新浙教版初二数学第六章_《反比例函数》各节知识点及典型例题

浙教版八年级下册数学第六章反比例函数含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、反比例函数，当x＜0时，y随x的增大而增大，则m的值是（）A.－1B.3C.－1或3D.22、如图，已知点 A 、B分别在反比例函数的图象上，且OA ⊥OB ，则的值为（）A. B.2 C. D.43、如图，直线y=x−2与双曲线y=(k>0)在第一象限内的交点为R，与x轴的交点为P，与y轴的交点为Q；作RM⊥x轴于点M，若△OPQ与△PRM的面积是4：1，则k等于( )A. B. C.2 D.34、下列各点中，在函数y=－的图象上的是( )A.（3，1）B.（－3，1）C.（，3）D.（3，－）5、如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点B在x轴上，且B（﹣1，0），A点的横坐标是2，AB=3BC，双曲线y= （m＞0）经过A点，双曲线y=﹣经过C点，则m的值为（）A.12B.9C.6D.36、已知抛物线y=ax2+bx+c与反比例函数y= 的图象在第一象限有一个公共点，其横坐标为1，则一次函数y=bx+ac的图象可能是（）A. B. C. D.7、如图，过点C（1，2）分别作x轴、y轴的平行线，交直线y=﹣x+6于A、B 两点，若反比例函数y=（x＞0）的图象与△ABC有公共点，则k的取值范围是（）A.2≤k≤9B.2≤k≤8C.2≤k≤5D.5≤k≤88、下列各点中，在函数的图象上的点是（）A.（3，4）B.（﹣2，﹣6）C.（﹣2，6）D.（﹣3，﹣4）9、已知点A(m，4)在双曲线上，则m的值是（）A.-4B.4C.1D.-110、如图，以原点为圆心的圆与反比例函数y=的图象交于A、B、C、D四点，已知点A的横坐标为1，则点C的横坐标（）A.﹣4B.﹣3C.﹣2D.﹣111、已知反比例函数y=的图象经过点（3，2），那么下列四个点中，也在这个函数图象上的是（）A.（3，﹣2）B.（﹣2，﹣3）C.（1，﹣6）D.（﹣6，1）12、若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（）A. B. C. D.13、如图，点A是反比例函数y= (x>0)图象上任意一点，AB⊥y轴于点B，点C是x轴上的一个动点，则△ABC的面积为( )A.1B.2C.4D.无法确定14、下列四个点，在反比例函数图象上的是（）。

反比例函数知识点1反比例函数的概念一般地，形如y＝kx(k为常数，k≠0)的函数，叫做反比例函数．其中x是自变量，y是函数．自变量x的取值范围是不等于0的一切实数．知识点2建立反比例函数的模型在实际问题中，往往要结合题目的实际意义去分析，首先弄清题意，找出等量关系，再进行等式变形即可得到反比例函数解析式，建立反比例函数的数学模型．知识点3确定反比例函数的解析式求反比例函数的解析式，就是确定反比例函数解析式y＝kx(k≠0)中常数k的值，一般步骤是“设→列→解→答”．课堂检测(总分30分)1．(知识点1)(3分)下列函数中，表示y是x的反比例函数的是(D)A．y＝3x B．y＝a xC．y＝1x2D．y＝13x2．(知识点1)(3分)如果函数y＝x1－2m是反比例函数，则m的值是(D) A．－1 B．0C.12D．13．(知识点2)(3分)如果等腰三角形的面积为10，底边长为x，底边上的高为y，则y关于x的函数解析式为(C)A．y＝10x B．y＝5xC．y＝20x D．y＝x204．(知识点3)(3分)点A(－2，5)在反比例函数y＝kx(k≠0)的图象上，则k的值是(D)A．10 B．5C．－5 D．－105．(知识点2)(3分)近两年来，“共享单车”在全国大范围兴起，哈罗共享单车公司计划在某市投放10000辆单车，将这些单车平均投放到x个投放点，则每个点的投放量y与x的函数解析式为y＝10000 x．6．(知识点1、3)(7分)已知反比例函数y＝－3 2x.(1)说出这个函数的比例系数；(2)当x＝－10时，求函数y的值；(3)当y＝6时，求自变量x的值．解：(1)原函数可变形为y＝－32x，故比例系数为－32.(2)当x＝－10时，y＝－32×(－10)＝320.(3)当y＝6时，－32x＝6，解得x＝－14.7．(综合题)(8分)已知y与x＋2成反比例，且当x＝3时，y＝4.(1)求y与x之间的函数解析式；(2)当y＝5时，求x的值．解：(1)由题意可设y＝kx＋2.∵当x＝3时，y＝4，∴k＝4×(3＋2)＝20，∴y＝20x＋2.(2)把y＝5代入y＝20x＋2中可得5＝20x＋2.解得x＝2.知识点1反比例函数的图象(1)反比例函数图象的画法：列表、描点、连线．(2)反比例函数图象的特点：①反比例函数的图象是双曲线，它的两个分支分别位于第一、第三象限或第二、第四象限；②双曲线的两个分支是断开的，延伸部分无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交；③双曲线既是中心对称图形(对称中心是原点)，又是轴对称图形(对称轴是直线y＝x或直线y＝－x)．知识点2反比例函数的性质(1)当k＞0时，两支曲线分别位于第一、第三象限内，在每一个象限内，y随x的增大而减小；(2)当k＜0时，两支曲线分别位于第二、第四象限内，在每一个象限内，y随x的增大而增大．课堂检测(总分30分)1．(知识点1)(3分)反比例函数y＝1x的图象是(D)A．线段B．直线C．抛物线D．双曲线2．(知识点1)(3分)下列图象中是反比例函数y＝－2x图象的是(C)3．