特殊的平行四边形拔高题精编版

第一章 特殊平行四边形（强化题型）多结论问题【例1】如图，分别以直角的斜边，直角边为边向外作等边和等边，为的中点，与交于点，与交于点，，．给出如下结论：①；②四边形为菱形；③；④；其中正确结论的是 A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④【解答】解：是等边三角形，，，，，，为的中点，，，，，，，故①正确，，，，是的中点，，，，，故④说法正确；，，，，，，，，，，，，四边形为平行四边形，，四边形不是菱形；故②说法不正确；，，，则，故③说法正确，故选：．【变式训练1】如图，在菱形中，，、分别是，的中点，、相交于点，连接，．有下列结论：①；②；③；④；⑤；⑥，正确结论的有 个．A．1B．2C．3D．4【解答】解：四边形是菱形，．．，，是等边三角形，是等边三角形．，．，分别是，的中点，，，，，，故①正确；在和中，，，．，，．故②正确．为直角三角形，，，与不全等．故③错误；，故④错误；，，故⑤正确；，，，故⑥错误．正确的有：①②⑤共三个．故选：．【变式训练2】如图，在正方形中，边长为2的等边三角形的顶点，分别在和上，下列结论：其中正确的序号是 ①；②；③；④．A．①②④B．①②C．②③④D．①③④【解答】解：四边形是正方形，是等边三角形，，，，，在和中，，，，，，，，故①正确；，故②正确；连接，则，，同理，，，故③错误；，，，，设，则，，，解得，（舍去），，，即，由上可得，正确的是①②④，故选：．一些常见的辅助线求线段和角度【例1】如图，在菱形中，，，分别是边和的中点，于点，则 A．B．C．D．【解答】解：延长交的延长线于点．在菱形中，，，分别是边和的中点，，．．，．又，，．．，．，则．故选：．【变式训练1】矩形与如图放置，点，，共线，点，，共线，连接，取的中点，连接．若，，则 A．1B．C．D．【解答】解：如图，延长交于点，四边形和四边形都是矩形，，、，，，又是的中点，，在和中，，，，，，、，，则，故选：．【变式训练2】如图正方形的边长为，是对角线上的点，连结，过点作交线段于点．当时，的长为 A．B．C．D．【解答】解：过作于，交于，如图，四边形为正方形，，，，为等腰直角三角形，，而，，，，而，，在和中，，，正方形的边长为，，，设，则，，，，．故选：．动点和为定值【例1】如图，在菱形中，是对角线上一动点，过点作于点．于点．若菱形的周长为20，面积为24，则的值为 A．4B．C．6D．【解答】解：连结，如图，四边形为菱形，菱形的周长为20，，，，，，故选：．【变式训练1】如图，矩形的对角线，交于点，点在边上从点到点运动，过点作于点，作于点．已知，，随着点的运动，关于的值，下面说法正确的是 A．先增大，后减小B．先减小，后增大C．始终等于2.4D．始终等于3【解答】解：过点作，交的延长线于点，过点作于点，过点作于点，在矩形中，，，，，，，，，、、三点共线，，，，由勾股定理可知：，，，即，故选：．【变式训练2】如图，点是矩形的边上一动点，矩形两边长、长分别为15和20，那么到矩形两条对角线和的距离之和是 A．6B．12C．24D．不能确定【解答】解：连接，如图所示：四边形是矩形，，，，，，，，，，，，，．点到矩形的两条对角线和的距离之和是12．故选：．【变式训练3】如图，正方形的边长为2，为对角线上一点，且，点为线段上一动点，且于，于，则的值为 ．【解答】解：连接，，交于，四边形 为正方形，，，垂足为，，，，，，，，，．故答案为．动点最值问题【例1】如图，在边长为2的正方形中，点为对角线上一动点，于点，于点，连接，则的最小值为 A．1B．C．D．【解答】解：连接，如图所示：四边形是正方形，，，于，于四边形为矩形，，当时，取得最小值，此时是等腰直角三角形，，的最小值为；故选：．【变式训练1】如图，在中，且，，点是斜边上的一个动点，过点分别作于点，于点，连接，则线段的最小值为 A．B．C．3D．4【解答】解：，且，，，，，，四边形是矩形，，当时，的值最小，此时，的面积，，的最小值为；故选：．【变式训练2】如图，在中，，，，是斜边上一动点，于，于，与相交于点，则的最小值是 A．4.8B．3.6C．2.4D．1.2【解答】解：四边形是矩形，，互相平分．且，，当的值最小时，的值就最小，当时，的值最小，即的值最小．，．在中，由勾股定理，得．，，，．，故选：．胡不归问题【例1】如图，在中，，，，若是边上的动点，则的最小值 A．B．6C．D．4【解答】解：过点作射线，使，再过动点作，垂足为点，连接，如图所示：在中，，，，当，，在同一直线上，即时，的值最小，最小值等于垂线段的长，此时，，是等边三角形，，在中，，，，，，，，，的最小值为6，故选：．【变式训练1】如图，矩形中，，，点是边上一动点，连接、，则的最小值为 ．【解答】解：作直线，使，作，垂足为，则，的最小值为的最小值，即、、三点共线时值最小，如图，，，，，，，，，的最小值为．故答案为：．【变式训练2】如图，矩形中，，，点是上一动点，则的最小值为 ．【解答】解：如图，作平分交于，过点作于，过点作于．四边形是矩形，，，，，，平分，，，，，在中，，，，，，，的最小值为，故答案为：．辅助圆【例1】如图，，是正方形的边上两个动点，满足．连接交于点，连接交于点．若正方形的边长为2，则线段长度的最小值是．【解答】解：在正方形中，，，，在和中，，，，在和中，，，，，，，，取的中点，连接、，则，在中，，根据三角形的三边关系，，当、、三点共线时，的长度最小，最小值．（解法二：可以理解为点是在，直径的半圆上运动当、、三点共线时，长度最小）故答案为：．【变式训练1】如图，在边长为2的菱形中，，是边的中点，是边上的一动点，将沿所在直线翻折得到△，连接，则长度的最小值是 ．【解答】解：如图所示：是定值，长度取最小值时，即在上时，过点作于点，在边长为2的菱形中，，为中点，，，，，，，．故答案为：．【变式训练2】如图，在正方形中，，点，分别在，上，，，相交于点，连接．点从点运动到点的过程中，的最小值为 ．【解答】解：如图，四边形是正方形，，，，，，，，，点的运动轨迹是以为直径的，当，，共线时，的值最小，最小值，故答案为．【变式训练3】如图，在矩形纸片中，边，，点为边上的动点（点不与点，重合），将纸片沿折叠，则的最小值为 ．【解答】解：连接，当点在上时，有最小值，四边形是矩形，，，，，，由折叠性质得：，，的最小值，故答案为：8．证明综合【例1】如图，在正方形中，点是边延长线上一点，联结，过点作，垂足为点，与边相交于点．（1）求证：；（2）联结，求证：；（3）如果正方形的边长为2，点是边的中点，求的长．【解答】解：（1）四边形为正方形，，，，，，在与中，，．（2）作交于点，，，，，在和中，，，，，为等腰直角三角形，．（3）作于点，为等腰直角三角形，，为中点，正方形的边长为2，，，，，在和中，，，，．【变式训练1】如图，正方形中，点在边上，连接，过点作与的延长线相交于点，连接与边相交于点、与对角线相交于点．（1）若，且，求的长；（2）若，求证：．【解答】（1）解：四边形是正方形，且，，，，，，，在和中，，，，，，；（2）在上取一点，使，连接，由（1）得是等腰直角三角形，，，在和中，，，，，在和中，，（对顶角相等），，，，，是等边三角形，，，．【变式训练2】如图，在正方形中，，为正方形内一点，，，连结，，过点作，垂足为点，交的延长线于点，连结．（1）当时，求的度数；（2）判断的形状，并说明理由；（3）当时，求的长．【解答】解：（1）四边形是正方形，，，，，，，．（2）结论：是等腰直角三角形．理由：，，是的垂直平分线，，，，，，，，，，，为等腰直角三角形．（3）如图，连接，四边形是正方形，，为等腰直角三角形，，，，，，（负根已经舍弃）．【变式训练3】已知：如图，四边形的对角线、相交于点，，．（1）求证：四边形是矩形；（2）如果点在边上，平分，，求证：．【解答】证明：（1）在和中，，，，，四边形是平行四边形，，，，，平行四边形是矩形；（2）过点作于，如图所示：由（1）得：四边形是矩形，，，是等腰直角三角形，，，，是等腰直角三角形，，平分，，在和中，，，，，，，．【变式训练4】如图，，为平行四边形的对角线，点是上一点，点在延长线上，且，与交于点，连结．（1）求证：．（2）连结，，若，且恰好是的中点，求证：四边形是菱形．（3）在（2）的条件下，若四边形是正方形，且，求的长．【解答】（1）证明：四边形是平行四边形，，，是的中位线，；（2）证明：由（1）得：，，是的中点，，在和中，，，，四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，，，，平行四边形是菱形；（3）解：四边形是正方形，，，，，，在中，由勾股定理得：．45°角模型【例1】如图，已知正方形中，点、分别在边、上，．（1）求证：；（2）当，时，求的面积．【解答】解：（1）延长到，使，在和中，，，，，，在和中，，，；（2）由（1）得，，，，．【变式训练1】正方形的边长为3，、分别是、边上的点，且．（1）求证：；（2）当时，求的长．【解答】解：（1）证明：延长至，使，连接，如图，四边形是正方形，，．．，．，，．．即．．在和中，．．．，．（2）设，则．正方形的边长为3，．，，．．．在中，，．解得：．．【变式训练2】如图，在正方形中，为的中点，点在边上，且．（1）求证：；（2）求的值．【解答】（1）证明：如图，过点作于点，，四边形是正方形，，，，，．．在和中，，，，，在和中，，，，；（2）解：设正方形的边长为，，，，由（1）知：，，，，，在中，根据勾股定理，得，，解得，，，．【变式训练3】正方形的边长为6，，分别是，边上的点，且，将绕点逆时针旋转，得到．（1）求证：；（2）当时，求的长．【解答】（1）证明：逆时针旋转得到，，，、、三点共线，，，，，，在和中，，，，；（2）解：设，，且，，，，在中，由勾股定理得，即，解得：，则．非坐标系下的动点问题【例1】在矩形中，，，动点从出发，以每秒1个单位的速度，沿射线方向运动，连接，以为边向上作正方形．设点的运动时间为．（1）如图1，与边交于点，当时，求此时的值；（2）如图2，当点恰好落在矩形任意两个顶点的所在直线上时，请求出所有符合条件的的值．【解答】解：（1）连接，如图，正方形，矩形，，，在和中，，，，在中，，动点从出发，以每秒1个单位的速度，；（2）分四种情况，当点在上时，如图，矩形，，，，正方形，，，，，，在和中，，，，，动点从出发，以每秒1个单位的速度，；当点落在上时，如图，时正方形的对角线，，矩形，，，，动点从出发，以每秒1个单位的速度，；当点落在上时，过点作交于点，如图，正方形，，，，矩形，，，，在和中，，，，，设，则，，，，，，解得：，即，动点从出发，以每秒1个单位的速度，；当点落在上时，过点作交于点，如图，正方形，，，，矩形，，，，在和中，，，，，设，，则，，，，，，解得，，动点从出发，以每秒1个单位的速度，；故所有符合条件的的值或或或．【变式训练1】如图，在正方形中，，为对角线上一动点，连接、，过点作，交直线于点，点从点出发，沿方向以每秒的速度运动，当点与点重合时，运动停止．设的面积为，点的运动时间为秒．（1）点在整个运动过程中，试说明总有：；（2）求与之间关系的表达式，并写出的取值范围．【解答】证明：（1）如图1，过作，交于，交于，四边形是正方形，，，，，，，，，，，，，，四边形是正方形，，，，，，；（2）在中，由勾股定理得：，，由题意得：，，由（1）知：，分两种情况：①当时，如图1，，，，；②当时，如图2，过作于，，，，；综上，与之间关系的函数表达式为：．坐标系中的动点问题【例1】已知：如图，为坐标原点，四边形为矩形，，点是中点，点在上以每秒2个单位的速度由向运动，设动点的运动时间为秒．（1）为何值时，四边形是平行四边形？（2）在直线上是否存在一点，使得、、、四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求的值，并求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）四边形为矩形，，，，点时的中点，，由运动知，，，四边形是平行四边形，，，；（2）①当点在的右边时，如图，。

平⾏四边形拔⾼练习专题⼀平⾏四边形1.若A 、B 、C 三点不共线，则以其为顶点的平⾏四边形共有（）个2.⼀个平⾏四边形的两条邻边的长分别是4cm 和5cm ，它们的夹⾓是30°，这个平⾏四边形的⾯积是（）．3.⼀个四边形的边长依次是a 、b 、c 、d 且，则这个四边形的形状为 .若，判定以a 、b 、c 、d 为边的四边形的形状为4.平⾏四边形ABCD 中,AB=5cm, BC=3cm, ∠D 与∠C 的平分线分别交AB 于F,E, EF=5. 如图，⼝ABCD 中，点E 在边AD 上，以BE 为折痕，将△ABE 向上翻折，点A 正好落在CD 上的点F ，若△FDE 的周长为8，△FCB 的周长为22，则FC 的长为 .6.如图所⽰，在形状为平⾏四边形的⼀块地ABCD 中，有⼀条⼩折路EFG ．?现在想把它改为经过点E 的直路，要求⼩路两侧⼟地的⾯积都不变，?请在图中画出改动后的⼩路．7.如图,为公园的⼀块草坪,其四⾓上各有⼀棵树,现园林⼯⼈想使这个草坪的⾯积扩⼤⼀倍,⼜要四棵树不动,并使扩⼤后的草坪为平⾏四边形,试问这个想法能否实现,若能请你设计出草图.8. 如图，在矩形ABCD 中，AB=3，AD=4，点P 在AD 上，PE ⊥AC 于E ，PF ⊥BD 于F ，则PE+PF 等于（）8. 如图所⽰，在平⾏四边形ABCD 中，∠ABC=60°，且AB=BC ，∠MAN=60°．请探索BM ，DN 与AB 的数量关系，并证明你的结论．9.如图：平⾏四边形ABCD ，在AB 的延长线上截取BE ＝AB ，BF ＝BD ，连结CE 、DF 交于G 点，试说明：CD ＝CG 。

10.如图将矩形纸⽚ABCD 沿AE 折叠，使点B 落在直⾓梯形AECD 的中位线FG 上，若则AE 的长为（）44444a bcdabcd +++=bd ac d c b a 222222+=+++11.如图，将边长为8㎝的正⽅形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在F处，折痕为MN，则线段CN的长是（）12.如图，矩形中，过对⾓线交点作交于则的长是（）13.将矩形纸⽚ABCD按如图所⽰的⽅式折叠，AE、EF为折痕，∠BAE＝30°，AB＝，折叠后，点C落在AD边上的C1处，并且点B落在EC1边上的B1处．则BC的长为（）．14.如图，在矩形中，动点从点出发，沿→→→⽅向运动⾄点处停⽌．设点R运动的路程为，的⾯积为，如果关于的函数图象如图2所⽰，则当时，点R应运动到（）15.如图,在平⾏四边形ABCD中，以AC为斜边作Rt△ACE，⼜∠BED=90°，则四边形ABCD 是矩形.试说明理由.16.如图，四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，M、N分别是AC、BD?的中点，那么MN⊥BD 成⽴吗？试说明理由．17.如图矩形中，延长到，使，是中点．求证：．18.如图所⽰，在直⾓坐标系中，矩形ABCD的顶点，A的坐标为(1，0)，对⾓线的交点P的坐标为(52，1)⑴写出B、C、D三点的坐标；⑵若在线段AB上有⼀点若在AB上有⼀点E(⼆分之三，0)，过E点的直线将矩形ABCD的⾯积分为相等的两部分，求直线的解析式；⑶若过C点的直线将矩形ABCD的⾯积分为4：3两部分，并与y轴交于点M，求M点的坐标．ABCD35AB BC==，．O OE AC⊥AD E，AE3MNPQ R N N P Q M Mx MNR△y y x9x=ABCD CB E CE AC=F AE BF DF⊥l1.如图，菱形OABC 的⼀边OA 在x 轴上，将菱形OABC 绕原点O 顺时针旋转75°⾄OA ′B ′C ′的位置，若C=120°，则点B′的坐标为（）2.如图是⼀个利⽤四边形的不稳定性制作的菱形晾⾐架．已知其中每个菱形的边长为20cm ，墙上悬挂晾⾐架的两个铁钉A 、B 之间的距离为20cm ，则∠1等于（）A 、90°B 、60°C 、45°D 、30°3.如图，点P 是边长为1的菱形ABCD 对⾓线AC 上的⼀个动点，点M 、N 分别是AB 、BC 边上的中点，MP+NP 的最⼩值是（）4.已知：如图，C 是线段BD 上⼀点，△ABC 和△ECD 都是等边三⾓形，R 、F 、G 、H 分别是四边形ABDE 各边的中点，求证：四边形RFGH 是菱形。

2022-2023学年八年级数学下学期复习备考高分秘籍【人教版】专题6.4考前必做30题之特殊的平行四边形小题培优提升（压轴篇，八下人教）一、单选题1．（2022春·广东河源·八年级校考期末）已知菱形的周长等于40cm，两对角线的比为3:4，则对角线的长分别是（）A．12cm，16cm B．6cm，8cmC．3cm，4cm D．24cm，32cm【答案】A【分析】根据菱形的周长可以计算菱形的边长，因为菱形的对角线互相垂直，所以△ABO为直角三角形，设菱形的对角线长为2x、2y,则x:y＝3:4，且在Rt△ABO中，x2＋y2＝102，求得x、y即可解题．【详解】解：如下图所示，菱形的周长为40cm,则菱形的边长为10cm,菱形的对角线互相垂直，所以△ABO为直角三角形，设菱形的对角线长为2x、2y,则x:y＝3:4，在Rt△ABO中，x2＋y2＝102解得x＝6cm，y＝8cm,故对角线长为12cm，16cm．故选：A．【点睛】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，菱形各边长相等的性质，菱形对角线互相垂直平分的性质，本题中根据x、y的关系式求x、y的值是解题的关键．2．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且AC=6，DB=8，AE⊥BC于点E，则AE=（）A．6B．8C．245D．485【答案】C3．（2023春·江苏·八年级专题练习）已知：如图，矩形ABCD中，AB=5,BC=12，对角线AC、BD相交于点O，点P是线段AD上任意一点，且PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，则PE+PF等于（ ）A．6B．5C．6013D．6012在矩形ABCD中，AB=5,BC4．（2023春·八年级单元测试）如图，正方形ABCD的边长为8，在各边上顺次截取AE=BF=CG=DH=6，则四边形EFGH的面积是（）A．34B．36C．40D．1005．（2022秋·山东聊城·八年级校联考阶段练习）如图，已知正方形ABCD的边长为4，点M在DC上，DM=1，点N是AC上的一个动点，那么DN+MN的最小值是（ ）A．3B．4C．5D．6则BM的长即为DN+∵四边形ABCD是正方形，∴AC是线段BD的垂直平分线，6．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，在△ABC中，点E、D、F分别在边AB、BC、CA上，且DE∥CA，DF∥BA，下列四个判断中，不正确的是（）A．四边形AEDF是平行四边形B．如果AD平分∠EAF，那么四边形AEDF是菱形C．如果AD=EF，那么四边形AEDF是矩形D．如果AD⊥BC且AB=AC，那么四边形AEDF是正方形7．（2023春·八年级单元测试）如图，E、F、H分别为正方形ABCD的边AB、BC、CD上的点，连接DF，HE，且HE=DF，DG平分∠ADF交AB于点G．若∠BEH=52°，则∠AGD的度数为（）A．26°B．38°C．52°D．64°【答案】D【分析】过点H作HM⊥AB，由正方形的性质BC=CD，∠A=∠C=∠ADC=90°，AD∥BC，四边形BCHM为矩形，利用HL易证得△HEM≌△DFC，可得∠BEH=∠DFC=52°，进而可得∠ADF=∠DFC=52°，由角平分线可得的∠ADG度数，即可求得得∠AGD度数．【详解】解：过点H作HM⊥AB，∵四边形ABCD是正方形，∴BC=CD，∠A=∠C=∠ADC=90°，AD∥BC∵HM⊥AB，则四边形BCHM为矩形，∴MH=BC=DC，∵HE=DF，∴△HEM≌△DFC（HL），∴∠BEH=∠DFC=52°，∵AD∥BC，∴∠ADF=∠DFC=52°，又∵DG平分∠ADF，8．（2023春·八年级单元测试）将图1中两个三角形按图2所示的方式摆放，其中四边形ABCD为矩形，连接PQ，甲、乙两人有如下结论：甲：若四边形ABCD是边长为1的正方形，则四边形PQMN必是正方形；乙：若四边形PQMN为正方形，则四边形ABCD必是边长为1的正方形．下列判断正确的是（）A．甲正确，乙不正确B．甲不正确，乙正确C．甲、乙都不正确D．甲、乙都正确【答案】D【分析】根据AB=BC=CD=AD=1，求出AQ和AP的值，根据勾股定理求出PQ的值，即可判断甲是否正确，若平行四边形PQMN为正方形，根据边的关系可以求出AB=CD=AD=BC=1且四个角都是直角，即可判断乙是否正确．【详解】解：∵四边形ABCD是边长为1的正方形，∴AB=BC=CD=AD=1，∠BAD=90°，∴AQ=4−1=3，AP=3+1=4，∠PAQ=90°，∴P Q2=A Q2+A P2=25，∴PQ=5，同理MN=5，∴四边形PQMN是菱形，在△QMD和△PQA中，MQ=QPMD=QA，DQ=AP∴△QMD≌△PQA(SSS)，∴∠MQD=∠APQ，∵∠AQP+∠QPA=90°，∴∠AQP+∠MQD=90°，∴∠MQP=90°，则四边形PQMN必是正方形；∴甲正确；若四边形PQMN为正方形，则PQ=PN=MN=MQ=5，且∠QMD+∠MQD=∠QAP=∠AQP+∠QPA=90°，在△QMD和△PQA中，∠QMD=∠AQPMQ=PQ，∠MQD=∠QPA∴△QMD≌△PQA(ASA)，∴QD=AP=4，同理QD=AP=MC=BN=4，又∵BP=MD=AQ=3，∴QD−AD=PA−AB，∴AB=AD=1，同理AB=CD=AD=BC=1，即四边形ABCD为菱形，∵∠DAB=180°−∠QAP=90°，则四边形ABCD必是边长为1的正方形，∴乙正确，故选：D．【点睛】本题考查了正方形的判定和性质，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键．9．（2023春·广东深圳·八年级校考期中）如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=8，E为CD边的中点，点P、Q为BC边上的两个动点，且PQ=2，当BP=（）时，四边形APQE的周长最小．A．3B．4C．5D．【答案】B【分析】在AD上截取线段AF=PQ=2，作F点关于BC的对称点G，连接EG与BC交于一点即为Q点，过F 点作FQ的平行线交BC于一点，即为P点，此时四边形APQE的周长最小，过G点作BC的平行线交DC的延长线于H点，先求出∠CEQ=45°，得出CE=CQ=2，设BP=x，则CQ=BC−BP−PQ=8−x−2=6−x，列出关于x的方程，解方程即可．【详解】解：如图，在AD上截取线段AF=PQ=2，作F点关于BC的对称点G，连接EG与BC交于一点即为Q点，过F点作FQ的平行线交BC于一点，即为P点，此时四边形APQE的周长最小，过G点作BC的平行线交DC的延长线于H点，∵四边形ABCD为矩形，∴AD=BC=8，DC=AB=4，∠ADC=∠DCB=∠B=∠BAD=90°，∴DF=AD−AF=8−2=6，∵E为CD边的中点，∴CE=DE=2，∵GH=DF=6，EH=2+4=6，∴GH=EH，∵∠H=90°，∴∠GEH=45°，∴∠CEQ=45°，∵在△CQE中，∠QCE=90°，∴∠QEC=90°−45°=45°，∴∠EQC=∠CEQ，∴CE=CQ=2，设BP=x，则CQ=BC−BP−PQ=8−x−2=6−x，∴6−x=2，解得：x=4，即BP=4时，四边形APQE的周长最小，故B正确．故选：B．【点睛】本题主要考查了矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，轴对称的性质，解题的关键是作出辅助线，找出使四边形APQE的周长最小时，点P的位置．10．（2023春·全国·八年级阶段练习）如图，在正方形ABCD中，AB=4，E为对角线AC上与A，C不重合的一个动点，过点E作EF⊥AB于点F，EG⊥BC于点G，连接DE，FG，下列结论：①DE=FG；②DE⊥FG；③∠BFG=∠ADE；④FG的最小值为2．其中正确结论的序号为（）A．①②B．②③C．①②③D．①②③④∵EF ⊥AB ，EG⊥BC ，∴∠EFB =∠EGB =90°．∵∠ABC =90°，∴四边形EFBG 为矩形．∴FG =BE ，OB =OF =OE =OG ．∵四边形ABCD 为正方形，∴AB =AD ，∠BAC =∠DAC =45°．