空间向量的数乘
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空间向量及其加减、数乘和数量积运算
8． 6 空间向量及其加减、数乘和数量积运算1．空间向量的有关概念(1) ___________________________________ 空间向量：在空间，我们把具有和的量叫做空间向量．(2) _________________________ 零向量：规定的向量叫做零向量．(3) __________________ 单位向量：的向量称为单位向量．(4) ___________________________________ 相反向量：与向量a 的向量，称为a 的相反向量，记为－a.(5) _________________________ 相等向量：的向量称为相等向量．(6) 空间向量的加法运算满足交换律及结合律：a+ b=__________ ;(a + b) + c = _______________ .2．空间向量的数乘运算⑴向量的数乘：实数入与空间向量a的乘积?a仍然是一个向量，称为向量的数乘.①当X _ 0时，入a与向量a方向相同；当X __ 0时，入a与向量a方向相反.②入a的长度是向量a的长度的________ 倍.(2) 空间向量的数乘运算满足分配律及结合律：①分配律：X(a＋b)= __________ ．②结合律：X宙)= _________ .(3) 共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线_____________________ ，则这些向量叫做共线向量或平行向量．⑷共线向量定理：对空间任意两个向量a, b(b z 0), a // b的充要条件是______________________ .⑸空间直线I的方向向量：和直线I _________ 的非零向量a叫做直线I的方向向量.⑹空间直线的向量表示：I为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线，对空间任意一点0,点P在直线I上的充要条件是___________________________________ ，特别地，如果 a = AB，则上式可以化为OP = 0A + tAB，或_________________ ，这也是空间三点A, B, P共线的充要条件.(7) 共面向量： _______________ 的向量叫做共面向量．(8) 空间共面向量定理：如果两个向量a, b 不共线,那么向量p 与向量a, b 共面的充要条件是推论：对空间任意一点0和不共线的三点A, B, C,满足向量关系式 _______________________________ ，其中__________ ,则点P 与点A, B, C 共面.3.空间向量的数量积运算(1) 空间向量的数量积：已知两个非零向量a, b,则 ___________________ 叫做a, b的数量积，记作a b,通常规定，0w〈a, b〉w n对于两个非零向量a, b, a丄b? ____________ .(2) 空间零向量与任何向量的数量积为.(3) a a = |a||a|cos〈 a, a>= ______ .(4) 空间向量的数量积满足如下的运算律：①(X) • b= __________ ;②ab= __________ (交换律);③ a (b+ c) = ________________ (分配律).自查自纠1. (1)大小方向⑵长度为0 (3)模为1⑷长度相等而方向相反⑸方向相同且模相等(6)b+ a a + (b+ c)2. (1)①〉v ②|入| (2)① 扫+?b ②(入卩)a(3) 互相平行或重合(4)存在实数入使a= ^bO)P= (i-t)oA+to)B (7)平行于同一个平面3. (1)|a||b|cos〈a, b> a b= 0 (2)0⑶|a|1 2 3 (4)① «a b) ② b a ③a b+ a cO 在长方体ABCD-A1BQ1D1 中，BA + Be + D D1=( )A. D1B1B.D1BD.B D1~--> —> —> —> —> —>解：BA+ BC+ DD1=CD + BC + DD1 =BD + DD1=BD1,故选D.电平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M为AC和BD的交点，若A B = a, AD = b, A A1 =等的是()11 11A . - 2a + 2b+ c B. 2a + ?b—c1 1 1 1C. —?a+ ?b—cD. —2 a—? b+ c解：BlM = B?B + BM = —c+ 1BD = —c+ 2(b—a) = —*a + 2b—c,故选C.nOB = OC,且/ AOB = Z AOC =三贝U cos〈3⑸平行⑹存在实数t,使齐=O +1aC.(8)存在惟一的有序实数对—> —> —> —>OP = xOA + yOB +(x, y),使p= x a + y bx+ y+ z= 1C.DB1c,则下列式子中与B1M相©如图所示，已知空间四边形OABC, ,BC >的值为()o解：设0A = a , OB = b , OC = c ,由已知条件〈a , b 〉=〈 a , c 〉= n 且 |b |= |c |, OA • BC = a (c — b )= a c — a b 3 11 f f=2|a ||c |— 2|a ||b |= 0，所以 cos 〈OA , BC 〉= 0•故选 A.已知空间四边形 OABC ，点M , N 分别是OA , BC 的中点，且OA = a , OB = b , OC = c ,用a , b , c 表示向 量 MN = ________ .