人教版数学八年级上册：14.3.1提公因式法-教案(2)

14.3.1提公因式法课标要求：掌握用提公因式法进行因式分解教材分析因式分解是代数式的一种重要恒等变形。

它是学习分式的基础,又在恒等变形、代数式的运算、解方程、函数中有广泛的应用。

因此，因式分解这一章在整个教材中起到了承上启下的作用。

学生分析根据八年级学生的理解能力、思维特征和生理特征，学生好动性强，注意力易分散，爱发表见解，希望得到老师的表扬等特点，在教学中我抓住学生这一生理心理特点，一方面要运用直观生动形象的展示，引发学生的兴趣，使他们的注意力始终集中在课堂上；另一方面要创造条件和机会，让学生发表见解，发挥学生学习的主动性。

教学目标1、知识与技能:1.了解因式分解的意义及其与整式乘法的区别与联系；2.理解公因式的概念，会用提公因式法分解因式；3.通过学生自主探究解题途径，发展学生的观察、分析和逆向思维能力。

2、过程与方法：体会角在实际生活中的应用,培养学生的抽象思维3、情感与态度：经历在现实情境中认识角的数学活动过程，感受图形世界的丰富多彩，增强审美意识，激发学生的求知欲．教学重难点教学重点用提公因式法将多项式因式分解。

教学难点 1.正确寻找多项式的公因式；2. 提公因式后正确写出另一个因式教学方法：本节课贯彻有效教学的思想，采用对比启发式教学。

教学中注重联系学生已有的知识，注重提供直观素材，各环节循序渐进展现。

通过对比启发使学生或取知识经验。

学习方法： 自主、合作、 探究教学资源：电脑 多媒体等教学过程 ：探究合作（师生互动，合作探究，分组展示，点拨提升！ ）1.计算()____________=++c b a m 。

2.思考：计算上述乘式的法则是什么？法则的依据是什么？上述算式的结果有什么特点？(1)你能把多项式mc mb ma ++写成两个整式的乘积的形式吗？多项式mc mb ma ++的各项都含有相同的因式 ，我们把因式 叫做这个多项式各项的 。