在△ABE 和△ADE 中，AE ＝AE ∠BAC ＝∠DAC AB ＝AD，∴△ABE≅△ADE ．∴BE =DE ．∴DE =FG ．∴①正确；②延长DE ，交FG 于M ，交FB 于点H ，∵△ABE≅△ADE ，∴∠ABE =∠ADE ．由①知：OB =OF ，∴∠OFB =∠ABE ．∴∠OFB =∠ADE ．∵∠BAD =90°，∴∠ADE +∠AHD =90°．∴∠OFB +∠AHD =90°．即：∠FMH =90°，11．（2022春·江苏无锡·八年级校考阶段练习）如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，AB =6，BC =8，过点O 作OE ⊥AC ，交AD 于点E ，过点E 作EF ⊥BD ，垂足为F ，则OE +EF 的值为（ ）A ．485B ．325C ．245D ．125【答案】C【分析】依据矩形的性质即可得到△AOD 的面积为12，再根据S △AOD =S △AOE +S △DOE ，即可得到EO +EF 的值．12．（2023春·福建福州·八年级校考阶段练习）如图，E，F，G，H分别是BD，BC，AC，AD的中点，且AB=CD，下列结论：①四边形EFGH是菱形；②EG⊥FH；③若∠BAD+∠ADC=245°，则∠EFH=27.5°；④EG=1(BC−AD)；其中正确的个数是（）2A．1个B．2个C．3个D．4个∴EF =FG =GH =HE ，∴四边形EFGH 是菱形，∴四边形EFGH 是菱形，故①正确；∴EG ⊥FH ，故②正确；∵∠BAD +∠ADC =245°，∴∠ABC +∠DCB =115°，∵AB∥FG ，CD∥EF ，∴∠CFG =∠ABC ，∠EFB =∠DCB ，∴∠CFG +∠EFB =115°，∴∠EFG =180°−(∠CFG +∠EFB )=65°，∴∠EFH =12∠EFG =32.5°，故③错误；当AD∥BC ，如图所示：E ，G 分别为BD ，AC 中点，∴连接CD ，延长EG 到CD 上一点N ，∴EN =12BC ，GN =12AD ，∴EG =12(BC−AD)，只有AD∥BC 时才可以成立，而本题AD 与BC 很显然不平行，故④错误．综上所述，①②共2个正确．故选：B ．【点睛】本题考查了三角形中位线定理与菱形的判定与菱形的性质，根据三角形的中位线定理与AB =CD 判定四边形EFGH 是菱形是解答本题的关键．13．（2023春·全国·八年级专题练习）如图所示，把矩形纸条ABCD 沿EF ，GH 同时折叠，B ，C 两点恰好落在AD 边的P 点处，若∠FPH 的度数恰好为90°，PF =4，PH =3，则矩形ABCD 的边BC 的长为( )A．10B．11C．12D．1514．（2023春·重庆南岸·八年级重庆市珊瑚初级中学校校考开学考试）如图，在长方形ABCD中，点E是CD 上一点，连接AE，沿直线AE把△ADE折叠，使点D恰好落在边BC上的点F处．若AB=9，CE=4，则折痕AE的长度为（）A．B．C．D．15．（2022春·江苏无锡·八年级校考阶段练习）如图：E 是边长为1的正方形ABCD 的对角线BD 上一点，且BE =BC ，P 为CE 上任意一点，PQ ⊥BC 于点Q ，PR ⊥BE 于点R ，则PQ +PR 的值是（ ）A B ．12C D ．2316．（2023秋·湖南永州·八年级统考期末）如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点，且CE=DF，AE、BF相交于点O，下列结论：①AE=BF；②AE⊥BF；③AO=OE；④S△AOB=S四边形DEOF，其中正确的有（）A．①②③B．②③④C．①③④D．①②④【答案】D【分析】根据正方形的性质可得∠BAF=∠D=90°，AB=AD=CD，然后求出AF=DE，再利用“边角边”证明△ABF和△DAE全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=BF，从而判定出①正确；再根据全等三角形对应角相等可得∠ABF=∠DAE，然后证明∠ABF+∠BAO=90°，再得到∠AOB=90°，从而得出AE⊥BF，判断②正确；假设AO=OE，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质可得AB=BE，再根据直角三角形斜边大于直角边可得BE>BC，即BE>AB，从而判断③错误；根据全等三角形的面积相等可得S△ABF=S△ADE，然后都减去△AOF的面积，即可得解，从而判断④正确．【详解】解：在正方形ABCD中，∠BAF=∠D=90°，AB=AD=CD，∵CE=DF，∴AD−DF=CD−CE，即AF=DE，在△ABF和△DAE中，AB=AD∠BAF=∠D=90°，AF=DE∴△ABF≅△DAE(SAS)，∴AE=BF，故①正确；∵∠DAE+∠BAO=90°，∠ABF+∠BAO=90°，∴∠ABF=∠DAE，在△ABO中，∠AOB=180°−(∠ABF+∠BAO)=180°−90°=90°，∴AE⊥BF，故②正确；假设AO=OE，∵AE⊥BF（已证），∴AB=BE（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），∵在Rt△BCE中，BE>BC，∴AB>BC，这与正方形的边长AB=BC相矛盾，所以，假设不成立，AO≠OE，故③错误；∵△ABF≅△DAE，∴S△ABF=S△DAE，∴S△ABF−S△AOF=S△DAE−S△AOF，即S△AOB=S四边形DEOF，故④正确；综上所述，正确的结论是①②④．故选：D．【点睛】本题考查了正方形的四条边都相等，每一个角都是直角的性质，全等三角形的判定与性质，求出△ABF≅△DAE全等是解题的关键，也是本题的突破口．17．（2022秋·浙江宁波·八年级校联考期末）如图，A，B，C，D四个点顺次在直线l上，AC=a,BD=b．以AC为底向下作等腰直角三角形ACE，以BD为底向上作等腰三角形BDF，且FB=FD=5BD．连接AF,DE，当6BC的长度变化时，△ABF与△CDE的面积之差保持不变，则a与b需满足（）A ．a =43bB ．a =65bC ．a =53bD ．a =∵△ACE 是等腰直角三角形，且∴EM =12AC =a 2，∵△BDF 是等腰三角形，且18．（2022春·湖北武汉·八年级校联考期中）如图，正方形ABCD中，P为CD上一点，线段AP的垂直平分线MN交BD于N，M为垂足，交正方形的两边于E、F，连接PN，则下列结论：①∠APN=45°；②PC=；③∠DNF=∠DAP；④MN=MF+NE，其中正确的是（）A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④∵∠KGN=∠NHE=90°，∴△KGN≌△NHE(AAS)，∴NE=NK，∴MN=MF+NE，故④正确；故选：B．【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、等腰直角三角形的判定与性质；本题难度较大，综合性强，特别是需要通过作辅助线证明三角形全等．19．（2022秋·浙江宁波·八年级校考期末）如图，边长为5的大正方形ABCD是由四个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH组成，连结AF并延长交CD于点M．若AH=GH，则CM的长为（ ）A．12B．34C．1D．54【答案】D【分析】过点M作MN⊥FC于点N，设FA与GH交与点K，利用已知条件和正方形的性质得到△ABF为等腰三角形，利用等腰三角形的三线合一性质，平行线的性质，对顶角相等和等量代换得到△MCF为等腰三角形，再利用等腰三角形的三线合一的性质和平行线分线段成比例定理解答即可得出结论．【详解】解：过点M作MN⊥FC于点N，设FA与GH交与点K，如图，20．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，四边形ABCD中，AC=a，BD=b，且AC⊥BD，顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形A1B1C1D1，再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点，得到四边形A2B2C2D2，如此进行下去，得到四边形A n B n C n D n．下列结论正确的是（）．①四边形A4B4C4D4是菱形；②四边形A3B3C3D3是矩形；③四边形A7B7C7D7．④四边形A n B n C n D n面积为a2−b2nA．①②③B．②③④C．①③④D．①②③④【答案】A【分析】根据题意，找出变化后的四边形的边长与四边形ABCD中各边长的长度关系规律，然后对选项作出分析判断：①②根据三角形的中位线定理、平行四边形的判定定理、菱形和矩形的判定与性质作出判断；③根据三角形的中位线定理和四边形周长公式作出判断；④找到每得到的四边形与原四边形面积关系规律，即可求得四边形A n B n C n D n的面积．【详解】解：①连接A1C1，B1D1，∵在四边形ABCD中，顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形A1B1C1D1，∴A1D1∥BD，B1C1∥BD，C1D1∥AC，A1B1∥AC，∴A1D1∥B1C1，A1B1∥C1D1，∴四边形A1B1C1D1是平行四边形；∵AC⊥BD，∴A1B1⊥A1D1，∴四边形A1B1C1D1是矩形，∴B1D1=A1C1（矩形的两条对角线相等）；∴A2D2=C2D2=C2B2=B2A2（三角形的中位线定理），∴四边形A2B2C2D2是菱形；∴四边形A3B3C3D3是矩形；【点睛】本题是一道规律题，考查了中点四边形、平行四边形的判定、三角形的中位线定理、菱形和矩形的判定与性质，解题的关键是理清题意，熟练并灵活运用所学知识点解题．二、填空题21．（2023秋·山东烟台·八年级统考期末）如图，矩形ABCD中，AC、BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于E，∠CAE=15°，连接OE．下列结论：①△ODC是等边三角形；②CD=BE；③BC=2AB；④S△AOE=S△COE．其中正确的有______（填序号）．∴S△AOE=S△COE，故④正确；综上所述，正确的结论是①②④，故答案为：①②④．【点睛】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，等底等高的三角形的面积相等，熟记性质并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．22．（2023秋·山东烟台·八年级统考期末）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P为AB边上一动点（不与点A，B重合），PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，若AB=2,∠BAD=60°，则EF的最小值为_______．∵四边形ABCD是菱形，∠DAB=30°，∴AC⊥BD，∠CAB=12∵PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，∴∠EOF=∠OEP=∠OFP=90°，23．（2023春·八年级单元测试）菱形ABCD的边长为2，∠DAB=30°，点P、Q分别是AC、AB上的动点，BP+PQ的最小值为______【答案】1【分析】连接AB，作DE⊥AB于E，利用SAS证明△ADP≌△ABP，得DP=BP，当点D、P、Q共线，BP+PQ 的最小值为DE的长，再求出DE的长即可．【详解】解：连接AB，作DE⊥AB于E，∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD=2，∠DAP=∠BAP，∵AP=AP，∴△ADP≌△ABP（SAS）∴DP=BP，则：BP+PQ=DP+PQ，24．（2023春·江苏南京·八年级南京外国语学校仙林分校校考开学考试）如图，长方形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是BC边上任一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，当CE的长为___________时，△CE B′恰好为直角三角形．连接AC，在Rt△ABC中，AB=3，∴AC=AB2+BC2=5∵∠B沿AE折叠，使点B落在点此时四边形ABEB′为正方形，∴BE=AB=3，∴CE=BC−BE=4−3=1，综上所述：CE=1或52故答案为：1或5．25．（2021春·浙江杭州·八年级期中）如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上(不与点C，D重合)，AE 交对角线BD于点G，GF⊥AE交AE于点G．(1)若AB=10，BF=4，线段AF的长度为___________．(2)连接AF，EF，若AF=AE，正方形ABCD与△CEF的面积之比___________．∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABF=90°,∵AB=10，BF=4，∵四边形ABCD是正方形，∵AG=GF，AG⊥GF，∴∠EAF=45°，∵AE=AF，AB=AD，26．（2022春·江苏南京·八年级校考期中）如图，在一张矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=8，点F分别在AD，BC上，将矩形ABCD沿直线EF折叠，点C落在AD边上的一点H处，点D落在点G处，有以下四个结论：①四边形CFHE是菱形；②线段BF的取值范为3≤BF≤4；③EF=2DE；④当点H与点A重合时，EF=________．【答案】①②④【分析】①先判断出四边形CFHE是平行四边形，再根据翻折的性质可得CF=FH，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明，判断出①正确；②点H与点A重合时，设BF=x,表示出AF=FC=8−x,利用勾股定理列出方程求解得到BF的最小值，点G与点D重合时，CF=CD，求出BF=4，然后写出BF的取值范围，判断出②正确；③假设EF=2DE，根据菱形的对角线平分一组对角线可得∠BCH=∠ECH，然后求出只有∠DCE=30°时EC 平分∠DCH，判断出③错误；④过点F作FM⊥AD于M，求出ME，再利用勾股定理列式求解得到EF，判断出④正确．【详解】解：①∵FH与EG，EH与CF都是原来矩形ABCD的对边AD、BC的一部分，∴FH∥CG，EH∥CF，∴四边形CFHE是平行四边形，由翻折的性质得，CF=FH，∴四边形CFHE是菱形，故①正确；则ME=(8−3)−3=2，27．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC上一点，且∠AEF=90°，且EF交正方形外角平分线CF于点F．若正方形边长是8，EC=2，则FC的长为____．28．（2021春·江苏南京·八年级校考期中）如图，在四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，G、H分别是BD、AC的中点，依次连接E、G、F、H得到四边形EGFH，要使四边形EGFH是菱形，可添如条件__________．29．（2023秋·江苏泰州·八年级统考期末）已知，如图，四边形ABCD中，AD=6，CD=8，∠ADC=90°，AC，∠BAD+∠BDC=180°，则B C2的值为__．点M是AC的中点，连接BM，若BM=12∵∠ADC=90°，AD=6，∴AC=62+82=10，∵点M是AC的中点，∴MD=MC=5，30．（2022春·北京朝阳·八年级北京市陈经纶中学校考期中）为庆祝建党90周年，美化社区环境，某小区要修建一块艺术草坪．如图，该草坪依次由部分互相重叠的一些全等的菱形组成，且所有菱形的较长的对角线在同一条直线上，前一个菱形对角线的交点是后一个菱形的一个顶点，如菱形ABCD、EFGH、CIJK…，要求每个菱形的两条对角线长分别为4m和6m．（1）若使这块草坪的总面积是39m2，则需要___个这样的菱形；（2）若有n个这样的菱形（n≥2，且n为整数），则这块草坪的总面积是___m2．【答案】 4 (9n+3)【分析】（1）利用菱形的对角线互相垂直平分，可分别作出四个满足条件的菱形，另外菱形重合的部分也是菱形，并且这些小菱形的对角线分别为2，3，结合菱形的面积=对角线×另一条对角线÷2，即可求出图形的面积和需要的菱形个数；（2）由（1）可知若有n个这样的菱形(n≥2，且n为整数），则这块草坪的总面积．【详解】解：（1）∵每个菱形的两条对角线长分别为4和6．∴小菱形的对角线分别为2，3，∵菱形的面积=对角线×另一条对角线÷2，∴占地面积为4×6÷2×n−3×2÷2×(n−1)=39，∴n=4，∴则需要4个这样的菱形；（2）当有一个这样的菱形，则草坪的面积为4×6÷2=12=9×1+3，当有2个这样的菱形，则草坪的面积为4×6×2÷2−2×3÷2=21=9×2+3，…依此类推若有n个这样的菱形(n≥2，且n为整数），则这块草坪的总面积是(9n+3)．故答案为：4；(9n+3)．【点睛】本题考查了菱形的性质和菱形的面积公式，掌握菱形的性质和菱形的面积公式是解题的关键．。

专题4特殊的平行四边形（精讲精练）【目标导航】【知识梳理】1.菱形的性质：（1）菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．（2）菱形的性质：①菱形具有平行四边形的一切性质；②菱形的四条边都相等；③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．（3）菱形的面积计算①利用平行四边形的面积公式．②菱形面积=12ab．（a、b是两条对角线的长度）2.菱形的判定：①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等=菱形）；②四条边都相等的四边形是菱形．③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）．3.矩形的性质：（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．（2）矩形的性质①平行四边形的性质矩形都具有；②角：矩形的四个角都是直角；③边：邻边垂直；④对角线：矩形的对角线相等且互相平分；⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．4. 矩形的判定：①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”）5.正方形的性质①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；②正方形的两条对角线相等且互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．6.正方形的判定：正方形的判定方法：①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；②先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角．③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定．【典例剖析】【考点1】菱形的性质【例1】（2020秋•建平县期末）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝80°，E是线段BD上一动点（点E不与点B，D重合），当△ABE是等腰三角形时，∠DAE＝（）A．30°B．70°C．30°或60°D．40°或70°【分析】在菱形ABCD中，∠ABC＝80°，根据菱形的性质得到∠ABD=12∠ABC＝40°，AD∥BC，求得∠BAD＝180°﹣∠ABC＝100°，当AE＝BE时，当AB＝BE时根据等腰三角形的性质即可得到结论．【解析】∵在菱形ABCD 中，∠ABC ＝80°， ∴∠ABD =12∠ABC ＝40°，AD ∥BC ，∴∠BAD ＝180°﹣∠ABC ＝100°，∵△ABE 是等腰三角形，∴AE ＝BE ，或AB ＝BE ，当AE ＝BE 时，∴∠ABE ＝∠BAE ＝40°，∴∠DAE ＝100°﹣40°＝60°；当AB ＝BE 时，∴∠BAE ＝∠AEB =12（180°﹣40°）＝70°，∴∠DAE ＝100°﹣70°＝30°，综上所述，当△ABE 是等腰三角形时，∠DAE ＝30°或60°，故选：C ．【变式1-1】（2020•遵义）如图，在菱形ABCD 中，AB ＝5，AC ＝6，过点D 作DE ⊥BA ，交BA 的延长线于点E ，则线段DE 的长为（ ）A ．125 B ．185 C ．4 D ．245【分析】由在菱形ABCD 中，AB ＝5，AC ＝6，利用菱形的性质以及勾股定理，求得OB 的长，继而可求得BD 的长，然后由菱形的面积公式可求得线段DE 的长．【解析】如图．∵四边形ABCD 是菱形，AC ＝6，∴AC ⊥BD ，OA =12AC ＝3，BD ＝2OB ，∵AB ＝5，∴OB =√AB 2−OA 2=4，∴BD ＝2OB ＝8，∵S 菱形ABCD ＝AB •DE =12AC •BD ，∴DE =12AC⋅BD AB =12×6×85=245． 故选：D ．【变式1-2】（2020•烟台模拟）如图，在菱形ABCD 中，点E 为对角线AC 上一点，且CE ＝CD ，连接DE ，若AB＝5，AC ＝8，则DEAD =（ ）A ．√104B ．√105C ．35D ．45 【分析】连接BD 交AC 于点O ，根据勾股定理以及菱形的性质即可求出答案．【解析】连接BD 交AC 于点O ，∵AB ＝CD ＝AD ＝5，∴CD ＝CE ＝5，∵AC ＝8，∴AE ＝3，OC ＝4，OE ＝1，在Rt △CDO 中，由勾股定理可知：DO ＝3，在Rt △DOE 中，由勾股定理可知：DE =√10，∴DEAD =√105， 故选：B ．【变式1-3】（2020•乾县二模）如图，在菱形ABCD 中，AC ＝2√6，BD ＝2√3，DH ⊥AB 于点H ，则BH 的长为（ ）A．3B．2√3C．2D．2√2【分析】利用菱形的对角线互相平分且垂直，即可得出菱形的边长，再利用菱形面积公式即可求出DH的长，再由勾股定理即可求出BH的长．【解析】在菱形ABCD中，AC＝2√6，BD＝2√3，∴AO＝CO=12AC=√6，BO＝DO=12BD=√3，∴AB=√AO2+BO2=√6+3=3，∵DH×AB=12AC×BD，∴DH=12×2√6×2√33=2√2，∴BH=√BD2−DH2=√12−8=2，故选：C．【考点2】菱形的判定条件【例2】（2020秋•西城区校级月考）下列条件中，不能判定一个四边形是菱形的是（）A．一组邻边相等的平行四边形B．一条对角线平分一组对角的四边形C．四条边都相等的四边形D．对角线互相垂直平分的四边形【分析】根据菱形的判定和平行四边形的性质对各选项分析判断，即可求解．【解析】A、∵一组邻边相等的平行四边形是菱形，∴选项A不符合题意；B、∵一条对角线平分一组对角的四边形不一定是菱形，∴选项B符合题意；C、∵四边相等的四边形是菱形，∴选项C不符合题意；D、∵对角线互相垂直平分的四边形是菱形，∴选项D不符合题意；故选：B．【变式2-1】（2020春•醴陵市期末）如图，在平行四边形ABCD中，DE，BF分别是∠ADC和∠ABC的平分线，添加一个条件，仍无法判断四边形BFDE为菱形的是（）A．∠A＝60˚B．DE＝DFC．EF⊥BD D．BD是∠EDF的平分线【分析】由平行四边形的性质和角平分线的性质可得∠ABF＝∠CDE，由平行线的性质可得∠ABF＝∠AED，可证DE∥BF，可得四边形DEBF是平行四边形，利用菱形的判定依次判断可求解．【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ADC＝∠ABC，又∵DE，BF分别是∠ADC，∠ABC的平分线，∴∠ABF＝∠CDE，∵CD∥AB，∴∠CDE＝∠AED，∴∠ABF＝∠AED，∴DE∥BF，∵DE∥BF，DF∥BE，∴四边形DEBF是平行四边形，若DE＝DF，则四边形BFDE为菱形；若EF⊥BD，则四边形BFDE为菱形；若BD平分∠EDF，∴∠BDF＝∠BDE，∵DF∥BE，∴∠FDB＝∠DBE＝∠BDE，∴DE＝EB，∴四边形BFDE为菱形；故选：A．