2019届苏教版(理科数学) 由“面面垂直”引发的证明问题案例 单元测试

一、填空题1．给定空间中的直线l及平面α，条件“直线l与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l与平面α垂直”的________条件．解析：若直线l⊥平面α，由定义，l垂直α内任意直线，所以l与α内无数条直线都垂直．若l与α内无数条相互平行的直线垂直，则不能得出l与平面α垂直．所以“直线l与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l与平面α垂直”的必要不充分条件．答案：必要不充分2．已知直线l，m，n，平面α，m⊂α，n⊂α，则“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”之一)解析：若l⊥α，则l垂直于平面α内的任意直线，故l⊥m且l⊥n，但若l⊥m且l⊥n，不能得出l⊥α.答案：充分不必要3．设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，给出下列四个命题：①若m⊥n，m⊥α，n⊄α，则n∥α；②若m∥α，α⊥β，则m⊥β；③若m⊥β，α⊥β，则m∥α或m⊂α；④若m⊥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥β.则其中正确命题的序号为________．解析：②中可能有m∥β，故②不正确．答案：①③④4．已知平面α，β，γ，直线l，m满足α⊥γ，γ∩α＝m，γ∩β＝l，l⊥m，那么：①m⊥β；②l⊥α；③β⊥γ；④α⊥β.由上述条件可推出的结论有________(填序号)．解析：由条件知α⊥γ，γ∩α＝m，l⊂γ，l⊥m，则根据面面垂直的性质定理有l⊥α，即②成立；又l⊂β，根据面面垂直的判定定理有α⊥β，即④成立．答案：②④5.如图所示，P A⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E、F分别是点A在PB、PC上的正投影，给出下列结论：①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC.其中正确结论的序号是________．解析：由题意知P A⊥平面ABC，∴P A⊥BC，又AC⊥BC，P A∩AC＝A，∴BC⊥平面P AC.∴BC⊥AF.∵AF⊥PC，BC∩PC＝C，∴AF⊥平面PBC，∴AF⊥PB，AF⊥BC.又AE⊥PB，AE∩AF＝A，∴PB⊥平面AEF.∴PB⊥EF.故①②③正确，④错．答案：①②③6．正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动并且总保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹是________．解析：∵BD1⊥平面AB1C，当P点在线段B1C上时，AP⊂平面AB1C，∴AP⊥BD1. 答案：线段B1C7．下列五个正方体图形中，l是正方体的一条对角线，点M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出l⊥面MNP的图形的序号是________(写出所有符合要求的图形序号)．解析：为了得到本题答案，必须对5个图形逐一进行判别．对于给定的正方体，l 位置固定，截面MNP 变动，l 与面MNP 是否垂直，可从正、反两方面进行判断．在MN ，NP ，MP 三条线中，若有一条不垂直l ，则可判定l 与面MNP 不垂直；若有两条与l 都垂直，则可断定l ⊥面MNP ；若有l 的垂面∥面MNP ，也可得l ⊥面MNP .答案：①④⑤8．如图，平面ABC ⊥平面BDC ，∠BAC ＝∠BDC ＝90°，且AB ＝AC ＝a ，则AD ＝________.解析：取BC 中点E ，连结ED 、AE ，∵AB ＝AC ，∴AE ⊥BC .∵平面ABC ⊥平面BDC ，∴AE ⊥平面BCD .∴AE ⊥ED .在Rt △ABC 和Rt △BCD 中，AE ＝ED ＝12BC ＝22a ，∴AD ＝AE 2＋ED 2＝a . 答案：a9．将正方形ABCD 沿对角线BD 折起，使平面ABD ⊥平面CBD ，E 是CD 的中。

第24课时两个平面垂直的判定和性质教学目标：使学生掌握两个平面互相垂直的判定与性质，提高学生空间想象能力，提高等价转化思想渗透的意识，进一步提高学生分析问题、解决问题的能力；使学生多角度分析、思考问题，培养学生的创新精神。

