信号与系统第五章

第五章：拉普拉斯变换§5.1 定义、存在性（《信号与系统》第二版（郑君里）4.2）问题的提出：信号()f t 的傅里叶变换存在要求：()[]1L ,f t ∈-∞+∞，但有些信号不绝对可积，例如()1sgn L t ∉。

当时的处理方法是乘以双边指数函数，把符号函数“拉”下来，使相乘以后的信号绝对可积。

(){}(){}||sgn lim sgn 0t t et σσσ-→=>F F，。

因此，便考虑将t e σ-纳入积分核，使非绝对可积信号可以做频谱分析。

为使问题简化，仅考虑t > 0的情形，即因果信号、单边变换。

对因果信号()()()f t f t u t =，(){}()()()j -j 00d d ttttef t f t ee tf t e t σωσσω+∞+∞-+--⎡⎤==⎣⎦⎰⎰F ()(){}0d stf t e t f t +∞-==⎰L（5-1）定义信号()f t 的（单边）拉普拉斯变换为：()(){}()0d j st F s f t f te t s σω+∞-=+⎰，L（5-2）()()()j j 01d d 2t t t f tef t e t e σωσωωπ+∞+∞-+--∞⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰⎰ 令j s σω=+，σ为常数，d jd s ω=()()()j j j 1d 2jt f t F s e s σσωσπ+∞+-∞=⎰()(){}()j 1j 1d 2j st f t F s F se s σσπ+∞--∞⎰ L（5-3）（4-2）式和（4-3）式是一对拉普拉斯变换式，()f t 称为原函数，()F s 称为像函数。

定义（指数阶函数）：指()f t 分段连续（存在有限个第一类间断点），且00M T ∃>>，，使()0t f t Me σ≤，对t T ∀>。

注：()()0O t f t e σ=。

()F s 存在：()F s <∞。

安徽建筑工业学院电信学院第五章连续系统的s域分析频域分析以虚指数信号e jωt为基本信号，任意信号可分解为众多不同频率的虚指数分量之和。

使响应的求解得到简化。

物理意义清楚。

但也有不足：（1）有些重要信号不存在傅里叶变换，如e2tε(t);（2）对于给定初始状态的系统难于利用频域分析。

在这一章将通过把频域中的傅里叶变换推广到复频域来解决这些问题。

本章引入复频率s = σ+jω,以复指数函数e st为基本信号，任意信号可分解为不同复频率的复指数分量之和。

这里用于系统分析的独立变量是复频率s，故称为s域分析。

所采用的数学工具为拉普拉斯变换。

安徽建筑工业学院电信学院§5.1 拉普拉斯变换•从傅里叶变换到拉普拉斯变换•收敛域•(单边)拉普拉斯变换•常见函数的拉普拉斯变换•单边拉氏变换与傅里叶变换的关系安徽建筑工业学院电信学院一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换有些函数不满足绝对可积条件，求解傅里叶变换困难。

为此，可用一衰减因子e-σt(σ为实常数）乘信号f(t) ，适当选取σ的值，使乘积信号f(t) e-σt当t→∞时信号幅度趋近于0 ，从而使f(t) e-σt的傅里叶变换存在。

相应的傅里叶逆变换为f(t) e-σt= ∫∞∞−+ωωσπωde)(21tjbjFF b(σ+jω)=ℱ[ f(t) e-σt]= ttfttf t jtjt de)(dee)()(∫∫∞∞−+−∞∞−−−=ωσωσ∫∞∞−++=ωωσπωσde)(21)()(tjbjFtf令s = σ+ jω,d ω=ds/j，有安徽建筑工业学院电信学院定义∫∞∞−−=tetfsF stbd)()(∫∞+∞−=jjde)(j21)(σσπssFtf stb双边拉普拉斯变换对Fb(s)称为f(t)的双边拉氏变换（或象函数），f(t)称为Fb(s) 的双边拉氏逆变换（或原函数）。