(知识点2)(3分)关于反比例函数y＝－4x，下列说法正确的是(D)A．图象过点(2，－8)B．图象在第一、三象限C．当x>0时，y随x的增大而减小D．当x<0时，y随x的增大而增大4．(知识点2)(3分)(2019·广州)若点A(－1，y1)，B(2，y2)，C(3，y3)在反比例函数y＝6x的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是(C)A．y3<y2<y1B．y2<y1<y3 C．y1<y3<y2D．y1<y2<y35．(知识点2)(3分)如图，它是反比例函数y＝m－5x图象的一支，根据图象可知常数m的取值范围是m＞5．6．(知识点1)(7分)请在如图所示的平面直角坐标系中画出函数y＝4x和y＝－4x的图象．解：如图所示.7．(综合题)(8分)已知函数y＝(k－1)xk2－5为反比例函数，其图象的一支如图所示．(1)求k的值；(2)当1≤x<3时，求y的取值范围．解：(1)由题意可得k2－5＝－1，解得k＝±2.∵图象的一支在第二象限，∴k－1<0，解得k<1，∴k＝－2.(2)由(1)可知k＝－2.∴反比例函数的解析式为y＝－3x.当x＝1时，y＝－3；当x＝3时，y＝－1.∵反比例函数y＝－3x的图象在第四象限y随x的增大而增大，∴当1≤x<3时，y的取值范围是－3≤y<－1.知识点1反比例函数y＝kx(k≠0)中k的几何意义过双曲线y＝kx上的任意一点向两坐标轴作垂线，与两坐标轴围成的矩形面积等于|k|，连接该点与原点，还可得出两个直角三角形，这两个直角三角形的面积都等于||k 2．知识点2反比例函数图象和性质的综合应用(1)交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数解析式联立成方程组求解．若方程组有解，则两者有交点；若方程组无解，则两者无交点．(2)函数值大小比较：函数图象中处于上方的部分，函数值大，处于下方的部分，函数值小．(3)图象的对称性：反比例函数的图象关于原点成中心对称，常用来求点的坐标和图形的面积等．课堂检测(总分30分)1．(知识点1)(5分)如图，在平面直角坐标系中，点P是反比例函数y＝kx(x>0)图象上的一点，分别过点P作PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B.若四边形OAPB的面积为3，则k的值为(A)A．3 B．－3C.32D．－32第1题2．(知识点1)(5分)如图，点A为反比例函数y＝－4x图象上一点，过点A作AB⊥x轴于点B，连接OA，则△ABO的面积为(D)A．－4 B．4 C．－2 D．2第2题3．(知识点2)(5分)如图，反比例函数y1＝kx与一次函数y2＝ax＋b交于(4，2)，(－2，－4)两点，则使得y1<y2的x的取值范围是(D)A．－2<x<4B．x<－2或x>4 C．－2<x<0或0<x<4 D．－2<x<0或x>4第3题4．(知识点2)(5分)如图，在直角坐标系中，点A 在函数y ＝4x (x >0)的图象上，AB ⊥x 轴于点B ，AB 的垂直平分线与y 轴交于点C ，与函数y ＝4x (x >0)的图象交于点D ，连接AC ，CB ，BD ，DA ，则四边形ACBD 的面积等于( C )A ．2B ．2 3C ．4D ．43第4题5．(综合题)(10分)如图，设反比例函数的解析式为y ＝3kx (k >0)．(1)若该反比例函数与正比例函数y ＝2x 的图象有一个交点的纵坐标为2，求k 的值．(2)若该反比例函数的图象与过点M (－2，0)的直线l ：y ＝kx ＋b 交于A ，B 两点，如图所示．当△ABO 的面积为163时，求直线l 的解析式． 解：(1)由题意知A (1，2)．把点A (1，2)的坐标代入y ＝3k x ，得到3k ＝2，∴k ＝23. (2)把点M (－2，0)的坐标代入y ＝kx ＋b ，可得b ＝2k ，∴y ＝kx ＋2k .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3k x ，y ＝kx ＋2k ，消去y ，得到x 2＋2x －3＝0，解得x ＝－3或1，∴B (－3，－k )，A (1，3k )．∵△ABO 的面积为163，∴12×2×3k ＋12×2×k ＝163，解得k ＝43.∴直线l 的解析式为y ＝43x ＋83.知识点反比例函数在日常生活中的应用利用反比例函数解决实际问题的一般步骤：(1)审—审清题意，找出题目中的常量、变量，并理清常量与变量之间的关系；(2)设—根据常量与变量之间的关系，设出函数解析式，待定系数用字母表示；(3)列—由题目中的已知条件列出方程(组)，求出待定系数；(4)写—写出函数解析式，并注意解析式中变量的取值范围；(5)解—用函数解析式去解决实际问题．课堂检测(总分30分)1．(4分)一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以平均70千米/时的速度用了4个小时到达乙地．当他按原路匀速返回时，汽车的速度v(千米/时)与时间t(小时)的函数解析式是(B)A．v＝280t B．v＝280 tC．v＝17.5t D．v＝17.5 t2．(4分)用规格为50cm×50cm的地板砖密铺客厅恰好需要60块．如果改用规格为a cm×a cm的地板砖y块也恰好能密铺客厅，那么y与a之间的函数解析式为(A)A．y＝150000a2B．y＝150000aC．y＝150000a2D．y＝150000a3．(4分)一台印刷机每年可印刷的书本数量y(万册)与它的使用时间x(年)成反比例关系，当x＝2时，y＝20.