解：如图所示，MN = *(MB + MC)= *[(OB — OM)+ (OC — OM)] = ^(OB + OC — 2O)M)= g(OB + OC — OA)=g(b + c —a ).故填 2(b + c — a ).(2017鞍山市育英中学月考)已知在正方体 ABCD-A i B i C i D i 中，侧面CCQ i D 的中心是F ，若A F = A D + mAB + nAA r ，贝H m = ________ , n = ________ .解：因为A F = A D + D F = A D + ^(D C + D D i )=A D +2(AB + A ^i ) = A D + ~A B + ^A X I ，所以 m = n =*.故填2； 4 5.类型一空间向量的运算GE （20i7枣阳市鹿头中学月考）如图所示，在空间几何体 ABCD-A i B i C i D i 中，各面为平行四边形， 设AA i = a , AB = b , AD = c , M , N , P 分别是AA i , BC , CQ i 的中点，试用 a , b , c 表示以下各向量：4 AP ；5 MP + NC i .解：(i)因为 P 是 C i D i 的中点，所以 AP = AA i + A i D i + D i P = a + AD + 2D i C i = a + c +?AB = a + c +^b. ⑵因为M 是AA i 的中点， 所以 IMP = MA + A P =苏》+A P =—a + a + c + 丁 b = 2a + ；b + c .-f f f i -f f i -f f又 NG = NC + CC i =尹c + AA i = 2AD + AA i方类解析1=2。
《空间向量的数乘运算》教案
《空间向量的数乘运算》教案第一章：引言1.1 课程背景通过前面的学习，我们已经了解了空间向量的基本概念和线性运算。
本章我们将进一步学习空间向量的数乘运算，这是空间向量的一种重要运算，它在几何和物理中有着广泛的应用。
1.2 教学目标通过本章的学习，使学生理解空间向量的数乘运算的定义和性质，掌握数乘运算的计算方法，并能够应用数乘运算解决实际问题。
第二章：空间向量的数乘运算2.1 数乘运算的定义定义：对于空间向量a和实数k，它们的数乘运算定义为新的空间向量ak，即ak = k a。
2.2 数乘运算的性质性质1：交换律，即对于任意实数k和空间向量a，有ak = ka。
性质2：结合律，即对于任意实数k1、k2和空间向量a，有(k1 k2) a = k1 (k2 a)。
性质3：分配律，即对于任意实数k1、k2和空间向量a、b，有(k1 + k2) a = k1 a + k2 a。
2.3 数乘运算的计算方法计算方法：对于空间向量a = (a1, a2, a3)和实数k，数乘运算ak = k a的结果为新的空间向量ak = (ka1, ka2, ka3)。
第三章：数乘运算的应用3.1 数乘运算在几何中的应用例题：已知空间向量a = (1, 2, 3)和实数k，求向量ak的长度。
解：由数乘运算的定义，得到ak = k a = (k, 2k, 3k)。
由向量长度的计算公式，得到|ak| = √(k^2 + (2k)^2 + (3k)^2) = √(14k^2)。
3.2 数乘运算在物理中的应用例题：已知空间向量a = (1, 2, 3)表示一个物体的位移，求该物体位移的2倍。
解：由数乘运算的定义，得到2a = 2 a = (2, 4, 6)。
即该物体位移的2倍为向量(2, 4, 6)。
本章总结：通过本章的学习，我们掌握了空间向量的数乘运算的定义、性质和计算方法，并了解了数乘运算在几何和物理中的应用。
第四章：空间向量数乘运算的图形直观4.1 数乘运算的图形表示通过几何图形的直观展示，让学生理解数乘运算对向量大小和方向的影响。
空间向量的数乘运算
OE = k OA， = k OB， OF OD。 OE = k OC， = k OD。 OH
由于四边形ABCD是平行四边形, 是平行四边形 由于四边形
所以
AC = AB + AD.
D
O
C B
H
G
E
F
空间向量的数乘运算
O
因此
EG = OG OE = k OC k OA
D B H
C
G
= k AC = k( AB + AD )
求证:E,F,G,H四点共面 四点共面 求证
分析: 分析 点共面， 欲证E 点共面， 欲证E，F，G，H四
O
D B H
C
EH EF EG共面。 只需证明 ， ， 共面。 AD AB AC 下面我们利用 ， ， 共面来证明。 共面来证明。
E
G
F
空间向量的数乘运算
证明: 证明 因为
所以
OE OF OG OH = = = = k， OA OB OC OD
②
都称为空间直线的向量表示式。 ①、②都称为空间直线的向量表示式。 即：空间直线由空间一点及直线的方向向 量唯一确定
A L
r a
B
P
空间向量的数乘运算
什么是共面向量？
平行于同一平面的向量，叫做共面向量。 平行于同一平面的向量，叫做共面向量。
空间中任意两个向量总是共面的 空间中任意两个向量总是共面的．但三个 两个向量总是共面 向量就不一定．那么，如何判断三个向量是否 向量就不一定．那么，如何判断三个向量是否 共面呢？ 共面呢？
空间向量的数乘运算
向量 b p 空间任意不共线的两个 a, 如果 = xa + yb ， p a b有什么位置关系？ 那么向量与向量 ， 有什么位置关系？ 反过来，向量 a， 反过来， p 与 b有什么位置关系时，有 xa + yb 有什么位置关系时，p = ？
空间向量的数乘运算(收藏)