安徽建筑工业学院电信学院二、收敛域只有选择适当的σ值才能使积分收敛，信号f(t)的双边拉普拉斯变换存在。

5-6 解题过程： 令 ()()1c e t t πδω=，()()2sin c c t e t tωω= ()()11πωω==⎡⎤⎣⎦cE j e t F()()()()220πωωπωωωωωωω⎧<⎪==+−−=⎡⎤⎡⎤⎨⎣⎦⎣⎦⎪⎩，，其他c c c c c E j e t u u F 理想低通的系统函数的表达式 ()()()j H j H j e ϕωωω=其中 ()10c c H j ωωωωω⎧<⎪=⎨≥⎪⎩，，()0t ϕωω=−因此有()()()0t 110ωπωωωωωω−⎧<⎪==⎨⎪⎩c c e R j H j E j ，，其他 ()()()0t 220ωπωωωωωω−⎧<⎪==⎨⎪⎩c c e R j H j E j ，，其他()()12ωω=R j R j 则()()1112ωω−−=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦R j R j FF5-8 解题过程： 记 ()sin sin ωωωπωπ==⋅c c cc t t f t t t ()()0πωωωωωω⎧<⎪==⎡⎤⎨⎣⎦⎪≥⎩，，ccc F j f t F ()()()()sin 0ωωππωωωωωωωω⎧⎫⎡⎤⎪⎪==⎡⎤⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎣⎦⎩⎭⎧⋅<⎪==⎨⎪≥⎩，，c c cc td H j h t dt t j j F j F F故 ()0ωωωωπωωω⎧⋅<⎪=⎨⎪≥⎩c cc H j ，， ()20πωωϕωωω⎧<⎪=⎨⎪≥⎩c c，，()ωH j 和()ϕω的图形如解图。

5-11 解题过程：由题图5-11有()()()()211=−−∗⎡⎤⎣⎦v t v t T v t h t 据时域卷积定理有()()()()211ωωωωω−⎡⎤=−⎣⎦j TV j V j e V j H j（1）()()1=v t u t()()()()2=−−∗⎡⎤⎣⎦v t u t T u t h t由()()()101ωπ−==−⎡⎤⎣⎦h t H j Sa t t F，()()()λλ−∞∗=∫tf t u t f d ，有 ()()()()()00200''''''1111λλλλππλλλλππ−−∞−∞−−−−∞−∞=−−−=−∫∫∫∫t Ttt t Tt t v t Sa t d Sa t d Sa d Sa d又知()()−∞=∫yi S y Sa x dx ，所有()()()2001π=−−−−⎡⎤⎣⎦i i v t S t t T S t t （2）()12sin 22⎛⎞⎜⎟⎛⎞⎝⎠==⎜⎟⎝⎠t t v t Sa t()()111220πωω⎧<⎪==⎡⎤⎨⎣⎦⎪⎩V j F v t 其他则 ()()()()()021121120ωωωπωωωω−−−⎧−<⎪=−=⎨⎪⎩j t j Tj Te eV j V j H j e其他所以 ()()()()122001122ω−⎡⎤⎡⎤==−−−−⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦v t V j Sa t t T Sa t t F 5-18 解题过程：信号()g t 经过滤波器()ωH j 的频谱为()()()()()1sgn ωωωωω==−G G H j j G信号()g t 经过与()0cos ωt 进行时域相乘后频谱为()()()20012ωωωωω=++−⎡⎤⎣⎦G G G 信号()1g t 经过与()0sin ω−t 进行时域相乘后频谱为()()()()()()()()()()()310100000000021sgn sgn 21sgn sgn 2ωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωω=−+−−⎡⎤⎣⎦=−++−−−⎡⎤⎣⎦=−−+++⎡⎤⎣⎦jG G G G G G G()()()()()()()()()()()()(){}23000000000011sgn sgn 2211sgn 1sgn 2ωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωω=+=++−+−−+++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=+−++−++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦V G G G G G G G G 又由于 ()()()00021sgn 0ωωωωωω>⎧⎪+−=⎨<⎪⎩则 ()()()()()0000ωωωωωωωωω=−−+++V G U G U 其图形如图所示5-20 解题过程：（1）系统输入信号为()δt 时，()()()0cos δωδ=t t t 所以虚框所示系统的冲激响应()h t 就是()i h t 即 ()()()()010sin 2ωπ−Ω−⎡⎤⎣⎦==⎡⎤⎣⎦−i t t h t H j t t F（2）输入信号与()0cos w t 在时域相乘之后()()()()()220200sin sin 1cos 2cos cos 2ωωωΩΩ+⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥ΩΩ⎣⎦⎣⎦t t t e t t t t t 又由()ωi H j 的表达式可知0ωΩ 时，载波为02ω的频率成分被滤除 而且 ()0ϕωω=−t故 ()()()200sin 12⎡⎤Ω−=⎢⎥Ω−⎣⎦t t r t t t（3）输入信号()e t 与0cos ωt 在时域相乘之后()()()()220000sin sin 1cos sin cos sin 22ωωωωΩΩ⎡⎤⎡⎤==⋅⎢⎥⎢⎥ΩΩ⎣⎦⎣⎦t t e t t t t t t t 0ωΩ 时，载波为02ω的频率成分被滤除故 ()0=r t（4）由于理想低通滤波器能够无失真的传输信号，只是时间上的搬移，故理想低通滤波器是线性时变系统；又 ()()=i h t h t 所以该系统是线性时变的。

