一元二次方程根的判别式专题

一元二次方程的根的判别式(A)一、知识要点:1.在关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)中, ____________叫做一元二次方程的根的判别式.记作：Δ.2.在关于x的方程 ax2+bx+c=0(a≠0)中:(1)b2－4ac>0 ⇔方程有两个_________的实数根.(2)b2－4ac=0 ⇔方程有两个_______的实数根.(3)b2－4ac<0 ⇔方程________实数根.(4)b2－4ac≥0 ⇔方程___________两个实数根.3. c = 0 ⇔方程ax2+bx+c=0必有一根是_______.4.当a与c异号时，判别式b2－4ac的值的符号一定是______，方程ax2+bx+c=0(a≠0)总有两个______的实数根.5.当a_______时，方程x2=a总有两个实数根,并且这两个实数根互为__________数。

6.方程 ax2+bx+c=0有一根是1 ⇔ a+b+c的值是____.7.判别式只能对一元二次方程使用，因此使用判别式解题的前提是：二次项系数a≠____.8.求判别式的值，必须先把方程化为一元二次方程的______形式.二、判别式的应用（一）已知方程的根的情况，求方程中的常数的取值范围例1 关于x的方程2kx2－8x+6－x2=0无实数根,求k的最小整数值.例2 当a取什么值时，关于x的方程(1－2a)x2+2a x-1=0:(1) 只有一个实数根？（2）方程有两个实数根？（3）方程有实数根.练习11．填空（1）方程2x2-x-1=0的根的判别式的值是_________,根的情况是______________________.（2）方程2=4x-3x2的根的判别式的值是_________,根的情况是______________________.（3）方程9x2=6x-1的根的判别式的值是_________,根的情况是________________.（4）当m=_________时，方程x2+mx+1=0有两个相等的实数根。

专题二：一元二次方程根的判别式一．基础知识一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式ac b 42-=∆： （1）⇔>∆0方程有两个不等实数根．（2）⇔=∆0方程有两个相等实数根．（3）⇔<∆0方程无实数根．（4）⇔≥∆0方程有两个实数根．※ 运用根的判别式时要注意：关于x 的方程02=++c bx ax 有两个实数根和实数根的区别在于：若有两个实数根，则00≠≥∆a ，且．若有实数根，则分两种情况：①00≥∆≠，a ；②0=a二．例题1．若关于x 的方程x 2－mx ＋3＝0有实数根，则m 的值可以为____m 32≥___．(任意给出一个符合条件的值即可)2．如果方程ax 2+2x +1=0有两个不等实数根，则实数a 的取值范围是 a<13、已知a 、b 、c 为ABC ∆的三边，且关于x 的一元二次方程()()()04322=---++c a x c a x b c 有两个相等的实数根，那么这个三角形是 等腰三角形 。

4、如果关于x 的方程()05222=+++-m x m mx 没有实数根，那么关于x 的方程()()02252=++--m x m x m 的实根个数是 D 。

A , 1B , 2C , 3D , 不能确定5．关于x 的方程(a －5)x 2－4x －1＝0有实数根，则a 满足（A ）A ．a ≥1B ．a ＞1且a ≠5C ．a ≥1且a ≠5D ．a ≠56．一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 有两个不相等．．．的实数根，则ac b 42-满足（ B ） Ａ．ac b 42-＝0 Ｂ．ac b 42-＞0Ｃ．ac b 42-＜0 Ｄ．ac b 42-≥0 7．关于x 的一元二次方程x 2－6x ＋2k ＝0有两不等实根，则实数k 的取值范围是（ B ）．A ．k ≤92B ．k ＜92C ．k ≥92D ．k ＞928．已知关于x 的一元二次方程x ²-4x +m -1=0有两个相等实数根，求的m 值及方程的根．答 M=5 X=29．已知一元二次方程022=+-m x x ．（1）若方程有两个实数根，求m 的范围；（2）若方程的两个实数根为1x ，2x ，且1x +32x =3，求m 的值。