则y与x的函数图象大致是(C)4．(4分)某蓄水池的排水管的平均排水量为每小时8立方米，6小时可以将满池水全部排空，现在排水量为平均每小时Q立方米，那么将满池水排空所需要的时间为t小时，写出t与Q之间的函数解析式为t＝48 Q．5．(4分)市政府计划建设一项水利工程，某运输公司承办了这项工程运送土石方的任务．该运输公司平均每天的工作量V(米3/天)与完成运送任务所需的时间t(天)之间的函数图象如图所示．若该公司确保每天运送土石方1000米3，则公司完成全部运输任务需40天．6．(10分)某中学组织学生到商场参加社会实践活动，他们参与了某种品牌运动鞋的销售工作，已知该运动鞋每双的进价为120元，为寻求合适的销售价格进行了4天的试销．试销情况如表所示．第1天第2天第3天第4天售价x/(元/双)150200250300销售量y/双40302420(1)(2)若商场计划每天的销售利润为3000元，则其售价应定为多少元？解：(1)由表中数据得xy＝6000，∴y＝6000x，∴y是x的反比例函数，所求函数解析式为y＝6000x.(2)由题意得(x－120)y＝3000，把y＝6000x代入得(x－120)·6000x＝3000，解得x ＝240.经检验，x ＝240是原方程的根．∴若商场计划每天的销售利润为3000元，则其售价应定为240元．知识点 反比例函数在跨学科问题中的应用(1)在物理学中，电压U 一定时，电阻R 与电流强度I 成反比例函数，其解析式为R ＝UI (U 为常数)； (2)气体质量m 一定时，密度ρ与体积V 成反比例函数，其解析式为ρ＝mV (m 为常数)； (3)压力F 一定时，压强p 与受力面积S 成反比例函数，其解析式为p ＝FS (F 为常数)．课堂检测(总分30分)1．(4分)物理学知识告诉我们，一个物体受到的压强p 与所受压力F 及受力面积S 之间的计算公式为p ＝FS .当一个物体所受压力为定值时，该物体所受压强p 与受力面积S 之间的关系用图象表示大致为( C )2．(4分)(2019·孝感)公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了杠杆平衡，后来人们把它归纳为“杠杆原理”，即：阻力×阻力臂＝动力×动力臂．小伟欲用撬棍撬动一块石头，已知阻力和阻力臂分别是1200 N 和0.5 m ，则动力F (单位：N)关于动力臂l (单位：m)的函数解析式正确的是( B )A ．F ＝1200lB ．F ＝600l C ．F ＝500lD ．F ＝0.5l3．(4分)在一个可以改变容积的密闭容器内，装有一定质量m (kg)的某种气体，当改变容积V 时，气体的密度ρ也随之改变，ρ(kg/m 3)与V (m 3)在一定范围内满足ρ＝mV ，它的图象如图所示，则该气体的质量m 为( C )A ．1.4kgB ．5kgC ．7kgD ．6.4kg。

反比例函数 第1讲（反比例函数的图象与性质）反比例函数的图象与性质 命题点一：根据反比例函数的定义求函数表达式 【方法归纳】确定反比例函数的表达式，关键是确定比例系数k 的值，常用的方法：①根据反比例函数的定义或性质列方程求解；②根据图象中点的坐标求解；③利用待定系数法求解；④利用好比例系数k 的几何意义求解.例1如图，菱形ABCD 的顶点A 在x 轴上，D 在y 轴上，B ，C 在反比例函数的图象上，对角线AC ，BD 交于点E ，且BD ∥x 轴，若AE ＝1，∠ADE ＝30°，则反比例函数的表达式为( D )A ．y ＝2xB ．y ＝3xC ．y ＝3xD ．y ＝23x例2已知反比例函数y ＝(m －1)xm 2－m －3，当x <0时，y 随x 的增大而减小，求反比例函数的表达式．解：由反比例函数y ＝(m －1)xm 2－m －3，得⎩⎨⎧m 2－m －3＝－1，m －1≠0，解得m ＝2或m ＝－1.由当x <0时，y 随x 的增大而减小，得m －1＞0，m ＞1， ∴m ＝2.故反比例函数的表达式为y ＝1x.命题点二：利用反比例函数的增减性解题 【方法归纳】比较函数值大小的方法一般有三种：①性质法，即利用反比例函数的额增减性进行比较；②求值法(或特殊值法)，即代入自变量的值，求出函数值进行比较；③图象法，即画出函数的图象，在图象上画出点的相应位置，由点的位置直接比较函数值大小.例3已知反比例函数y ＝1－3m x的图象上的两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2), 当x 1<0<x 2时，y 1<y 2，则m 的取值范围是( C )A ．m <0B ．m >0C ．m <13D ．m >13例4若点A(－1，y1)，B(1，y2)，C(3，y3)在反比例函数y＝mx(m<0)的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为( B )A．y1<y2<y3 B．y2<y3<y1 C．y3<y2<y1 D．y2<y1<y3命题点三：根据反比例函数的定义求比例系数k的值或范围例5(1)如图，过点C(1,2)分别作x轴，y轴的平行线，交直线y＝－x＋6于A，B两点，若反比例函数y＝kx(x>0)的图象与△ABC有公共点，则k的取值范围是( A )A．2≤k≤9 B．2≤k≤8 C．2≤k≤5 D．5≤k≤8【方法归纳】当反比例函数与一次函数或平面图形结合时，常因条件的隐含性、综合性而增加难度，从代数式的表达形式和图形性质综合考虑是突破难点的关键，而点的坐标与线段长度的转化是数形结合的桥梁．