二次函数极值

函数极值点求解方法引言函数的极值点是指函数在某个区间内取得最大值或最小值的点。

求解函数的极值点是数学中的一个重要问题，具有广泛应用价值。

本文将介绍几种常见的函数极值点求解方法。

二次函数的极值点求解方法当函数是一个二次函数时，可以使用求导法来求解极值点。

具体步骤如下：1. 将函数表示为二次函数的标准形式：$f(x)=ax^2+bx+c$。

2. 求导函数：$f'(x)=2ax+b$。

3. 令导数等于0，解方程得到极值点的横坐标：$2ax+b=0$，解得$x=-\frac{b}{2a}$。

4. 将横坐标代入原函数中，求得纵坐标。

高阶函数的极值点求解方法对于高阶函数，求解极值点可以依靠计算机算法进行近似求解。

其中，一种常用的方法是牛顿法。

具体步骤如下：1. 初始化变量，设初始点$x_0$。

2. 使用公式：$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$，进行迭代，直到满足终止条件。

3. 最终迭代得到的$x_n$就是函数的极值点。

数值优化算法求解极值点除了上述方法外，还可以使用数值优化算法来求解函数的极值点。

常见的数值优化算法有梯度下降法、粒子群优化等。

这些算法一般适用于函数复杂、无法用解析方法求解的情况。

结论本文介绍了几种常见的函数极值点求解方法。

对于简单的二次函数，我们可以使用求导法求解极值点；对于复杂的高阶函数，可以采用牛顿法进行近似求解；而对于更加复杂的函数，可以使用数值优化算法来求解。

在实际应用中，选择合适的求解方法可以提高求解效率，为问题的解决提供有效的支持。

高中数学中的二次函数求解二次方程与二次函数极值的技巧二次函数是高中数学中一个重要的内容，它们在各个学科领域都有广泛的应用。

求解二次方程和求取二次函数的极值是解决二次函数问题的两个基本技巧。

本文将介绍一些在高中数学中用于求解二次方程和求取二次函数的极值的常用技巧，帮助学生更好地理解和掌握这些概念。

一、求解二次方程的技巧一般来说，二次方程的标准形式为：ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为实数且a不等于0。

我们可以通过以下技巧来解决二次方程问题。

1.使用因式分解法当二次方程可以因式分解时，我们可以利用这一性质来求解。

例如，对于方程x^2 - 5x + 6 = 0，我们可以将其写成(x - 2)(x - 3) = 0的形式，从而得到方程的两个解x = 2和x = 3。

2.使用配方法对于那些无法直接因式分解的二次方程，我们可以使用配方法来求解。

该方法通过将二次方程转化为完全平方的形式，从而得到方程的解。

例如，对于方程x^2 + 6x + 9 = 0，我们可以将其写成(x + 3)^2 = 0的形式，从而得到方程的解x = -3。

3.使用求根公式当无法使用因式分解或配方法时，我们可以使用求根公式来求解二次方程。

二次方程的通解可以通过公式x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)来表示。

例如，对于方程x^2 - 2x - 3 = 0，我们可以代入a = 1、b = -2、c =-3，利用求根公式计算得到方程的两个解x = 3和x = -1。

二、求取二次函数的极值的技巧二次函数的标准形式为：f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为实数且a不等于0。

我们可以通过以下技巧来求取二次函数的极值。

1.使用二次函数的顶点公式二次函数的顶点公式表达式为x = -b / (2a)，y = f(-b / (2a))，其中x表示顶点的横坐标，y表示顶点的纵坐标。

顶点是二次函数的极值点，通过这一公式可以直接计算出极值点的坐标。

二次函数最值公式二次函数最大值和最小值的公式可以用以下两种方法进行推导：1. 完成平方形式二次函数可以写成以下形式：f(x) = ax^2 + bx + c我们要求它的最大值（或最小值），可以将它化为完全平方形式：f(x) = a(x - h)^2 + k其中，h和k是待求的顶点坐标，具体求解方法如下：首先，将x的系数a提取出来：f(x) = a(x^2 + (b/a)x) + c然后，将括号内的两项平方相加减去平方项的一半，再加上这个差的平方，就得到完全平方：f(x) = a(x^2 + (b/a)x + (b/2a)^2 - (b/2a)^2) + cf(x) = a(x + b/2a)^2 - ab^2/4a^2 + cf(x) = a(x + b/2a)^2 + (4ac - b^2)/4a其中，顶点坐标为（-b/2a, (4ac - b^2)/4a），最大值为k = (4ac -b^2)/4a （当a > 0时），最小值为k = (4ac - b^2)/4a （当a < 0时）。

2. 利用导数另一种方法是利用导数求解。

因为最大值和最小值都在函数的极值点处取得，所以我们可以通过求函数的导数来找到它的极值点。

首先，求出f'(x)：f'(x) = 2ax + b然后，令f'(x) = 0，解出x的值：2ax + b = 0x = -b/2a这个x就是函数的极值点，同时也是顶点的横坐标。

将x代入原函数，就得到顶点的纵坐标：k = f(-b/2a) = a(-b/2a)^2 + b(-b/2a) + ck = (4ac - b^2)/4a按照前面的规律，当a > 0时，最大值为k，当a < 0时，最小值为k。

