中考数学重高生培优复习讲义：(第15讲)三角形全等与相似

第15讲 等腰三角形与直角三角形1．掌握等腰三角形的概念、性质与条件；理解等腰三角形的性质及判定．2．了解直角三角形的概念，会应用直角三角形的性质及判定定理．3．掌握勾股定理及其判定并能熟练运用．4．掌握等边三角形、等腰直角三角形等特殊三角形的特殊性质，能在复杂的几何图形中找到或构造特殊的三角形，能结合方程思想和分类讨论等重要的数学思想方法进行几何计算．1．应用等腰三角形和直角三角形的判定与性质等证明是重点题型，这类证明一般以全等三角形的判定为中心内容，因此证明三角形全等的思路和方法一定要练熟，并掌握一定的技巧．等边三角形、等腰直角三角形这类非常特殊的三角形有很多性质，对这类图形要理解透彻．2．应用勾股定理要注意与其他知识和生活实际相联系．3．等腰三角形和直角三角形的判定与性质是几何证明的基础知识，是中考的热点，除了以选择题、填空题来考查一些基本定理外，往往在证明题、开放探索题、综合题中大量用到这些知识，勾股定理在几何图形的计算和实际问题中的应用极为广泛，是中考必考内容．本讲内容与生活实际联系密切，近几年中考题中以三角形为背景的应用题出现的频率也越来越高．例1 【北京】如图，在△ABC 中，BD A AC AB ,36, =∠=平分∠ABC 交AC 于点D.求证：.BC AD =【方法归纳】本题主要考查等腰三角形的性质和判定，掌握等边对等角和等角对等边是解题的关键，注意三角形内角和定理的应用，【误区提醒】等腰三角形中，已知一个角的度数就可以求出另两个角的度数，但如果给定的角没有指明是顶角还是底角，就需要分类讨论，等腰三角形按边或角分类是非常常见的分类，例2 如图1，在△ABC 中，,15,90o A ACB =∠=∠ D 是边AB 的中点，AB DE ⊥交AC 于点E ，连接CD.(1)求∠CDE 的度数．(2)求CE ：AE.图1【方法归纳】本题考查直角三角形斜边上中线的性质、线段垂直平分线的性质、解直角三角形等知识点，能综合运用知识点进行推理是解本题的关键，【误区提醒】含有30。

相似三角形基本知识知识点一：放缩与相似形1. 图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动。

2. 把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者就说是相似性注意：⑴相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、颜色、大小无关。

⑵相似图形不仅仅指平面图形，也包括立体图形相似的情况。

⑶我们可以这样理解相似两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩到的．⑷若两个图形形状与大小都相同，这时是相似图形的一种特例——全等形．3. 相似多边形的性质：如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例。

注意：当两个相似的多边形是全等形时，他们的对应边的长度的比值是 1.知识点二：比例线段有关概念及性质（1）有关概念1、比：选用同一长度单位量得两条线段。

a、 b 的长度分别是m、n，那么就说这两条线段am 的比是a：b＝m：n（或 b n ）2、比的前项，比的后项：两条线段的比a：b中。

a叫做比的前项，b叫做比的后项。

说明：求两条线段的比时，对这两条线段要用同一单位长度。

ac3、比例：两个比相等的式子叫做比例，如 b dac4、比例外项：在比例 b d（或a：b＝c：d）中a、d叫做比例外项。

ac5、比例内项：在比例 b d（或a：b＝c：d）中b、c 叫做比例内项。

ac6、第四比例项：在比例 b d（或a：b＝c：d）中， d 叫a、b、 c 的第四比例项。

ab7、比例中项：如果比例中两个比例内项相等，即比例为 b a（或a:b ＝b:c 时，我们把b叫做 a 和 d 的比例中项。

8. 比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即 a c（或a：b=c：d），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线bd 段。