(2)如图，在平面直角坐标系中，△ABC为等腰直角三角形，CB＝CA＝5，点C(0,3)，点B在x轴正半轴上，点A在第三象限，且在反比例函数y＝kx的图象上，则k的值为( A )A．3 B．4 C．6 D．12例6如图，在平面直角坐标系xOy中，等边三角形AOB的边长为6，点C在边OA上，点D在边AB上，且OC＝3B D.反比例函数y＝kx(k≠0)的图象恰好经过点C和点D，则k的值为( A )A ．81325 B ．81316 C ．8135 D ．8134命题点四：利用反比例函数代数式求值 【方法归纳】如图，反比例函数||k 的几何意义：①S △AOB ＝S △AOC ＝12|k |；②S 矩形OBAC ＝|k |.下面两个结论是上述结论的 拓展：①如图①，S △OPA ＝S △OCD ，S △OPC ＝S 梯形PADC ； ②如图②，S 梯形OAPB ＝S 梯形OBCA ， S △BPE ＝S △ACE .例7(1)如图，直线y＝kx(k>0)与双曲线y＝4x交于A(x1，y1), B(x2，y2) 两点，则2x1y2－7x2y1的值等于 20 .(2)如图所示，△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，∠ACO＝∠ADB＝90°，反比例函数y＝9x在第一象限的图象经过点B，则OA2－AB2的为 18 .例8(1)如果一个正比例函数的图象与反比例函数y＝6x的图象交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，那么(x2－x1)(y2－y1)的值为 24 .(2)如图，A，B为直线y＝x上的两点，过A，B两点分别作y轴的平行线交双曲线y＝1x (x>0)于C，D两点．若BD＝2AC，则4OC2－OD2的值为 6 .命题点五：利用函数的系数，判断函数图象的可能性例9反比例函数y＝kbx的图象如图所示，则一次函数y＝kx＋b的图象可能是( C )例10如图，在同一直角坐标系中，函数y＝kx与y＝kx＋k2的大致图象是( C )命题点六：利用反比例函数k的几何意义解题例11(1)下列选项中，涂色部分面积最小的是( C )(2)如图，在平面直角坐标系中，A(－6,0)，曲线上每一点到x轴与y轴的距离的乘积都相等，过曲线上横坐标分别为－6，－4，－2的三点B，C，D分别向x轴，y轴作垂线，图中的涂色部分是由这些垂线围成的，且面积是6，则由O，A，C三点围成的三角形的面积为 27 .例12如图，在平面直角坐标系中，▱OABC的顶点C(3,4)，边OA落在x正半轴上，P为线段AC上一点，过点P分别作DE∥OC，FG∥OA，交平行四边形各边如图．若反比例函数y＝kx的图象经过点D，四边形BCFG的面积为8，则k的值为( B )A．16 B．20 C．24 D．26 命题点七：关于叠加曲线的问题例13(2018·宁波)如图，平行于x轴的直线与函数y＝k1x(k1>0，x>0)，y＝k2x(k2>0，x>0)的图象分别相交于A，B两点，点A在点B的右侧，C为x轴上的一个动点，若△ABC的面积为4，则k1－k2的值为( A )A．8 B．－8 C．4 D．－4例14(1)如图，A为函数y＝9x (x>0)图象上一点，连结OA，交函数y＝1x(x>0)的图象于点B，C是x轴上的一点，且AO＝AC，则△ABC的面积为 6 .命题点八：关于反比例函数的规律性问题例15如图，在反比例函数y＝10x(x>0)的图象上，有点P1，P2，P3, P4，…，它们的横坐标依次为2,4,6,8，…，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的涂色部分的面积从左到右依次记为S1，S2，S3，…，S n，则S1＋S2＋S3＋…＋S n＝10－10n＋1(用含n的代数式表示)．例16如图，△P1OA1，△P2A1A2，△P3A2A3，…，△P100A99A100是等腰直角三角形，点P1，P2，P3，…，P100在反比例函数y＝4x的图象上，斜边OA1，A1A2，A2A3，…，A99A100都在x轴上，则点A100的坐标是 (40,0) .课后练习1．如图，正方形ABCD的边长为5，点A的坐标为(－4,0)，点B在y轴上．若反比例函数y＝kx(k≠0)的图象过点C，则该反比例函数的表达式为( A )A．y＝3x B．y＝4xC．y＝5xD．y＝6x2．已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)是反比例函数y＝2x上的三点，x1<x2<x3，y2<y1<y3，则下列关系式不正确的是( A )A．x1·x2<0 B．x1·x3<0 C．x2·x3<0 D．x1＋x2<03．(2018·徐州)如图，在平面直角坐标系中，函数y ＝kx 与y ＝－2x的图象交于A ，B 两点，过A 作y 轴的垂线，交函数y ＝4x的图象于点C ，连结BC ，则△ABC 的面积为( C )A ．2B ．4C ．6D ．84．如图，A ，B 两点在反比例函数y ＝k 1x 的图象上，C ，D 两点在反比例函数y ＝k 2x的图象上，AC 交x 轴于点E ，BD 交x 轴于点F ，AC ＝2，BD ＝3，EF ＝103，则k 2－k 1等于( A )A ．4B ．143 C ．163D ．6 5．如图，矩形ABCD 的对角线BD 经过坐标原点O ，矩形的边分别平行于坐标轴，反比例函数y ＝k x (k >0)的图象交BC 于点M ，交CD 于点N .若A 点坐标为(－2，－2)，S OMN ＝32，则k 的值为( B )A ．52B ．2C ．32D ．16．如图，△ABC的三个顶点分别为A(1,2)，B(2,5)，C(6,1)．