专题复习二 根的判别式与韦达定理重点提示： (1)根的判别式ac b 42-主要应用于判断方程根的情况.利用判别式判断方程根的情况时要注意方程是不是一元二次方程，如果方程的类型不确定还要进行分类讨论.（2）韦达定理主要反映一元二次方程根与系数的关系，利用韦达定理的前提条件是方程有解，即042≥-ac b .【夯实基础巩固】1． 已知x 1，x 2是方程x 2+2x ﹣5=0的两根，则的值为（ B ）A ．﹣B ．C ．D ．﹣2．已知x 2+px +q =0的两根是3，﹣4，则代数式x 2+px +q 分解因式的结果是（ C ）A ． （x +3）（x +4）B ． （x ﹣3）（x ﹣4）C ． （x ﹣3）（x +4）D ． （x +3）（x ﹣4）3．关于x 的方程x 2﹣2mx ﹣m ﹣1=0的根的情况是（ A ）A ． 有两个不相等的实数根B ． 有两个相等的实数根C ． 有两个实数根D ． 没有实数根4．关于x 的方程x 2﹣（m ﹣1）x +m ﹣2=0的两根互为倒数，则m 的值是（ C ）A ． 1B ． 2C ． 3D ． 45．关于x 的方程x 2﹣（m ﹣3）x +m 2=0有两个不相等的实数根，则m 的最大整数值是（ B ）A ． 2B ． 1C ． 0D ． ﹣16．已知关于x 的一元二次方程x 2+kx +1=0有两个相等的实数根，则k = ±2 ．7．已知x 1，x 2是方程的两根，则的值为 3 ．8．已知a ，b 是一元二次方程x 2﹣2x ﹣1=0的两个实数根，则代数式（a ﹣b ）（a +b ﹣2）+ab 的值等于 ﹣1 ．9．已知关于x 的方程x 2+2mx +m 2﹣1=0.（1）不解方程，判别方程根的情况.（2）若方程有一个根为3，求m 的值．（1）∵∆=（2m ）2﹣4×1×（m 2﹣1）=4＞0，∴方程x 2+2mx +m 2﹣1=0有两个不相等的实数根.（2）∵x2+2mx+m2﹣1=0有一个根是3，∴32+2m×3+m2﹣1=0，解得m=﹣4或m=﹣2．10．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根．（1）求实数m的最大整数值.（2）在（1）的条件下，方程的实数根是x1，x2，求代数式x12+x22﹣x1x2的值．（1）∵x2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根，∴ =8﹣4m＞0，解得m＜2，∴m的最大整数值为1.（2）∵m=1，∴此一元二次方程为x2﹣2x+1=0.∴x1+x2=2，x1x2=1.∴x12+x22﹣x1x2=（x1+x2）2﹣3x1x2=8﹣3=5．【能力提升培优】11．若a，b，c为三角形三边，则关于x的一元二次方程x2+（a﹣b）x+c2=0的根的情况是（C）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．没有实数根D．无法确定12．已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），给出下列命题：①若a+b+c=0，则b2﹣4ac≥0；②若方程ax2+bx+c=0两根为﹣1和2，则2a+c=0；③若方程ax2+c=0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根．其中真命题有（C）A．1个B．2个C．3个D．0个13．设x1，x2是关于x的方程x2+px+q=0的两根，x1+1，x2+1是关于x的方程x2+qx+p=0的两根，则p，q的值分别为（A）A．﹣1，﹣3 B．1，3 C．1，﹣3 D．﹣1，3【解析】∵x1，x2是x2＋px＋q=0的两根，x1＋1，x2＋1是x2＋qx＋p=0的两根，∴x1＋x2=-p，x1x2=q，x1＋1＋x2＋1= x1＋x2＋2=-q，（x1＋1）（x2＋1）= x1x2+（x1＋x2）＋1=p.∴-p+2=-q，q-p＋1=p.∴p=-1，q=-3.14．若一元二次方程x2﹣（a+2）x+2a=0的两个实数根分别是3，b，则a+b=5．15．已知m，n是方程x2﹣2x﹣1=0的两根，且（7m2﹣14m+a）（3n2﹣6n﹣7）=8，则a的值等于﹣9．16．已知关于x的方程x2﹣（a+b）x+ab﹣1=0，x1，x2是此方程的两个实数根，现给出三个结论：①x1≠x2；②x1x2＜ab；③．则正确结论的序号是①②．17．关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1=0有两个不等实根x1，x2．（1）求实数k的取值范围．（2）若方程两实根x1，x2满足|x1|+|x2|=x1x2，求k的值．（1）∵原方程有两个不相等的实数根，∴∆=（2k+1）2﹣4（k2+1）=4k2+4k+1﹣4k2﹣4=4k﹣3＞0，解得k＞.（2）∵k＞，∴x1+x2=﹣（2k+1）＜0.又∵x1x2=k2+1＞0，∴x1＜0，x2＜0.∴|x1|+|x2|=﹣x1﹣x2=﹣（x1+x2）=2k+1.∵|x1|+|x2|=x1x2，∴2k+1=k2+1.∴k1=0，k2=2.又∵k＞，∴k=2．18．设m是不小于﹣1的实数，关于x的方程x2+2（m﹣2）x+m2﹣3m+3=0有两个不相等的实数根x1，x2．（1）若+=1，求的值.（2）求+﹣m2的最大值．∵方程有两个不相等的实数根，∴∆= 4（m﹣2）2﹣4（m2﹣3m+3）=﹣4m+4＞0，解得m＜1.∴﹣1≤m＜1．（1）∵x1+x2=﹣2（m﹣2），x1x2=m2﹣3m+3，∴+===1，解得m1=，m2=（不合题意，舍去）.∴=﹣2．（2）+﹣m2=﹣m2=﹣2（m﹣1）﹣m2=﹣（m+1）2+3．当m=﹣1时，最大值为3．【中考实战演练】19．【烟台】等腰三角形边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程x2﹣6x+n﹣1=0的两根，则n的值为（B）A．9B．10 C．9或10 D．8或10【解析】∵a,b,2是等腰三角形的三边长，∴a=2,b＜4或a＜4，b=2或a=b＞1. ∵a,b是x2-6x+n-1=0的两根，∴a+b=6.∴a=b=3.∴ab=n-1=9.∴n=10.20．已知m，n是关于x的一元二次方程x2﹣2ax+a2+a﹣2=0的两实根，那么m+n的最大值是4．【开放应用探究】21．若x1，x2是关于x的方程x2+bx+c=0的两个实数根，且|x1|+|x2|=2|k|（k是整数），则称方程x2+bx+c=0为“偶系二次方程”．如方程x2﹣6x﹣27=0，x2﹣2x﹣8=0，x2+3x﹣=0，x2+6x ﹣27=0，x2+4x+4=0，都是“偶系二次方程”．（1）判断方程x2+x﹣12=0是否是“偶系二次方程”，并说明理由.（2）对于任意一个整数b，是否存在实数c，使得关于x的方程x2+bx+c=0是“偶系二次方程”？请说明理由．（1）不是.理由如下：解方程x2+x﹣12=0得x1=3，x2=﹣4．∴|x1|+|x2|=3+4=7=2×3.5．∵3.5不是整数，∴x2+x﹣12=0不是“偶系二次方程.（2）存在．理由如下：∵x2﹣6x﹣27=0和x2+6x﹣27=0是偶系二次方程，∴假设c=mb2+n.当b=﹣6，c=﹣27时，﹣27=36m+n．∵x2=0是偶系二次方程，∴n=0，m=﹣.∴c=﹣b2．∴可设c=﹣b2．对于任意一个整数b，c=﹣b2时， =b2﹣4c=4b2．∴x1=﹣b，x2=b．∴|x1|+|x2|=2|b|，∵b是整数，∴对于任何一个整数b，当c=﹣b2时，关于x的方程x2+bx+c=0是“偶系二次方程”．。

