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专题复习 ----圆的切线证明教课设计积石山县吹麻滩中学秦明礼课题圆的切线切线证明复习课型复习时间 5 月 27 日礼拜一教学目标1．娴熟掌握在圆中找垂直关系的方法，并运用其进行切线的证明. 2．经过证明圆的切线，掌握证明切线问题中常用的方法和常有的基本图形．3．初步形成解决相关切线问题的解题经验，领会转变的思想．重点证明一条直线是圆的切线．难点找垂直关系．教课方法合作研究教课器具多媒体协助一、复习梳理1、切线的定义 : 直线和圆有公共点时，这条直线叫圆的切线。
2、切线的性质 : 圆的切线于过切点的半径。
3、切线的判断 : ⑴和圆只有公共点的直线是圆的切线。
⑵到圆心距离半径的直线是圆的切线。
⑶经过半径的外端而且于这条半径的直线是圆的切线。
4、证明直线与圆相切，一般有两种状况：⑴已知直线与圆有公共点，则连，证明。
⑵不知直线与圆有公共点，则作，证明垂线段的长等于。
二、课前检测 :1.如图，AC为⊙O直径，B 为AC延伸线上的一点，BD交⊙O于点D，∠BAD=∠B=30°（1）求证： BD是⊙ O的切线；（2）请问： BC与 BA有什么数目关系？写出这个关系式，并说明原因。
三、活动于研究 :1．如图，已知 CD是△ ABC中 AB边上的高，以 CD为直径的⊙ O分别交CA、CB于点 E、F，点 G是 AD的中点 . 求证： GE是⊙ O的切线 .2．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O交BC于D，DE⊥AC于 E．求证： DE是⊙ O的切线．AOEB D C3．如图，点 O在∠ APB的均分线上，⊙ O与 PA相切于点 C．(1)求证：直线 PB与⊙ O相切；(2)PO 的延伸线与⊙ O交于点 E．若⊙ O的半径为 3，PC=4．求弦CE的长．O，以 AB 为直径作⊙ O 交边于点 D ，E4．如图，RT?ABC 中，∠ABC=90是 BC 边的中点，连结 DE ．C（1）求证：直线 DE 是⊙ O 的切线；（ 2）连结 OC 交 DE 于点 F ，若 OF=CF ，求 tan ∠ACO 的值．D FEABO四、反应检测 :如图， AB 是⊙O 的直径，⊙ O 交 BC 的中点于 D ，DE ⊥AC ．求证： DE 是⊙O 的切线．CDE ABO五、小结回首：1、本节课我们学习了： 圆的切线的判断。
教学过程设计： 一、知识梳理提出问题：1.切线的判定方法有哪些？在证明切线时，我们经常用到什么样的辅助线？ ①定义法：_____________________________________；②d 与r 的关系：_________________________________________；③切线的判定定理：______________________________________________。
2.切线的性质定理是什么？运用切线的性质时，经常使用什么样的辅助线？切线的性质定理：_______________________________________________。
总结：1.切线的判定方法：①定义法：直线与圆有唯一公共点。
②d 与r 的关系：圆心到直线的距离等于该圆的半径。
引导学生复习切线判定定理的符号语言以及证明直线是圆的切线的常用辅助线方法： ①无公共点，作垂直，证半径；②有公共点，连半径，证垂直。
2.切线的性质定理:引导学生复习切线性质定理的符号语言以及运用切线性质时常用辅助线方法：遇切线，连半径，得垂直。
设计意图：通过小组交流为复习本节课知识作铺垫，体会转化和数形结合的数学思想，至此形成知识体系。
二、合作探究例1(2016元调19题和中考21题) 如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，AD 和过点C 的切线互相垂直，垂足为D ，AD 交⊙O 于点E .求证：AC 平分∠DAB .设计意图：本题是对圆的性质的综合应用。
学生独立思考，教师及时引导点拨画出辅助线，并规范解题步骤。
