矩阵练习2

高中数学专题复习《矩阵与变换二阶矩阵平面逆变换等》单元过关检测经典荟萃，匠心巨制！独家原创，欢迎下载！注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上 评卷人得分 一、填空题1．已知矩阵1101,20201⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A B ，若矩阵AB 对应的变换把直线l ：20x y +-=变为直线'l ，求直线'l 的方程.2．在直角坐标系中，已知椭圆2241x y +=，矩阵阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0110M ，0210N ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求在矩阵MN 作用下变换所得到的图形的面积. 评卷人得分 二、解答题3．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=d c A 33，若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=111α，属于特征值1的一个特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=232α．求矩阵A 的逆矩阵．【考点定位】本题考查的是矩阵的特征值特征向量和逆矩阵的运算，正确理解概念是本题的关键。

4．已知直线:1l ax y +=在矩阵1201A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下变为直线':1l x by +=.(Ⅰ)求实数,a b 的值;(Ⅱ)若点00(,)p x y 在直线上,且0000x x A y y ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,求点p 的坐标. （汇编年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版））矩阵与变换5．求曲线C ：xy=1在矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=1111M 对应的变换作用下得到的曲线C 1的方程。

6．已知矩阵A =3101⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，求A 的特征值1λ，2λ及对应的特征向量12,αα．7．已知矩阵M 2311-⎛⎫ ⎪-⎝⎭所对应的线性变换把点A(x,y )变成点'(13,5)A ,试求M 的逆矩阵及点A 的坐标。

8．二阶矩阵M 有特征值8λ=，其对应的一个特征向量e =11⎡⎤⎢⎥⎣⎦，并且矩阵M 对应的变换将点（－1，2）变换成点(－2,4)，求矩阵M 的逆矩阵2M .【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除评卷人得分 一、填空题1．易得……3分,在直线上任取一点，经矩阵变换为点，则，∴，即……8分代入中得,∴直线的方程为……………10分解析：易得11101122020102AB ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦……3分, 在直线l 上任取一点(,)P x y ''，经矩阵AB 变换为点(,)Q x y ，则11122022x x x y y y y ⎡⎤⎡⎤'''+⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦'⎣⎦⎣⎦，∴122x x y y y ⎧''=+⎪⎨⎪'=⎩，即142x x y yy ⎧'=-⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩……8分 代入20x y ''+-=中得12042y x y -+-=,∴直线l '的方程为480x y +-=……………10分2．，………………4分设为椭圆上任一点，它在的作用下所对应的点为，则，………………6分∴，即，………………10分代入得，………………12分∴.………………14分解析： 010*********MN ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦， ………………4分设00(,)x y 为椭圆2241x y +=上任一点，它在MN 的作用下所对应的点为(,)x y ，则000010202x x x y y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦， ………………6分 ∴ 002x x y y =⎧⎨=⎩，即002x x y y =⎧⎪⎨=⎪⎩， ………………10分 代入220041x y +=得221x y +=， ………………12分∴ S π=. ………………14分评卷人得分 二、解答题3．4．解:(Ⅰ)设直线:1l ax y +=上任意一点(,)M x y 在矩阵A 对应的变换作用下的像是(,)M x y '''由12201x x x y y y y '+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,得2x x y y y'=+⎧⎨'=⎩ 又点(,)M x y '''在l '上,所以1x by ''+=,即(2)1x b y ++=依题意121a b =⎧⎨+=⎩,解得11a b =⎧⎨=-⎩(Ⅱ)由0000x x A y y ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,得000002x x y y y =+⎧⎨=⎩解得00y = 又点00(,)P x y 在直线上,所以01x =故点P 的坐标为(1,0)5．6．7．8．设M=a b cd ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则由a b c d ⎛⎫ ⎪⎝⎭11⎡⎤⎢⎥⎣⎦=811⎡⎤⎢⎥⎣⎦得a b c d +⎡⎤⎢⎥+⎣⎦=88⎡⎤⎢⎥⎣⎦，即a+b=c+d=8.……2分 由a b c d ⎛⎫ ⎪⎝⎭12-⎡⎤⎢⎥⎣⎦=24-⎡⎤⎢⎥⎣⎦,得2224a b c d -+-⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥-+⎣⎦⎣⎦，从而-a+2b=-2，-c+2d=4. ……4分 由a+b =8及-a+2b=-2，解得a=6，b=2； ……………………………………6分由c+d =8及-c+2d=4，解得c=4，b=4所以M=6244⎡⎤⎢⎥⎣⎦， ……………………8分从而M2=6244⎡⎤⎢⎥⎣⎦6244⎡⎤⎢⎥⎣⎦=44204024⎡⎤⎢⎥⎣⎦ (10)分。

