测量学测量误差及数据处理的基本知识

B 观测者的误差
C 测量误差
D 外界条件的变化
难度系数 c
若观测量的真值为X，观测值为li(i=1,2,…,n)，其算术 平均值为L，则描述观测值的（真）误差的正确表达式是 （A ）
A 观测值的（真）误差为 i= li -X; B 观测值的（真）误差为 i = X-L; C 观测值的（真）误差为 i = L-X; D 观测值的（真）误差为 i= li -X;
难度系数 A
L1、L2、L3为一组等精度观测值，其误差分别为-7mm, -2mm, +7mm，则它们的精度为（ A ）
A L1、L2、L3的精度相同； B L1最高、L3最低； C L3最高、L1最低； D L2最高、L1与L3相同 。
难度系数 B
丈量了D1、D2两段距离，其观测值及中误差分别为： D1=105.53m±0.05m，D2=54.60m±0.05m，这说明 ( A B ).
A D1和D2的中误差相同， B D1的相对精度高于D2的相对精度 C D1和D2的中误差不相同 D D1的相对精度低于D2的相对精度 E D1的相对精度与D2的相对精度相同。
难度系数 B
难度系数 B
精度指标
衡量精度的指标有：（ A C D ）
A 中误差
B 对中误差
C 相对误差
D 容许误差
E 偶然误差
难度系数 C
若水平角测量的中误差为6，则其极限误差可以取 值为（ C E ）
A 3
B 6
C 12
D 15
E 18
难度系数 C
观测值L1、L2为同一组等精度观测值，其含义是（ C D E ） A L1、L2的真误差相等 B L1、L2的改正数相等 C L1、L2的中误差相等 D L1、L2的观测条件基本相同 E L1、L2服从同一种误差分布

果对函数f（Δ ）求二阶导数等于零，可得曲线拐点的横坐标为：Δ 拐 ＝ ±σ 。由于曲线f（Δ ）横轴和直线Δ ＝－σ ，Δ ＝＋σ 之间的曲边梯形面
之差称为真误差，用Δ 表示。设三角形内角和的观测值为li，真值为X，则
三角形的真误差可由下式求得
用式（5.1）算得358个三角形内角和的真误差，现将358个真误差按3″为一 区间，并按绝对值大小进行排列，按误差的正负号分别统计出在各区间的误
差个数k，并将k除以总个数n（本例n＝358）误差来看，其误差的出现在数
值大小和符号上没有规律性，但观察大量的偶然误差就会发现其存在着一定 的统计规律性，并且误差的个数越多这种规律性就越明显。下面以一个测量
实例来分析偶然误差的特性。
某测区在相同的观测条件下观测了358个三角形的内角，由于观测值存在误 差，故三角形内角之和不等于理论值180°（也称真值）。观测值与理论值
值（有界性）；
②绝对值较小的误差出现的概率大，绝对值大的误差出现的概率小（单峰性）； ③绝对值相等的正、负误差出现的概率大致相等（对称性）；
④当观测次数无限增加时，偶然误差算术平均值的极限为零（补偿性）。即
式中，“［］”为总和号，即
为了更直观地表达偶然误差的分布情况，还可以用图示形式描述误差分布， 图5.1就是按表5.1的数据绘制的。其中以横坐标表示误差正负与大小，纵坐
1)仪器及工具由于测量仪器制造和仪器校正不完善，都会使测量结果产生测
量误差。 2)观测者由于观测者的技术水平和感觉器官鉴别能力的限制，使得在安置仪
器、瞄准目标及读数等方面都会产生误差。
3)外界条件观测过程所处的外界条件，如温度、湿度、风力、阳光照射等因 素会给观测结果造成影响，而且这些因素随时发生变化，必然会给观测值带