专题二 一元二次方程根的判别式、根与系数的关系◎知识聚焦一、一元二次方程)0(02=/=++a c bx ax 只有当系数a 、b 、c 满足条件042≥-=∆ac b 时才有实数根．这里的ac b 42-叫做一元二次方程根的判别式．一元二次方程根的判别式在以下方面有着广泛的应用： 1．运用判别式，判定方程实数根的个数；2．利用判别式，建立等式、不等式，求方程中参数的值或取值范围；3．通过判别式，证明与方程相关的代数问题；4．借助判别式，运用一元二次方程必定有解的代数模型解几何存在性问题、最值问题．二、一元二次方程的根与系数的关系为：两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根的积等于常数项与二次项系数的比．即在一元二次方程0(02=/=++a c bx ax 且)042≥-ac b 中，设两根为,、21x x 则有⋅=-=+acx x a b x x 2121, 一元二次方程的根与系数的关系在以下方面有着广泛的应用： 1．求代数式的值； 2．确定方程中参数的值；3．结合根的判别式，讨论根的符号特征； 4．逆用一元二次方程辅助解题， ◎例题导航【例1】 （2013．六盘水）已知关于x 的一元二次方程012)1(2=+--x x k 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 ( )2..-<k A 2.<k B 2.>k C 2.<k D 且1=/k点拨：根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式的值大于O ，从而列出关于是的不等式，求出不等式的解集即可得到忍的范围，同时要注意题中已说明是一元二次方程，所以二次项的系数不能为0．解答：根据题意，得=--=-=∆)1(4442k ac b 048>-k 且,01=/-k 解得2<k 且.1=/k 故选D ．点评：此题考查了根的判别式，以及一元二次方程的定义，弄清题意是解本题的关键．【例2】 （2013．鄂州）已知m 、n 是关于x 的一元二次方程032=+-a x x的两个解，若).1(-m ,6)1(-=-n 则n 的值为 ( ) A ．-10 B ．4 C ．-4 D ．10点拨：利用一元二次方程的根与系数的关系表示出n +m 与,mn 将等式左边利用多项式乘多项式的法则进行变形，将n m +与mn 的值代入即可求出a 的值． 解答：根据题意，得-==+m a mn n m (.,3Θ=+-∴-=++-=-13,61)()1)(1a n m mn n .6-解得.4-=a 故选C ．点评：此题考查了根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键．【例3】 （2013．自贡）已知关于x 的方程-2x 21、,01)(x x ab x b a =-++是此方程的两个实数根，下列三个结论：+<=/212121③;②;①x ab x x x x .2222b a x +<其中，正确的结论是 （填序号）．点拨：①利用方程的判别式就可以判定是否正确；②根据两根之积就可以判定是否正确；③利用根与系数的关系可以求出X 12 +X 22的值，然后判定是否正确． 解答：①∵在方程1)(2=-++-ab x b a x 中，,04)()1(4)]([22>+-=--+-=∆b a ab b a ⋅=/∴21x x 故①正确； ,1②21ab ab x x <-=Θ故②正确；③,21b a x x +=+Θ即,)()(2221b a x x +=++-+=-+=+∴ab b a x x x x x x 2)(2)(2212212221,222222b a b a +>++=即.222221b a x x +>+故③错误．综上所述，正确的结论是①②．点评：本题考查的是一元二次方程根的情况与判别式的关系，一元二次方程根与系数的关系，需同学们熟练掌握.【例4] （2013．日照）已知关于x 的方程-2x x m mx 222+-=的两个实数根21、x x 满足=||1x ,2x 求实数m 的值．点拨：先把原方程变形，得到一个一元二次方程的形式，利用已知条件，得出两根或是相等，或是互为相反数，从而列出关于m 的方程，即可得到m 的值，但前提条件是方程必须有实数根．解答：原方程可变形为.0)1(222=++-m x m x 21、x x Θ是方程的两个根，,0≥∆∴即+-m (2[,0484)]122≥+=-m m 即⋅-≥21m 又21、x x Θ满足2121,||x x x x =∴=或,21x x -=即0=∆或.021=+x x 由,0=∆即,048=+m 得⋅-=21m 由,021=+x x 即,0)1(2=+m 得1-=m （不合题意，舍去）．∴当21||x x =时，实数m 的值为⋅-21 点评：本题是在考查一元二次方程有根的情况下求字母的值，在保证方程有实数根的前提下，利用两根之间的关系找到含有字母的方程，从而得到字母的值， 【例5】 （2013．菏泽）已知关于x 的一元二次方程033)14(2=+++-k x k kx （k 是整数）．(1)求证：方程有两个不相等的实数根；(2)若方程的两个实数根分别为21、x x （其中),21x x <设,12x x y -=判断y 是否为变量k 的函数．若是，请写出函数解析式；若不是，请说明理由．点拨：(1)要证方程有两个不相等的实数根，即需证;0>∆ (2)将问题转化为变量与变量之间是否存在一一对应的关系，解答：=+-+-=∆)33(4)]14([)1(2k k k k k Θ.)12(2-是整数，,21=/∴k 即=∆∴=/-.012k ∴>-.0)12(2k 方程有两个不相等的实数根．(2)解方程，得⋅-±+=k k k x 2)12()14(23=∴x 或k kx Θ⋅+=11是整数，≤+≤∴kk11,11.32<又22121.3,11,x y x kx x x =∴=+=∴<Θy kkx ∴⋅-=+-=-12)11(31是变量k 的函数．点评：本题主要考查一元二次方程根的判别式及一元二次方程的概念、函数的概念．在一元二次方程)0(02=/=++a c bx ax 中，,42ac b -=∆当方程有两个不相等的实数根时，;0>∆当方程有两个相等的实数根时，;0=∆当方程没有实数根时，.0<∆判断y 是否为变量是的函数，关键看解析式中自变量与因变量是否是唯一对应关系，【例6】（2013．孝感）已知关于x 的一元二次方程02)12(22=+++-k k x k x 有两个实数根⋅21、x x (1)求实数是的取值范围；(2)是否存在实数尼，使得0222121≥--⋅x x x x 成立？若存在，请求出走的值；若不存在，请说明理由.点拨：(1)根据已知条件中一元二次方程的根的情况，得到根的判别式,0≥∆据此列出关于是的不等式,0)2(4)]12([22≥+-+-k k k 通过解该不等式即可求得是的取值范围；(2)假设存在实数k ，使得0222121≥--⋅x x x x 成立．