教学重点：两个平面垂直的判定、性质。

教学难点：两个平面垂直的判定定理，性质定理运用；正确作出符合题意的空间图形。

教学过程：1．复习回顾：1）二面角、二面角的平面角.2）求作二面角的平面角的途径及依据.2．讲授新课：［师］两个平面互相垂直是两个平面相交的特殊情形.教室的墙面与地面，一个正方体中每相邻的两个面、课桌的侧面与地面都是互相垂直的.两个平面互相垂直的概念和平面几何里两条直线互相垂直的概念相类似，也是用它们所成的角为直角来定义，上一节的学习告诉我们二面角的取值范围是（0，π］，即二面角既可以为锐角，也可以为钝角，特殊情形又可以为直角.请同学给两个平面互相垂直下一定义：［生］两个平面互相垂直的定义可表述为：如果两个相交平面所成的二面角为直二面角，那么这两个平面互相垂直.［师］那么两个互相垂直的平面画其直观图时，应把直立平面的边画成和水平平面的横边垂直，如下图.师生共同动手，图画的是否直观，直接影响问题解决.平面α和β垂直，记作α⊥β［师］还以教室的门为例，由于门框木柱与地面垂直，那么经过木柱的门无论转到什么位置都有门面垂直于地面.即α⊥β,请同学给出面面垂直的判定定理.［生］两个平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.［师］请两位同学给出分析，证明.［生］已知：AB⊥β，AB∩β＝B，AB ⊂α求证：α⊥β.分析：要证α⊥β需证α和β构成的二面角是直二面角，而要证明一个二面角是直二面角，需找到其一个平面角，并证明这个二面角的平面角是直角.证明：设α∩β＝CD，则由AB ⊂α知，AB、CD共面.∵AB⊥β，CD⊂β∴AB⊥CD，垂足为点B在平面β内过点B作直线BE⊥CD则∠ABE是二面角α—CD—β的平面角.又AB⊥BE，即二面角α—CD—β是直二面角.∴α⊥β.［师］建筑工人在砌墙时，常用一段系有铅锤的线来检查所砌墙面是否和水平面垂直，依据是什么？［生］依据是两个平面垂直的判定定理，一面经过另一面的一条垂线.［师］从转化的角度来看，两个平面垂直的判定定理可简述为：线面垂直⇒面面垂直两个平面垂直的性质：［师］在所给正方体中，下式是否正确①平面ADD1A1⊥平面ABCD②D1A⊥AB③D1A⊥面ABCD［生］①∵AB⊥面ADD1A1，AB ⊂面ABCD∴平面ABCD⊥平面ADD1A1②∵AB⊥面ADD1A1，D1A ⊂面ADD1A1∴AB⊥D1A③∵AA1⊥面ABCD∴AD1与平面ABCD不垂直［师］平面ADD1A１⊥面ABCD，平面ADD1A1∩平面ABCD=AD，A是平面ADD1A1内一点.过点A可以在平面ADD1A1内作无数条直线，而这些直线满足什么条件就可以使之与平面垂直？判定定理解决两个平面如何垂直，性质定理可以解决上述线面垂直.两个平面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一平面.［师］从转化的角度可表述为：面面垂直，则线面垂直.也给了以后我们证明问题的一种思想方法.请同学予以证明.［生］证明过程如下：已知：α⊥β、α∩β＝a, AB⊂α，AB⊥a于B.求证：AB⊥β.证明：在平面β内作BE⊥CD垂足为B则∠ABE就是二面角α—CD—β的平面角由α⊥β可知，AB⊥BE又AB⊥CD，BE与CD是β内两条相交直线∴AB⊥β.［师］证明的难点在于“作BE⊥CD”.为什么要做这一步？主要是由两面垂直的关系，去找其二面角的平面角，构造二面角的平面角过程可以体现学生的创新精神、转化能力.例1也可做为性质定理用.例1：求证：如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内.已知:α⊥β，P∈α，P∈a，a⊥β.求证：a⊂［师］请同学分析题的条件及结果，结合投影思考证明思路，为了证aα先作出直线b⊂α然后证a与b是同一条线，生先证，尔后教师给予评注.［生］证明：设α∩β＝c，过点P在平面α内作直线b⊥c，∵α⊥β∴b⊥β，而a⊥β，P∈a因为经过一点只能有一条直线与平面β垂直.所以直线a应与直线b重合.那么a⊂α.［师］利用“同一法”证明问题，主要是在按一般途径不易完成问题的情形下所采用的一种数学方法，这里要求做到两点.一是作出符合题意的直线b，不易想到，二是证明直线b和直线a重合，相对容易些.点P的位置由投影所给的图及证明过程可知，可以在交线上，也可以不在交线上.其结论可作性质定理用.例2：如图，AB是⊙O的直径，点C是圆O上的动点，过动点C的直线VC垂直于⊙O 所在平面，D、E分别是VA、VC的中点，直线DE与平面VBC有什么关系？试说明理由.［生］可从多角度解决该题.解法一：∵VC⊥面ABC，AC面ABC，BC ⊂面ABC∴VC⊥AC，VC⊥BC则∠ACB就是面VBC—BC—面VAC的平面角.因AB是⊙O的直径，故∠ACB=90°∴面VBC⊥面VAC又D、E分别是VA、VC的中点，则DE∥AC而AC⊥VC即DE⊥VC那么DE⊥面VBC.［运用面面垂直的判定及面面垂直的性质转化关系：二面角是直二面角面面垂直线面垂直.］解法二：因VC⊥面ABC，AC⊂面ABC∴VC⊥AC又AB是⊙O的直径，即有AC⊥BC由此AC⊥面VBC而D、E是VA、VC中点，DE∥AC故DE⊥面VBC.［此法比解法一简单明了，走的弯路较少.转化关系：线垂直面⇒线垂直面内线线垂直面⇒与此线平行的线也垂直平面.］解法三：可找VB中点F，证∠DEF＝90°,进而证明ED⊥面VBC（由AC⊥VC，BC⊥VC说明之）3．课堂练习：课本P47练习2，3，4.4．课时小结：（1）证明两个平面垂直.关键在于找线，找到的直线在一个平面内而与另一个平面垂直.（2）证明直线和平面垂直，若能说明该线在两个垂直平面其中一个内而与交线垂直，则这条直线和另一平面垂直.（3）判定定理，性质定理有时要和其他定理结合起来用.5．课后作业：课本P476，7，8。