数乘后的模长为零，即得到零向量。
数乘运算与向量方向的关系
总结词
数乘运算不会改变向量的方向。
详细描述
对于任意非零向量$vec{a}$和实数$k$，当$k > 0$时，数 乘后的向量方向与原向量方向相同；当$k < 0$时，数乘后 的向量方向与原向量方向相反。特别地，当$k = 0$时，得 到零向量，没有方向可言。
在线性代数中的应用
矩阵运算
在矩阵运算中，数乘运算是一种基本的操作，它可以用来改 变矩阵的元素值，从而进行矩阵的加法、减法、乘法和转置 等操作。
向量运算
数乘运算可以用来改变向量的长度和方向，从而进行向量的 加法、减法、数乘等基本运算，是线性代数中向量运算的重 要基础。
04
空间向量数乘运算的注意 事项
03
空间向量数乘运算的应用
在物理中的应用
1 2 3
描述速度和加速度的方向变化
在物理中，速度和加速度都是空间向量，通过数 乘运算可以改变这些向量的模长和方向，从而描 述物体运动状态的变化。
解释电磁场中的洛伦兹力
在电磁学中，洛伦兹力是一个空间向量，可以通 过数乘运算来改变其大小和方向，以解释带电粒 子在磁场中的运动。
数乘运算在向量合成与分解中的应用
总结词
数乘运算在向量的合成与分解中具有广泛的应用，它 可以帮助我们更好地理解向量的性质和几何意义一，它在向量的合 成与分解中具有广泛的应用。通过数乘运算，我们可以 改变向量的长度和方向，从而更好地理解和操作向量。 在实际应用中，数乘运算可以帮助我们解决许多与向量 相关的几何问题，例如力的合成与分解、速度和加速度 的计算等。此外，数乘运算还可以与其他向量运算结合 使用，例如向量的点乘和叉乘，以解决更复杂的几何问 题。
数乘运算与向量方向的关系
总结词
数乘运算不会改变向量的方向。
详细描述
对于任意非零向量$vec{a}$和实数$k$，当$k > 0$时，数 乘后的向量方向与原向量方向相同；当$k < 0$时，数乘后 的向量方向与原向量方向相反。特别地，当$k = 0$时，得 到零向量，没有方向可言。
在线性代数中的应用
矩阵运算
在矩阵运算中，数乘运算是一种基本的操作，它可以用来改 变矩阵的元素值，从而进行矩阵的加法、减法、乘法和转置 等操作。
向量运算
数乘运算可以用来改变向量的长度和方向，从而进行向量的 加法、减法、数乘等基本运算，是线性代数中向量运算的重 要基础。
04
空间向量数乘运算的注意 事项
03
空间向量数乘运算的应用
在物理中的应用
1 2 3
描述速度和加速度的方向变化
在物理中，速度和加速度都是空间向量，通过数 乘运算可以改变这些向量的模长和方向，从而描 述物体运动状态的变化。
解释电磁场中的洛伦兹力
在电磁学中，洛伦兹力是一个空间向量，可以通 过数乘运算来改变其大小和方向，以解释带电粒 子在磁场中的运动。
数乘运算在向量合成与分解中的应用
总结词
数乘运算在向量的合成与分解中具有广泛的应用，它 可以帮助我们更好地理解向量的性质和几何意义一，它在向量的合 成与分解中具有广泛的应用。通过数乘运算，我们可以 改变向量的长度和方向，从而更好地理解和操作向量。 在实际应用中，数乘运算可以帮助我们解决许多与向量 相关的几何问题，例如力的合成与分解、速度和加速度 的计算等。此外，数乘运算还可以与其他向量运算结合 使用，例如向量的点乘和叉乘，以解决更复杂的几何问 题。
空间向量的数乘运算
a // b (b 0)
a // b (b 0)
作用：由此可判断空间中两直线平行或三点共线问题
如图，l 为经过已知点A且平行已知非零向量 的直线， 若点P是直线l上任意一点，则
a
A
a
B
P
由 l // a 知存在唯一的t, 满足 AP t a
对空间任意一点O,
C b A a B
p
P
对空间任一点O,有OP OA x AB y AC
p
③
C b A a B
O
P
填空：OP (_____) y OC 1-x-y OA (____) x OB (____)
③ 式称为空间平面ABC的向量表示式，空间中任意平面 由空 间一点及两个不共线的向量唯一确定.
那么什么情况下三个向量共面呢？
a e2 e1
e2 由平面向量基本定理知，如果 e1，
是平面内的两个不共线的向量，那么 对于这一平面内的任意向量 a ，有且 1 ， 只有一对实数 2 使 a 1e1 2e2
如果空间向量 共 面，那么可将三个向量平移到同一平面 ，则 有 p x yb
• [解析] 如图，
1→ → → → → → (1)∵OQ＝PQ－PO＝PQ－2(PA＋PC) 1→ 1 → ＝PQ－ PA－ PC， 2 2 1 ∴x＝y＝－2. → ＋PC → ＝2PO → ，∴PA → ＝2PO → －PC →. (2)∵PA → ＋PD → ＝2PQ → ，∴PC → ＝2PQ → －PD →. 又∵PC → ＝2PO → －(2PQ → －PD → )＝2PO → －2PQ → ＋PD →. 从而有PA ∴x＝2，y＝－2.
空间向量的数乘运算
练1、已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的 任一点O，确定在下列条件下，M是否与A，B，C 三点共面：
1 1 1 ( 1 )O M O A O B O C ; 3 3 3 (2 )O M2 O AO BO C .
练2.已知点M在平面ABC内，并且对空间任意一点
1 1 O， , 则x的值为( ) O M x O A ＋ O B ＋ O C 3 3
充要条件是存在实数t,满足等式 若O P O A t A B
P B A
O P O A t a
其中向量 a 叫做直线 的方向向量 . l
a
( 或 A P t A B )
则A、B、P三点共线。
结 论 1 、 若 O Px O A y O B , xy 1 ， A 、 B 、 P 三 点 共 线 .
