系泊系统的设计与建模2016

系泊系统的设计:系泊系统数学建模系泊系统的设计摘要本文对系泊系统的设计问题进行了分析，给出合理的假设，建立优化模型，巧妙地解决了题目中所提出的问题。

针对问题一，首先采用集中质量的多边形近似法对单点系泊系统进行静力学分析，结合单点浮标系统特性，建立单点浮标的静力学模型，并对其算法进行改进，使算法能够迭代修正浮标受到的浮力。

其次通过适当的假设列出平衡方程并求解，得出锚链各节点处张力的递推公式，利用MATLAB软件迭代验证，最后得到了较为准确的结果。

针对问题二，基于问题一建立的模型，得出在题设条件下，浮标系统已不处于最优工作状态，须通过改变重物球来对系统进行调节。

计算出临界条件下重物球的质量，利用MATLAB 拟合得到的重物球重力与钢桶倾斜角度之间的关系曲线，得出对重物球进行调整的范围。

针对问题三，首先求得极端环境条件下钢桶倾角仍满足约束条件时候的重物球质量，然后通过合理的假设，在问题一建立的模型基础上，改变算法的迭代约束条件，从而得出不同情况下钢桶、钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度和游动区域。

关键词：系泊系统；集中质量的多边形近似法；MATLAB；迭代一、问题的重述1.1问题的背景随着各国不断加大对海洋事业的投入以及不断深入对海底观测领域的探索，各海洋研究机构和海洋管理部门都相继建立了符合自身业务需求的海洋观测系统，其中浮标系统、系泊系统和水声通讯系统组成了近浅海观测网的传输节点。

而影响其系泊系统工作效果的因素很多，例如水流力、海风和水深等。

系泊系统的设计问题就是根据这些影响因素确定锚链的型号、长度和重物球的质量，使得系泊系统处于最佳工作状态。

从国家海洋资源战略角度来讲，研究各因素对系泊系统的不同影响显得尤为重要。

1.2问题的提出问题一：将该型传输节点布放在水深18m、海床平坦、海水密度为1.025×103kg/m3的静止海域时，选用II型电焊锚链22.05m，质量为1200kg的重物球，分别计算海面风速为12m/s和24m/s时钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度和游动区域。

系泊系统的设计数学建模以系泊系统的设计数学建模为标题，我们来探讨一下该系统的数学建模方法。

系泊系统是指将船只或其他浮动物体固定在水中的一种装置。

在设计系泊系统时，需要考虑到多种因素，如风、波浪、潮流等。

为了确保系泊系统的安全性和稳定性，需要进行数学建模，以便分析和预测系统的行为。

我们可以考虑船只与锚之间的力学关系。

船只受到来自风、波浪和潮流等外力的作用，而锚通过拉力将船只固定在水中。

我们可以使用牛顿第二定律来描述船只的运动状态。

假设船只的质量为m，加速度为a，外力的合力为F，那么可以得到以下公式：F = ma。

接下来，我们需要考虑锚链的力学特性。

锚链是连接船只和锚的重要部分，它承受着船只在水中的运动引起的张力。

我们可以使用弹簧模型来描述锚链的特性。

假设锚链的弹性系数为k，长度为l，弹性形变为x，那么可以得到以下公式：F = kx。

除了船只和锚链的力学特性，我们还需要考虑水流的影响。

水流会给船只和锚链施加额外的力，从而影响系统的稳定性。

我们可以使用流体力学的知识来描述水流的特性。

假设水流的速度为v，密度为ρ，船只的受力面积为A，那么可以得到以下公式：F = ρAv。

在数学建模中，我们还需要考虑到船只的姿态稳定性。

船只在水中的姿态受到风、波浪和潮流等因素的影响，如果船只的姿态不稳定，就会导致系泊系统的不稳定。

我们可以使用刚体力学的知识来描述船只的姿态稳定性。

假设船只的质量矩阵为I，角加速度为α，扭矩为τ，那么可以得到以下公式：τ = Iα。

我们还需要考虑到船只与锚链之间的相互作用。

船只的运动会引起锚链的张力变化，而锚链的形变又会对船只的运动产生影响。

我们可以使用动力学的知识来描述船只和锚链之间的相互作用。

假设船只和锚链之间的相互作用力为F，船只的加速度为a，锚链的弹性形变为x，那么可以得到以下公式：F = ma = kx。

通过以上的数学建模，我们可以对系泊系统的行为进行分析和预测。

我们可以通过求解上述公式，得到船只、锚链和水流之间的关系，并进一步优化系统的设计，以提高系统的安全性和稳定性。

系泊系统的设计摘要对于问题一，建立模型一，已知题目给出的锚链长度与其单位长度的质量，得到悬链共210环。

对各节锚链，钢桶，四节钢管受力分析得出静力平衡方程，使用分段外推法，可以得到静力平衡下的迭代方程。

其中锚对锚链的拉力大小方向为输入变量，迭代的输出变量为浮标的位置和对钢管的拉力，在给定的风速下，输入和输出满足关系2)2(25.1cos 水v h T -=α，αθcos cos 11T T =，通过多层搜索算法得出最符合的输入输出值，即可得到给定风速下浮标的吃水深度，浮标拉力、锚链与海床夹角。