第二讲大题考法——平行与垂直题型(一)线线、线面地点关系的证明平行、垂直关系的证明是高考的必考内容，主要考察线面平行、垂直的判断定理及性质定理的应用，以及平行与垂直关系的转变等 .[ 典例感悟 ][例 1] (2017 ·江苏高考 ) 如图，在三棱锥A- BCD中，AB⊥AD，BC⊥ BD，平面 ABD⊥平面 BCD，点 E，F( E与 A，D不重合)分别在棱 AD，BD上，且 EF⊥ AD.求证： (1) EF∥平面ABC；(2)AD⊥ AC.[ 证明 ](1) 在平面ABD内，由于AB⊥AD，EF⊥AD，所以 EF∥ AB.又由于 EF?平面 ABC， AB?平面 ABC，所以 EF∥平面 ABC.(2)由于平面 ABD⊥平面 BCD，平面 ABD∩平面 BCD＝ BD，BC?平面 BCD，BC⊥ BD，所以 BC⊥平面 ABD.由于 AD?平面 ABD，所以 BC⊥ AD.又 AB⊥ AD， BC∩ AB＝ B，AB?平面 ABC， BC?平面 ABC，所以 AD⊥平面 ABC.又由于 AC?平面 ABC，所以 AD⊥ AC.[ 方法技巧 ]立体几何证明问题的 2 个注意点(1)证明立体几何问题的主要方法是定理法，解题时一定依照定理建立的条件进行推理．如线面平行的判断定理中要求此中一条直线在平面内，另一条直线一定说明它在平面外；线面垂直的判断定理中要求平面内的两条直线一定是订交直线等，假如定理的条件不完好，则结论不必定正确．(2)证明立体几何问题，重要密联合图形，有时要利用平面几何的有关知识，所以需要多画出一些图形协助使用．[ 操练冲关 ]1.(2018 ·苏锡常镇调研) 如图，在四棱锥P- ABCD中，∠ ADB＝90°，CB＝CD，点E为棱PB的中点．(1)若 PB＝ PD，求证： PC⊥ BD；(2)求证： CE∥平面 PAD.证明： (1) 取BD的中点O，连结CO，PO，由于 CD＝ CB，所以 BD⊥ CO.由于 PB＝ PD，所以 BD⊥ PO.又 PO∩ CO＝ O，所以 BD⊥平面 PCO.由于 PC?平面 PCO，所以 PC⊥ BD.(2)由 E 为 PB中点，连结 EO，则 EO∥ PD，又 EO?平面 PAD， PD?平面 PAD，所以 EO∥平面 PAD.由∠ ADB＝90°，以及BD⊥ CO，所以 CO∥ AD，又 CO?平面 PAD，所以 CO∥平面 PAD.又 CO∩ EO＝ O，所以平面 CEO∥平面 PAD，而 CE?平面 CEO，所以 CE∥平面 PAD.2．(2018 ·苏州模拟 ) 在以下图的空间几何体ABCDPE中，底面ABCD 是边长为 4 的正方形，PA⊥平面ABCD，PA∥EB，且PA＝AD＝ 4，EB＝ 2.(1)若点 Q是 PD的中点，求证： AQ⊥平面 PCD；(2)证明： BD∥平面 PEC.证明： (1) 由于PA＝AD，Q是PD的中点，所以 AQ⊥ PD.又 PA⊥平面 ABCD，所以 CD⊥ PA.又 CD⊥ DA， PA∩ DA＝ A，所以 CD⊥平面 ADP.又由于 AQ?平面 ADP，所以 CD⊥ AQ，又 PD∩ CD＝ D，所以 AQ⊥平面 PCD.(2) 如图，取PC的中点M，连结AC交BD于点N，连结MN，ME，1在△ PAC中，易知 MN＝2PA， MN∥ PA，1又 PA∥ EB， EB＝2PA，所以 MN＝ EB， MN∥ EB，所以四边形BEMN是平行四边形，所以 EM∥ BN.又 EM?平面 PEC， BN?平面 PEC，所以 BN∥平面 PEC，即 BD∥平面 PEC.题型(二)两平面之间地点关系的证明考察面面平行和面面垂直，都需要用判断定理，其实质是考察线面垂直和平行.[ 典例感悟 ][例 2] (2018 ·南京模拟 ) 如图，直线PA 垂直于圆 O 所在的平面，△ABC内接于圆 O，且 AB为圆 O的直径， M为线段 PB 的中点， N 为线段BC的中点．求证： (1) 平面MON∥平面PAC；(2)平面 PBC⊥平面 MON.[证明] (1) 由于M， O，N分别是PB， AB， BC的中点，所以MO∥ PA，NO∥ AC，又 MO∩ NO＝ O，PA∩ AC＝A，所以平面 MON∥平面 PAC.(2) 由于PA⊥平面ABC，BC? 平面ABC，所以PA⊥BC.