例2(教材原题) 如图，△ABC 为等腰三角形，O 是底边BC 的中点，腰AB 与⊙O 相切于点D .求证：AC 是⊙O 的切线.例3 如图，在△ABC 中，∠ABC =90°，以AB 的中点O 为圆心，OA 为半径的圆交AC 于点D ，E 是BC 的中点，连接DE ，OE.试判断DE 与⊙O 的位置关系.针对例3思考：若AB =6，BC =8，求AD 的长.设计意图：本题旨在体会判定方法的灵活应用，当公共点未知时，应该从数量关系角度判定（辅助线添加：无公共点，作垂直，证半径）；当公共点已知时，应该利用切线的判定定理（辅助线添加：有公共点，连半径，证垂直）。
2.5.2 圆的切线第1课时切线的判定【知识与技能】理解并掌握圆的切线判定定理,能初步运用它解决有关问题.【过程与方法】通过对圆的切线判定定理和判定方法的学习,培养学生观察、分析、归纳问题的能力.【情感态度】通过学生自己的实践发现定理,培养学生学习的主动性和积极性.【教学重点】圆的切线的判定定理.【教学难点】圆的切线的判定定理的应用.一、情境导入，初步认识同学们,一辆汽车在一条笔直平坦的道路上行驶.如果把车轮看成圆,把路看成一条直线,这个情形相当于直线和圆相切的情况.再比如,你在下雨天转动湿的雨伞,你会发现水珠沿直线飞出,如果把雨伞看成一个圆,则水珠飞出的直线也是圆的切线,那么如何判定一条直线是圆的切线呢?二、思考探究，获取新知1.切线的判定(1)提问:如图,AB是⊙O的直径,直线l经过点A，l与AB的夹角为∠α，当l绕点A旋转时，①随着∠α的变化，点O到l的距离d如何变化？直线l与⊙O的位置关系如何变化？②当∠α等于多少度时，点O到l的距离d等于半径r？此时，直线l与⊙O有怎样的位置关系？为什么？(2)探究：讨论直径与经过直径端点的直线所形成的∠α来得到切线的判定.可通过多媒体演示∠α的大小与圆心O到直线的距离的大小关系，让学生用自己的语言描述直线与⊙O相切的条件.(3)总结：教师强调一条直线是圆的切线必须同时满足下列两个条件：①经过半径外端，②垂直于这条半径，这两个条件缺一不可.2.切线的画法：教师引导学生一起画圆的切线，完成教材P67做一做.【教学说明】让每一位学生动手画圆的切线,感知一条直线是圆的切线须满足的两个条件,加深对切线判定的理解.例1教材P67例2【教学说明】该例展示了判定圆的切线的一种方法，即已知直线和圆有公共点时，要证明该直线是圆的切线，常用证明方法是：连接圆心和该点，证明直线垂直于所连的半径.例2如图，已知点O是∠APB平分线上一点，ON⊥AP于N，以ON为半径作⊙O.求证：BP是⊙O的切线.【分析】该例与上例不同,上例已知BC经过圆上一点D,所以思路是连接半径证垂直.该例BP与⊙O是否有公共点还不能确定,而要证BP是⊙O的切线,需用证明切线的另一种方法,即“作垂直，证明圆心到直线的距离并等于证半径”.证明:作OM⊥BP于M.∵OP平分∠APB,且ON⊥AP,OM⊥BP,∴OM=ON,又ON是⊙O的半径∴OM也是⊙O的半径∴BP是⊙O的切线.【教学说明】证明直线是圆的切线常有三种方法.(1)和圆只有一个公共点的直线是圆的切线;(2)圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线;(3)经过半径的外端点并且垂直于半径的直线是圆的切线.三、运用新知，深化理解1.以三角形的一边长为直径的圆切三角形的另一边，则该三角形为（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等边三角形2.菱形对角线的交点为O，以O为圆心，以O到菱形一边的距离为半径的圆与其他几边的关系为（）A.相交B.相切C.相离D.不能确定3.如图，△ABC中，已知AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC交AC于点E.求证:DE是⊙O的切线.4.如图,AO⊥BC于O,⊙O与AB相切于点D,交BC于E、F,且BE=CF,试说明⊙O与AC也相切.【教学说明】教师当堂引导学生完成练习,帮助学生掌握切线的判定方法,特别是把握不同条件时用不同的思路证明的理解与掌握.【答案】1.B 2.B3.证明:连接OD,则OD=OB,∴∠B=∠BDO.∵AB=AC,∴∠B=∠C,∴∠BDO=∠C,∴OD∥AC,∴∠ODE=∠DEC.∵DE ⊥AC,∴∠DEC=90°,∴ODE=90°,即DE⊥OD,∴DE是⊙O的切线.4.解:过点O作OG⊥AC,垂足为G,连接OD.∵BE=CF,OE=OF,∴BO=CO.