把上式的公因式提出来作为多项式的一个因式，得到mc mb ma ++= 。

第十四章整式的乘法与因式分解14.3因式分解14.3.1提公因式法一、教学目标1.通过因式分解与整式乘法的互逆关系，让学生掌握因式分解的意义．2.让学生理解公因式的概念，会用提公因式法分解因式，渗透化归的思想方法.二、教学重点及难点重点：提公因式法分解因式，难点：理解因式分解的意义，找准公因式能正确分解因式．三、教学用具电脑、多媒体、课件四、相关资源微课、动画、图片五、教学过程（一）情景导入请同学们完成下列计算，看谁算得又准又快．（1）220(3)60(3)⨯-+⨯-；（2）2210199-；（3）22572574343+⨯⨯+． 解：（1）220(3)60(3)⨯-+⨯-＝20×9＋60×（－3）＝180－180＝0；或220(3)60(3)⨯-+⨯-＝220(3)203(3)⨯-+⨯⨯-＝20×（－3）×（－3＋3）＝－60×0＝0；（2）2210199-＝（101＋99）×（101－99）＝200×2＝400；（3）22572574343+⨯⨯+＝2(5743)+＝2100＝10 000．在上述运算中，大家或将数字分解成两个数的乘积，或者逆用乘法公式使运算变得简单易算，类似地，在代数式的变形中，有时也需要将一个多项式写成几个整式的乘积形式，这就是我们从今天开始要探究的内容——因式分解．注意：学生对于第（1）小题第二种算法逆向利用乘法的分配律进行运算的方法是很熟悉，对于第（2）（3）小题的逆向利用平方差公式和完全平方公式的运算则有一定的困难，引导学生在运算与交流中积累解题经验，复习乘法公式．设计意图：让学生通过回顾用简便方法计算，使学生通过类比很自然地过渡到正确理解因式分解的概念上，从而为因式分解的掌握扫清障碍．（二）探究新知1．把下列多项式写成整式的乘积的形式．（1）2________________x x +=；（2）21________________x -=；（3）am ＋bm ＋cm ＝ ．根据整式乘法和逆向思维原理，可以做如下计算：（1）2x x +=x （x ＋1）；（2）21x -=（x ＋1）（x －1）；（3）am ＋bm ＋cm ＝m （a ＋b ＋c ）．像这种把一个多项式化成几个整式的积的形式的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．可以看出因式分解与整式乘法是方向相反的变形，所以需要逆向思维．例：说说下列等式的变形中哪些是因式分解,哪些不是，说明理由？332221262(3)ab a b ab b a -=-（） 522323()3x x y x x y ++=++（）23(2)(2)4x x x +-=-（） 24()1(1)(1)m n m n m n --=---+（）答案：（1）（4）是，因为把一个多项式分成两个因式乘积的形式．（2）不是，是部分分解，不是几个因式乘积形式．（3）不是，是整式的乘法形式．2．再观察上面的第（1）题和第（3）题，你能发现什么特点．发现（1）中各项都有一个公共的因式x ，（3）中各项都有一个公共因式m ，我们就把这些公共因式叫做多项式的公因式．说出下列各项中的公因式：354216 3 12m n m n mn -（），，． 2532()()()a b a b a b +++（）， ，　．答案：（1）3mn ． （2）2() a b +．因为ma ＋mb ＋mc ＝m （a ＋b ＋c ），于是就把ma ＋mb ＋mc 分解成两个因式乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式m ，另一个因式a ＋b ＋c 是ma ＋mb ＋mc 除以m 所得的商．一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．设计意图：类比数的因式分解，根据整式乘法和逆向思维原理，通过计算得出因式分解的概念，公因式的概念和提公因式法．（三）例题解析【例1】把323812a b ab c +分解因式．让学生利用提公因式法的定义尝试独立完成，然后与同伴交流解题心得，教师深入到学生中去发现问题，并对有困难的学生进行适时的引导和启发，最后师生共同评析、总结．分析：先找出328a b 与312ab c 的公因式，再提出公因式．我们看这两项的系数8与12，它们的最大公约数是4，两项的字母部分32a b 与3ab c 都含有字母a 和b ．其中a 的最低次数是1，b 的最低次数是2．我们选定24ab 为要提出的公因式．提出公因式24ab 后，另一个因式223a bc +就不再有公因式了．解：323812a b ab c + 2224243ab a ab bc =⋅+⋅224(23)ab a bc =+．总结：提取公因式后，要满足另一个因式不再有公因式才行，即括号里面要分到“底”．【例2】把2a （b ＋c ）－3（b ＋c ）分解因式．分析：（b ＋c ）是这两个式子的公因式，可以直接提出．这就是说，公因式可以是单项式，也可以是多项式，是多项式时应整体考虑直接提出．解：2a （b ＋c ）－3（b ＋c ）＝（b ＋c ）（2a －3）．思考：如何检验因式分解是否正确呢？学生思考得出检验方法：在分解因式完成后，按照整式乘法把因式再乘回去，看结果是否与原式相等，如果相等就说明没有错，否则就错了．设计意图：通过例题解析，使学生明确找公因式是提公因式法分解因式的关键，并掌握找公因式的方法（找多项式中各项系数的最大公约数和各项都含有的字母及多项式的最低次幂的积作为公因式），并知道提公因式法分解因式就是把一个多项式化成单项式与多项式相乘的形式．（四）课堂练习1．把236x xy x -+分解因式．2．把3241618a a a -+-分解因式．3．把6（x －2）＋x （2－x ）分解因式．学生先独立完成后小组交流合作，总结归纳提公因式法分解因式的经验方法和技巧． 答案：1．解：236x xy x -+＝x ·3x －x ·6y ＋x ·1＝x （3x －6y ＋1）．注意：x （3x －6y ＋1）＝236x xy x -+，而x （3x －6y ）＝236x xy -，所以原多项式因式分解为x （3x －6xy ＋1）而不是x （3x －6y ）．这就是说，1作为项的系数，通常可以省略，但如果单独成一项时，它在因式分解时不能漏掉，可以概括为：某项提出莫漏1．2．解：3241618a a a -+- 32(41618)a a a =--+22(289)a a a =--+．注意：如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的．在提出“－”号时，多项式的各项都要变号．可以用一句话概括：首项有负常提负．3．分析：先找6（x －2）与x （2－x ）的公因式，再提取公因式．因为2－x ＝－（x －2），所以x －2即公因式．解：6（x －2）＋x （2－x ）＝6（x －2）－x （x －2）＝（x －2）（6－x ）．有时候多项式的各项从表面上看没有公因式，但将其中的一些项变形后，就可以发现公因式了，然后再提取公因式．设计意图：进一步巩固用提公因式法分解因式，并在解题的过程中总结用提公因式法分解因式的方法和技巧．六、课堂小结1．因式分解的定义，就是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式．2．提公因式法分解因式的一般形式，如：ma＋mb＋mc＝m（a＋b＋c）．这里的公因式m可以是一个单项式，也可以是一个数或多项式．3．提公因式法分解因式的关键在于观察并准确找出多项式的公因式．4．找公因式的一般方法：找多项式中各项系数的最大公约数和各项都含有的字母及多项式的最低次幂的积作为公因式．5．找公因式的一般方法和技巧各项有“公”先提“公”；首项有负常提负；某项提出莫漏1；括号里面分到“底”．6．初学提公因式法分解因式，最好先在各项中将公因式分解出来，如果这项就是公因式，也要将它写成乘1的形式，这样可以防范错误，即漏项的错误发生．7．公因式相差符号的，如（x－2）与（2－x）要先统一公因式，同时要防止出现符号问题．设计意图：通过小结，使学生梳理本节所学内容，理解因式分解的概念、公因式的概念和用提公因式法分解因式，进一步清楚地了解分解因式与整式的乘法的互逆关系，加深对类比思想的理解．本图片资源介绍了因式分解的概念及注意事项，适用于因式分解的教学.若需使用，请插入图片【知识点解析】因式分解.本图片资源介绍了公因式的概念及如何确定公因式，适用于因式分解的教学.若需使用，请插入图片【知识点解析】公因式的确定.本图片资源介绍了提公因式法的概念及步骤，适用于因式分解的教学.若需使用，请插入图片【知识点解析】用提公因式法分解因式.七、板书设计14.3因式分解第1课时因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.公因式：多项式中各项共有的因式叫做这个多项式的公因式.提公因式法：如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．。

