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微积分基本定理牛顿—莱布尼茨公式

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微积分学基本定理

微积分学基本定理
微积分学基本定理
一、问题的提出
变速直线运动中位置函数与速度函数的联系
设某物体作直线运动，已知速度v v(t )是时
间间隔[T1 ,T2 ]上t 的一个连续函数，且v(t ) 0 ，
求物体在这段时间内所经过的路程.
变速直线运动中路程为
T2 v(t )dt
T1
另一方面这段路程可表示为 s(T2 ) s(T1 )

F (b)

F (a)

F ( x)ba
微积分基本公式表明：
一个连续函数在区间[a, b]上的定积分等于 它的任意一个原函数在区间[a, b]上的增量.
求定积分问题转化为求原函数的问题.
注意
当a

b时， b a
f
(
x)dx

F
(b)

F
(a ) 仍成立.
； 快速阅读加盟 阅读加盟
2 x
解 当 x 0时，1 的一个原函数是ln | x |,
x
1
2
1dx x
ln |
x
|
1 2

ln1 ln 2 ln 2.
例 4 计算曲线 y sin x在[0, ]上与 x轴所围
计算: (1)
21 dx;
1x
3
1
(2) 1 (2x x2 )dx

(3)0 sin xdx;
2
(4) sin xdx;
2
(5)0 sin xdx;

例1
求
2 0
(
2
cos
x

sin
x

1)dx
.
解
原式

微积分牛顿莱布尼茨公式

微积分牛顿莱布尼茨公式

微积分牛顿莱布尼茨公式牛顿－莱布尼茨公式是微积分中的基本定理之一，也称为微积分基本定理或者牛莱公式。

该公式是微积分的重要工具，用于求解定积分和微分方程等问题。

下面我将为您详细介绍和解释这一公式。

牛顿－莱布尼茨公式可以用以下方式表述：设函数f(x)在区间[a,b]上连续且可导（即f'(x)存在），则该函数在[a,b]上的定积分可以被表示为：∫[a to b] f'(x) dx = f(b) - f(a)其中，∫ 符号表示积分，[a to b] 表示积分的区间，f'(x) 表示函数 f(x) 的导数。

该公式的物理含义是：函数曲线下方的面积等于函数在区间[a,b]上的两个端点所对应的函数值之差。

让我们来看一个具体的例子来理解牛顿－莱布尼茨公式的应用。

假设有一个函数 f(x) = 2x，在区间 [1, 3] 上。

我们可以求这个函数在该区间上的定积分，即∫[1 to 3] f'(x) dx。

首先，我们需要求出函数f'(x)，即函数f(x)的导数。

对于f(x)=2x，它的导数f'(x)=2接下来，我们将导数 f'(x) 代入定积分公式，得到∫[1 to 3] 2 dx。

将上限 3 和下限 1 代入函数 f(x) = 2x，得到 f(3) = 2 * 3 = 6和 f(1) = 2 * 1 = 2然后，我们将 f(3) - f(1) 代入定积分公式，得到∫[1 to 3] 2dx = 6 - 2 = 4所以，函数f(x)=2x在区间[1,3]上的定积分是4这个例子展示了牛顿－莱布尼茨公式的应用。

通过求解函数的导数，并将导数代入定积分公式，可以得到函数在给定区间上的定积分值。

当对复杂函数进行定积分时，牛顿－莱布尼茨公式可以极大地简化计算。

我们可以通过求函数的导数来得到原函数，然后将原函数代入定积分公式来求解定积分。

这种方法比直接计算定积分更加方便且高效。

需要注意的是，牛顿－莱布尼茨公式只适用于连续可导的函数。

莱布尼茨公式与牛顿莱布尼茨公式的区别与联系

莱布尼茨公式与牛顿莱布尼茨公式的区别与联系

莱布尼茨公式与牛顿莱布尼茨公式的区别与联系莱布尼茨公式与牛顿-莱布尼茨公式是微积分领域中两个重要的公式，它们在求解导数和积分问题时发挥着关键作用。

本文将探讨莱布尼茨公式与牛顿-莱布尼茨公式的区别与联系。

一、莱布尼茨公式莱布尼茨公式是由德国数学家莱布尼茨于17世纪提出的，它描述了求解函数导数的方法。

莱布尼茨公式可以用下面的形式表示：\[ \frac{d}{dx}\left( \int_{a}^{x}f(t)dt \right)=f(x) \]其中，f(x)是在区间[a,x]上的一个连续函数。