又∵OA⊥BC,∴AO平分∠BAC.∵⊙O与AB切于点D,∴OD⊥AB,∴OG=OD.∴G在⊙O上,∴⊙O与AC也相切.四、师生互动，课堂小结1.该堂课你学到了什么,还有哪些疑惑?2.学生回答的基础上教师强调:本堂课主要学习了切线的判定定理及切线的画法,通过例题讲述了证明圆的切线的不同证明方法.1.教材P75第2~3题.2.完成同步练习册中本课时的练习.本节课先探究了圆的切线的判定定理,接着讲述了切线的画法.通过画切线使学生进一步体会到直线是圆的切线须满足的两个条件,然后通过例题讲解了切线的证明方法,通过“理论⇒感性⇒理论”的认知，体验掌握知识的方法和乐趣.二次函数的图象和性质一、知识点二、标准例题：例1：已知二次函数22(3)1y x =-+，下列说法正确的是（） A ．开口向上，顶点坐标(3,1) B ．开口向下，顶点坐标(3,1) C ．开口向上，顶点坐标(3,1)- D ．开口向下，顶点坐标(3,1)-【答案】A【解析】解：∵22(3)1y x =-+，其中a =2＞0， ∴抛物线的开口向上，顶点坐标（3,1）. 故选A.总结：抛物线2()y a x h k =-+的开口方向由a 的正负确定，a ＞0时开口向上，a ＜0时开口向下，顶点坐标是（h ，k ），据此判断即可.例2：已知1(3,)y -，2(2,)y 与3(3,)y 为二次函数245y x x =--+图象上的三点，则123,,y y y 的大小关系是（）A ．123y y y <<B ．321y y y <<C ．312y y y <<D ．213y y y <<【答案】B【解析】解法1：将1(3,)y -，2(2,)y 与3(3,)y 代入245y x x =--+，得1238,7,16y y y ==-=-，∴321y y y <<；解法2：抛物线的对称轴为422(1)x -=-=-⨯-，在1(3,)y -，2(2,)y 与3(3,)y 三点中，1(3,)y -离对称轴最近，次之为2(2,)y ，最远的是3(3,)y ，又因为抛物线开口向下，所以321y y y <<. 故选B.总结：本题考查了二次函数的图象和性质，此类题的解题思路是先确定抛物线开口方向，再确定抛物线的对称轴，最后结合抛物线的增减性进行判断.例3：课堂上，老师给出一道题：如图，将抛物线C ：y ＝x 2﹣6x+5在x 轴下方的图象沿x 轴翻折，翻折后得到的图象与抛物线C 在x 轴上方的图象记为G ，已知直线l ：y ＝x+m 与图象G 有两个公共点，求m 的取值范围甲同学的结果是﹣5＜m ＜﹣1，乙同学的结果是m ＞54．下列说法正确的是（ ）A ．甲的结果正确B ．乙的结果正确C ．甲、乙的结果合在一起才正确D ．甲、乙的结果合在一起也不正确 【答案】D【解析】解：令y ＝x 2﹣6x+5＝0，解得（1，0），（5，0） 将点（1，0），（5，0）分别代入直线y ＝x+m ，得m ＝﹣1，﹣5； ∴﹣5＜m ＜﹣1由题可知，图象G 中的顶点为（3，4）代入直线y＝x+m，得m＝1，∴m＞1综上所述，m＞1或﹣5＜m＜﹣1故选：D．总结：本题主要考查抛物线与直线的交点问题，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键.例4：如图，抛物线y=﹣12x2﹣x+4与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C．（1）求点A，点B的坐标；（2）P为第二象限抛物线上的一个动点，求△ACP面积的最大值．【答案】(1) A（﹣4，0），B（2，0）；(2)△ACP最大面积是4.【解析】(1)解：设y=0，则0=﹣12x2﹣x+4∴x1=﹣4，x2=2∴A（﹣4，0），B（2，0）(2)作PD⊥AO交AC于D设AC解析式y=kx+b∴404bk b=⎧⎨=-+⎩解得：14 kb=⎧⎨=⎩∴AC解析式为y=x+4.设P （t ，﹣12t 2﹣t +4）则D （t ，t +4） ∴PD =（﹣12t 2﹣t +4）﹣（t +4）=﹣12t 2﹣2t =﹣12（t +2）2+2∴S △ACP =12PD ×4=﹣（t +2）2+4 ∴当t =﹣2时，△ACP 最大面积4.