第6章
测量误差及数据处理的基本知识
第6章
测量误差及数据处理的基本知识
6．1 概述
6．1．1 测量与观测值
通过一定的仪器和方法在一定的环境下游操作人员 对某量进行量测，称为观测，获得的数据称为观测值。 6．1．2 观测与观测值的分类
1．同精度观测和不同精度观测
构成测量工作的要素包括观测者、测量仪器和外界条 件，通常将这些测量工作的要素统称为观测条件。
在实际测量工作中，以三倍中误差作为偶然误差的 容许值，称为容许误差。
6．4．4 相对误差
相对误差是中误差与观测值之比．是个无量纲数，在测 量上通常将其分子化为1，即用K＝1/N的形式来表示。 如：1/1000，1/5000等。 显然．相对中误差愈小(分母越大)．说明观测结果的精 度愈高，反之愈低。 相对中误差的分子也可以是闭合差或容许误差，这时分别称 为相对闭合差及相对容许误差。
该曲线称为高斯偶然误差分布曲线。 在概率论中，称为正态分布曲线。 在一定的观测条件下，对应着一个 确定的误差分布。 曲线的纵坐标y=概率/间距，它是 偶然误差⊿的函数，记为f(⊿)。
f(⊿ i)d⊿是偶然误差出现在微小区间(⊿ i + d⊿/2, ⊿ i +-d⊿/2) 内的概率，记为
p(⊿ i)= f(⊿ i)d⊿
6．1．3 测量误差及其来源
1．测量误差的定义 测量中的被观测量，客观上都存在着一个真实 值．简称真值。 对该量进行观测得到观测值。观测值与真值之差， 称为真误差．即
真误差＝观测值-真值
2．测量误差的反映
“必要观测”：为确定某一个被观测量或几何形体 所需要的最少的观测。
“多余观测”：在确定某一个被观测量或几何形体 所进行的观测过程中超过必要观测的观测。

加权算术平均值 相应观测值的权
三、最可靠值（最或是值）的精度评定 单位权中误差
权为1的观测值 中误差
m0
pvv
n 1
vi=li-x
测回数
最可靠值的中误差
Mx
加权平均值 的中误差
m0 p
pvv p n 1
举例
在水准测量中，已知从三个已知高程点A、B、C 出发，测得E点的三个高程观测值及各水准路线
偶然误差 – 在一定的观测条件下，单个误差的出现没有一定的规律性， 其数值大小和符号都不固定，大量的误差有统计规律的误差 – 偶然误差决定了观测结果的精密度； – 研究测量误差主要是针对偶然误差而言
二、研究目的
（1） 求取最可靠值（最或是值） （2） 衡量精度（结果的可靠性） 三、研究误差的出发点或原则： （1）根据不同的测量目的，允许在测量结果中含有一定程度 的测量误差 （2）目标并不是简单地使测量误差越小越好，而是要设法将 误差限制在与测量目的相适应的范围内 （3）分析测量误差，制定出衡量观测成果质量的标准，并求 得未知量的最合理最可靠的结果
等精度直接观测值的最可靠值
观测值
一、求最可靠值（最或是值）
最可靠值 证明
l1 l2 ln l x n n
观测次数
∵
△1=l1－X △2=l2－X
0 lin
n l X n
Hale Waihona Puke n ……… … △n=ln－X
l nX
n n n
§6.2
举例 ： b a c
偶然误差特性
一、偶然误差的四个特性
△i=ai+bi+ci-180°
（i=1,2, ··· ··· ··358）

河海大学测绘科学与工程系
偶然误差的四个特性
1.有界性：
在一定的条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限度；
2.集中性：
绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机会多；
3.对称性：
绝对值相等的正负误差出现的机会相等；
4.抵偿性：
偶然误差的算术平均值趋近于零，即：
lim 1 2 n lim 0
来源：这主要是由于粗心大意或各种干扰引起。如瞄错目标、读错大数，操作错 误、测量环境的异常变化、仪器故障等。 特点：无规律，单个误差具有离群的特征，粗差值大大超过系统误差或偶然误差。
如何处理粗差？ Ⅰ 加强观测者的责任心，培养细致的业务作风 Ⅱ 闭合差检验，剔除孤值 Ⅲ 近代平差中的抗差估计、粗差探测方法等
当观测值真值已知时的中误差计算
--理论上可用标准差来计算
方差：中误差的平方
D
2
lim n
n
lim n
2 n
标准差：
D lim n
n
lim n
2 n
实际测量中，观测个数 n 是有限的，由有限个观测值的偶然误差 求得的标准差的近似值（估值）为中误差，用 m 表示。
m 1 2 2 2 ... n2 2
4.抵偿性：
偶然误差的算术平均值趋近于零，即：
lim 1 2 n lim 0
n
n
n n
频率直方图
误差概率分布曲线
直方图
k n
d△
(频率/组距)
k/n(频率)
－△
+△
-1.6 -1.2 -0.8 -0.4 0 0.4 0.8 1.2 1.6 -1.4 -1.0 -0.6 -0.2 0.2 0.6 1.0 1.4

