2018年高考数学总复习考前三个月(全国通用) 压轴小题突破练 5与向量有关的压轴小题 理数 含答案

5.坐标系与参数方程1.(2017·江苏)在平面直角坐标系中xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－8＋t ，y ＝t2(t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2s 2，y ＝22s(s 为参数).设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值.解 直线l 的普通方程为x －2y ＋8＝0， 因为点P 在曲线C 上，设P (2s 2，22s )，从而点P 到直线的距离d ＝|2s 2－42s ＋8|5＝|2(s －2)2＋4|5，当s ＝2时，d min ＝455. 因此当点P 的坐标为(4，4)时，曲线C 上的点P 到直线l 的距离取到最小值455.2.在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数)，在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，圆C 的方程为ρ＝6sin θ.(1)求圆C 的直角坐标方程；(2)设圆C 与直线l 交于点A ，B .若点P 的坐标为(1，2)，求||P A ＋||PB 的最小值. 解 (1)由ρ＝6sin θ，得ρ2＝6ρsin θ， 化为直角坐标方程为x 2＋y 2＝6y ， 即x 2＋(y －3)2＝9.(2)将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得t 2＋2(cos α－sin α)t －7＝0， 由Δ＝(2cos α－2sin α)2＋4×7>0， 故可设t 1，t 2是上述方程的两根，所以⎩⎨⎧t 1＋t 2＝－2()cos α－sin α，t 1·t 2＝－7，又直线l 过点()1，2， 故结合t 的几何意义得||P A ＋||PB ＝||t 1||＋t 2||＝t 1－t 2＝()t 1＋t 22－4t 1t 2＝4()cos α－sin α2＋28＝32－4sin 2α≥32－4＝27， 所以||P A ＋||PB 的最小值为27.3.在直角坐标系xOy 中，已知点P ()0，3，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数).以原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρ＝32cos ⎝⎛⎭⎫θ－π6.(1)判断点P 与直线l 的位置关系并说明理由； (2)设直线l 与曲线C 的两个交点分别为A ， B ，求1||P A ＋1||PB 的值. 解 (1)点P 在直线上，理由如下： 直线l ：ρ＝32cos ⎝⎛⎭⎫θ－π6，即2ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π6＝3， 即3ρcos θ＋ρsin θ＝3，所以直线的直角坐标方程为3x ＋y ＝3，易知点P 在直线上.(2)由题意，可得直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－12t ，y ＝3＋32t ，(t 为参数)，曲线C 的普通方程为x 22＋y 24＝1，将直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程， 得2⎝⎛⎭⎫－12t 2＋⎝⎛⎭⎫3＋32t 2＝4， ∴5t 2＋12t －4＝0，两根为t 1， t 2， ∴t 1＋t 2＝－125，t 1t 2＝－45＜0，故t 1与t 2异号， ∴||P A ＋||PB ＝||t 1－t 2＝()t 1＋t 22－4t 1t 2＝4145， ∴||P A ||PB ＝|t 1||t 2|＝－t 1t 2＝45，∴1||P A ＋1||PB ＝||P A ＋||PB ||P A ||PB ＝14. 4.在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数).以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝4sin θ. (1)求曲线C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(2)已知曲线C 3的极坐标方程为θ＝α(0＜α＜π，ρ∈R )，点A 是曲线C 3与C 1的交点，点B 是曲线C 3与C 2的交点，且A ， B 均异于原点O ，且||AB ＝42，求α的值.解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos φ，y ＝2sin φ消去参数φ可得C 1的普通方程为(x －2)2＋y 2＝4.∵ρ＝4sin θ， ∴ρ2＝4ρsin θ，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， 得曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4. (2)由(1)得曲线C 1：(x －2)2＋y 2＝4， 其极坐标方程为ρ＝4cos θ， 由题意设A (ρ1，α)， B (ρ2，α)， 则||AB ＝||ρ1－ρ2＝4||sin α－cos α＝42⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝42， ∴ sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝±1， ∴ α－π4＝π2＋k π(k ∈Z )，又 0＜α＜π， ∴ α＝3π4.5.已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，C 2：⎩⎨⎧x ＝－32t ，y ＝233＋t 2(t 为参数).(1)曲线C 1，C 2的交点为A ，B ，求||AB ；(2)以原点O 为极点， x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，过极点的直线l 1与曲线C 1交于O ， C 两点，与直线ρsin θ＝2交于点D ，求||OC ||OD 的最大值. 解 (1)方法一 曲线C 1：(x －1)2＋y 2＝1， 将C 2的参数方程代入，得⎝⎛⎭⎫－32t －12＋⎝⎛⎭⎫233＋t 22＝1，化简得，t 2＋533t ＋43＝0，所以||AB ＝||t 1－t 2＝()t 1＋t 22－4t 1t 2＝3.方法二 曲线C 2的直角坐标方程为y ＝－33x ＋233， 过点()2，0， C 1过点()2，0，不妨令A ()2，0， 则∠OBA ＝90°， ∠OAB ＝30°， 所以||AB ＝2×32＝ 3. (2)C 1的极坐标方程为ρ＝2cos θ， 令l 1的极角为α，则||OD ＝ρ1＝2sin α，||OC ＝ρ2＝2cos α，||OC ||OD ＝sin αcos α＝12sin 2α≤12，当α＝π4时取得最大值12.6.(2017·四川大联盟三诊)已知α∈[)0，π，在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)；在以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 2的极坐标方程是ρcos ()θ－α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6. (1)求证：l 1⊥l 2；(2)设点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π3， P 为直线l 1， l 2的交点，求||OP ·||AP 的最大值. (1)证明 易知直线l 1的普通方程为x sin α－y cos α＝0. 又ρcos ()θ－α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6可变形为 ρcos θcos α＋ρsin θsin α ＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6，即直线l 2的直角坐标方程为 x cos α＋y sin α－2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝0. 因为sin α·cos α＋()－cos αsin α＝0， 根据两直线垂直的条件可知， l 1⊥l 2. (2)解 当ρ＝2， θ＝π3时，ρcos ()θ－α＝2cos ⎝⎛⎭⎫π3－α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6， 所以点A ⎝⎛⎭⎫2，π3在直线ρcos ()θ－α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6上. 设点P 到直线OA 的距离为d ，由l 1⊥l 2可知， d 的最大值为||OA 2＝1.于是||OP ·||AP ＝d ·||OA ＝2d ≤2， 所以||OP ·||AP 的最大值为2.。

解答题滚动练51.(2017 •北京)如图，在四棱锥尸一』成中，底面』助为正方形，平面0/a平面/砌，点所在线段用上，仞〃平面切G PA=PD=y[6, AB=4.(1)求证：M为PB的中点；(2)求二面角B-PD-A的大小；(3)求直线欢与平面时所成角的正弦值.⑴证明设化BD交于.E,连接必如图.因为愆〃平面切G 平面切CTI平面破=班，所以PD//ME.因为四边形敬力是正方形，所以E为BD的中点，所以M为PB的中点.⑵解取欢的中点。

，连接弟OE.因为PA=PD,所以那_L也，又因为平面平面ABCD,且游u平面PAD,所以必＞_L平面ABCD.因为两u平面ABCD,所以OPLOE.因为四边形物⑦是正方形，所以OELAD.如图，建立空间直角坐标系赤*,则尸(0, 0,展)，力(2, 0, 0),以一2, 4, 0),航(4, -4, 0),社(2, 0, 一俎). 设平面战£?的法向量n= (x, y, z),n ■BD=g, 则＜_0 •应=0, J4x —4y=0, 〔2x —吏 z=0.(3)解 令x=l,则尸1, z=吏.于是n= (1, 1,吏). 平面的法向量为p=(0, 1, 0),n • p 1所以cos 5, p)=扁¥=云由题意知二面角B — PD — A 为锐角，JI所以它的大小为 O设直线必与平面夕班所成的角为a,则sm a = |cos 5,丽 | 笑，\n\\MC\所以直线照与平面妍所成角的正弦值为绊.2. (2017 •安徽太和中学模拟)新一届班委会的7名成员有0, B,。