若函数y＝kx在第一象限内的图象与△ABC有交点，则k的取值范围为2≤k≤494.7．(2018·德州)如图，反比例函数y＝3x与一次函数y＝x－2的图象在第三象限相交于点A，点B的坐标为(－3,0)，P是y轴左侧的一点．若以A，O，B，P为顶点的四边形是平行四边形，则点P的坐标为 (－4，－3)，(－2,3) .8．如图，点A，B在反比例函数y＝1x(x>0)的图象上，点C，D在反比例函数y＝kx(k>0)的图象上，AC∥BD∥y轴．已知点A，B的横坐标分别为1,2，△OAC与△ABD的面积之和为32，则k的值为 3 .9．在平面直角坐标系的第一象限内，边长为1的正方形ABCD的边均平行于坐标轴，A点的坐标为(a，a)．如图，若曲线y＝3x(x>0)与此正方形的边有交点，则a的取值范围是3≤a≤3＋1.10．(2018·金华)如图，四边形ABCD的四个顶点分别在反比例函数y＝mx与y＝nx(x>0,0<m<n)的图象上，对角线BD∥y轴，且BD⊥AC于点P.已知点B的横坐标为4.(1)当m＝4，n＝20时，①若点P的纵坐标为2，求直线AB的函数表达式；②若P是BD的中点，试判断四边形ABCD的形状，并说明理由．(2)四边形ABCD能否成为正方形？若能，求此时m，n之间的数量关系；若不能，试说明理由．解：(1)①∵m＝4，∴反比例函数y＝mx为y＝4x.当x＝4时，y＝1，∴点B的坐标为(4,1)．当y＝2时，2＝4x，x＝2，∴点A的坐标为(2,2)．设直线AB的表达式为y＝kx＋b.∴⎩⎨⎧2k ＋b ＝2，4k ＋b ＝1，解得⎩⎨⎧k ＝－12，b ＝3.∴直线AB 的表达式为y ＝－12x ＋3.②四边形ABCD 是菱形．理由如下： 由题①，知点B 的坐标为(4,1)． ∵BD ∥y 轴，∴点D 的坐标为(4,5)． ∵点P 是线段BD 的中点， ∴点P 的坐标为(4,3)． 当y ＝3时，由y ＝4x ，得x ＝43；由y ＝20x ，得x ＝203.∴PA ＝4－43＝83，PC ＝203－4＝83.∴PA ＝P C.∵PB ＝PD ，∴四边形ABCD 为平行四边形． ∵BD ⊥AC ，∴四边形ABCD 是菱形．(2)能．理由如下：当四边形ABCD 是正方形时，记AC ，BD 的交点为P ， ∴BD ＝A C.当x ＝4时，y ＝m x ＝m 4，y ＝n x ＝n4，∴点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，m 4，点D 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，n 4.∴点P 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，m ＋n 8. ∴点A 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫8m m ＋n ，m ＋n 8，点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫8n m ＋n ，m ＋n 8. ∵AC ＝BD ，∴8n m ＋n －8m m ＋n ＝n 4－m 4. ∴m ＋n ＝32.11．(2018·泰州)在平面直角坐标系xOy 中，横坐标为a 的点A 在反比例函数y 1＝k x(x >0)的图象上，点A ′与点A 关于点O 对称，一次函数y 2＝mx ＋n 的图象经过点A ′.(1)设a ＝2，点B (4,2)在函数y 1，y 2的图象上， ①分别求函数y 1，y 2的表达式； ②直接写出使y 1>y 2>0成立的x 的范围．(2)如图①，设函数y 1，y 2的图象相交于点B ，点B 的横坐标为3a ，△AA ′B 的面积为16，求k 的值．(3)设m ＝12，如图②，过点A 作AD ⊥x 轴，与函数y 2的图象相交于点D ，以AD 为一边向右侧作正方形ADEF ，试说明函数y 2的图象与线段EF 的交点P 一定在函数y 1的图象上．解：(1)①∵点B 在y 1的图象上，∴k ＝2×4＝8.∴y 1＝8x.∵a ＝2，点A 在y 1的图象上，∴点A 的坐标为(2,4)，点A ′的坐标为(－2，－4)．将点A ′和B 的坐标代入y 2，得⎩⎨⎧4m ＋n ＝2，－2m ＋n ＝－4，解得⎩⎨⎧m ＝1，n ＝－2.∴y 2＝x －2.②2<x <4.(2)分别过点A ，B 作AC ⊥x 轴于点C ，BD ⊥x 轴于点D ，连结O B.∵O 为AA ′的中点，∴S △AOB ＝12S △AA ′B ＝8.∵点A ，B 在双曲线上，∴S △AOC ＝S △BO D . ∴S △AOB ＝S 四边形ACDB ＝8.根据已知，点A ，B 坐标可设为⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，k a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ，k 3a ，∴12×⎝ ⎛⎭⎪⎫k 3a ＋k a ×2a ＝8，解得k ＝6. (3)设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，k a ，则A ′⎝⎛⎭⎪⎫－a ，－k a .把A ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ，－k a 代入y ＝12x ＋n ，得－k a ＝－12a ＋n ，∴n ＝12a －k a .∴A ′D 的表达式为y 2＝12x ＋12a －ka .当x ＝a 时，点D 的纵坐标为a －ka， ∴AD ＝2ka－a.