14.3.1 提公因式法一、教材内容分析本节是八年级上册第14章第3节第1课时的内容，在小学里学习因数分解．因为通分和约分要直接应用质因数分解．在前一节已经学习了乘法分配律，整式乘法，乘法公式，整式除法的基础上．这节学习因式分解．因为因式分解内容不仅在分式的通分和约分里有，还在解一元二次方程及各种式子的恒等变形等的学习奠定了基础，起到承上启下的作用.二、学习者特征分析八年级的学生接受能力、思维能力、自我控制能力都有很大变化和提高，自学能力较强，通过类比加快知识的学习.教学时应加强直观性和趣味性来增加感官刺激，激发学生的学习兴趣.三、教学目标（知识技能，数学思考，问题解决，情感态度）知识技能：理解因式分解的概念,正确运用提取公因式法分解因式.数学思考：经历探索多项式各项公因式的过程,并在具体问题中,能确定多项式各项的公因式;会用提公因式法把多项式分解因式;进一步了解分解因式的意义,并渗透化归的思想方法.问题解决：运用因式分解的方法解决实际问题，增强学生的应用能力和实践能力.情感态度：培养学生积极主动参与的意识，使学生形成自主学习、合作学习，向学生渗透对比、类比的数学思想方法.四、重点与难点重点：因式分解的概念及用提公因式法提公因式难点：正确找出多项式的公因式及公因式提取后，另一个因式的确定五、教学策略选择与设计《课标》中强调，动手实践，自主探索与合作交流是学生进行有效地数学学习活动的重要方式，教学中，应注重学生的活动，要鼓励每个学生亲自实践，积极思考，体会活动的乐趣，在乐学的氛围中培养学生的空间观念，动手能力.虑到学生的认知水平，本节以探究法为主，结合讲练结合法等展开教学.为让学生理解因式分解的概念和公因式的确定，我采用对比、类比教学.六、教学环境及资源准备教学环境：多媒体教学网络教室资源准备：PPT课件七、教学过程1.温故知新整式的乘法计算下列各式:x(x+1)=_____________.(x+1)(x－1)=___________.(a+b)2= .2.知识讲解：因式分解的概念2.1试一试请把下列多项式写成整式的乘积的形式:(1)x2+x =__________;(2)x 2–1=__________.2.2因式分解概念上面我们把一个多项式化成了几个整式的积的形式,像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解,也叫做把这个多项式分解因式. 思考：整式的乘法与因式分解有什么关系？2.3练一练判断下列各式哪些是整式乘法?哪些是因式分解?(1) x 2－4y 2=(x+2y)(x －2y)；()()1112-+=-x x x 上面我们把一个多项式化成了几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式 ，也叫做把这个多项式 。