三人是上一届的成员，现 对7名成员进行如下分工.(1) 若正、副班长两职只能由4 B,。

三人中选两人担任，则有多少种分工方案？(2) 若4 B,「三人不能再担任上一届各自的职务，则有多少种分工方案？解 ⑴先确定正、副班长，有A ；种选法，其余全排列有A?种，共有A 锵= 720(种)分工方案.(2)方法一设B,。

1.导 数1.(2017·安徽“皖南八校”联考)已知函数f (x )＝e x －ax 2－2ax －1. (1)当a ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(－1，f (－1))处的切线方程； (2)当x ＞0时，f (x )＞0恒成立，求实数a 的取值范围. 解 (1)当a ＝1时，f (x )＝e x －x 2－2x －1，f (－1)＝1e ，所以切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，1e ，f ′(x )＝e x－2x －2，所以f ′(－1)＝1e，故曲线y ＝f (x )在点(－1，f (－1))处的切线方程为y －1e ＝1e []x －(－1)，即y ＝1e x ＋2e .(2)f (x )＝e x－ax 2－2ax －1求导得f ′(x )＝e x－2ax －2a ， 令g (x )＝f ′(x )＝e x－2ax －2a ，则g ′(x )＝e x－2a (x ＞0). ①当2a ≤1，即a ≤12时，g ′(x )＝e x－2a ＞1－2a ≥0，所以g (x )＝f ′(x )＝e x －2ax －2a 在(0，＋∞)上为增函数，g (x )＞g (0)＝1－2a ≥0，即g (x )＝f ′(x )≥0，所以f (x )＝e x－ax 2－2ax －1在(0，＋∞)上为增函数， 所以f (x )＞f (0)＝1－0－0－1＝0，故a ≤12时符合题意.②当2a ＞1，即a ＞12时，令g ′(x )＝e x－2a ＝0，得x ＝ln 2a ＞0，当x ∈(0，ln 2a )时，g (x )＜g (0)＝1－2a ＜0，即f ′(x )＜0，所以f (x )在(0，ln 2a )上为减函数，所以f (x )＜f (0)＝0，与条件矛盾，故舍去. 综上，a 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12. 2.(2017·广东惠州调研)已知函数f (x )＝x 2－(a －2)x －a ln x (a ∈R ). (1)求函数y ＝f (x )的单调区间；(2)当a ＝1时，证明：对任意的x ＞0，f (x )＋e x＞x 2＋x ＋2.(1)解 函数f (x )的定义域是(0，＋∞)，f ′(x )＝2x －(a －2)－a x ＝2x 2－(a －2)x －a x ＝(x ＋1)(2x －a )x.当a ≤0时，f ′(x )＞0对任意x ∈(0，＋∞)恒成立， 所以函数f (x )在区间(0，＋∞)上单调递增. 当a ＞0时，由f ′(x )＞0，得x ＞a2，由f ′(x )＜0，得0＜x ＜a2，所以函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，＋∞上单调递增，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a2上单调递减. (2)证明 当a ＝1时，f (x )＝x 2＋x －ln x ，要证明f (x )＋e x ＞x 2＋x ＋2， 只需证明e x－ln x －2＞0，设g (x )＝e x－ln x －2， 则问题转化为证明对任意的x ＞0，g (x )＞0， 令g ′(x )＝e x －1x ＝0，得e x＝1x，容易知道该方程有唯一解，不妨设为x 0，则x 0满足0e x ＝1x 0，当x 变化时，g ′(x )和g (x )的变化情况如下表：g (x )min ＝g (x 0)＝0x e －ln x 0－2＝1x 0＋x 0－2，因为x 0＞0，且x 0≠1，所以g (x )min ＞21－2＝0，因此不等式得证. 3.(2017·荆、荆、襄、宜四地七校联考)已知函数f (x )＝ln x －x . (1)求函数f (x )的单调区间；(2)若方程f (x )＝m (m ＜－2)有两个相异实根x 1，x 2，且x 1<x 2，证明：x 1·x 22＜2. (1)解 f (x )＝ln x －x 的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝1x －1＝1－xx＝0⇒x ＝1，当x ∈(0，1)时，f ′(x )＞0，所以y ＝f (x )在(0，1)上单调递增， 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＜0，所以y ＝f (x )在(1，＋∞)上单调递减. (2)证明 由(1)可知，f (x )＝m 的两个相异实根x 1，x 2满足ln x －x －m ＝0， 且0＜x 1＜1，x 2＞1，ln x 1－x 1－m ＝ln x 2－x 2－m ＝0，由题意可知ln x 2－x 2＝m ＜－2＜ln 2－2，又由(1)可知f (x )＝ln x －x 在(1，＋∞)上单调递减， 故x 2＞2，所以0＜x 1＜1，0＜2x 22＜1.令g (x )＝ln x －x －m ，则g (x 1)－g ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 22＝(ln x 1－x 1)－⎝⎛⎭⎪⎫ln 2x 22－2x22＝(ln x 2－x 2)－(ln 2x 22－2x 22)＝－x 2＋2x 22＋3ln x 2－ln 2，令h (t )＝－t ＋2t2＋3ln t －ln 2(t ＞2)，则h ′(t )＝－1－4t 3＋3t ＝－t 3＋3t 2－4t 3＝－(t －2)2(t ＋1)t3. 当t ＞2时，h ′(t )＜0，h (t )在(2，＋∞)上单调递减，所以h (t )＜h (2)＝2ln 2－32＜0.所以当x 2＞2时，g (x 1)－g ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 22＜0，即g (x 1)＜g ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x22， 因为0＜x 1＜1，0＜2x 22＜1，g (x )在(0，1)上单调递增，所以x 1＜2x 22，故x 1·x 22＜2.综上所述，x 1·x 22＜2.4.(2017届重庆市一中月考)已知函数f (x )＝a ln x －ax －3(a ∈R ). (1)当a ＞0时，求函数f (x )的单调区间；(2)若函数y ＝f (x )的图象在点(2，f (2))处的切线的倾斜角为45°，且函数g (x )＝12x 2＋nx＋mf ′(x )(m ，n ∈R )，当且仅当在x ＝1处取得极值，其中f ′(x )为f (x )的导函数，求m 的取值范围. 解 (1)f ′(x )＝a (1－x )x(x ＞0)， 当a ＞0时，令f ′(x )＞0，得0＜x ＜1， 令f ′(x )＜0，得x ＞1，故函数f (x )的单调递增区间为(0，1)，单调递减区间为(1，＋∞). (2)因为函数y ＝f (x )的图象在点(2，f (2))处的切线的倾斜角为45°， 则f ′(2)＝1，即a ＝－2，所以g (x )＝12x 2＋nx ＋m ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2x ， 所以g ′(x )＝x ＋n ＋2m x 2＝x 3＋nx 2＋2mx2， 因为g (x )在x ＝1处有极值，故g ′(1)＝0，从而可得n ＝－1－2m ，则g ′(x )＝x 3＋nx 2＋2m x 2＝(x －1)(x 2－2mx －2m )x 2，又因为g (x )仅在x ＝1处有极值，所以x 2－2mx －2m ≥0在(0，＋∞)上恒成立，当m ＞0时，－2m ＜0，易知∃x 0∈(0，＋∞)，使得x 20－2mx 0－2m ＜0， 所以m ＞0不成立，故m ≤0，当m ≤0且x ∈(0，＋∞)时，x 2－2mx －2m ≥0恒成立， 所以m ≤0.综上，m 的取值范围是(－∞，0].5.(2017·湖北沙市联考)已知函数f (x )＝e －x(ln x －2k )(k 为常数，e ＝2.718 28…是自然对数的底数)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与y 轴垂直. (1)求f (x )的单调区间；(2)设g (x )＝1－x (ln x ＋1)e x，对任意x ＞0，证明：(x ＋1)·g (x )<e x ＋e x －2. (1)解 因为f ′(x )＝1x－ln x ＋2k e x(x ＞0)， 由已知得f ′(1)＝1＋2k e ＝0，所以k ＝－12.所以f ′(x )＝1x －ln x －1e x，设k (x )＝1x －ln x －1，则k ′(x )＝－1x 2－1x ＜0在(0，＋∞)上恒成立，即k (x )在(0，＋∞)上单调递减，由k (1)＝0知，当0＜x ＜1时，k (x )＞0，从而f ′(x )＞0， 当x ＞1时，k (x )＜0，从而f ′(x )<0.综上可知，f (x )的单调递增区间是(0，1)，单调递减区间是(1，＋∞).(2)证明 因为x ＞0，要证原式成立即证g (x )e x ＜1＋e －2x ＋1成立.当x ≥1时，由(1)知g (x )≤0＜1＋e －2成立；当0＜x ＜1时，e x＞1，且由(1)知，g (x )＞0，所以g (x )＝1－x ln x －x e x＜1－x ln x －x ， 设F (x )＝1－x ln x －x ，x ∈(0，1)，则F ′(x )＝－(ln x ＋2)，当x ∈(0，e －2)时，F ′(x )＞0， 当x ∈(e －2，1)时，F ′(x )＜0，所以当x ＝e －2时，F (x )取得最大值F (e －2)＝1＋e －2， 所以g (x )＜F (x )≤1＋e －2， 即当0＜x ＜1时，g (x )＜1＋e －2.①综上所述，对任意x ＞0，g (x )＜1＋e －2恒成立.令G (x )＝e x－x －1(x ＞0)，则G ′(x )＝e x－1＞0恒成立，所以G (x )在(0，＋∞)上单调递增，G (x )＞G (0)＝0恒成立，即e x ＞x ＋1＞0，即0＜1e x ＜1x ＋1.②当x ≥1时，有g (x )e x ≤0＜1＋e－2x ＋1；当0＜x ＜1时，由①②式，g (x )e x ＜1＋e －2x ＋1.综上所述，当x ＞0时，g (x )e x ＜1＋e －2x ＋1成立，故原不等式成立.6.