复习
平面向量基本定理： 如果e1、e2是同一平面内两个不共线的向量， 那么对这一平面内的任意一个向量a，有且只有 一对实数λ1、λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. 其中不共线向量e1、e2叫做表示这一平面内 所有向量的一组基底．
空间中仍然成立 空 间 中 任 意 两 个 不 共 线 向 量 a , b , 那 么 向 量 p
A
1 （ a b) - c 2
B
a
c
b
G
1 （ a b c) 3
D
M C
练习： 在正方体ABCD-A’B’C’D’中,点E是面 AC’的中心,求下列各式中的x、y的值.
A
( 1 ) AC x ( AB BC CC )
' '
E C
D
B
' ( 2 ) AE AA x AB y AD
1 1 1 ( 1 )O M O A O B O C ; 3 3 3 (2 )O M2 O AO BO C .
练2.已知点M在平面ABC内，并且对空间任意一点
1 1 O， , 则x的值为( ) O M x O A ＋ O B ＋ O C 3 3
充要条件是存在实数t,满足等式 若O P O A t A B
P B A
O P O A t a
其中向量 a 叫做直线 的方向向量 . l
a
( 或 A P t A B )
则A、B、P三点共线。
结 论 1 、 若 O Px O A y O B , xy 1 ， A 、 B 、 P 三 点 共 线 .
复习
平面向量基本定理： 如果e1、e2是同一平面内两个不共线的向量， 那么对这一平面内的任意一个向量a，有且只有 一对实数λ1、λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. 其中不共线向量e1、e2叫做表示这一平面内 所有向量的一组基底．
空间中仍然成立 空 间 中 任 意 两 个 不 共 线 向 量 a , b , 那 么 向 量 p
A
1 （ a b) - c 2
B
a
c
b
G
1 （ a b c) 3
D
M C
练习： 在正方体ABCD-A’B’C’D’中,点E是面 AC’的中心,求下列各式中的x、y的值.
A
( 1 ) AC x ( AB BC CC )
' '
E C
D
B
' ( 2 ) AE AA x AB y AD
_空间向量的数乘运算
D A H E B G C
F
在三棱锥O－ABC中，点M是△ABC的重心， u u u r 1u u u r u u u r u u u r 求证： .+ O M = ( O A + O B O C )
3
O
A M B D
C
小结作业
1.向量平行、共面与直线平行、共面是 不同的概念，共线向量通过平移可以移 到同一条直线上，共面向量通过平移可 以移到同一个平面上.
2.空间向量共线定理与平面向量共线定 理是一致的，空间向量共面定理是平面 向量基本定理的拓展，是判断空间向量 是否共面的理论依据.
3.利用空间向量共线定理和共面定理， 可以解决立体几何中的共点、共线、共 面和平行等问题，这是一种向量方法.
点P在直线l上
Û
a
A
P
l B
u u u r u u u r r ?O PO At + a u u u r u u u r u u u r O ? O PO A + t A B u u u r u u u r u u u ru u u r ? O P O A + t ( O B O A ) u u u r u u u r u u u r ? O P ( 1) t O A + t O B
u u u ru u u r u u u r u u u r ? O P O A = x A B + y A C
O
u u u r u u u r u u u r u u u r ? O P ( 1 -x y ) O A + x O B + y O C
C P
A
B
P在平面 ABC内（四点共面的证明） (2)OP OA x AB y AC (3)OP xOA yOB zOC ( x y z 1）
F
在三棱锥O－ABC中，点M是△ABC的重心， u u u r 1u u u r u u u r u u u r 求证： .+ O M = ( O A + O B O C )
3
O
A M B D
C
小结作业
1.向量平行、共面与直线平行、共面是 不同的概念，共线向量通过平移可以移 到同一条直线上，共面向量通过平移可 以移到同一个平面上.
2.空间向量共线定理与平面向量共线定 理是一致的，空间向量共面定理是平面 向量基本定理的拓展，是判断空间向量 是否共面的理论依据.
3.利用空间向量共线定理和共面定理， 可以解决立体几何中的共点、共线、共 面和平行等问题，这是一种向量方法.