由 (1) 知，MO∥PA，所以MO⊥BC.连结 OC，则 OC＝ OB，由于 N为 BC的中点，所以ON⊥BC.又 MO∩ ON＝ O，MO?平面 MON， ON?平面 MON，所以 BC⊥平面 MON.又 BC?平面 PBC，所以平面 PBC⊥平面 MON.[ 方法技巧 ]证明两平面地点关系的求解思路(1)证明面面平行依照判断定理，只需找到一个面内两条订交直线与另一个平面平行即可，进而将证明面面平行转变为证明线面平行，再转变为证明线线平行．(2)证明面面垂直常用面面垂直的判断定理，即证明一个面过另一个面的一条垂线，将证明面面垂直转变为证明线面垂直，一般先从现有直线中找寻，若图中不存在这样的直线，则借助中线、高线或增添协助线解决.[ 操练冲关 ](2018 ·江苏高考) 在平行六面体ABCD-A1B1C1 D1中， AA1＝ AB， AB1 ⊥B1C1.求证： (1) AB∥平面A1B1C；(2)平面 ABB1A1⊥平面 A1BC.证明： (1) 在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB∥ A1B1.由于 AB?平面 A1B1C，A1B1?平面 A1B1C，所以 AB∥平面 A1B1 C.(2)在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1中，四边形 ABB1A1为平行四边形．又由于 AA1＝ AB，所以四边形ABB1A1为菱形，所以 AB1⊥ A1B.由于 AB1⊥ B1C1， BC∥B1C1，所以 AB1⊥ BC.由于 A1B∩ BC＝ B，A1B?平面 A1BC，BC?平面 A1BC，所以由于AB1⊥平面AB1?平面A1BC.ABB1A1，所以平面ABB1A1⊥平面A1BC.题型(三) 主要考察空间线面、面面平行或垂直的地点空间地点关系的综合问题关系的证明与翻折或存在性问题相联合的综合问题 .[ 典例感悟 ][ 例 3] 如图 1，在矩形ABCD中，AB＝ 4，AD＝ 2，E是CD的中点，将△ADE沿AE折起，获得如图 2 所示的四棱锥D1- ABCE，此中平面D1AE⊥平面ABCE.(1)证明： BE⊥平面 D1AE；(2)设 F 为 CD1的中点，在线段 AB上能否存在一点 M，使得 MF∥平面 D1AE，若存在，求AM出的值；若不存在，请说明原因．ABAD＝ DE＝ EC＝BC＝2，∴ AE＝ BE＝2 2.[ 解 ] (1) 证明：∵四边形ABCD为矩形且22 2又 AB＝4，∴ AE＋BE＝ AB，∴∠ AEB＝90°，即 BE⊥AE.又平面 D1AE⊥平面 ABCE，平面 D1AE∩平面 ABCE＝AE，BE?平面 ABCE，∴ BE⊥平面 D1AE.AM 1(2)＝，原因以下：AB 4取 D1E 的中点 L，连结 FL，AL，1∴FL∥EC， FL＝2EC＝1.1又 EC∥ AB，∴ FL∥ AB，且 FL＝4AB，∴ M， F， L， A四点共面．若 MF∥平面 AD1E，则 MF∥AL.∴四边形 AMFL为平行四边形，1AM 1∴AM＝FL＝4AB，即AB＝4.[ 方法技巧 ]与平行、垂直有关的存在性问题的解题步骤[ 操练冲关 ](2018 ·全国卷Ⅰ) 如图，在平行四边形ABCM中， AB＝ AC＝3，∠ ACM＝90°.以AC为折痕将△ ACM折起，使点M抵达点 D的地点，且AB⊥ DA.(1) 证明：平面ACD⊥平面 ABC；2(2)Q为线段 AD上一点， P 为线段 BC上一点，且 BP＝ DQ＝ DA，求三棱锥 Q- ABP的体积．3解： (1) 证明：由已知可得，∠BAC＝90°，即BA⊥ AC.又由于 BA⊥ AD， AC∩ AD＝A，所以 AB⊥平面 ACD.由于 AB?平面 ABC，所以平面 ACD⊥平面 ABC.(2)由已知可得， DC＝ CM＝ AB＝3，DA＝3 2.2又 BP＝ DQ＝3DA，所以 BP＝2 2.1如图，过点Q作 QE⊥ AC，垂足为 E，则 QE綊3DC.由已知及 (1) 可得，DC⊥平面ABC，所以 QE⊥平面 ABC， QE＝1.1 1 1所以，三棱锥Q- ABP的体积V Q- ABP＝3× S△ABP× QE＝3×2×3×22sin 45 °× 1＝ 1.