《离散数学》期末复习大纲（完整版）（含例题和考试说明）
一、命题逻辑
[复习知识点]
1、命题与联结词（否定￢、析取∨、合取∧、蕴涵→、等价↔），复合命题
2、命题公式与赋值（成真、成假），真值表，公式类型（重言、矛盾、可满足），公式的基本等值式
3、范式：析取范式、合取范式，极大（小）项，主析取范式、主合取范式
4、公式类型的判别方法（真值表法、等值演算法、主析取/合取范式法）
5、命题逻辑的推理理论
本章重点内容：命题与联结词、公式与解释、（主）析取范式与（主）合取范式、公式类型的判定、命题逻辑的推理
[复习要求]
1、理解命题的概念；了解命题联结词的概念；理解用联结词产生复合命题的方法。
2、理解公式与赋值的概念；掌握求给定公式真值表的方法，用基本等值式化简其它公式，公式在解释下的真值。
3、了解析取（合取）范式的概念；理解极大（小）项的概念和主析取（合取）范式的概念；掌握用基本等值式或真值表将公式化为主析取（合取）范式的方法。
4、掌握利用真值表、等值演算法和主析取/合取范式的唯一性判别公式类型和公式等价方法。
5、掌握命题逻辑的推理理论。
[疑难解析]
1、公式类型的判定
判定公式的类型，包括判定公式是重言的、矛盾的或是可满足的。具体方法有两种，一是真值表法，二是等值演算法。
2、范式
求范式，包括求析取范式、合取范式、主析取范式和主合取范式。关键有两点：一是准确理解掌握定义；另一是巧妙使用基本等值式中的分配律、同一律和互补律（排中律、矛盾律），结果的前一步适当使用幂等律，使相同的短语（或子句）只保留一个。
3、逻辑推理
掌握逻辑推理时，要理解并掌握12个（除第10，11）推理规则和3种证明法（直接证明法、附加前提证明法和归谬法）。
例1.试求下列公式的主析取范式：
（1）))()((P Q Q P P ⌝∨⌝⌝∧→→；（2）)))((R Q Q P P →⌝∨→⌝∨
（))()(())()((:)1P Q Q P Q P P P Q Q P P ∧∧∨∧∧⌝∨⌝=∧∧∨⌝∨⌝=原式
解 Q P P P Q P P Q P ∨⌝=∨⌝∧∨⌝=∧∨⌝=)()()(
))(())((Q P P Q Q P ∧∨⌝∨∨⌝∧⌝=
)()()(Q P Q P Q P ∧∨∧⌝∨⌝∧⌝=
)))((()))(((:)2R Q Q P P R Q Q P P ∨∨∨∨=→⌝∨→⌝∨解
)()()()(R Q P R Q P R Q P R Q P R Q P ∧⌝∧∨∧∧⌝∨⌝∧∧⌝∨∧⌝∧⌝=∨∨=
)()()(R Q P R Q P R Q P ∧∧∨⌝∧∧∨⌝∧⌝∧∨）
2．用真值表判断下列公式是恒真？恒假？可满足？
（1）（P ∧⌝P ）↔Q
（2）⌝（P →Q ）∧Q
（3）（（P →Q ）∧（Q →R ））→（P →R ）
解：
（1） 真值表
因此公式（1）为可满足。
（2） 真值表
因此公式（2）为恒假。
（3） 真值表
因此公式（3）为恒真。
3．┐Q ∧（P →Q ）蕴涵 ┐P 法1：真值表法2：若┐Q ∧（P →Q ）为真，则 ┐Q ，P →Q 为真，
所以Q 为假，P 为假，所以┐P 为真。
法3：若┐P 为假，则P 为真，再分二种情况：
①若Q 为真，则┐QÙ（P →Q ）为假
②若Q 为假，则P →Q 为假，则┐Q ∧（P →Q ）为假
