高考专题复习三角函数

2012年高考专题复习——三角函数

【知识要点】 一、角的概念 1.①与α（0°≤α<360°）终边相同的角的集合 （角α与角β的终边重合）:{}Z k k ∈+⨯=,360|αββ ; ②终边在x 轴上的角的集合:{}Z k k ∈⨯=,180| ββ; ③终边在y 轴上的角的集合：

{}

Z k k ∈+⨯=,90180

|

ββ;

④终边在坐标轴上的角的集合：{}Z k k ∈⨯=,90| ββ.

2. 角度与弧度的互换关系： 360°=2π 180°=π 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′

注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零, 熟记特殊角的弧度制.

3.弧度制下，扇形弧长公式12r α=，扇形面积公式211

||22

S R R α==，其中α为弧所对

圆心角的弧度数。

二、三角函数的定义

1.三角函数定义:利用直角坐标系，可以把直角三角形中的三角函数推广到任意角的三角数.在α终边上任取一点(,)P x y （与原点不重合），记22||r OP x y ==+， 则sin y r

α=，cos x r

α=，tan y x

α=，cot x y

α=。

注: ⑴三角函数值只与角α的终边的位置有关，由角α的大小唯一确定,

∴三角函数是以角为自变量,以比值为函数值的函数. ⑵根据三角函数定义可以推出一些三角公式: ①诱导公式：即

2

k π

αα±→或902k αα±→ 之间函数值关系()k Z ∈，其规律是“奇变偶不变，符号看象限” ；如sin(270)α-=cos α- ②同角三角函数关系式：平方关系，倒数关系，商数关系.

⑶重视用定义解题.

⑷三角函数线是通过有向线段直观地表示出角的各种三角函数值的一种图示方法.如单位

圆

;;MP OM AT 正弦线:余弦线:正切线: 2. 各象限角的各种三角函数值符号: 一全二正弦,三切四余弦

sin y r α=

cos x r α= tan y

x

α=,cot x y α=

(纵坐标y 的符号) (横坐标x 的符号)

三、三角函数公式

（一）诱导公式 奇变偶不变，符号看象限

公式组二 (k Z ∈) 公式组七

sin(2)sin ,cos(2)cos tan(2)tan ,cot(2)cot k x x k x x

k x x k x x

ππππ+=+=+=+=

公式组三

sin()sin tan()tan cos()cos cot()cot x x x x

x x

x x

-=--=--=-=-

公式组四 公式组五

x

x x x x x x

x cot )cot(tan )tan(cos )cos(sin )sin(=+=+-=+-=+ππππ x

x x x x

x x

x cot )2cot(tan )2tan(cos )2cos(sin )2sin(-=--=-=--=-ππππ

(二)两角和与差公式

公式组一 两角和与差的三角函数关系式

βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+

βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=- βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+ βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=-

β

αβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+=

+

β

αβαβαtan tan 1tan tan )tan(+-=

-

公式组二: 二倍角公式 αααcos sin 22sin =

ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=

α

αα2tan 1tan 22tan -=

2

cos 12

sin

α

α-±

= 2

cos 12

cos

α

α+±

=,1cos sin 1cos tan

21cos 1cos sin ααααααα--=±==++

公式组三：万能公式

公式组四

1

cos()sin 2

παα

-=1

cos()sin 2

παα

+=-1

sin()cos 2

παα-= 1

sin()cos 2

παα

+=,

1tan()cot 2παα-=,1

tan()cot 2παα

+=-

常用数据:

30456090

、、、的三角函数值

62

sin15cos 754

-

==

,4

2

615cos 75sin +=

=

3275cot 15tan -== ,3215cot 75tan +==

注: ⑴以上公式务必要知道其推导思路，从而清晰地“看出”它们之间的联系，它们的变化形式.

如tan()(1tan tan )tan tan αβαβαβ+-=+ 221cos 1cos cos ,sin 2222

αααα

+-==

等. 从而可做到:正用、逆用、变形用自如使用各公式.

⑵三角变换公式除用来化简三角函数式外，还为研究三角函数图象及性质做准备. ⑶三角函数恒等变形的基本策略。

①常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cos 2θ+sin 2θ=tanx ·cotx=tan45°等。 ②项的分拆与角的配凑。

如分拆项：222222sin 2cos (sin cos )cos 1cos x x x x x x +=++=+; 配凑角(常用角变换):

2()()ααβαβ=++-、2()()βαβαβ=+--、2

2

αβ

αβ

α+-=

+

、2

2

αβ

αβ

β+-=

-

、

()ααββ=+-等.

③降次与升次。即倍角公式降次与半角公式升次。