北师大版数学九上学案2.2 第2课时 用配方法求解复杂的一元二次方程

第2课时用配方法求解较复杂的一元二次方程1．会用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程；(重点)2．能够熟练地、灵活地应用配方法解一元二次方程．(难点)一、情景导入某辆汽车在公路上行驶，它行驶的路程s(m)和时间t(s)之间的关系为：s＝10t＋3t2，那么行驶200m需要多长时间？二、合作探究探究点一：用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程用配方法解方程：－12x2＋52x－54＝0.解析：先把方程二次项的系数化为1，再配方成(x＋m)2＝n(n≥0)的形式，最后开平方即可．解：方程两边同除以－12，得x2－5x＋52＝0.移项，得x2－5x＝－52.配方，得x2－5x＋(－52)2＝－52＋(－52)2，即(x－52)2＝154.两边开平方，得x－52＝±152.即x－52＝152或x－52＝－152.所以x1＝5＋152，x2＝5－152.易错提醒：用配方法解一元二次方程时，易出现以下错误：(1)方程一边忘记加常数项；(2)忘记将二次项系数化为1；(3)在二次项系数化为1时，常数项忘记除以二次项系数；(4)配方时，只在一边加上一次项系数一半的平方．探究点二：配方法的应用【类型一】利用配方法求代数式的值已知a2－3a＋b2－b2＋3716＝0，求a－4b的值．解析：观察方程可以知道，原方程可以用配方法转化为两个数的平方和等于0的形式，得到这两个数都为0，从而可求出a，b的值，再代入代数式计算即可．解：原等式可以写成：(a－32)2＋(b－14)2＝0.∴a－32＝0，b－14＝0，解得a＝32，b＝14.∴a－4b＝32－4×14＝－12.方法总结：这类题目主要是配方法和非负数性质的综合应用，通过配方把等式转化为两个数的平方和等于0的形式是解题的关键．【类型二】利用配方法求代数式的最值或判定代数式的值与0的关系请用配方法说明：不论x取何值，代数式x2－5x＋7的值恒为正．解析：本题是要运用配方法将代数式化为一个平方式加上一个常数的形式．解：∵x2－5x＋7＝x2－5x＋(52)2＋7－(52)2＝(x－52)2＋34，而(x－52)2≥0，∴(x－52)2＋34≥34.∴代数式x2－5x＋7的值恒为正．方法总结：对于代数式是一个关于x的二次式且含有一次项，在求它的最值时，常常采用配方法，将原代数式变形为一个平方式加一个常数的形式，根据一个数的平方是一个非负数，从而就可以求出原代数式的最值．【类型三】利用配方法解决一些简单的实际问题如图，一块矩形土地，长是48m，宽是24m，现要在它的中央划一块矩形草地，四周铺上花砖路，路面宽都相等，草地面积占矩形土地面积的59，求花砖路面的宽．解析：若设花砖路面宽为x m，则草地的长与宽分别为(48－2x)m及(24－2x)m，根据等量关系：矩形草地的面积＝59×矩形土地的面积，即可列一元二次方程求解．解：设花砖路面的宽为x m.根据题意，得(48－2x)(24－2x)＝59×48×24.整理，得x2－36x＝－128.配方，得x2－36x＋(－18)2＝－128＋(－18)2，即(x－18)2＝196.两边开平方，得x－18＝±14.即x－18＝14，或x－18＝－14.所以x1＝32(不合题意，舍去)，x2＝4.故花砖路面的宽为4m.方法总结：列一元二次方程解决实际问题时，一定要检验方程的根，这些根虽然满足所列的一元二次方程，但未必符合实际问题，因此，求出一元二次方程的解之后，要把不符合实际问题的解舍去．三、板书设计用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的步骤：(1)把原方程化为一般形式；(2)二次项系数化为1，方程两边都除以二次项系数；(3)移项，把常数项移到右边，使方程左边只含二次项和一次项；(4)配方，方程两边都加上一次项系数一半的平方；(5)用直接开平方法解方程．通过对比用配方法解二次项系数是1的一元二次方程，发现解二次项系数不是1的一元二次方程的方法，经历从简单到复杂的过程，对配方法全面认识．培养学生发现问题的能力，通过学生亲自解方程的感受与经验，总结成文，帮助学生养成系统整理知识的学习习惯.。