（注意：在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位）2）比例性质acad bc1. 基本性质 :bd（两外项的积等于两内项积）a cb d2. 反比性b d a c （ 把比的前项、后项交换 ）3.更比性质 （交换比例的内项或外项 ） ：a b，（交换内项 ） cdcd c，（交换外项 ） db a d b．（同时交换内外项 ） ca4.合比性质 ：a c abc d（分子加（减）分母 ,分母不变） b d b d注意 ：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间注意：（1） 此性质的证明运用了“设 k 法” ，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法． （2） 应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．（3） 可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成 立．AC1）定义：在线段 AB 上，点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和BC （AC>BC ），如果AB2）黄金分割的几何作图 ：已知：线段 AB.求作：点 C 使 C 是线段 AB 的黄金分割点发生同样和差变化比例仍成立．如：acbd5. 等比性质： 如果badc a ab c cd abcd分子分母分别相加，比值不变.）e m(b d f fnn 0） ，那么知识点三： 黄金分割BC ，AC，AB 被点 C 黄金分割，点 C 叫做线段 AB 的黄金分割2即 AC 2=AB ×BC ，那么称线段点，AC 与 AB 的比叫做黄金比。

中考专题复习----三角形一、知识系统图
二、主要内容
1、三角形中位线
2、三角形全等：全等的判定，全等变换
3、三角形相似：相似的判定方法，相似三角形的性质。

三、主要知识点、典型例题及解析及变式练习：
知识点1三角形中的中位线
连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

（1）三角形共有三条中位线，并且它们又重新构成一个新的三角形。

（2）要会区别三角形中线与中位线。

三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。

例1：如图，为测量位于一水塘旁的两点A、B 间的距离，在地面上确定点O，分别取OA、OB 的中点C、D，量得CD=20m，则A、B 之间的距离是m．三角形中位线
三角形中位线概念
三角形全等三角形全等的概念三角形一般三角形（AAS、SAS、ASA、S
直角三角形相似的判定方法
相似三角形的性质
三角形中位线性质
三角形相似的判定方法
三角形相似全等变换
三角形全等的判定
直角三角形（HL）。

相似三角形知识点总结1.比例线段的有关概念：在比例式a = c（a：b = c：d）中，a、d叫外项，b、c叫内项，a、c叫前项，b db、d叫后项，d叫第四比例项，如果b=c，那么b叫做a、d的比例中项。

把线段AB分成两条线段AC和BC,使AC2:AB-BC,叫做把线段AB黄金分割，C叫做线段AB的黄金分割点。

2.比例性质：①基本性质：a = c O ad = bc②合比性质：a = c n a±b = 3 b d b d b da c m a + c + •一+ m a= =…=一(b + d + …+ n 丰 0) n =—③等比性质:b d n b + d + …+ n b3.平行线分线段成比例定理：①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：L〃12〃］。

AB DE AB DE BC EF贝U = , = , = ，・…BC EF AC DF AC DF②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。

③定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。

4.相似三角形的判定：①两角对应相等，两个三角形相似②两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似③三边对应成比例，两三角形相似④如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角形相似⑤平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似⑥直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似5.相似三角形的性质①相似三角形的对应角相等②相似三角形的对应边成比例③相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比④相似三角形周长的比等于相似比⑤相似三角形面积的比等于相似比的平方中考试题分类汇编——相似三角形1、（2013•新疆）如图，Rt A ABC 中，N ACB=90°, N ABC=60°, BC=2cm, D 为BC 的中点，若动点 E 以1cm/s 的速度从A点出发，沿着A f B O A的方向运动，设E点的运动时间为t秒（0镇＜6）,连接口£,当4 BDE 是直角三角形时，t的值为（）A. 2B. 2.5 或3.5C. 3.5 或4.5D. 2 或3.5 或4.52、（2013•新疆）如图，△ABC 中，DE II BC, DE=1, AD=2, DB=3,贝U BC 的长是（）3、（2013•内江）如图，在-ABCD 中，E 为CD 上一点，连接AE、BD,且AE、BD 交于点F, S△ DEF：S△ ABF=4：25,贝U DE：EC=（）A. 2：5B. 2：3C. 3：5D. 3：24、（2013•自贡）如图，在平行四边形ABCD中，AB=6, AD=9, N BAD的平分线交BC于E,交DC的延长线于F, BG±AE 于G, BG=4：2U4 EFC 的周长为（）D. 8A.11B.10C.95、（2013•雅安）如图，在"ABCD 中，E 在AB 上，CE、BD 交于F,若AE：BE=4：3,且BF=2,则DF= A D6、(2013•雅安)如图，DE是^ ABC的中位线，延长DE至F使EF=DE,连接CF,则S^ CEF：S四边形C ED的值为( )A. 1：3B. 2：3C. 1：4D. 2：57、(2013•宜昌)如图，点A, B, C, D 的坐标分别是(1, 7), (1, 1), (4, 1), (6, 1),以C, D, E 为顶点的三角形与△ ABC相似，则点E的坐标不可能是( )-A.(6,0)B.(6,3)C.(6,5)D.(4,2)8、(9-2图形的相似• 2013东营中考)如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8,另一个与它相似的直角三角形边长分别是3、4及%，那么%的值( )A.只有1个B,可以有2个C.可以有3个D.有无数个9、(2013•鄂州)如图，R3 ABC 中，N A=90°, AD±BC 于点D,若BD：CD=3：2,则tanB=( )11、(2013哈尔滨)如图，在^ABC中，M、N分别是边AB、AC的中点，则4AMN的面积与四边形MBCN的面积比为().,、1 ,、1 ,、1 ,、2(A) (B) (C) (D)—2 3 4 312、（2013年河北）如图4,菱形ABCD中，点M, N在AC上，ME±AD, NF±AB.若NF = NM = 2, ME = 3, 则AN =A. 3B. 4C. 5D. 6使^ ABC- △ ACD.(只填一个即可)△15、(2013•巴中)如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，h为 __ .而且落在离网4米的位置上，则球拍击球的高度则河的宽度AB 等于18、（2013•眉山）如图，△ ABC 中，E 、F 分别是AB 、AC 上的两点，且当卷［，若△ AEF 的面积为2,则 EB r C 217、（13年北京4分）如图，为估算某河的宽度 在河对岸边选定一个目标点A ,在近岸取点B , C , D ,使得AB ±BC , CD X BC ,点E 在BC 上，并且点AE , D 在同一条直线上。

