等边三角形1[上学期]--浙教版-

等边三角形1浙教版陈献中等边三角形1 浙教版名称图形概念性质与边角关系判定等腰三角形B1.两腰相等.A 有两边相等的三角形是等腰三角形。

C1.两边相等。

2.等角对等边,2.等边对等角,3. 三线合一。

4.是轴对称图形.等边三角形1 浙教版等边三角形在等腰三角形中，有一种特殊的情况，就是底边与腰相等，这时，三角形三边相等。

我们把三条边都相等的三角形叫做等边三角形(正三角形)。

等边三角形1 浙教版等边三角形性质探索: 1.等边三角形的内角都相等吗?为什么?A 由已知:AB=AC=BC, ∵AB=AC ∴∠B=∠C (为什么?) 同理∠A=∠C ∴∠A=∠B=∠C ∵ ∠A+∠B+∠C=180° ∴ ∠A=∠B= ∠C=60 °BC结论:等边三角形的内角都相等,且等于60 °.等边三角形1 浙教版等边三角性质探索:2.等边三角形是轴对称图形吗？若是，有几条对称轴？结论:等边三角形是轴对称图形，有三条对称.等边三角形1 浙教版等边三角性质探索: 3.等边三角形每边上的中线,高和所对角的平分线都三线合一吗?为什么? 结论:等边三角形各边上中线,高和所对角的平分线都三线合一,它们交于一点,这点叫三角形的中心. AO B C等边三角形1 浙教版等边三角形的性质1.等边三角形的内角都相等,且等于60 °2.等边三角形是轴对称图形，有三条对称.3.等边三角形各边上中线,高和所对角的平分线都三线合一.等边三角形1 浙教版等边三角形判定探索:1.三个内角都等于60 边三角形. ∵∠A=∠B=∠C=60 ° ∴AB=AC=BC (为什么) ∴三角形△ABC是°的三角形是等ABC等边三角形.等边三角形1 浙教版等边三角性质探索: 2.有一个内角等于60 °的等腰三角形是等边三角形. A 假若AB=AC.则∠ B= ∠ C 当顶角∠A=60 °时, ∠ B= ∠ C= 60 °B C∴ ∠A= ∠ B= ∠ C=60 ° ∴ △ABC是等边三角形. 当底角∠ B= 60时, ∠ C=60 °, ∠A=180 ―(60° +60 °)=60. ° ∴ ∠A= ∠ B= ∠ C=60 ° ∴ △ABC是等边三角形.等边三角形1 浙教版等边三角形的判定方法: 1.三边相等的三角形是等边三角形.2.三个内角都等于60 °的三角形是等边三角形.3.有一个内角等于60 °的等腰三角形是等边三角形.等边三角形1 浙教版1如图,等边△ABC中,三条内角平分线AD,BE,CF相交于点O.(1) △ AOB. △ BOC和△ AOC有什么关系? 请说明理由. (2) 求∠ AOB, ∠ BOC, ∠ AOC的度数.△ABC绕O旋转,问要旋转多少度,就能和原来 A 的三角形重合(只要求说出一个旋转度数.)F E OBDC等边三角形1 浙教版粉嫩公主酒酿蛋.cn/65/2022年-03-11/7447.html 崛蒈等边三角形1 浙教版1.三边都相等的三角形叫做等边____三角形. 602.等边三角形的每个内角都等于____ 度. 33.等边三角形有____ 条对称轴.4.等边三角形的对称轴的交点叫中点___. 120 度.才能和等边三角形绕中心至少旋转___ 原来的三角形重合.等边三角形1 浙教版2.已知:等边△ABC中,DB是AC边上的高,E是BC延长线上一点,且DB=DE,求∠ E的度数.BC D EA等边三角形1 浙教版3.如图, △ABC为等边三角形, ∠ 1= ∠ 2= ∠ 3 (1)求BEC的度数. (2)DEF为等边三角形吗?为什么?A 1 FD B 2E3 C等边三角形1 浙教版1.等边三角形三条对称轴的交点到各边的距离都相等吗?请说明理由.2.已知△ABC是等边三角形,D,E,F分别是各边上的一点,且AD=BE=CF.试说明△ DEF是等边三角形.3.D,E是△ABC中BC上的两点,且BD=DE=EC=AD=AE.求∠ B与∠ BAC的度数.A D E C B F B D C E A等边三角形1 浙教版(1).等边三角形的性质. 1.等边三角形的内角都相等,且等于60 ° 2.等边三角形是轴对称图形，有三条对称. 3.等边三角形各边上中线,高和所对角的平分线都三线合一. (2) 等边三角形的判定:1.三边相等的三角形是等边三角形. 2.三个内角都等于60 °的三角形是等边三角形. 3.有一个内角等于60 °的等腰三角形是等边三角形.。