第5章 连续时间信号的抽样与量化5.1 学习要求（1）掌握时域抽样过程及时域抽样定理，会求已知信号的奈奎斯特频率； （2）深刻理解连续时间信号的内插恢复过程； （3）理解频域采样定理；（4）了解连续时间信号的离散处理过程。

5.2 本章重点（1）时域抽样定理及信号恢复的条件； （2）连续时间信号的内插恢复过程；5.3 本章的知识结构5.4 本章的内容摘要5.4.1 时域抽样定理所谓“时域抽样”就是利用抽样脉冲序列)(t p 从时域连续信号)(t f 中抽取一系列的离散样值，这种离散信号通常称为抽样信号，以)(t f s 表示。

时域抽样过程可以看作相乘过程，即抽样信号可用连续时间信号)(t f 与一开关函数)(t p （即抽样脉冲序列）相乘来表示，抽样以后的信号（即抽样信号）的表示式为：)()()(t p t f t f s（1）矩形脉冲序列的抽样如果抽样脉冲序列是周期为s T ，幅度为1，宽度为τ的矩形脉冲序列)(t p ，则它的频谱密度)(ωp 为：∑∞-∞=-=n snn a p )(2)(ωωδπω其中)2(22sinτωττωτωτs s s s s n n Sa T n n T a =⋅=，ss T πω2=设原连续时间信号)(t f 的频谱密度为)(ωF ，则根据频域卷积定理得到抽样信号)(t f s 的频谱为：)()2()](*)([21)(s s n ss n F n Sa T p F F ωωτωτωωπω-==∑∞-∞= （2）冲激序列抽样在抽样脉冲序列)(t p 中，当脉冲宽度τ很小时，抽样脉冲序列可以近似看成是周期为sT 的单位冲激序列，通常把这种抽样称为冲激抽样或理想抽样。

设单位冲激序列)(t T δ为： ∑∞-∞=-=n sT nT t t )()(δδ输入的连续时间信号为)(t f ，则抽样信号为：()()()()()s T s s n f t f t t f nT t nT δδ∞=-∞=⋅=⋅-∑设原输入信号)(t f 的频谱密度为)(ωF ，而单位冲激序列)(t T δ的频谱密度)(ωδT 为：∑∞-∞=-=n s sT n T )(2)(ωωδπωδ 其中ss T πω2=则根据频域卷积定理得抽样信号)(t f s 的频谱为：∑∞-∞=-==n ssT s n F T F F )(1)](*)([21)(ωωωδωπω（3）时域抽样定理从前面可以看出,要想从抽样信号)(t f s 中恢复出被采样信号)(t f ，就要求能够从周期性延拓后的频谱中完整地分离出原信号的频谱，也就要求在频谱周期延拓过程中不发生频谱混迭现象，那么，如果被采样信号)(t f 是一频谱在),(m m ωω-以外为零的带限信号,则只要按照抽样频率m s ωω2≥或m s f f 2≥（其中s s T f 1=）进行等间隔抽样，抽样信号)(t f s 的频谱将不发生频谱混迭，从)(t f s 的频谱中就能完全地恢复原连续时间信号的)(t f 频谱，也可以说)(t f s 包含了原连续时间信号)(t f 的全部信息。