②仪器构造本身也有一定误差。
例如：
水准仪的视准轴与水准轴不平行，则测量结果中含有i 角 误差或交叉误差。
水准尺的分划不均匀，必然产生水准尺的分划误差。
3
2、人的原因
观测者感官鉴别能力有一定的局限性。观测者的习惯 因素、工作态度、技术熟练程度等也会给观测者成果带来 不同程度的影响。
3、外界条件
例如：外界环境如温度、湿度、风力、大气折光等因素 的变化，均使观测结果产生误差。 例如：温度变化使钢尺产生伸缩阳光曝晒使水准气泡偏 移，大气折光使望远镜的瞄准产生偏差，风力过大使仪器安置 不稳定等。 人、仪器和外界环境通常称为观测条件； 观测条件相同的各次观测称为等精度观测； 观测条件不相同的各次观测称为不等精度观测。
⑤ 随着 n 的增大，m 将趋近于σ 。
17
必须指出： 同精度观测值对应着同一个误差分布，即对应着同一个标 准差，而标准差的估计值即为中误差。 同精度观测值具有相同的中误差。 例3: 设对某个三角形用两种不同的精度分别对它进行了10次 观测，求得每次观测所得的三角形内角和的真误差为
第一组： +3″, -2″, -4″,+2″,0″,-4″,+3″, +2″, -3″, -1″； 第二组： 0″, -1″, -7″,+2″,+1″,+1″,- 8″, 0″, +3″, -1″.
2
n
lim
n

n
13
•
从5-3式可以看出正态分布具有前述的偶然误差特性。即:
1.f(△)是偶函数。即绝对值相等的正误差与负误差求得 的f(△)相等，所以曲线对称于纵轴。这就是偶然误差的第三 特性。 • 2.△愈小，f(△)愈大。当△=0时，f(△)有最大值; 反之， △愈大，f(△)愈小。当n→±∞时，f(△) →0,这就是偶然误 差的第一和第二特性。 • 3.如果求f(△)二阶导数并令其等于零，可以求得曲线拐 点横坐标： △拐=± • 如果求f(△)在区间± 的积分，则误差出现在区间内 的相对次数是某个定值 ，所以当 愈小时，曲线将愈陡峭， 即误差分布比较密集；当 愈大时，曲线将愈平缓，即误差 分布比较分散。由此可见，参数 的值表征了误差扩散的特 征。