为[ 课时达标训练]A组——大题保分练1.如图，在三棱锥 V- ABC中， O，M分别为 AB，VA的中点，平面 VAB⊥平面 ABC，△ VAB是边长为2的等边三角形，AC⊥ BC且 AC＝ BC.(1)求证： VB∥平面 MOC；(2)求线段 VC的长．解： (1) 证明：由于点O，M分别为 AB， VA的中点，所以MO∥VB.又 MO?平面 MOC， VB?平面 MOC，所以 VB∥平面 MOC.(2) 由于AC＝BC，O为AB的中点，AC⊥BC，AB＝ 2，所以OC⊥AB，且CO＝1.连结 VO，由于△ VAB是边长为2的等边三角形，所以VO＝ 3. 又平面VAB⊥平面ABC，OC⊥ AB，平面 VAB∩平面 ABC＝ AB， OC?平面 ABC，所以 OC⊥平面 VAB，所以 OC⊥ VO，2 2所以 VC＝OC＋VO＝2.2．(2018 ·南通二调) 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥ BC，A1B与 AB1交于点 D， A1C与 AC1交于点 E.求证： (1) DE∥平面B1BCC1；(2)平面 A1BC⊥平面 A1ACC1.证明： (1) 在直三棱柱ABC-A1B1C1中，四边形A1ACC1为平行四边形．又 E 为 A1C与 AC1的交点，所以E为A1C的中点.同理， D为 A1B 的中点，所以DE∥ BC.又 BC?平面 B1BCC1，DE?平面B1BCC1，所以 DE∥平面 B1BCC1.(2) 在直三棱柱ABC- A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，又 BC?平面 ABC，所以 AA1⊥ BC.又 AC⊥ BC， AC∩ AA1＝ A， AC?平面 A1ACC1， AA1?平面 A1ACC1，所以 BC⊥平面 A1ACC1.由于 BC?平面 A1BC，所以平面A1BC⊥平面 A1ACC1.3.如图，在三棱锥 A- BCD中， E，F 分别为棱 BC，CD上的点，且 BD∥平面 AEF.(1)求证： EF∥平面 ABD；(2)若 BD⊥ CD，AE⊥平面 BCD，求证：平面 AEF⊥平面 ACD.证明： (1) 由于BD∥平面AEF，BD?平面 BCD，平面 AEF∩平面 BCD＝ EF，所以 BD∥ EF.由于 BD?平面 ABD， EF?平面 ABD，所以 EF∥平面 ABD.(2)由于 AE⊥平面 BCD， CD?平面BCD，所以 AE⊥ CD.由于 BD⊥ CD， BD∥ EF，所以CD⊥EF，又 AE∩ EF＝ E，AE?平面 AEF， EF?平面 AEF，所以 CD⊥平面 AEF.又 CD?平面 ACD，所以平面 AEF⊥平面 ACD.4．(2018 ·无锡期末) 如图，ABCD是菱形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE＝ 2AF.求证： (1) AC⊥平面BDE；(2)AC∥平面 BEF.证明： (1) 由于DE⊥平面ABCD，AC? 平面ABCD，所以DE⊥AC.由于四边形ABCD是菱形，所以AC⊥ BD，由于 DE?平面 BDE， BD?平面 BDE，且 DE∩ BD＝ D，所以 AC⊥平面 BDE.(2)设 AC∩ BD＝O，取 BE中点 G，连结 FG， OG，1易知 OG∥ DE且 OG＝2DE.由于 AF∥ DE， DE＝2AF，所以 AF∥ OG且 AF＝ OG，进而四边形AFGO是平行四边形，所以FG∥AO.由于 FG?平面 BEF， AO?平面 BEF，所以 AO∥平面 BEF，即 AC∥平面 BEF.B组——大题增分练1．(2018 ·盐城三模 ) 在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，已知底面ABCD是菱形， M，N分别是棱 A1D1， D1C1的中点．求证： (1) AC∥平面DMN；(2)平面 DMN⊥平面 BB1D1D.BB1， BB1 证明： (1) 连结A1C1，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，由于AA1綊綊 CC1，所以AA1綊CC1，所以A1ACC1为平行四边形，所以A1C1∥ AC.