总结以上就是二次函数最大值和最小值的两种求解方法。

其中，通过平方完成形式的方法比较简单，但有时比较费时间。

而利用导数的方法更直观，但需要学习导数知识。

多元二次函数求极值设多元二次函数为f(x,y)，其中x和y是未知数。

求f(x,y)的极值，即求f(x,y)的导数。

首先，我们对f(x,y)关于x求偏导数，即求∂f/∂x。

在求偏导数时，将y当作常数对待。

然后，我们对f(x,y)关于y求偏导数，即求∂f/∂y。

在求偏导数时，将x当作常数对待。

对于多元二次函数f(x,y)，如果∂f/∂x=0、∂f/∂y=0同时成立，那么这个点就是f(x,y)的极值点。

然后我们对导数方程组进行求解，得到x和y的值。

将这个点的x和y代入f(x,y)的表达式中，就得到了f(x,y)的极值。

接下来，我们举一个例子来说明如何求多元二次函数的极值。

例子：求函数f(x, y) = x^2 + 2xy + y^2的极值。

首先，我们对f(x,y)关于x求偏导数：∂f/∂x=2x+2y。

然后，我们对f(x,y)关于y求偏导数：∂f/∂y=2x+2y。

令∂f/∂x=0，我们得到2x+2y=0。

令∂f/∂y=0，我们得到2x+2y=0。

由上面两个方程可知，2x+2y=0。

解这个方程，得到x=-y。

将x=-y代入f(x,y)的表达式中，得到f(x,y)=(-y)^2+2(-y)y+y^2=2y^2所以，f(x,y)的极值为2y^2由于y可以取任意实数，所以f(x,y)的极值为任意大。

综上所述，多元二次函数的极值是任意大。

以上就是求多元二次函数的极值的方法和一个具体的例子。

但需要注意的是，在实际问题中，多元二次函数的极值可能具有一定的限制条件，需要将限制条件纳入考虑范围内进行求解。

二次函数最值求解方法在数学中，“二次函数”是常见的一个重要概念，其形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，且a不等于0。

这里的x为自变量，y为因变量，而f(x)则表示y，也就是函数的输出值。

二次函数是一类非常特殊的函数，它在数学和物理等领域中都有着重要的应用。

求解二次函数在一定区间内的最值，可以帮助我们更好地理解和应用它们。

确定二次函数的开口方向在求解二次函数最值的过程中，第一步通常是要明确函数的开口方向。

对于一般形式的二次函数，如果a > 0，则函数的开口朝上；如果a < 0，则函数的开口朝下。

因此，在求解最值时，我们需要先判断二次函数的开口方向，以便选择正确的求解方法。

求解二次函数最值的方法一：配方法配方法也叫作配方法消元法，是一种传统的求解二次函数最值的方法。

其基本思想是通过配方，将原函数变形为完全平方的形式，从而求出最值。

具体的步骤如下：1. 将二次项系数与自变量平方项相乘，将一次项系数乘以2，将常数项加上一个适当的数，使得方程左侧变为二次项的完全平方，即a(x + b)^2 + c2. 化简相加的三项到二项，化简完毕后即可得到二次函数的顶点坐标和最值。

这种方法简单易行，但适用范围有限。

在解Quadratic Equation时，如果存在两个根，该方法无法得到所有的根。

且在教育教学中呈现该种方法的时候，常常翻译为印度配方法，实际是中国学者张丘建在《算经》中载有配方法名为陇头法，舒勒（Euler）又称之为“中和术”。

求解二次函数最值的方法二：导数法在高中数学中，一般利用导数来求解二次函数最值。

具体的实现过程如下：1. 求出二次函数的导数f'(x) = 2ax + b，其中a、b、c为常数。

2. 令f'(x) = 0，解出x，即为二次函数的极值点。

3. 比较极值点和区间端点f(a)、f(b)的大小，最终确定最值所在的位置。

通过对导数的求解，我们可以比较轻松地求出函数的极值点。

二次函数最大值的概念在数学中，我们经常遇到二次函数的概念，而二次函数的最大值也是一个极为重要的概念。

在研究二次函数时，我们常常会遇到这样的问题：二次函数的最大值到底是什么意思？我们来一起探讨一下这个问题。

二次函数概述首先，让我们回顾一下二次函数的定义。

二次函数是一个以二次项为最高次幂的多项式函数，通常具有形式f(x)=ax2+bx+c，其中a,b,c是实数且a eq0。

二次函数的图像通常是一个开口朝上或者朝下的抛物线。

最大值的概念在数学中，我们经常研究函数的最值，包括最大值和最小值。

最值是指函数在特定区间内取得的最大值或最小值。

对于二次函数来说，最大值就是在某个区间内函数取得的最大值。

因为二次函数的图像是一个连续的曲线，所以我们可以用导数的方法来求解函数的最值。

二次函数最大值的意义二次函数的最大值对应着抛物线的顶点。

当二次函数开口朝下时，最大值就是抛物线的顶点的纵坐标；当二次函数开口朝上时，最大值是无穷大或正无穷。

因此，二次函数的最大值实际上是函数在特定区间内的极值点。

如何求二次函数的最大值要求解二次函数的最大值，可以通过求解函数的导数为零的点来求得。

具体步骤如下： 1. 求出二次函数f(x)=ax2+bx+c的导数f′(x)； 2. 令导数f′(x)等于零，并解方程得到导数为零时的x值； 3. 将得到的x值代入原函数f(x)中，求出相应的最大值 $f(x_{\\max})$。