配方法解一元二次方程教学设计共同目标：1. 会用开平方法解形如)0()(2>=+n n m x 的方程2. 理解配方法，会用配方法解简单的数字系数的一元二次方程通过自主探索和小组合作达到如下分层学习目标1.C 层理解配方的概念，能用开平方法、配方法解简单的一元二次方程2 B 层会用开平方法、配方法解一元二次方程；并掌握配方的技巧；体会转化的数学思想3. A 层除熟练掌握1.2目标．增强数学的应用意识和能力，在不断的探索中提升自己享受学习的快乐。

【使用说明和学法指导】1．用15分钟左右的时间认真阅读、探究课本基础知识，理解配方的概念并掌握配方的技巧。

2．认真完成导学案的问题；3．初步评价自己完成学习目标情况，并把自己的疑问写出来，以求课堂上解决。

【课前导学】探究新知：知识点1 直接开平方法解一元二次方程：（C 层）1、 求一个非负数的平方根：如果92=x ，则x =_______；如果52=x ，则x =_______；2、 如果02=x ，则x =_______。

设计意图：第一题为填空题，C 层学生回答，但要求全体学生思考复习开方，旨在引出配方法，培养学生探究的兴趣。

3试求下列方程的根：(A 、B 、C 层) (1) 092=-x (2)052=-x【提示】当满足方程的根不止一个时，为了区分，应把方程的根写为1x 、2x 的形式。

一般情况下，方程根的个数与其次数一样。

【探究一】1、对于方程4)3(2=+x ，你能用上面的方法来求解吗？你是如何解的 (B 层回答)2、你能把方程0562=++x x 转化成4)3(2=+x 吗？你是如何转化的？（A 层回答）知识点2 配方法解一元二次方程1、完全平方式——运算形式形如222b ab a +±的二次三项式。

试着写出两个完全平方式：___________________，_____________________。

（B 、C 层回答）(A 层补充)2、配方——对二次三项式q px x ++2，配上适当的数（不改变式子的值），使得式子中的一部分是一个完全平方式，如342++x x ，将式子加1，再减1(不改变式子的值)，即可得1)44(2-++x x ，从而得到1)2(2-+x 。

北师大初中数学
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第2课时用配方法求解较复杂的一元二次方程
、情感与态度：培养观察能力，运用所学旧知识解决新问题。

熟练掌握解一元二次方程的两种方法。

-8x+9=0
=
x+m）的根是
满足方程-2
、已知：方程（2m+1，试问：
的一元二次方程，求出此时方程的解；
A.(y+2)
C. (y-1)
、已知
D.1
A
相信自己，就能走向成功的第一步
教师不光要传授知识，还要告诉学生学会生活。

数学思维可以让他们
更理性地看待人生。

北师大版九年级上册第二章2.2.2 用配方法求解一元二次方程（教案）2.2.2 用配方法求解一元二次方程教学目标：1、了解配方法的概念，掌握运用配方法解一元二次方程的步骤．2、通过复习上一节课的解题方法，给出配方法的概念，然后运用配方法解决一些具体题目．教学重难点：重点：讲清配方法的解题步骤．难点：把常数项移到方程右边后，•两边加上的常数是一次项系数一半的平方．教具、学具准备：小黑板教学过程一、复习回顾活动内容：回顾配方法解二次项系数为1的一元二次方程的基本步骤。

活动目的：回顾配方法的基本步骤，为本节课研究二次项系数不为1的二次方程的解法打下基础。

实际效果：教学中为了便于学生回顾，可以通过举例的形式，帮助学生回顾并整理步骤，例如，x 2-6-40=0移项，得 x -6x= 4022二、情境引入活动内容：（1）.将下列各式填上适当的项，配成完全平方式口头回答.1.x +2x+________=(x+______)2.x -4x+________=(x-______)3.x +________+36=(x+______)4.x +10x+________=(x+______)5. x -x+________=(x-______)（2）.请同学们比较下列两个一元二次方程的联系与区别1.x +6x+8=02.3x +18x+24=0探讨方程2的应如何去解呢？活动目的：通过对第一部分的五个口答练习题的训练，熟悉完全平方式的三项与平方形式的联系，第二部分的两个习题之间的区别是方程2的二次项系数为3，不符合上节课解题的基本形式，联系是当方程两边同时除以3以后，这两个方程式同解方程。