点P在直线l上
Û
a
A
P
l B
u u u r u u u r r ?O PO At + a u u u r u u u r u u u r O ? O PO A + t A B u u u r u u u r u u u ru u u r ? O P O A + t ( O B O A ) u u u r u u u r u u u r ? O P ( 1) t O A + t O B
u u u ru u u r u u u r u u u r ? O P O A = x A B + y A C
O
u u u r u u u r u u u r u u u r ? O P ( 1 -x y ) O A + x O B + y O C
C P
A
B
P在平面 ABC内（四点共面的证明） (2)OP OA x AB y AC (3)OP xOA yOB zOC ( x y z 1）
空间向量的数乘运算
→ → → 证明】 【证明】 设AB ＝ a，AD＝ b，AA1 ＝ c. ， ， → 2 → 2→ 2 → ∵A1 E＝ 2ED1 ＝ A1 D1 ＝ AD＝ b， ， 3 3 3 → 2→ 2 → 2 → → A1 F＝ FC ＝ A1 C＝ (AC －AA1 ) 3 5 5 2 2 2 2 → → → ＝ (AB ＋AD－AA1 )＝ a＋ b－ c. ＝ ＋ － 5 5 5 5 → → → ∴EF ＝A1 F－A1 E 2 4 2 2 2 ＝ a－ b－ c＝ (a－ b－ c)． － － ＝ － － ． 5 15 5 5 3 2 2 → → → → 又EB ＝EA1 ＋A1 A＋AB ＝－ b－ c＋ a＝ a－ b－ c， － ＋ ＝ － － ， 3 3 → 2→ 所以 ， ， 三点共线． ∴EF ＝ EB .所以 E， F， B 三点共线． 5
→ → 的中点．证明： 向量A 别为 BB1 和 A1 D1 的中点．证明： 向量 1 B、B1 C、 → EF 是共面向量． 是共面向量．
【思路点拨】 思路点拨】 利用向量共面的充要条件 或向量共面的定义来证明． 或向量共面的定义来证明．
【证明】 证明】 → → → → 法一： 法一：EF ＝EB ＋BA1 ＋A1 F 1→ 1 → → ＝ B1 B－A1 B＋ A1 D1 2 2 1 → → → BC)－ ＝ (B1 B＋BC )－A1 B 2 1→ → ＝ B1 C－A1 B. 2 → → → 由向量共面的充要条件知， 由向量共面的充要条件知，A1 B、B1 C、EF 是共面向 量．
例如: 例如:
r 3a
r a r −3a
显然,空间向量的数乘运算满足分配律 显然 空间向量的数乘运算满足分配律 及结合律
r r r r 即：λ(a +b) = λa + λb r r r a （λ + µ）= λa + µa r r λ(µa) = (λµ)a
空间向量的加减和数乘运算
分配律
$k(overset{longrightarrow}{a} + overset{longrightarrow}{b}) = koverset{longrightarrow}{a} + koverset{longrightarrow}{b}$。
单调性
当$k > 0$时，数乘会使向量增大；当$k < 0$时，数乘会使向量缩小。
在线性代数中，向量组的线性组合可以通过数乘运算来实现，从而研究向量组之间的关系。
向量组的线性组合
向量空间是由向量构成的集合，通过向量的加减和数乘运算可以研究向量空间的结构和性质。
向量空间
04
空间向量加减和数乘运算的注意事项
01
02
零向量的特殊性
零向量与任意向量数乘，结果仍然是零向量。
零向量与任意向量相加或相减，结果仍然是该任意向量。
解析
根据空间向量加法和减法的定义，$(overset{longrightarrow}{a} + overset{longrightarrow}{b}) + (overset{longrightarrow}{a} - overset{longrightarrow}{b})$的坐标等于两个向量的对应坐标相加和相减。即，$(overset{longrightarrow}{a} + overset{longrightarrow}{b}) + (overset{longrightarrow}{a} - overset{longrightarrow}{b}) = ( - 1 + 3,5 + ( - 1),2 + 4) = (2,4,6)$。
计算方法
根据定义，数乘的计算方法为将向量的每个分量分别乘以该实数。
空间向量的数乘运算
空间向量的数乘运算
在线性代数中，空间向量的数乘运算是指将一个向量与一个实数（标量）相乘的操作。
数乘是向量运算中最基本的运算之一。
设向量为 v = [x1, x2, ..., xn]，标量为 a。
向量 v 乘以标量 a 的数乘结果记作 av，计算方法如下：
av = [ax1, ax2, ..., a*xn]
即将向量 v 的每个分量与标量 a 相乘得到新的向量 av。
数乘运算改变了向量的长度和方向，当 a > 0 时，数乘会拉长向量的长度，并保持方向不变；当 a < 0 时，数乘会拉长向量的长度，同时改变向量的方向；当 a = 0 时，数乘结果为零向量。
例如，对于向量 v = [2, -3, 4]，标量 a = 3 进行数乘运算：
av = [32, 3(-3), 3*4]
= [6, -9, 12]
因此，数乘运算的结果是 av = [6, -9, 12]。
数乘运算在线性代数中广泛应用，它可以用于调整向量的大小、实现向量的平行移动等操作，同时也是计算矩阵乘法、向量内积、向量投影等许多重要运算的基础。
空间向量的数乘运算
三、共面向量:
1.平行于同一平面的向量,叫做共面向量.
b
d
c
a
注意：空间任意两个向量是共面的，但空间 任意三个向量 既可能共面，也可能不共面
那么什么情况下三个向量共面呢？
e
2
a
e1
由平面向量基本定理知，如果 e1， 么e是对2 平于面这内一的平两面个内不的共任线意的向向量量，，a有那
且只有一对实数
在有序实数对x,y使AP xAB aB
对空间任一点O,有 OP OA xAB y AC ③
bC
p
P
A aB
填空：
O
OP (1_-_x_-_y_)OA (__x__)OB (__y__)OC
由此可判断空间任意四点共面
共面向量定理的剖析
如果两个向量 a，b 不共线,
★ 向量c与向量a，b共面(性质)存y，在使唯一c＝的x一a＋对y实b数x，
例2 (课本例)已知 ABCD ，从平面AC外一点O引向量
OE kOA,OF kOB,OG kOC,OH kOD
求证：①四点E、F、G、H共面；
②平面AC//平面EG.
证明：∵四边形ABCD为
O
① ∴AC AB AD
（﹡）
EG OG OE kOC kOA
k(OC OA) kAC
b
+
c
)
C ∴MN= MA+AN
= 1（－a + b + c )
3
小结
共线向量
共面向量
定义 向量所在直线互相平 平行于同一平面的向量,
行或重合
定理
a // b (b 0)
a
b
叫做共面向量.