结论通过以上的讨论，我们可以得知，二次函数的最大值是函数在特定区间内取得的最大值，对应着抛物线的顶点。

通过求解导数为零的方法，我们可以求得二次函数的最大值。

掌握了二次函数最大值的概念和求解方法，能够帮助我们更好地理解和应用二次函数在数学问题中的意义。

希望通过本文的讨论，读者能够更加深入地了解二次函数最大值的概念，从而在数学学习和实际问题中能够更好地运用这一概念。

高中数学解二次函数求极值和最值的技巧和分析二次函数在高中数学中占据着重要的地位，它的求极值和最值是我们学习的重点内容之一。

本文将通过具体的例题，详细介绍解二次函数求极值和最值的技巧和分析，帮助高中学生和他们的父母更好地掌握这一知识点。

首先，我们来看一个简单的例题：已知函数f(x) = x^2 - 2x + 1，求f(x)的最小值。

要求函数的最小值，我们需要先找到函数的极值点。

根据二次函数的性质，当二次函数的导数等于0时，函数的极值点就出现了。

所以，我们首先需要求出f(x)的导数。

f'(x) = 2x - 2。

将f'(x) = 0带入，得到2x - 2 = 0，解得x = 1。

这就是函数f(x)的极值点。

接下来，我们需要判断这个极值点是函数的最小值还是最大值。

这可以通过二次函数的凹凸性来确定。

二次函数的凹凸性由二次项的系数决定，当二次项系数大于0时，函数开口向上，为凹函数，极值点为最小值；当二次项系数小于0时，函数开口向下，为凸函数，极值点为最大值。

回到我们的例题，函数f(x) = x^2 - 2x + 1的二次项系数为1，大于0，因此函数是凹函数，极值点x = 1是最小值。

通过这个例题，我们可以总结出求二次函数极值和最值的一般步骤：1. 求出函数的导数；2. 令导数等于0，解方程得到极值点；3. 判断二次函数的凹凸性，确定极值点是最小值还是最大值。

接下来，我们来看一个稍微复杂一些的例题：已知函数g(x) = -2x^2 + 4x + 3，求g(x)的最大值。

同样地，我们首先求出函数g(x)的导数。

g'(x) = -4x + 4。

令g'(x) = 0，得到-4x + 4 = 0，解得x = 1。

这是函数g(x)的极值点。

然后，我们需要判断这个极值点是最大值还是最小值。

由于函数g(x)的二次项系数为-2，小于0，所以函数是凸函数，极值点x = 1是最大值。

通过这个例题，我们可以看到，求二次函数极值和最值的步骤是相同的，只是需要注意函数的凹凸性来确定极值点的性质。

二次函数最值点公式二次函数最值点公式，这可是数学里一个相当重要的知识点。

咱先来说说啥是二次函数。

就好比你去卖水果，假设你每天卖出去的水果数量和价格之间存在一种关系，这种关系如果能用一个形如 y = ax² + bx + c （a ≠ 0）的式子来表示，那这就是个二次函数。

比如说，你卖苹果，价格定得太高，买的人少；价格定得太低，你赚得又少。

这里面就藏着二次函数的最值问题。

那二次函数的最值点公式是啥呢？就是当 x = -b / (2a) 时，y 能取到最值。

这个最值是最大值还是最小值，就得看 a 的正负。

要是 a 大于0 ，图像开口朝上，这时候 y 有最小值；要是 a 小于 0 ，图像开口朝下，y 就有最大值。

我记得有一次给学生们讲这个知识点的时候，有个小家伙一脸懵地问我：“老师，这有啥用啊？”我就给他举了个例子。

我说：“你看啊，假如咱们要围一个长方形的菜园子，一边靠着墙，给你的材料就那么长，要让这个菜园子的面积最大，怎么弄？这就得用到二次函数最值点公式啦！”我给他一步一步分析，设长方形的宽是 x ，长就是总材料长度减去 2x ，然后面积 S = x（总长度 - 2x），这就是个二次函数。

通过最值点公式就能算出 x 取多少的时候，面积最大。

这小家伙听完，眼睛一下子亮了，说：“哎呀，原来是这么回事！”在实际生活里，像这样的例子可多了去了。

比如说工厂生产东西，要考虑成本和利润的关系，怎么安排生产能让利润最大；还有建筑设计的时候，怎么设计能在给定的条件下让空间最大利用。

这些都离不开二次函数最值点公式。

咱们再回到学习上，掌握这个公式，做题的时候那可就得心应手了。

比如说给你一个二次函数 y = 2x² + 4x - 3 ，让你求最值，那你就先算出x = -b / (2a) = -4 / (2×2) = -1 ，然后把 x = -1 代入函数，就能求出最值 y = -5 。