专题15 全等三角形阅读与思考两个几何图形的全等是指两个图形之间的一种关系，其中最基本的关系是两个图形的点的对应关系，以及对应边之间、对应角之间的相等关系．全等三角形是研究三角形、四边形等图形性质的主要工具，是解决有关线段、角等问题的一个出发点，证明线段相等、线段和差相等、角相等、两直线位置关系等问题总要直接或间接用到全等三角形，我们把这种应用全等三角形来解决问题的方法称为全等三角形法．我们实际遇到的图形，两个全等三角形并不重合在一起，而是处于各种不同的位置，但其中一个是由另一个经过平移、翻折、旋转等变换而成的．了解全等变换的这几种形式，有助于发现全等三角形、确定对应元素．善于在复杂的图形中发现、分解、构造基本的全等三角形是解题的关键，应熟悉涉及有关会共边、公共角的以下两类基本图形：例题与求解【例1】考查下列命题：①全等三角形的对应边上的中线、高、角平分线对应相等；②两边和其中一边上的中线（或第三边上的中线）对应相等的两个三角形全等；③两角和其中一角的角平分线（或第三角的角平分线）对应相等的两个三角形全等；④两边和其中一边上的高（或第三边上高）对应相等的两个三角形全等．其中正确命题的个数有（）A．4个B．3个C．2个D．1个（山东省竞赛试题）解题思路：真命题给出证明，假命题举出一个反例．【例2】如图，已知BD、CE是△ABC的高，点P在BD的延长线上，BP＝AC，点Q在CE上，CQ＝AB．求证：（1）AP＝AQ；（2）AP⊥AQ．（第十六届江苏省竞赛试题）解题思路：（1）证明对应的两个三角形全等；（2）证明∠PAQ ＝90°．【例3】如图，已知为AD 为△ABC 的中线，求证：AD ＜1()2AB AC ．（陕西省中考试题）解题思路：三角形三边关系定理是证明线段不等关系的基本工具，关键是设法将AB ，AC ，AD 集中到同一个三角形中，从构造2AD 入手．【例4】如图，已知AC ∥BD ，EA 、EB 分别平分∠CAB 、∠DBA ，CD 过点E ． 求证：AB ＝AC ＋BD ．（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：本例是线段和差问题的证明，截长法（或补短法）是证明这类问题的基本方法，即在AB 上截取AF ，使AF ＝AC ，以下只要证明FB ＝BD 即可，于是将问题转化为证明两线段相等．【例5】如图1，CD 是经过∠BCA 顶点C 的一条直线，CA ＝CB ，E ，F 分别是直线CD 上两点，且∠BECQABC DEOPABCDA BCDE＝∠CFA ＝∠α．（1）若直线CD 经过∠BCA 内部，且E ，F 在射线CD 上，请解决下面两个问题：①如图2，若∠BCA ＝90°，∠α＝90°，则BE ＿＿＿＿CF ，EF ＿＿＿＿BE AF -（填“＞”、“＜”或“＝”）；②如图3，若0°＜∠BCA ＜180°，请添加一个关于∠α与∠BCA 关系的条件＿＿＿＿，使①中的两个结论仍然成立，并证明这两个结论；（2）如图4，若直线CD 经过∠BCA 的外部，∠α＝∠BCA ，请提出EF ，BE 、AF 三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）．（台州市中考试题）解题思路：对于②，可用①进行逆推，寻找△BCE ≌△CAF 应满足的条件．对于（2）可用归纳类比方法提出猜想．【例6】如图，在四边形ABCD 中，∠ACB ＝∠BAD ＝105°，∠ABC ＝∠ADC ＝45°． 求证：CD ＝AB ．（天津市竞赛试题）解题思路：由已知易得∠CAB ＝30°，∠GAC ＝75°，∠DCA ＝60°，∠ACB ＋∠DAC ＝180°，由特殊度数可联想到特殊三角形、共线点等．BCDEFαα图1ABCDEF 图2 ABCE F图3D ABCDEF图4AB CD能力训练A 级1．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝40，AD 是∠BAC 的平分线交BC 于D ，且DC ︰DB ＝3︰5，则点D 到AB 的距离是＿＿＿＿．