪100年的10年增长率0.266，20世纪80年的10年增长率0.137，而1970至1980年的10年增长率为0.0307. 模型二 Logistic 阻滞增长模型 假设 1、同模型一；2、当人口增加到一定数量后，增长率随着人口的继续增加而逐渐减少，且)(x r 为x 的线性函数sx r x r -=)()0,(>s r ，其中r 相当于0=x 时的增长率，称固有增长率；3、自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数量m x ，称最大人口容量. 建模 当m x x =时增长率应为0，即0)(=m x r ，从而m x r s =，于是)1()(mx xr x r -=，其中r ，m x 是根据人口统计数据确定的常数.m x 常由经验确定.仿模型一同样得⎪⎩⎪⎨⎧=-=0)0()1(xx x x x r dt dxm求解 tr m me x xx t x --+=)1(1)(0表 美国的实际人口与按两种模型计算的人口的比较分析1、模型表明人口增长率dt dx随着人口数x 的增加先增后减，在2m x x =处达到最大；且当∞→t 时，m x x →.2、模型在本世纪初曾被广泛使用，且预报效果很好，如预报美国人口时，66010179,31.0,109.3⨯==⨯=m x r x .但1960以后误差越来越大，究其原因是1960年美国实际人口已突破用过去数据确定的m x （它是用1800—1930的数据估计的），由此可知，模型的缺点之一是m x 不易准确地得到.。

摘 要中国是一个人口大国，人口问题与我国的经济发展等方面息息相关。

随着我国人口数量的不断变化，人口的老龄化问题也日益突显,政策的调整不可或缺。

从当初实行计划生育政策到逐步放开生育政策再到全面实行二孩政策，我国人口发展呈现了一些新特点。

本文旨在通过多种预测方法对“全面二孩政策”下的人口数量及其结构进行预测，筛选出了经济发展的指标，并分人口结构对经济发展的影响，结论如下：针对问题一，本文参考中国国家统计局等官方资料的数据统计出各年人口总数、自然增长率等数据，建立了logistic 模型，得出人口总数的变化公式，然后建立GM(1,1)预测模型，预测2016年的人口总数，再利用SPSS 进行回归、曲线估计，得出最为符合的方程式，再利用MATLAB 函数拟合工具箱对所得数据进行拟合。

预测出2017-2030年间人口先增后减，在2021年达到峰值。

针对问题二，通过建立BP 神经网络模型，利用GM(1,1)灰色预测处理人口结构数据得到训练及测试数据集，将数据BP 神经网络算法进行多次训练，最终得到具有相当精度的稳定预测结果。

提取相当数量的经济指标并对其进行主成分分析降维处理，之后对主要经济指标及人口结构指标进行多元回归分析得到2020-2030年人口结构对经济发展的影响。

针对问题三，关键词：灰色预测 BP 神经网络 Leslie 人口结构预测模型问题假设1.将我国看做一个封闭系统，没有人口的迁入和迁出2.人口增长只与人口基数、生育率、死亡率等有关3.没有大规模战争及瘟疫等传染性疾病4.假设短期内没有外来物种对人类生存造成影响5.假设所有数据均为准确数据6.假设2050年前医疗水平和科学技术不会对人类的死亡率、出生率造成影响模型符号说明： r : 人口自然增长率 x ：总人口数0x ：初始年份的人口数量t ：时间)()0(k x ：灰色预测的原始序列 )(ˆ)0(k x：灰色预测的原始数列预测值 ij x ：第i 个指标的第j 个数据i d ：第i 岁的死亡率i b ：第i 岁的生育率问题一 模型建立首先，我们建立了logistics 模型，具体如下)0(x x rxdtdx == 其次，建立GM(1,1)预测模型GM(1,1)是一阶微分方程模型，其形式为：u ax dtdx=+ 离散形式：u k x a k x =+++∆))1(())1(()1()1(预测公式：a u e a u x k xka ˆˆˆˆ)1()1(ˆˆ)1()1(+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=+- 由导数可知：tt x t t x dt dx t ∆-∆+=→∆)()(lim0 当t ∆很小并且取很小的1单位时，则近似的有：txt x t x ∆∆=-+)()1( 写成离散形式：))1(()()1()1(+∆=-+=∆∆k x k x k x tx由于tx ∆∆)1(涉及到累加列)1(x 的两个时刻的数值，因此，)()1(i x 取前后两个时刻的平均代替更为合理，即将)()(i x i 替换为)]()1([21)1().,...,3,2()],1()([21).,...,3,2()],1()([21)1()1()1()()()()()(k x k x k x n i i x i x x n i i x i x i i i i i ++=+=-+==-+))1(()()1()1(+∆=-+=∆∆k x k x k x txu k x a k x =+++∆))1(())1(()1()1()]()1([21)1()1()1()1(k x k x k x ++=+整理可得 u k x k x a k x+++-=+))]1()((21[)1()1()1()0(表示为矩阵形式：⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋯-+-⋯+-+-=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋯u a n x n x x x x x n x x x 111)]1()([21)]2()3([21)]1()2([21)()3()2()1()1()1()1()1()1()0()0()0( 不妨令T n x x xy ))(),3(),2(()0()0()0(，⋯=令⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋯-+-⋯+-+-=u a U n x n x x x x x B ,111)]1()([21)]2()3([21)]1()2([21)1()1()1()1()1()1( 则y B B B ua U BU Y T T 1)(ˆˆˆ-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡==，模型求解1.对logistics 模型进行求解 得到总人口变化公式：rte x x 0= （0x 为初始年份人口数，21≥t ）2.利用GM （1,1）模型，根据1996-2015年中国总人口数据，对2016年总人口数进行预测。