3.1.2 空间向量的数乘运算
【做一做 1】 已知空间四边形 ABCD,M,G 分别是 BC,CD 的中
点,连接
AM,AG,MG,则������������
+
1 2
(������������
+
������������ )等于(
)
A.������������
B.������������
C.������������
D.12 ������������
共线(平行)向量
共面向量
如果 l 为经过点 A 平行于已知 非零向量 a 的直线,那么对于 空间任一点 O,点 P 在直线 l 上的充要条件是存在实数 t,
使������������ = ������������+ta①,其中 a 叫做 推 直线 l 的方向向量,如图所示. 论
如图,空间一点 P 位于平面 MAB 内的充要条件是存在有 序实数对(x,y),使
������������ =x������������ +y������������ 或对空间任
意一点 O 来说,有������������ =
若在 l 上取������������=a,则①式可化 ������������+x������������+y������������
为������������ = ������������+t������������
-8-
3.1.2 空间向量的数乘运算
课前篇自主预习 课堂篇探究学习
名师点拨共线向量的特点及三点共线的充要条件 (1)共线向量不具有传递性 因为零向量0=0·a,所以零向量和空间任一向量a是共线(平行)向 量,这一性质使共线向量不具有传递性,即若a∥b,b∥c.则a∥c不一定 成立.因为当b=0时,a∥0,0∥c,但a与c不一定共线. (2)空间三点共线的充要条件 若在直线 l 上取������������=a,则������������ = ������������+t������������ = ������������+t(������������ − ������������)=(1-t)������������+t������������(t∈R).因此空间三点 P,A,B 共线的充要条件为 ������������=α������������+β������������(α+β=1).此结论非常重要,经常用于解题过程中.
空间向量的数乘运算 课件
AA1
1 2
(B1A1
B1C1
)
AA1
1 2
(BA
BC)
AA1
1 2
(－AB
AD)
c 1 (－a b) 2
－1 a 1 b c． 22
方法二：BM BA AA1 A1M
－AB
AA1
1 2
(A1B1
A1D1
(AB
AD)
－a c 1 (a b) 2
－1 a 1 b c． 22
而利用p xa y与b a,bp共面则不需要a,b不共线的条件. 向量共面的充要条件是处理向量共面问题的主要依据.
A1A AB
2bca 3
a
2 b c, 3
EF 2所EB以, E，F，B三点共线.
5
类型 三 空间向量共面定理的理解应用 【典型例题】 1.已知A，B，M三点不共线，对于平面ABM外任意一点O， 则(1)、(2)两个条件可以确定点P与点A，B，M一定共面的 是__________.(填序号)
(3)空间向量共面的其他判定方法． 三个非零向量a,b,c,其中无两者共线，那么它们共面的充要条 件是存在三个非零实数l,m,n,使la+mb+nc=0.
类型 一 空间向量的数乘运算 【典型例题】 1.如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交 点．若 AB a，AD b，AA1 c，则下列向量中与BM相等的向量 是( )
提示：(1)正确.若p=x a+y b,则p与a,b共面是正确的，是由 共面向量基本定理得到的. (2)不正确.当a,b共线，而p与a，b不共线时，p=x a+y b是不 成立的. (3)正确.是共面向量的充要条件. (4)不正确.当 MA，MB共线，而 MP与MA，MB不共线时， MP xMA yMB不成立. 答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)×
空间向量的数乘运算
（2）OP xOA yOB其中x y 1
巩固练习2
已知空间中三点 A, B, P共线，O为空间中任意一点，
OP 1 OA xOB,则x 3
2 3
共面向量：平行于同一个平面的向量,叫做共面向量.
探究2 : (1)对空间任意两个不共线的向量a与b, 如果
p xa yb
AD)
AD1
1 2
AC
D1 A1
C1 B1
AD1 AO OD1
D
C
O
ABBiblioteka 探 究1 :(1)对空间任意两个向量a与b,如果a b
a与b有 什 么 位 置 关 系?
(2)反过来, a与b有什么位置关系时, a b?
b
a 2b
共线
a 3b
知识点二 空间向量共线定理
那么向量p与向量 a, b有什么位置关系?
(2)反过来,向量p与向量a与b有什么位置关系时 ,
p xa yb
共面
知识点三 空间向量共面定理
如果两个向量a, b不共线,那么向量p与向量a, b共面 的充要条件是存在惟一的有序实数对（x, y）,使
p xa yb
注意： 向量a, b不共线
OP xOA yOB zOC(其中x y z 1) P, A, B,C四点共面.
小结2
判断空间任意四点P, A, B,C共面方法：
(1)AP xAB yAC
(2)OP xOA yOB zOC(其中x y z 1)
例1 已知A, B,C三点不共线，对于平面ABC外的任一点O，
kOC kOA. k AC 同理，EF k AB, EH k AD, EF EH k(AB AD)
巩固练习2
已知空间中三点 A, B, P共线，O为空间中任意一点，
OP 1 OA xOB,则x 3
2 3
共面向量：平行于同一个平面的向量,叫做共面向量.