【变式2-2】（2020春•锡山区期中）如图，已知点E、F分别是四边形ABCD的边AD、BC的中点，G、H分别是对角线BD、AC的中点，要使四边形EGFH是菱形，则四边形ABCD需满足的条件是（）A．AB＝CD B．AC＝BD C．AC⊥BD D．AD＝BC【分析】由点E、F分别是四边形ABCD的边AD、BC的中点，G、H分别是对角线BD、AC的中点，根据三角形中位线的性质，可得EG＝FH=12AB，EH＝FG=12CD，又由当EG＝FH＝GF＝EH时，四边形EGFH是菱形，即可求得答案．【解析】∵点E、F分别是四边形ABCD的边AD、BC的中点，G、H分别是对角线BD、AC的中点，∴EG＝FH=12AB，EH＝FG=12CD，∵当EG＝FH＝GF＝EH时，四边形EGFH是菱形，∴当AB＝CD时，四边形EGFH是菱形．故选：A．【变式2-3】（2020•玉田县一模）如图，AC为矩形ABCD的对角线，将边AB沿AE折叠，使点B落在AC上的点M处，将边CD沿CF折叠，使点D落在AC上的点N处，易证四边形AECF是平行四边形．当∠BAE为（）度时，四边形AECF是菱形．A．30°B．40°C．45°D．50°【分析】由折叠性质得到∠BAE＝∠CAE＝30°，求得∠ACE＝90°﹣60°＝30°，即∠CAE＝∠ACE，得到EA ＝EC，于是得到结论．【解析】当∠BAE＝30°时，四边形AECF是菱形，理由：由折叠可知，∠BAE ＝∠CAE ＝30°，∵∠B ＝90°，∴∠ACE ＝90°﹣60°＝30°，即∠CAE ＝∠ACE ，∴EA ＝EC ，∵四边形AECF 是平行四边形，∴四边形AECF 是菱形，故选：A ．【考点3】矩形的性质【例3】（2020秋•北碚区期末）如图，长方形ABCD 中，AD ＝BC ＝6，AB ＝CD ＝10．点E 为射线DC 上的一个动点，△ADE 与△AD ′E 关于直线AE 对称，当△AD ′B 为直角三角形时，DE 的长为（ ）A ．2或8B ．83或18C ．83或2D ．2或18【分析】分两种情况：①当E 点在线段DC 上时，②当E 点在线段DC 的延长线上时，利用全等三角形的判定和性质得出答案即可．【解析】分两种情况讨论：①当E 点在线段DC 上时，∵△AD 'E ≌△ADE ，∴∠AD 'E ＝∠D ＝90°，∵∠AD 'B ＝90°，∴∠AD 'B +∠AD 'E ＝180°，∴B 、D '、E 三点共线，∵S △ABE =12BE ⋅AD′=12AB ⋅AD ，AD '＝AD ，∴BE ＝AB ＝10，∵BD ′=√AB 2−AD′2=√102−62=8，∴DE ＝D 'E ＝10﹣8＝2；②当E 点在线段DC 的延长线上时，如下图，∵∠ABD ″+∠CBE ＝∠ABD ″+∠BAD ″＝90°，∴∠CBE ＝∠BAD ″，在△ABD ″和△BEC 中，∵{∠D ″=∠BCEAD″=BC ∠BAD″=∠CBE，∴△ABD ″≌△BEC （ASA ），∴BE ＝AB ＝10，∵BD ″=√102−62=8，∴DE ＝D ″E ＝BD ''+BE ＝8+10＝18．综上所知，DE ＝2或18．故选：D ．．【变式3-1】（2020•蜀山区一模）如图，在矩形ABCD 中放置了一个直角三角形EFG ，∠EFG 被AD 平分，若∠CEF＝35°，则∠EHF 的度数为（ ）A ．55°B ．125°C ．130°D ．135°【分析】根据矩形的性质得到AD ∥BC ，根据平行线的性质得到∠AFE ＝∠CEF ＝35°，根据角平分线的定义得到∠GFH ＝∠CEF ＝35°，根据平角的定义即可得到结论．【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠AFE＝∠CEF＝35°，∵∠EFG被AD平分，∴∠GFH＝∠CEF＝35°，∵∠G＝90°，∴∠GHF＝90°﹣35°＝55°，∴∠EHF＝180°﹣55°＝125°，故选：B．【变式3-2】（2020秋•天桥区期末）下列结论中，菱形具有而矩形不一定具有的性质是（）A．对角线相等B．对角线互相平分C．对角线互相垂直D．对边相等且平行【分析】根据矩形的性质和菱形的性质逐一进行判断即可．【解析】A．因为矩形的对角线相等，所以A选项不符合题意；B．因为矩形和菱形的对角线都互相平分，所以B选项不符合题意；C．因为菱形对角线互相垂直，所以C选项符合题意；D．因为矩形和菱形的对边都相等且平行，不符合题意．故选：C．【变式3-3】（2020春•荔湾区月考）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P是AD边上的一个动点，过点P分别作PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F．若AB＝6，BC＝8，则PE+PF的值为（）A．10B．9.6C．4.8D．2.4【分析】首先连接OP．由矩形ABCD的两边AB＝6，BC＝8，可求得OA＝OD＝5，然后由S△AOD＝S△AOP+S△DOP求得答案．【解析】连接OP，∵矩形ABCD的两边AB＝6，BC＝8，∴S矩形ABCD＝AB•BC＝48，OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，AC=√AB2+BC2=10，∴S△AOD=14S矩形ABCD＝12，OA＝OD＝5，∴S△AOD＝S△AOP+S△DOP=12OA•PE+12OD•PF=12OA（PE+PF）=12×5×（PE+PF）＝12，∴PE+PF=245=4.8．故选：C．【考点4】矩形的判定条件【例4】（2020秋•滕州市月考）在四边形ABCD中，下列条件能判定四边形ABCD是矩形的是（）A．AD∥BC，∠DAB＝∠ABC＝90°B．AC＝BDC．OA＝OB，OC＝OD D．AB∥DC，AB＝DC，OA＝OB【分析】根据平行四边形的判定与性质和矩形的判定即可得解．【解析】能判定四边形ABCD是矩形的条件为AB∥DC，AB＝DC，OA＝OB，理由如下：∵AB∥DC，AB＝DC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，∵OA＝OB，∴AC＝BD，∴▱ABCD是矩形；其它三个选项的条件均不能判定四边形ABCD是矩形；故选：D．【变式4-1】（2020春•新乐市期末）如图，在△ABC中，点D在BC上，DE∥AC，DF∥AB，下列四个判断中不正确的是（）A．四边形AEDF是平行四边形B．若∠BAC＝90°，则四边形AEDF是矩形C．若AD⊥BC且AB＝AC，则四边形AEDF是菱形D．若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是矩形【分析】根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，有一个角是90°的平行四边形是矩形，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，四个角都是直角，且四个边都相等的是正方形，逐项分析即可．【解析】因为DE∥CA，DF∥BA，所以四边形AEDF是平行四边形．故A正确．∠BAC＝90°，四边形AEDF是平行四边形，所以四边形AEDF是矩形．故B正确．若AD⊥BC且AB＝AC，则四边形AEDF是菱形，故C正确；因为AD平分∠BAC，所以AE＝DE，又因为四边形AEDF是平行四边形，所以是菱形．故D错误．故选：D．【变式4-2】（2019秋•埇桥区校级月考）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，添加下列条件中能判定▱ABCD为矩形的是（）A．AB＝BC B．AC⊥BD C．∠ABC＝90°D．∠1＝∠2【分析】根据矩形的判定方法即可一一判断．【解析】A、∵AB＝BC，∴▱ABCD为菱形，错误；B、∵AC⊥BD，∴▱ABCD为菱形，错误；C、∵∠ABC＝90°，∴▱ABCD是矩形，正确；D、∵∠1＝∠2，∴▱ABCD为菱形，错误；故选：C．【变式4-3】（2020春•西市区期末）四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（）A．AB＝CD B．AC＝BD C．AB＝BC D．AD＝BC【分析】四边形ABCD的对角线互相平分，则说明四边形是平行四边形，由矩形的判定定理知，只需添加条件是对角线相等．【解析】可添加AC＝BD，∵四边形ABCD的对角线互相平分，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC＝BD，根据矩形判定定理对角线相等的平行四边形是矩形，∴四边形ABCD是矩形．故选：B．【考点5】直角三角形斜边的中线【例5】（2020秋•高州市期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，CE为AB边上的中线，AD＝2，CE＝10，则CD＝（）A．2B．3C．4D．6【分析】根据直角三角形的性质得出AE＝CE＝10，进而得出DE＝8，利用勾股定理解答即可．【解析】在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CE为AB边上的中线，CE＝10，∴AE＝CE＝10，∵AD＝2，∴DE＝8，∵CD为AB边上的高，在Rt△CDE中，CD=√CE2−DE2=√102−82=6，故选：D．【变式5-1】（2020秋•武进区期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在斜边AB上，且AD＝CD，则下列结论中错误的结论是（）A．∠DCB＝∠B B．BC＝BDC．AD＝BD D．∠ACD=12∠BDC【分析】根据同角的余角相等判断A；根据题意判断B；根据等腰三角形的性质判断C；根据三角形的外角性质判断D．【解析】∵∠C＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∠ACD+∠BCD＝90°，∵AD＝CD，∴∠A＝∠ACD，∴∠B＝∠BCD，A选项结论正确，不符合题意；BC与BD不一定相等，B选项结论错误，符合题意；∵∠B＝∠BCD，∴BD＝CD，∵AD＝CD，∴AD＝BD，C选项结论正确，不符合题意；∵∠A＝∠ACD，∴∠BDC＝∠A＝∠ACD＝2∠ACD，∴∠ACD=12∠BDC，D选项结论正确，不符合题意；故选：B．【变式5-2】（2020秋•铁西区期中）如图所示，在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，AB⊥BD于点B，点E是BD 的中点，连接AE，CE，则AE与CE的大小关系是（）A．AE＝CE B．AE＞CE C．AE＜CE D．AE＝2CE【分析】利用斜边上的中线等于斜边的一半得到CE＝BE＝DE，然后利用斜边大于直角边可判断AE与CE的大小关系．【解析】∵∠BCD＝90°，点E是BD的中点，∴CE＝BE＝DE，∵AB⊥BD，∴∠ABE＝90°，∴AE＞BE，∴AE＞CE．故选：B．【变式5-3】（2020春•蚌埠期末）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠DAC＝45°，∠BAC＝30°，E是AC的中点，连接BE，BD．则∠DBE的度数为（）A．10°B．12°C．15°D．18°【分析】连接DE，根据直角三角形的性质得到DE=12AC＝AE，根据三角形的外角性质求出∠DEC、∠BEC，根据等腰三角形的性质计算即可．【解析】连接DE，∵∠ADC＝90°，E是AC的中点，∴DE=12AC＝AE，∴∠EDA＝∠DAC＝45°，∴∠DEC＝∠EDA+∠DAC＝90°，同理，∠BEC＝60°，∴∠DEB＝90°+60°＝150°，∵DE=12AC，BE=12AC，∴DE＝BE，∴∠DBE=12×（180°﹣150°）＝15°，故选：C．【考点6】正方形的性质【例6】（2020秋•秦都区期末）如图，正方形ABCO和正方形DEFO的顶点A，E，O在同一直线l上，且EF=√2，AB＝3，给出下列结论：①∠COD＝45°，②AE＝5，③CF＝BD=√17，④△COF的面积S△COF＝3，其中正确的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】①根据正方形的性质和平角的定义可求∠COD；②根据正方形的性质可求OE，再根据线段的和差关系可求AE的长；③作DH⊥AB于H，作FG⊥CO交CO的延长线于G，根据含45°的直角三角形的性质可求FG，根据勾股定理可求CF，BD，即可求解；④根据三角形面积公式即可求解．【解析】①∵∠AOC＝90°，∠DOE＝45°，∴∠COD＝180°﹣∠AOC﹣∠DOE＝45°，故正确；②∵EF=√2，∴OE＝2，∵AO＝AB＝3，∴AE＝AO+OE＝2+3＝5，故正确；③作DH⊥AB于H，作FG⊥CO交CO的延长线于G，则FG＝1，CF=√FG2+CG2=√12+(3+1)2=√17，BH＝3﹣1＝2，DH＝3+1＝4，BD=√42+22=2√5，故错误；④△COF的面积S△COF=12×3×1=32，故错误；故选：B．【变式6-1】（2020秋•山西月考）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，P为边BC上一点，且BP＝OB，则∠COP的度数为（）A．15°B．22.5°C．25°D．17.5°【分析】根据四边形ABCD是正方形，可得∠BOC＝90°，∠OBC＝45°，再根据BP＝OB，即可求出∠COP 的度数．【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴∠BOC＝90°，∠OBC＝45°，∵BP＝OB，∴∠BOP＝∠BPO=12（180°﹣45°）＝67.5°，∴∠COP＝90°﹣67.5°＝22.5°．故选：B．【变式6-2】（2020秋•太原期末）如图，将边长为2cm的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD 方向平移，得到△A′B′C′，若两个三角形重叠部分的面积为1cm2，则它移动的距离AA′等于（）A．0.5 cm B．1 cm C．1.5 cm D．2 cm【分析】根据平移的性质，结合阴影部分是平行四边形，△AA′H与△HCB′都是等腰直角三角形，则若设AA′＝x，则阴影部分的底长为x，高A′D＝2﹣x，根据平行四边形的面积公式即可列出方程求解．【解析】设AC交A′B′于H，∵∠A＝45°，∠D＝90°∴△A′HA是等腰直角三角形设AA′＝x，则阴影部分的底长为x，高A′D＝2﹣x∴x•（2﹣x）＝1∴x＝1即AA′＝1cm．故选：B．【变式6-3】（2019春•江干区期末）如图，点M是正方形ABCD边CD上一点，连接AM，作DE⊥AM于点F，连接BE．若AF＝1，四边形ABED的面积为6，则BF的长为（）A．2B．3C．√10D．√13【分析】证明△ABF≌△DAE得BF＝AF，AF＝DE，进而由已知四边形的面积列出BF的方程进行解答便可．【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝90°，∵BF⊥AM，∴∠ABF+∠BAF＝∠BAF+∠DAE＝90°，∴∠ABF＝∠DAE，∵DE⊥AM，∴∠AFB＝∠DEA＝90°，∴△ABF≌△DAE（AAS），∴BF＝AE，AF＝DE＝1，设BF＝AE＝x，则EF＝x﹣1，∵四边形ABED的面积为6，∴12EF⋅BF+12AF⋅BF×2=6，即12x(x−1)+12x×2=6，解得：x＝﹣4（舍）或x＝3，∴BF＝3，故选：B．【考点7】菱形的性质与判定综合问题【例7】（2020秋•南海区期末）如图，BD是△ABC的角平分线，过点作DE∥BC交AB于点E，DF∥AB交BC于点F．（1）求证：四边形BEDF是菱形；（2）若∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，CD＝6，求菱形BEDF的边长．【分析】（1）由题意可证BE＝DE，四边形BEDF是平行四边形，即可证四边形BEDF为菱形；（2）过点D作DH⊥BC于H，由直角三角形的性质可求解．【解答】证明：（1）∵DE∥BC，DF∥AB，∴四边形DEBF是平行四边形，∵DE∥BC，∴∠EDB＝∠DBF，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBF=12∠ABC，∴∠ABD＝∠EDB，∴DE＝BE，又∵四边形BEDF为平行四边形，∴四边形BEDF是菱形；（2）如图，过点D作DH⊥BC于H，∵DF∥AB，∴∠ABC＝∠DFC＝60°，∵DH⊥BC，∴∠FDH＝30°，∴FH=12DF，DH=√3FH=√32DF，∵∠C＝45°，DH⊥BC，∴∠C＝∠HDC＝45°，∴DC=√2DH=√62DF＝6，∴DF＝2√6，∴菱形BEDF的边长为2√6．【变式7-1】（2019秋•高新区期中）已知：如图，在平行四边形ABCD中，G、H分别是AD、BC的中点，E、O、F分别是对角线BD上的四等分点，顺次连接G、E、H、F．（1）求证：四边形GEHF是平行四边形；（2）当平行四边形ABCD满足AB BD⊥条件时，四边形GEHF是菱形；（3）若2BD AB=，探究四边形GEHF的形状，并说明理由．【分析】（1）连接AC，由平行四边形的性质和已知条件得出E、F分别为OB、OD的中点，证出GF为AOD∆的中位线，由三角形中位线定理得出//GF OA ，12GF OA =，同理：//EH OC ，12EH OC =，得出EH GF =，//EH GF ，即可得出结论；（2）连接GH ，证出四边形ABHG 是平行四边形，再证明GH EF ⊥，即可得出四边形GEHF 是菱形；（3）由（2）得：四边形GEHF 是平行四边形，得出GH AB =，证出GH EF =，即可得出四边形GEHF 是矩形．【解析】（1）证明：连接AC ，如图1所示：四边形ABCD 是平行四边形，OA OC ∴=，OB OD =，BD ∴的中点在AC 上， E 、O 、F 分别是对角线BD 上的四等分点，E ∴、F 分别为OB 、OD 的中点，G 是AD 的中点，GF ∴为AOD ∆的中位线，//GF OA ∴，12GF OA =，同理：//EH OC ，12EH OC =，EH GF ∴=，//EH GF ，∴四边形GEHF 是平行四边形；（2）解：当ABCD 满足AB BD ⊥条件时，四边形GEHF 是菱形；理由如下：连接GH ，如图2所示：则AG BH =，//AG BH ，∴四边形ABHG 是平行四边形，//AB GH ∴，AB BD ⊥，GH BD ∴⊥，GH EF ∴⊥，∴四边形GEHF 是菱形；故答案为：AB BD ⊥；（3）解：四边形GEHF 是矩形；理由如下：由（2）得：四边形GEHF 是平行四边形，GH AB ∴=，2BD AB =，12AB BD EF ∴==， GH EF ∴=，∴四边形GEHF 是矩形．【变式7-2】（2020秋•宝安区期末）如图，四边形ABCD 是平行四边形对角线AC ，BD 交于点O ，BD ＝2AB ，AE∥BD ，OE ∥AB ．（1）求证：四边形ABOE 是菱形；（2）若AO ＝2，S 四边形ABOE ＝4√3，求BD 的长．【分析】（1）由平行四边形的性质与已知得出AB ＝OB ，易证四边形ABOE 是平行四边形，即可得出结论；（2）连接BE ，交OA 于F ，由菱形的性质得OA ⊥BE ，AF ＝OF =12OA ＝1，BF ＝EF =12BE ，由菱形的面积求出BE ＝4√3，则BF ＝2√3，由勾股定理得出OB =√BF 2+OF 2=√13，即可得出结果．【解析】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OB ＝OD =12BD ，∵BD ＝2AB ，∴AB ＝OB ，∵AE ∥BD ，OE ∥AB ，∴四边形ABOE 是平行四边形，∵AB ＝OB ，∴四边形ABOE 是菱形；（2）解：连接BE ，交OA 于F ，如图所示：∵四边形ABOE 是菱形，∴OA⊥BE，AF＝OF=12OA＝1，BF＝EF=12BE，∵S四边形ABOE＝4√3，S四边形ABOE=12OA•BE=12×2×BE＝BE，∴BE＝4√3，∴BF＝2√3，∴OB=√BF2+OF2=√(2√3)2+12=√13，∴BD＝2OB＝2√13．【变式7-3】（2020秋•大邑县期中）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线与点F．（1）求证：△AEF≌△DEB；（2）证明四边形ADCF是菱形；（3）若AC＝6，AB＝8，求菱形ADCF的面积．【分析】（1）由AAS证明△AEF≌△DEB即可；（2）由全等三角形的性质得AF＝DB，证得四边形ADCF为平行四边形，再利用直角三角形的性质可求得AD ＝CD，可证得结论；（3）根据条件可证得S菱形ADCF＝S△ABC，由三角形面积公式可求得答案．【解析】（1）证明：∵E是AD的中点，∴AE＝DE，∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE，在△AEF和△DEB中，{∠AFE =∠DBE∠AEF =∠DEB AE =DE，∴△AEF ≌△DEB （AAS ）；（2）证明：由（1）得：△AEF ≌△DEB ，∴AF ＝DB ，又∵AF ∥BC ，∴四边形ADCF 是平行四边形，∵∠BAC ＝90°，D 是BC 的中点，∴AD =12BC ＝CD ，∴四边形ADCF 是菱形；（3）解：∵D 是BC 的中点，∴S 菱形ADCF ＝2S △ADC ＝S △ABC =12AB •AC =12×8×6＝24．【考点8】矩形的性质与判定综合问题【例8】（2020秋•锦州期末）如图，过△ABC 边AC 的中点O ，作OE ⊥AC ，交AB 于点E ，过点A 作AD ∥BC ，与BO 的延长线交于点D ，连接CD ，CE ，若CE 平分∠ACB ，CE ⊥BO 于点F ．（1）求证：①OC ＝BC ；②四边形ABCD 是矩形；（2）若BC ＝3，求DE 的长．【分析】（1）①根据角平分线定义得到∠OCE ＝∠BCE ，由垂直的定义得到∠CFO ＝∠CFB ＝90°，根据全等三角形的性质即可得到结论；②根据平行线的性质得到∠DAO ＝∠BCO ，∠ADO ＝∠CBO ，根据全等三角形的性质得到AD ＝BC ，推出四边形ABCD 是平行四边形，根据全等三角形的性质得到∠EBC ＝∠EOC ＝90°，于是得到四边形ABCD 是矩形；（2）由矩形的性质得到AD ＝BC ＝3，∠DAB ＝90°，AC ＝BD ，得到△OBC 是等边三角形，求得∠OCB ＝60°，根据勾股定理即可得到结论．【解析】（1）证明：①∵CE 平分∠ACB ，∵BO ⊥CE ，∴∠CFO ＝∠CFB ＝90°，在△OCF 与△BCF 中，{∠OCE =∠BCECF =CF ∠CFO =∠CFB，∴△OCF ≌△BCF （ASA ），∴OC ＝BC ；②∵点O 是AC 的中点，∴OA ＝OC ，∵AD ∥BC ，∴∠DAO ＝∠BCO ，∠ADO ＝∠CBO ，在△OAD 与△OCB 中，{∠DAO =∠BCOOA =OC ∠ADO =∠CBO，∴△OAD ≌△OCB （ASA ），∴AD ＝BC ，∵AD ∥BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形，∵OE ⊥AC ，∴∠EOC ＝90°，在△OCE 与△BCE 中，{CE =CE ∠OCE =∠BCE OC =BC，∴△OCE ≌△BCE （SAS ），∴∠EBC ＝∠EOC ＝90°，∴四边形ABCD 是矩形；（2）解：∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ＝BC ＝3，∠DAB ＝90°，AC ＝BD ，∴OB ＝OC ，∵OC ＝BC ，∴△OBC是等边三角形，∴∠OCB＝60°，∴∠ECB=12∠OCB＝30°，∵∠EBC＝90°，∴EB=12EC，∵BE2+BC2＝EC2，BC＝3，∴EB=√3，EC＝2√3，∵OE⊥AC，OA＝OC，∴EC＝EA＝2√3，在Rt△ADE中，∠DAB＝90°，∴DE=√AD2+AE2=√32+(2√3)2=√21．