2018年春北师版数学九年级下册2.2 二次函数的图象与性质

2.2二次函数y=ax 2＋bx ＋c 的图象(一)一、选择题1．已知抛物线的解析式为y=(x －2)2+1，则抛物线的顶点坐标是 ( ) A ．(－2，1) B ．(2，1) C ．(2，－1) D ．(1，2)2．已知二次函数y ＝x 2－4x ＋5的顶点坐标为( )A ．(－2，－1)B ．(2,1)C ．(2，－1)D ．(－2,1)3．抛物线y ＝x 2－4x ＋3的图象向右平移2个单位长度后所得新的抛物线的顶点坐标为( )A ．(4，－1)B ．(0，－3)C ．(－2，－3)D ．(－2，－1)4．已知二次函数的图象(0≤x ≤3)如图3－4－4.关于该函数在所给自变量的取值范围内，下列说法正确的是( )图3－4－4A ．有最小值0，有最大值3B ．有最小值－1，有最大值0C ．有最小值－1，有最大值3D ．有最小值－1，无最大值二、填空题： 5．抛物线y ＝2(x －14)2－258的顶点坐标是 ，对称轴是 ，与x 轴的交点是 ，与y 轴的交点是 ．6．抛物线y=(x 十1)2－2的对称轴是 ，当x 时，y 随x 的增大而增大；当x 时，y 随x 的增大而减小．7．如果抛物线y ＝a(x 十2b a )2+244ac b a的对称轴是x ＝－2，开口大小和方向与抛物线y＝32x2的相同，且经过原点，那么a＝，b＝，c＝．8．(2011年浙江宁波)将抛物线y＝x2的图象向上平移1个单位，则平移后的抛物线的解析式为____________．9．写出一个开口向下的二次函数的表达式______________________．10．如图3－4－7，已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过点(－1,0)，(1，－2)，当y随x的增大而增大时，x的取值范围是____________．图3－4－711．(2011年江苏淮安)抛物线y＝x2－2x＋3的顶点坐标是__________．三、解答题12．将抛物线y＝34(x+5)2－6向右平移4个单位，再向上平移5个单位，求此时抛物线的解析式．13．已知抛物线y＝(x－1)2+a－l的顶点A在直线y＝－x+3上，直线y＝－x+3与x轴的交点为B，求△AOB的面积(O为坐标原点)．14．(2011年江苏盐城)已知二次函数y ＝－12x 2－x ＋32.(1)在如图3－4－8中的直角坐标系中，画出这个函数的图象； (2)根据图象，写出当y ＜0时，x 的取值范围；(3)若将此图象沿x 轴向右平移3个单位，请写出平移后图象所对应的函数关系式．图3－4－815．(2013年广东)已知抛物线y ＝12x 2＋x ＋c 与x 轴没有交点．(1)求c 的取值范围；(2)试确定直线y ＝cx ＋1经过的象限，并说明理由．16．如图2 - 50所示，抛物线y ＝－(x+1)2+m(x+1)(m 为常数)与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，顶点M 在第一象限，△AOC 的面积为1.5，点D 是线段AM 上一个动点，在矩形DEFG 中，点G ，F 在x 轴上，点E 在MB 上． (1)求抛物线的解析式；(2)当DE＝1时，求矩形DEFG的面积；(3)矩形DEFG的面积是否存在最大值?如果存在，请求出这个最大值，并指出此时点D的坐标；如果不存在，请说明理由．参考答案1．B［提示：由顶点坐标公式可以得到顶点坐标为(2，1)．]2.B3.A4.C5．(125,48-) x=14(－1，0)和(32，0) (0，－3)6. x=－l >－1 <－l7．32-－6 08．y＝x2＋19.y＝－x2＋2x＋1(答案不唯一)10．x>1 211.(1,2)12．提示：解析式为y=34(x+1)2－1．13．提示：S△AOB ＝12×3×2＝3．14．解：(1)画图(如图D8)．图D8(2)当y＜0时，x的取值范围是x＜－3或x＞1.(3)平移后图象所对应的函数关系式为y＝－12(x－2)2＋2⎝⎛⎭⎪⎫或写成y＝－12x2＋2x.15．