学生们作了方程的变形以后，对二次项系数不为1的方程的解法有了初步的感受和思路。

实际效果：学生对第一部分五个口答题的积极抢答，调动了各自的思维，进入了积极学习的状态；比较第二部分中两个方程系数之间的区别与联系，学生们发现二次项系数为1仅是方程中的一小部分，怎样将其它类型的方程转化成这类方程非常关键，这个比较也点明了222222222222转化的方向和思路，为后续解这个方程做好了充分的铺垫，学生解决它已是轻车熟路的事情。

2.2 用配方法求解一元二次方程第1课时用配方法求解二次项系数为1的一元二次方程1．能根据平方根的意义解形如(x＋m)2＝n(n≥0)的方程．2．理解配方法，会用配方法求解二次项系数为1的一元二次方程．(重点)3．会用转化的数学思想解决有关问题．(难点)阅读教材P36～37，完成下列问题：(一)知识探究1．解一元二次方程的思路是将方程转化为(x＋m)2＝n的形式，它的一边是一个________，另一边是一个________，当n________时，两边同时开平方，转化为一元一次方程，便可得到方程的根是x1＝________，x2＝________.2．通过配成____________的方法得到了一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法．3．用配方法求解二次项系数为1的一元二次方程的步骤：(1)移——移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为________；(2)配——________，方程两边都加上________________的平方，使原方程变为(x＋m)2＝n的形式；(3)开——如果方程的右边是非负数，即n≥0，就可左右两边开平方得________；(4)解——方程的解为x＝________.(二)自学反馈1．填上适当的数，使下列等式成立：(1)x2＋12x＋________＝(x＋6)2；(2)x2－4x＋________＝(x－________)2；(3)x2＋8x＋________＝(x＋________)2.2．(1)若x2＝4，则x＝________.(2)若(x＋1)2＝4，则x＝________.(3)若x2＋2x＋1＝4，则x＝________.(4)若x2＋2x＝3，则x＝________.3．解方程：x2－36x＋70＝0.活动1 小组讨论例1解下列方程：(1)x2＝5; (2)2x2＋3＝5；(3)x2＋2x＋1＝5; (4)(x＋6)2＋72＝102.解：(1)方程两边同时开平方，得x1＝5，x2＝－ 5.(2)移项，得2x2＝2，即x2＝1.方程两边同时开平方，得x1＝1，x2＝－1.(3)配方，得(x＋1)2＝5.方程两边同时开平方，得x＋1＝± 5.∴x1＝－1＋5，x2＝－1－ 5.(4)移项，得(x ＋6)2＝102－72，即(x ＋6)2＝51.方程两边同时开平方，得x ＋6＝±51.∴x 1＝－6＋51，x 2＝－6－51.例2 解方程：x 2＋8x －9＝0.解：可以把常数项移到方程的右边，得x 2＋8x ＝9.两边都加上42(一次项系数8的一半的平方)，得x 2＋8x ＋42＝9＋42，即(x ＋4)2＝25.两边开平方，得x ＋4＝±5，即x ＋4＝5，或x ＋4＝－5.所以x 1＝1，x 2＝－9.活动2 跟踪训练1．用配方法解方程x 2－2x －1＝0时，配方后得到的方程为( )A ．(x ＋1)2＝0B ．(x －1)2＝0C ．(x ＋1)2＝2D ．(x －1)2＝22．填空：(1)x 2＋10x ＋________＝(x ＋________)2；(2)x 2－12x ＋________＝(x －________)2；(3)x 2＋5x ＋________＝(x ＋________)2；(4)x 2－23x ＋________＝(x －________)2. 3．用直接开平方法解下列方程：(1)4x 2＝81; (2)36x 2－1＝0；(3)(x ＋5)2＝25; (4)x 2＋2x ＋1＝4.4．用配方法解下列关于x 的方程：(1)x 2＋2x －35＝0; (2)x 2－8x ＋7＝0；(3)x 2＋4x ＋1＝0; (4)x 2＋6x ＋5＝0.活动3 课堂小结1．用直接开平方法解形如(x ＋m)2＝n(n ≥0)的方程可以达到降次转化的目的．2．用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的步骤．3．用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的注意事项．