利用根与系数的关系可以求得,2,1222121k k x x k x x +=⋅+=+跌后利用完全平方公式可以把不等式转化为含有两根之和、两根之积的形式,0)(322121≥+-⋅x x x x 通过解不等式可以求得是的值．解答：Θ)1(原方程有两个实数根，+<-∴k 2[α≥-=--++=+-k k k k k k k 4184144)2(4)]12222解得⋅≤41k (2)不存在．理由：假设存在实数k ，使得.1x 022212≥--x x x 成立，21、x x Θ是原方程的两根，.2.,1222121k k x x k x x +=+=+∴由-21.x x ,02221≥-x x 得+∴≥+-⋅222121(3.0)(3k x x x x ∴≥>--=+-.021()12()22k k k 只有当1=k 时，上式才能成立．又Θ由(1)知∴≤,41k 不存在实数k ，使得0222121≥--⋅x x x x 成立.点评：本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系，在解不等式时一定要注意数值的正负与不等号的变化关系． ◎培优训练能力达标1．(2013．潍坊)已知关于x 的方程--+x k kx )1(2,01=下列说法正确的是 ( )A ．当0=k 时，方程无解B ．当1=k 时，方程有一个实数解C ．当1-=k 时，方程有两个相等的实数解D.当0=/k 时，方程总有两个不相等的实数解2．(2013．咸宁)关于x 的一元二次方程--2)1(x a 032=+x 有实数根，则整数a 的最大值是( ) A ．2 B ．1 C ．0 D ．-13．（2013．泸州）设21、x x 是方程0332=-+x x 的两个实数根，则2112x xx x +的值为( )5.A5.-B 1.C1.-D4．(2013．呼和浩特)已知βα、是关于x 的一元二次方程0)3m 2(22=+++m x x 的两个不相等的实数根，且满足,111-=+βα则m 的值是( ) A.3或-1 B.3 C ．1 D ．-3或15．已知a 、b 、c 是△ABC 三条边的长，则关于x 的方程04)(2=+++cx b a cx 的根的情况是 .6．(2012．绥化)设a 、b 是方程020132=-+x x 的两个不相等的实数根，则b a a ++22的值是 .7．(2013．黔东南)若两个不等实数n m 、满足条件：,012,01222=--=--n n m m 则22n m +的值是 . 8．（2012．南充）关于x 的一元二次方程++x x 3201=-m 的两个实数根分别为⋅21、x x (1)求m 的取值范围；(2)若,010)(22121=+++x x x x 求m 的值．9．（2013．乐山）已知关于x 的一元二次方程-2x .0)12(2=+++k k x k (1)求证：方程有两个不相等的实数根；(2)若△ABC 的两边AB 、AC 的长是这个方程的两个实数根，第三边BC 的长为5，当△ABC 是等腰三角形时，求是的值．10．(2012．孝感)已知关于x 的一元二次方程+2x .01)3(=+++m x m (1)求证：无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根；(2)若21.x x 是原方程的两根，且=-||21x x ,22求m 的值，并求出此时方程的两根．拓展提升11.已知关于x 的一元二次方程0522=-+x ax 的两个实数根中有且仅有一个根在0和1之间（不含0和1），则a 的取值范围是 ( )3.<a A 3.>a B3.(-<x C3.->a D12．（2013．绵阳）已知整数,5<k 若△ABC 的边长均满足关于x 的方程,0832=+-x k x 则△ABC 的周长是 .13．(2013．荆门)设21、x x 是方程020132=--x x 的两个实数根，则=-+20132014231x x .14．（2012．随州）设=-⋅-=-+12,012242b b a a &,0且,012=/-ab 则=+-+522)13(aa b ab .15.（2013．北京）已知关于x 的一元二次方程04222=-++k x x 有两个不相等的实数根． (1)求k 的取值范围；(2)若k 为正整数，且该方程的根都是整数，求是的值．16．（2012．内江）如果方程02=++q Px x 的两个根是,、21x x 那么,x ,2121q x P x x =⋅-=+请根据以上结论，解决下列问题：(1)已知关于x 的方程),0(02=/=++n n mx x 求出一个一元二次方程，使它的两根分别是已知方程两根的倒数；(2)已知a 、b 满足=--=--515,051522b b a a .0求abb a +的值； (3)已知a 、b 、c 均为实数，且==++abc c b a ,016，求正数c 的最小值．◎魔法赛场【例】 已知关于x 的一元二次方程--x x 22).0(02>=-a a a (1)求证：这个方程的一个根比2大，另一个根比2小；(2)若对于,0042,,2,1⋅=Λa 相应的一元二次方程的两个根分别为,、,,、,、200420042211βαβαβαΛ求004111111220042211βαβαβα++++++Λ的值.点拨：(1)设两根是,、21x x 证明21-x 与-2x 2的积小于零即可； (2)利用根与系数的关系，挖掘所求代数式的内在规律，再化简求值. 解答：(1)设方程的两根为,、21x x 由根与系数的关系得).2(.,2122121-∴--==+x a a x x x x =+---=++-=-444)(2)2(221212a a x x x x x2.0,0.122-∴<--∴>--x a a a a a Θ与-2x 2异号，即这个方程的一个根比2大，另一个根比2小．(2)原方程可化为,0)1(22=+--a a x x 则当2004,,2,1Λ=a 时对应的方程分别为=--222x x .020*******,,062,022=⨯--=--x x x x Λ由一元二次方程根与系数的关系，有=+=βαβα121,2004200420042222,2,,6,2,2αβαβαβα=+-==+-Λ+++++∴⨯-=Λ221120041111,20052004βαβαβ-=++⋅+++=+⇒004004..00411220042200411112200422βαβαβαβαβααα⨯-=⨯---22005200426222Λ -⨯-=⨯++⨯+⨯1(2)200520041321211(Λ⨯-=-++-+2)2005120041312121Λ⋅-=-20054008)200511(点评：证明一元二次方程的一个根比a 大，一个根比a 小，即证a x <1与),(212x x a x <>常转化为证.0))((21⋅<--a x a x思考题已知关于x 的方程0122=++Px x 的两个实数根一个小于1，另一个大于1，则实数p 的取值范围是 .。