解：(1)∵抛物线与x轴没有交点，∴Δ＜0，即1－2c＜0，解得c＞1 2 .(2)∵c＞1 2，∴直线y＝cx＋1随x的增大而增大．∵b＝1，∴直线y＝cx＋1经过第一、二、三象限．16．解：(1)由y＝－(x+1)2+m(x+1)，得A(－1，0)，C(0，m－1)，则OA=l，OC＝m－1．∵S△OAC =1.5，∴12×1×(m-1)=1.5，∴m＝4，∴y=－x2+2x+3．(2)由y=－(x－1)2+4，令y=0，得－(x－1)2+4=0，解得x1＝－1，x2＝3，∴A(－l，0)，B(3，0)，M(1，4)，∴直线AM的解析式为y=2x+2．由点D在线段AM上，可设点D的坐标为(a,2a+2)，－1<a<1．当DE＝1时，由抛物线对称性可知1－a=0.5，∴a＝0.5，2a+2＝3，∴S矩形DEFG ＝DE·DG＝1×3＝3． (3)S矩形DEFG存在最大值．设D点坐标为(a，2a+2)，－l<a<l，由抛物线对称性可知D E＝2(1－a)，DG=2a+2．∴S矩形DEFG＝DE·DG=2(1－a)·(2a+2)＝－4a2+4，而－1<a<l，∴当a＝0时，S取得最大值为4，此时D点坐标为(0，2)．2.2二次函数y=ax2＋bx＋c的图象(二)一、选择题1．抛物线y＝x2―3x+2不经过 ( )A．第一象限 B．第二象限 C.第三象限 D．第四象限2．如图2 - 60所示的是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A(―3，0)，对称轴为x=―1．给出四个结论：①b2＞4ac；②2a+b＝0；③a-b+c＝0；④5a<b．其中正确的结论是 ( )A.②④ B．①④C.②③ D．①③3．二次函数c bx ax y ++=2图象如图所示，则下列结论正确的（ ）A ．a ＞0，b ＜0，c ＞0B ．a ＜0，b ＜0，c ＞0C ．a ＜0，b ＞0，c ＜0D ．a ＜0，b ＞0，c ＞04．二次函数 y=2（x －3）2+5的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标分别为（ ） A ．开口向下，对称轴x=－3，顶点坐标为（3,5） B ．开口向下，对称轴x ＝3，顶点坐标为（3，5） C ．开口向上，对称轴x=－3，顶点坐标为(－3,5) D ．开口向上，对称轴x=－3，顶点坐标为(－3,－5）5．二次函数c bx ax y ++=2图象如图所示，则点（bc ，a ）在（ ）A ．第一象限B 第二象限C ．第三象限D 第四象限二、填空题6．函数y ＝x 2―2x －l 的最小值是 ．7．已知抛物线y ＝ax 2 +bx+c 的对称轴是x ＝2，且经过点(1，4)和点(5，0)，则该抛物线的解析式为 ．8．已知二次函数y ＝―4x 2－2mx+m 2与反比例函数24m y x+=的图象在第二象限内的一个交点的横坐标是―2，则m 的值是 ．9．某物体从上午7时至下午4时的温度M (℃)是时间t(h)的函数M ＝t 2－5t+100(其中t ＝0表示中午12时，t ＝1表示下午1时)，则上午10时此物体的温度是 ℃．10．如图2 - 61所示的是二次函数y 1=ax 2+bx+c 和一次函数y 2=mx+n 的图象，观察图象写出y 2≤y 1时，x 的取值范围是 ．11．已知二次函数c bx ax y ++=2(a ≠0）与一次函数y=kx +m(k ≠0）的图象相交于点A （－2，4）,B(8，2)，如图所示，能使y 1＞y 2成立的x 取值范围是_______12．若二次函数c bx ax y ++=2的图象如图1－2－8，则ac_____0（“＜”“＞”或“=”）13．直线y=x+2与抛物线y=x 2 +2x 的交点坐标为____．三、解答题14.如图2 - 62所示，某地下储藏室横截面呈抛物线形．已知跨度AB=6米，最高点C 到地面的距离CD ＝3米．