根据① ②，所以 ┐Q ∧（P →Q ）蕴涵 ┐P 。）
4．利用基本等价式证明下列命题公式为恒真公式。
（（P →Q ）∧（Q →R ））→（P →R ）
（（P ∨Q ）∧⌝（⌝P ∧（⌝Q ∨⌝R ）））∨（⌝P ∧⌝Q ）∨（⌝P ∧⌝R ）
（1、证明：
（（P →Q ）∧（Q →R ））→（P →R ）
=（（⌝P ∨Q ）∧（⌝Q ∨R ））→（⌝P ∨R ）
=⌝（（⌝P ∨Q ）∧（⌝Q ∨R ））∨（⌝P ∨R ）
=（P ∧⌝Q ）∨（Q ∧⌝R ）∨⌝P ∨R
=（（P ∧⌝Q ）∨⌝P ）∨（（Q ∧⌝R ）∨R ）
=（1∧（⌝Q ∨⌝P ））∨（（Q ∨R ）∧1）
= ⌝Q ∨⌝P ∨Q ∨R
=（⌝Q ∨Q ） ∨⌝P ∨R
= 1 ∨⌝P ∨R
= 1
（（P ∨Q ）∧⌝（⌝P ∧（⌝Q ∨⌝R ）））∨（⌝P ∧⌝Q ）∨（⌝P ∧⌝R ）
=（（P ∨Q ）∧（P ∨（Q ∧R ）））∨（⌝P ∧（⌝Q ∨⌝R ））
=（P ∨（Q ∧ Q ∧R ））∨（⌝P ∧（⌝Q ∨⌝R ））
=（P ∨（Q ∧R ））∨⌝（P ∨（Q ∧R ））
=1）
5．用形式演绎法证明：{S R R Q Q P →∨
⌝∨⌝,,}蕴涵S P → 证明：
（1）Q P ∨⌝ 规则P
（2）Q P → 规则Q （1）
（3）R Q ∨
⌝ 规则P （4）R Q → 规则Q （3）
（5）R P → 规则Q （2）
（4） （6）R →S 规则P
（7）P →S 规则Q （5）（6） )
6．用形式演绎法证明：（E F D D C B A →∨∧→∨)(),()蕴涵A E →
证明：(改()()(),()F D F D B A B A ∨∧∨∧为为)
（1）A 规则D
（2）A ∨B 规则Q （1）
（3）)()(D C B A ∧→∨ 规则P
（4）D C ∧ 规则Q （2）（3）
（5）D 规则Q （4）
（6）F D ∨ 规则Q （5）
（7）E F D →∨)( 规则P
（8）E
规则Q （6）（7） （9）E A → 规则Q （1）
（8）） 7．┐（P ∧┐Q ），┐Q ∨R ，┐R 蕴涵 ┐P
（1）┐Q ∨R
（2）┐R
（3）┐Q
（4）┐（P ∧┐Q ）
（5）┐P ∨Q （6）┐P ）
8．某案涉及甲、乙、丙、丁四个，根据已有线索，已知：
（1）
若甲、乙均未作案，则丙、丁也均未作案； （2）
若丙、丁均未作案，则甲、乙也均未作案； （3）
若甲与乙同时作案，则丙与丁有一人且只有一人作案； （4） 若乙与丙同时作案，则甲与丁同时作案或同未作案。 办案人员由此得出结论：甲是作案者。这个结论是否正确？为什么？
解：对问题中的四个简单命题用P1，P2，P3，P4分别表示甲，乙，丙，丁作案，则办案人员的推理如下： 前提：
1) ⌝P1∧⌝P2→⌝P3∧⌝P4
2) ⌝P3∧⌝P4→⌝P1∧⌝P2
3) P1∧P2→(⌝P3∧P4)∨(P3∧⌝P4)
4) P3∧P4→(⌝P1∧⌝P2)∨(P1∧P2)
结论：P1。
(⌝P1∧⌝P2→⌝P3∧⌝P4)
∧ (⌝P3∧⌝P4→⌝P1∧⌝P2) ∧ ( P1∧P2→(⌝P3∧P4)∨(P3∧⌝P4)) ∧ ( P3∧P4→(⌝P1∧⌝P2)∨(P1∧P2)) → P1
不是永真式，比如：
P1取假，P2取真，P3取假，P4取真时，上式为假