而且啊，这个公式还能和其他的数学知识结合起来。

二次函数复习函数像与极值二次函数是高中数学中重要的概念，它具有很多重要的特性，其中包括函数像和极值。

本文将对二次函数的函数像和极值进行复习和总结，并给出相关的例题进行演练。

一、函数像函数像是指函数图像在坐标平面的位置关系。

对于二次函数，可以通过求解函数图像的开口方向和顶点坐标来确定它的函数像。

1. 开口方向二次函数的开口方向取决于二次项的系数。

当二次项的系数大于0时，函数图像开口朝上；当二次项的系数小于0时，函数图像开口朝下。

例如，考虑二次函数y = ax^2 + bx + c，其中a为二次项的系数。

当a > 0时，函数图像开口朝上；当a < 0时，函数图像开口朝下。

2. 顶点坐标二次函数的顶点坐标可以通过求解顶点的横坐标和纵坐标得到。

顶点的横坐标在二次函数中表示为x = -b / (2a)，纵坐标则是将横坐标代入函数中求得。

例如，考虑二次函数y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数。

顶点的横坐标为x = -b / (2a)，纵坐标为y = c - b^2 / (4a)。

通过确定开口方向和顶点坐标，我们可以准确地描述二次函数的函数像。

二、极值极值是指函数的最大值或最小值。

对于二次函数，它的极值与开口方向有关。

1. 最小值当二次函数的开口朝上时，它存在最小值。

最小值等于顶点的纵坐标。

例如，对于二次函数y = ax^2 + bx + c，如果a > 0，则函数开口朝上，并且最小值为y = c - b^2 / (4a)。

2. 最大值当二次函数的开口朝下时，它存在最大值。

最大值等于顶点的纵坐标。

例如，对于二次函数y = ax^2 + bx + c，如果a < 0，则函数开口朝下，并且最大值为y = c - b^2 / (4a)。

极值的存在与开口方向密切相关，它们在二次函数的图像中起到了重要的作用。

三、例题演练为了更好地理解二次函数的函数像和极值，我们来看几个例题进行演练。

二次函数与极值知识溯源相传古代Tyre的Phoeiniciau城的公主Dido，离开了自己的家园，来到北非的地中海沿岸．她和当地的部落商议：付给一笔固定的金额，以换取一张公牛皮能围住的土地，准备定居在那里．一块公牛皮能围住多大的土地呢？于是，当地部落首领答应了．聪明的Dido想出了一个巧妙的办法，她把公牛皮切成很细很细的条，再把这些细条结成一条长长的细牛皮条，就用这根牛皮条在海岸边围出了意想不到的大块土地．相传这片土地是一个半圆形，其直径在海岸线上（近似可看作直线），不需用牛皮来围；牛皮条的总长就是这个半圆的弧长．数学中，可以证明：在这种情况下，依照Dido的办法围得的土地，可算是面积最大的了．上述希腊神话，说的是求一个使面积达到最大的图形．另外，诸如给出一定材料，造一个容器，使之容积最大；完成一项工程，使全部花费最小，等等，可以想象，此类问题在生活以及生产上是很多的，且是有意义的．这些问题经过数学抽象，就归结为一定条件下求一个量的极大或极小问题，这就是数学中的所谓极值问题，它在整个数学中占了相当重要的一席位子．极值问题的研究，有着悠久的历史．早在古希腊时，就研究了等周问题．在欧几里得的名著《几何原本》中，实际上已证明了如下的极值问题，具有相同周长的矩形中，以正方形的面积最大．就几乎在出现函数概念的同时，函数极值的问题就被提出来了．作为函数性质的一个重要分支和基本工具，函数极值在数学和其它科学技术领域，诸如数学建模、税收金额、优化问题、概率统计等学科都有广泛的应用．不仅如此，函数极值理论在航海、保险、价格策划、航空和航天等众多领域中也是最富表现力和灵活性，并起着不可替代的数学工具的作用．许多实际问题最终都归结为函数极值问题，生活中遇到的实际问题，可以通过数学建模的形式，表示为函数形式．而在求解具体问题时往往需要应用到极值来解，来为生产生活做保证！由此可见，研究函数极值，是学习数学与其它学科的基础，是生活生产的必备工具．运用微分的方法寻求一个函数的最大值和最小值，这是德国人开普勒开创的，1615年开普勒在测量酒桶体积的问题时，证明了内接于球面的具有正方形底面的平行六面体中，以立方体的容积最大．1638年，法国人费马用微分得方法证明了在周长一定的矩形中，以正方形的面积最大．初中阶段确定二次函数()2＝＋＋0y ax bx c a ≠最值的方法：① 方法：将二次函数()2＝＋＋0y ax bx c a ≠ 配方化为()y a x h k 2＝－＋的形式，顶点坐标（h ，k ）．对称轴为直线x ＝h ．若a ＞0，y 有最小值．当x ＝h 时，y 最小值＝k ．若a ＜0，y 有最大值．当x ＝h 时，y 最大值＝k ．② 方法：直接利用顶点公式求其顶点（24－，24b ac b a a -），对称轴是直线x ＝2b a -，若a ＞0，y 有最小值．当x ＝2b a- 时，y 最小值＝24－4ac b a ．若a ＜0，y 有最大值．