∵在正方形ADEF 中，AD ＝AF ，∴点F 和点P 的横坐标为a ＋2k a －a ＝2k a.∴点P 的纵坐标为12×2k a ＋12a －k a ＝12a ，即点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k a ，12a .把点P 的横坐标2k a 代入y 1＝k x (x >0)，得y 1＝12a.∴点P 在y 1＝kx(x >0)的图象上．12．(自主招生模拟题)如图，反比例函数y ＝kx位于第一象限的图象上有A ，B 两点，从点A 作AD ⊥y 轴于点D ，从点B 作BC ⊥x 轴于点C ，若△OAB 的面积为56，△OCD 的面积为32，则k 的值为( B )A ．32B ．2C ．52D ．313．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：y ＝ －x －1，双曲线y ＝1x.在l 上取点A 1，过A 1作x 轴的垂线交双曲线于点B 1，过B 1作y 轴的垂线交l 于点A 2.请继续操作并探究：过A 2作x 轴的垂线交双曲线于点B 2，过B 2作y 轴的垂线交l 于点A 3，…，这样依次得到l 上的点A 1，A 2，A 3，…，A n ，…，记点A n 的横坐标为a n .若a 1＝2, 则a 2＝ －32 ，a 2013＝ －13 ；若要将上述操作无限次地进行下去，则a 1不能取的值是 0，－1 .14．(自主招生模拟题)已知点O 是坐标系的原点，直线y ＝－x ＋m ＋n 与双曲线y ＝1x交于两个不同点A (m ，n )(m ≥2)和B (p ，q )，直线y ＝－x ＋m ＋n 与y 轴交于点C ，求△OBC 的面积S 的取值范围．解：∵直线y ＝－x ＋m ＋n 与y 轴交于点C ， ∴C (0，m ＋n )．∵点B (p ，q )在直线y ＝－x ＋m ＋n 上， ∴q ＝－p ＋m ＋n .又∵点A ，B 在双曲线y ＝1x上，∴1p ＝－p ＋m ＋1m ，即p －m ＝p －m pm.∵点A ，B 是不同的点， ∴p －m ≠0. ∴pm ＝1. ∵mn ＝1， ∴p ＝n ，q ＝m . ∵1＞0，∴在每一个象限内，反比例函数y ＝1x的函数值y 随自变量x 的增大而减小．∴当m ≥2时，0<n ≤12.∵S ＝12(p ＋q )p ＝12p 2＋12pq ＝12n 2＋12，∴当0<n ≤12时，S 随自变量n 的增大而增大．∴12<S ≤58.。

浙教版 八下 数学 第六章 反比例函数【知识要点】 1、一般地，函数ky x=或()10y kx k -=≠叫做反比例函数． 2、反比例函数图象的特点：3、反比例函数的应用就是指运用反比例函数的概念、性质去解决实际问题，因此必须要通过对题目的阅读理解抽象出实际问题的函数关系，再利用反比例函数的思想去解决.4、应注意以下几个问题：⑴在反比例函数关系中，xy k =（定值）；⑵在实际问题中：0x >. 【典型例题】例1：已知()2212,mm y m m x ++=+⑴如果y 是x 的正比例函数，求m 的值； ⑵如果y 是x 的反比例函数，求m 的值．例2：已知一次函数(),0y kx b k =+≠的图象与x 轴，y 轴分别交于A 、B 两点，且与反比例函数(),0my m x=≠的图象在第一象限交于C 点，CD 垂直于x 轴，垂足为D ，若 1.OA OB OD ===⑴求点,,A B C 的坐标； ⑵求一次函数和反比例函数的解析式.例3：一定质量的氧气，它的密度()3/kg m ρ是它的体积()3V m 的反比例函数，当310V m =时， 31.43/.kg m ρ= :⑴ 求ρ与V 的函数关系式； ⑵求当32V m =时，氧气的密度ρ.单元巩固一、选择题1.在下列选项中，是反比例函数关系的为（ ）A.在直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边之间的关系B.在等腰三角形中，顶角与底角之间的关系C.圆的面积与它的直径之间的关系D.面积为20的菱形，其中一条对角线与另一条对角线之间的关系 2.（2012·哈尔滨中考）如果反比例函数的图象经过点(-1，-2)，则k 的值是（ ） A.2B.-2C.-3D.33.在同一坐标系中，函数xky =和3+=kx y 的图象大致是（ ）4.当＞0，＜0时，反比例函数的图象在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限5.购买只茶杯需15元，则购买一只茶杯的单价与的关系式为（ ） A.x y 15= （取实数） B. xy 15= （取整数） C. x y 15=（取自然数） D. xy 15= （取正整数） 6.若反比例函数的图象位于第二、四象限，则的值是（ ）A. 0B.0或1C.0或2D.47．如图，A 为反比例函数xk y =图象上一点，AB 垂直于x 轴B 点，若S △AOB ＝3，则k 的值为 （ ） A.6 B.3C.23D.不能确定8.已知点、、都在反比例函数4y x=的图象上，则的大小关系是（ ）A.B. C.D.9.正比例函数与反比例函数1x的图象相交于A 、C 两点，AB ⊥x 轴于点B ，CD ⊥x 轴于点D （如图），则四边形ABCD 的面积为（ ） A.1 B.32C.2D.5210.（2012·福州中考）如图所示，过点C (1,2)分别作x 轴、y 轴的平行线，交直线k x ky =-x +6于A 、B 两点，若反比例函数y=(x >0)的图象与△ABC 有公共点，则k 的取值范围是（ ） A.2≤k ≤9 B.2≤k ≤8 C.2≤k ≤5D.5≤k ≤8二、填空题（每小题3分，共24分）11.