• 生育率, [i1 , i2 ] 为育龄区间, ki (t ) 为第t 年 i 岁人口 的女性比, 则第t 年的出生人数为
f (t ) bi (t )ki (t ) xi (t )
i i1
i2
(2)
• 记 d00 (t ) 为第t 年婴儿死亡率,即第t 年出生但未活到 人口统计时刻的婴儿比例 (婴儿死亡率通常较高, 在人 口统计和建模中一般都不能忽略),
• 于是
f (t ) x0 (t ) d 00 (t ) f (t )
x0 (t ) (1 d00 (t )) f (t )
(3)
对于i=0将(2),(3)代入(1)得:
x1 (t 1) (1 d00 (t ))( 1 d0 (t )) bi (t )ki (t ) xi (t )
• 人口发展方程 时间以年为单位,年龄按周岁计算,设最 大年龄为 m岁,记 xi (t ) 为第t 年i岁(满 i 周岁而不到i+1 周岁)的人数, t 0,1,2,, i 0,1,2,, m .只考虑由 于生育, 老化和死亡引起的人口演变,而不计迁移等社会 因素的影响. 记 d i (t ) 为第 t年 i 岁人口的死亡率,即
• 的增长率, 不涉及年龄结构. 但在实际上, 在人口预测 这人口按年龄分布状况是十分重要的,因为不同年龄人 的生育率和死亡率有着很大的差别. 两个国家或地区目 前人口总数一样,如果一个国家或地区年青人的比例高 于另一个国家或地区,那么两者人口的发展状况将大不 一样. 因此考虑人口按年龄的分布, 除了时间是一个变 量, 年龄也是一个变量. • 如果用连续性模型来描述它, 就要用偏微分方程来 描述. 但在实际应用中连续模型很不方便, 需要建立 相应的离散模型. 因为作为已知的输入数据是离散的, 要得到的输出数据也是离散的, 再者对连续模型求解也 是非常困难的.因此我们选择建立一个离散性模型来描 述, 用差分方程来实现它. •

关于⼈⼝问题数学建模中国⼈⼝增长预测摘要：本⽂通过对题⽬中所给数据和参考资料以及⽹站上获得的数据进⾏分析,利⽤多种模型对数据规律进⾏归纳提炼.⾸先我们建⽴了,Malthus微分⽅程,通过求借建⽴了我国⼈⼝增长的指数模型,通过常识和分析我们知道,由于受到资源和多种外在和内在因素的影响,⼈⼝的这种增长模式是不可能实现的,它只是在理想情况下的⼀种模式.为了弥补这个模型的缺点,我们⼜分别建⽴了[1]L eslie⼈⼝模型,微分差分混和模型,神经⽹络模型,灰⾊模型,等多种模型⽅式. 建⽴Leslie模型来预测未来中国⼤陆⼈⼝增长模型。

根据死亡率，⽣育率是否变化，我们建⽴了两个模型，第⼀个是死亡率变化的模型，在这个模型中，由于两个因素的变化，使得在预测时只能简单的预测下⼀年的数据，虽然精度很⼤，但是预测的时间太短。

于是，在分析了死亡率和⽣育率在所给五年的各年龄段的情况，我们提出了忽略两个因素变化所带来的影响，以使模型更⼤众化。

最后通过检验，发现，在做中短期预测时，结果很令⼈满意，误差很⼩。

但对于长期的预测准确度有所下降。

通过对第⼀个模型—Leslie⼈⼝模型的求解，我们分析得到了短期，中期，长期，较长期（在这我们定义1—3年为短期，5—10年为中期，10年以上是长期）的预测⼈⼝数量在各个年龄段的分布。