当x ＝2b a- 时，y 最大值＝24－4ac b a ．一个函数()2＝＋＋0y ax bx c a ≠对应一条抛物线，根据实际情况它的最值又分为以下几种情况：第一种，自变量x 没有范围限制，可以取到整个实数．这时抛物线的顶点y 值是这个函数的最值，也就是说，当x 取为抛物线的对称轴值时，即x ＝2b a-时，所得的y 值是这个函数的最值．当a ＞0时，抛物线开口向上，所得到的最值是抛物线最低点，也就是最小值，此时此函数无最大值．当a ＜0时，抛物线开口向下，所得到的最值是抛物线最高点，也就是最大值，此时此函数无最小值．第二种，自变量x 有范围限制，它只能取到抛物线的一部分，这时需要判断x 能够取到的范围是否包括抛物线的对称轴x ＝2b a．如果包括，那它的一个最值一定在对称轴处得到（最大值还是最小值要由a 的正负判断，a 正就是最小值，a 负就是最大值）．另外一个最值出现在所给范围的端点，此时可以把两个端点值都代入函数，分别计算y 值，比较一下就可以；如果给的是代数形式，也可以用与对称轴距离的大小来判断，与对称轴距离大的那个端点能够取到最值． 如果x 的取值范围不包括对称轴，则它的最值一定出现在范围的端点处，当a ＞0时，离对称轴最远的端点取得最大值，最近的端点取得最小值．当a ＜0时，最远端取得最小值，最近端取得最大值．数学家简介以及数学家的轶事“业余数学家之王”——费马17世纪的一位法国数学家，提出了一个数学难题，使得后来的数学家一筹莫展，这个人就是数学家费马（Fermat ,Pierrede ）(1601—1665)．这道题是这样的：当n ＞2时，x n ＋y n ＝z n 没有正整数解．在数学上这称为“费马大定理”．这命题载于丢番图《算术》1621年拉丁文译本第二卷之空白处：（……一个高于二次的幂是不可能分成两个同次的幂．为此，我确信已发现一美妙的证法，可惜这里太少空白地方，写不下．）后来因找不到费马的证明，这激发起历代数学家之研究，为了获得它的一个肯定的或者否定的证明，历史上几次悬赏征求答案，一代又一代最优秀的数学家都曾研究过，直至1995年才由英国数学家怀尔斯（andrew wiles ）彻底证明费马大定理，历时超过300多年．数学家费马于1601年8月17日在法国南部图卢兹附近波蒙──德洛马涅出生．早年于家乡受教育，后入图卢兹大学供读法律，毕业后任职律师．自1631年起任图卢兹议会议员．任职期间，他利用业余时间钻研数学，并经常以书信与笛卡儿、梅森、惠更斯等著名学者交往，讨论数学问题．据他说他只是在读了丢番图的《算术》之后对数学产生了兴趣，这才开始了对数学的研究的．然而，在17世纪的法国，还找不到哪位数学家可以与之匹敌．费马对数学的贡献包括：与笛卡尔共同创立了解析几何；创造了作曲线切线的方法，被微积分发明人之一牛顿奉为微积分的思想先驱，他于1636年给罗贝瓦尔及1638年给笛卡儿的信中提出求极大值、极小值与拐点的步骤，实际已相当于使导数为零而求极点之方法．这成为现代微积分中函数取极值之必要条件．通过提出有价值的猜想，指明了关于整数的理论——数论的发展方向．他还研究了掷骰子赌博的输赢规律，从而成为古典概率论的奠基人之一．由于费马对数学的巨大贡献，后人尊称他为“业余数学家之王”．他生前由于性情淡泊，为人谦逊，因此较少发表论著，大多成果只留在手稿、通信或书页之空白处．他的儿子于1679年把这些遗作整理汇集成书（共两卷），在图卢兹出版．他饱览群书，精通数国文字，掌握多门自然科学的知识．虽年近三十才认真注意数学，但成就累累．最后于1665年1月12日在卡斯特尔逝世．数学小故事自从费马大定理提出之后，从此包括大数学家欧拉、柯西在内的无数智者都曾为此殚精竭智，虽然每次都能向前迈进一小步，但都未能最终证明费马大定理．300多年来，很多人声称找到了解决这个难题的办法，然而每一次均为人所推翻．从费马大定理本身来说，证明不证明它对数学的发展没有多大意义．但一方面，这是对智慧的挑战；另一方面，数学家们从证明费马大定理的过程中得到了许多意外的收获，一些新的数学分支和方法正是在对它的研究中产生的．因而，费马大定理的证明一直受到人们的关注．关于费马大定理也有不少小插曲，德国人保罗·沃尔夫斯凯尔为费马大定理设立专项基金即是其中之一．按照人们的一般说法，沃尔夫斯凯尔因为失恋而试图结束自己的生命．在他认为一切就绪，准备于某日午夜准时开枪自尽前的一段时间里，发现了一篇关于费马大定理的论文．碰巧的是，沃尔夫斯凯尔本人是一个数学爱好者，不知不觉中竟沉湎于论文中，结果错过了原定的自杀时间．之后，沃尔夫斯凯尔放弃了自杀的念头，并在死前留下遗嘱，把一大笔财富作为奖给第一个证明费马大定理的人，有效期到2007年．美国普林斯顿大学教授安德鲁·怀尔斯经过7年的潜心研究，于1993年公布了他对费马大定理的证明．他的证明在1995年得到确认并最终获得了沃尔夫斯凯尔留下的奖金．怀尔斯的证明长达一百多页，其中涉及许多最新的数学知识，目前在世界范围内能看懂的人也屈指可数．