【变式8-1】（2020春•海安市月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为边BC的中点，四边形ABDE是平行四边形，AC，DE相交于点C．（1）求证：四边形ADCE是矩形；（2）若∠AOE＝90°，AE＝2，求矩形ADCE对角线的长．【分析】（1）先判定四边形ADCE是平行四边形，再结合AB＝AC，推出∠ADC＝90°，即可得出结论；（2）证出矩形ADCE是正方形，即可解决问题．【解析】（1）证明：∵四边形ABDE是平行四边形，∴BD＝AE，BD∥AE，∵D为BC的中点，∴CD＝BD，∴CD＝AE．∴四边形ADCE是平行四边形．又∵AB＝AC，D为边BC的中点，∴AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴四边形ADCE是矩形．（2）解：∵四边形ADCE是矩形，∠AOE＝90°，∴矩形ADCE是正方形，∴CE＝AE＝2，∠AEC＝90°，∴AC=√2AE＝2√2，即矩形ADCE对角线的长为2√2．【变式8-2】（2020春•工业园区校级期中）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，BE∥AC，AE∥BD，OE与AB交于点F．（1）试判断四边形AEBO的形状，并说明理由；（2）若OE＝5，AC＝8，求菱形ABCD的面积．【分析】（1）先证四边形AEBO为平行四边形，再由菱形的性质得∠AOB＝90°，从而可得四边形AEBO是矩形；（2）根据勾股定理和菱形的面积公式解答即可．【解析】（1）四边形AEBO是矩形，理由如下：∵BE∥AC，AE∥BD∴四边形AEBO是平行四边形．又∵菱形ABCD对角线交于点O∴AC⊥BD，即∠AOB＝90°．∴四边形AEBO是矩形；（2）∵四边形ABCD是菱形，∴OA=12AC＝4，OB＝OD，AC⊥BD，∵四边形AEBO是矩形，∴AB＝OE＝5，∴OB=√AB2−OA2=√52−42=3，∴BD＝2OB＝6，∴菱形ABCD的面积=12AC×BD=12×8×6＝24．【变式8-3】（2020春•岳麓区校级月考）如图，已知矩形ABCD，AD＝8，CD＝20，P是AB上一动点，M、N、E 分别是PD、PC、CD的中点．（1）求证：四边形PMEN是平行四边形；（2）请直接写出当AP为何值时，四边形PMEN是菱形；（3）四边形PMEN有可能是矩形吗？若有可能，求出AP的长；若不可能，请说明理由．【分析】（1）四边形PMEN的形状一定是平行四边形，根据三角形的中位线的性质和平行四边形的判定定理可证明．（2）证△P AD≌△PBC得PD＝PC，结合M、N、E分别是PD、PC、CD的中点知NE=PM=12PD、ME=PN=12PC，据此可得PM＝ME＝EN＝PN，从而得证．（3）四边形PMEN是矩形的话，∠DPC必需为90°，判断一下△DPC是不是直角三角形就行．【解析】（1）证明：∵M、N、E分别是PD、PC、CD的中点，∴ME是△PCD的中位线，NE是△PCD的中位线，∴ME∥PC，EN∥PD，∴四边形PMEN是平行四边形；（2）解：当AP＝10时，四边形PMEN是菱形；理由如下：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝20，AD＝BC，∵AP＝10，AB＝20，∴BP＝10＝AP，∴△P AD≌△PBC（SAS），∴PD＝PC，∵M、N、E分别是PD、PC、CD的中点，∴NE=PM=12PD，ME=PN=12PC，∴PM＝ME＝EN＝PN，∴四边形PMEN 是菱形；（3）四边形PMEN 有可能是矩形；理由如下：若四边形PMEN 是矩形，则∠DPC ＝90°设P A ＝x ，PB ＝20﹣x ，由勾股定理得：DP 2+CP 2＝DC 2，即64+x 2+64+（20﹣x ）2＝202，解得：x ＝4或x ＝16．∴当AP ＝4或AP ＝16时，四边形PMEN 是矩形．【考点9】四边形综合问题【例9】（2020春•潜山市期末）如图，已知四边形ABCD 为正方形，AB ＝3√2，点E 为对角线AC 上一动点，连接DE ，过点E 作EF ⊥DE ，交BC 于点F ，以DE 、EF 为邻边作矩形DEFG ，连接CG ．（1）求证：矩形DEFG 是正方形；（2）探究：CE +CG 的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．【分析】（1）作出辅助线，得到EN ＝EM ，然后判断∠DEN ＝∠FEM ，得到△DEN ≌△FEM ，则有DE ＝EF 即可；（2）同（1）的方法判断出△ADE ≌△CDG 得到CG ＝AE ，即：CE +CG ＝CE +AE ＝AC ＝6．【解析】（1）如图，作EM ⊥BC 于M ，EN ⊥CD 于N ，∴∠MEN ＝90°，∵点E 是正方形ABCD 对角线上的点，∴EM ＝EN ，∵∠DEF ＝90°，∴∠DEN ＝∠MEF ，∵∠DNE ＝∠FME ＝90°，在△DEN 和△FEM 中，{∠DNE =∠FMEEN =EM ∠DEN =∠FEM，∴△DEN≌△FEM（ASA），∴EF＝DE，∵四边形DEFG是矩形，∴矩形DEFG是正方形；（2）CE+CG的值是定值，定值为6，理由如下：∵正方形DEFG和正方形ABCD，∴DE＝DG，AD＝DC，∵∠CDG+∠CDE＝∠ADE+∠CDE＝90°，∴∠CDG＝∠ADE，在∴△ADE和△CDG中，{AD=CD∠ADE=∠CDG DE=DG，∴△ADE≌△CDG（SAS），∴AE＝CG，∴CE+CG＝CE+AE＝AC=√2AB=√2×3√2=6是定值．【变式9-1】（2020春•渌口区期末）如图，菱形EFGH的三个顶点E、G、H分别在正方形ABCD的边AB、CD、DA上，连接CF．（1）求证：∠HEA＝∠CGF；（2）当AH＝DG时，求证：菱形EFGH为正方形．【分析】（1）连接GE，根据正方形的性质和平行线的性质得到∠AEG＝∠CGE，根据菱形的性质和平行线的性质得到∠HEG＝∠FGE，解答即可；（2）证明Rt△HAE≌Rt△GDH，得到∠AHE＝∠DGH，证明∠GHE＝90°，根据正方形的判定定理证明．【解析】证明：（1）连接GE，∵AB∥CD，∴∠AEG＝∠CGE，∵GF∥HE，∴∠HEG＝∠FGE，∴∠HEA＝∠CGF；（2）∵四边形ABCD是正方形，∴∠D＝∠A＝90°，∵四边形EFGH是菱形，∴HG＝HE，在Rt△HAE和Rt△GDH中，{AH=DGHE=HG，∴Rt△HAE≌Rt△GDH（HL），∴∠AHE＝∠DGH，又∠DHG+∠DGH＝90°，∴∠DHG+∠AHE＝90°，∴∠GHE＝90°，∴菱形EFGH为正方形；【变式9-2】（2020春•历下区期末）如图，正方形ABCD中，AB＝4，点E是对角线AC上的一点，连接DE．过点E作EF⊥ED，交AB于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接AG．（1）求证：矩形DEFG是正方形；（2）求AG+AE的值；（3）若F恰为AB中点，连接DF交AC于点M，请直接写出ME的长．【分析】（1）如图，作EM⊥AD于M，EN⊥AB于N．只要证明△EMD≌△ENF即可解决问题；（2）只要证明△ADG≌△CDE，可得AG＝EC即可解决问题；（3）如图，作EH⊥DF于H．想办法求出EH，HM即可解决问题；【解析】（1）如图，作EM⊥AD于M，EN⊥AB于N．∵四边形ABCD是正方形，∴∠EAD＝∠EAB，∵EM⊥AD于M，EN⊥AB于N，∴EM＝EN，∵∠EMA＝∠ENA＝∠DAB＝90°，∴四边形ANEM是矩形，∵EF⊥DE，∴∠MEN＝∠DEF＝90°，∴∠DEM＝∠FEN，∵∠EMD＝∠ENF＝90°，∴△EMD≌△ENF，∴ED＝EF，∵四边形DEFG是矩形，∴四边形DEFG是正方形．（2）∵四边形DEFG是正方形，四边形ABCD是正方形，∴DG＝DE，DC＝DA＝AB＝4，∠GDE＝∠ADC＝90°，∴∠ADG＝∠CDE，∴△ADG≌△CDE（SAS），∴AG＝CE，∴AE+AG＝AE+EC＝AC=√2AD＝4√2．（3）如图，作EH⊥DF于H．∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝4，AB∥CD，∵F是AB中点，∴AF＝FB∴DF=√22+42=2√5，∵△DEF是等腰直角三角形，EH⊥AD，∴DH＝HF，∴EH=12DF=√5，∵AF∥CD，∴AF：CD＝FM：MD＝1：2，∴FM=2√5 3，∴HM＝HF﹣FM=√5 3，在Rt△EHM中，EM=√HM2+EH2=5√2 3．【变式9-3】（2020春•邹城市期末）如图，▱ABCD中，∠A＝45°，过点D作ED⊥AD交AB的延长线于点E，且BE＝AB，连接BD，CE．（1）求证：四边形BDCE是正方形；（2）P为线段BC上一点，点M，N在直线AE上，且PM＝PB，∠DPN＝∠BPM．求证：AN=√2PB．【分析】（1）先证四边形BDCE是平行四边形，由等腰直角三角形的性质可得DB＝BE，DB⊥BE，可得结论；（2）由“ASA”可证△DBP≌△NMP，可得DB＝MN＝AB，可证AN＝BM，由等腰直角三角形的性质可得BM ＝AN=√2BP．【解析】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∵BE ＝AB ，∴BE ∥CD ，∴四边形BDCE 是平行四边形， ∵ED ⊥AD ，∠A ＝45°，∴∠A ＝∠DEA ＝45°，∴AD ＝DE ，∴△ADE 是等腰直角三角形，又∵AB ＝BE ，∴DB ＝BE ，DB ⊥BE ，∴平行四边形BDCE 是正方形；（2）∵四边形BDCE 是正方形，∴BD ＝BE ＝AB ，∠DBP ＝∠EBP ＝45°， ∵PM ＝PB ，∴∠PBM ＝∠PMB ＝45°，∴∠BPM ＝90°，∴∠DPN ＝∠BPM ＝90°，∴∠DPB ＝∠NPM ，在△DBP 和△NMP 中，{∠DPB =∠NPMBP =PM ∠DBP =∠NMP =45°，∴△DBP ≌△NMP （ASA ），∴DB ＝MN ，∴AB ＝NM ，∴AN ＝BM ，∵BP ＝PM ，∠BPM ＝90°，∴BM =√2BP ，∴AN =√2BP ．。

平行四边形和特殊四边形提高练习常考题和培优题一．选择题（共5小题）1．如图，把大小相同的两个矩形拼成如下形状，则△FBD是（）A．等边三角形B．等腰直角三角形C．一般三角形D．等腰三角形2．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=，CE=3，H 是AF的中点，那么CH的长是（）A．3.5 B．C． D．23．如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=8，对角线AC、BD相交于点O，过点O 作OE垂直AC交AD于点E，则AE的长是（）A．3 B．5 C．2.4 D．2.54．如图，在△ABC中，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，M为BC的中点，EF=7，BC=10，则△EFM的周长是（）A．17 B．21 C．24 D．275．如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，P是AD上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作AC和BD的垂线，垂足为E、F，则PE+PF的值为（）A．10 B．4.8 C．6 D．5二．填空题（共4小题）6．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC 于点E，若∠CAE=15°，则∠BOE的度数等于．7．如图，将平行四边形ABCD的边DC延长到E，使CE=CD，连接AE交BC于F，∠AFC=n∠D，当n=时，四边形ABEC是矩形．8．如图，在正五边形ABCDE中，连接AC、AD、CE，CE交AD于点F，连接BF，则线段AC、BF、CD之间的关系式是．9．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，四边形OABC是矩形，A（﹣10，0），C（0，3），点D是OA的中点，点P在BC边上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标是．三．解答题（共31小题）10．如图，正方形ABCD中，AE=AB，直线DE交BC于点F，求∠BEF的度数．11．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，对角线AC、BD交于点O，AC⊥BD，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点．（1）求证：四边形EFGH为正方形；（2）若AD=1，BC=3，求正方形EFGH的边长．12．如图，点E、F分别是正方形ABCD的边CD和AD的中点，BE和CF交于点P．求证：AP=AB．13．如图，点P为正方形ABCD对角线BD上一点，PE⊥BC于E，PF⊥DC于F．（1）求证：PA=EF；（2）若正方形ABCD的边长为a，求四边形PFCE的周长．14．如图1，在正方形ABCD中，点E为BC上一点，连接DE，把△DEC沿DE折叠得到△DEF，延长EF交AB于G，连接DG．（1）求∠EDG的度数．（2）如图2，E为BC的中点，连接BF．①求证：BF∥DE；②若正方形边长为6，求线段AG的长．15．如图①，在正方形ABCD中，F是对角线AC上的一点，点E在BC的延长线上，且BF=EF．（1）求证：BF=DF；（2）求证：∠DFE=90°；（3）如果把正方形ABCD改为菱形，其他条件不变（如图②），当∠ABC=50°时，∠DFE=度．16．已知正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于O．①如图1，若E是AC上的点，过A 作AG⊥BE于G，AG、BD交于F，求证：OE=OF②如图2，若点E在AC的延长线上，AG⊥EB交EB的延长线于G，AG延长DB 延长线于点F，其它条件不变，OE=OF还成立吗？17．如图，点P是菱形ABCD中对角线AC上的一点，且PE=PB．（1）求证：PE=PD；（2）求证：∠PDC=∠PEB；（3）若∠BAD=80°，连接DE，试求∠PDE的度数，并说明理由．18．如图，正方形ABCD中，AB=1，点P是BC边上的任意一点（异于端点B、C），连接AP，过B、D两点作BE⊥AP于点E，DF⊥AP于点F．（1）求证：EF=DF﹣BE；（2）若△ADF的周长为，求EF的长．19．如图，正方形ABCD的对角线AC、BD的交点为O，以O为端点引两条互相垂直的射线OM、ON，分别交边AB、BC于点E、F．（1）求证：0E=OF；（2）若正方形的边长为4，求EF的最小值．20．如图，在正方形ABCD中，点E是边AD上任意一点，BE的垂直平分线FG 交对角AC于点F．求证：（1）BF=DF；（2）BF⊥FE．21．已知：如图所示，四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，M是AC上任一点，O是BD的中点，连接MO，并延长MO到N，使NO=MO，连接BN与ND．（1）判断四边形BNDM的形状，并证明；（2）若M是AC的中点，则四边形BNDM的形状又如何？说明理由．22．如图，在△ABC中，O是边AC上的一动点，过点O作直线MN∥BC，设MN 交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．（1）求证：OE=OF；（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？23．（1）如图矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，过点D作DP∥OC，且DP=OC，连接CP，判断四边形CODP的形状并说明理由．（2）如果题目中的矩形变为菱形，结论应变为什么？说明理由．（3）如果题目中的矩形变为正方形，结论又应变为什么？说明理由．24．如图1，已知AB∥CD，AB=CD，∠A=∠D．（1）求证：四边形ABCD为矩形；（2）E是AB边的中点，F为AD边上一点，∠DFC=2∠BCE．①如图2，若F为AD中点，DF=1.6，求CF的长度：②如图2，若CE=4，CF=5，则AF+BC=，AF=．25．如图，直线a、b相交于点A，C、E分别是直线b、a上两点且BC⊥a，DE ⊥b，点M、N是EC、DB的中点．求证：MN⊥BD．26．如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=24cm，BC=26cm，动点P从点A出发沿AD方向向点D以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿着CB方向向点B以3cm/s的速度运动．点P、Q分别从点A和点C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动．（1）经过多长时间，四边形PQCD是平行四边形？（2）经过多长时间，四边形PQBA是矩形？（3）经过多长时间，当PQ不平行于CD时，有PQ=CD．27．如图，E、F是正方形ABCD的边AD上的两个动点，满足AE=DF．连接CF 交BD于G，连接BE交AG于H．已知正方形ABCD的边长为4cm，解决下列问题：（1）求证：BE⊥AG；（2）求线段DH的长度的最小值．28．如图，点M是矩形ABCD的边AD的中点，点P是BC边上一动点，PE⊥MC，PF⊥BM，垂足为E、F．（1）当矩形ABCD的长与宽满足什么条件时，四边形PEMF为矩形？猜想并证明你的结论．（2）在（1）中，当点P运动到什么位置时，矩形PEMF变为正方形，为什么？29．某校数学兴趣小组开展了一次课外活动，过程如下：如图①，正方形ABCD 中，AB=4，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点与D点重合．三角板的一边交AB于点P，另一边交BC的延长线于点Q．（1）求证：AP=CQ；（2）如图②，小明在图1的基础上作∠PDQ的平分线DE交BC于点E，连接PE，他发现PE和QE存在一定的数量关系，请猜测他的结论并予以证明；（3）在（2）的条件下，若AP=1，求PE的长．30．如图，在菱形ABCD中，AB=4cm，∠ADC=120°，点E、F同时由A、C两点出发，分别沿AB、CB方向向点B匀速移动（到点B为止），点E的速度为1cm/s，点F的速度为2cm/s，经过t秒△DEF为等边三角形，求t的值．31．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D是AC的中点，作∠ADB的角平分线DE交AB于点E，（1）求证：DE∥BC；（2）若AE=3，AD=5，点P为BC上的一动点，当BP为何值时，△DEP为等腰三角形．请直接写出所有BP的值．32．已知：如图，BF、BE分别是∠ABC及其邻补角的角平分线，AE⊥BE，垂足为点E，AF⊥BF，垂足为点F．EF分别交边AB、AC于点M、N．求证：（1）四边形AFBE是矩形；（2）BC=2MN．33．如图，在边长为5的菱形ABCD中，对角线BD=8，点O是直线BD上的动点，OE⊥AB于E，OF⊥AD于F．（1）对角线AC的长是，菱形ABCD的面积是；（2）如图1，当点O在对角线BD上运动时，OE+OF的值是否发生变化？请说明理由；（3）如图2，当点O在对角线BD的延长线上时，OE+OF的值是否发生变化？若不变请说明理由，若变化，请直接写出OE、OF之间的数量关系，不用明理由．34．如图，已知Rt△ABD≌Rt△FEC，且B、D、C、E在同一直线上，连接BF、AE．（1）求证：四边形ABFE是平行四边形．（2）若∠ABD=60°，AB=2cm，DC=4cm，将△ABD沿着BE方向以1cm/s的速度运动，设△ABD运动的时间为t，在△ABD运动过程中，试解决以下问题：（1）当四边形ABEF是菱形时，求t的值；（2）是否存在四边形ABFE是矩形的情形？如果存在，求出t的值，如果不存在，请说明理由．35．已知，矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为O．（1）如图1，连接AF、CE．求证：四边形AFCE为菱形．（2）如图1，求AF的长．（3）如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周．即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中，点P的速度为每秒1cm，设运动时间为t秒．①问在运动的过程中，以A、P、C、Q四点为顶点的四边形有可能是矩形吗？若有可能，请求出运动时间t和点Q的速度；若不可能，请说明理由．②若点Q的速度为每秒0.8cm，当A、P、C、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．36．如图1，E，F是正方形ABCD的边上两个动点，满足AE=DF，连接CF交BD 于G，连接BE交AG于点H（1）求证：AG⊥BE；（2）如图2，连DH，若正方形的边长为4，则线段DH长度的最小值是．37．如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠DAB=60°，点E时AD边的中点，点M时AB边上的一个动点（不与点A重合），延长ME交CD的延长线于点N，连接MD，AN．（1）求证：四边形AMDN是平行四边形．（2）填空：①当AM的值为时，四边形AMDN是矩形；②当AM的值为时，四边形AMDN是菱形．38．如图，已知正方形OABC的边长为4，顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，M是BC的中点，点P（0，m）是线段oc上的一动点9点P不与点O、C重合0，直线PM交AB的延长线于点D．（1）求点D的坐标；（用含m的代数式表示）（2）若△APD是以AP边为一腰的等腰三角形，求m的值．39．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，点D为AC的中点，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG=BD，连接BG、DF．（1）证明：四边形BDFG是菱形；（2）若AC=10，CF=6，求线段AG的长度．40．如图，在正方形ABCD中，点E在边AD上，点F在边BC的延长线上，连接EF与边CD相交于点G，连接BE与对角线AC相交于点H，AE=CF，BE=EG．（1）求证：EF∥AC；（2）求∠BEF大小；（3）若EB=4，则△BAE的面积为．初二数学平行四边形和特殊四边形提高练习常考题和培优题参考答案与试题解析一．选择题（共5小题）1．（2012春•炎陵县校级期中）如图，把大小相同的两个矩形拼成如下形状，则△FBD是（）A．等边三角形B．等腰直角三角形C．一般三角形D．等腰三角形【分析】根据正方形性质得出FG=BC，∠G=∠C=90°，GB=CD，根据SAS证△FGB ≌△BCD，推出∠FBG=∠BDC，BF=BD，求出∠DBC+∠FBG=90°，求出∠FBD的度数即可．【解答】解：∵大小相同的两个矩形GFEB、ABCD，∴FG=BE=AD=BC，GB=EF=AB=CD，∠G=∠C=∠ABG=∠ABC=90°，∵在△FGB和△BCD中，∴△FGB≌△BCD，∴∠FBG=∠BDC，BF=BD，∵∠BDC+∠DBC=90°，∴∠DBC+∠FBG=90°，∴∠FBD=180°﹣90°=90°，即△FBD是等腰直角三角形，故选B．【点评】本题考查了等腰直角三角形，全等三角形的性质和判定，正方形性质的应用，关键是证出△FGB≌△BCD，主要考查学生运用性质进行推理的能力．2．（2015春•江阴市期中）如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=，CE=3，H是AF的中点，那么CH的长是（）A．3.5 B．C． D．2【分析】根据正方形的性质求出AB=BC=，CE=EF=3，∠E=90°，延长AD交EF于M，连接AC、CF，求出AM=4，FM=2，∠AMF=90°，根据正方形性质求出∠ACF=90°，根据直角三角形斜边上的中线性质求出CH=AF，根据勾股定理求出AF即可．