专题二：根的判别式的应用类型（一）-----根的情况（有答案） ➢ 知识指引一、一元二次方程根的判别式的定义运用配方法解一元二次方程过程中得到 2224()24b b ac x a a-+=，显然只有当240b ac -≥时，才能直接开平方得：2b x a += 也就是说，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠只有当系数a ，b ，c 满足条件240b ac ∆=-≥时才有实数根．这里24b ac -叫做一元二次方程根的判别式．二、判别式与根的关系在实数范围内，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根由其系数a 、b 、c 确定，它的根的情况（是否有实数根）由24b ac ∆=-确定．设一元二次方程为20(0)ax bx c a ++=≠，其根的判别式为：24b ac ∆=-则①0∆>⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根1,2x =． ②0∆=⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根122b x x a==-． ③0∆<⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠没有实数根． 说明：⑴用判别式去判定方程的根时，要先求出判别式的值：上述判定方法也可以反过来使用.➢ 典型例题类型一：不解方程，用判别式判断根的情况【例1】一元二次方程x 2－5x ＋6=0的根的情况是（ ）．A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．没有实数根D ．无法判断【解答】∵a=1，b=－5，c=6，∴∆=（－5）2－4×6=1＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：B ．【变式】关于x 的方程x 2－kx －2=0的根的情况是（ ）．A ．有两个相等的实数根B ．没有实数根C．有两个不相等的实数根 D．无法确定【解答】由∆=（－k）2－4×1×（－2）=k2＋8．∵k2≥0，∴k2＋8＞0，即∆＞0，∴该方程有两个不相等的实数根．故选：C．【例2】已知关于x的一元二次方程x2－4mx＋2m2=0．（1）求证：不论m为何值，该方程总有两个实数根；（2）若x=1是该方程的根，求代数式2（m－1）2＋3的值．【解答】（1）由题意，得∆=（4m）2－4•2m2=8m2≥0，∴不论m为何值，该方程总有两个实数根；（2）把x=1代入方程得1－4m＋2m2=0，则2m2－4m=－1．∴2（m－1）2－3=2m2－4m＋2＋3=－1＋2＋3．【变式】关于x的一元二次方程x2+mx+m-3=0．（1）若方程的一个根为1，求m的值；（2）求证：方程总有两个不相等的实数根．【解答】（1）∵方程的一个根为1，∴1+m+m-3=0，∴m=1；（2）依题意，得∆=m2-4（m-3）=m2-4m+12=（m-2）2+8＞0，∴方程总有两个不相等的实数根．类型二：用判别式求字母系数的值或范围【例3】关于x的方程x2＋4x－k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是．【解答】∵关于x的方程x2＋4x－k=0有两个不相等的实数根，∴∆=42－4×1×（－k）＞0，解得k＞－4，故答案为k＞－4．【变式】亮亮在解一元二次方程x2-6x+□=0时，不小心把常数项丢掉了，已知这个一元二次方程有实数根，则丢掉的常数项的最大值是（）A．1 B．0 C．7 D．9【解答】设常数项为c，根据题意，得△=（-6）2-4c≥0，解得c≤9，∴c的最大值为9．故选：D．【例4】已知关于x的方程（a－1）x2＋2x＋3=0．（1）若a=0，不解方程，试判断这个方程根的情况；（2）若这个方程有两个实数根，求实数a的取值范围．【解答】（1）∵a=0，∴方程为－x2＋2x＋3=0．∵∆=22－4×（－1）×3=16＞0，∴该方程有两个不相等的实数根；（2）∵关于x的方程（a－1）x2＋2x＋3=0有两个实数根，∴∆=22－4×（a－1）×3≥0且a－1≠0，且a≠1．解得：a≤43【变式】关于x的一元二次方程x2－4x＋2n=0无实数根，则一次函数y=（2－n）x＋n的图象不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】由已知，得：∆=b2－4ac=（－4）2－4×1×（2n）=16－8n＜0，解得n＞2，∵一次函数y=（2－n）x＋n中，k=2－n＜0，b=n＞0，∴该一次函数图象在第一、二、四象限，故选：C．➢跟踪训练1.关于x的一元二次方程x2+（-k+2）x-4+k=0根的情况，下列说法正确的是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．无法确定【解答】∵△=（-k+2）2-4×1×（-4+k）=k2-4k+4+16-4k=k2-8k+20=k2-8k+16+4=（k-4）2+4＞0，∴该方程有两个不相等的实数根，故选：A．2．若关于x的一元二次方程x2＋4x＋c=0有两个不相等的实数根，则c的值可能为（）A．6 B．5 C．4 D．3【解答】根据题意，得∆=42－4×1×c＞0，解得c＜4，故选：D．3.当b－c=3时，关于x的一元二次方程2x2－bx＋c=0的根的情况为（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法确定【解答】∵b－c=3，∴c=b－3，∵2x2－bx＋c=0，∴∆=（－b）2－4×2×c=b2－8c=b2－8（b－3）=b2－8b＋24=（b－4）2＋8＞0，∴方程有两个不相等的实数根，故选：A．4.关于x的方程（a－3）x2－4x－1=0有两个不相等的实数根，则a的值范围是（）A．a≥－1且a≠3 B．a＞－1且a≠3 C．a≥－1 D．a＞－1【解答】根据题意得a－3≠0且∆=（－4）2－4（a－3）×（－1）＞0，解得a＞－1且a≠3．故选：B．5．若关于x的一元二次方程x2＋2x－k=0有两个相等的实数根，则k的值为．【解答】∵关于x的一元二次方程x2＋2x－k=0有两个相等的实数根，∴∆=b2－4ac=4＋4k=0，解得k=－1，故答案为－1．6.若关于x的一元二次方程（k－1）x2－x－1=0有两个不相等实数根，则k的取值范围是．【解答】根据题意得：∆=b2－4ac=1＋4（k－1）=4k－3＞0，且k－1≠0，且k≠1．解得k＞34且k≠1．故答案为：k＞347.若关于x的一元二次方程x2＋kx＋4=0有两个相等实数根，则以k为边长的正方形的面积为．【解答】由题意得：∆=k2－4×4=0，解得：k2=16．则以k为边长的正方形的面积为16．故填：16．8.关于x的方程（a－5）x2－4x－1=0没有实数根，则a满足的条件是．【解答】由题意知，∆=（－4）2－4×（a－5）×（－1）＜0，且a－5≠0，解得：a＜1，故答案为a＜1．9.已知关于x的一元二次方程x2－mx－2m2=0．（1）若方程的一个根是1，求m的值；（2）求证：不论m取何值，方程总有两个实数根．【解答】（1）将x=1代入x2－mx－2m2=0，得1－m－2m2=0．，m2=－1；解得m1=12（2）证明：∵a=1，b=－m，c=－2m2，∴∆=b2－4ac=（－m）2－4×1×（－2m2）=9m2．∵m2≥0，∴9m2≥0，∴不论m取何值，方程总有两个实数根．10.已知关于x的一元二次方程x2-3x+a-1=0有实数根．（1）求a的取值范围；（2）当a为符合条件的最大整数时，求此时方程的解．【解答】（1）∵关于x的一元二次方程x2-3x+a-1=0有实数根，∴∆=（-3）2-4（a-1）=-4a+13≥0，解得a≤13，4；即a的取值范围是a≤134，∴整数a的最大值是3，（2）∵a的取值范围是a≤134把a=3代入方程x2-3x+a-1=0得：x2-3x+2=0，解得：x1=1，x2=2．11.已知关于x的方程2mx2-（5m-1）x+3m-1=0．（1）求证：无论m为任意实数，方程总有实数根．（2）如果这个方程的根的判别式的值等于1，求m的值．【解答】（1）①当m=0时，该方程是关于x的一元一次方程，符合题意；②关于x的一元二次方程2mx2-（5m-1）x+3m-1=0．∵∆=（5m-1）2-8m（3m-1）=（m-1）2≥0，∴无论m为任何实数，方程总有实根．（2）由题意，得∆=（m-1）2=1，解得m1=0，m2=2，∵m≠0，∴m=2．。