2．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，分别过B ，C 作经过点A 的直线的垂线BD ，CE ，若BD ＝3cm ，CE ＝4cm ，则DE ＝＿＿＿＿．3．如图，△ABE 和△ACF 分别是以△ABC 的边AB 、AC 为边的形外的等腰直角三角形，CE 和BF 相交于O ，则∠EOB ＝＿＿＿＿．4．如图，四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点E ，若AC 平分∠DAB ，且AB ＝AE ，AC ＝AD ．有如下四个结论：①AC ⊥BD ；②BC ＝DE ；③∠DBC ＝12∠DAB ；④△ABE 是等边三角形．请写出正确结论的序号＿＿＿＿．（把你认为正确结论的序号都填上）（天津市中考试题）5．如图，点E 在△ABC 外部，点D 在BC 边上，DE 交AC 于F ，若∠1＝∠2＝∠3，AC ＝AE ，则（ ） A ．△ABD ≌△AFD B ．△AFE ≌△ADC C ．△AFE ≌△DFCD ．△ABC ≌△ADE6．如图，△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，AD 平分∠CAB 交BC 于D ，DE ⊥AB 于E ．若AB ＝6cm ，则△DEB 的周长为（ ）A ．5cmB ．6cmC ．7cmD ．8cm7．如图，从下列四个条件：①BC ＝B 'C ；②AC ＝A ′C ；③∠A ′CA ＝∠B ′CB ；④AB ＝A ′B ′中，任取三个为题设，余下的一个为结论，则最多可以构成的正确命题的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个（北京市东城区中考试题）ABCD 第1题ADE第2题 ABC EFO第3题ABCDE第4题第5题ABCDE F321ABCD第6题ABCB 'A '第7题8．如图1，在锐角△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE交于F，且BF＝AC．（1）求证：ED平分∠FEC；（2）如图2，若△ABC中，∠C为钝角，其他条件不变，（1）中结论是否仍然成立？若不成立，请说明理由；若成立，请给予证明．9．在等腰Rt△AOB和等腰Rt△DOC中，∠AOB＝∠DOC＝90°，连AD，M为AD中点，连OM．（1）如图1，请写出OM与BC的关系，并说明理由；（2）将图1中的△COD旋转至图2的位置，其他条件不变，（1）中结论是否成立？请说明理由．10．如图，已知∠1＝∠2，EF⊥AD于P，交BC延长线于M．求证：∠M＝1()2ACB B∠-∠．（天津市竞赛试题）AB CDEF图1AB DEC图2A BCDMO图1A BCDMO图2ABCDEFMP2111．如图，已知△ABC 中，∠A ＝60°，BE ，CD 分别平分∠ABC ，∠ACB ，P 为BE ，CD 的交点． 求证：BD ＋CE ＝BC ．12．如图，已知点D 为等腰直角△ABC 内一点，∠CAD ＝∠CBD ＝15°，E 为AD 延长线上的一点，且CE ＝CA ．（1）求证：DE 平分∠BDC ；（2）若点M 在DE 上，且DC ＝DM ，求证：ME ＝BD ．（日照市中考试题）B 级1．在△ABC 中，高AD 和BE 交于H 点，且BH ＝AC ，则∠ABC ＝＿＿＿＿．（武汉市竞赛试题）2．在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，若AB ＝5，AC ＝3，则AD 的取值范围是＿＿＿＿．（“希望杯”竞赛试题）3．如图，在△ABC 中，AB ＞AC ，AD 是角平分线，P 是AD 上任意一点，在AB -AC 与BP -PC 两式中，较大的一个是＿＿＿＿．4．