(2017·西安模拟)已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋4k ln x ＋4－x 2x ，其中常数k ＞0.(1)讨论f (x )在(0，2)上的单调性；(2)当k ∈[4，＋∞)时，若曲线y ＝f (x )上总存在相异的两点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，使曲线y ＝f (x )在M ，N 两点处的切线互相平行，试求x 1＋x 2的取值范围.解 (1)由已知得，f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝k ＋4k x －x 2＋4x 2＝－x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋4k x ＋4x 2＝－(x －k )⎝ ⎛⎭⎪⎫x －4k x 2(k ＞0).①当0＜k ＜2时，4k ＞k ＞0，且4k＞2，所以x ∈(0，k )时，f ′(x )＜0；x ∈(k ，2)时，f ′(x )＞0. 所以函数f (x )在(0，k )上是减函数，在(k ，2)上是增函数； ②当k ＝2时，4k＝k ＝2，f ′(x )＜0在区间(0，2)内恒成立，所以f (x )在(0，2)上是减函数； ③当k ＞2时，0＜4k ＜2，k ＞4k，所以当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，4k 时，f ′(x )＜0；x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫4k ，2时，f ′(x )＞0，所以函数在⎝⎛⎭⎪⎫0，4k 上是减函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫4k ，2上是增函数.(2)由题意，可得f ′(x 1)＝f ′(x 2)，x 1x 2＞0且x 1≠x 2，即k ＋4k x 1－4x 21－1＝k ＋4k x 2－4x 22－1，化简得，4(x 1＋x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋4k x 1x 2. 由x 1x 2＜⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 222，得4(x 1＋x 2)＜⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋4k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 222，即(x 1＋x 2)＞16k ＋4k对k ∈[4，＋∞)恒成立，令g (k )＝k ＋4k ，则g ′(k )＝1－4k 2＝k 2－4k2＞0对k ∈[4，＋∞)恒成立.所以g (k )在[4，＋∞)上是增函数，则g (k )≥g (4)＝5， 所以16k ＋4k≤165， 所以(x 1＋x 2)＞165，故x 1＋x 2的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫165，＋∞.。

2.与数列有关的压轴小题1.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S m －1＝13，S m ＝0，S m ＋1＝－15，其中m ∈N *且m ≥2，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前n 项和的最大值为( )A.24143B.1143C.2413D.613 答案 D解析 由题意可得a m ＝S m －S m －1＝－13，a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝－15，d ＝a m ＋1－a m ＝－2， 由S m ＝ma 1＋m (m －1)d 2＝0可得a 1－m ＝－1，又a m ＝a 1＋(m －1)d ＝－13，可得a 1－2m ＝－15，a 1＝13，m ＝14，a n ＝15－2n ， 故T n ＝1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝1d ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1a 1－1a 2＋⎝⎛⎭⎫1a 2－1a 3＋…＋⎝⎛⎭⎫1a n －1a n ＋1 ＝－12⎝⎛⎭⎫113－113－2n ＝－126＋12(13－2n )，可知当n ＝6时，T n 取得最大值613.2.(2017·保定模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(3－a )x －6，x ≤10，a x －9，x ＞10，若数列{a n }满足a n ＝f (n )(n ∈N *)，且{a n }是递增数列，则实数a 的取值范围是( ) A.(1，3) B.(1，2] C.(2，3) D.⎣⎡⎭⎫2411，3 答案 C解析 因为{a n }是递增数列， 所以⎩⎪⎨⎪⎧3－a ＞0，a ＞1，(3－a )×10－6＜a 11－9，解得2＜a ＜3，故选C.3.在数列{a n }中，a n ＞0，a 1＝12，如果a n ＋1是1与2a n a n ＋1＋14－a 2n 的等比中项，那么a 1＋a 222＋a 332＋a 442＋…＋a 1001002的值是( )A.10099B.101100C.100101D.99100 答案 C解析 由题意，得a 2n ＋1＝2a n a n ＋1＋14－a 2n， 所以a 2n ＋1a 2n ＋2a n a n ＋1＋1＝4a 2n ＋1，(a n ＋1a n ＋1)2＝4a 2n ＋1，所以a n ＋1a n ＋1＝2a n ＋1，即a n ＋1＝12－a n ，由a 1＝12，得a 2＝23，a 3＝34，…，a n ＝n n ＋1，所以a nn 2＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，a 1＋a 222＋a 332＋…＋a 1001002＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫1100－1101＝100101. 4.(2017·安徽淮北一中四模)已知等差数列{a n }的公差d ＞0，且a 2，a 5－1，a 10成等比数列，若a 1＝5，S n 为数列{a n }的前n 项和，则2S n ＋n ＋32a n ＋1的最小值为( )A.3 3B.27C.203D.173答案 C解析 由于a 2，a 5－1，a 10成等比数列，所以(a 5－1)2＝a 2·a 10，(a 1＋4d －1)2＝(a 1＋d )·(a 1＋9d )，解得d ＝3，所以2S n ＋n ＋32a n ＋1＝3n 2＋8n ＋323n ＋3＝13⎣⎡⎦⎤3(n ＋1)＋27n ＋1＋2≥203，当且仅当n ＝2时“＝”成立.5.已知函数f (x )＝x 2＋(a ＋8)x ＋a 2＋a －12，且f (a 2－4)＝f (2a －8)，设等差数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *)，若S n ＝f (n )，则S n －4aa n －1的最小值为( )A.276B.358C.143D.378 答案 D解析 由题意可得a 2－4＝2a －8或a 2－4＋2a －8＝2×⎝⎛⎭⎫－a ＋82，解得a ＝1或a ＝－4.当a ＝1时，f (x )＝x 2＋9x －10，数列{a n }不是等差数列； 当a ＝－4时，f (x )＝x 2＋4x ，S n ＝f (n )＝n 2＋4n ， ∴a 1＝5，a 2＝7，a n ＝5＋(7－5)(n －1)＝2n ＋3，∴S n －4a a n －1＝n 2＋4n ＋162n ＋2＝12×(n ＋1)2＋2(n ＋1)＋13n ＋1＝12×⎣⎡⎦⎤(n ＋1)＋13n ＋1＋2≥12⎝ ⎛⎭⎪⎫2(n ＋1)×13n ＋1＋2＝13＋1， 当且仅当n ＋1＝13n ＋1，即n ＝13－1时取等号，∵n 为正整数，故当n ＝3时原式取最小值378，故选D.6.设等差数列{a n }满足a 1＝1，a n ＞0(n ∈N *)，其前n 项和为S n ，若数列{S n }也为等差数列，则S n ＋10a 2n的最大值是( ) A.310 B.212 C.180 D.121答案 D解析 设数列{a n }的公差为d ， 依题意得2S 2＝S 1＋S 3， 因为a 1＝1，所以22a 1＋d ＝a 1＋3a 1＋3d ， 化简可得d ＝2a 1＝2，所以a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1， S n ＝n ＋n (n －1)2×2＝n 2，所以S n ＋10a 2n ＝(n ＋10)2(2n －1)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋102n －12＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12(2n －1)＋2122n －12＝14⎝⎛⎭⎫1＋212n －12≤121. 7.抛物线x 2＝12y 在第一象限内图象上的一点(a i ，2a 2i )处的切线与x 轴交点的横坐标记为a i ＋1，其中i ∈N *，若a 2＝32，则a 2＋a 4＋a 6等于( ) A.21 B.32 C.42 D.64 答案 C解析 抛物线x 2＝12y 可化为y ＝2x 2，y ′＝4x 在点(a i ，2a 2i 处的切线方程为y －2a 2i ＝4a i (x －a i )，所以切线与x 轴交点的横坐标为a i ＋1＝12a i ，所以数列{a 2k }是以a 2＝32为首项，14为公比的等比数列，所以a 2＋a 4＋a 6＝32＋8＋2＝42，故选C.8.(2017届天津六校联考)已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝a n a n ＋2(n ∈N *).若b n ＋1＝(n －2λ)·⎝⎛⎭⎫1a n ＋1(n ∈N *)，b 1＝－λ，且数列{b n }是单调递增数列，则实数λ的取值范围是( ) A.λ＞23 B.λ＞32 C.λ<32 D.λ<23答案 D解析 ∵a n ＋1＝a n a n ＋2⇒1a n ＋1＝2a n ＋1⇒1a n ＋1＋1＝2⎝⎛⎭⎫1a n ＋1⇒1a n ＋1＝⎝⎛⎭⎫1a 1＋1·2n －1＝2n， ∴b n ＋1＝(n －2λ)·2n ，∵数列{b n }是单调递增数列，∴当n ≥2时，b n ＋1＞b n ⇒(n －2λ)·2n ＞(n －1－2λ)·2n －1⇒n ＞2λ－1⇒2＞2λ－1⇒λ＜32；当n ＝1时，b 2＞b 1⇒(1－2λ)·2＞－λ⇒λ＜23，因此λ＜23，故选D.9.