已知与成反比例，且当时，，那么当时，.12．（2012·山东潍坊中考）点P 在反比例函数(k ≠0)的图象上，点Q （2,4）与点P关于y 轴对称，则反比例函数的解析式为 .13．已知反比例函数x m y 33-=，当______m 时，其图象的两个分支在第一、三象限内；当______m 时，其图象在每个象限内y 随x 的增大而增大.14.若反比例函数xk y 3-=的图象位于第一、三象限内，正比例函数x k y )92(-=的图象过第二、四象限，则k 的整数值是________.15.现有一批救灾物资要从A 市运往B 市，如果两市的距离为500千米，车速为每小时千米，从A 市到B 市所需时间为小时，那么与之间的函数关系式为_________，是的________函数.16.（2012·河南中考）如图所示，点A 、B 在反比例函数（k ＞0，x ＞0）的图象上，过点A 、B 作x 轴的垂线，垂足分别为M 、 N ，延长线段AB 交x 轴于点C ，若OM ＝MN ＝NC ，△AOC 的面积 为6，则k 的值为 . 17.已知反比例函数，则当函数值时，自变量x 的取值范围是___________.18.在同一直角坐标系中，正比例函数x k y 1=的图象与反比例函 数xk y 2=的图象有公共点，则21k k 0（填“＞”、“＝”或“＜”）. 三、解答题（共46分）19.（6分）已知一次函数kx y =与反比例函数xy 3=的图象都经过点A （m ，1）．求: （1）正比例函数的解析式；（2）正比例函数与反比例函数的图象的另一个交点的坐标．20.（6分）如图，正比例函数12y x=的图象与反比例函数kyx=(0)k≠在第一象限的图象交于A点，过A点作x轴的垂线，垂足为M，已知△的面积为1.（1）求反比例函数的解析式；（2）如果B为反比例函数在第一象限图象上的点（点B与点A不重合），且B点的横坐标为1，在x轴上求一点P，使PA PB+最小.21.（6分）如图所示是某一蓄水池的排水速度h）与排完水池中的水所用的时间t（h）之间的函数关系图象．（1）请你根据图象提供的信息求出此蓄水池的蓄水量；（2）写出此函数的解析式；（3）若要6 h排完水池中的水，那么每小时的排水量应该是多少？（4）如果每小时排水量是，那么水池中的水要用多少小时排完？22.（7分）若反比例函数xky =与一次函数42-=x y 的图象都经过点A （a ，2）. （1）求反比例函数xky =的解析式； （2） 当反比例函数xky =的值大于一次函数42-=x y 的值时，求自变量x 的取值范围．23.（7分）（2012·天津中考）已知反比例函数y=（k 为常数，k ≠1）.（1）其图象与正比例函数y=x 的图象的一个交点为P ，若点P 的纵坐标是2，求k 的值； （2）若在其图象的每一支上，y 随x 的增大而减小，求k 的取值范围；（3）若其图象的一支位于第二象限，在这一支上任取两点 A (x 1,y 1)、B （x 2,y 2）,当y 1＞y 2时，试比较x 1与x 2的大小.24．（7分）如图，已知直线1y x m =+与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，与反比例函数2k y x=（x）的图象分别交于点C 、 D ，且C 点的坐标为（1-，2）.⑴分别求出直线AB 及反比例函数的解析式； ⑵求出点D 的坐标；⑶利用图象直接写出：当x 在什么范围内取值时，1y >2y .第6章 反比例函数 参考答案1.D2. D3.A4. C C.5.D6.A7.A8.D9.C 10. A 解析:当反比例函数图象经过点C 时,k =2;当反比例函数图象与直线AB 只有一个交点时,令-x +6=,得x 2-6x +k =0,此时方程有两个相等的实数根,故Δ=36-4k =0,所以k =9,所以k 的取值范围是2≤k ≤9,故选A. 11.6 解析：因为 与成反比例，所以设，将，代入得，所以，再将代入得. 12. y =- 解析:设点P （x,y ），∵ 点P 与点Q （2,4）关于y 轴对称，则P （-2，4），∴ k=xy=-2×4=-8.∴ y=-. 13. 14.4 解析：由反比例函数xk y 3-=的图象位于第一、三象限内，得，即.又正比例函数x k y )92(-=的图象过第二、四象限，所以，所以.所以的整数值是4. 15. 反比例 16. 4解析：设点A （x ,），∵ OM ＝MN ＝NC ，∴ AM ＝,OC =3x .由S △AOC ＝OC ·AM ＝·3x ·=6，解得k =4 17. 或 18.＞ 19.解：（1）因为反比例函数x y 3=的图象经过点A （m ，1），所以将A （m ，1）代入xy 3=中，得m =3.故点A 坐标为（3，1）.将A （3，1）代入kx y =，得31=k ，所以正比例函数的解析式为3x y =.（2）由方程组⎪⎩⎪⎨⎧==,3,3x y x y 解得所以正比例函数与反比例函数的图象的另一个交点的坐标为（-3， -1）. 20. 解：（1） 设A 点的坐标为（a ，b ），则k b a =.∴ ab k =.∵ 112ab =,∴ 112k =.∴ 2k =. ∴ 反比例函数的解析式为2y x =. (2) 由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==x y xy 212， 得或 ∴ A 为.设A 点关于x 轴的对称点为C ，则C 点的坐标为.如要在x 轴上求一点P ，使PA+PB 最小，即最小，则P 点应为BC 和x 轴的交点，如图所示.