总结：本题是二次函数的综合题，重在基础知识的考查，其中第（2）题是一个常见的二次函数模型，解决此类题的思路（以本题为例）是作PD ⊥AO 交AC 于D ，△ACP 的面积可以表示成12PD×OA ，其中OA 是定值，P 、D 两点有相同的横坐标，所以PD 的长可用它们的横坐标的关系式来表示，这样△ACP 的面积就表示成了P 点横坐标的二次函数，再用二次函数求最值的方法求解即可. 三、练习1. 将二次函数y =2x 2+8x ﹣7化为y =a （x +m ）2+n 的形式，正确的是（ ） A ．y =2（x +4）2﹣7 B ．y =2（x +2）2﹣7 C ．y =2（x +2）2﹣11 D ．y =2（x +2）2﹣15【答案】D【解析】2287y x x =+- =22(4)7x x +- =22(444)7x x ++-- =22(2)15x +-. 故选D.2.已知二次函数y =﹣（x ﹣h ）2（h 为常数），当自变量x 的值满足2≤x ≤5时，与其对应的函数值y 的最大值为﹣1，则h 的值为（ ） A ．1或6 B ．3或6C ．1或3D ．4或6【答案】A【解析】解：对于二次函数y =﹣（x ﹣h ）2（h 为常数），其开口向下，顶点为（h ，0），函数的最大值为0，因为当x 满足2≤x ≤5时，与其对应的函数值y 的最大值为﹣1，故h 不能取2—5（含2与5）之间的数，故h ＜2或h ＞5.当h ＜2，2≤x ≤5时，因为抛物线开口向下，所以y 随x 的增大而减小，所以当x =2时，y 有最大值，此时2(2)1h --=-，解得121,3h h ==（舍去）；当h ＞5，2≤x ≤5时，因为抛物线开口向下，所以y 随x 的增大而增大，所以当x =5时，y 有最大值，此时2(5)1h --=-，解得126,4h h ==（舍去）；综上可知：h = 1或6. 故选A.3．将抛物线y =3x 2+1向左平移1个单位，再向下平移3个单位，则所得抛物线为（ ） A ．y =3（x +1）2﹣2 B ．y =3（x +1）2+2 C ．y =3（x ﹣3）2+1 D ．y =3（x ﹣3）2﹣1【答案】A【解析】解：抛物线y =3x 2+1向左平移1个单位，可得y =3（x +1）2+1，再向下平移3个单位得到y =3（x +1）2+1－3，即y =3（x +1）2－2. 故选A. 4．抛物线y =﹣13x 2+3x ﹣2与y =ax 2的形状相同，而开口方向相反，则a =（ ） A ．﹣13B ．3C ．﹣3D ．13【答案】D【解析】解：∵抛物线y =﹣13x 2+3x ﹣2与y =ax 2的形状相同， ∴13a =-. ∵开口方向相反，∴两个函数的二次项系数互为相反数，即13a =. 故选D.5．顶点为(0,5)-，且开口方向、形状与函数2yx 的图象相同的抛物线是（）．A ．2(5)y x =+B ．25y x =-C ．2(5)y x =-D ．25y x =+【答案】B 【解析】解：∵顶点是(0,5)-， ∴可设顶点式2(0)5y a x =--， 又∵形状与2y x 的图象相同，∴1a =，∴22(0)55y x x =--=-． 故选B ．6．如图抛物线2y ax bx c =++交x 轴于()2,0A -和点B ，交y 轴负半轴于点C ，且OB OC =.有下列结论：①22b c -=；②12a =；③0a bc+>.其中，正确结论的个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】解：根据图象可知a ＞0，c ＜0，b ＞0， ∴a b0c+<, 故③错误； ∵OB OC =. ∴B （-c ，0）∴抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴交于A （-2，0）和B （-c ，0）两点， ∴2cc a=， ac 2-bc+c=0 ∴12a=，ac-b+1=0，∴12a =，故②正确； ∴12a =，b=ac+1 ∴1bc 12=+, ∴2b-c=2，故①正确；故选：C ．7．