A 第6讲 等边三角形知识要点：1．等边三角形及其性质：三边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60．等边三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线或底边上的高、中线所在直线；2．等边三角形的判定：三边都相等的三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形；3．在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半，反之也成立．例题精讲例1、如图，△DAC 和△EBC 均是等边三角形，A 、C 、B 三点在一条直线上。

AE 、BD 分别与CD 、CE 交于点M 、N ，AE 与BD 交于点F （1）求证：△ACE ≌△DCB; （2）求∠AFD 的度数； （3）判断△CMN 的形状类题演练1．如图，在正△ABC 中，D ,E 分别是BC 、AC 上的一点，且AE ＝CD ．AD 与BE 相交于点P ，且BQ ⊥AD 于Q ．求证BP ＝2PQQ C2．如图，过边长为1的等边△ABC 的边AB 上一点P ，作PE ⊥AC 于E ，Q 是BC 延长线上一点，当P A ＝CQ 时，连接PQ 交AC 于D ，求DE 的长．例2、P 是△ABC 内一点，∠PBC ＝30°，∠PBA ＝8°，且∠P AB ＝∠P AC ＝22°，求∠APC 的度数解析：直接利用相关知识，求不出来，那就必须要作辅助线了。

看到角平分线，常见的辅助线有三种（在第二讲中学习过）。

在AC 的延长线上截取AF=AB ，连BF ，PF ，延长AP 交BC 于D ，交BF 于E 显然△APB ≌△APF （SAS ） ∴ PB=PF ，∠ABP=∠AFP=8°，∠APB=∠APF又∵∠P AB ＝∠P AC ＝22° ∴∠FPE=∠BPE=30°，故∠BPF=60°∴ △PBF 为等边三角形 ∴ ∠PBC ＝∠FBC=30°由等腰三角形的三线合一可知，BC 垂直平分PF ∴ CP=CF ，故∠CPF =∠CFP=8° ∠BPE=∠BAP +∠ABP =30°=∠PBC 则△APB ≌△APF∴AP 垂直平分BF ，∠AFP =8°∴∠APC=180°-∠FPE -∠CPF =142°类题演练3．如图，D 是等边三角形ABC 内一点，E 为△ABC 外部一点，满足DA ＝DB ，BE ＝BA ，∠DBE ＝∠DBC ．求∠BED 的度数．4．如图．D 是△ABC 外一点．AB ＝AC ＝BD ＋CD ，∠ABD ＝60°求∠ACD 的度数．C B A C BB例3、如图1，△ABC 等边三角形，△BDC 是顶角120°的等腰三角形，以D 为顶点作60°的角，它的两边分别与AB 、AC 交于点M 和N ，连接MN ．（1）探究：BM 、MN 、NC 之间的关系，并加以证明；（2）若点M 、N 分别在射线AB 、CA 上，其他条件不变，再探究线段BM 、MN 、NC 之间的关系，在图2中画出相应的图形．并就结论说明理由类题演练5、如图，四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠BAD ＝60°，∠BCD ＝120°，求证：AC ＝BC ＋DC ．例4、问题：如图1，在等边三角形ABC 内有一点P ，且PA=2， PB=3， PC=1．求∠BPC 度数的大小和等边三角形ABC 的边长．李明同学的思路是：将△BPC 绕点B 逆时针旋转60°，画出旋转后的图形（如图2）．连接PP′，可得△P′P B 是等边三角形，而△PP′A 又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可证）．所以∠AP′B=150°，而∠BPC=∠AP′B=150°．进而求出等边△ABC 的边长为7．问题得到解决．请你参考李明同学的思路，探究并解决下列问题：如图3，在正方形ABCD 内有一点P ，且PA=5，BP=2，PC=1．求∠BPC 度数的大小和正方形ABCD 的边长．图3B类题演练6、M 为等边△ABC 外一点，∠BMC＝120°，把△ABM 绕着点A 按逆时针方向旋转60°到△CAN 的位置。

等边三角形的判定教学目标：1、 了解等边三角形的判定方法。

2、 会用等边三角形得相关判定解决简单的实际问题。

教学重点、难点重点：等边三角形的判定方法和应用；含30°角的直角三角形的性质；几何问题的代数解法。

难点：理解含30°角的直角三角形的性质的理论依据。

教学设计：一、回顾旧知，引入新知1、等边三角形具有哪些性质。

2、等边三角形的概念：三边都相等的三角形叫做等边三角形。

提出下列问题，组织学生进行分组讨论。

问题：一个三角形满足什么条件就是等边三角形？1、 师生共同分析讨论，归纳出等边三角形的和判定方法。

2、 由等腰三角形的判定方法就可以得到：⑴三边都相等的三角形叫做等边三角形。

；⑵三个角都相等的三角形是等边三角形．⑶有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 二、新课学习1.等腰三角形判定方法的证明 ⑴三个角都相等的三角形是等边三角形。