人教版八年级数学上册14.3.1《提公因式法》教学设计一. 教材分析《提公因式法》是人民教育出版社八年级数学上册第14章第3节的内容，本节课主要让学生掌握提公因式法分解因式的技巧，并能灵活运用解决实际问题。

教材通过引入实例，引导学生发现并总结提公因式法的原理，进而运用到因式分解中。

本节课的内容是学生学习因式分解的重要环节，对于提高学生的数学思维能力和解决实际问题能力具有重要意义。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了整式的乘法、完全平方公式和平方差公式等基础知识。

但由于提公因式法的抽象性较强，学生可能难以理解其本质和应用。

此外，学生在学习过程中可能存在对公式死记硬背的现象，缺乏对公式的灵活运用能力。

因此，在教学过程中，需要关注学生的认知基础，引导学生发现提公因式法的规律，培养学生的数学思维能力。

三. 教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握提公因式法，能够运用提公因式法分解因式。

2.过程与方法目标：通过观察、分析、归纳等方法，引导学生发现提公因式法的原理，培养学生的数学思维能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作精神。

四. 教学重难点1.重点：提公因式法的原理和运用。

2.难点：如何引导学生发现提公因式法的规律，以及如何灵活运用提公因式法解决实际问题。

五. 教学方法1.启发式教学：通过设置疑问，引导学生主动思考，发现提公因式法的规律。

2.案例教学：通过分析具体实例，使学生理解并掌握提公因式法的应用。

3.小组合作学习：引导学生分组讨论，培养学生的团队合作精神。

六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示提公因式法的原理和应用。

2.实例：准备一些具有代表性的例子，用于讲解和练习。

3.练习题：准备一些练习题，巩固学生对提公因式法的掌握。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用实例引入提公因式法，引导学生思考如何简化表达式。

例如，给出表达式 (x^2 - 4x + 4)，让学生尝试分解。

14.3.1提取公因式法-人教版八年级数学上册教案一、教学目标1.能够掌握提取公因式的方法，结合实际问题解决具体的数学问题。

2.能够运用提取公因式的方法化简和展开代数式。

3.能够独立完成提取公因式相关的数学题目。

二、教学重点1.提取公因式的思路和方法。

2.题目中的实际问题和运用提取公因式解决问题的步骤。

三、教学难点1.运用提取公因式解决复杂问题的能力。

2.编写能够让学生掌握提取公因式方法的练习题。

四、教学过程1. 导入教师挂在黑板上一道经过化简处理的代数式：“6a+12ab”，然后提问：“如何简化这个式子呢？”引导学生找到答案并引导回想上节课讲到的因式分解。