探究2 : (1)对空间任意两个不共线的向量a与b, 如果
p xa yb
AD)
AD1
1 2
AC
D1 A1
C1 B1
AD1 AO OD1
D
C
O
ABBiblioteka 探 究1 :(1)对空间任意两个向量a与b,如果a b
a与b有 什 么 位 置 关 系?
(2)反过来, a与b有什么位置关系时, a b?
b
a 2b
共线
a 3b
知识点二 空间向量共线定理
那么向量p与向量 a, b有什么位置关系?
(2)反过来,向量p与向量a与b有什么位置关系时 ,
p xa yb
共面
知识点三 空间向量共面定理
如果两个向量a, b不共线,那么向量p与向量a, b共面 的充要条件是存在惟一的有序实数对（x, y）,使
p xa yb
注意： 向量a, b不共线
OP xOA yOB zOC(其中x y z 1) P, A, B,C四点共面.
小结2
判断空间任意四点P, A, B,C共面方法：
(1)AP xAB yAC
(2)OP xOA yOB zOC(其中x y z 1)
例1 已知A, B,C三点不共线，对于平面ABC外的任一点O，
kOC kOA. k AC 同理，EF k AB, EH k AD, EF EH k(AB AD)
空间向量的数乘运算
O C
D BA OC OD OE c p OB
作 AB // b, BD // a, BC // c
xa yb zc
然后证唯一性
注：空间任意三个不共面向量都可以构成空
间的一个基底.如： a , b, c
即，P、A、B、C四点共面。
∴ OP OA y(OB OA) z(OC OA) ∴ AP y AB z AC
B、 C 共面. ∴点 P 与 A 、
17
试证明:对于不共线的三点 A 、 B、 C 和平面 ABC 外的 一点 O ,空间一点 P 满足关系式 OP xOA yOB zOC ,则 点 P 在平面 ABC 内的充要条件是 x y z 1 . 证明:⑴充分性 ∵ OP xOA yOB zOC (1 z)OA 可变形为 OP y yOB zOC , ∴ OP OA y(OB OA) z(OC OA) ∴ AP yAB z AC
（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图 形，则它们的和为零向量。 A1 A2 A2 A3 A3 A4 An A1 0
6
空间向量的加减法
C a
+
b
B
b
O
A
a
OB OA AB CA OA OC
A
D
F
B
E
C
10
共面向量:平行于同一平面的向量,叫做共面向量.
a
O
A
空间向量的数乘运算
D
B
M
G C
4.例题1
已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1， 求满足下列各式的x的值。 (3) + AB1 + AD1 = xAC1 AC 解(3) AC+ AB1 + AD1 ：
=(AD + AB)+(AA1 + AB)+(AA1 + AD) A1 = 2(AD + AB + AA1 ) = 2AC1
运 算 律
加法交换律 a b b a 加法结合律 加法交换律 a b b a 加法结合律
(a b) c a (b c) 数乘分配律 k (a b) k a＋k b
(a b) c a (b c) 数乘分配律 k (a b) k a＋k b
OP xOA yOB z OC (其 中x y z 1) 的 点P与 点A, B , C是 否 共 面 ?
OP xOA yOB zOC且x y z 1 OP (1 y z )OA yOB zOC
OP OA y(OB OA ) z(OC OA )
a
不共线,则向量p与向量 a, b 共面的充要条 件是存在实数对 x, y 使 p xa yb.
要条件是存在有序实数对x,y使
共面向量定理:如果两个向量 a, b 推论:空间一点P位于平面ABC内的充
OP=xAB+yAC
或对空间任一点O,有
OP=OA+xAB+yAC
空间向量的数乘运算
思考： 已 知 空 间 任 意 一 点和 不 共 线 的 三 点, B , C , 满 足 向 量 关 系 式 O A
B
M
G C
4.例题1
已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1， 求满足下列各式的x的值。 (3) + AB1 + AD1 = xAC1 AC 解(3) AC+ AB1 + AD1 ：
=(AD + AB)+(AA1 + AB)+(AA1 + AD) A1 = 2(AD + AB + AA1 ) = 2AC1
运 算 律
加法交换律 a b b a 加法结合律 加法交换律 a b b a 加法结合律
(a b) c a (b c) 数乘分配律 k (a b) k a＋k b
(a b) c a (b c) 数乘分配律 k (a b) k a＋k b
OP xOA yOB z OC (其 中x y z 1) 的 点P与 点A, B , C是 否 共 面 ?
OP xOA yOB zOC且x y z 1 OP (1 y z )OA yOB zOC
OP OA y(OB OA ) z(OC OA )
a
不共线,则向量p与向量 a, b 共面的充要条 件是存在实数对 x, y 使 p xa yb.
要条件是存在有序实数对x,y使
共面向量定理:如果两个向量 a, b 推论:空间一点P位于平面ABC内的充
OP=xAB+yAC
或对空间任一点O,有
OP=OA+xAB+yAC
空间向量的数乘运算
思考： 已 知 空 间 任 意 一 点和 不 共 线 的 三 点, B , C , 满 足 向 量 关 系 式 O A
空间向量的数乘运算3
1 1 1 (1)OM = OA + OB + OC ; 3 3 3 (2)OM = 2OA OB OC.