抛物线2y ax bx c =++（0a ≠）的部分图象如图所示，与x 轴的一个交点坐标为(4,0)，抛物线的对称轴是1x =，下列结论是：①0abc >；②20a b +=；③方程22ax bx c ++=有两个不相等的实数根；④420a b c -+=；⑤若点(,)A m n 在该抛物线上，则2am bm c a b c ++≤++，其中正确的个数有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D 【解析】如图，∵与x 轴的一个交点坐标为(4,0)，抛物线的对称轴是1x =，实验求出二次函数与x 轴的另一个交点为（-2,0）故可补全图像如下，由图可知a ＜0，c ＞0，对称轴x=1,故b ＞0，∴0abc >，①错误，②对称轴x=1,故x=-12b a-=,∴20a b +=，正确； ③如图，作y=2图像，与函数有两个交点，∴方程22ax bx c ++=有两个不相等的实数根，正确；④∵x=-2时，y=0,即420a b c -+=，正确；⑤∵抛物线的对称轴为x=1,故点(,)A m n 在该抛物线上，则2am bm c a b c ++≤++，正确；故选D8．如图，二次函数223y x x =--的图象与x 轴交于,A B 两点，与y 轴交于点C ，则下列说法错误的是（）A ．4AB =B ．45OCB ∠=C ．当3x >时，0y >D ．当0x >时，y 随x 的增大而减小【答案】D 【解析】令y=0，得x1=-1,x2=3,∴A （-1,0），B （3,0）∴AB=4，A 正确；令x=0，得y=-3，∴C （0，-3）∴OC=BO, 45OCB ∠=,B 正确；由图像可知当3x >时，0y >，故C 正确，故选D.9．如图，在平面直角坐标系中2条直线为12:33,:39l y x l y x =-+=-+,直线1l 交x 轴于点A ,交y 轴于点B ,直线2l 交x 轴于点D ,过点B 作x 轴的平行线交2l 于点C ,点A E 、关于y 轴对称,抛物线2y ax bx c =++过E B C 、、三点，下列判断中:①0a b c -+=;②25a b c ++=;③抛物线关于直线1x =对称;④抛物线过点(),b c ;⑤四边形5ABCD S =四边形,其中正确的个数有（）A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】C 【解析】解：由题意得，A （1,0），B （0,3），D （3,0），C （2,3）E （-1,0）又∵抛物线2y ax bx c =++过E B C 、、三点将三点坐标代入，得30423c a b c a b c =⎧⎪-+=⎨⎪++=⎩∴①结论正确；解得1,2,3a b c =-==∴抛物线解析式为2y x 2x 3=-++∴235a b c ++=≠，②结论错误； 抛物线的对称轴为12b x a=-=，③结论正确； 点(),b c 即为（2,3），抛物线过此点，④结论正确；=236ABCD S AD OB =⨯=，⑤结论错误.故正确的个数是3，选C.10．如图为二次函数y =ax 2+bx +c 的图象，给出下列说法：①ab ＜0；②方程ax 2+bx +c =0的根为x 1=-1，x 2=3；③a +b +c ＞0；④当x ＜1时，y 随x 值的增大而增大；⑤当y ＞0时，x ＜-1或x ＞3．其中，正确的说法有（ ）A ．①②④B ．①②⑤C ．①③⑤D ．②④⑤【答案】B【解析】解：根据图象可知：①对称轴12ba -=＞0，故ab ＜0，正确；②方程ax 2+bx+c=0的根为x 1=-1，x 2=3，正确；③x=1时，y=a+b+c ＜0，错误；④当x ＜1时，y 随x 值的增大而减小，错误；⑤当y ＞0时，x ＜-1或x ＞3，正确．正确的有①②⑤．故选：B ．11．某抛物线的顶点坐标为（1，-2），且经过（2，1），则抛物线的解析式为（ ）A ．y =3x 2-6x -5B ．y =3x 2-6x +1C ．y =3x 2+6x +1D ．y =3x 2+6x +5【答案】B【解析】解: ∵抛物线的顶点坐标为（1，-2），且经过（2，1），∴设抛物线的解析式为y =a （x -1）2-2，把（2，1）代入得：1=a （2-1）2-2，解得：a =3，∴y =3（x -1）2-2=3x 2-6x +1，故选：B12．已知二次函数的图象经过点（-1，-5），（0，-4）和（1，1），则这二次函数的表达式为（）A ．y =-6x 2+3x +4B ．y =-2x 2+3x -4C ．y =x 2+2x -4D ．