(2017届湖南省岳阳市质量检测)执行如图所示的程序框图，则输出s 的值为( )A.1B.2 0182 019C.2 0182 017D.2 0162 017答案 D解析 第一次循环， n ＝1，s ＝24×12－1，第二次循环， n ＝2，s ＝24×12－1＋24×22－1， 直至n ＝1 008， s ＝24×12－1＋24×22－1＋…＋24×1 0082－1， 结束循环，输出s ＝24×12－1＋24×22－1＋…＋24×1 0082－1 ＝12×1－1－12×1＋1＋12×2－1－12×2＋1＋…＋12×1 008－1－12×1 008＋1＝11－13＋13＋15＋…＋12 015－12 017＝1－12 017＝2 0162 017，故选D. 10.已知[)x 表示大于x 的最小整数，例如[)3＝4，[)－1.3＝－1，下列命题中正确的是( ) ①函数f (x )＝[)x －x 的值域是(]0，1；②若{a n }是等差数列，则{}[)a n 也是等差数列； ③若{a n }是等比数列，则{}[)a n 也是等比数列； ④若x ∈(1，2 014)，则方程[)x －x ＝12有2 013个根.A.②④B.③④C.①③D.①④答案 D解析 当x ∈Z 时， [)x ＝x ＋1，f (x )＝[)x －x ＝x ＋1－x ＝1; 当x ∉Z 时，令x ＝n ＋a ，n ∈Z ，a ∈(0，1)，则[)x ＝n ＋1，f (x )＝[)x －x ＝1－a ∈(0，1)，因此f (x )＝[)x －x 的值域是(]0，1；0.9，1，1.1是等差数列，但[)0.9＝1，[)1＝2，[)1.1＝2不成等差数列； 0.5，1，2是等比数列，但[)0.5＝1，[)1＝2，[)2＝3不成等比数列；由前分析可得当x ∈Z 时， f (x )＝1；当x ∉Z ，x ＝n ＋a ，n ∈Z ，a ∈(0，1)时， f (x )＝1－a ＝1－(x －n )＝n ＋1－x ，所以f (x ＋1)＝f (x ) ，即f (x )＝[)x －x 是周期为1的函数，由于x ∈(1，2)时f (x )＝2－x ＝12，x ＝32，即一个周期内有一个根，所以若x ∈()1，2 014，则方程[)x －x ＝12有2 013个根. ①④正确，故选D.11.数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2－6n ，则a 2＝________；数列{}||a n 的前10项和||a 1＋||a 2＋…＋||a 10＝________. 答案 －3 58解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝－5，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－6n －(n －1)2＋6(n －1)＝2n －7， ∴a 2＝2×2－7＝－3，∴|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 10|＝5＋3＋1＋1＋3＋…＋13＝9＋1＋132×7＝9＋49＝58.12.(2016届长春外国语学校质量检测)已知数列{a n }为等比数列，且a 2 013＋a 2 015＝ʃ204－x 2d x ，则a 2 014(a 2 012＋2a 2 014＋a 2 016)的值为______. 答案 π2解析 因为ʃ204－x 2d x ＝π， 所以a 2 013＋a 2 015＝ʃ204－x 2d x ＝π，则a 2 014(a 2 012＋2a 2 014＋a 2 016)＝a 2 014a 2 012＋2a 22 014＋a 2 014a 2 016＝a 22 013＋2a 2 013a 2 015＋a 22 015＝(a 2 013＋a 2 015)2＝π2.13.(2017·辽宁庄河月考)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }是等比数列，且满足a 1＝3，b 1＝1，b 2＋S 2＝10，a 5－2b 2＝a 3，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a nb n 的前n 项和为T n ，若T n <M 对一切正整数n 都成立，则M 的最小值为__________. 答案 10解析 由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧q ＋6＋d ＝10，2d ＝2q ，解得d ＝q ＝2，所以a n ＝2n ＋1，b n ＝2n －1，则a n b n ＝2n ＋12n －1，故T n ＝3×120＋5×121＋7×122＋…＋(2n ＋1)×12n －1，由此可得12T n ＝3×121＋5×122＋7×123＋…＋(2n ＋1)×12n ，以上两式两边错位相减可得12T n ＝3＋2⎝⎛⎭⎫121＋122＋123＋…＋12n －1－(2n ＋1)×12n ＝3＋2－12n －2－2n ＋12n ，即T n ＝10－12n －3－2n ＋12n －1，故当n →＋∞时， 12n －3→0，2n ＋12n －1→0，此时T n →10，所以M 的最小值为10.14.设S n ，T n 分别为等差数列{a n }，{b n }的前n 项和，且S n T n ＝3n ＋24n ＋5.设点A 是直线BC 外一点，点P 是直线BC 上一点，且AP →＝a 1＋a 4b 3·AB →＋λ·AC →，则实数λ的值为________.答案 －325解析 不妨取S n ＝3n 2＋2n ，T n ＝4n 2＋5n ，当n ＝1时，a 1＝S 1＝5，当n ≥2时， a n ＝S n －S n －1＝6n －1，验证得n ＝1上式成立.综上，a n ＝6n －1， 同理可得b n ＝8n ＋1⇒a 1＋a 4b 3＝2825.AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋λBC →＝AB →＋λ(AC →－AB →)＝(1－λ)AB →＋λAC →＝2825AB →＋λ·AC →⇒1－λ＝2825，λ＝－325.。

1．向量在平面几何中的应用（1)用向量解决常见平面几何问题的技巧:问题类型所用知识公式表示线平行、点共线等问题共线向量定理a∥b⇔a＝λb⇔x1y2－x2y1＝0，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，b≠0垂直问题数量积的运算性质a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0,其中a＝（x1，y1），b＝(x2，y2),且a，b为非零向量夹角问题数量积的定义cos θ＝错误!（θ为向量a，b的夹角），其中a,b为非零向量（2)用向量方法解决平面几何问题的步骤：平面几何问题错误!向量问题错误!解决向量问题错误!解决几何问题．2．平面向量在物理中的应用(1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的加法和减法相似，可以用向量的知识来解决．(2）物理学中的功是一个标量,是力F与位移s的数量积,即W＝F·s ＝｜F｜|s|cos θ(θ为F与s的夹角)．3．向量与相关知识的交汇平面向量作为一种工具,常与函数(三角函数)，解析几何结合，常通过向量的线性运算与数量积,向量的共线与垂直求解相关问题．【知识拓展】1．若G是△ABC的重心,则错误!＋错误!＋错误!＝0.2．若直线l的方程为:Ax＋By＋C＝0，则向量(A，B)与直线l垂直，向量（－B，A）与直线l平行．【思考辨析】判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）(1）若错误!∥错误!，则A,B,C三点共线．（√)(2)向量b在向量a方向上的投影是向量．（×)(3）若a·b＞0，则a和b的夹角为锐角;若a·b＜0,则a和b的夹角为钝角．( ×)(4）在△ABC中，若错误!·错误!〈0，则△ABC为钝角三角形．( ×) (5）已知平面直角坐标系内有三个定点A(－2，－1),B(0，10)，C（8，0），若动点P满足：错误!＝错误!＋t(错误!＋错误!)，t∈R，则点P的轨迹方程是x－y＋1＝0。

压轴小题突破练与函数、不等式有关的压轴小题一、选择题：1.定义在R 上的奇函数y=f(x)满足f(3)=0，且当x ＞0时，f(x)＞-xf ′(x)恒成立，则函数g(x)=xf(x)＋lg |x+1|的零点的个数为( )A.1B.2C.3D.42.设函数f(x)在R 上存在导数f ′(x)，∀x ∈R ，有f(-x)＋f(x)=x 2，且在(0，＋∞)上f ′(x)＜x ，若f(4-m)-f(m)≥8-4m ，则实数m 的取值范围为( )A.[-2，2]B.[2，＋∞)C.[0，＋∞)D.(-∞，-2]∪[2，＋∞)3.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<>=0,0,ln )(x xm x x x f ，若f(x)-f(-x)=0有四个不同的根，则m 取值范围是( )A.(0，2e)B.(0，e)C.(0，1)D.(0,e1) 4.已知函数12)(2+=x x x f ，x ∈[0，1]，函数g(x)=asin 6πx-2a ＋2(a ＞0)，若存在x 1，x 2∈[0，1]，使得f(x 1)=g(x 2)成立，则实数a 的取值范围是( )5.设函数⎩⎨⎧-∈-+∞∈-=]1,1[,1),1(),2(2)(x x x x f x f ,若关于x 的方程f(x)-log a (x ＋1)=0(a ＞0，且a ≠1)在区间[0，5]内恰有5个不同的根，则实数a 的取值范围是( )A.(1，3)B.(45，＋∞)C.(3，＋∞)D.(45，3)6.已知函数⎩⎨⎧≥++<+-+=0,1)1(log 0,3)34()(2x x x a x a x x f a (a ＞0，且a ≠1)在R 上单调递减，且关于x 的方程|f(x)|=2-x恰好有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是( )7.已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数，且f(-x-1)=f(x-1)，当x ∈[-1,0]时，f(x)=-x 3， 则关于x 的方程f(x)=||cos πx 在[-2.5,0.5]上的所有实数解之和为( ) A.-7 B.-6 C.-3 D.-18.已知实数⎩⎨⎧<-≥=0),lg(0,)(x x x e x f x ,若关于x 的方程f 2(x)＋f(x)＋t=0有三个不同的实根，则t 的取值范围为( )A.