利用MATLAB 软件编程求解模型得到：风力12m/s 时，钢桶与竖直方向上的角度1.9863度，从下往上四节钢管与竖直方向夹角为1.9652度、1.9592度、1.9532度、1.9472度，浮标吃水0.7173m ，以锚为圆心浮标的游动区域16.5125m ，锚链末端切线与海床的夹角3.8268度。

风力24m/s 时，锚链形状，钢桶与竖直方向上的夹角3.9835度，从下往上四节钢管与竖直方向夹角为3.9420度、3.9301度、3.9183度、3.9066度，浮标吃水0.7244m ，以锚为圆心浮标的游动区域18.3175m 。

锚链末端切线与海床夹角15.9175度。

对于问题二的第一小问，使用模型一求解，当风速36m/s 时，锚链末端切线与海床夹角26.3339度，浮标吃水0.7482m ，浮标游动区域为以锚为圆心半径为18.9578m 的圆形区域，从下往上四节钢管与竖直方向倾斜角度为8.4463度、8.4225度、8.3989度、8.3753度，钢桶与竖直方向倾斜角度为8.5294度。

为满足问题二的要求，在模型一的基础上把重物球质量作为变量，建立模型二，将钢桶倾斜角小于5度和锚链前端夹角小于16度当做两个约束条件，通过MATLAB 编程求解得到满足约束条件要求的重物球质量取值范围为3700kg 到5320kg 。

2016年数学建模竞赛A题优秀论文基于力学分析的系泊系统设计摘要关于系泊系统的设计问题，需要对稳态下的各个物体进行受力分析和力矩分析，建立力学分析模型来求解问题。

针对问题1，先对稳态下的各个物体进行受力分析和力矩分析，建立满足受力平衡和力矩平衡的力学模型。

再以浮标的吃水深度为搜索变量，采用二分法，计算海水深度为18m时所对应的吃水深度和各物体的倾角。

利用MATLAB软件求解可得，风速为12m/s时，钢桶与竖直方向的夹角为1.2319°，钢管与竖直方向的夹角依次为1.2064°,1.2064°,1.2148°,1.2233°。

浮标的吃水深度和游动半径分别为0.6715m,14.6552m。

风速为24m/s时，钢桶夹角为4.6763°，钢管夹角依次为4.5360°,4.5836°,4.6141°,4.6450°；浮标的吃水深度和游动半径分别为0.6857m，17.7614m。

针对问题2，可利用问题1中建立的数学模型，利用MATLAB进行求解，可得风速为36m/s时，钢桶夹角9.6592°；钢管夹角依次为9.4814°，9.4814°，9.5399°，9.5992°；浮标的吃水深度和游动半径分别为0.7086m，18.4906m；最后一节锚链与水平面的夹角为20.9997°故以钢桶夹角小于5°和锚链夹角小于16°为约束条件，逐步增加重物球的质量，采用二分法向水深18m进行逼近。

当重物球的质量为2280kg时，浮标的吃水深度为0.9848m；钢桶夹角为4.4737°；锚链夹角为15.9748°；为使通讯设备的工作效果增强，重物球的质量可以在2280kg的基础上进行适当增加。

针对问题3，可在问题1的受力分析时加入水流力的作用，以最大风速36m/s，最大水流速度1.5m/s为设计指标，通过控制单一变量的方式可确定链条的型号为Ⅴ型的电焊锚链。

赛区评阅编号（由赛区组委会填写）：2016年高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）。

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我们参赛选择的题号（从A/B/C/D中选择一项填写）：我们的报名参赛队号（12位数字全国统一编号）：参赛学校（完整的学校全称，不含院系名）：参赛队员(打印并签名) ：1.2.3.指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：（指导教师签名意味着对参赛队的行为和论文的真实性负责）日期：年月日（请勿改动此页内容和格式。

此承诺书打印签名后作为纸质论文的封面，注意电子版论文中不得出现此页。

以上内容请仔细核对，如填写错误，论文可能被取消评奖资格。

）赛区评阅编号（由赛区组委会填写）：2016年高教社杯全国大学生数学建模竞赛编号专用页送全国评阅统一编号（赛区组委会填写）：全国评阅随机编号（全国组委会填写）：（请勿改动此页内容和格式。