y =2x 2+3x -4【答案】D【解析】解：设所求函数的解析式为y =ax 2+bx +c ，把（-1，-5），（0，-4），（1，1）分别代入，得：541a b c c a b c -+-⎧⎪-⎨⎪++⎩＝＝＝解得234a b c ⎧⎪⎨⎪-⎩＝＝＝所求的函数的解析式为y =2x 2+3x -4．故选：D13．二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图象如图所示，对称轴为1x =，给出下列结论：①0abc >；②当2x >时，0y >；③30a c +>；④30a b +>，其中正确的结论有__________．【答案】①③④【解析】解：∵二次函数的图象开口向上，∴a ＞0，∵二次函数的图象与y 轴的交点在y 轴的负半轴上，∴c ＜0，∵二次函数图象的对称轴是直线x =1， ∴12b a-=，∴2a+b=0，b ＜0. ∴0abc >；故①正确；由二次函数的图象可知，抛物线与x 轴的右交点的横坐标应大于2小于3，∴当x ＞2时，y 有小于0的情况，故②错误；∵当x =－1时，y ＞0，∴a b c -+＞0，把2b a =-代入得：30a c +>，故③正确；前面已得2a+b=0，又∵a ＞0，∴30a b +>，故④正确；故答案为：①③④.14.抛物线2y ax bx c =++与x 轴的公共点是()()4,0,6,0-，则这条抛物线的对称轴是__________．【答案】1x =【解析】解：根据抛物线的对称性可得：()()4,0,6,0-的中心坐标为（1，0）因此可得抛物线的对称轴为1x =故答案为1x=15．如图，抛物线y=ax2+bx+6与x轴交于点A（6，0），B（﹣1，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M为该抛物线对称轴上一点，当CM+BM最小时，求点M的坐标.（3）抛物线上是否存在点P，使△ACP为直角三角形？若存在，有几个？写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）y=﹣x2+5x+6；（2）点M（5722，）；（3）点P的坐标为（﹣2，﹣8）或（4，10）或（2+2222﹣24﹣2【解析】（1）当x=0时，y=ax2+bx+6=6，则C（0，6），设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x﹣6），把C（0，6）代入得a•1•（﹣6）=6，解得a=﹣1，∴抛物线的解析式为y=﹣（x+1）（x﹣6），即y=﹣x2+5x+6；（2）∵抛物线的对称轴是直线x=16522-+=，直线AC的解析式为y=-x+6，点B关于对称轴直线x=52的对称点为点A，∴连接AC，交直线x=52于点M，此时点M满足CM+BM最小，当x=52时，y=72，∴点M（57,22）（3）设P点坐标为（x，﹣x2+5x+6），存在4个点P，使△ACP为直角三角形．PC2=x2+（﹣x2+5x）2，P A2=（x﹣6）2+（﹣x2+5x+6）2，AC2=62+62=72，当∠P AC=90°，∵P A2+AC2=PC2，∴（x﹣6）2+（﹣x2+5x+6）2+72=x2+（﹣x2+5x）2，整理得x 2﹣4x ﹣12=0，解得x 1=6（舍去），x 2=﹣2，此时P 点坐标为（﹣2，﹣8）；当∠PCA =90°，∵PC 2+AC 2=P A 2，72+x 2+（﹣x 2+5x ）2=（x ﹣6）2+（﹣x 2+5x +6）2，整理得x 2﹣4x =0，解得x 1=0（舍去），x 2=4，此时P 点坐标为（4，10）；当∠APC =90°，∵P A 2+AC 2=PC 2，∴（x ﹣6）2+（﹣x 2+5x +6）2+x 2+（﹣x 2+5x ）2=72，整理得x 3﹣10x 2+20x +24=0，x 3﹣10x 2+24x ﹣4x +24=0，x （x 2﹣10x +24）﹣4（x ﹣6）=0，x （x ﹣4）（x ﹣6）﹣4（x ﹣6）=0，（x ﹣6）（x 2﹣4x ﹣4）=0，而x ﹣6≠0，所以x 2﹣4x ﹣4=0，解得x 1=2+22，x 2=2﹣22，此时P 点坐标为（2+22，4+22）或（2﹣22，4﹣22）；综上所述，符合条件的点P 的坐标为（﹣2，﹣8）或（4，10）或（2+22，4+22）或（2﹣22，4﹣22）．