专题 1.3 一元二次方程根的判别式、根与系数的关系（3个考点八大题型）【题型1 由根的判别式判断方程根的情况】【题型2 由方程方程根的情况求字母的取值范围】【题型3 由根的判别式证明方程求根的必然情况】【题型4 由根与系数的关系求代数式（直接）】【题型5 由根与系数的关系求代数式（代换）】【题型6 由根与系数的关系求代数式（降次）】【题型7 构造一元二次方程求代数式的值】【题型8 已知方程根的情况判断另一个根】【题型1 由根的判别式判断方程根的情况】1．（2023春•南岗区校级期中）一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．无实数根C．有一个实数根D．有两个不等的实数根2．（2023•平顶山二模）定义运算：a※b＝a2b+ab﹣1，例如：2※3＝22×3+2×3﹣1＝17，则方程x※1＝0的根的情况为（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．只有一个实数根3．（2023•柘城县二模）一元二次方程x2+2x﹣5＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．没有实数根C．有两个相等的实数根D．只有一个实数根4．（2023•桂林二模）一元二次方程2x2﹣5x+6＝0的根的情况为（）A．无实数根B．只有一个实数根C．有两个相等的实数根D．有两个不等的实数根5．（2023•长春模拟）方程x2﹣3x﹣1＝0的根的情况是（）A．没有实数根B．有一个实数根C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根6．（2023•三门峡一模）一元二次方程（x﹣1）2＝x+3的根的情况（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．只有一个实数根7．（2023春•瑞安市期中）关于x的一元二次方程x2+kx+k﹣1＝0的根的情况，下列说法中正确的是（）A．有两个实数根B．有两个不相等的实数根C．有两个相等的实数根D．无实数根【题型2 由方程方程根的情况求字母的取值范围】8．（2023•淅川县一模）若关于x的一元二次方程x2﹣x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．B．C．D．9．（2023•阳谷县一模）关于x的一元二次方程（2m﹣1）x2﹣3x+1＝0有实数根，则m的取值范围是（）A．且B．且C．D．且10．（2023•银川一模）若关于x的一元二次方程ax2+2x﹣1＝0有两个实数根，则a的取值范围是（）A．a≠0B．a＞﹣1且a≠0C．a≥﹣1且a≠0D．a＞﹣1 11．（2023•白云区二模）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有两个相等的实数根，则k的值是（）A．0B．1C．2D．3 12．（2023•卧龙区一模）关于x的一元二次方程kx2﹣2kx+2＝0有两个相等的实数根，则k的值是（）A．0或2B．2C．0或﹣2D．﹣2 13．（2023•大兴区一模）若关于x的一元二次方程x2+2x+m＝0有实数根，则实数m的取值范围为（）A．m＜1B．m≤1C．m＞1D．m≥1 14．（2023•江阳区一模）关于x的一元二次方程（a﹣2）x2+3x﹣1＝0有实数根，则a的取值范围是（）A．B．C．且a≠2D．且a≠2 15．（2023•济源一模）若关于x的一元二次方程x2+4x+m+5＝0有实数根，则m 的取值范围是（）A．m≤1B．m≤﹣1C．m＜﹣1 D．m≥﹣1且m≠0【题型3 由根的判别式证明方程求根的必然情况】16．（2023春•蜀山区校级期中）已知关于x的一元二次方程x2+（2k﹣1）x﹣k ﹣1＝0．（1）求证：无论k取何值，此方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程有两个实数根x1、x2，且x1+x2﹣4x1x2＝2，求k的值．17．（2023春•庐阳区校级期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+m ﹣1＝0．（1）求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根．（2）若a和b是这个一元二次方程的两个根，且a2+b2＝9，求m的值．