又M，N 分别是棱A1D1，D1C1的中点，所以MN∥ A1C1，所以 AC∥ MN.又 AC?平面 DMN， MN?平面DMN，所以 AC∥平面 DMN.(2)由于四棱柱 ABCD-A1B1C1D1是直四棱柱，所以 DD1⊥平面 A1B1C1D1，而 MN?平面A1B1C1D1，所以 MN⊥ DD1.又由于棱柱的底面 ABCD是菱形，所以底面 A1B1C1D1也是菱形，所以 A1C1⊥B1D1，而 MN∥A1C1，所以 MN⊥ B1D1.又 MN⊥ DD1， DD1?平面 BB1D1D， B1D1?平面 BB1D1D，且 DD1∩ B1D1＝ D1，所以 MN⊥平面 BB1D1D.而 MN?平面 DMN，所以平面 DMN⊥平面 BB1D1D.2.如图，在四棱锥 P- ABCD中， PA⊥底面 ABCD， AB∥CD， AB⊥BC，AB＝ BC＝1， DC＝2，点 E 在 PB上．(1)求证：平面 AEC⊥平面 PAD；(2)当 PD∥平面 AEC时，求 PE∶ EB的值．解： (1) 证明：在平面ABCD中，过 A 作 AF⊥ DC于 F，则 CF＝ DF ＝AF＝1，∴∠ DAC＝∠ DAF＋∠ FAC＝45°＋45°＝90°，即AC⊥ DA.又 PA⊥平面 ABCD， AC?平面 ABCD，∴ AC⊥PA.∵PA?平面 PAD， AD?平面 PAD，且 PA∩ AD＝A，∴ AC⊥平面 PAD.又 AC?平面 AEC，∴平面 AEC⊥平面 PAD.(2)连结 BD交 AC于 O，连结 EO.∵PD∥平面 AEC， PD?平面 PBD，平面 PBD∩平面 AEC＝ EO，∴PD∥ EO，则 PE∶ EB＝ DO∶ OB.又△ DOC∽△ BOA，∴ DO∶OB＝ DC∶AB＝2∶1，∴PE∶EB的值为 2.3.(2018 ·南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调) 如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB＝AC，点 E，F 分别在棱 BB1，CC1上(均异于端点 ) ，且∠ABE＝∠ACF，AE⊥BB1，AF⊥CC1.求证： (1) 平面AEF⊥平面BB1C1C；(2)BC∥平面 AEF.证明： (1) 在三棱柱ABC-A1B1C1中， BB1∥ CC1.由于 AF⊥ CC1，所以 AF⊥ BB1.又 AE⊥ BB1， AE∩ AF＝ A， AE?平面 AEF， AF?平面 AEF，所以 BB1⊥平面 AEF.又由于 BB1?平面 BB1C1C，所以平面 AEF⊥平面 BB1C1C.(2)由于 AE⊥ BB1，AF⊥ CC1，∠ ABE＝∠ ACF， AB＝AC，所以 Rt△AEB≌Rt △AFC.所以 BE＝ CF.又 BE∥ CF，所以四边形 BEFC是平行四边形．进而 BC∥ EF.又 BC?平面 AEF， EF?平面 AEF，所以 BC∥平面 AEF.4．(2018 ·常州期末 ) 如图，四棱锥P- ABCD的底面ABCD是平行四边形， PC⊥平面 ABCD， PB＝ PD，点 Q是棱 PC上异于 P， C的一点．(1) 求证： BD ⊥ AC ；(2) 过点Q 和 的平面截四棱锥获得截面 ( 点 F 在棱 PB 上 ) ，求证： ∥ .AD ADQFQF BC证明： (1) 由于 PC ⊥平面 ABCD ， BD ? 平面 ABCD ，所以 BD ⊥ PC .记 AC ， BD 交于点 O ，连结 OP .由于平行四边形对角线相互均分，则O 为 的中点．BD在△ PBD 中， PB ＝ PD ，所以 BD ⊥ OP .又 PC ∩ OP ＝ P ，PC ? 平面 PAC ， OP ? 平面 PAC .所以 BD ⊥平面 PAC ，又 AC ? 平面 PAC ，所以 BD ⊥ AC .(2) 由于四边形 ABCD 是平行四边形，所以 AD ∥ BC .又 AD ?平面 PBC ， BC ? 平面 PBC ，所以 AD ∥平面 PBC .又 AD ? 平面 ADQF ，平面 ADQF ∩平面 PBC ＝QF ，所以 AD ∥ QF ，所以 QF ∥ BC .。