莱布尼茨公式表示了求函数导数的一个重要性质，即函数的导数等于积分函数的导数。

莱布尼茨公式的应用范围广泛，它常被用于求解复杂函数的导数、计算曲线的斜率以及解决微分方程等问题。

通过莱布尼茨公式，我们可以简单而直接地求解导数，而不需要通过极限定义进行推导。

二、牛顿-莱布尼茨公式牛顿-莱布尼茨公式是由牛顿和莱布尼茨共同发现和建立的，它描述了求解函数积分的方法。

牛顿-莱布尼茨公式可以用下面的形式表示：\[ \int_{a}^{b}f(x)dx = F(b) - F(a) \]其中，F(x)是f(x)的一个原函数。

牛顿-莱布尼茨公式表示了求函数积分的一个重要性质，即函数的积分等于积分函数在积分区间端点处的值之差。

牛顿-莱布尼茨公式的应用也非常广泛，它不仅可以用于计算确定积分，还可以解决曲线下面积、求解定积分的应用问题等。

与莱布尼茨公式相比，牛顿-莱布尼茨公式用于计算函数的积分，是莱布尼茨公式的一种特殊情况。

三、莱布尼茨公式与牛顿-莱布尼茨公式的区别1. 表达形式不同：- 莱布尼茨公式以函数的导数形式出现，描述了函数导数和积分之间的关系；- 牛顿-莱布尼茨公式以函数的积分形式出现，描述了函数积分和原函数之间的关系。

2. 作用领域不同：- 莱布尼茨公式常被用于求解函数的导数、计算曲线斜率和解决微分方程等；- 牛顿-莱布尼茨公式常被用于计算函数的积分和解决曲线下面积、求解定积分的应用问题等。

微积分学基本定理

微积分学基本定理


x ln x ln a
x
(8) sin xdx cos x C (9) cos xdx sin x C
计算不定积分:
(1) ( x 3)( x 2)dx;
(2)
( x 1)( x 2)dx; x
(3)
cos 2x dx cos x sin x
b a
f
( x)dx

F ( x) |ba
F (b)
F (a)
计算定积分的方法:
b
f ( x)dx
a
(1)定 义 法
( 2)面 积 法(曲 边 梯 形 面 积)
(3)公式法(微积分基本定理)F / ( x) f ( x)
b a
f
( x)dx

F ( x) |ba
F (b)
例1:计算由曲线y2=x,y=x2所围图形 的面积S
例2:计算由直线y=x-4,曲线 y 2 x
以及x轴所围图形的面积S.
作业:P67A#1(注意画图)
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智,或者仅存最高等级の六品妖智,全部双眼血红,丧失了理智,只是知道将眼前の人类撕成碎片.十万白家军更是全部精锐,在刀山火海中走出来の强者,悍不畏死. 战争没有丝毫の情面可讲,不是你呀死就是俺亡,无比惨烈,漫山遍野都是鲜血,都是残尸,天空更是一片腥风血雨.炽火城外,处处 是战场,神力在四面八方飙射,无比灿烂. 白重炙神识扫了一下,放心下来,这十万白家军估计是雷震这数百年时候召集の,白重炙不清楚战力如何.此刻交战已经不咋大的半个时辰了,但是死伤却并不多,妖智已经被斩杀了数十万万,却只是死伤了数百人,并且还是受伤居多.彻底放心下来,和妖 姬两人化作道道残影,专对六品妖智下手.这漫山遍野の妖智虽然多,但