高中数学专题复习
《矩阵与变换二阶矩阵平面逆变换等》单元过关
检测
经典荟萃，匠心巨制！独家原创，欢迎下载！
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上 评卷人
得分 一、填空题
1．已知A(0,0),B (1,3),C(0,2)，△ABC 在矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣
⎡-21232321对应的变换作用下得到的图形的面积为 ．
2．（理）写出系数矩阵为
()1221，且解为()()11x y =的一个线性方程组是 ．
（文）系数矩阵为()1221的线性方程组{112233a x b y a x b y +=+=的解是{
___,___.x y == 评卷人
得分 二、解答题
3．已知矩阵1012,0206A B -⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣
⎦,求矩阵B A 1-.（汇编年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD 版含附加题））B. [选修4-2:矩阵与变换]本小题满分10分.。

线性代数基础训练习题二一．选择题:1. 设为矩阵，B为矩阵，且,则矩阵为（ ）（A）矩阵；（B）矩阵；（C）矩阵；（D）矩阵2.设为阶方阵，且,则必有（ ）（A）；（B）；（C）；（D）3. 设为阶方阵，则必有（ ）（A）；（B）；（C） ； （D）4.设为n阶矩阵的伴随矩阵，则下列结论不正确的是（ ）（A）若可逆，则也可逆；（B）若是零矩阵，则也是零矩阵；（C）若可逆，则也可逆；（D）若是零矩阵，则也是零矩阵；5.矩阵都是可逆矩阵，则下列结论不正确的是（ ）（A）是可逆矩阵；（B）的转置矩阵是可逆矩阵；（C）是可逆矩阵；（D）是可逆矩阵。

6.设为阶方阵，且，则必有（ ）（A）；（B）；（C）；（D）A不是可逆矩阵7.将矩阵的第一行与第三行元素互换位置，再把第一行每个元素的-3倍，加到第二行对应的元素上，得到矩阵B，则矩阵B是（ ）（A）；（B）；（C）（D）；8．对于方阵A进行一系列初等变换，下列选项中可能变化的是（ ）（A）A的秩；（B）A的行列式；（A）A的行数；（D） A的列数9.设5阶矩阵A的秩是3，则有A的伴随矩阵的秩（ ）（A）；（B）；；（D）二．填空题:1. 已知3阶矩阵的行列式，则有。

2. = 。

3设3阶矩阵A的伴随矩阵为，，则 .4设，则 .5设，则 .6.将3阶矩阵A的第一行元素都乘以2加到第三行对应元素上去得到矩阵B，相当于在矩阵A的左边乘以一个初等矩阵P就会得到矩阵B，这个初等矩阵P =。