令直线BC 的解析式为y mx n =+.∵ B 为（1，2），∴2,12.m n m n =+⎧⎨-=+⎩∴3,5.m n =-⎧⎨=⎩∴ BC 的解析式为35y x =-+. 当0y =时，53x =.∴ P点坐标为.21. 解：（1）蓄水池的蓄水量为12×4=48().（2）函数的解析式为.（3）.（4）依题意有，解得（h ）．所以如果每小时排水量是5 ，那么水池中的水将要9.6小时排完．22.解：（1）因为的图象过点A （），所以.因为xky =的图象过点A （3，2），所以，所以x y 6=.（2） 求反比例函数xy 6=与一次函数42-=x y 的图象的交点坐标，得到方程：x x 642=-，解得. 所以另外一个交点是（-1，-6）画出图象，可知当或时，426->x x .23. 分析：（1）显然P 的坐标为（2,2），将P （2，2）代入y =即可.（2）由k -1＞0得k ＞1.（3）利用反比例函数的增减性求解.解：（1）由题意，设点P 的坐标为（m ,2)，∵ 点P 在正比例函数y =x 的图象上，∴ 2＝m ,即m =2.∴ 点P 的坐标为（2,2）. ∵ 点P 在反比例函数 y =的图象上，∴ 2=，解得k =5.（2）∵ 在反比例函数y =图象的每一支上，y 随x 的增大而减小，∴ k -1＞0,解得k ＞1.（3）∵ 反比例函数y =图象的一支位于第二象限，∴ 在该函数图象的每一支上，y 随x 的增大而增大.∵ 点A （x 1,y 1）与点B （x 2,y 2）在该函数的第二象限的图象上，且y 1＞y 2，∴ x 1＞x 2.点拨：反比例函数的图象和性质是解反比例函数题目的基础. 24.解：（1）将C 点坐标（1-，2）代入1y x m =+，得，所以13y x =+；将C 点坐标（1-，2）代入2k y x=，得.所以22y x=-.（2）由方程组解得所以D 点坐标为（－2，1）.（3）当1y >2y 时，一次函数图象在反比例函数图象上方，此时x 的取值范围是21x -<<-.。

第六章 《反比例函数》各节知识点及典型例题第1节 反比例函数 第二节 反比例函数的图象和性质 第三节 反比例函数的应用五大知识点：1、反比例函数的定义和表达式2、反比例函数的图象和性质3、反比例函数的应用【课本相关知识点】1、一般地，形如 的函数叫做反比例函数，其中x 是自变量，y 是x 的函数，k 叫做反比例系数。

自变量x 的取值范围是★★2、反比例函数有三种表达形式：（1）y=k x（k ≠0）；（2）y=kx -1（k ≠0）；（3）xy=k （k ≠0） 3、判断具体情景中的两个变量是否成反比例函数关系，关键看这两个变量的积是否为一个 的常数。

4、根据实际问题中的条件确定反比例函数的表达式时，一般采用 法。

5、要确定一个反比例函数y=kx的表达式，只需求出 ，若已知一对 的对应值，就可以由此求出比例系数，然后写出所求的反比例函数。

【典型例题】【题型一】判断一个函数是不是反比例函数例1、下列函数表达式中，y 是关于x 的反比例函数的有（ ）①y=21x -；③ y=x -；④ y=13x -；⑤ y=1x ；⑥ y=23x +；⑦ y=32x -；⑧ -2xy=1A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个 补充一下：对于是反比例函数的，写出其反比例系数 例2、关于函数y=12x -，以下说法正确的是（ ） A ．y 是x 的反比例函数 B ．y 是x 的正比例函数 C ．y 是x-2的反比例函数 D ．以上都不对 【题型二】求反比例函数表达式例1、已知y=y 1－y 2，y 1与x 成反比例，y 2与x 2成正比例，且当x=﹣1时，y=﹣5；当x=1时，y=1，求y 与x 之间的函数表达式。

例2、已知一面积为20的梯形，其上、下底长度之比为1：3，试写出梯形的高线h 和上底长a 之间的函数表达式，并说明你所写的函数是什么函数。

例3、（2013安顺）若y=(a+1)22a x-是反比例函数，则a 的值是 ，该反比例函数为例4、如图，点P （3a ，a ）是反比例函y ＝ kx （k ＞0）与⊙O 的一个交点，图中阴影部分的面积为10π，则反比例函数的解析式为( )A ．y ＝3xB ．y ＝5xC ．y ＝10xD ．y ＝12x【题型三】应用反比例函数解决实际生活问题例1、近视眼镜的镜片度数（y 度）与镜片焦距x （米）成反比例，已知﹣400度近视眼镜镜片的焦距为﹣0.25米，则眼镜度数y 与镜片焦距x 之间的函数关系式为例2、某地去年电价0.8元/千瓦时，年用量为1亿千瓦时，本年度计划将电价调至0.55至0.75元之间，经测算，若电价调至x 元，则本年度新增用电量y 亿千瓦时与（x-0.4）元成反比例，且当x=0.65，y=0.8 （1）求y 与x 之间的函数解析式（2）若每千瓦时电的成本价是0.3元，则电价调至多少元时，今年电力部门的收益将比去年增加20%？【收益=用电量×（实际电价-成本价）】例3、某地计划用120～180天（含120与180天）建设一项水利工程，工程需要运送的土石方总量为360万米3．（1）写出运输公司完成任务所需的时间y （单位：天）与平均每天的工作量x （单位：万米3）之间的函数关系式，并给出自变量x 的取值范围；（2）由于工程进度的需要，实际平均每天运送土石方比原计划多5000米3，工期比原计划减少了24天，原计划和实际平均每天运送土石方各是多少万米3？【课本相关知识点】1、画反比例函数图象的一般步骤为：列表、描点、连线2、图象特征：反比例函数y=kx（k ≠0）的图象是由两个分支组成的 。