(-∞，-2]B.[1，＋∞)C.[-2，1]D.(-∞，-2]∪[1，＋∞)9.若函数f(x)=x 3＋ax 2＋bx ＋c 有极值点x 1，x 2，且f(x 1)=x 1，则关于x 的方程3f 2(x)＋2af(x)＋b=0的不同实根的个数是( )A.3B.4C.5D.610.已知函数⎩⎨⎧>+-≤≤-=1,)1(10,12)(x m x f x x f x ,在定义域[0,+∞)上单调递增，且对于任意a ≥0，方程f(x)=a有且只有一个实数解，则函数g(x)=f(x)-x 在区间[0,2n](n ∈N *)上的所有零点的和为( )A.2)1(+n nB.22n-1＋2n-1C.2)21(2n + D.2n -1二、填空题：11.设函数⎩⎨⎧≠+-==1,11log 1,1)(x x x x f a ,若函数g(x)=f 2(x)＋bf(x)＋c 有三个零点x 1，x 2，x 3，则x 1x 2＋x 2x 3＋x 1x 3=________.12.设函数f(x)=x 3-2ex 2＋mx-ln x ，记g(x)=xx f )(，若函数g(x)至少存在一个零点，则实数m 的取值范围是__________.13.设定义域为R 的函数⎪⎩⎪⎨⎧<++≥-=-0,440,15)(21x x x x x f x ,若关于x 的方程f 2(x)-(2m ＋1)f(x)＋m 2=0有7个不同的实数解，则m=__________.14.已知函数f(x)=e x-2＋x-3(e 为自然对数的底数)，g(x)=x 2-ax-a ＋3.若存在实数x 1， x 2，使得f(x 1)=g(x 2)=0，且||x 1－x 2≤1，则实数a 的取值范围是______________.参考答案1.答案为：C ；解析：因为当x ＞0时，[xf(x)]′=f(x)＋xf ′(x)＞0，所以xf(x)在(0，＋∞)上单调 递增，又函数f(x)为奇函数，所以函数xf(x)为偶函数，结合f(3)=0，作出函数y=xf(x)与y=-lg ||x ＋1的图象，如图所示：由图象知，函数g(x)=xf(x)＋lg |x+1|的零点 有3个，故选C.2.答案为：B ；解析：令g(x)=f(x)-21x 2，则g(x)＋g(-x)=0，函数g(x)为奇函数，在区间(0，＋∞)上， g ′(x)=f ′(x)-x ＜0，且g(0)=0，则函数g(x)是R 上的单调递减函数， 故f(4-m)-f(m)=g(4-m)＋21(4-m)2-g(m)-21m 2=g(4-m)-g(m)＋8-4m ≥8-4m ， 据此可得g(4-m)≥g(m)，∴4-m ≤m ，m ≥2.3.答案为：D4.答案为：A5.答案为：C;6.答案为：C;7.答案为：A;解析：因为函数是偶函数，所以f(-x-1)=f(x＋1)=f(x-1)，所以函数是周期为2的偶函数，画出函数图象如图：两个函数在区间[-2.5,0.5]上有7个交点，中间点是x=-1，其余6个交点关于x=-1对称，所以任一组对称点的横坐标之和为-2，所以这7个交点的横坐标之和为3×(-2)-1=-7，故选A.8.答案为：A;解析：设m=f(x)，作出函数f(x)的图象，如图所示，则当m≥1时，m=f(x)有两个根，当m<1时，m=f(x)有一个根，若关于x的方程f2(x)＋f(x)＋t=0有三个不同的实根，则等价为m2＋m＋t=0有两个不同的实数根m1，m2，且m1≥1，m2＜1，当m=1时，t=-2，此时由m2＋m-2=0，解得m=1或m=-2，f(x)=1有两个根，f(x)=-2有一个根，满足条件；当m≠1时，设h(m)=m2＋m＋t，则需h(1)<0即可，即1＋1＋t<0，解得t<-2.综上实数t的取值范围为t≤-2，故选A.9.答案为：A;解析：函数f(x)=x 3＋ax 2＋bx ＋c 有极值点x 1，x 2，说明方程f ′(x)=3x 2＋2ax ＋b=0的两根为x 1，x 2，∴方程3f 2(x)＋2af(x)＋b=0的解为f(x)=x 1或f(x)=x 2，若x 1<x 2，即x 1是 极大值点，x 2是极小值点，由于f(x 1)=x 1，∴x 1是极大值，f(x)=x 1有两解，x 1＜x 2， f(x)=x 2＞f(x 1)只有一解，∴此时只有3解，若x 1＞x 2，即x 1是极小值点，x 2是极大值 点，由于f(x 1)=x 1，∴x 1是极小值，f(x)=x 1有2解，x 1＞x 2，f(x)=x 2<f(x 1)只有一解， ∴此时只有3解.综上可知，选A. 10.答案为：B;解析：函数⎩⎨⎧>+-≤≤-=1,)1(10,12)(x m x f x x f x 在定义域[0，＋∞)上单调递增，且对于任意a ≥0，方程f(x)=a 有且只有一个实数解，则f(x)是连续函数，则21-1=f(0)＋m ，可得m=1， 画出y=f(x)与y=x 的图象如图：图象交点横坐标就是g(x)=f(x)-x 的零点，由图知，在区间[0，2n ](n ∈N *)上的所有零点的和为1＋2＋3…＋(2n -1)＋2n =22n-1＋2n-1，故选B.11.答案为：2;解析：作出函数f(x)的图象如图所示，由图可得关于x 的方程f(x)=t 的解有两个或三个(t=1时有三个，t ≠1时有两个)，所以关于t 的方程t 2＋bt ＋c=0只能有一个根t=1(若有两个根，则关于x的方程f 2(x)＋bf(x)＋c=0有四个或五个零点)，由f(x)=1，可得x 1，x 2，x 3的值分别为0，1，2，x 1x 2＋x 2x 3＋x 1x 3=0×1＋1×2＋0×2=2.12.答案为：(-∞,ee 12+];13.答案为：2解析：令t=f(x)，作出函数f(x)的图象如图所示：由图可知方程t2-(2m＋1)t＋m2=0有两个不等实根，其中一根为4，另一根在(0，4)上.由42-(2m＋1)×4＋m2=0⇒m=2或m=6，又当m=2时，另一根为1，满足题意；当m=6时，另一根为9，不满足题意，故m=2.14.答案为：[2，3]；。

集合、平面向量与复数1.已知集合{}|31,A x x n n Z ==+∈, {}|44B x x =-≤≤,则集合A B ⋂=A. {}4,1,1,4--B. {}2,1,4-C. {}1,4D. {}4,1,2--【答案】B2．已知全集U Z =,集合{}220,M x x x x Z =--<∈, {}1,0,1,2N =-,则()U C M N ⋂=（ ）A. {}1,2-B. {}1,0-C. {}0,1D. {}1,2 【答案】A 3．【设集合()22,| 1 416x y A x y ⎧⎫=+=⎨⎬⎩⎭, (){},|3 x B x y y ==,则A B ⋂的子集的个数是：（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1【答案】A4．已知集合2{|230}A x x x =+-=, {}1,1B =-,则A B ⋃=（ ） A. {}1 B. {}1,1,3- C. {}3,1,1-- D. {}3,1,1,3--【答案】C5．已知集合2{|20}A x x x =--≥,则R C A =（ ）A. ()1,2-B. []1,2-C. ()2,1-D. []2,1-【答案】A6．已知,m n R ∈,集合{}72,log A m =,集合{},B m n =,若{}1A B ⋂=,则m n +=（ ）A. 1B. 2C. 4D. 8【答案】D7．已知(){}2log 31A x y x ==-, {}224B y x y =+=,则()R C A B ⋂=（ ）A. 12,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B. 12,3⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C. 1,23⎛⎤ ⎥⎝⎦D. 1,23⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A8．已知集合(){}{}2A |log 31,|02x R x B x R x =∈-≤=∈≤≤,则A B ⋃= ( )A. []0,3B. []1,2C. )[0 ,3D. []1,3【答案】C9．若复数2i z i-=-,则复数z 所对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】A10．复数2i 12i =+（ ） A. 42i 55+ B. 42i 55- C. 42i 55-+ D. 42i 55-- 【答案】A11．复数2i 1iz -=（i 是虚数单位）在复平面内对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】A12．已知复数()12i i a bi +=+, a R ∈, b R ∈, a b +=（ ）A. 3-B. 1-C. 1D. 3【答案】B13．欧拉公式cos sin ix e x i x =+（i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的,它将指数函数的定义域扩大到复数集,建立了三角函数和指数函数的关系,它在复变函数论里占有非常重要的地位.特别是当x π=时, 10i e π+=被认为是数学上最优美的公式,数学家们评价它是“上帝创造的公式”.根据欧拉公式可知, 4i e 表示的复数在复平面中位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C14．已知a 是实数, 1a i i +-是实数,则7cos 3a π的值为( ) A. 12 B. 12- C. 0 D. 32 【答案】A15．已知复数z 满足()1+243i z i =+,则z 的虚部是（ ）A. -1B. 1C. -2D. 2【答案】B16．已知i 为虚数单位,复数322i z i+=-,则以下为真命题的是（ ） A. z 的共轭复数为7455i - B. z 的虚部为85 C. 3z = D. z 在复平面内对应的点在第一象限17．如图,已知平行四边形ABCD 中, 2BC =, 45BAD ∠=︒, E 为线段BC 的中点, BF CD ⊥,则AE BF ⋅=（ ）A. 222 D. 1【答案】D18．已知12,e e 为单位向量,且1e 与122e e +垂直,则12,e e 的夹角为（ ）A. 30B. 60C. 120D. 150【答案】C19．已知a = πsin ,24b = πcos 24,且、a b 的夹角为π12,则⋅=a b A. 116 B. 18314【答案】B20．在平面直角坐标系xOy 中,已知点)3,0A , ()1,2B ,动点P 满足OP = OA OB λμ+,其中][,0,1,1,2λμλμ⎡⎤∈+∈⎣⎦,则所有点P 构成的图形面积为( )A. 1B. 2C. 3D. 2321．已知菱形ABCD 的边长为2,,点E 、F 分别在边,BC CD 上, BE BC λ=, DF DC μ=,若522λμ+=, 则AE AF ⋅的最小值___________． 【答案】3 22．已知向量a , b 满足5b =, 253a b +=, 52a b -=,则a =__________．56。