lim
n→ ∞
∆1 + ∆ 2 +L ∆ n n
= lim
[∆ ]
n
n→ ∞
=0
本章此处及以后“ 表示取括号中下标变量的代数和， 本章此处及以后“[ ]”表示取括号中下标变量的代数和， 表示取括号中下标变量的代数和 即∑∆i=[∆]
பைடு நூலகம்
§6.1 观测误差来源及其分类 6.1.3 观测误差的分类及其处理方法
土木工程测量
第六章 测量误差的基本知识
1
§6.1 观测误差来源及其分类 6.1.1 观测及观测误差
对未知量进行测量的过程，称为观测。 对未知量进行测量的过程，称为观测。 观测 测量所获得的数值称为观测值。 测量所获得的数值称为观测值。 观测值 进行多次测量时， 进行多次测量时，观测值之间往往存在差异。这种差异实 观测值与其真实值(简称为真值) 质上表现为观测值与其真实值(简称为真值)之间的差异，这种 差异称为测量误差 观测误差。 差异称为测量误差 或 观测误差。 代表观测值， 代表真值， 用Li代表观测值，X代表真值，则有 Δi=Li-X (6-1) 式中Δ 就是观测误差， 真误差，简称误差 误差。 式中Δi就是观测误差，通常称为 真误差，简称误差。 一般情况下，只要是观测值必然含有误差。 一般情况下，只要是观测值必然含有误差。
§6.1 观测误差来源及其分类 6.1.3 观测误差的分类及其处理方法
根据性质不同， 根据性质不同，观测误差可分为系统误差和偶然误差 符号和大小保持不变或按一定规律变化。 1、系统误差——符号和大小保持不变或按一定规律变化。 系统误差 符号和大小保持不变或按一定规律变化 系统误差具有积累性，对测量结果影响很大。 系统误差具有积累性，对测量结果影响很大。 尽量设法消除和减小系统误差，方法有： 尽量设法消除和减小系统误差，方法有： 在观测方法和观测程度上采用必要的措施， ①在观测方法和观测程度上采用必要的措施，限制或削弱系 统误差的影响。 统误差的影响。 ②找出产生系统误差的原因和规律，对观测值进行系统误差 找出产生系统误差的原因和规律， 的改正。 的改正。 ③将系统误差限制在允许范围内。 将系统误差限制在允许范围内。 经纬仪照准部管水准器轴不垂直于仪器竖轴的误差对水 不垂直于仪器竖轴 如，经纬仪照准部管水准器轴不垂直于仪器竖轴的误差对水 平角的影响，将其影响减小到允许范围内。 平角的影响，将其影响减小到允许范围内。

d
2 m
误差出现在K倍中误差区间内的概率为：
km
P( km)
1
e

2 2m2
d
km 2 m
将K=1、2、3分别代入上式，可得到偶然误差分别出现在
一倍、二倍、三倍中误差区间内的概率：
P(|| m)=0.683=68.3 P(||2m)=0.954=95.5 P(||3m)=0.997=99.7
3.算术平均值的中误差式
函数式 全微分
x

l
n

1 n
l1

1 n
l2

1 n
ln
dx

1 n
dl1

1 n
dl2

1 n
dln
中误差式 mx
1 n2
m12

1 n2
m22

1 n2
mn2
由于等精度观测时，m1 m2 mn m ，代入上式：
(g)
由偶然误差的抵偿性知：
i j
lim xix j 0
n
n
(g)式最后一项极小于前面各项， 可忽略不计，则：
2
K
f12
x12 K
f22
x22 K

f
2 n
xn2 K
即
mz2

f12mx21
f
2 2
mx22



安徽工业大学
土木工程系
23
2020年1月9日星期四
二 .几种常用函数的中误差
1.倍数函数的中误差 设有函数式 Z Kx
(x为观测值，K为x的系数)

2 1 1 2 2 2 2 n n
k
1
k
2
k
n
k
顾及中误差的定义公式，并设Xi的中误差为mi，则可得：
m a m a m a m
2 2 2 2 2 Y 1 1 2 2 n
2
n
三、非线性函数的中误差传播定律
设有非线性函数Y = f（X1，X2，„，Xn），Xi（i =1,2, …,n）为独立观测量，并设Xi的中误差为mi， 为此，可先将非线性函数线性化，然后再按线性函 数处理。
准确度（Accuracy）：表示测量结果与其真值接近程度的量。反 映系统误差的大小。
精密度（ Precision ）：表示测量结果的离散程度。反映偶然误 差的大小量。
二、衡量精度的指标
1. 中误差（root mean square error）
根据偶然误差概率分布规律，以标准差σ为标准衡量在一定观测 条件下观测结果的精度是比较合适的。 在测量中定义：按有限次观测的偶然误差求得的标准差为中误差， 用m表示，即
在相同的观测条件下，对某一量进行一系列的观测，如果出现的 误差在符号和数值上都相同，或按一定的规律变化，这种误差称为 系统误差。如：钢尺的尺长误差等。 系统误差对观测结果的影响具有累积性，因而对成果质量的影响 也特别显著。但由于它具有规律性，可采用下列方法消除或削弱其 影响：
计算改正数。 采用一定的观测方法。 2. 偶然误差（Accident Error，& Random Error）
由上图可以看出：偶然误差的出现符合正态分布，其分布曲线的方程式为：
1 f ( ) e 2
2 2 2
(1)
方差为偶然误差平方的理论平均值：
标准差为