2. 提取公因式法的定义教师向学生介绍提取公因式法：在一个式子中，如果有一些项除了符号外，其他部分完全一样，那么这些项就有一个共同的因式，这个公共因式可以提取出来，这就是提取公因式法。

3. 提取公因式法的步骤教师向学生讲解提取公因式的步骤：1.找到式子中的公共因式。

2.用公共因式去除每一项中的相同部分，留下不同的部分。

3.把公共因式和去除后的不同的部分相乘，得到答案。

教师在黑板上用具体例子展示以上步骤，并鼓励学生在讲课过程中多加思考和提问。

4. 实例演练教师给出一组代数式，包括：8a+12ab18x2+3xy216xz+8yz+24xy教师供给一定的时间让学生思考融会贯通，尝试提取公因式，最后让学生分享他们的答案。

5. 巩固练习教师给出一些具体问题，让学生通过提取公因式的方法解决问题，并要求他们在练习过程中理解提取公因式法对解决问题的帮助，并掌握运用此方法的技巧。

问题举例：1.现在要用木条构建一个正方形，它的周长为32cm，求正方形的面积。

2.某公司为员工每人发了c元生日红包，其中a为公司员工总人数，b为公司总年收入，求公司总共发了多少生日红包。

3.某校比赛中，冠军班级的总分数是p分，亚军班级总分数是q分，那么冠军班的学生平均分高出亚军班的学生平均分多少分？6. 总结回顾这节课的主要内容，总结提取公因式的步骤和运用该方法的实际问题解决方式。

人教版数学八年级上册教学设计14.3.1《提公因式法》一. 教材分析1.本节课的内容是《提公因式法》，这是人教版数学八年级上册的教学内容，属于因式分解的一部分。

2.教材通过引入提公因式法，让学生掌握因式分解的基本方法，为进一步学习分式、二次函数等知识打下基础。

3.教材通过具体的例子，引导学生发现提公因式法的原理，并通过大量的练习，使学生熟练掌握这一方法。

二. 学情分析1.学生在学习本节课之前，已经学习了有理数的乘法、因式分解等基础知识。

2.学生对因式分解有一定的了解，但提公因式法是因式分解的一种特殊方法，需要引导学生发现和理解。

3.学生通过之前的数学学习，已经具备了一定的逻辑思维能力和探究能力，可以引导学生发现和总结提公因式法的规律。

三. 教学目标1.让学生掌握提公因式法，能够运用提公因式法进行因式分解。

2.培养学生的逻辑思维能力和探究能力，让学生在学习过程中，体验发现、探究的乐趣。

3.通过本节课的学习，使学生对数学产生兴趣，提高学生学习数学的积极性。

四. 教学重难点1.教学重点：让学生掌握提公因式法，能够运用提公因式法进行因式分解。

2.教学难点：让学生理解提公因式法的原理，能够灵活运用提公因式法解决实际问题。

五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生发现和总结提公因式法的规律。

2.采用案例分析法，通过具体的例子，使学生理解和掌握提公因式法。

3.采用练习法，让学生在练习中熟练掌握提公因式法。

六. 教学准备1.准备相关的教学PPT，用于辅助教学。

2.准备相关的练习题，用于课堂练习和课后作业。

3.准备黑板，用于板书和演示。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提问的方式，引导学生回顾已学的因式分解知识，为新课的学习做好铺垫。

2.呈现（15分钟）通过具体的例子，引导学生发现提公因式法的原理，并用PPT展示相关的步骤和结果。

3.操练（10分钟）让学生独立完成一些运用提公因式法的练习题，教师巡回指导，帮助学生解决问题。

八年级数学上册 14.3 因式分解 14.3.1 提公因式法教学设计（新版）新人教版一. 教材分析《新人教版八年级数学上册》第14.3节讲述了因式分解中的提公因式法。