1．已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若AO →＝2(AB →＋AC →)，则AB →与AC →的夹角为________．2．设O 在△ABC 的内部，D 为AB 的中点，且OA →＋OB →＋2OC →＝0，则△ABC 的面积与△AOC 的面积的比值为________．3．(2016·南通、连云港、扬州、淮安三模)在平行四边形ABCD 中，若AC →·AD →＝AC →·BD →＝3，则线段AC 的长为________．4．已知向量a ＝⎝⎛⎭⎪⎫sin θ2，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ2＋π4，b ＝⎝⎛⎭⎪⎫3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ2＋π4，cos θ2，θ∈(0，π)，并且满足a ∥b ，则θ的值为________．5．(2016·安徽六安一中月考)已知△ABC 是边长为1的正三角形，动点M 在平面ABC 内，若AM →·AB →＜0，|CM →|＝1，则CM →·AB →的取值范围是________．6．在平面直角坐标系中，已知A (－2,0)，B (2,0)，C (1,0)，P 是x 轴上任意一点，平面上点M 满足：PM →·PB →≥CM →·CB →对任意P 恒成立，则点M 的轨迹方程为______． 7．在△ABC 中，已知AB →·AC →＝tan A ，则当A ＝π6时，△ABC 的面积为________．8．(2016·南通、扬州、淮安、宿迁、泰州二调)如图，在同一平面内，点A 位于两平行直线m ，n 的同侧，且A 到m ，n 的距离分别为1,3，点B ，C 分别在m ，n 上，|AB →＋AC →|＝5，则AB →·AC →的最大值是________．9．定义一种向量运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎨⎧a·b ，当a ，b 不共线时，|a －b |，当a ，b 共线时(a ，b 是任意的两个向量)．对于同一平面内的向量a ，b ，c ，e ，给出下列结论： ①a ⊗b ＝b ⊗a ；②λ(a ⊗b )＝(λa )⊗b (λ∈R )； ③(a ＋b )⊗c ＝a ⊗c ＋b ⊗c ；④若e 是单位向量，则|a ⊗e |≤|a |＋1.以上结论一定正确的是________．(填上所有正确结论的序号) 10．已知m ，x ∈R ，向量a ＝(x ，－m )，b ＝((m ＋1)x ，x )． (1)当m ＞0时，若|a |＜|b |，求x 的取值范围；(2)若a ·b ＞1－m 对任意实数x 恒成立，求m 的取值范围．答案精析1．90° 2.4 3. 3 4.π35．－1，－12)解析 如图，以A 为原点，AB 为x 轴建立直角坐标系，则B (1,0)，C (12，32)，设M (x ，y )，AM →·AB →＝(x ，y )·(1,0)＝x ＜0，由|CM →|＝1得(x －12)2＋(y －32)2＝1，所以－12≤x ＜0，所以CM →·AB →＝(x －12，y －32)·(1,0)＝x －12∈－1，－12)．6．x ＝0解析 设P (x 0,0)，M (x ，y )，则由PM →·PB →≥CM →·CB →可得(x －x 0)(2－x 0)≥x －1，x 0∈R 恒成立，即x 20－(x ＋2)x 0＋x ＋1≥0，x 0∈R 恒成立，所以Δ＝(x ＋2)2－4(x＋1)≤0，化简得x 2≤0，则x ＝0，即x ＝0为点M 的轨迹方程． 7.16解析 已知A ＝π6， 由题意得|AB →||AC →|cos π6＝tan π6，则|AB →||AC →|＝23，所以△ABC 的面积S ＝12|AB →||AC →|·sin π6＝12×23×12＝16.8.214解析 设P 为BC 的中点，则AB →＋AC →＝2AP →，从而由|AB →＋AC →|＝5得|AP →|＝52，又AB →·AC →＝(AP →＋PB →)·(AP →＋PC →)＝AP →2－PB →2＝254－PB →2，因为|BC →|≥2，所以PB →2≥1，故AB →·AC →≤254－1＝214，当且仅当|BC →|＝2时等号成立．9．①④解析 当a ，b 共线时，a ⊗b ＝|a －b|＝|b －a|＝b ⊗a ，当a ，b 不共线时，a ⊗b ＝a·b＝b·a＝b ⊗a ，故①是正确的； 当λ＝0，b ≠0时，λ(a ⊗b)＝0，(λa)⊗b ＝|0－b|≠0，故②是错误的； 当a ＋b 与c 共线时，则存在a ，b 与c 不共线，(a ＋b)⊗c ＝|a ＋b －c|，a ⊗c ＋b ⊗c ＝a·c＋b·c，显然|a ＋b －c|≠a·c＋b·c，故③是错误的；当e 与a 不共线时，|a ⊗e|＝|a·e|＜|a|·|e|＜|a|＋1，当e 与a 共线时，设a ＝u e ，u ∈R ，|a ⊗e|＝|a －e|＝|u e －e| ＝|u －1|≤|u |＋1，故④是正确的． 综上，结论一定正确的是①④. 10．解 (1)由题意得|a|2＝x 2＋m 2， |b|2＝(m ＋1)2x 2＋x 2.因为|a|＜|b|，所以|a|2＜|b|2， 从而x 2＋m 2＜(m ＋1)2x 2＋x 2. 因为m ＞0，所以(m m ＋1)2＜x 2，解得x ＜－m m ＋1或x ＞m m ＋1.即x 的取值范围是 (－∞，－mm ＋1)∪(m m ＋1，＋∞)．(2)a·b＝(m ＋1)x 2－mx .由题意，得(m ＋1)x 2－mx ＞1－m 对任意的实数x 恒成立，即(m ＋1)x 2－mx ＋m －1＞0对任意的实数x 恒成立．当m ＋1＝0，即m ＝－1时，显然不成立，所以 ⎩⎨⎧m ＋1＞0，m 2－4(m ＋1)(m －1)＜0，解得⎩⎨⎧m ＞－1，m ＞233或m ＜－233 ，所以m ＞233.23 3，＋∞)．即m的取值范围是(。

1．向量的夹角已知两个非零向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 就是向量a 与b 的夹角，向量夹角的范围是：[0，π]． 2．平面向量的数量积3.平面向量数量积的性质设a ，b 都是非零向量，e 是单位向量，θ为a 与b (或e )的夹角．则 (1)e ·a ＝a ·e ＝|a |cos θ. (2)a ⊥b ⇔a ·b ＝0.(3)当a 与b 同向时，a ·b ＝|a ||b |； 当a 与b 反向时，a ·b ＝－|a ||b |. 特别地，a ·a ＝|a |2或|a |＝a ·a . (4)cos θ＝a ·b|a ||b |.(5)|a ·b |≤|a ||b |.4．平面向量数量积满足的运算律 (1)a·b ＝b·a ；(2)(λa )·b ＝λ(a·b )＝a ·(λb )(λ为实数)； (3)(a ＋b )·c ＝a·c ＋b·c .5．平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2，由此得到 (1)若a ＝(x ，y )，则|a |2＝x 2＋y 2或|a |＝x 2＋y 2.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 两点间的距离AB ＝|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. (3)设两个非零向量a ，b ，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. (4)若a ，b 都是非零向量，θ是a 与b 的夹角，则cos θ＝a ·b|a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21 x 22＋y 22.【知识拓展】1．两个向量a ，b 的夹角为锐角⇔a·b >0且a ，b 不共线； 两个向量a ，b 的夹角为钝角⇔a·b <0且a ，b 不共线． 2．平面向量数量积运算的常用公式 (1)(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2. (2)(a ＋b )2＝a 2＋2a·b ＋b 2. (3)(a －b )2＝a 2－2a·b ＋b 2.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量．( √ )(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量．( √ ) (3)由a ·b ＝0可得a ＝0或b ＝0.( × ) (4)(a ·b )c ＝a (b ·c )．( × )(5)两个向量的夹角的范围是[0，π2]．( × )1．(教材改编)已知向量a ＝(2,1)，b ＝(－1，k )，a·(2a －b )＝0，则k 等于( ) A ．－12 B ．6 C ．－6 D ．12答案 D解析 ∵2a －b ＝(4,2)－(－1，k )＝(5,2－k )， 由a ·(2a －b )＝0，得(2,1)·(5,2－k )＝0， ∴10＋2－k ＝0，解得k ＝12.2．(2017·南宁质检)已知向量a 与b 的夹角为30°，且|a |＝1，|2a －b |＝1，则|b |等于( )A. 6B. 5C. 3D. 2 答案 C解析 由题意可得a·b ＝|b |cos 30°＝32|b |,4a 2－4a·b ＋b 2＝1，即4－23|b |＋b 2＝1，由此求得|b |＝3，故选C.3．(2015·广东)在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形ABCD 是平行四边形，AB →＝(1，－2)，AD →＝(2,1)，则AD →·AC →等于( ) A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 答案 A解析 ∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴AC →＝AB →＋AD →＝(1，－2)＋(2,1)＝(3，－1)． ∴AD →·AC →＝2×3＋(－1)×1＝5.4．(2016·北京)已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，1)，则a 与b 夹角的大小为________． 