16．已知抛物线2(2)2y x a x a =+--（0a >，且为常数）．（1）求证：抛物线与x 轴有两个公共点．（2）若抛物线与x 轴的一个交点为(1,0)A -，另一个交点为B ，与y 轴交点为C ，直接写出直线BC 与抛物线对称轴的交点P 的坐标．【答案】(1)证明见解析（2）13,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】解：（1）1a =，(2)b a =-，2c a =-，22(2)4(2)448a a a a a ∆=---=-++，244a a =++2(2)0a =+≥，又∵0a >且a 为常数，∴2(2)0a +>，∴>0∆，∴抛物线与x 轴有两个公共点．（2）∵与x 轴的一个交点为(1,0)A -，∴把(1,0)A -代入y 中有01(2)2a a =---，33a -=-，1a =．∴2y x x 2=--，∴(2)(1)y x x =-+，∴另一个交点是(2,0)B ，与y 轴交点(0,2)C -，∴设直线BC 为：y kx b =+，代入B ，C 后，20122k b k b b +==+⎧⎧⇒⎨⎨=-=-⎩⎩， ∴2y x =-，又∵抛物线的对称轴是12x =， ∴13222y =-=-， ∴点13,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭．17．已知二次函数268y x x =-+．（1）用配方法将268y x x =-+化成2()y a x h k =-+的形式．（2）当04x ≤≤时，y 的最小值是__________，最大值是__________．（3）当0y <时，直线写出x 的取值范围．【答案】（1）y=2(3)1x --；（2）最小值是1-，最大值是8；（3）24x <<【解析】（1）268y x x =-+2691x x =-+-2(3)1x =--．（2）函数2(3)1y x =--的图象开口向上，对称轴为3x =，顶点坐标为(3,1)-，当0x =时，2(03)18y =--=，当4x =时，2(43)10y =--=，∴当04x ≤≤时，y 的最小值是1-，最大值是8．（3）∵y=0时, 268x x -+=0，解得x=2或4，∴当y<0时，x 的取值范围是2<x<4.．18．如图，已知二次函数2y ax bx c =++的图象顶点在x 轴上，且1OA =，与一次函数1y x =--的图象交于y 轴上一点B 和另一交点C .()1求抛物线的解析式；()2点D 为线段BC 上一点，过点D 作DE x ⊥轴，垂足为E ，交抛物线于点F ，请求出线段DF 的最大值.【答案】(1) 2221y x x =-+-；（2）线段DF 的最大值为94. 【解析】解：()11OA =，二次函数与一次函数11y x =--的图象交于y 轴上一点B ， ∴点A 为()1,0，点B 为()0,1-.二次函数的图象顶点在x 轴上.∴设二次函数解析式为()221y a x =-.把点()0,1B -代入得，()210a x -=- 1a ∴=-.∴抛物线的解析式为()221y x =--，即2221y x x =-+-. ()2设点F 坐标为()2,21m m m -+-，点D 坐标为(),1m m --.()22239211324DF m m m m m m ⎛⎫∴=-+----=-+=--+ ⎪⎝⎭. 当21y y =时，即2211x x x -+-=--，解得120,3x x ==. 点D 为线段BC 上一点,∴03m <<.∴当32m =时，线段DF 的最大值为94. 19．如图，在平面直角坐标系中，抛物线216y x bx c =++经过原点O ，与x 轴交于点A(5，0)，第一象限的点C(m ，4)在抛物线上，y 轴上有一点B(0，10).(I).求抛物线的解析式及它的对称轴；(Ⅱ)点()0,n P 在线段OB 上，点Q 在线段BC 上，若2OP BQ =，且PA QA =,求n 的值； (Ⅲ)在抛物线的对称轴上，是否存在点M ，使以A ，B ，M 为顶点的三角形是等腰三形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】(Ⅰ)21566y x x =-；对称轴为直线52x =；(Ⅱ)203n =；(Ⅲ)点M 的坐标为5519(,)22，5519(,)22-，520519(,)22+，520519(,)22-． 