11
课本例)如图 例2(课本例 如图,已知平行四边形 课本例 如图,已知平行四边形ABCD,从平 从平 面AC外一点 引向量 OE = k OA , OF = k OB, 外一点O引向量 外一点
17
�
存在唯一有序实数对 P B C ∴点 P 在平面 α 上 是存在唯一有序实数对 (x, y),使 A = xA + yA ②
⑶∵已知点 B , 在平面 α 内且 AB= a, AC = b,对于空间任意一点 O C ∴点 P 在平面 α 上 存在唯一有序实数对 是存在唯一有序实数对 (x, y),使 OP = OA + xAB + yAC ③
3.1.2空间向量的数乘运算( 3.1.2空间向量的数乘运算(二) 空间向量的数乘运算
冷水江市一中 孙祝梧
一,共线向量: 共线向量:
1.共线向量: 1.共线向量:如果表示空间向量的有向线 共线向量
段所在直线互相平行或重合, 段所在直线互相平行或重合,则这些向量叫 做共线向量(或平行向量), ),记作 做共线向量(或平行向量),记作 a // b 零向量与任意向量共线. 零向量与任意向量共线.
1 1 的值为( 的值为 OB + OC , 则x的值为 D) 3 3
( A)1
( B) 0
(C )3
1 ( D) 3
16
练习: 课外补充练习:
3.下列说明正确的是: D 下列说明正确的是: 下列说明正确的是 (A)在平面内共线的向量在空间不一定共线 在平面内共线的向量在空间不一定共线 (B)在空间共线的向量在平面内不一定共线 在空间共线的向量在平面内不一定共线 (C)在平面内共线的向量在空间一定不共线 在平面内共线的向量在空间一定不共线 (D)在空间共线的向量在平面内一定共线 在空间共线的向量在平面内一定共线 4.下列说法正确的是: 4.下列说法正确的是:C 下列说法正确的是 (A)平面内的任意两个向量都共线 平面内的任意两个向量都共线 (B)空间的任意三个向量都不共面 空间的任意三个向量都不共面 (C)空间的任意两个向量都共面 空间的任意两个向量都共面 (D)空间的任意三个向量都共面 空间的任意三个向量都共面
3.1.2空间向量的数乘运算 课件
答案 原式可以变形为 → → → → OP＝(1－y－z)OA＋yOB＋zOC → → → → → → ∴OP－OA＝y(OB－OA)＋z(OC－OA)， → → → 即AP＝yAB＋zAC.∴点 P 与点 A、B、C 共面．
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3.1.2
问题 4 向量共面在几何中有什么应用？
又因为 E、F 分别为 AD、BC 的中点， → → → → 所以EA＝－ED，BF＝－CF → → → → → → → → 所以 2EF＝(EA＋ED)＋(BF＋CF)＋(AB＋DC)＝AB＋ → → 1 → → DC，所以EF＝2(AB＋DC)．
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3.1.2
问题 2 向量共线在几何中有什么应用？
例 2 如图所示， 在正方体 ABCD—A1B1C1D1 → → 中，E 在 A1D1 上，且A1E＝2ED1，F 在对 → 2→ 角线 A1C 上，且A1F＝ FC. 3 求证：E，F，B 三点共线． → → → 证明 设AB＝a，AD＝b，AA1＝c. → → → 2→ → 2 → → 2→ ∵A1E＝2ED1，A1F＝3FC∴A1E＝3A1D1，A1F＝5A1C. → 2→ 2 ∴A1E＝3AD＝3b， 2 → → → 2 2 2 → 2 → → ∴A1F＝5(AC－AA1)＝5(AB＋AD－AA1)＝5a＋5b－5c.
3.1.2
3.1.2
空间向量的数乘运算
1．掌握空间向量数乘运算的定义和运算律，了解共线(平 行)向量、共面向量的意义． 2．能理解共线向量定理和共面向量定理及其推论，并能运 用它们证明空间向量的共线和共面问题． 利用空间向量的数乘运算，理解和表示共线向量和 共面向量，充分体现向量的工具性.
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空间向量的数乘运算
33
B
D
C
习题答案
1. （1）AD; （2）AF; （3） EF
2. （2）x=1; （2）x=y=1/2; （3） x=y=1/2;
3. Q
C
P
AB R
S
O
H四点共面.
课堂小结
1.空间向量的数乘运算. 2.空间向量的数乘运算的运算律.
满足分配律及结合律.
3.共线向量与共面向量
共线向量
共面向量
定义 向量所在直线互相平 平行于同一平面的向量,
行或重合. 定理
a//b(a 0)
叫做共面向量.
a λb
ab p
共面
p xα yb
5.共线向量基本定理的推论
对于空间任意一点像O，点P在直 线l上的充要条件是存在实数t，使其中 向量a叫做直线l的方向向量
OP = OA + ta.
(1)
在l上取AB=a，则(1)式可化为
P B a
A
OP = (1- t)OA + t OB.
(2)
说明: (1),(2)都叫做空间直线的向量 O
参数表示式.由此可知，空间任意直线由
BC 3CD ，则（A）AD AB BD
A.
AD 1 AB 4 AC 33
B. AD 1 AB 4 AC
AB 4 BC 3
AB 4 ( AB) 3
33
C. AD 4 AB 1 AC
1 AB 4 AC 33
A
33
D. AD 4 AB 1 AC
空间一点及直线的方向向量唯一确定.
知识要点
6.共面向量定义:平行于同一平面的向量，叫做共面向