因此出现了这样的争议：有人认为这不可能是当年费马所想到的证明，应该还有种比这简单的证明未被发现；但也有许多人倾向于认为当年的费马其实毫无发现，或者只是想到了一个错误的方法．科技新发展——极值理论拯救生命发生在1952年2月的海水倒灌灾难夺去了1800人的生命，毁坏了4.7万间居民住宅．此后，荷兰政府迫切需要修筑能保护该国数百年的新海防大堤．而后，1600万荷兰居民得到了极值理论公式的保护．由于荷兰一半以上的国土位于海平面之下，因此该国筑起一条条海堤加以防范．这些海堤根据极值理论的数学原理设计，用来对付大自然可能发起的最恶劣挑战，科学家们分析了该国有关此类极端事件的历史数据，得出了新建堤防5米高的标准，这时极值理论被用来确定，在不远的将来，再次发生灾难的机会微乎其微．极值理论还是新的海事安全建议中的核心内容，然而这些建议,旨在防止类似MVDerbyshire货船沉没的悲剧重演．1981年，MVDerbyshire在日本以南海面遭遇台风而沉没，船上44名船员全部遇难．2000年，一份官方调查发现，这艘船的前舱舱口盖在大浪的冲击下塌陷，导致海水涌入．这一调查结论清洗了船长和船员的冤屈，他们曾因这一悲剧遭到指责．这一结论部分基于兰开斯特大学乔纳森陶恩教授和珍妮特赫弗南博士的研究结果．两位学者利用极值理论考察了船舶舱盖被足够狂暴的海浪冲击所打开的各种可能性．在与劳氏共同进行的研究中，上述两位学者还使用极值理论，说明除了在灾难发生后推荐增加防护层外，对类似MVDerbyshire那样大小的船舶而言，其舱盖强度应该再提高35%．几个月后的2001年12月，大型散装货船克里斯多佛号在亚速尔群岛附近海面沉没，27名船员遇难．最后时刻的无线电通讯报告显示，该船的前舱舱口盖已经被海浪冲跨．这是MVDerbyshire命运可怕的重复，可能这也说明，若不遵照行事，即使是最成熟的理论也起不了保护作用．虽然函数极值理论在航海、保险、价格策划、航空和航天等众多领域中有最富表现力和灵活性，起着不可替代的数学工具的作用，但是，极值理论还在襁褓期，数学家们仍在探索它的潜能，特别是在预测同时发生的几个极端事件方面的潜能．即便如此，这一方法已在帮助我们挽救生命和财富了．对于我们的生活已经起到了不可或缺的作用．生活中的数学1.经济问题例1 某商场购进一批单价为4元的日用品．若按每件5元的价格销售，每月能卖出3万件；若按每件6元的价格销售，每月能卖出2万件，假定每月销售件数y（件）与价格x（元/件）之间满足一次函数关系．（1）试求y与x之间的函数关系式；（2）当销售价格定为多少时，才能使每月的利润最大？每月的最大利润是多少？解：（1）由题意，可设y＝kx＋b，把（5，30000），（6，20000）代入得：30000＝5＋，20000＝6＋k bk b⎧⎨⎩解得：＝-10000b＝80000k⎧⎨⎩，所以y与x之间的关系式为：y＝－10000x＋80000；（2）设利润为W，则W＝（x－4）（－10000x＋80000）＝－10000（x－4）（x －8）＝－10000（x2－12x＋32）＝－10000[（x－6）2－4]＝－10000（x－6）2＋40000 所以当x＝6时，W取得最大值，最大值为40000元．答：当销售价格定为6元时，每月的利润最大，每月的最大利润为40000元．例2 某游乐场有100条游船，若每条游船每小时收租金10元，游船可以全部租出，若每条游船每小时收租金提高1元，便减少4条游船租出，以此类推，为使租金最高的情况下，游客又实惠些，问每条游船每小时应提高租金多少元？解：设每条游船的租金每小时提高x元．则可租出（100－4x）条游船，所得租金为y元，则y＝（10＋x）（100-4x）＝24＋60＋1000x x -＝()2154－＋12252x - ∵x 是整数，∴x ＝7或8时，租金都最大，但要游客实惠些，只提高7元．2．几何问题例1 某高中学校为高一新生设计的学生单人桌的抽屉部分是长方体形．其中，抽屉底面周长为180cm ，高为20cm ．请通过计算说明，当底面的宽x 为何值时，抽屉的体积y 最大？最大为多少？（材质及其厚度等暂忽略不计）．解：已知抽屉底面宽为x cm ，则底面长为180÷2－x ＝（90－x ）cm ．由题意得：y ＝x （90－x ）×20＝－20（x 2－90x ）＝－20（x －45）2＋40500当x ＝45时，y 有最大值，最大值为40500．答：当抽屉底面宽为45cm 时，抽屉的体积最大，最大体积为40500cm 3． 例2 某居民小区要在一块一边靠墙（墙长15m ）的空地上修建一个矩形花园ABCD ．花园的一边靠墙．另三边用总长为40m 的栅栏围成．若设花园的一边长为x （m ），花园的面积为y 平方米，求花园面积的最大值．解：()22＝40－＝-2(－20)＝-2(－10)＋200y x x x x x ．∵0＜40－2x ≤15， ∴12.5≤x ＜20．∵二次函数的顶点不在自变量x 的范围内，而当12.5≤x ＜20内，y 随x 的增大而减小，∴当x ＝12.5时，∴max 2＝-2(12.5－10)＋200＝187.5y （平方米）．。