已知：ΔABC 中，∠A =∠B =∠C.求证：△ABC 是等边三角形 证明：∵∠A =∠B ∴AC=BC 同理：AB=AC∴AB=AC=BC ∴△ABC 是等边三角形⑵已知，在△ABC 中，AB=AC ，∠A=60°。

（1）求证：△ABC 是等边三角形。

（1） 如果把∠A=60°改为∠B=60°或∠C=60°结论还成立吗？____________________________________（2） 由上你可以得到什么结论？______________________________证明：∵AB=AC ∴∠B =∠C=（180°-∠A ）=（180°-60°）=60°∴∠A =∠B =∠C ∴△ABC 是等边三角形归纳：在判定三角形是等边三角形时（1）若三角形是一般三角形，只要找_三边相等__或_三个角相等___ ；（2）若三角形是等腰三角形，一般是找_有一个角等于60°____让学生动手操作，用两个含30°角的三角尺摆一摆，猜一猜，证一证。

2.2 等边三角形（1）一、选择题1．正三角形△ABC 的边长为3，依次在边AB 、BC 、CA 上取点A 1、B 1、C 1，使AA 1=BB 1=CC 1=1，则△A 1B 1C 1的面积是（ ）A ．B ．C ．D ．2．在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=10．若以点C 为圆心，CB 为半径的圆恰好经过AB 的中点D ，则AC=（ ）A ．5B ．C ．D ．63．将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形ABCD ，转动这个四边形，使它形状改变，当∠B=90°时，如图1，测得AC=2，当∠B=60°时，如图2，AC=（ ）A ．B ．2C ．D ．2二、填空题4．如图，在正三角形ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，则∠BAD= °．5．边长为2的正三角形的面积是 ．6．如图，正△ABC 的边长为2，以BC 边上的高AB 1为边作正△AB 1C 1，△ABC 与△AB 1C 1公共部分的面积记为S 1；再以正△AB 1C 1边B 1C 1上的高AB 2为边作正△AB 2C 2，△AB 1C 1与△AB 2C 2公共部分的面积记为S 2；…，以此类推，则S n = ．（用含n 的式子表示）7．已知△ABC为等边三角形，BD为中线，延长BC至E，使CE=CD=1，连接DE，则DE= ．8．由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作．小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可．如图1，衣架杆OA=OB=18cm，若衣架收拢时，∠AOB=60°，如图2，则此时A，B两点之间的距离是cm．9．我们规定：将一个平面图形分成面积相等的两部分的直线叫做该平面图形的“面线”，“面线”被这个平面图形截得的线段叫做该图形的“面径”（例如圆的直径就是它的“面径”）．已知等边三角形的边长为2，则它的“面径”长可以是（写出1个即可）．10．三个等边三角形的位置如图所示，若∠3=50°，则∠1+∠2= °．11．如图，△ABC是等边三角形，高AD、BE相交于点H，BC=4，在BE上截取BG=2，以GE为边作等边三角形GEF，则△ABH与△GEF重叠（阴影）部分的面积为．12．如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠E= 度．13．如图，直线a∥b，△ABC是等边三角形，点A在直线a上，边BC在直线b上，把△ABC沿BC方向平移BC的一半得到△A′B′C′（如图①）；继续以上的平移得到图②，再继续以上的平移得到图③，…；请问在第100个图形中等边三角形的个数是．14．如图，点B1是面积为1的等边△OBA的两条中线的交点，以OB1为一边，构造等边△OB1A1（点O，B1，A 1按逆时针方向排列），称为第一次构造；点B2是△OB1A1的两条中线的交点，再以OB2为一边，构造等边△OB2A2（点O，B2，A2按逆时针方向排列），称为第二次构造；以此类推，当第n次构造出的等边△OBnAn的边OAn与等边△OBA的边OB第一次重合时，构造停止．则构造出的最后一个三角形的面积是．15．已知等边三角形ABC的边长是2，以BC边上的高AB1为边作等边三角形，得到第一个等边三角形AB1C1，再以等边三角形AB1C1的B1C1边上的高AB2为边作等边三角形，得到第二个等边三角形AB2C2，再以等边三角形AB2C2的边B2C2边上的高AB3为边作等边三角形，得到第三个等边AB3C3；…，如此下去，这样得到的第n个等边三角形ABn Cn的面积为．16．已知等边三角形ABC的高为4，在这个三角形所在的平面内有一点P，若点P到AB的距离是1，点P 到AC的距离是2，则点P到BC的最小距离和最大距离分别是．三、解答题17．如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．（1）求∠F的度数；（2）若CD=2，求DF的长．初中数学试卷。