【解答】解：∵正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=，CE=3，∴AB=BC=，CE=EF=3，∠E=90°，延长AD交EF于M，连接AC、CF，则AM=BC+CE=4，FM=EF﹣AB=2，∠AMF=90°，∵四边形ABCD和四边形GCEF是正方形，∴∠ACD=∠GCF=45°，∴∠ACF=90°，∵H为AF的中点，∴CH=AF，在Rt△AMF中，由勾股定理得：AF==2，∴CH=，故选：C．【点评】本题考查了勾股定理，正方形的性质，直角三角形斜边上的中线的应用，解此题的关键是能正确作出辅助线，并求出AF的长和得出CH=AF，有一定的难度．3．（2015春•泗洪县校级期中）如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=8，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE垂直AC交AD于点E，则AE的长是（）A．3 B．5 C．2.4 D．2.5【分析】根据矩形的性质得出∠CDE=90°，AD=BC=8，AB=DC=4，AO=OC，根据线段垂直平分线性质得出AE=CE，在Rt△CDE中，由勾股定理得出CE2=CD2+DE2，代入求出即可．【解答】解：∵在矩形ABCD中，AB=4，BC=8，∴∠CDE=90°，AD=BC=8，AB=DC=4，AO=OC，∵OE⊥AC，∴AE=CE，在Rt△CDE中，由勾股定理得：CE2=CD2+DE2，即AE2=42+（8﹣AE）2，解得：AE=5，故选B．【点评】本题考查了矩形的性质，勾股定理，线段垂直平分线性质的应用，解此题的关键是得出关于AE的方程．4．（2015秋•无锡期中）如图，在△ABC中，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，M为BC的中点，EF=7，BC=10，则△EFM的周长是（）A．17 B．21 C．24 D．27【分析】根据CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，M为BC的中点，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求出FM和ME的长，即可求解．【解答】解：∵CF⊥AB，M为BC的中点，∴MF是Rt△BFC斜边上的中线，∴FM=BC=×10=5，同理可得，ME=BC=×10=5，又∵EF=7，∴△EFM 的周长=EF +ME +FM=7+5+5=17．故选A ．【点评】此题主要考查学生对直角三角形斜边上的中线这个知识点的理解和掌握，解答此题的关键是利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求出FM 和ME 的长．5．（2015春•乌兰察布校级期中）如图，在矩形ABCD 中，AB=6，AD=8，P 是AD 上不与A 和D 重合的一个动点，过点P 分别作AC 和BD 的垂线，垂足为E 、F ，则PE +PF 的值为（ ）A ．10B ．4.8C ．6D ．5【分析】连接OP ，利用勾股定理列式求出BD ，再根据矩形的对角线相等且互相平分求出OA 、OD ，然后根据S △AOD =S △AOP +S △DOP 列方程求解即可．【解答】解：如图，连接OP ，∵AB=6，AD=8，∴BD===10，∵四边形ABCD 是矩形，∴OA=OD=×10=5，∵S △AOD =S △AOP +S △DOP ， ∴××6×8=×5•PE +×5•PF ，解得PE +PF=4.8．故选B ．【点评】本题考查了矩形的性质，三角形的面积，熟记性质并利用三角形的面积列出方程是解题的关键．二．填空题（共4小题）6．（2016春•东平县期中）如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，AE 平分∠BAD 交BC 于点E ，若∠CAE=15°，则∠BOE 的度数等于 75° ．【分析】由矩形ABCD ，得到OA=OB ，根据AE 平分∠BAD ，得到等边三角形OAB ，推出AB=OB ，求出∠OAB 、∠OBC 的度数，根据平行线的性质和等角对等边得到OB=BE ，根据三角形的内角和定理即可求出答案．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AC=BD，OA=OC，OB=OD，∠BAD=90°，∴OA=OB，∠DAE=∠AEB，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAE=45°=∠AEB，∴AB=BE，∵∠CAE=15°，∴∠DAC=45°﹣15°=30°，∠BAC=60°，∴△BAO是等边三角形，∴AB=OB，∠ABO=60°，∴∠OBC=90°﹣60°=30°，∵AB=OB=BE，∴∠BOE=∠BEO=（180°﹣30°）=75°．故答案为75°．【点评】本题主要考查了三角形的内角和定理，矩形的性质，等边三角形的性质和判定，平行线的性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定等知识点，解此题的关键是求出∠OBC的度数和求OB=BE．7．（2014春•武昌区期中）如图，将平行四边形ABCD的边DC延长到E，使CE=CD，连接AE交BC于F，∠AFC=n∠D，当n=2时，四边形ABEC是矩形．【分析】首先根据四边形ABCD是平行四边形，得到四边形ABEC是平行四边形，然后证得FC=FE，利用对角线互相相等的四边形是矩形判定四边形ABEC是矩形．【解答】解：当∠AFC=2∠D时，四边形ABEC是矩形．∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC∥AD，∠BCE=∠D，由题意易得AB∥EC，AB∥EC，∴四边形ABEC是平行四边形．∵∠AFC=∠FEC+∠BCE，∴当∠AFC=2∠D时，则有∠FEC=∠FCE，∴FC=FE，∴四边形ABEC是矩形，故答案为：2．【点评】此题考查了平行四边形的性质以及矩形的判定．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用，解题的关键是了解矩形的判定定理．8．（2015春•南长区期中）如图，在正五边形ABCDE中，连接AC、AD、CE，CE 交AD于点F，连接BF，则线段AC、BF、CD之间的关系式是AC2+BF2=4CD2．【分析】首先根据菱形的判定方法，判断出四边形ABCF是菱形，再根据菱形的性质，即可判断出AC⊥BF；然后根据勾股定理，可得OB2+OC2=BC2，据此推得AC2+BF2=4CD2即可．【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，∴AB∥CE，AD∥BC，∴四边形ABCF是平行四边形，又∵AB=BC=CD=DE=EA，∴四边形ABCF是菱形，∴AC⊥BF，∴OB2+OC2=BC2，∵AC=2OC，BF=2OB，∴AC2+BF2=（2OC）2+（2OB）2=4OC2+4OB2=4BC2，又∵BC=CD，∴AC2+BF2=4CD2．故答案为：AC2+BF2=4CD2．【点评】（1）此题主要考查了菱形的判定和性质的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法．（2）此题还考查了勾股定理的应用：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方，要熟练掌握．9．（2015春•株洲校级期中）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，四边形OABC是矩形，A（﹣10，0），C（0，3），点D是OA的中点，点P在BC边上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标是（﹣4，3），或（﹣1，3），或（﹣9，3）．【分析】先由矩形的性质求出OD=5，分情况讨论：（1）当OP=OD=5时；根据勾股定理求出PC，即可得出结果；（2）当PD=OD=5时；①作PE⊥OA于E，根据勾股定理求出DE，得出PC，即可得出结果；②作PF⊥OA于F，根据勾股定理求出DF，得出PC，即可得出结果．【解答】解：∵A（﹣10，0），C（0，3），∴OA=10，OC=3，∵四边形OABC是矩形，∴BC=OA=10，AB=OC=3，∵D是OA的中点，∴AD=OD=5，分情况讨论：（1）当OP=OD=5时，根据勾股定理得：PC==4，∴点P的坐标为：（﹣4，3）；（2）当PD=OD=5时，分两种情况讨论：①如图1所示：作PE⊥OA于E，则∠PED=90°，DE==4，∴PC=OE=5﹣4=1，∴点P的坐标为：（﹣1，3）；②如图2所示：作PF⊥OA于F，则DF==4，∴PC=OF=5+4=9，∴点P的坐标为：（﹣9，3）；综上所述：点P的坐标为：（﹣4，3），或（﹣1，3），或（﹣9，3）；故答案为：（﹣4，3），或（﹣1，3），或（﹣9，3）．【点评】本题考查了矩形的性质、坐标与图形性质、等腰三角形的性质、勾股定理；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．三．解答题（共31小题）10．（2012春•西城区校级期中）如图，正方形ABCD中，AE=AB，直线DE交BC 于点F，求∠BEF的度数．【分析】设∠BAE=x°，根据正方形性质推出AB=AE=AD，根据等腰三角形性质和三角形的内角和定理求出∠AEB和∠AED的度数，根据平角定义求出即可．【解答】解：设∠BAE=x°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD=90°，AB=AD，∵AE=AB，∴AB=AE=AD，∴∠ABE=∠AEB=（180°﹣∠BAE）=90°﹣x°，∠DAE=90°﹣x°，∠AED=∠ADE=（180°﹣∠DAE）=[180°﹣（90°﹣x°）]=45°+x°，∴∠BEF=180°﹣∠AEB﹣∠AED，=180°﹣（90°﹣x°）﹣（45°+x°），=45°，答：∠BEF的度数是45°．【点评】本题考查了三角形的内角和定理，等腰三角形性质，正方形性质的应用，解此题的关键是如何把已知角的未知角结合起来，题目比较典型，但是有一定的难度．11．（2012秋•高淳县期中）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，对角线AC、BD交于点O，AC⊥BD，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点．（1）求证：四边形EFGH为正方形；（2）若AD=1，BC=3，求正方形EFGH的边长．【分析】（1）先由三角形的中位线定理求出四边相等，然后由AC⊥BD入手，进行正方形的判断．（2）连接EG，利用梯形的中位线定理求出EG的长，然后结合（1）的结论求出EH2=2，也即得出了正方形EHGF的边长．【解答】（1）证明：在△ABC中，∵E、F分别是AB、BC的中点，∴EF=同理FG=，GH=，HE=在梯形ABCD中，∵AB=DC，∴AC=BD，∴EF=FG=GH=HE∴四边形EFGH为菱形．设AC与EH交于点M在△ABD中，∵E、H分别是AB、AD的中点，∴EH∥BD，同理GH∥AC又∵AC⊥BD，∴∠BOC=90°．∴∠EHG=∠EMC=∠BOC=90°∴四边形EFGH为正方形．（2）解：连接EG，在梯形ABCD中，∵E、G分别是AB、DC的中点，∴EG=（AD+BC）=（1+3）=2，在Rt△HEG中，EG2=EH2+HG2，4=2EH2，EH2=2，则EH=．即四边形EFGH的边长为．【点评】此题考查了等腰梯形的性质及三角形、梯形的中位线定理，解答本题的关键是根据三角形的中位线定理得出EH=HG=GF=FE，这是本题的突破口．12．（2013秋•青岛期中）如图，点E、F分别是正方形ABCD的边CD和AD的中点，BE和CF交于点P．求证：AP=AB．【分析】延长CF、BA交于点M，先证△BCE≌△CDF，再证△CDF≌△AMF得BA=MA 由直角三角形中斜边中线等于斜边的一半，可得Rt△MBP中AP=BM，即AP=AB．【解答】证明：延长CF、BA交于点M，∵点E、F分别是正方形ABCD的边CD和AD的中点，∴BC=CD，∠BCE=∠CDF，CE=DF，∴△BCE≌△CDF，∴∠CBE=∠DCF．∵∠DCF+∠BCP=90°，∴∠CBE+∠BCP=90°，∴∠BPM=∠CBE+∠BCP=90°．又∵FD=FA，∠CDF=∠MAF，∠CFD=∠MFA，∴△CDF≌△AMF，∴CD=AM．∵CD=AB，∴AB=AM．∴PA是直角△BPM斜边BM上的中线，∴AP=BM，即AP=AB．【点评】本题考查了正方形各边长相等、各内角为直角的性质，全等三角形的判定和对应边相等的性质，直角三角形斜边中线长为斜边长一半的性质，本题中求证△CDF≌△AMF是解题的关键．13．（2015春•禹州市期中）如图，点P为正方形ABCD对角线BD上一点，PE⊥BC于E，PF⊥DC于F．（1）求证：PA=EF；（2）若正方形ABCD的边长为a，求四边形PFCE的周长．【分析】（1）连接PC，证四边形PFCE是矩形，求出EF=PC，证△ABP≌△CBP，推出AP=PC即可；（2）证△CBD是等腰直角三角形，求出BF、PF，求出周长即可．【解答】解：证明：（1）连接PC，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=CB，∠ABD=∠CBD=45°，∠C=90°，在△ABP与△CBP中，，∴△ABP≌△CBP（SAS），∴PA=PC，∵PE⊥BC，PF⊥CD，∴∠PFC=90°，∠PEC=90°．又∵∠C=90°，∴四边形PFCE是矩形，∴EF=PC，∴PA=EF．（2）由（1）知四边形PFCE是矩形，∴PE=CF，PF=CE，又∵∠CBD=45°，∠PEB=90°，∴BE=PE，又BC=a，∴矩形PFCE的周长为2（PE+EC）=2（BE+EC）=2BC=2a．【点评】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的性质和判定等知识点的连接和掌握，能证出AP=PC是解此题的关键．14．（2015秋•福建校级期中）如图1，在正方形ABCD中，点E为BC上一点，连接DE，把△DEC沿DE折叠得到△DEF，延长EF交AB于G，连接DG．（1）求∠EDG的度数．（2）如图2，E为BC的中点，连接BF．①求证：BF∥DE；②若正方形边长为6，求线段AG的长．【分析】（1）由正方形的性质可得DC=DA．∠A=∠B=∠C=∠ADC=90°，由折叠的性质得出∠DFE=∠C，DC=DF，∠1=∠2，再求出∠DFG=∠A，DA=DF，然后由“HL”证明Rt△DGA≌Rt△DGF，由全等三角形对应角相等得出∠3=∠4，得出∠2+∠3=45°即可；（2）①由折叠的性质和线段中点的定义可得CE=EF=BE，∠DEF=∠DEC，再由三角形的外角性质得出∠5=∠DEC，然后利用同位角相等，两直线平行证明即可；②设AG=x，表示出GF、BG，根据点E是BC的中点求出BE、EF，从而得到GE 的长度，再利用勾股定理列出方程求解即可；【解答】（1）解：如图1所示：∵四边形ABCD是正方形，∴DC=DA．∠A=∠B=∠C=∠ADC=90°，∵△DEC沿DE折叠得到△DEF，∴∠DFE=∠C，DC=DF，∠1=∠2，∴∠DFG=∠A=90°，DA=DF，在Rt△DGA和Rt△DGF中，，∴Rt△DGA≌Rt△DGF（HL），∴∠3=∠4，∴∠EDG=∠3+∠2=∠ADF+∠FDC，=（∠ADF+∠FDC），=×90°，=45°；（2）①证明：如图2所示：∵△DEC沿DE折叠得到△DEF，E为BC的中点，∴CE=EF=BE，∠DEF=∠DEC，∴∠5=∠6，∵∠FEC=∠5+∠6，∴∠DEF+∠DEC=∠5+∠6，∴2∠5=2∠DEC，即∠5=∠DEC，∴BF∥DE；②解：设AG=x，则GF=x，BG=6﹣x，∵正方形边长为6，E为BC的中点，∴CE=EF=BE=×6=3，∴GE=EF+GF=3+x，在Rt△GBE中，根据勾股定理得：（6﹣x）2+32=（3+x）2，解得：x=2，即线段AG的长为2．【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、翻折变换的性质；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．15．（2016春•召陵区期中）如图①，在正方形ABCD中，F是对角线AC上的一点，点E在BC的延长线上，且BF=EF．（1）求证：BF=DF；（2）求证：∠DFE=90°；（3）如果把正方形ABCD改为菱形，其他条件不变（如图②），当∠ABC=50°时，∠DFE=50度．【分析】（1）根据正方形的四条边都相等可得BC=DC，对角线平分一组对角可得∠BCF=∠DCF，然后利用“边角边”证明即可；（2）易证∠FBE=∠FEB，又因为∠FBE=∠FDC，所以可证明∠FEB=∠FDC，进而可证明∠DFE=90°；（3）根据全等三角形对应角相等可得∠CBF=∠CDF，根据等边对等角可得∠CBF=∠E，然后求出∠DFE=∠DCE，再根据两直线平行，同位角相等可得∠DCE=∠ABC，从而得解．【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，BC=DC，∠BCF=∠DCF=45°，∵在△BCF和△DCF中，，∴△BCF≌△DCF（SAS）；∴BF=DF；（2）证明：∵BF=EF，∴∠FBE=∠FEB，又∵∠FBE=∠FDC，∴∠FEB=∠FDC，又∵∠DGF=∠EGC，∴∠DFG=∠ECG=90°，即∠DFE=90°；（3）证明：由（1）知，△BCF≌△DCF，∴∠CBF=∠CDF，∵EE=FB，∴∠CBF=∠E，∵∠DGF=∠EGC（对顶角相等），∴180°﹣∠DGF﹣∠CDF=180°﹣∠EGC﹣∠E，即∠DFE=∠DCE，∵AB∥CD，∴∠DCE=∠ABC，∴∠DFE=∠ABC=50°，故答案为：50．【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的性质，等边对等角的性质，熟记正方形的性质确定出∠BCF=∠DCF是解题的关键．16．（2015秋•泗县期中）已知正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于O．①如图1，若E是AC上的点，过A 作AG⊥BE于G，AG、BD交于F，求证：OE=OF②如图2，若点E在AC的延长线上，AG⊥EB交EB的延长线于G，AG延长DB 延长线于点F，其它条件不变，OE=OF还成立吗？【分析】①由正方形的性质得出OA=OB，AC⊥BD，得出∠BOE=∠AOF=90°，由角的互余关系得出∠OBE=∠OAF，由ASA证明△BOE≌△AOF，得出对应边相等即可；②由正方形的性质得出OA=OB，AC⊥BD，得出∠BOE=∠AOF=90°，由角的互余关系得出∠OBE=∠OAF，由ASA证明△BOE≌△AOF，得出对应边相等即可．【解答】①证明：∵四边形ABCD是正方形，∴OA=OB，AC⊥BD，∴∠BOE=∠AOF=90°，∴∠OEB+∠OBE=90°，∵AG⊥BE，∴∠AGE=90°，∴∠OEB+∠OAF=90°，∴∠OBE=∠OAF，在△BOE和△AOF中，，∴△BOE≌△AOF（ASA），∴OE=OF；②解：OE=OF还成立；理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴OA=OB，AC⊥BD，∴∠BOE=∠AOF=90°，∴∠OEB+∠OBE=90°，∵AG⊥BE，∴∠AGE=90°，∴∠OEB+∠OAF=90°，∴∠OBE=∠OAF，在△BOE和△AOF中，，∴△BOE≌△AOF（ASA），∴OE=OF．【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．17．（2016春•邳州市期中）如图，点P是菱形ABCD中对角线AC上的一点，且PE=PB．（1）求证：PE=PD；（2）求证：∠PDC=∠PEB；（3）若∠BAD=80°，连接DE，试求∠PDE的度数，并说明理由．【分析】（1）由菱形的性质得出AB=BC=CD=AD，AB∥CD，∠DCP=∠BCP，由SAS 证明△CDP≌△CBP，得出PB=PD，再由PE=PB，即可得出结论；（2）由等腰三角形的性质得出∠PBC=∠PEB，由全等三角形的性质得出∠PDC=∠PBC，即可得出∠PDC=∠PEB；（3）由四边形内角和定理得出∠DPE=100°，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可得出结果．【解答】（1）解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD，AB∥CD，∠DCP=∠BCP，在△DCP和△BCP中，，∴△CDP≌△CBP（SAS），∴PB=PD，∵PE=PB，∴PE=PD；（2）证明：∵PE=PB，∴∠PBC=∠PEB，∵△CDP≌△CBP，∴∠PDC=∠PBC，∴∠PDC=∠PEB；（3）解：如图所示：∠PDE=40°；理由如下：在四边形DPEC中，∵∠DPE=360°﹣（∠PDC+∠PEC+∠DCB）=360°﹣（∠PEB+∠PEC+∠DCB）=360°﹣（180°+80°）=100°，∵PE=PD∴∠PDE=∠PED=40°．【点评】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质；熟练掌握菱形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．18．（2016春•昆山市期中）如图，正方形ABCD中，AB=1，点P是BC边上的任意一点（异于端点B、C），连接AP，过B、D两点作BE⊥AP于点E，DF⊥AP于点F．（1）求证：EF=DF﹣BE；（2）若△ADF的周长为，求EF的长．【分析】（1）由正方形的性质得出AD=AB，证出∠DAF=∠ABE，由AAS证明△ADF ≌△BAE，得出AF=BE，DF=AE，即可得出结论；（2）设DF=a，AF=b，EF=DF﹣AF=a﹣b＞0，由已知条件得出DF+AF=，即a+b=，由勾股定理得出a2+b2=1，再由完全平方公式得出a﹣b即可．【解答】（1）证明：∵BE⊥AP，DF⊥AP，∴∠DFA=∠AEB=90°，∠ABE+∠BAE=90°，∵四边形ABCD为正方形，∴AD=AB，∠DAB=90°=∠DAF+∠BAE，∴∠DAF=∠ABE，在△ADF和△BAE中，，∴△ADF≌△BAE（AAS），∴AF=BE，DF=AE，∴EF=AE﹣AF=DF﹣BE；（2）解：设DF=a，AF=b，EF=DF﹣AF=a﹣b＞0，∵△ADF的周长为，AD=1，∴DF+AF=，即a+b=，由勾股定理得：DF2+AF2=AD2，即a2+b2=1，∴（a﹣b）2=2（a2+b2）﹣（a+b）2=2﹣=，∴a﹣b=，即EF=．【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握正方形的性质，由勾股定理得出a与b的关系式是解决问题（2）的关键．19．（2015春•繁昌县期中）如图，正方形ABCD的对角线AC、BD的交点为O，以O为端点引两条互相垂直的射线OM、ON，分别交边AB、BC于点E、F．（1）求证：0E=OF；（2）若正方形的边长为4，求EF的最小值．【分析】（1）根据正方形的性质可得∠EAO=∠FBO=45°，OA=OB，再根据同角的余角相等可得∠AOE=∠BOE，然后利用“角边角”证明△AOE和△BOF全等，根据全等三角形对应边相等即可得证；（2）根据等腰直角三角形△EOF，当OE最小时，再根据勾股定理得出EF的最小值．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴OA=OB，∠AOB=90°，∠EAO=∠FBO=45°，∴∠AOE+∠BOE=90°，∵OE⊥OF，∴∠BOF+∠BOE=90°，∴∠AOE=∠BOF，在△AOE与△BOF中，，∴△AOE≌△BOF（ASA），∴OE=OF；（2）由（1）可知，△EOF是等腰直角三角形，∠EOF是直角，当OE最小时，EF的值最小，∵OA=OB，OE⊥AB，∴点E是AB的中点，∴OE=AB，∵AB=4，∴OE=2，∴EF=，即EF的最小值是2．【点评】本题考查了正方形的性质，解决此类问题的关键是正确的利用旋转不变量．正确作出辅助线是关键．20．（2016春•江宁区期中）如图，在正方形ABCD中，点E是边AD上任意一点，BE的垂直平分线FG交对角AC于点F．求证：（1）BF=DF；（2）BF⊥FE．【分析】（1）由正方形的性质得出AB=AD，∠BAF=∠DAF=45°，由SAS证明△BAF ≌△DAF，得出对应边相等即可；（2）由线段垂直平分线的性质得出BF=EF，证出EF=DF，得出∠FDE=∠FED，再由全等三角形的性质证出∠ABF=∠FED，由邻补角关系得出∠FED+∠FEA=180°，证出∠ABF+∠FEA=180°，由四边形内角和得出∠BAE+∠BFE=180°，求出∠BFE=90°即可．【解答】证明：如图所示：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠BAF=∠DAF=45°，∠BAE=90°，在△BAF和△DAF中，，∴△BAF≌△DAF（SAS），∴BF=DF；（2）∵BE的垂直平分线FG交对角AC于点F，∴BF=EF，∵BF=DF，∴EF=DF，∴∠FDE=∠FED，∵△BAF≌△DAF，∴∠ABF=∠FDE，∴∠ABF=∠FED，∵∠FED+∠FEA=180°，∴∠ABF+∠FEA=180°，∴∠BAE+∠BFE=180°，∴∠BFE=90°，∴BF⊥FE．【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、四边形内角和定理等知识；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．21．（2015春•台州校级期中）已知：如图所示，四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，M是AC上任一点，O是BD的中点，连接MO，并延长MO到N，使NO=MO，连接BN与ND．（1）判断四边形BNDM的形状，并证明；（2）若M是AC的中点，则四边形BNDM的形状又如何？说明理由．【分析】（1）由对角线互相平分的四边形是平行四边形即可得出结论；（2）由直角三角形斜边上1的中线性质得出BM=AC，DM=AC，得出BM=DM，即可得出结论．【解答】（1）解：四边形BNDM是平行四边形，理由如下：。