二次函数求最值的方法
二次函数的一般式是y=ax的平方+bx+c,当a大于0时开口向上,函数有最小值;当a小于0时开口向下,则函数有最大值。

而顶点坐标就是(-2a分之b,4a分之4ac-b方)，把a、b、c分别代入进去,求得顶点的坐标，4a分之4ac-b方就是最大值或最小值。

二次函数的基本表示形式为y=ax²+bx+c(a≠0)。

二次函数最高次必须为二次，二次函数的图像是一条对称轴与y轴平行或重合于y轴的抛物线。

二次函数表达式为y=ax²+bx+c(且a≠0)，它的定义是一个二次多项式(或单项式)。

如果令y值等于零，则可得一个二次方程。

该方程的解称为方程的根或函数的零点。

“变量”不同于“未知数”，不能说“二次函数是指未知数的最高次数为二次的多项式函数”。

“未知数”只是一个数(具体值未知，但是只取一个值)，“变量”可在一定范围内任意取值。

在方程中适用“未知数”的概念(函数方程、微分方程中是未知函数，但不论是未知数还是未知函数，一般都表示一个数或函数——也会遇到特殊情况)，但是函数中的字母表示的是变量，意义已经有所不同。

从函数的定义也可看出二者的差别。

二次函数与指数函数的零点与极值在数学中，二次函数和指数函数是两个常见且重要的函数类型。

它们在解决实际问题和数学推理中具有广泛的应用。

本文将探讨二次函数与指数函数的零点与极值，并通过数学推导和实例分析来展示它们之间的关系及特点。

一、二次函数的零点与极值二次函数的一般形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数且a ≠ 0。

我们先来讨论二次函数的零点。

1. 零点的定义零点也称为根，就是函数图像与x轴交点的x坐标。

在二次函数中，我们可以通过求解方程f(x) = 0来找到它的零点。

具体而言，对于一般形式的二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，我们可以使用求根公式x = (-b ±√(b^2 - 4ac)) / (2a)来求解零点。

2. 零点与二次函数图像二次函数的零点与其图像的性质有着密切的关系。

当二次函数的零点有两个时，图像将与x轴交于两点，且函数的图像开口朝上或朝下。

当零点有一个时，图像将与x轴交于一个点，函数的图像开口的方向将决定函数的凸性，开口朝上代表函数的凹部分朝上，开口朝下代表函数的凹部分朝下。

3. 二次函数极值的求解极值指的是函数的最大值或最小值，对二次函数而言，极值存在于顶点处。

通过求解二次函数的顶点坐标，我们可以得到函数的极值。

对于一般形式的二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，它的顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))。

二、指数函数的零点与极值指数函数的一般形式为f(x) = a^x，其中a为常数且a > 0且a ≠ 1。

我们接下来讨论指数函数的零点和极值。

1. 零点的定义指数函数在定义域内不存在零点。

因为指数函数的图像永远在y轴的正半轴上，没有与x轴交点。

2. 极值的存在指数函数在定义域内存在极值。

当指数函数的底数小于1时，函数图像上升趋势越来越缓，没有最大值；当指数函数的底数大于1时，函数图像上升趋势越来越陡，没有最小值。

二次函数导数与极值的求解二次函数是高中数学中的重要内容之一，它在解决实际问题中有着广泛的应用。

而求解二次函数的导数和极值则是二次函数的关键知识点之一。

本文将从导数的定义出发，探讨二次函数导数与极值的求解方法。

首先，我们来回顾一下导数的定义。

对于函数y=f(x)，在点x处的导数可以定义为函数在该点的切线斜率。

换句话说，导数可以表示函数在某一点的变化速率。

对于二次函数y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数，我们可以通过求导的方法来求解它的导数和极值。