面面垂直证明例题（最终定稿）第一篇：面面垂直证明例题数学面面垂直例题例4答案：例8答案：取AC的中点为O，连接OP、OB。

AO=OC,PA=PC,故PO垂直AC第二篇：怎么证明面面垂直怎么证明面面垂直证明一个面上的一条线垂直另一个面;首先可以转化成一个平面的垂线在另一个平面内,即一条直线垂直于另一个平面然后转化成一条直线垂直于另一个平面内的两条相交直线也可以运用两个面的法向量互相垂直。

这是解析几何的方法。

证:连接AC,BD.PD垂直面ABCD=>PD垂直AC.ABCD为正方形=>AC垂直BD.而BD是PB在面ABCD内的射影=>PB垂直AC.PD 垂直AC=>AC垂直面PBD.AC属于面ACE=>面PBD垂直面ACE 2 1利用直角三角形中两锐角互余证明由直角三角形的定义与三角形的内角和定理可知直角三角形的两个锐角和等于90°，即直角三角形的两个锐角互余。

2勾股定理逆定理3圆周角定理的推论：直径所对的圆周角是直角，一个三角形的一边中线等于这边的一半，则这个三角形是直角三角形。

二、高中部分线线垂直分为共面与不共面。

不共面时，两直线经过平移后相交成直角，则称两条直线互相垂直。

1向量法两条直线的方向向量数量积为0 2斜率两条直线斜率积为-1 3线面垂直，则这条直线垂直于该平面内的所有直线一条直线垂直于三角形的两边，那么它也垂直于另外一边4三垂线定理在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。