牛顿-莱布尼茨公式

牛顿-莱布尼茨公式
牛顿-莱布尼茨公式
• 牛顿-莱布尼兹公式（Newton-Leibniz formula），通常也 被称为微积分基本定理，揭示了定积分与被积函数的原函 数或者不定积分之间的联系。[1] • 牛顿-莱布尼茨公式的内容是一个连续函数在区间 [ a，b ] 上的定积分等于它的任意一个原函数在区间[ a，b ]上的增 量。牛顿在1666年写的《流数简论》中利用运动学描述了 这一公式，[2] 1677年,莱布尼茨在一篇手稿中正式提出了 这一公式。[1] 因为二者最早发现了这一公式，于是命名 为牛顿-莱布尼茨公式。
原函数存在定理
• 原函数是指已知函数f(x)是一个定义在某区间的函 数，如果存在可导函数F(x)，使得在该区间内的 任一点都 举例dF(x)=f(x)dx。 则在该区间内就称函数F(x)为函数f(x)的原函数。
原函数的定义
• 已知函数f(x)是一个定义在某区间的函数，如果存 在可导函数F(x)，使得在该区间内的任一点都有 • 若F'(x)=f(x)，dF(x)=f(x)dx，则在该区间内就称函 数F(x)为函数f(x)的原函数。 • 例：sinx是cosx的原函数。
公式应用
• 牛顿-莱布尼茨公式简化了定积分的计算，利用该公式可 以计算曲线的弧长，平面曲线围成的面积以及空间曲面围 成的立体体积，这在实际问题中有广泛的应用，例如计算 坝体的填筑方量。[1] • 牛顿-莱布尼茨公式在物理学上也有广泛的应用，计算运 动物体的路程，计算变力沿直线所做的功以及物体之间的 万有引力。[1] • 牛顿-莱布尼茨公式促进了其他数学分支的发展，该公式 在微分方程，傅里叶变换，概率论，复变函数等数学分支 中都有体现。
不等式证明
• 积分不等式是指不等式中含有两个以上积分的不等式,当 积分区间相同时,先合并同一积分区间上的不同积分,根据 被积函数所满足的条件,灵灵活运用积分中值定理,以达到 证明不等式成立的目的。 • 在证明定积分不等式时, 常常考虑运用积分中值定理, 以便 去掉积分符号, 如果被积函数是两个函数之积时, 可考虑用 积分第一或者第二中值定理。对于某些不等式的证明, 运 用原积分中值定理只能得到“≥”的结论, 或者不等式根本 不能得到证明。而运用改进了的积分中值定理之后, 则可 以得到“>”的结论, 或者成功的算中, 如果 含有定积分式, 常常可以运用 定积分的相关知识, 比如积分 中值定理等, 把积分

牛顿布莱尼公式推导

牛顿布莱尼公式推导

1牛顿布莱尼茨公式牛顿-莱布尼兹公式,又称为微积分基本定理,其内容是：若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且存在原函数F(x),则f(x)在[a,b]上可积,且从a到b的定积分（积分号下限为a上限为b）：∫f(x)dx=F(b)-F(a)其意义就在于把不定积分与定积分联系了起来,也让定积分的运算有了一个完善、令人满意的方法.2牛顿布莱尼茨公式证明过程证明：设：F(x)在区间(a,b)上可导,将区间n等分,分点依次是x1,x2,…xi…x(n-1),记a=x0,b=xn,每个小区间的长度为Δx=(b-a)/n,则F(x)在区间[x(i-1),xi]上的变化为F(xi)-F(x(i-1))(i=1,2,3…)当Δx很小时,F(x1)-F(x0)=F’(x1)*ΔxF(x2)-F(x1)=F’(x2)*Δx……F(xn)-F(x(n-1))=F’(xn)*Δx所以,F(b)-F(a)=F’(x1)*Δx+ F’(x2)*Δx+…+ F’(xn)*Δx当n→+∞时,∫(a,b)F’(x)dx=F(b)-F(a)3牛顿布莱尼茨公式意义牛顿-莱布尼茨公式的发现，使人们找到了解决曲线的长度，曲线围成的面积和曲面围成的体积这些问题的一般方法。