答案 π6解析 设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a·b|a ||b |＝1×3＋1×312＋(3)2·12＋(3)2＝234＝32， 又因为θ∈[0，π]，所以θ＝π6.5．(2016·厦门模拟)设x ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，－2)，且a ⊥b ，则|a ＋b |＝________. 答案10解析 ∵a ⊥b ，∴a·b ＝0，即x －2＝0， ∴x ＝2，∴a ＝(2,1)，∴a 2＝5，b 2＝5， ∴|a ＋b |＝(a ＋b )2＝a 2＋2a·b ＋b 2＝5＋5＝10.题型一 平面向量数量积的运算例1 (1)(2016·天津)已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE ＝2EF ，则AF →·BC →的值为( ) A ．－58B.18C.14D.118(2)已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE →·CB →的值为________；DE →·DC →的最大值为________． 答案 (1)B (2)1 1解析 (1)如图，由条件可知BC →＝AC →－AB →，AF →＝AD →＋DF →＝12AB →＋32DE →＝12AB →＋34AC →， 所以BC →·AF →＝(AC →－AB →)·(12AB →＋34AC →)＝34AC →2－14AB →·AC →－12AB →2. 因为△ABC 是边长为1的等边三角形， 所以|AC →|＝|AB →|＝1，∠BAC ＝60°， 所以BC →·AF →＝34－18－12＝18.(2)方法一 以射线AB ，AD 为x 轴，y 轴的正方向建立平面直角坐标系，则A (0，0)，B (1,0)，C (1,1)，D (0,1)，设E (t,0)，t ∈[0,1]，则DE →＝(t ，－1)，CB →＝(0，－1)，所以DE →·CB →＝(t ，－1)·(0，－1)＝1.因为DC →＝(1,0)，所以DE →·DC →＝(t ，－1)·(1,0)＝t ≤1， 故DE →·DC →的最大值为1. 方法二 由图知，无论E 点在哪个位置，DE →在CB →方向上的投影都是CB ＝1，∴DE →·CB →＝|CB →|·1＝1， 当E 运动到B 点时，DE →在DC →方向上的投影最大，即为DC ＝1， ∴(DE →·DC →)max ＝|DC →|·1＝1.思维升华 平面向量数量积的三种运算方法(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉．(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.(3)利用数量积的几何意义求解．(1)(2016·全国丙卷)已知向量BA →＝⎝⎛⎭⎫12，32，BC →＝⎝⎛⎭⎫32，12，则∠ABC 等于( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°(2)(2015·天津)在等腰梯形ABCD 中，已知AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°.点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且BE →＝23BC →，DF →＝16DC →，则AE →·AF →的值为________．答案 (1)A (2)2918解析 (1)∵|BA →|＝1，|BC →|＝1， cos ∠ABC ＝BA →·BC →|BA →|·|BC →|＝32，又∵0°≤∠ABC ≤180°，∴∠ABC ＝30°.(2)在等腰梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1， ∠ABC ＝60°，∴CD ＝1，AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋23BC →，AF →＝AD →＋DF →＝AD →＋16DC →，∴AE →·AF →＝⎝⎛⎭⎫AB →＋23BC →·⎝⎛⎭⎫AD →＋16DC →＝AB →·AD →＋AB →·16DC →＋23BC →·AD →＋23BC →·16DC →＝2×1×cos 60°＋2×16＋23×12×cos 60°＋23×16×12×cos 120°＝2918.题型二 平面向量数量积的应用 命题点1 求向量的模例2 (1)(2016·西安模拟)已知平面向量a ，b 的夹角为π6，且|a|＝3，|b |＝2，在△ABC 中，AB →＝2a ＋2b ，AC →＝2a －6b ，D 为BC 的中点，则|AD →|＝________.(2)在平面直角坐标系中，O 为原点，A (－1,0)，B (0，3)，C (3,0)，动点D 满足|CD →|＝1，则|OA →＋OB →＋OD →|的最大值是________． 答案 (1)2 (2)7＋1 解析 (1)因为AD →＝12(AB →＋AC →)＝12(2a ＋2b ＋2a －6b ) ＝2a －2b ，所以|AD →|2＝4(a －b )2＝4(a 2－2b·a ＋b 2) ＝4×(3－2×2×3×cos π6＋4)＝4，所以|AD →|＝2.(2)设D (x ，y )，由CD →＝(x －3，y )及|CD →|＝1，知(x －3)2＋y 2＝1，即动点D 的轨迹为以点C 为圆心的单位圆．又O A →＋OB →＋OD →＝(－1,0)＋(0，3)＋(x ，y )＝(x －1，y ＋3)， ∴|OA →＋OB →＋OD →|＝(x －1)2＋(y ＋3)2.问题转化为圆(x －3)2＋y 2＝1上的点与点P (1，－3)间距离的最大值． ∵圆心C (3,0)与点P (1，－3)之间的距离为(3－1)2＋(0＋3)2＝7，故(x －1)2＋(y ＋3)2的最大值为7＋1.即|OA →＋OB →＋OD →|的最大值是7＋1. 命题点2 求向量的夹角例3 (1)已知单位向量e 1与e 2的夹角为α，且cos α＝13，向量a ＝3e 1－2e 2与b ＝3e 1－e 2的夹角为β，则cos β＝________.(2)若向量a ＝(k,3)，b ＝(1,4)，c ＝(2,1)，已知2a －3b 与c 的夹角为钝角，则k 的取值范围是________________．答案 (1)223 (2)⎝⎛⎭⎫－∞，－92∪⎝⎛⎭⎫－92，3 解析 (1)因为a 2＝(3e 1－2e 2)2 ＝9－2×3×2×12×cos α＋4＝9， 所以|a |＝3，因为b 2＝(3e 1－e 2)2＝9－2×3×1×12×cos α＋1＝8， 所以|b |＝22， a ·b ＝(3e 1－2e 2)·(3e 1－e 2)＝9e 21－9e 1·e 2＋2e 22＝9－9×1×1×13＋2＝8， 所以cos β＝a ·b |a ||b |＝83×22＝223.(2)∵2a －3b 与c 的夹角为钝角， ∴(2a －3b )·c ＜0， 即(2k －3，－6)·(2,1)＜0， ∴4k －6－6＜0， ∴k ＜3.又若(2a －3b )∥c ，则2k －3＝－12，即k ＝－92.当k ＝－92时，2a －3b ＝(－12，－6)＝－6c ，即2a －3b 与c 反向．综上，k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，－92∪⎝⎛⎭⎫－92，3.思维升华 平面向量数量积求解问题的策略 (1)求两向量的夹角：cos θ＝a·b|a||b |，要注意θ∈[0，π]． (2)两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是：a ⊥b ⇔a·b ＝0⇔|a －b |＝|a ＋b |. (3)求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有： ①a 2＝a·a ＝|a |2或|a |＝a·a . ②|a ±b |＝(a ±b )2＝a 2±2a·b ＋b 2.③若a ＝(x ，y )，则|a |＝x 2＋y 2.(1)(2015·湖北)已知向量OA →⊥AB →，|OA →|＝3，则OA →·OB →＝________.(2)在△ABC 中，若A ＝120°，AB →·AC →＝－1，则|BC →|的最小值是( ) A. 2 B ．2 C. 6D ．6答案 (1)9 (2)C解析 (1)因为OA →⊥AB →，所以OA →·AB →＝0.所以OA →·OB →＝OA →·(OA →＋AB →)＝OA →2＋OA →·AB →＝|OA →|2＋0＝32＝9. (2)∵AB →·AC →＝－1， ∴|AB →|·|AC →|·cos 120°＝－1， 即|AB →|·|AC →|＝2，∴|BC →|2＝|AC →－AB →|2＝AC →2－2AB →·AC →＋AB →2 ≥2|AB →|·|AC →|－2AB →·AC →＝6， ∴|BC →|min ＝ 6.题型三 平面向量与三角函数例4 (2015·广东)在平面直角坐标系xOy 中，已知向量m ＝⎝⎛⎭⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2. (1)若m ⊥n ，求tan x 的值；(2)若m 与n 的夹角为π3，求x 的值．解 (1)因为m ＝⎝⎛⎭⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，m ⊥n . 所以m ·n ＝0，即22sin x －22cos x ＝0， 所以sin x ＝cos x ，所以tan x ＝1. (2)因为|m |＝|n |＝1，所以m ·n ＝cos π3＝12，即22sin x －22cos x ＝12， 所以sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＝12， 因为0<x <π2，所以－π4<x －π4<π4，所以x －π4＝π6，即x ＝5π12.思维升华 平面向量与三角函数的综合问题的解题思路(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等．(1)已知O 为坐标原点，向量OA →＝(3sin α，cos α)，OB →＝(2sin α，5sin α－4cos α)，α∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，且OA →⊥OB →，则tan α的值为( ) A ．－43B ．－45C.45D.34(2)已知向量a ＝(－12，32)，OA →＝a －b ，OB →＝a ＋b ，若△OAB 是以O 为直角顶点的等腰直角三角形，则△OAB 的面积为________． 