【预习导学】(一)知识探究1．完全平方式 常数 ≥0 －m ＋n －m －n 2.完全平方式 3.(1)常数项 (2)配方 一次项系数一半 (3)x ＋m ＝±n (4)－m ±n(二)自学反馈1．(1)36 (2)4 2 (3)16 42．(1)2，－2 (2)1，－3 (3)1，－3 (4)1，－33．可以把常数项移到方程的右边，得x 2－36x ＝－70.两边都加上(－18)2(一次项系数－36的一半的平方)，得x 2－36x ＋(－18)2＝－70＋(－18)2，即(x －18)2＝254.两边开平方，得x －18＝±254，即x －18＝254，或x －18＝－254.所以x 1＝18＋254，x 2＝18－254.【合作探究】活动2 跟踪训练1．D 2.(1)25 5 (2)36 6 (3)254 52 (4)19 133．(1)x 1＝92，x 2＝－92.(2)x 1＝16，x 2＝－16.(3)x 1＝0，x 2＝－10.(4)x 1＝1，x 2＝－3. 4.(1)x 1＝5，x 2＝－7.(2)x 1＝1，x 2＝7.(3)x 1＝－2＋3，x 2＝－2－ 3.(4)x 1＝－1，x 2＝－5.第2课时 用配方法求解二次项系数不为1的一元二次方程1．会用配方法求解二次项系数不为1的一元二次方程．(重点)2．会用转化的数学思想解决有关问题．(难点)阅读教材P38～39，完成下列问题：(一)知识探究1．用配方法求解二次项系数不为1的一元二次方程的步骤：(1)化——化二次项系数为________；(2)配——________，使原方程变为(x ＋m)2－n ＝0的形式；(3)移——移项，使方程变为(x ＋m)2＝n 的形式；(4)开——如果n ≥0，就可左右两边开平方得________；(5)解——方程的解为x ＝________.(二)自学反馈1．某学生解方程3x 2－x －2＝0的步骤如下：解：3x 2－x －2＝0→x 2－13x －23＝0，①→x 2－13x ＝23，②→(x －23)2＝23＋49，③→x －34＝±103，④→x 1＝2＋103，x 2＝2－103，上述解题过程中，最先发生错误的是( ) A ．第①步 B ．第②步C ．第③步D ．第④步2．解方程：2x 2＋5x ＋3＝0.活动1 小组讨论例 解方程：3x 2＋8x －3＝0.解：两边同除以3，得x 2＋83x －1＝0. 配方，得x 2＋83x ＋(43)2－(43)2－1＝0，即 (x ＋43)2－259＝0. 移项，得(x ＋43)2＝259. 两边开平方，得x ＋43＝±53，即 x ＋43＝53，或x ＋43＝－53. 所以x 1＝13，x 2＝－3. 活动2 跟踪训练1．用配方法解下列方程时，配方有错误的是( )A ．x 2－4x －1＝0可化为(x －2)2＝5B ．x 2＋6x ＋8＝0可化为(x ＋3)2＝1C ．2x 2－7x －6＝0可化为(x －74)2＝9716D ．9x 2＋4x ＋2＝0可化为(3x ＋2)2＝22．将方程2x 2－4x －6＝0化为a(x ＋m)2＝k 的形式为____________．3．用配方法解方程：2x 2－4x －1＝0.①方程两边同时除以2，得________；②移项，得________；③配方，得________；④方程两边开方，得________；⑤x 1＝________，x 2＝________.4．解下列方程：(1)3x 2＋6x －5＝0；(2)9y 2－18y －4＝0.活动3 课堂小结1．用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的步骤．2．用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的注意事项．【预习导学】(一)知识探究1．(1)1 (2)配方 (4)x ＋m ＝±n (5)－m ±n(二)自学反馈1．B 2.两边同除以2，得x 2＋52x ＋32＝0.配方，得x 2＋52x ＋(54)2－(54)2＋32＝0，即(x ＋54)2－116＝0.移项，得(x ＋54)2＝116.两边开平方，得x ＋54＝±14，即x ＋54＝14或x ＋54＝－14.所以x 1＝－1，x 2＝－32. 【合作探究】活动2 跟踪训练1．D 2.2(x －1)2＝8 3.①x 2－2x －12＝0 ②x 2－2x ＝12 ③(x －1)2＝32 ④x －1＝62或x －1＝－62 ⑤1＋621－62 4.(1)x 1＝263－1，x 2＝－263－1.(2)y 1＝1＋133，y 2＝1－133.。