7将3阶矩阵A的第一列元素加到第三列对应元素上去得到矩阵B，相当于在A的右边乘以初等矩阵P= 得到B.8.矩阵的秩 .9已知的秩为2，则。

10.设，则三．计算题:1.设矩阵和，求。

2. 设矩阵，求。

3.设矩阵，求此矩阵的逆矩阵。

4.已知及使,求.5.已知且,求.6.设三阶矩阵满足：，且，求.7.用初等变换法求的逆矩阵8.将矩阵化为行阶梯矩阵，并求其一个最高阶的非零子式。

9.求矩阵的秩：（1）；（2）10.设为3阶矩阵，是的伴随矩阵，，求四．证明题：1.设为阶矩阵，是的伴随矩阵，证明：的充分必要条件是。

第二章一、选择题1、计算13230102-⎡⎤⎡⎤+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦的值为（C ） A.-5 B.6 C.3003⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D.2902-⎡⎤⎢⎥⎣⎦2、设,A B 都是n 阶可逆矩阵，且AB BA =，则下列结论中不正确的是（D ）A. 11AB B A --=B. 11A B BA --=C. 1111A B B A ----=D.11B A A B --=3、初等矩阵（A ）A. 都是可逆阵B.所对应的行列式值等于1C. 相乘仍是初等阵D.相加仍是初等阵4、已知,A B 均为n 阶矩阵，满足0AB =,若()2r A n =-，则（C ）A. ()2r B =B.()2r B <C. ()2r B ≤D.()1r B ≥二、判断题1、若,,A B C 都是n 阶矩阵，则()k k k k ABC A B C =. （×）2、若,A B 是n 阶反对称方阵，则kA 与A B +仍是反对称方阵.（√）3、矩阵324113A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦与矩阵2213B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦可进行乘法运算. (√) 4、若n 阶方阵A 经若干次初等变换后变成B ，则A B =. (×)三、填空题1、已知[]456A =，123B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，求AB 得_________。

(32)2、已知12n a a A a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦（0,1,2,,i a i n ≠=），则1A -=3、设A 为n 阶方阵，2A =，求T A A 的值为_________。

4、设A 为33⨯矩阵，3A =-，把A 按列分块为()123A A A A =,求出132,4,A A A 的值为__________。

四、计算题1、计算()101112300121024--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.解 原式()12092(38)4-⎡⎤⎢⎥==-⎢⎥-⎢⎥⎣⎦.2、求矩阵100120135A -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥-⎢⎥⎣⎦的逆矩阵.解 求出10A =-，11201035A ==，1210515A -=-=-，1311113A --==--，2100035A =-=,2210515A -==--,2310313A -==-, 12111n a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦1212n +3100020A ==,3210010A -=-=-,3310212A -==-- 故*11001102213110105A A A -⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦.五、证明题设n 阶方阵A 满足3()0A I +=，求证A 可逆，且求1A -.证 由3()0A I +=得32330A A A I +++=,于是2(33)A A A I I ⎡⎤-++=⎣⎦. 令233B A A I =---,则AB =I ,故A 可逆，且1233A A A I -=---.。

习题课一 （第二章） 内容介绍一、 第二章基本内容回顾 二、 讲评第二章练习题 三、 讲评第二章部分习题四、 讲评辅导材料第二章中部分典型题一、 第二章矩阵基本内容回顾§2.1 基本内容2.1.1 矩阵的运算1．矩阵的加法设,][,][n m ij n m ij b B a A ⨯⨯==则.][n m ij ij b a B A ⨯+=+2．矩阵的数乘.][n m ij ka kA ⨯=矩阵的加法与数乘统称为矩阵的线性运算，它们满足以下算律： ∙ ;A B B A +=+∙ );()(C B A C B A ++=++ ∙ );()(lA k A kl = ∙ ;)(lA kA A l k +=+∙ 。

A A k kA n为阶方阵|,|||= 3．矩阵的乘法设,][,][p n kj n m ik b B a A ⨯⨯==则,][,][p n kj n m ik b B a A ⨯⨯== 其中.,,2,1,,,2,1,1p j m i b aC kjnk ik ij ===∑=即矩阵C 的第i 行第j 列的元素等于A 的第i 行的元素与B 的第j 列对应元素乘积这和。

两个矩阵可乘的条件是：左边矩阵A 的列数等于右边矩阵B 的行数。

矩阵乘法与数的乘法有很大差异，它体现在∙ 矩阵乘法不满足交换律，即一般地，.BA AB ≠∙ 矩阵乘法含有非零的零因子，即既使0,0≠≠B A ，可能有.0AB =∙ 矩阵乘法不满足消去律，即由0,≠=A AC AB 不能导出.C B =矩阵乘法满足以下运 算律：∙ );()(BC A C AB =∙ ;)(,)(CA BA A C B AC AB C B A +=++=+ ∙ );()()(kB A B kA AB k == ∙ B A B A AB ,|,|||||=为同阶方阵。

4．矩阵的转置 设nn n n n a a a a a a a a a A2121222111211=则A 的转置为nnn nm m Ta a a a a a a a a A212222112111=矩阵转置满足以下算律： ∙ ;)(A A TT =∙ ;)(TTTB A B A +=+ ∙ ;)(TTTA B AB +=∙ |A ||A |T =，此时A 为阶方阵。