答案 (1)A (2)1解析 (1)由题意知6sin 2α＋cos α·(5sin α－4cos α)＝0，即6sin 2α＋5sin αcos α－4cos 2α＝0，上述等式两边同时除以cos 2α，得6tan 2α＋5tan α－4＝0，由于α∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，则tan α＜0，解得tan α＝－43，故选A.(2)由题意得，|a |＝1，又△OAB 是以O 为直角顶点的等腰直角三角形，所以OA →⊥OB →，|OA →|＝|OB →|.由OA →⊥OB →得(a －b )·(a ＋b )＝|a |2－|b |2＝0，所以|a |＝|b |， 由|OA →|＝|OB →|得|a －b |＝|a ＋b |，所以a·b ＝0. 所以|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2＝2，所以|OB →|＝|OA →|＝2，故S △OAB ＝12×2×2＝1.6．利用数量积求向量夹角典例 已知直线y ＝2x 上一点P 的横坐标为a ，直线外有两个点A (－1,1)，B (3,3)．求使向量P A →与PB →夹角为钝角的充要条件． 错解展示现场纠错解 错解中，cos θ<0包含了θ＝π， 即P A →，PB →反向的情况，此时a ＝1，故P A →，PB →夹角为钝角的充要条件是0<a <2且a ≠1.纠错心得 利用数量积的符号判断两向量夹角的范围时，不要忽视两向量共线的情况．1．(2016·北师大附中模拟)已知向量a ＝(x －1,2)，b ＝(2,1)，则a ⊥b 的充要条件是( )A ．x ＝－12B ．x ＝－1C ．x ＝5D ．x ＝0答案 D2．若向量a ，b 满足|a |＝|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，则|a ＋b |等于( )A ．22＋ 3B ．2 3C ．4D ．12 答案 B解析 |a ＋b |2＝|a |2＋|b |2＋2|a ||b |cos 60°＝4＋4＋2×2×2×12＝12，|a ＋b |＝2 3. 3．(2016·山西四校二联)已知平面向量a ，b 满足a ·(a ＋b )＝3，且|a |＝2，|b |＝1，则向量a 与b 夹角的正弦值为( ) A ．－12 B ．－32 C.12 D.32答案 D解析 ∵a ·(a ＋b )＝a 2＋a ·b ＝22＋2×1×cos 〈a ，b 〉＝4＋2cos 〈a ，b 〉＝3，∴cos 〈a ，b 〉＝－12， 又〈a ，b 〉∈[0，π]，∴sin 〈a ，b 〉＝1－cos 2〈a ，b 〉＝32. 4. 如图，在△ABC 中，若|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，AB ＝2，AC ＝1，E ，F 为BC 边的三等分点，则AE →·AF →等于( )A.89B.109C.259D.269答案 B解析 若|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，则AB →2＋AC →2＋2AB →·AC →＝AB →2＋AC →2－2AB →·AC →，即有AB →·AC →＝0.E ，F 为BC 边的三等分点，则AE →·AF →＝(AC →＋CE →)·(AB →＋BF →)＝⎝⎛⎭⎫AC →＋13CB →·⎝⎛⎭⎫AB →＋13BC →＝⎝⎛⎭⎫23AC →＋13AB →·⎝⎛⎭⎫13AC →＋23AB →＝29AC →2＋29AB →2＋59AB →·AC →＝29×(1＋4)＋0＝109.故选B. 5．(2017·驻马店质检)若O 为△ABC 所在平面内任一点，且满足(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →)＝0，则△ABC 的形状为( )A ．正三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形答案 C解析 因为(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →)＝0，即CB →·(AB →＋AC →)＝0，因为AB →－AC →＝CB →，所以(AB →－AC →)·(AB →＋AC →)＝0，即|AB →|＝|AC →|，所以△ABC 是等腰三角形，故选C.6.若△ABC 外接圆的圆心为O ，半径为4，OA →＋2AB →＋2AC →＝0，则CA →在CB →方向上的投影为( )A ．4 B.15 C.7D ．1 答案 C解析 如图所示，取BC 的中点D ，连接AD ，OD ，则由平面向量的加法的几何意义得AB →＋AC →＝2AD →.又由条件得，AB →＋AC →＝－12OA →＝12AO →， 所以2AD →＝12AO →，即4AD →＝AO →，所以A ，O ，D 共线． 所以OA ⊥BC ，所以CD 为CA →在CB →方向上的投影．因为|AO →|＝|CO →|＝4，所以|OD →|＝3，所以|CD →|＝ |OC →|2－|OD →|2＝7.7．在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝3，点P 在AM 上，且满足AP →＝2PM →，则P A →·(PB →＋PC →)的值为________．答案 －4解析 由题意得，AP ＝2，PM ＝1，所以P A →·(PB →＋PC →)＝P A →·2PM →＝2×2×1×cos 180°＝－4.8．在△ABC 中，AB →·BC →＝3，△ABC 的面积S ∈[32，32]，则AB →与BC →夹角的取值范围是________． 答案 [π6，π4] 解析 由三角形面积公式及已知条件知32≤S △ABC ＝12AB ·BC sin B ≤32， 所以3≤AB ·BC sin B ≤3，①由AB →·BC →＝3，知AB ·BC cos(π－B )＝3，所以AB ·BC ＝－3cos B， 代入①得，3≤－3sin B cos B≤3， 所以－1≤tan B ≤－33，所以3π4≤B ≤5π6， 而AB →与BC →的夹角为π－B ，其取值范围为[π6，π4]． 9．(2016·江西白鹭洲中学调研)已知在直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝2，点P是斜边AB 上的中点，则CP →·CB →＋CP →·CA →＝________.答案 4解析 由题意可建立如图所示的坐标系，可得A (2,0)，B (0,2)，P (1,1)，C (0，0)，则CP →·CB →＋CP →·CA →＝CP →·(CB →＋CA →)＝2CP →2＝4.10．(2015·福建改编)已知AB →⊥AC →，|AB →|＝1t，|AC →|＝t ，若点P 是△ABC 所在平面内的一点，且AP →＝AB →|AB →|＋4AC →|AC →|，则PB →·PC →的最大值等于________． 答案 13解析 建立如图所示坐标系，则B ⎝⎛⎭⎫1t ，0，C (0，t )，AB →＝⎝⎛⎭⎫1t ，0，AC →＝(0，t )， AP →＝AB →|AB →|＋4AC →|AC →|＝t ⎝⎛⎭⎫1t ，0＋4t (0，t )＝(1,4)， ∴P (1,4)，PB →·PC →＝⎝⎛⎭⎫1t －1，－4·(－1，t －4) ＝17－⎝⎛⎭⎫1t ＋4t ≤17－21t·4t ＝13. 11．已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61.(1)求a 与b 的夹角θ；(2)求|a ＋b |；(3)若AB →＝a ，BC →＝b ，求△ABC 的面积．解 (1)因为(2a －3b )·(2a ＋b )＝61，所以4|a |2－4a·b －3|b |2＝61.又|a |＝4，|b |＝3，所以64－4a·b －27＝61，所以a·b ＝－6，所以cos θ＝a·b |a||b |＝－64×3＝－12. 又0≤θ≤π，所以θ＝23π. (2)|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝|a |2＋2a·b ＋|b |2＝42＋2×(－6)＋32＝13，所以|a ＋b |＝13.(3)因为AB →与BC →的夹角θ＝23π， 所以∠ABC ＝π－2π3＝π3. 又|AB →|＝|a |＝4，|BC →|＝|b |＝3，所以S △ABC ＝12|AB →||BC →|·sin ∠ABC ＝12×4×3×32＝3 3. 12．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(cos(A －B )，sin(A －B ))，n＝(cos B ，－sin B )，且m ·n ＝－35. (1)求sin A 的值；(2)若a ＝42，b ＝5，求角B 的大小及向量BA →在BC →方向上的投影．解 (1)由m ·n ＝－35，得cos(A －B )cos B －sin(A －B )sin B ＝－35，所以cos A ＝－35. 因为0＜A ＜π，所以sin A ＝1－cos 2A ＝ 1－⎝⎛⎭⎫－352＝45. (2)由正弦定理，得a sin A ＝b sin B ， 则sin B ＝b sin A a ＝5×4542＝22， 因为a ＞b ，所以A ＞B ，则B ＝π4. 由余弦定理得(42)2＝52＋c 2－2×5c ×⎝⎛⎭⎫－35， 解得c ＝1，故向量BA →在BC →方向上的投影为|BA →|cos B ＝c cos B ＝1×22＝22. *13.(2016·青岛模拟)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量a ＝(－1,2)，又点A (8,0)，B (n ，t )，C (k sin θ，t )(0≤θ≤π2)． (1)若AB →⊥a ，且|AB →|＝5|OA →|，求向量OB →；(2)若向量AC →与向量a 共线，当k >4，且t sin θ取最大值4时，求OA →·OC →.解 (1)由题设知AB →＝(n －8，t )，∵AB →⊥a ，∴8－n ＋2t ＝0.又∵5|OA →|＝|AB →|，∴5×64＝(n －8)2＋t 2＝5t 2，得t ＝±8.当t ＝8时，n ＝24；当t ＝－8时，n ＝－8，∴OB →＝(24,8)或OB →＝(－8，－8)．(2)由题设知AC →＝(k sin θ－8，t )，∵AC →与a 共线，∴t ＝－2k sin θ＋16，t sin θ＝(－2k sin θ＋16)sin θ＝－2k (sin θ－4k )2＋32k. ∵k >4，∴0<4k<1， ∴当sin θ＝4k 时，t sin θ取得最大值32k. 由32k＝4，得k ＝8， 此时θ＝π6，OC →＝(4,8)， ∴OA →·OC →＝(8,0)·(4,8)＝32.。