18．（2023春•丰泽区校级期中）已知关于x的一元二次方程x2+3x+k﹣2＝0有实根．（1）求实数k的取值范围．（2）方程的两个实数根分别为x1，x2，若（x1﹣1）（x2﹣1）＝﹣1，求k的值．19．（2023•谷城县模拟）已知关于x的一元二次方程x2+2x+k﹣1＝0有两个不相等的实数根x1，x2．（1）求k的取值范围；（2）若+＝4，求k的值．20．（2023春•涡阳县期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣2mx+m2﹣1＝0．（1）判断方程的根的情况；（2）若△ABC为等腰直角三角形，且其两条边长恰好是该方程的根，求m的值．【题型4 由根与系数的关系求代数式（直接）】21．（2023•西华县二模）已知m和n是方程x2﹣x﹣2023＝0的两个根，则代数式m+n的值是（）A．2023B．﹣2023C．﹣1D．1 22．（2023春•庐阳区校级期中）已知一元二次方程x2+4x﹣1＝0的两根分别为m，n，则m+n+mn的值是（）A．﹣5B．﹣3C．3D．5 23．（2023•天津一模）若一元二次方程x2﹣4x+3＝0的两个根是x1，x2，则x1•x2的值是（）A．3B．﹣3C．﹣4D．4 24．（2023•东莞市二模）已知方程x2﹣3x+1＝0的两个根分别为x1、x2，则x1+x2﹣x1•x2的值为（）A．7B．5C．3D．2 25．（2023•汶上县一模）已知m，n是一元二次方程x2+2x﹣5＝0的两个根，则m2+mn+2m的值为（）A．3B．﹣10C．0D．10【题型5 由根与系数的关系求代数式（代换）】26．（2023•南山区三模）若关于x的一元二次方程x2﹣4x+3＝0有两个不相等的实数根x1、x2，则的值是（）A．B．C．D．27．（2023•潍城区二模）若x1、x2是关于x的一元二次方程x2﹣3x﹣5＝0的两根，则的值为（）A．19B．9C．1D．﹣1 28．（2023•汉阳区校级模拟）若实数m，n满足条件：m2﹣2m﹣1＝0，n2﹣2n ﹣1＝0，则的值是（）A．2B．﹣4C．﹣6D．2或﹣6 29．（2023•兴庆区校级二模）已知m、n是一元二次方程x2+2x﹣5＝0的两个根，则m2+mn+2m的值为（）A．﹣10B．10C．3D．0 30．（2023•临沭县一模）已知m，n是一元二次方程x2+2x﹣2023＝0的两个实数根，则代数式m2+4m+2n的值等于（）A．2023B．2022C．2020D．2019【题型6 由根与系数的关系求代数式（降次）】31．（2023•河东区一模）已知x1，x2是方程x2﹣x﹣2023＝0的两个实数根，则代数式的值是（）A．4047B．4045C．2023D．1【题型7 构造一元二次方程求代数式的值】32．（2023•安丘市模拟）已知方程x2+2023x﹣5＝0的两根分别是α和β，则代数式α2+β+2024α的值为（）A．0B．﹣2018C．﹣2023D．﹣2024 33．（2023•肥城市一模）已知m、n是一元二次方程x2﹣x﹣2024＝0的两个实数根，则代数式m2﹣2m﹣n的值为（）A．2020B．2021C．2022D．2023 34．（2023•鼓楼区校级模拟）已知a、b是关于x的方程x2+3x﹣2010＝0的两根，则a2﹣a﹣4b的值是（）A．2020B．2021C．2022D．2023 34．（2023•东港区校级一模）已知m、n是一元二次方程x2﹣x﹣2022＝0的两个实数根，则代数式m2﹣2m﹣n的值等于（）A．2020B．2021C．2022D．2023【题型8 已知方程根的情况判断另一个根】35．（2023•阿克苏市二模）若x＝2是方程x2﹣x+m＝0的一个根，则此方程的另一个根是（）A．﹣1B．0C．1D．2 36．（2020秋•甘井子区期末）关于x的方程x2﹣4x+m＝0有一个根为﹣1，则另一个根为（）A．﹣2B．2C．﹣5D．5 37．（2020春•宣城期末）关于x的一元二次方程2x2+kx﹣4＝0的一个根x1＝﹣2，则方程的另一个根x2和k的值为（）A．x2＝1，k＝2B．x2＝2，k＝2C．x2＝1，k＝﹣1D．x2＝2，k＝﹣1 38．（2023•诸暨市模拟）关于x的一元二次方程x2+mx﹣2＝0有一个解为x＝1，则该方程的另一个解为（）A．0B．﹣1C．2D．﹣2 39．（2023•洛阳一模）已知关于x的一元二次方程x2+kx﹣2＝0有一个根是﹣2，则另一个根是（）A．1B．﹣1C．2D．﹣2。