八年级下册特殊的平行四边形 能力提升卷一、选择题1.如图，在菱形ABCD 中，AB ＝5，∠BCD ＝120°，则对角线AC 等于（ ） A.20 B.15 C.10 D.52.如图，正方形ABCD 内有两条相交线段MN 、EF ，M 、N 、E 、F 分别在边AB 、CD 、AD 、BC 上.小明认为：若MN ＝EF ，则MN ⊥EF ；小亮认为: 若MN ⊥EF ，则MN ＝EF .你认为（ ） A.仅小明对 B.仅小亮对 C.两人都对 D.两人都不对3.如图（1），把一个长为m 、宽为n 的长方形(m ＞n )沿虚线剪开，拼接成图（2），成为在一角去掉一个小正方形后的一个大正方形，则去掉的小正方形的边长为（ ）A.2m n B.m －n C.2mD.2n4.如图所示，将一张正方形纸片对折两次，然后在上面打3个洞， 则纸片展开后是（ ）5.如图，矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝5.过对角线交点O 作OE ⊥AC 交AD 于E ， 则AE 的长是（ ） A.1.6 B.2.5 C.3 D.3.46.如图，将一个长为10cm ，宽为8cm 的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两 邻边中点的连线（虚线）剪下，再打开，得到的菱形的面积为（）A.10cm2 B.20cm 2 C.40cm2 D.80cm2 7.菱形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，∠AOC ＝45°，OC 则点B 的坐标为（ ） ，1)B.(1) +1，1) 8.将矩形纸片ABCD 按如图所示的方式折叠，AE 、EF 为折痕， ∠BAE ＝30°，AB C 落在AD 边上的C 1处， 并且点B 落在EC 1边上的B 1处．则BC 的长为（ ）B.2C.3 9.如图，正方形ABCD 的边长为2，将长为2的线段QR 的两端放在正方形的相邻的两边上同时滑动.如果Q 点从A 点出发，沿图中所示方向按A →B →C →D →A 滑动到A 止，同时点R 从B 点出发，沿图中所示方向按B →C →D →A →B 滑动到B 止，在这个过程中，线段QR 的中点M 所经过的路线围成的图形的面积为（ ）A.2B.4－πC.πD.π－1 10.如图所示，正方形ABCD 的面积为12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD +PE 的 和最小，则这个最小值为（ ）C.3二、填空题11.长方形一条边长为3cm ，面积为12cm 2，则该长方形另一条边长为＿＿＿cm. 12.如图，将边长为8cm 的正方形ABCD 折叠，使点D 落 在BC 边的中点E 处，点A 落在F 处，折痕为MN ，则线 段CN 的长是＿＿＿. 13.如图所示，菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，BA C D A ．B ．C ．D ． A D EPBCmn nn （2） （1）EDC BAOABDRN F ECO BAH CCH 为AD 边中点，菱形ABCD 的周长为24，则OH 的长等于＿＿＿. 14.如图，菱形ABCD 的对角线相交于点O ，请你添加一个条件：＿＿＿，使得该菱形为正方形.15.如图，将两张长为8，宽为2最小值8，那么菱形周长的最大值是＿＿＿.16.如图所示，两个全等菱形的边长为1米，一个微型机器人由A 点开始按ABCDEFCGA 的顺序沿菱形的边循环运动，行走2009米停下，则这个微型机器人停在＿＿＿点.17.如果用4个相同的长为3宽为1的长方形，拼成一个大的长方形，那么这个大的长方形的周长可以是＿＿＿.18.若正方形ABCD 的边长为4，E 为BC 边上一点，BE ＝3，M 为线段AE 上一点，射线BM 交正方形的一边于点F ，且BF ＝AE ，则BM 的长为＿＿＿. 19.如图，菱形ABCD 的对角线长分别为a 、b ，以菱形ABCD 各边的中点为顶点作矩形A 1B 1C 1D 1，然后再以矩形A 1B 1C 1D 1的中点为顶点作菱形A 2B 2C 2D 2，…，如此下去，得到四边形A 2009B 2009C 2009D 2009的面积用含 a 、b 的代数式表示为＿＿＿.20.如图，正方形纸片ABCD 的边长为1，M 、N 分别是AD 、BC 边上的点，将纸片的一角沿过点B 的直线折叠，使A 落在MN 上，落点 记为A ′，折痕交AD 于点E ，若M 、N 分别是AD 、BC 边 的中点，则A ′N ＝＿＿＿；若M 、N 分别是AD 、BC 边的 上距DC 最近的n 等分点（n ≥2，且n 为整数），则A ′N ＝＿＿＿（用含有n 的式子表示）.三、解答题 21.已知：如图，在矩形ABCD 中，AF ＝BE .求证：DE ＝CF .22.两个完全相同的矩形纸片ABCD 、BFDE 如图放置，AB ＝BF ，求证：四边形BNDM 为菱形.23.如图，四边形ABCD 是矩形，△PBC 和△QCD 都是等边三角形，且点P 在矩形上方，点Q 在矩形内. 求证：（1）∠PBA ＝∠PCQ ＝30°；（2）P A ＝PQ .24.如图菱形ABCD 的边长为2，对角线BD ＝2，E 、F 分别是AD 、CD 上的两个动点，且满足AE +CF ＝2.（1）求证：△BDF ≌△BCF ； （2）判断△BEF 的形状，并说明理由.同时指出△BCF 是由△BDE 经过如何变换得到?A B D D C B A OO ED CA FN M DC B A E A ′ 第20题图3A CB D PQ BC D A E F C D EM A B FN25.（1）观察与发现：小明将三角形纸片ABC（AB＞AC）沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展开纸片（如图①）；再次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF，展平纸片后得到△AEF（如图②）.小明认为△AEF是等腰三角形，你同意吗？请说明理由.（2）实践与运用：将矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点F处，折痕为BE（如图③）；再沿过点E的直线折叠，使点D落在BE上的点D′处，折痕为E G（如图④）；再展平纸片（如图⑤）.求图⑤中∠α的大小．26.问题解决如图1，将正方形纸片ABCD折叠，使点B落在CD边上一点E（不与点C，D重合），压平后得到折痕MN.当CE CD＝12时，求AMBN的值.EDCFBA图③E DCAB F G'D'A DECBα图④图⑤ACD图①ACD图②FEG图2NAB CDEFMN图1AB CEFM类比归纳 在图1中，若CE CD ＝13，则AM BN 的值等于＿＿＿；若CE CD ＝14，则AM BN 的值等于＿＿＿；若CE CD ＝1n(n 为整数)，则AMBN的值等于＿＿＿. (用含n 的式子表示) 联系拓广如图2，将矩形纸片ABCD 折叠，使点B 落在CD 边上一点E （不与点C ，D 重合），压平后得到折痕MN ，设ABBC＝1m(m ＞1)，CE CD ＝1n ，则AM BN 的值等于＿＿＿.（用含m ，n 的式子表示）参考答案1.D.点拨：利用菱形和等边三角形的性质；2.C ；3.A.点拨：利用整式的运算及特殊平行四边形的面积求解；4.D ；5.D.点拨：利用矩形的性质、勾股定理求解；6.A.点拨：菱形的面积等于对角线乘积的一半；7.C.点拨：利用菱形的性质与判定、直角三角形的有关计算、平面内点的坐标的意义； 8.C ； 9.B ；10.A.点拨：易求得正方形的边长等于，由于正方形是轴对称图形，所以点D 与点B 是关于AC 对称，所以BE 与AC 的交点即为使PD +PE 的和最小的点P 位置，此时PD +PE 的和最小等于BE ，即为正方形的边长. 11.4；12.3cm.点拨：设CN ＝x cm.因为正方形的边长为8cm ，点E 是BC 中点，所以EC ＝4cm ，又因为由折叠的原理可知EN ＝DN ＝8－x ，在Rt △ECN 中，由勾股定理，得EN 2＝EC 2+CN 2，即(8－x )2＝42+x 2，解得x ＝3.即线段CN 的长是3cm ； 13.3.点拨：利用菱形的性质和直角三角形斜边上中线的性质求解，或利用菱形的性质和三角形中位线性质求解； 14.答案不惟一.如，AB ⊥BC ，或AC ＝BD ，或AO ＝BO 等； 15.17；16.B.点拨：因为有两个全等菱形，则周长和等于8，所以微型机器人由A 点开始行走，每运动8米，则又回到A 点，而2009÷8＝251…1，所以微型机器人由A 点开始按ABCDEFCGA 的顺序沿菱形的边循环运动，行走2009米时则在点B 处停下；17.14，或16，或26.点拨：①长为4，宽为3；②长为12，宽为1；③长为6，宽为2；18.52，或125.点拨：分两种情况：若点F 在DC 上，因为BF ＝AE ，且AB ＝BC ，则△ABE ≌△BCF ，则∠BAE ＝∠BFC ，则∠BME ＝90°，则AB ×BE ＝AE ×BM ，则BM ＝512；若点F 在AD 上，此时可连接FE ，则可证明四边形ABEF 这矩形，则对角线互相平分，则BM ＝25； 19.201012⎛⎫ ⎪⎝⎭ab .点拨：利用矩形、菱形的面积及归纳法求解；.点拨：由折叠，得BA ′＝AB ＝1，若M 、N 分别是AD 、BC 边的中点，BN ＝12，则A ′N2.若M 、N 分别是AD 、BC 边的上距DC 最近的n 等分点（n ≥2，且n 为整数），BN ＝1n n-，则A ′N. 21.因为AF ＝BE ，EF ＝EF ，所以AE ＝BF .因为四边形ABCD 是矩形，所以∠A ＝∠B ＝90°，AD ＝BC ，所以△DAE ≌△CBF ，所以DE ＝CF .22.因为四边形ABCD 、BFDE 是矩形，BM ∥DN ,DM ∥BN ，所以四边形BNDM 是平行四边形.又因为AB ＝BF ＝ED ，∠A ＝∠E ＝90°∠AMB ＝∠EMD ，所以△ABM ≌△EDM ，所以BM ＝DM ，所以平行四边形BNDM 是菱形. 23.（1）因为四边形ABCD 是矩形，所以∠ABC ＝∠BCD ＝90°.因为△PBC 和△QCD 是等边三角形，所以∠PBC ＝∠PCB ＝∠QCD ＝60°，所以∠PBA ＝∠ABC －∠PBC ＝30°，∠PCD ＝∠BCD －∠PCB ＝30°，所以∠PCQ ＝∠QCD －∠PCD ＝30°，即∠PBA ＝∠PCQ ＝30°.（2）因为AB ＝DC ＝QC ，∠PBA ＝∠PCQ ，PB ＝PC ，所以△P AB ≌△PQC ，所以P A ＝PQ . 24.（1）因为菱形ABCD 的边长为2，BD ＝2，所以BD ＝BC ，且∠BDE ＝∠BCF ＝60°.因为AE +CF ＝2，而AE +DE ＝AD ＝2，所以DE ＝CF ，所以△BDE ≌△BCF .（2）△BEF 是等边三角形.理由如下：由（1）得△BDE ≌△BCF ，所以BE ＝BF ，∠CBF ＝∠DBE ，即∠EBF ＝∠EBD +∠DBF ＝∠CBF +∠DBF ＝60°，所以△BEF 是等边三角形.△BCF 是由△BDE 绕点B 顺时针旋转60°得到.25.（1）同意.如图②，设AD 与EF 交于点G .由折叠知，AD 平分∠BAC ，所以∠BAD ＝∠CAD .又由折叠知，∠AGE ＝∠DGE ＝90°，所以∠AGE ＝∠AGF ＝90°，所以∠AEF ＝∠AFE ，所以AE ＝AF ，即△AEF 为等腰三角形.（2）由折叠知，四边形ABFE 是正方形，∠AEB ＝45°，所以∠BED ＝135°，又由折叠知，∠BEG ＝∠DEG ，所以∠DEG ＝67.5°，所以∠α＝90°－67.5°＝22.5°.26.问题解决：如图1，连接BM ，EM ，BE .由题设，得四边形ABNM 和四边形FENM 关于直线MN 对称，所以MN 垂直平分BE ，所以BM ＝EM ，BN ＝EN .因为四边形ABCD 是正方形，所以∠A ＝∠D ＝∠C ＝90°，AB ＝BC ＝CD ＝DA ＝2.因为CE CD ＝12，所以CE ＝DE ＝1.设BN ＝x ，则NE ＝x ，NC ＝2－x .在Rt △CNE 中，由勾股定理，得NE 2＝CN 2+CE 2，即x 2＝(2－x )2+12，解得x ＝54.即BN ＝54.在Rt △ABM 和Rt △DEM 在中，分别由勾股定理，得BM 2＝AM 2+AB 2，EM 2＝DM 2+DE 2，所以AM 2+AB 2＝DM 2+DE 2.设AM ＝y ，则DM ＝2－y ，所以y 2+22＝(2－y )2+12，解得y ＝14，即AM ＝14.所以AM BN ＝15.类比归纳：设正方形的边长为2，仿照问题解决，当CE CD ＝13时，则CE ＝23，DE ＝43.设BN ＝x ，则NE ＝x ，NC ＝2－x .所以x 2＝(2－x )2+223⎛⎫ ⎪⎝⎭，解得x ＝109，BN ＝109；设AM ＝y ，则DM ＝2－y ，所以y 2+22＝(2－y )2+243⎛⎫⎪⎝⎭，解得y ＝49，即AM ＝49.所以AM BN ＝410＝25.当CE CD ＝14时，则CE ＝24，DE ＝64.设BN ＝x ，则NE ＝x ，NC ＝2－x .所以x 2＝(2－x )2+224⎛⎫ ⎪⎝⎭，解得x ＝1716，BN ＝1716；设AM ＝y ，则DM ＝2－y ，所以y 2+22＝(2－y )2+264⎛⎫ ⎪⎝⎭，解得y ＝916，即AM ＝916.所以AM BN ＝917.…当CE CD ＝1n 时，则CE ＝2n ，DE ＝22n n-.设BN ＝x ，则NE ＝x ，NC ＝2－x .所以x 2＝(2－x)2+22n⎛⎫⎪⎝⎭，解得x＝221nn+，BN＝221nn+；设AM＝y，则DM＝2－y，所以y2+22＝(2－y)2+222nn-⎛⎫⎪⎝⎭，解得y＝()221nn-，即AM＝()221nn-.所以AMBN＝()2211nn-+.联系拓广：因为ABBC＝1m(m＞1)，所以设AB＝a，则BC＝ma，于是仿照上面求解过程，由CECD＝1n，得CE＝an，DE＝a－an，设BN＝x，则NE＝x，NC＝ma－x.在Rt△CNE中，由勾股定理，得NE2＝CN2+CE2，即x2＝(ma－x)2+2an⎛⎫⎪⎝⎭，解得x＝22212m nmn+a.即BN＝22212m nmn+a；同样，在Rt△ABM和Rt△DEM在中，分别由勾股定理，得BM2＝AM2+AB2，EM2＝DM2+DE2，所以AM2+AB2＝DM2+DE2.设AM＝y，则DM＝ma－y，所以y2+a2＝(ma－y)2+2aan⎛⎫-⎪⎝⎭，解得y＝222212m n nmn-+a，即AM＝222212m n nmn-+a.所以AMBN＝2222211n m nn m-++.。

第一章 特殊平行四边形（强化题型）多结论问题【例1】如图，分别以直角ABC ∆的斜边AB ，直角边AC 为边向ABC ∆外作等边ABD ∆和等边ACE ∆，F 为AB 的中点，DE 与AB 交于点G ，EF 与AC 交于点H ，90ACB ∠=︒，30BAC ∠=︒．给出如下结论：①EF AC ⊥；②四边形ADFE 为菱形；③4AD AG =；④14FH BD =； 其中正确结论的是( )A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④【解答】解：ACE ∆是等边三角形，60EAC ∴∠=︒，AE AC =，30BAC ∠=︒，90FAE ACB ∴∠=∠=︒，2AB BC =， F 为AB 的中点，2AB AF ∴=，BC AF ∴=，ABC EFA ∴∆≅∆，FE AB ∴=，30AEF BAC ∴∠=∠=︒，EF AC ∴⊥，故①正确，EF AC ⊥，90ACB ∠=︒，//HF BC ∴， F 是AB 的中点，12HF BC ∴=， 12BC AB =，AB BD =， 14HF BD ∴=，故④说法正确； AD BD =，BF AF =，90DFB ∴∠=︒，30BDF ∠=︒，90FAE BAC CAE ∠=∠+∠=︒，DFB EAF ∴∠=∠，EF AC ⊥，30AEF ∴∠=︒，BDF AEF ∴∠=∠，()DBF EFA AAS ∴∆≅∆，AE DF ∴=，FE AB =，∴四边形ADFE 为平行四边形，AE EF ≠，∴四边形ADFE 不是菱形；故②说法不正确；12AG AF ∴=， 14AG AB ∴=， AD AB =，则4AD AG =，故③说法正确，故选：C ．【变式训练1】如图，在菱形ABCD 中，60A ∠=︒，E 、F 分别是AB ，AD 的中点，DE 、BF 相交于点G ，连接BD ，CG ．有下列结论：①120BGD ∠=︒；②BG DG CG +=；③BDF CGB ∆≅∆；④2ABCD S AB =菱形；⑤2DE =；⑥BF BC =，正确结论的有( )个．A ．1B ．2C ．3D ．4 【解答】解：四边形ABCD 是菱形，AB BC CD AD ∴===．A BCD ∠=∠．60A ∠=︒，60BCD ∴∠=︒，ABD ∴∆是等边三角形，BDC ∴∆是等边三角形．60ADB ABD ∴∠=∠=︒，60CDB CBD ∴∠=∠=︒． E ，F 分别是AB ，AD 的中点，90BFD DEB ∴∠=∠=︒，30GDB GBD ∴∠=∠=︒，90GDC GBC ∴∠=∠=︒，DG BG =，360909060120BGD ∴∠=︒-︒-︒-︒=︒，故①正确；在CDG ∆和CBG ∆中，CD CBCG CG DG BG=⎧⎪=⎨⎪=⎩，()CDG CBG SSS ∴∆≅∆，60DGC BGC ∴∠=∠=︒．30GCD ∴∠=︒，2CG GD GD GD ∴==+，CG DG BG ∴=+．故②正确．GBC ∆为直角三角形，CG BC ∴>，CG BD ∴≠，BDF ∴∆与CGB ∆不全等．故③错误；1222ADB ABCD S S AB DE ∆==⨯⋅菱形 (3)AB BE = 32ABAB =2AB =， 故④错误；3DE AB ===，2DE ∴，故⑤正确；BD BF >，BD BC =，BC BF ∴>，故⑥错误．∴正确的有：①②⑤共三个．故选：C ．【变式训练2】如图，在正方形ABCD 中，边长为2的等边三角形AEF 的顶点E ，F 分别在BC 和CD 上，下列结论：其中正确的序号是( )①CE CF =；②75AEB ∠=︒；③BE DF EF +=；④2ABCD S =正方形A ．①②④B ．①②C ．②③④D ．①③④ 【解答】解：四边形ABCD 是正方形，AEF ∆是等边三角形，AB AD ∴=，90B D ∠=∠=︒，AE AF =，60EAF ∠=︒，在Rt ABE ∆和Rt ADF ∆中AE AF AB AF =⎧⎨=⎩， Rt ABE Rt ADF(HL)∴∆≅∆，BE DF ∴=，BAE DAF ∠=∠，BC DC =，90BAD ∠=︒，CE CF ∴=，1(9060)152BAE DAF ∠=∠=︒-︒=︒，故①正确； 75AEB ∴∠=︒，故②正确；连接AC ，则30EAC ∠=︒，BAE EAC ∴∠≠，同理，DAF CAF ∠≠，BE DF EF ∴+≠，故③错误；2EF =，CE CF =，90FCE ∠=︒，CE CF ∴=设AB x =，则BE x =，90B ∠=︒，222(2x x ∴+-=，解得，1x =，2x =，222x ∴==即2ABCD S =正方形由上可得，正确的是①②④，故选：A ．一些常见的辅助线求线段和角度【例1】如图，在菱形ABCD 中，100A ∠=︒，E ，F 分别是边AB 和BC 的中点，EP CD ⊥于点P ，则(FPC ∠= )A ．35︒B ．45︒C ．50︒D ．55︒【解答】解：延长EF 交DC 的延长线于H 点．在菱形ABCD 中，100A ∠=︒，E ，F 分别是边AB 和BC 的中点， 80B ∴∠=︒，BE BF =．(18080)250BEF ∴∠=︒-︒÷=︒．//AB DC ，50FHC BEF ∴∠=∠=︒．又BF FC =，B FCH ∠=∠，BEF CHF ∴∆≅∆．EF FH ∴=．EP DC ⊥，90EPH ∴∠=︒．FP FH ∴=，则50FPC FHP BEF ∠=∠=∠=︒．故选：C ．【变式训练1】矩形ABCD 与CEFG 如图放置，点B ，C ，E 共线，点C ，D ，G 共线，连接AF ，取AF 的中点H ，连接GH ．若2BC EF ==，1CD CE ==，则(GH = )A ．1B ．23 CD【解答】解：如图，延长GH 交AD 于点P ，四边形ABCD 和四边形CEFG 都是矩形，90ADC ADG CGF ∴∠=∠=∠=︒，2AD BC ==、1GF CE ==， //AD GF ∴，GFH PAH ∴∠=∠，又H 是AF 的中点，AH FH ∴=，在APH ∆和FGH ∆中，PAH GFHAH FH AHP FHG∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()APH FGH ASA ∴∆≅∆，1AP GF ∴==，12GH PH PG ==， 1PD AD AP ∴=-=，2CG =、1CD =，1DG ∴=，则1122GH PG ==， 故选：C ．【变式训练2】如图正方形ABCD 的边长为a ，P 是对角线AC 上的点，连结PB ，过点P 作PQ BP ⊥交线段CD 于点Q ．当2DQ CQ =时，BP 的长为( )A ．23aBCD 【解答】解：过P 作PE AB ⊥于E ，交CD 于F ，如图，四边形ABCD 为正方形，45PAE PCF ∴∠=∠=︒，//AB CF ，PF CF ∴⊥，PCF ∴∆为等腰直角三角形，PF CF ∴=，而CF BE =，PF BE ∴=，PB PQ ⊥，190BPE ∴∠+∠=︒，而290BPE ∠+∠=︒，12∴∠=∠，在BEP ∆和PQF ∆中，12BE PFBEP PFQ ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()BEP PFQ ASA ∴∆≅∆，EP FQ ∴=，正方形ABCD 的边长为a ，2DQ CQ =，13CQ a ∴=， 设EP FQ x ==，则AE x =，13CF x a =+， 13AB x a x a ∴=++=， 13x a ∴=，BP ∴=． 