再对预测数据进⾏分析，并结合中国的实际国情，很容易知道Leslie⼈⼝模型增长只能⽤来预测中短期的⼈⼝发展规律（对与中国的实际国情⽽⾔）。

于是为了预测探究长期的⼈⼝发展模型，我们必须找到更好的模型，结合别⼈的资料，然后我们⼜建⽴了⼀个有关⼈⼝数量的微分⽅程，这个微分⽅程包括了各⽅⾯影响⼈⼝增长和变化的因素，如，育龄⼥性的百分⽐，潜在育龄⼥性的百分⽐，⼈⼝⽼龄百分⽐等等。

这些因素的介⼊使得分析⼈⼝变化规律更接近实际的情况。

随后⼜建⽴了另外的模型,多种模型相互结合,是本⽂的⼀⼤特⾊.⼀、问题重述中国是⼀个⼈⼝⼤国，⼈⼝问题始终是制约我国发展的关键因素之⼀。

数学建模实例：人口预报问题1.问题人口问题是当前世界上人们最关心的问题之一.认识人口数量的变化规律，作出较准确的预报，是有效控制人口增长的前提.下面介绍两个最基本的人口模型，并利用表1给出的近两百年的美国人口统计数据，对模型做出检验，最后用它预报2000年、2010年美国人口.表1 美国人口统计数据2.指数增长模型（马尔萨斯人口模型）此模型由英国人口学家马尔萨斯（Malthus1766~1834）于1798年提出. [1] 假设：人口增长率r 是常数（或单位时间内人口的增长量与当时的人口成正比）.[2] 建立模型： 记时刻t=0时人口数为x 0, 时刻t 的人口为()t x ，由于量大，()t x 可视为连续、可微函数.t 到t t ∆+时间内人口的增量为：()()()t rx tt x t t x =∆-∆+于是()t x 满足微分方程：()⎪⎩⎪⎨⎧==00x x rx dt dx（1）[3] 模型求解： 解微分方程（1）得()rt e x t x 0= （2）表明：∞→t 时，()∞→t x （r>0）.[4] 模型的参数估计：要用模型的结果（2）来预报人口，必须对其中的参数r 进行估计，这可以用表1的数据通过拟合得到.拟合的具体方法见本书第16章或第18章.通过表中1790-1980的数据拟合得：r=0.307. [5] 模型检验：将x 0=3.9，r=0.307 代入公式（2），求出用指数增长模型预测的1810-1920的人口数，见表2.表2 美国实际人口与按指数增长模型计算的人口比较年以后的误差越来越大.分析原因，该模型的结果说明人口将以指数规律无限增长.而事实上，随着人口的增加，自然资源、环境条件等因素对人口增长的限制作用越来越显著.如果当人口较少时人口的自然增长率可以看作常数的话，那么当人口增加到一定数量以后，这个增长率就要随着人口增加而减少.于是应该对指数增长模型关于人口净增长率是常数的假设进行修改.下面的模型是在修改的模型中著名的一个.3. 阻滞增长模型（Logistic 模型）[1]假设：（a ）人口增长率r 为人口()t x 的函数()x r （减函数），最简单假定()0, ,>-=s r sx r x r （线性函数），r 叫做固有增长率.（b ）自然资源和环境条件年容纳的最大人口容量m x . [2]建立模型： 当mx x =时，增长率应为0，即()m x r =0，于是m x rs =，代入()sxr x r -=得：()⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=m x x r x r 1 （3）将（3）式代入（1）得：模型为： ()⎪⎩⎪⎨⎧=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=001xx x x x r dt dx m （4）[3] 模型的求解： 解方程组（4）得()rt m me x x x t x -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=110 （5）根据方程（4）作出x dtdx~ 曲线图，见图1-1，由该图可看出人口增长率随人口数的变化规律.根据结果（5）作出x~t 曲线，见图1-2，由该图可看出人口数随时间的变化规律.[4] 模型的参数估计：利用表1中1790-1980的数据对r 和x m 拟合得：r=0.2072, x m =464. [5] 模型检验：将r=0.2072, x m =464代入公式（5），求出用指数增长模型预测的1800-1990的人口数，见表3第3、4列.也可将方程（4）离散化，得)())(1()()()1(t x x t x r t x x t x t x m-+=∆+=+ t=0,1,2,… (6) 用公式（6）预测1800-1990的人口数，结果见表3第5、6列.表3 美国实际人口与按阻滞增长模型计算的人口比较图1-2 x~t 曲线现应用该模型预测人口.用表1中1790-1990年的全部数据重新估计参数，可得r=0.2083, x m=457.6. 用公式（6）作预测得：x(2000)=275; x(2010)=297.9.也可用公式（5）进行预测.。