【解析】（Ⅰ）∵抛物线经过原点O ，∴抛物线解析式为216y x bx =+． ∵抛物线与x 轴交于点(5，0)，∴25056b =+，解得56b =-． ∴抛物线解析式为21566y x x =-． 55612226b x a -=-==⨯， ∴抛物线的对称轴为直线52x =． （Ⅱ）∵点C 在抛物线21566y x x =-上， ∴215466m m =-，解得13m =-(舍)，28m =． ∴点C 坐标为(8，4)．过C 作CE x ⊥轴，垂足为E ，连接AB ．在Rt AEC ∆中，222223425AC CE AE =+=+=．同理，可求得2100BC =，2125AB =．∴222AC BC AB +=．∴90BCA ∠=．在Rt AOP ∆和Rt ACQ ∆中，OA AC =，PA QA =，∴Rt AOP Rt ACQ ∆∆≌．∴OP CQ =．∵2OP BQ =， ∴12BQ n =，1102CQ n =-． ∴1102n n =-， 解得203n =．（Ⅲ）∵抛物线的对称轴为52x =， ∴设点M 的坐标为52t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，． ①当AB=AM ，BAM ∠为顶角时，2222551052t ⎛⎫+=-+ ⎪⎝⎭，解得519t =． ②当BM BA =，MBA ∠为顶角时，()22225510102t ⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭，解得20519t ±=． ③当MA MB =，BMA ∠为顶角时，()22225551022t t ⎛⎫⎛⎫-+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得5t =． 此时点552⎛⎫ ⎪⎝⎭，为AB 的中点，与点A ，B 不构成三角形． 综上可得，点M 的坐标为55192⎛ ⎝⎭，5519,2⎛ ⎝⎭，5205192⎛+ ⎝⎭，5205192⎛- ⎝⎭．二次函数[二次函数]是学生学习了正比例函数、一次函数和反比例函数以后，进一步学习函数知识,是函数知识螺旋开展的一个重要环节。
圆的专题复习—切线的证明学案（二）一、温习梳理1、切线的定义:直线和圆有公共点时，这条直线叫圆的切线。
2、切线的性质:圆的切线于过切点的半径。
3、切线的判定:⑴和圆只有公共点的直线是圆的切线。
⑵到圆心距离半径的直线是圆的切线。
⑶经过半径的外端并且于这条半径的直线是圆的切线。
4、证明直线与圆相切，一般有两种情况：⑴已知直线与圆有公共点，则连，证明。
⑵不知直线与圆有公共点，则作，证明垂线段的长等于。
二、课前检测如图，AC为⊙O直径，B为AC延长线上的一点，BD交⊙O于点D，∠BAD=∠B=30°（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）请问：BC与BA有什么数量关系？写出这个关系式，并说明理由。
三、活动与探究1 活动与探究1：如图，已知CD是△ABC中AB边上的高，以CD为直径的⊙O分别交CA、CB于点E、F，点G是AD的中点.求证：GE 是⊙O的切线.活动与探究2：已知：如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径作⊙O 交BC 于D ，DE ⊥AC 于E ．求证：DE 是⊙O 的切线．活动与探究3：如图，点O 在∠APB 的平分线上，⊙O 与PA 相切于点C ．(1) 求证：直线PB 与⊙O 相切；(2) PO 的延长线与⊙O 交于点E ．若⊙O 的半径为3，PC=4．求弦CE 的长．活动与探究4：如图，RT ∆ABC 中，∠ABC=90O ，以 AB 为直径作⊙O 交边于点D ，E 是BC 边的中点，连接DE ． （1）求证：直线DE 是⊙O 的切线；（2）连接OC 交DE 于点F ，若OF=CF ，求tan ∠ACO 的值．四、反馈检测如图，AB 是⊙O 的直径，⊙O 交BC 的中点于D ，DE ⊥AC ． 求证：DE 是⊙O 的切线．OAE BCDDCBE AOCEBAOFD。