一元二次方程根的判别式知识点及应用1、一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的根的判别式定理：在一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)中，Δ=b²4ac若△＞0则方程有两个不相等的实数根若△=0则方程有两个相等的实数根若△＜0则方程没有实数根2、这个定理的逆命题也成立，即有如下的逆定理：在一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)中，Δ=b²4ac若方程有两个不相等的实数根，则△＞0若方程有两个相等的实数根，则△=0若方程没有实数根，则△＜0特别提示：（1）注意根的判别式定理与逆定理的使用区别：一般当已知△值的符号时，使用定理；当已知方程根的情况时，使用逆定理。

（2）一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)（Δ=b²4ac）一、不解方程，判断一元二次方程根的情况。

例1、判断下列方程根的情况2x2+x━1=0；x2—2x—3=0；x2—6x+9=0；2x2+x+1=0二、已知一元二次方程根的情况，求方程中字母系数所满足的条件。

例2、当m为何值时关于x的方程（m—4）x2—（2m—1）x+m=0 有两个实数根？三、证明方程根的性质。

例3、求证：无论m为任何实数，关于x的方程x2+（m2+3）x+0.5(m2+2)=0恒有两个不相等的实数根。

四、判断二次三项式能否在实数范围内因式分解。

例4、当m为何值时，关于x的二次三项式mx2-2（m+2）x+（m+5）能在实数范围内因式分解。

五、判定二次三项式为完全平方式。

例5、若x2-2（k+1）x+k2+5是完全平方式，求k的值。

例6、当m为何值时，代数式（5m-1）x2-（5m+2）x+3m—2是完全平方式。

六、利用判别式构造一元二次方程。

例7、已知：（z-x）2-4（x-y）（y-z）=0（x≠y）求证：2y=x+z七、限制一元二次方程的根与系数关系的应用。

例8、已知关于x的方程x2-（k-1）x-3k-2=0的两个实数根的平方和为17，求k的值。

完整版)一元二次方程的根的判别式练习题1.方程2x+3x-k=0的根的判别式为b^2-4ac，即(3+2)^2-4(2)(-k)=k+13，当k>-13时，方程有实根。

2.关于x的方程kx+(2k+1)x-k+1=0可以化简为(3k+1)x-k+1=0，根的判别式为(2k+1)^2-4(k)(-k+1)=8k^2+8k+1，当k 不等于0时，方程有实根。

3.方程x+2x+m=0有两个相等实数根，即b^2-4ac=0，即4-4m=0，解得m=1.4.关于x的方程(k+1)x-2kx+(k+4)=0可以化简为(x-k)(x+k+4)=0，根的情况为一个实根为-k，一个实根为k+4.5.当m=-1时，关于x的方程3x-2(3m+1)x+3m-1=0化简为3x+7x-1=0，有两个不相等的实数根。

6.将2x(ax-4)-x+6=0化简为2ax^2-(8+a)x+6=0，根的判别式为(8+a)^2-4(2a)(6)=a^2+16a-23，要使方程没有实数根，根的判别式小于0，即a的最小整数值为-15.7.方程mx^2+(2m-1)x-2=0的根的判别式为(2m-1)^2-4(m)(-2)=16m+1，解得m=1或m=-1/4，但由于题目中要求判别式的值等于4，所以m=-1/4.8.将(x-α)(x-β)+cx=0展开化简得x^2-(α+β)x+αβ+cx=0，根据韦达定理，α+β=-c，αβ=c，所以方程的两个根为α和β。

9.1) 当a>0时，判别式为4a^4-4a^3，即a^3>1时有两个实数根，否则无实数根。

2) 判别式为4k^2-4(k^2+4)，即-16，所以方程无实数根。

10.将方程x+2(m+1)x+3m+4mn+4n+2=0化简为x+(2m+2)x+(3m+4mn+2)=0，根的判别式为(2m+2)^2-4(3m+4mn+2)=4(m-n+1)^2-8，要使方程有实数根，根的判别式大于等于0，即(m-n+1)^2>=2，解得m-n=-1+sqrt(2)，即m=n-1+sqrt(2)。