接下来，我们将通过一个具体的例子来说明如何求解二次函数的导数和极值。

考虑函数y=x^2-2x+1，我们将通过求导的方法来求解它的导数和极值。

首先，我们需要求解函数的导数。

对于二次函数y=x^2-2x+1，我们可以使用导数的定义来求解它的导数。

根据导数的定义，我们有：f'(x) = lim(h->0) [f(x+h)-f(x)]/h将函数y=x^2-2x+1代入上式，我们可以得到：f'(x) = lim(h->0) [(x+h)^2-2(x+h)+1-(x^2-2x+1)]/h化简上式，我们可以得到：f'(x) = lim(h->0) [2xh+h^2-2h]/h继续化简上式，我们可以得到：f'(x) = lim(h->0) (2x+h-2)将h趋近于0，我们可以得到：f'(x) = 2x-2因此，函数y=x^2-2x+1的导数为f'(x) = 2x-2。

接下来，我们需要求解函数的极值。

对于二次函数y=x^2-2x+1，我们可以通过求导数的方法来求解它的极值。

对于一元函数来说，极值点就是导数为0的点。

因此，我们需要解方程f'(x) = 0。

将f'(x) = 2x-2置为0，我们可以得到：2x-2 = 0解上式，我们可以得到：x = 1因此，函数y=x^2-2x+1的极值点为x=1。

二次函数的导数与极值问题二次函数是一种常见的数学函数，在许多实际问题中都有广泛的应用。

在本文中，我们将探讨二次函数的导数与极值问题，以帮助读者更好地理解和解决相关的数学题目。

1. 二次函数的导数二次函数的一般形式可以表示为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c是常数，并且a ≠ 0。

为了求解二次函数的导数，我们需要使用导数的定义。

根据导数的定义，二次函数f(x)的导数f'(x)可以表示为f'(x) = lim(h->0) (f(x+h) - f(x))/h。

将二次函数的表达式代入，我们可以得到f'(x) =2ax + b。

2. 导数与二次函数的图像通过二次函数的导数，我们可以进一步了解二次函数的图像特征。

首先，导数f'(x)告诉我们切线的斜率，这可以帮助我们确定函数在不同点的增减性。

当a > 0时，二次函数的图像开口向上，导数f'(x)恒大于零，说明函数在整个定义域上是递增的；当a < 0时，二次函数的图像开口向下，导数f'(x)恒小于零，说明函数在整个定义域上是递减的。

其次，导数f'(x)等于零的点可以告诉我们二次函数的极值点。

由于二次函数是一个抛物线，它只有一个极值点。

当导数f'(x) = 0时，解方程2ax + b = 0，我们可以求得这个极值点的x坐标。

3. 极值问题的解决通过求解导数为零的方程，我们可以找到二次函数的极值点的x坐标。

为了判断这个极值点是一个极大值还是极小值，我们需要进一步检查导数f'(x)的符号。

如果导数f'(x)在极值点的左侧是负数，在右侧是正数，那么这个极值点是一个极小值；如果导数f'(x)在极值点的左侧是正数，在右侧是负数，那么这个极值点是一个极大值。

此外，还有一种情况，即当导数f'(x)恒大于零或者恒小于零时，二次函数没有极值，它在整个定义域上是递增或递减的。

二次函数的极值求法攻略求二次函数的极值是中考热点，往往出现在压轴题中，多与面积、利润、成本等相结合。

其攻略途径为：第一，写出二次函数的解析式并化为顶点式；第二，确定自变量的取值范围，画出大致形状，范围内的用实线，外的用虚线；第三，判定x =ab 2-是否在其范围内，若在，则极值为顶点纵坐标；若不在，就要根据其增减性求极值。

y=a x 2+b x +c (a,b,c 是常数，且a ≠0)= 2)2(ab x a -+ab ac 442-，顶点坐标为（-ab 2，ab ac 442-），对称轴为x =-ab 2。

一、当x =-a b 2在自变量范围内时，当x =-ab 2时，最值为y =ab ac 442-。

二、当x=-ab 2不在自变量范围内时1、 若≤≤x m n 〈-ab 2（n m 〈）（1）当0〉a 时，开口向上，在对称轴的左边y 随x 的增大而减小，所以当x =m 时，y 最大；当x =n 时，y 最小。

（2）当0〈a 时，开口向下，在对称轴的左边y 随x 的增大而增大，所以当x =m 时，y 最小；当x =n 时，y 最大。

2、若-ab 2〈≤≤x m n （n m 〈）（1）当0〉a 时，开口向上，在对称轴的右边y 随x 的增大而增大，所以当x =m 时，y 最小；当x =n 时，y 最大。

（2）当0〈a 时，开口向下，在对称轴的右边y 随x 的增大而减小，所以当x =m 时，y 最大；当x =n 时，y 最小。

三、举例（10湖北武汉）23．(本题满分10分)某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天l80元时，房间会全部住满．当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲．宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用．根据规定，每个房间每天的房价不得高于340元．设每个房间的房价每天增加x 元(x 为10的正整数倍)．(1) 设一天订住的房间数为y ，直接写出y 与x 的函数关系式及自变量x 的取值范围； (2) 设宾馆一天的利润为w 元，求w 与x 的函数关系式；(3) 一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大? 最大利润是多少元?解：(1) y =50-101x (0≤x ≤160，且x 是10的整数倍)。