如图，已知AB ∥CD ，AC ∥DB ，AD 与BC 交于O ，AE ⊥BC 于E ，DF ⊥BC 于F ，那么图中全等的三角A BC DE PA BC 第2题DA BC PD第3题A BCD EFO 第4题第5题A BCDEF A形有（ ）A ．5对B ．6对C ．7对D ．8对5．如图，AD 是△ABC 的中线，E ，F 分别在AB ，AC 上，且DE ⊥DF ，则（ ） A ．BE ＋CF ＞EF B ．BE ＋CF ＝EFC ．BE ＋CF ＜EFD ．BE ＋CF 与的大小关系不确定（第十五届江苏省竞赛试题）6．如果两个三角形的两条边和其中一边上的高分别对应相等，那么这两个三角形的第三边所对的角（ ）A ．相等B ．不相等C ．互余D.互补或相等（北京市竞赛试题）7．如图，在△ABE 和△ACD 中，给出以下四个论断：①AB ＝AC ；②AD ＝AE ；③AM ＝AN ；④AD ⊥DC ，AE ⊥BE ．以其中三个论断为题设，填入下面的“已知”栏中，一个论断为结论，填入下面的“求证”栏中，使之组成一个真命题，并写出证明过程．已知：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． 求证：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．（荆州市中考试题）8．如图，在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，过C 作CE ⊥AB 于E ，并且AE ＝1()2AB AD ，求∠ABC＋∠ADC 的度数． （上海市竞赛试题）9．在四边形ABCD 中，已知AB ＝a ，AD ＝6，且BC ＝DC ，对角线AC 平分∠BAD ，问a 与b 的大小符合什么条件时，有∠B ＋∠D ＝180°，请画出图形并证明你的结论．（河北省竞赛试题）ABC DEM NABCDE10．如图，在△ABC 中，∠ABC ＝60°，AD ，CE ：分别平分∠BAC ，∠ACB ．求证：AC ＝AE ＋CD ．（武汉市选拔赛试题）11．如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AP ，CQ 分别平分∠BAC ，∠BCA ．AP 交CQ 于I ，连PQ ． 求证：IAC ACPQS S ∆四边形为定值．12．在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，直线MN 经过点C ，且AD 丄MN 于O ，BE ⊥MN 于E ． （1）当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时，求证：DE ＝AD ＋BE ； （2）当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，求证：DE ＝AD -BE ；（3）当直线MN 绕点C 旋转到图3的位置时，试问：DE ，AD ，BE 有怎样的等量关系？请写出这个等 量关系，并加以证明． （海口市中考试题）ABCDEMN图1ABCM N图3DEAB CMN图2DEQAB CIPA BCDEO13．CD 是经过∠BCA 顶点C 的一条直线，CA ＝CB ，E ，F 分别是直线CD 上两点，且∠BEC ＝∠CFA ＝∠α．（1）若直线CD 经过∠BCA 内部，且E ，F 在射线CD 上，请解决下面两个问题：①如图1，若∠BCA ＝90°，∠α＝90°，则BE ＿＿＿＿CF ，EF ＿＿＿＿BE AF -（填“＞”、“＜”或“＝”）；②如图2，若0°＜∠BCA ＜180°，请添加一个关于∠α与∠BCA 关系的条件＿＿＿＿，使①中的两个结论仍然成立，并证明这两个结论；（2）如图3，若直线CD 经过∠BCA 的外部，∠α＝∠BCA ，请提出EF ，BE 、AF 三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）．（台州市中考试题）A BCDE F 图1ABCE F图2DABCDEF图3。