故选：C ．动点和为定值【例1】如图，在菱形ABCD 中，P 是对角线AC 上一动点，过点P 作PE BC ⊥于点E ．PF AB ⊥于点F ．若菱形ABCD 的周长为20，面积为24，则PE PF +的值为( )A ．4B ．245C ．6D ．485【解答】解：连结BP ，如图，四边形ABCD 为菱形，菱形ABCD 的周长为20，5BA BC ∴==，1122ABC ABCD S S ∆==菱形， ABC PAB PBC S S S ∆∆∆=+， ∴11551222PE PF ⨯⨯+⨯⨯=， 245PE PF ∴+=， 故选：B ．【变式训练1】如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，点P 在边AD 上从点A 到点D 运动，过点P 作PE AC ⊥于点E ，作PF BD ⊥于点F ．已知3AB =，4AD =，随着点P 的运动，关于PE PF +的值，下面说法正确的是( )A ．先增大，后减小B ．先减小，后增大C ．始终等于2.4D ．始终等于3【解答】解：过点A 作//AG BD ，交CD 的延长线于点G ， 过点P 作PH AG ⊥于点H ，过点A 作AQ BD ⊥于点Q ， GAD ODA ∴∠=∠在矩形ABCD 中，OAD ODA ∠=∠，//AB CD ，AB CD =，//AG BD ，ODA GAD ∴∠=∠，PE AC ⊥，PH PE ∴=，PF BD ⊥，//AG BDH ∴、P 、F 三点共线，HF AQ ∴=，3AB =，4AD =，∴由勾股定理可知：5BD =，AQ BD AB AD =，125AQ ∴=， 即125PE PF AQ +==， 故选：C ．【变式训练2】如图，点P 是矩形ABCD 的边上一动点，矩形两边长AB 、BC 长分别为15和20，那么P 到矩形两条对角线AC 和BD 的距离之和是( )A ．6B ．12C ．24D ．不能确定【解答】解：连接OP ，如图所示：四边形ABCD 是矩形，AC BD ∴=，12OA OC AC ==，12OB OD BD ==，90ABC ∠=︒， 14AOD ABCD S S ∆=矩形， 12OA OD AC ∴==， 15AB =，20BC =，25AC ∴==，1115207544AOD ABCD S S ∆==⨯⨯=矩形， 252OA OD ∴==， 111125()()7522222AOD APO DPO S S S OA PE OD PF OA PE PF PE PF ∆∆∆∴=+=+=+=⨯+=， 12PE PF ∴+=．∴点P 到矩形的两条对角线AC 和BD 的距离之和是12．故选：B ．【变式训练3】如图，正方形ABCD 的边长为2，E 为对角线AC 上一点，且CE CB =，点P 为线段BE 上一动点，且PF CE ⊥于F ，PG BC ⊥于G ，则PG PF +的值为 ．【解答】解：连接CP ，BD ，交AC 于M ，四边形ABCD 为正方形，2BC =，BD AC ∴⊥，垂足为M ，BM MC ===12BCE S CE BM ∆=，12PCE S CE PF ∆=，12BCP S BC PG ∆=，12BCE PCE BCP S S S ∆∆∆=+， ∴111222CE BM CE PF BC PG =+， BC CE =，BM PF PG ∴=+，PG PF ∴+=动点最值问题【例1】如图，在边长为2的正方形ABCD 中，点M 为对角线BD 上一动点，ME BC ⊥于点E ，MF CD ⊥于点F ，连接EF ，则EF 的最小值为( )A ．1B ．C D【解答】解：连接MC ，如图所示：四边形ABCD 是正方形，90C ∴∠=︒，45DBC ∠=︒，ME BC ⊥于E ，MF CD ⊥于F∴四边形MECF 为矩形，EF MC ∴=，当MC BD ⊥时，MC 取得最小值，此时BCM ∆是等腰直角三角形，MC ∴==，EF ∴；故选：D ．【变式训练1】如图，在Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒且3AB =，4AC =，点D 是斜边BC 上的一个动点，过点D 分别作DM AB ⊥于点M ，DN AC ⊥于点N ，连接MN ，则线段MN 的最小值为( )A ．125B ．52C ．3D ．4【解答】解：90BAC ∠=︒，且3BA =，4AC =，5BC ∴==，DM AB ⊥，DN AC ⊥，90DMA DNA BAC ∴∠=∠=∠=︒，∴四边形DMAN 是矩形，MN AD ∴=，∴当AD BC ⊥时，AD 的值最小，此时，ABC ∆的面积1122AB AC BC AD =⨯=⨯， 125AB AC AD BC ⨯∴==， MN ∴的最小值为125； 故选：A ．【变式训练2】如图，在Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，3AB =，4AC =，P 是斜边BC 上一动点，PE AB ⊥于E ，PF AC ⊥于F ，EF 与AP 相交于点O ，则OF 的最小值是( )A ．4.8B ．3.6C ．2.4D ．1.2 【解答】解：四边形AEPF 是矩形，EF ∴，AP 互相平分．且EF AP =，OE OF =，当AP 的值最小时，EF 的值就最小，∴当AP BC ⊥时，AP 的值最小，即OF 的值最小．1122AP BC AB AC =， AP BC AB AC ∴=．在Rt ABC ∆中，由勾股定理，得5BC =．3AB =，4AC =，534AP ∴=⨯， 125AP ∴=． 1625OF EF ∴==， 故选：D ．胡不归问题【例1】如图，在ABC ∆中，90A ∠=︒，60B ∠=︒，2AB =，若D 是BC 边上的动点，则2AD DC +的最小值( )A ．6+B ．6C 3D ．4【解答】解：过点C 作射线CE ，使30BCE ∠=︒，再过动点D 作DF CE ⊥，垂足为点F ，连接AD ，如图所示：在Rt DFC ∆中，30DCF ∠=︒，12DF DC ∴=， 122()2AD DC AD DC +=+ 2()AD DF =+，∴当A ，D ，F 在同一直线上，即AF CE ⊥时，AD DF +的值最小，最小值等于垂线段AF 的长，此时，60B ADB ∠=∠=︒，ABD ∴∆是等边三角形，2AD BD AB ∴===，在Rt ABC ∆中，90A ∠=︒，60B ∠=︒，2AB =，4BC ∴=，2DC ∴=，112DF DC ∴==， 213AF AD DF ∴=+=+=，2()26AD DF AF ∴+==，2AD DC ∴+的最小值为6，故选：B ．【变式训练1】如图，矩形ABCD 中，6AD =，4AB =，点P 是BC 边上一动点，连接PA 、PD ，则12PA PC +的最小值为 ．【解答】解：作直线CE ，使30BCE ∠=︒，作PE CE ⊥，垂足为E ，则12PE PC =， 12PA PC ∴+的最小值为PA PE +的最小值， 即P 、A 、E 三点共线时值最小，如图，APB CPE ∠=∠，30BAP PCE ∴∠=∠=︒，4AB =，tan304BP AB ∴=︒⨯=，2AP BP ==，6CP BC BP ∴=-=，∴132PE PC ==，∴33PA PE +=+ 12PA PC ∴+的最小值为3+故答案为：3+【变式训练2】如图，矩形ABCD 中，BC 1CD =，点E 是AC 上一动点，则12BE CE +的最小值为 ．【解答】解：如图，作CF 平分ACD ∠交AD 于F ，过点E 作EJ CF ⊥于J ，过点B 作BH CF ⊥于H ．四边形ABCD 是矩形，90D BCD ∴∠=∠=︒，AD BC ==2AC ∴，2AC CD ∴=，30CAD ∴∠=︒，60ACD ∠=︒ CF 平分ACD ∠，1302ACF FCD ACD ∴∠=∠=∠=︒，EJ CF ⊥，12EJ CE ∴=，12BE EC BE EJ ∴+=+，在Rt CBH ∆中，903060BCH ∠=︒-︒=︒，BC12CH BC ∴==，32BH ∴=，BE EJ BH +，1322BE EC ∴+， 12BE EC ∴+的最小值为32，故答案为：32．辅助圆【例1】如图，E ，F 是正方形ABCD 的边AD 上两个动点，满足AE DF =．连接CF 交BD 于点G ，连接BE 交AG 于点H ．若正方形的边长为2，则线段DH 长度的最小值是 ．【解答】解：在正方形ABCD 中，AB AD CD ==，BAD CDA ∠=∠，ADG CDG ∠=∠， 在ABE ∆和DCF ∆中，AB CD BAD CDA AE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABE DCF SAS ∴∆≅∆，12∴∠=∠，在ADG ∆和CDG ∆中，AD CD ADG CDG DG DG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ADG CDG SAS ∴∆≅∆，23∴∠=∠，13∴∠=∠，390BAH BAD ∠+∠=∠=︒，190BAH ∴∠+∠=︒，1809090AHB ∴∠=︒-︒=︒，取AB 的中点O ，连接OH 、OD ， 则112OH AO AB ===，在Rt AOD ∆中，OD =根据三角形的三边关系，OH DH OD +>，∴当O 、D 、H 三点共线时，DH 的长度最小，最小值1OD OH =-．（解法二：可以理解为点H 是在Rt AHB ∆，AB 直径的半圆AB 上运动当O 、H 、D 三点共线时，DH 长度最小）1．【变式训练1】如图，在边长为2的菱形ABCD 中，60A ∠=︒，M 是AD 边的中点，N 是AB 边上的一动点，将AMN ∆沿MN 所在直线翻折得到△A MN '，连接A C '，则A C '长度的最小值是 ．【解答】解：如图所示：MA '是定值，A C '长度取最小值时，即A '在MC 上时， 过点M 作MF DC ⊥于点F ，在边长为2的菱形ABCD 中，60A ∠=︒，M 为AD 中点，22MD AD CD ∴===，60FDM ∠=︒，30FMD ∴∠=︒，1122FD MD ∴==，cos30FM DM ∴=⨯︒=MC ∴==1A C MC MA ∴'=-'=．1．【变式训练2】如图，在正方形ABCD 中，3AB =，点E ，F 分别在CD ，AD 上，CE DF =，BE ，CF 相交于点G ，连接DG ．点E 从点C 运动到点D 的过程中，DG 的最小值为 ．【解答】解：如图，四边形ABCD 是正方形，BC CD ∴=，90BCE CDF ∠=∠=︒，CE DF =，()BCE CDF SAS ∴∆≅∆，EBC FCD ∴∠=∠，90FCD BCG ∠+∠=︒，90CBE BCG ∴∠+∠=︒，90CGB ∴∠=︒，∴点G 的运动轨迹是以BC 为直径的O ，当O ，G ，D 共线时，DG 的值最小，最小值32==，【变式训练3】如图，在矩形纸片ABCD 中，边12AB =，5AD =，点P 为DC 边上的动点（点P 不与点D ，C 重合），将纸片沿AP 折叠，则CD '的最小值为 ．【解答】解：连接AC ，当点D '在AC 上时，CD '有最小值，四边形ABCD 是矩形，12AB =，5AD =，90D B ∴∠=∠=︒，AD BC =，13AC ∴===，由折叠性质得：5AD AD '==，90AD P D '∠=∠=︒， CD '∴的最小值1358AC AD '=-=-=，故答案为：8．证明综合【例1】如图，在正方形ABCD 中，点E 是边BC 延长线上一点，联结DE ，过点B 作BF DE ⊥，垂足为点F ，BF 与边CD 相交于点G ．（1）求证：CG CE =；（2）联结CF ，求证：45BFC ∠=︒；（3）如果正方形ABCD 的边长为2，点G 是边DC 的中点，求EF 的长．【解答】解：（1）四边形ABCD 为正方形，BC CD ∴=，BCG DCE ∠=∠，BF DE ⊥，E CBG E EDC ∴∠+∠=∠+∠，CBG EDC ∴∠=∠，在Rt BCG ∆与Rt DCE ∆中，CBG CDEBC DC GCG DCE∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩Rt BCG Rt DCE(ASA)∴∆≅∆，CG CE ∴=．（2）作CM CF ⊥交BF 于点M ，BCG DCE ∆≅∆，E BGC ∴∠=∠，90MCG FCG ECF FCG ∠+∠=∠+∠=︒，MCG FCE ∴∠=∠，在MCG ∆和FCE ∆中，MCG FCE CG CEMGC E ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ()MCG FCE ASA ∴∆≅∆，MG FE ∴=，MC FC =，MCF ∴∆为等腰直角三角形，45BFC ∴∠=︒．（3）作CN BF ⊥于点N ，CNF ∴∆为等腰直角三角形，CN NF =， G 为CD 中点，正方形ABCD 的边长为2，1CG DG CE ∴===，BG DE ∴==， ∴1122BC CG BG CN ⋅=⋅，GC CG CN BG ⋅∴===， 在CNG ∆和DFG ∆中，CNG DFG NGC FGD CG DG ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()CNG DFG AAS ∴∆≅∆，DF CN ∴==EF DE DF ∴=-==． 【变式训练1】如图，正方形ABCD 中，点E 在边AB 上，连接ED ，过点D 作FD DE ⊥与BC 的延长线相交于点F ，连接EF 与边CD 相交于点G 、与对角线BD 相交于点H ．（1）若6AB =，且BD BF =，求BE 的长；（2）若221∠=∠，求证：HF HE HD =+．【解答】（1）解：四边形ABCD 是正方形，且FD DE ⊥， AD CD ∴=，90A DCB ADC ∠=∠=∠=︒，DE DF ⊥，90EDF ∴∠=︒，290EDC CDF ∴∠=︒-∠=∠，90A DCF ∠=∠=︒， 在DAE ∆和DCF ∆中，2CDF AD CDA DCF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， Rt DAE Rt DCF(ASA)∴∆≅∆，AE CF ∴=，6CF BF BC BD BC =-=-=，6AE ∴=，66)12BE AB AE ∴=-=-=-；（2）在HF 上取一点P ，使FP EH =，连接DP ，由（1）Rt DAE Rt DCF ∆≅∆得EDF ∆是等腰直角三角形， DE DF ∴=，45DEF DFE ∠=∠=︒，在DEH ∆和DPE ∆中，DE DF DEH DFP EH PF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()DEH DFP SAS ∴∆≅∆，DH DP ∴=，EDH FDP ∠=∠，在DHE ∆和FHB ∆中，45DEF HBF ∠=∠=︒，EHD BHF ∠=∠（对顶角相等）， 1112(45)22EDH EDH ∴∠=∠=∠=︒-∠， 15EDH ∴∠=︒，15FDP ∠=︒，90151560HDP ∴∠=︒-︒-︒=︒，DHP ∴∆是等边三角形，HD HP ∴=，HF HP PF =+，HF HE HD ∴=+．【变式训练2】如图，在正方形ABCD中，AB ，E 为正方形ABCD 内一点，DE AB =，(090)EDC αα∠=︒<<︒，连结CE ，AE ，过点D 作DF AE ⊥，垂足为点F ，交CE 的延长线于点G ，连结AG ．（1）当20α=︒时，求DAE ∠的度数；（2）判断AEG ∆的形状，并说明理由；（3）当1GF =时，求CE 的长．【解答】解：（1）四边形ABCD 是正方形，90ADC ∴∠=︒，AB AD =，20CDE ∠=︒，70ADE ∴∠=︒，DE AB =，DA DE ∴=，1(18070)552DAE DEA ∴∠=∠=⨯︒-︒=︒．（2）结论：AEG ∆是等腰直角三角形．理由：AD DE =，DF AE ⊥，DG ∴是AE 的垂直平分线，AG GE ∴=，GAE GEA ∴∠=∠，DE DC AD ==，DAE DEA ∴∠=∠，DEC DCE ∠=∠，360DAE DEA DEC DCE ADC ∠+∠+∠+∠+∠=︒， 135DEA DEC ∴∠+∠=︒，45GEA ∴∠=︒，45GAE GEA ∴∠=∠=︒，90AGE ∴∠=︒，AEG ∴∆为等腰直角三角形．（3）如图，连接AC ，四边形ABCD 是正方形，AC ∴==AEG ∆为等腰直角三角形，GF AE ⊥，1GF AF EF ∴===，AG GE ∴==222AC AG GC =+，2102(EC ∴=++，EC ∴=．【变式训练3】已知：如图，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，AO BO CO ==，BAC ACD ∠=∠．（1）求证：四边形ABCD 是矩形；（2）如果点E 在边AB 上，DE 平分ADB ∠，BD ，求证：BD AD AE =+．【解答】证明：（1）在AOB ∆和COD ∆中，BAO OCD AO COAOB COD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ()AOB COD ASA ∴∆≅∆，BO DO ∴=，AO CO =，∴四边形ABCD 是平行四边形，AO BO CO ==，BO DO =，AO BO CO DO ∴===，AC BD ∴=，∴平行四边形ABCD 是矩形；（2）过点E 作EF BD ⊥于F ，如图所示：由（1）得：四边形ABCD 是矩形，90BAD ∴∠=︒， 2BD =，ABD ∴∆是等腰直角三角形，45ABD ∴∠=︒，EF BD ⊥，90EFB EFD ∴∠=∠=︒，BEF ∴∆是等腰直角三角形，FE FB ∴=，DE 平分ADB ∠，ADE FDE ∴∠=∠，在ADE ∆和FDE ∆中，90EAD EFD ADE FDEDE DE ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()ADE FDE AAS ∴∆≅∆，AD FD ∴=，AE FE =，AE FB ∴=，BD FD FB =+，BD AD AE ∴=+．【变式训练4】如图，AC ，BD 为平行四边形ABCD 的对角线，点E是AC 上一点，点F 在BE 延长线上，且EF BE =，EF 与CD 交于点G ，连结DF ．（1）求证：//DF AC ．（2）连结DE ，CF ，若AB BF ⊥，且G 恰好是CD 的中点，求证：四边形CFDE 是菱形．（3）在（2）的条件下，若四边形CFDE 是正方形，且2AB =，求BC 的长．【解答】（1）证明：四边形ABCD 是平行四边形， OB OD ∴=，EF BE =，OE ∴是BDF ∆的中位线，//DF AC ∴；（2）证明：由（1）得：//DF AC ，FDG ECG ∴∠=∠， G 是CD 的中点，DG CG ∴=，在DFG ∆和CEG ∆中，FDG ECGDG CG DGF CGE∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()DFG CEG ASA ∴∆≅∆，FG EG ∴=，∴四边形CFDE 是平行四边形，四边形ABCD 是平行四边形，//AB CD ∴，AB BF ⊥，CD BF ∴⊥，∴平行四边形CFDE 是菱形；（3）解：四边形CFDE 是正方形，2EF CD AB ∴===，EF CD ⊥，112CG DG EG FG EF ∴=====， 2BE EF ==，3BG BE EG ∴=+=，在Rt BCG ∆中，由勾股定理得：BC ．45°角模型【例1】如图，已知正方形ABCD 中，点M 、N 分别在边BC 、CD 上，45MAN ∠=︒．（1）求证：MN BM DN =+；（2）当6AB =，5MN =时，求CMN ∆的面积．【解答】解：（1）延长CB 到G ，使BG DN =，在ADN ∆和ABG ∆中，AD AB ADN ABG DN BG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ADN ABG SAS ∴∆≅∆，AN AG ∴=，45MAN ∠=︒，45MAB NAD MAB BAG ∴∠+∠=∠+∠=︒，在MAN ∆和MAG ∆中，AN AG MAG MAN AM AM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()MAN MAG SAS ∴∆≅∆，MN MG MB BG MB DN ∴==+=+；（2）由（1）得，165152AMN AMG S S ∆∆==⨯⨯=， AMN ABM ABG S S S ∆∆∆=+，15AMN ABM ADN S S S ∆∆∆∴=+=，236306CMN AMN ABCD S S S ∆∆∴=-=-=正方形．【变式训练1】正方形ABCD 的边长为3，E 、F 分别是AB 、BC 边上的点，且45EDF ∠=︒． （1）求证：EF AE CF =+；（2）当1AE =时，求EF 的长．【解答】解：（1）证明：延长BC 至H ，使CH AE =，连接DH ，如图，四边形ABCD 是正方形，AD CD ∴=，90A DCE ∠=∠=︒．()DAE DCH SAS ∴∆≅∆．DE DH ∴=，ADE CDH ∠=∠．90ADC ∠=︒，45EDF ∠=︒，45ADE FDC ∴∠+∠=︒．45FDC CDH ∴∠+∠=︒．即45FDH ∠=︒．45EDF FDH ∴∠=∠=︒．在EDF ∆和HDF ∆中，DE DHEDF HDF DF DF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩．()EDF HDF SAS ∴∆≅∆．EF FH ∴=．FH FC CH FC AE =+=+，EF AE FC ∴=+．（2）设EF x =，则FH x =．正方形ABCD 的边长为3，3AB BC ∴==．1AE =，2BE ∴=，1CH =．1FC x ∴=-．3(1)4BF BC CF x x ∴=-=--=-．在Rt BEF ∆中，222BE BF EF +=，2222(4)x x ∴+-=． 解得：52x =．52EF ∴=．【变式训练2】如图，在正方形ABCD 中，E 为CD 的中点，点F 在边BC 上，且BAE AEF ∠=∠．（1）求证：45FAE ∠=︒；（2）求BFCF 的值．【解答】（1）证明：如图，过点A 作AH EF ⊥于点H ，90AHE AHF ∴∠=∠=︒，四边形ABCD 是正方形，90B BAD D C ∴∠=∠=∠=∠=︒，AB AD =，//AB CD ，BAE AED ∴∠=∠，BAE AEF ∠=∠．AED AEF ∴∠=∠．在ADE ∆和AHE ∆中，D AHE AED AEH AE AE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ADE AHE AAS ∴∆≅∆，AD AH ∴=，12∠=∠，在Rt ABF ∆和Rt AHF ∆中，AF AF AB AH =⎧⎨=⎩， Rt ABF Rt AHF(HL)∴∆≅∆，34∴∠=∠，1112345222FAE DAH BAH DAB ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒；（2）解：设正方形ABCD 的边长为2a ，BF x =，12CE DE CD a ∴===，2CF BC BF a x =-=-， 由（1）知：ADE AHE ∆≅∆，Rt ABF Rt AHF ∆≅∆，HE DE ∴=，HF BF =，EF HE HF DE BF a x ∴=+=+=+，在Rt CEF ∆中，根据勾股定理，得222CE CF EF +=，222(2)()a a x a x ∴+-=+， 解得23x a =， 23BF x a ∴==，423CF a x a =-=， ∴213423a BF CF a ==． 【变式训练3】正方形ABCD 的边长为6，E ，F 分别是AB ，BC 边上的点，且45EDF ∠=︒，将DAE ∆绕点D 逆时针旋转90︒，得到DCM ∆．（1）求证：EF CF AE =+；（2）当2AE =时，求EF 的长．