5三垂线定理逆定理如果平面内一条直线和平面的一条斜线垂直，那么这条直线也垂直于这条斜线在平面内的射影。

3高中立体几何的证明主要是平行关系与垂直关系的证明。

方法如下(难以建立坐标系时再考虑)：Ⅰ.平行关系：线线平行：1.在同一平面内无公共点的两条直线平行。

2.公理4(平行公理)。

3.线面平行的性质。

4.面面平行的性质。

5.垂直于同一平面的两条直线平行。

1．在如图如示的多面体中，平面AEFD ⊥平面BEFC ，四边形AEFD 是边长为2的正方形，EF ∥BC ,且122BE CF BC ===． （1）若,M N 分别是,AE CF 中点，求证： MN ∥平面ABCD （2）求此多面体ABCDEF 的体积【答案】（1）见解析（2）V =试题解析：（1）证明：在平面CDF 中，作NH CF ⊥交DC 于H ，连接AH ． ,M N 是,AE CF 中点，且AEFD 是正方形，NH ∴∥DF , 12NH DF =， 又AM ∥DF , 12AM DF =，,NH AM NH ∴=∥AM ， ∴四边形AMNH 是平行四边形，MN ∴∥AH ，又AH⊂平面ABCD，MN⊄平面ABCD，∴∥平面ABCD．MN（2）解：如图，连BD,BF,过F作FG⊥EF，交BC于点G．2．如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面AA1B1B⊥底面ABC，侧棱AA1与底面ABC成600的角，AA1= 2．底面ABC是边长为2的正三角形，其重心为G点。

E是线段BC1上一点，且BE=BC1．（１）求证：GE∥侧面AA1B1B ；（２）求平面B1GE与底面ABC所成锐二面角的正切值．【答案】（Ⅰ）见解析; 【解析】试题分析：（1）延长B 1E 交BC 于F ，根据所得的ΔB 1EC 1∽ΔFEB 可证得F 为BC 的中点，结合G 为ΔＡＢＣ的重心，可得GE ∥AB 1，根据线面平行的判定定理可得结论成立．（2）在侧面AA 1B 1B 内，过B 1作B 1Ｈ⊥ＡＢ于Ｈ，过Ｈ作ＨＴ⊥ＡＦ于Ｔ，连B 1Ｔ，根据二面角的定义可得1B TH ∠∴GE ∥侧面AA 1B 1B ．（２）在侧面AA 1B 1B 内，过B 1作B 1Ｈ⊥ＡＢ，垂足为Ｈ， ∵侧面AA 1B 1B ⊥底面ABC ，侧面AA 1B 1B ⋂底面ABC AB =， ∴B 1Ｈ⊥底面ABC ．又侧棱AA 1与底面ABC 成600的角， AA 1= 2，∴∠B 1ＢＨ＝６０0，ＢＨ＝１，B 1在底面ABC 内，过Ｈ作ＨＴ⊥ＡＦ于Ｔ，连B 1Ｔ． 由三垂线定理有B 1Ｔ⊥ＡＦ，3．如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAB ⊥平面ABCD ， AB BC ⊥， ADBC ，3AD =， 22PA BC AB ===， PB =（Ⅰ）求证： BC PB ⊥；（Ⅱ）求二面角P CD A --的余弦值； （Ⅲ）若点E 在棱PA 上，且BE 平面PCD ，求线段BE 的长．【答案】（Ⅰ）见解析． ．． 【解析】试题分析：第一问根据面面垂直的性质和线面垂直的性质得出线线垂直的结论，注意在书写的时候条件不要丢就行；第二问建立空间直角坐标系，利用法向量所成角的余弦值来求得二面角的余弦值；第三问利用向量共线的关系，得出向量的坐标，根据线面平行得出向量垂直，利用其数量积等于零，求得结果． （Ⅰ）证明：因为平面PAB ⊥平面ABCD ，且平面PAB ⋂平面ABCD AB =， 因为BC ⊥AB ，且BC ⊂平面ABCD 所以BC ⊥平面PAB ． 因为PB ⊂平面PAB ， 所以BC ⊥PB ．（Ⅱ）解：在△PAB 中，因为2PA =， PB = 1AB =， 所以222PA AB PB =+，所以PB ⊥AB ．令2z =，则)2m =．设二面角P CD A --的平面角为α，可知α为锐角，则cos cos ,n m n m n m α⋅====⋅即二面角P CD A --．4．如图所示的几何体中，四边形BCC 1B 1为正方形，AD ∥BB 1，平面ABC ⊥平面BCC 1B 1，，AD=1，∠ABC=45°。