(1)建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的解析式；(2)在储藏室内按如图2 - 62所示的方式摆放棱长为l米的长方体货物箱，则第二行最多能摆放多少个货物箱?15．如图2 - 63所示，抛物线y＝x2―2x－3与x轴交于A，B两点(A点在B点左侧)，直线l与抛物线交于A，C两点，其中C点的横坐标为2．(1)求A，B两点的坐标及直线AC的解析式；(2)点P是线段AC上的一个动点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点E，求线段PE长度的最大值；16．如图2 - 64所示，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点P到x轴的距离是4，抛物线与x轴相交于O，M两点，OM＝4；矩形ABCD的边BC在线段OM上，点A，D在抛物线上．(1)请写出P，M两点的坐标，并求这条抛物线的解析式；(2)设矩形ABCD的周长为l，求l的最大值；(3)连接OP，PM，则△PMO为等腰三角形．请判断在抛物线上是否还存在点Q(除点M外)，使得△OPQ也是等腰三角形(不必求出Q点的坐标)，简要说明你的理由．参考答案1．C2．B ［提示：由图象与x 轴有两个交点，则有b 2―4ac ＞0，即b 2>4ac ．抛物线对称轴为x ＝－2b a=－l ，即2a －b ＝0．当x ＝―1时，a －b+c>0．由图象可知a<0，所以5a<2a ＝b ．故选B ．]3.D4.B5.D6.．―2[提示:y ＝x 2―2x －1＝x 2―2x ＋1－2＝(x －1)2―2，故最小值为―2，或利用顶点坐标公式直接求得．]7.．y ＝－12x 2 +2x+52[提示：利用待定系数法求．] 8.．―79.．11410．x ≤―2或x ≥111.分析:有图像可知：若y 1>y 2，则图像y 1应在y 2的上方。

答案：当:x<－2或x>8时，y 1>y 212．分析：抛物线开口向下，得a<0.抛物线与y 轴正半轴相交，则c>0.故ac<0. 答案：<13．分析：由题意，得{222+=+=x y x x y 解得 {1311==x y 或 {2022-==x y 答案：(1,3)或（－2，0）14．解：(1)以AB 所在的直线为x 轴，点D 为原点，建立平面直角坐标系，如图2 - 65所示．设抛物线的解析式为y ＝ax 2+c ．将A(―3，0)，C(0，3)代入解析式，得190,,33, 3.a c a c c ⎧+==-⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=⎩解得 故所求抛物线的解析式为2133y x =-+． (2)当y=2时，213x -+3＝2，解得x ＝±3 ．因为［3―(―3)]÷l ＝23，而3<23<4，所以第二行最多能摆放3个货物箱．15．解：(1)令y＝0，即x2―2x―3＝0，解得x1＝―1，x2＝3，∴A(―l，0)，B(3，0)．将点C的横坐标x＝2代入y=x2―2x―3，得y=―3，∴C(2，―3)，∴直线AC的解析式为y＝―x－1． (2)设点P的横坐标为x(―1≤x≤2)，则P，E的坐标分别为P(x，―x－1)，E(x，x2―2x―3)．∵点P在点E的上方，∴PE＝―x―1―(x2―2x―3)=―(x―12)2+94,∴PE的最大值为94．16．解：(1)由题意知点P的坐标为(2，4)，点M的坐标为(4，0)，故可设抛物线的解析式为y＝a(x－2) 2+4．因为此抛物线经过点M(4，0)，所以0＝a(4－2)2 +4，解得a=－l，所以抛物线的解析式为y=－(x―2)2+4＝－x2+4x． (2)设A 点的坐标为A(x，y)，其中2<x<4，则AD＝BC=2x―4，AB=CD＝y．矩形的周长l=2(AB+AD)＝2(y+2x―4)=2(－x2+4x+2x―4)=―2x2+12x―8=―2(x―3) 2+10．因为2<3<4，所以当x=3时，矩形的周长l最大，最大值为10． (3)存在．理由如下：由题意可得OM＝4，OP=PM=25,∴OM≠PM，作OP的垂直平分线一定能与抛物线相交，且交点即为Q点．。