2021届高考数学压轴题系列训练含答案
1．（12分）已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点()1,2M ，它们在x 轴上有共同焦点，椭圆和双曲线的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点.
（Ⅰ）求这三条曲线的方程；
（Ⅱ）已知动直线l 过点()3,0P ，交抛物线于,A B 两点，是否存在垂直于x 轴的直线l '被以AP 为直径的圆截得的弦长为定值？若存在，求出l '的方程；若不存在，说明理由.
解：（Ⅰ）设抛物线方程为()220y px p =>，将()1,2M 代入方程得2p =
24y x ∴= 抛物线方程为: ………………………………………………（1分）
由题意知椭圆、双曲线的焦点为()()211,0,1,0,F F -∴ c=1…………………（2分） 对于椭圆，
1222a MF MF =+
+
(
2
22222211321
a a
b a
c ∴=+∴=+=+∴=-=+∴= 椭圆方程为：………………………………（4分）
对于双曲线，1222a MF MF '=-=
2222221321
a a
b
c a '∴'∴=-'''∴=-=∴= 双曲线方程为：………………………………（6分）
（Ⅱ）设AP 的中点为C ，l '的方程为：x a =，以AP 为直径的圆交l '于,D E 两点，DE 中点为H
令()11113,,,22x y A x y +⎛⎫
∴ ⎪⎝
⎭ C ………………………………………………（7分）
()111231
23
22
DC AP x CH a x a ∴=
=+=-=-+
()()(
)22
2
2
2
2111212
1132344-23246222
DH DC CH x y x a a x a a
a DH DE DH l x ⎡⎤⎡⎤∴=-=
-+--+⎣⎦⎣
⎦=-+==-+=∴=='= 当时,为定值; 此时的方程为： …………（12分）
2．（14分）已知正项数列{}n a 中，16a =
，点(n n A a 在抛物线21y x =+上；数列{}n b 中，点(),n n B n b 在过点()0,1，以方向向量为()1,2的直线上.
（Ⅰ）求数列{}{},n n a b 的通项公式；
（Ⅱ）若()()()
n n a f n b ⎧⎪=⎨⎪⎩, n 为奇数, n 为偶数，问是否存在k N ∈，使()()274f k f k +=成立，若存在，求出k 值；若
不存在，说明理由；
（Ⅲ）对任意正整数n
，不等式
1
120111111n n n a
b b b +-
≤⎛⎫⎛⎫⎛⎫
+++ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
成立，求正数a 的取值范围.
解：（Ⅰ）将点(n n A a 代入21y x =+中得
()11111115:21,21
n n n n n n a a a a d a a n n l y x b n ++=+∴-==∴=+-⋅=+=+∴=+ 直线 …………………………………………（4分）
（Ⅱ）()()()521n f n n ⎧+⎪=⎨+⎪⎩, n 为奇数, n 为偶数………………………………（5分）
()()
()()()()27274275421,4
2735
227145,2
4k k f k f k k k k k k k k k k ++=∴++=+∴=+∴
++=+∴==当为偶数时，为奇数， 当为奇数时，为偶数， 舍去综上，存在唯一的符合条件。
……………………（8分）
（Ⅲ）由
1
120111111n n n a b b b +-
≤⎛⎫⎛⎫⎛⎫
+++ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
()()()()
121212111
111111231
111111231
1111111112512312324241232525n n n n n a b b b n f n b b b n f n b b b b n f n n n n n f n b n n n ++⎛⎫⎛⎫⎛
⎫≤
+++ ⎪ ⎪⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪
⎪⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎛⎫⎛
⎫⎛⎫⎛
⎫∴+=++++
⎪⎪
⎪⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
+⎛
⎫++++∴=
⋅+=⋅= ⎪
+++⎝⎭
即记 ()()()()()22
min 252341616
1
41615
1,1
445
1,315545015
n n n n n n f n f n f n f n f a +⋅+++=
>++∴+>∴==⋅
=∴<≤
即递增， ………………………………（14分）
3.（本小题满分12分）将圆O: 4y x 2
2
=+上各点的纵坐标变为原来的一半 (横坐标不变), 得到曲线C. (1) 求C 的方程;
(2) 设O 为坐标原点, 过点)0,3(F 的直线l 与C 交于A 、B 两点, N 为线段AB 的中点, 延长线段ON 交C 于点E.
求证: ON 2OE =的充要条件是3|AB |= .
解: (1)设点)y ,x (P '' , 点M 的坐标为)y ,x ( ,由题意可知⎩⎨
⎧='=',
y 2y ,
x x ………………(2分)
又,4y x 2
2
='+'∴1y 4
x 4y 4x 22
2
2=+⇒=+. 所以, 点M 的轨迹C 的方程为1y 4
x 22
=+.………………(4分) (2)设点)y ,x (A 11 , )y ,x (B 22 , 点N 的坐标为)y ,x (00 , ㈠当直线l 与x 轴重合时, 线段AB 的中点N 就是原点O, 不合题意,舍去; ………………(5分)