这一节内容是在学生已经掌握了多项式的基本概念、多项式的乘法以及十字相乘法的基础上进行学习的。

提公因式法是因式分解的一种常用方法，它可以帮助学生更好地理解多项式的结构，提高解题效率。

本节内容的学习，既是对前面知识的巩固，也是为后面学习更复杂的因式分解方法打下基础。

二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和抽象思维能力，对多项式的基本概念和运算已经有了一定的了解。

但是，学生在学习因式分解时，可能会对提公因式法的应用范围和选择公因式的方法感到困惑。

因此，在教学过程中，需要引导学生积极参与，通过实例分析和练习，让学生掌握提公因式法的应用技巧。

三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握提公因式法，能够运用提公因式法进行因式分解。

2.过程与方法：通过实例分析，引导学生学会如何选择公因式，如何进行因式分解。

3.情感态度与价值观：培养学生对数学的兴趣，提高学生解决问题的能力。

四. 教学重难点1.重点：提公因式法的应用。

2.难点：如何选择合适的公因式，以及如何进行因式分解。

五. 教学方法采用讲授法、引导法、实例分析法、练习法等方法，通过讲解、提问、讨论、练习等形式，引导学生积极参与，提高学生的学习兴趣和主动性。

六. 教学准备1.准备相关的教学PPT，包括提公因式法的定义、应用范围、选择公因式的方法等。

2.准备一些练习题，包括简单的和复杂的题目，以便在课堂上进行练习和巩固。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个简单的多项式乘法例子，引导学生思考如何将乘法转化为因式分解，从而引出提公因式法。

2.呈现（10分钟）讲解提公因式法的定义、应用范围、选择公因式的方法等，通过PPT的形式，让学生清晰地了解提公因式法的相关知识。

3.操练（10分钟）给出一些简单的题目，让学生运用提公因式法进行因式分解。

提公因式法【教学目标】1．知识与技能：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。

2．过程与方法：分解因式的结果只能是几个整式的乘积形式，而且要分解到不能再分解为止，相同因式要写成幂的形式。

3．情感态度与价值观：运用提公因式法分解因式的关键是确定多项式各项的公因式，公因式是指各项系数的最大公约数、各项共有字母的最低次幂的乘积。

公因式可以是单项式也可以是多项式。

【教学重点】用提公因式法分解因式。

【教学难点】确定多项式中的公因式。

【教学过程】一、创设情境，导入新课。

1．如图，我们学校篮球场的面积是ma+mb+mc，长为a+b+c，宽为多少呢？这个问题实际上就是求（am+bm+cm）÷（a+b+c）=______为了解决这个问题请你先思考：2．如图，某建筑商买了一块宽为m的矩形地皮，被分成了三块矩形宽度分别是a，b，c，这块地皮的面积是多少？例3．把242812x y xy z -因式分解强调：公因式确定的方法：（1）系数：取各系数的最大公约数。

如果绝对值较大，可以分解质因数求最大公因数；求48.36的最大功因数48=423⨯，36=2223⨯，那么24x y 就是他们的最大公约数。

（2）对于字母，取各项都有的，指数最低的。

如：223⨯与2xy z ，2xy 取作为公因式的字母因式。

（3）公因式确定后，另一个因式可以用多项式除以公因式。

考考你：1．a²x+ay-a³xy 在分解因式时，应提取的公因式（）A ．a²B ．aC ．axD ．ay2．下列分解因式正确的个数为（）（1）5y ³+20y²=5y （y ²+4y ）（2）a ²b-2ab ²+ab=ab （a-2b ）（3）a 2+3ab-2ac=-a （a+3b-2c ）（4）-2x²-12xy²+8xy³=-2x （x+6y²-4y³）A ． 1B ． 2C ．3D ．4三．应用迁移，巩固提高。