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注意电子版论文中不得出现此页。

）系泊系统的设计和探究摘要本文利用牛顿力学定律，力矩平衡原理、非线性规划、循环遍历法等方法对系泊系统进行了设计与探究。

系泊系统的设计摘要：系泊系统不论是在船舶航行，还是在海洋资源的综合利用与开发中，均得到了广泛应用，因而，系泊系统的设计问题十分具有现代意义。

本文隔离系统各组成部分，逐一进行受力分析和力矩分析，构造相应的刚体力学方程组，并根据海水深度联系各参数最终建立系泊系统状态模型。

关键词：系泊系统状态模型；受力平衡；力矩平衡0引言当海面风速一定且海水静止时，系泊系统的状态，即钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度和游动区域与系泊系统各部分之间的受力平衡和力矩平衡以及海水深度的约束密切相关。

因此，可以隔离该系统的各组成部分，逐一进行力学分析，并最终根据海水深度，联系各参数建立系泊系统状态模型。

具体数值参考2016年高教社杯全国大学生数学建模竞赛A题。

系泊系统可分为浮标、钢管、钢桶和重物球、锚链四个部分，由题中锚链长度和型号计算得锚链共有210个链环，为了方便表述，对系统内部由上到下的构件进行标记：表1 各构件编号1力学方程与模型的建立1.1对浮标的力学分析[1]漂浮在水面上的浮标，受到来自水平方向的风力、海水对它的浮力、其余组件对它作用力以及自身的重力，与夹角为。

已知浮标的高为，质量为，直径为，海水的密度为，设浮标的吃水深度为，根据重力、浮力公式，以及近海风荷载的近似计算公式，可得。

此时，浮标受到速度为的海风作用在海面上达到平衡，受力分解后，其在水平方向和垂直方向的受力均平衡。

于是整理可得关于浮标的完整的刚性力学方程组[2]。

其中，其在竖直面的投影高度即为浮标的吃水深度。

1.2对钢管的力学分析没入水中的钢管，由于海水静止，因此忽略水流力水平方向的作用。

以与浮标相接的第一节钢管为例，其受到浮标对它的反作用力、其余组件对它的作用力、海水对它的浮力以及自身的重力。

为保持力矩平衡，钢管不发生旋转的现象，浮标对它的反作用力应相对于它的中心轴更偏向竖直方向。

此时有相对于竖直方向的夹角与和的夹角相等，即：，根据牛顿第三定律：。

模型假设假设所有的材料都是普通钢材，，普通钢材的密度直接按照铁的密度计算，即所有材料密度为7.9×103kg/m3。

问题分析问题总分析：本题最关键的就是讨论出系泊系统中各个参数之间的关系。

我们把系泊系统中的锚链、钢管和钢桶的每一段，都看作是一条理想的杆，再对每一段杆进行受力分析，通过对每根杆分析受力平衡和力矩平衡，得出递推关系，建立差分方程；再利用二分法确定差分方程的初值，从而解出每段杆各个参数的值。

问题一的分析：先对每段理想的杆进行受力分析，和力矩平衡分析，得到拉力以及夹角的差分递推关系，得T的大小和方向，就能计算得到整个系泊系统的状态。

再知只要知道第一根杆受到的拉力1分析第一根理想杆即浮标的受力情况，得知它受到的拉力又由浮标吃水深度f决定，最后利用二分法确定f，从而得到整个系泊系统的状态。

问题二的分析：在问题一的假设上，风速变为36m/s，利用同样的方法求解，求得海面风速为36m/s时钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚链形状和浮标的游动区域。

为使得钢桶的倾斜角度不超过5度，锚链在锚点与海床的夹角不超过16度，我们从1200逐步增加重物球的重量，观察两个角度的大小变化，得到重物球质量的下限；接着再考虑浮标的吃水深度问题，因浮标不能完全浸入水中，计算得到重物球的质量的上限。

问题三的分析：要考虑风力、水流力和水深情况下的系泊系统设计，就是要确定锚链的型号、长度和重物球的质量，使得浮标的吃水深度和游动区域及钢桶的倾斜角度尽可能小。

为了确定锚链的型号，先分析在极端情况，即水深20m，海水速度为1.5m/s，风速36m/s的情况下的锚链在锚点与海床的夹角为16度附近需要锚链长度较短的锚链。

再以这个最短锚链长度为例，求对应的重物球质量范围，使得锚链在锚点与海床的夹角不超过16度，钢桶的倾斜角度不超过5度，并使得浮标不能完全浸没在水中。

最后给出一个特定取值状态下系泊系统的状态。

符号说明模型建立与求解模型准备：对第i根杆的受力进行分析，如图1：图1将受力分析图简化成图2：图2i B F 为第i 根杆受到的重力i G 和浮力i B 的合力，定义竖直向上的方向为正方向，则i B F 为负值。