【解答】（1）证明：DAE ∆逆时针旋转90︒得到DCM ∆，180FCM FCD DCM ∴∠=∠+∠=︒，AE CM =，F ∴、C 、M 三点共线，DE DM ∴=，90EDM ∠=︒，90EDF FDM ∴∠+∠=︒，45EDF ∠=︒，45FDM EDF ∴∠=∠=︒，在DEF∆和DMF∆中，DE DMEDF MDFDF DF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()DEF DMF SAS∴∆≅∆，EF MF∴=，EF CF AE∴=+；（2）解：设EF MF x==，2AE CM==，且6BC=，628BM BC CM∴=+=+=，8BF BM MF BM EF x∴=-=-=-，624EB AB AE=-=-=，在Rt EBF∆中，由勾股定理得222EB BF EF+=，即2224(8)x x+-=，解得：5x=，则5EF=．非坐标系下的动点问题【例1】在矩形ABCD中，3AB=，4BC=，动点E从B出发，以每秒1个单位的速度，沿射线BC方向运动，连接AE，以AE为边向上作正方形AEFG．设点E的运动时间为(0)t t>．（1）如图1，EF与CD边交于点M，当DM EM=时，求此时t的值；（2）如图2，当点F恰好落在矩形任意两个顶点的所在直线上时，请求出所有符合条件的t 的值．【解答】解：（1）连接AM ，如图，正方形AEFG ，矩形ABCD ，90AEM ADM ABE ∴∠=∠=∠=︒，4AD BC ==， 在Rt AEM ∆和Rt ADM ∆中，EM DM AM AM =⎧⎨=⎩， Rt AEM Rt ADM(HL)∴∆≅∆，4AE AD ∴==，在Rt ABE ∆中，BE动点E 从B 出发，以每秒1个单位的速度，∴t =（2）分四种情况，1︒当点F 在CD 上时，如图，矩形ABCD ，90ABE ECF ∴∠=∠=︒，90BAE AEB ∴∠+∠=︒，90FEC EFC ∠+∠=︒， 正方形AEFG ，90AEF ∴∠=︒，AE EF =，90FEC AEB ∴∠+∠=︒，BAE FEC ∴∠=∠，AEB EFC ∠=∠，在BAE ∆和CEF ∆中，BAE CEFAE EF AEB EFC∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()BAE CEF ASA ∴∆≅∆，3AB EC ∴==，431BE BC CE ∴=-=-=，动点E 从B 出发，以每秒1个单位的速度，1t ∴=；2︒当点F 落在AD 上时，如图，AF 时正方形AEFG 的对角线，45EAF ∴∠=︒，矩形ABCD ，90B BAD ∴∠=∠=︒，45BAE AEB ∴∠=︒=∠，3BE AB ∴==，动点E 从B 出发，以每秒1个单位的速度，3t ∴=；3︒当点F 落在AC 上时，过点F 作FM BC ⊥交BC 于点M ，如图，正方形AEFG ，AE EF ∴=，90AEF ∠=︒，90AEB FEM ∴∠+∠=︒，矩形ABCD ，90ABE ∴∠=︒，90BAE AEB ∴∠+∠=︒，BAE FEM ∴∠=∠，在BAE ∆和MEF ∆中，90ABE EMF BAE MEFAE EF ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()BAE MEF AAS ∴∆≅∆，FM BE ∴=，3EM AB ==，设FM BE x ==，则431MC x x =--=-，FCM ACM ∠=∠，FMC ABC ∠=∠，~FMC ABC ∴∆∆， ∴FM MC AB BC=， ∴134x x -=， 解得：37x =， 即37FM BE ==， 动点E 从B 出发，以每秒1个单位的速度， ∴37t =； 4︒当点F 落在BD 上时，过点F 作FM BC ⊥交BC 于点M ，如图，正方形AEFG ，AE EF ∴=，90AEF ∠=︒，90AEB FEM ∴∠+∠=︒，矩形ABCD ，90ABE ∴∠=︒，90BAE AEB ∴∠+∠=︒，BAE FEM ∴∠=∠，在BAE ∆和MEF ∆中，90ABE EMF BAE MEFAE EF ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()BAE MEF AAS ∴∆≅∆，FM BE ∴=，3EM AB ==，设CE a =，，则4FM BE a ==+，7BM a =+，DBC FBM ∠=∠，90FMB BCD ∠=∠=︒，~FBM DBC ∴∆∆， ∴BC CD BM FM=， ∴4374a a =++ 解得5a =，49BE a ∴=+=，动点E 从B 出发，以每秒1个单位的速度，9t ∴=；故所有符合条件的t 的值1t =或3t =或9t =或37t =． 【变式训练1】如图，在正方形ABCD 中，5AB cm =，E 为对角线BD 上一动点，连接AE 、CE ，过E 点作EF AE ⊥，交直线BC 于点F ，E 点从B 点出发，沿BD 方向以每秒1cm 的速度运动，当点E 与点D 重合时，运动停止．设BEF ∆的面积为2ycm ，E 点的运动时间为x 秒．（1）点E 在整个运动过程中，试说明总有：CE EF =；（2）求y 与x 之间关系的表达式，并写出x 的取值范围．【解答】证明：（1）如图1，过E 作//MN AB ，交AD 于M ，交BC 于N ，四边形ABCD是正方形，∴，AB ADAD BC//⊥，⊥，∴⊥，MN BCMN ADAME FNE NFE FEN∴∠=∠=︒=∠+∠，90⊥，AE EF∴∠=∠+∠=︒，90AEF AEM FEN∴∠=∠，AEM NFE∠=︒，∠=︒，90BNE45DBC∴==，BN EN AM∴∆≅∆，AEM EFN AAS()∴=，AE EF四边形ABCD是正方形，∴=，ADE CDE∠=∠，AD CD=，DE DE∴∆≅∆，()ADE CDE SAS∴=，AE CE∴=；CE EF∆中，由勾股定理得：BD==（2）在Rt BCD∴，052x=，由题意得：BE x∴=，BN EN==，由（1）知：AE EF EC分两种情况：①当5202x 时，如图1， 5AB MN ==，5ME FN x ∴==，55BF FN BN ∴=-==， 2112521(52)22242y BF EN x x x x ∴==-=-； ②52x <时，如图2，过E 作EN BC ⊥于N ， ENBN ∴=，5FN CN ∴==， 252(5)5BF BC CN ∴=-=--=-， 211215(25)22224y BF ENx x x x ∴==-=-；综上，y 与x 之间关系的函数表达式为：22152(0)221(52)242x x y x x x -=⎨⎪-<⎪⎩．坐标系中的动点问题【例1】已知：如图，O 为坐标原点，四边形OABC 为矩形，(5,2)B ，点D 是OA 中点，点P 在BC 上以每秒2个单位的速度由C 向B 运动，设动点P 的运动时间为t 秒．（1）t 为何值时，四边形PODB 是平行四边形？（2）在直线CB 上是否存在一点Q ，使得O 、D 、Q 、P 四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求t 的值，并求出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）四边形OABC 为矩形，(5,2)B ，5BC OA ∴==，2AB OC ==，点D 时OA 的中点，12.52OD OA ∴==，由运动知，2PC t =，52BP BC PC t ∴=-=-，四边形PODB 是平行四边形，2.5PB OD ∴==，52 2.5t ∴-=，1.25t ∴=；（2）①当Q 点在P 的右边时，如图，四边形ODQP 为菱形，2.5OD OP PQ ∴===，在Rt OPC ∆中，由勾股定理得： 1.5PC =，2 1.5t ∴=；0.75t ∴=，(4,2)Q ∴；②当Q 点在P 的左边且在BC 线段上时，如图，t=，同①的方法得出2∴，(1.5,2)Q③当Q点在P的左边且在BC的延长线上时，如图，t=，同①的方法得出，0.5∴-；( 1.5,2)Q【变式训练1】如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCO的边长为1，边AO，CO分别在坐标轴的正半轴上，连接OB，以点O为圆心，对角线OB为半径画弧交x轴的正半轴于点D．（1）填空：线段OB的长为，点D的坐标为；'='时，求点D'的坐标；（2）将线段AD向左平移到A D''位置，当OA AD（3）在（2）的条件下，求点D'到直线OB的距离．【解答】解：（1）四边形OABC是正方形，且边长为1，∴==，1OA AB根据勾股定理得，OB，∴=ODD ∴0)，0)；（2）线段AD 向左平移到A D ''，AD A D ∴=''，OA AD '='，11()22OD OA A D OA A D AD AD OD ''∴'=+''=+''+'+==D ∴，0)， （3）设点D '到直线OB 的距离为h ， 则1122OBD S OB h OD BA ∆'=⋅='⋅，12=， ∴点D '到直线OB 的距离为12h =．【变式训练2】对于长方形OABC ，//AB OC ，//AO BC ，O 为平面直角坐标系的原点，5OA =，3OC =，点B 在第三象限．（1）直接写出点B 的坐标( ， )；（2）如图1，点Q 从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O A B C O ----的路线移动，①当点Q 移动了3秒时，直写出此时点Q 的坐标( ， )；②当点Q 到y 轴距离为4个单长度时，求出点Q 移动的时间．（3）如图1，若过点B 的直线BP 与长方形OABC 的边交于点P ，且将长方形OABC 的面积分为1:4两部分，求点P 的坐标；（4）如图2，M 为x 轴负半轴上一点，且CBM CMB ∠=∠，点N 是x 轴正半轴上一动点，MCN ∠的平分线CD 交BM 的延长线于点D ，在点N 运动的过程中，D CNM∠∠的值是否变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由．【解答】解：（1）在长方形OABC 中，5OA =，3OC =，3AB OC ∴==，5BC OA ==， 90OAB OCB ∠=∠=︒，点B 在第三象限，(5,3)B ∴--，故答案为：(5,3)--；（2）①点Q 从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O A B C O ----的路线移动， 当点Q 移动了3秒时，Q 运动了6个单位，此时Q 在AB 上，5OA =，651QA ∴=-=，(5,1)Q ∴--；故答案为：(5,1)Q --； ②点Q 到y 轴距离为4个单长度，∴点Q 在OA 或BC 上，当Q 在OA 上时，4QO =，此时2t =（秒)，当Q 在BC 上时，此时Q 运动了55349++-=个单位，92 4.5t =÷=（秒)，（3）1︒当点P 在OA 上时，设(P x ，0)(0)x <，:1:4ABP BCOP S S ∆=四边形，15ABP OABC S S ∆∴=矩形， 即113(5)5325x ⨯+=⨯⨯， 解得x 3=-，(3,0)P ∴-；2︒当点P 在OC 上时，设(0P ，)(0)y y <，:1:4CBP BPOA S S ∆=四边形，15CBP OABC S S ∆∴=矩形， 即115(3)5325y ⨯+=⨯⨯， 解得y 95=-， 9(0,)5P ∴-， 综上所述，P 点坐标为(3,0)-或9(0,)5-； （4）D CNM∠∠的值不会变化，理由如下： 延长BC 至点F ，如图，四边形OABC 为长方形，//OA BC ∴，CBM AMB ∴∠=∠，AMC MCF ∠=∠，CBM CMB ∠=∠，2MCF CMB ∴∠=∠，过点M 作//ME CD 交BC 于点E ，EMC MCD ∴∠=∠，D BME ∠=∠，又CD 平分MCN ∠，2NCM EMC ∴∠=∠，D BME CMB EMC ∴∠=∠=∠-∠，222CNM NCF MCF NCM BMC DCM D ∠=∠=∠-∠=∠-∠=∠，∴12D CNM ∠=∠．。

特殊的平行四边形拔高题一、选择题（题型注释）1如图，在菱形ABCD中，AB=13,对角线BD=24,若过点C作CEL AB,垂足为E,贝U CE的120 240A. 13 B . 10 C . 12 D . 132. 如图，正方形ABCB中，AB=1, AB与直线I的夹角为30°,延长CB交直线I于点A , 作正方形A1BC1B,延长C1B2交直线I于点A2,作正方形A2B2GR,延长C2B3交直线I于点A3, 作正方形A3B3C3B4，…，依此规律，贝U A2015A2016=.3. 如图，在菱形ABCD中, AB=2 / BAD=60 , 点，贝U PE+PB的最小值为（）E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动A. 1B. 、、3C. 2D. \ 54. 如图，正方形ABCD和正方形CEFG中, 点，那么CH的长是（）（第 4 题）D在CG上，BC= 2 , CE=3 2 , H是AF 的中Jf J5 •菱形具有而矩形不一定具有的性质是A 、内角和等于360° BC 对边平行且相等D 6.（ 2016?石峰区模拟）矩形 ABCD 中,DM 的长是（）A 、3.5 BC 、.10 2 £ 1 二-V C（） 、对角线相等 、对角线互相垂直 AB=2 AD=1,点 M 在边CD 上，若 AM 平分/ DMB 贝UA•卑B •寺C •翻送D-l2-^7.如图，四边形ABCD中，对角线相交于点O, E、F、G H分别是要使四边形EFGH是菱形，则四边形ABCD需满足的条件是（）A. AB=AD B . AC=BD C . AD=BC D . AB=CD&如图，在平行四边形ABCD中，以A为圆心，AB为半径画弧，交AD于F,再分别以 B FA. 11 B . 6 C . 8 D . 109. 如图，正方形ABCD的边长为4,点E在对角线BD上，且/ BAE=22.5 , EF丄AB垂足为F,贝U EF的长为（）A. 1 B .卜目C . 4 - 2■: D . 3. 410. 如图，在正方形ABCD中，点P在AC上, PE丄AB, PF丄BC,垂足分别为、填空题（题型注释）11. 如图，正方形ABCD勺对角线长为8-一2 , E为AB上一点，若EF丄AC于F, EG丄BD于G 则EF+EG= .为圆心，大于2 BF的长为半径画弧，两弧相交于点（第7题图）AD BD BC AC的中点,E、F, EF=3,则PD的长为（）D12. 如图，在正方形ABCD中, AC 为对角线，点E 在AB 边上，EF 丄AC 于点F ,连接EC, AF=3, △ EFC 的周长为12，贝U EC 的长为13.将矩形ABCD 按如图所示的方式折叠，得到菱形 AECF 若AB=3,则菱形AECF 的周长为15. _______________________________________________________ 如图，折叠矩形纸片ABCD 使点B 落在边AD 上，折叠EF 的两端分别在 AB BC 上 （含 端点），且AB=8cm BC=10cm 则折痕EF 的最大值是 ___________________________________________ .三、计算题（题型注释）16. （本小题满分8分）如图，在正方形 ABCD 中, BE (1)求证： BAE BCF ;（2）若 ABE 35，求 EGC 的大小.（第12题图）BF , BE BF , EF 交 BC 于点 G.17. 已知E为平行四边形ABCD外一点，AE丄CE BE丄DE,求证：平行四边形ABCD是矩形.18. 如图，已知点 E,F 分别是口 ABCD 勺边BC,AD 上的中点，且/ BAC=90 .四、解答题19. 如图1所示，在正方形 ABCD 和正方形CGE 冲，点B 、C G 在同一条直线上， M 是线段 AE 的中点，DM 的延长线交 EF 于点N,连接FM 易证：DM=FM DM L FM (无需写证明过程)(1) 如图2,当点B C F 在同一条直线上，DM 的延长线交EG 于点N,其余条件不变，试 探究线段DM 与 FM 有怎样的关系？请写出猜想，并给予证明；(2) 如图3,当点E 、B C 在同一条直线上，DM 的延长线交CE 的延长线于点 N,其余条件 不变，探究线段DM 与 FM 有怎样的关系？请直接写出猜想.(1) 求证：四边形 (2) 若/ B=30°, AECF 是菱形;求菱形AECF 面积.。

第II 卷（非选择题）一、解答题（题型注释）1．如图.在平面直角坐标系中.正方形OABC 的边长为a ．直线y=bx+c 交x 轴于E.交y 轴于F.且a 、b 、c 分别满足-(a-4)2≥0.228c b b =-+-+（1）求直线y=bx+c 的解析式并直接写出正方形OABC 的对角线的交点D 的坐标；（2）直线y=bx+c 沿x 轴正方向以每秒移动1个单位长度的速度平移.设平移的时间为t 秒.问是否存在t 的值.使直线EF 平分正方形OABC 的面积？若存在.请求出t 的值；若不存在.请说明理由； 点P 为正方形OABC 的对角线AC 上的动点（端点A 、C 除外）.PM ⊥PO.交直线AB 于M.求PCBM的值2．如图.矩形OABC 摆放在平面直角坐标系xOy 中.点A 在x 轴上.点C 在y 轴上.OA=3.OC=2.P 是BC 边上一点且不与B 重合.连结AP.过点P 作∠CPD=∠APB.交x 轴于点D.交y 轴于点E.过点E 作EF ∥AP 交x 轴于点F ． （1）若△APD 为等腰直角三角形.求点P 的坐标；（2）若以A.P.E.F 为顶点的四边形是平行四边形.求直线PE 的解析式．3．把一个含45°角的直角三角板BEF 和一个正方形ABCD 摆放在一起.使三角板的直角顶点和正方形的顶点B 重合.联结DF.点M.N 分别为DF.EF 的中点.联结MA.MN ．（1）如图1.点E.F 分别在正方形的边CB.AB 上.请判断MA.MN 的数量关系和位置关系.直接 写出结论；（2）如图2.点E.F 分别在正方形的边CB.AB 的延长线上.其他条件不变.那么你在（1）中得到的两个结论还成立吗？若成立.请加以证明；若不成立.请说明理由．BFNME CDA FCBEMNAD图1 图24．如图.已知正方形ABCD.AC 、BD 相交于点O.E 为AC 上一点.AH ⊥EB 交EB 于点H.AH 交BD 于点F ． （1）若点E 在图1的位置.判断OE 与OF 的数量关系.并证明你的结论；（2）若点E 在AC 的延长线上.请在图2中按题目要求补全图形.判断OE 与OF 的数量关系.并证明你的结论．5．已知一个矩形纸片OACB.将该纸片放置在平面直角坐标系中.点A （11.0）.点B （0.6）.点P 为BC 边上的动点（点P 不与点B 、C 重合）.经过点O 、P 折叠该纸片.得点B′和折痕OP ．设BP=t ．（Ⅰ）如图①.当∠BOP=30°时.求点P 的坐标；（Ⅱ）如图②.经过点P 再次折叠纸片.使点C 落在直线PB′上.得点C′和折痕PQ.若AQ=m.试用含有t 的式子表示m ；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下.当点C′恰好落在边OA 上时.求点P 的坐标（直接写出结果即可）． 6．阅读下列材料：已知：如图1.在Rt △ABC 中.∠C=90°.AC=4.BC=3.P 为AC 边上的一动点.以PB.PA 为边构造□APBQ .求对角线PQ 的最小值及此时APAC的值是多少．在解决这个问题时.小明联想到在学习平行线间的距离时所了解的知识：端点分别在两条平行线上的所有线段中.垂直于平行线的线段最短．进而.小明构造出了如图2的辅助线.并求得PQ的最小值为3．参考小明的做法.解决以下问题：（1）继续完成阅读材料中的问题：当PQ的长度最小时.APAC= ；（2）如图3.延长PA到点E.使AE=nPA（n为大于0的常数）．以PE.PB为边作□PBQE.那么对角线PQ的最小值为.此时APAC= ；（3）如图4.如果P为AB边上的一动点.延长PA到点E.使AE=nPA（n为大于0的常数）.以PE.PC为边作□PCQE.那么对角线PQ的最小值为.此时APAC= ．7．在图1、图2、图3、图4中.点P在线段BC上移动（不与B、C重合）.M在BC的延长线上．（1）如图1.△ABC和△APE均为正三角形.连接CE．①求证：△ABP≌△ACE．②∠ECM的度数为°．（2）①如图2.若四边形ABCD和四边形APEF均为正方形.连接CE．则∠ECM的度数为°．②如图3.若五边形ABCDF和五边形APEGH均为正五边形.连接CE．则∠ECM的度数为°．（3）如图4.n边形ABC…和n边形APE…均为正n边形.连接CE.请你探索并猜想∠ECM的度数与正多边形边数n 的数量关系（用含n的式子表示∠ECM的度数）.并利用图4（放大后的局部图形）证明你的结论．8．已知O是坐标原点.点A的坐标是（5.0）.点B是y轴正半轴上一动点.以OB.OA为边作矩形OBCA.点E.H分别在边BC和边OA上.将△BOE沿着OE对折.使点B落在OC上的F点处.将△ACH沿着CH对折.使点A落在OC上的G 点处。

《特殊平行四边形》典例点拨矩形、菱形、正方形是特殊的平行四边形，它是初中数学的一个重要内容，由于矩形、菱形、正方形之间既有自己独特的性质，又存在密切的联系，因此倍受各地命题者的青睐，为了能帮助同学们解决学习时的困惑，本文将结合例题加以分析．一、开放型问题例1、当时，平行四边形ABCD是矩形；当时，平行四边形ABCD 是菱形（填上一个条件即可）．解：根据矩形的判定定理，当AC=BD或∠A=900（或其它三个内角为900）时，平行四边形ABCD是矩形；根据菱形的判定定理，当AB=BC（或其它一组邻边相等）或AC⊥BD 时，平行四边形ABCD是菱形．点拨：本题考查的是在已知平行四边形的条件下，判定矩形和菱形应满足的条件，解答时，应注意从矩形和菱形的不同性质作为出发点．例2、已知：如图，矩形ABCD中，O是AC与BD的交点，过O点的直线EF与AB、CD的延长线分别交于E、F，（1）求证：△BOE≌△DOF（2）当EF与AC满足什么条件时，四边形AECF是菱形？试写出证明过程．解：（1）略；（2）由（1）AE∥CF，AE=CF可证得四边形AECF是平行四边形，当EF⊥AC时，四边形AECF是菱形，点拨：解题时，应从对角线为出发点，考虑证明四边形AECF是菱形时，必须满足的条件．二、探索型问题例3、如图，在△ABC中，∠ACB=900，BC的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，F在DE上，并且AF=CE（1）求证：四边形ACEF是平行四边形；（2）当∠B的大小满足什么条件时，四边形ACEF是菱形，请回答并证明你的结论；（3）四边形ACEF 有可能是正方形吗？试说明理由．解：（1）由△AEF ≌△EAC ，得AF=CE ，又因为AF=CE ，所以四边形ACEF 是平行四边形；（2）当∠B=300，四边形ACEF 是菱形．在△ABC 中，∠ACB=900，∠B=300，可得AC=21AB ，由题意可知CE=21AB ，从而AC=CE ，所以四边形ACEF 是菱形；（3）四边形ACEF 不可能是正方形，由题意知E 是AB 的中点，从而CE 在△ABC 内部，所以∠ACE<∠ACB=900，所以四边形ACEF 不可能是正方形．点拨：（1）略；（2）可由结论出发，推出四边形ACEF 是菱形时，∠B 应满足的度数；（3）应先假设结论成立，通过分析推理得出，它与题中已知条件相矛盾．例4、如图，四边形ABCD 中，AC=6，BD=8，且AC ⊥BD ，顺次连接四边形各边的中点，得到四边形A 1B 1C 1D 1，再顺次连接四边形A 1B 1C 1D 1各边的中点，得到四边形A 2B 2C 2D 2……如此进行下去得到四边形A nB nC nD n ．（1）求证：四边形A 1B 1C 1D 1是矩形；（2）试说出该图形的变化规律，并求出四边形A 1B 1C 1D 1和四边形A 2B 2C 2D 2的面积．解：（1）由三角形中位线定理和AC ⊥BD ，得四边形A 1B 1C 1D 1是矩形；（2）它们的图形变化规律依次矩形、菱形、矩形、菱形、……，四边形A 1B 1C 1D 1和四边形A 2B 2C 2D 2的面积分别是12和6．点拨：（1）由矩形的判定定理来证明；（2）根据题中所给的条件结合判定依次进行证明即可．。