它简化了定积分的计算，只要知道被积函数的原函数，总可以求出定积分的精确值或一定精度的近似值。

牛顿-莱布尼茨公式是联系微分学与积分学的桥梁，它是微积分中最基本的公式之一。

它证明了微分与积分是可逆运算，同时在理论上标志着微积分完整体系的形成，从此微积分成为一门真正的学科。

牛顿-莱布尼茨公式是积分学理论的主干，利用牛顿一莱布尼茨公式可以证明定积分换元公式，积分第一中值定理和积分型余项的泰勒公式。

牛顿-莱布尼茨公式还可以推广到二重积分与曲线积分，从一维推广到多维。

微积分学基本定理

微积分学基本定理

x ln x x (7 ) log a xdx ln a (9) cos xdx sin x C
计算不定积分: (1) ( x 3)( x 2)dx; ( x 1)( x 2) ( 2) dx; x cos 2 x ( 3) dx cos x sin x
10
( 2) ( 2 x 1) dx;
3
( 3) sin 2 xdx (4) cos(3 x 1)dx (5) sin mxdx
2
例1:计算由曲线y2=x,y=x2所围图形 的面积S
例2:计算由直线y=x-4,曲线 y 以及x轴所围图形的面积S.
2x
作业:P67A#1(注意画图)
b
1 计算 : (1) dx; 1 x 3 1 ( 2) ( 2 x 2 )dx 1 x
2
( 3) sin xdx;
0

(4) sin xdx;

2
(5) sin xdx;
0
2
例1
求 ( 2 cos x sin x 解
原式 2 sin x cos x x 0

2
2 2 x 0 x 1 例2 设 f ( x ) , 求 0 f ( x )dx . 1 x 2 5
3 . 2
解
0
2
f ( x )dx 0 f ( x )dx 1 f ( x )dx
1
2
y
在[1,2]上规定当x 1 时， f ( x ) 5 ,
解
面积 A sin xdx
0

y
cos x 2.
0
o

x
计算定积分的方法: f ( x )dx

定积分牛顿莱布尼茨公式

定积分牛顿莱布尼茨公式

定积分牛顿莱布尼茨公式牛顿-莱布尼茨公式（也称为牛莱公式）是微积分学中的一个重要定理，它连接了定积分和原函数之间的关系。

该公式在微积分起源和发展中起到了关键的作用，它的发现极大地推动了微积分学的发展。

首先，我们需要明确定积分的定义。

定积分是求一个函数在一个区间上的“积累量”，它可以看作是无穷多个微小的面积的总和。

设函数f(x)在[a,b]上连续，它的一个原函数为F(x)。

根据牛顿-莱布尼茨公式，定积分的值可以通过求函数的原函数在两个端点的值之差来计算。

具体而言，公式可以表达为：∫[a,b] f(x)dx = F(b) - F(a)这个公式的含义是，函数f(x)在区间[a,b]上的定积分等于它的一个原函数F(x)在b和a处的取值之差。

这个公式可用于求解定积分，而无需使用极限定义来进行计算。

牛顿-莱布尼茨公式可以通过微积分基本定理来证明。

微积分基本定理表明，如果一个函数在一个区间上连续，那么它必然有一个原函数。

这个定理的证明涉及到反函数的构造和连续函数的一些性质，它超出了本文的讨论范围。

牛顿-莱布尼茨公式的证明主要涉及到导数和微分的基本概念。

设a 和b为两个实数，函数F(x)在[a,b]上连续且可微。

根据导数的定义，我们有：F'(x) = lim(h->0) [F(x+h) - F(x)]/h我们可以根据这个式子来近似计算定积分的值。

我们可以将区间[a,b]等分为n个小区间，每个小区间的宽度为h=(b-a)/n。

记第i个小区间为[x_i-1,x_i]。

我们将每个小区间上的函数值F(x_i)与F(x_i-1)相减后再乘以区间宽度h，得到一个近似的定积分值。

如果我们取n趋近于无穷大，这个近似值将趋近于定积分的真正的值。

具体而言，我们可以写出这个近似值为：Σ {i=1 to n} [F(x_i) - F(x_i-1)] * h这个近似值可以表示为区间[a,b]上的一个数列的和。

当n趋近于无穷大时，这个数列的和将趋近于定积分的真正值。

微积分基本公式__牛顿—莱布尼茨公式

微积分基本公式__牛顿—莱布尼茨公式
x
a f ( x )dx F (b) F (a )
b
牛顿－莱布尼兹公式沟通了微分学与积分学 之间的关系．所以又叫微积分基本公式。
思考题
x f ( u)du 是 x 的函数还是t 与u 的函数？它们
的导数存在吗？如存在等于什么？
b
设 f ( x ) 在[a , b]上连续，则 f ( t )dt 与

x
0
f ( t )( x t )dt
(
0
x
t
0
f ( u )du )dt .
六、求函数 f ( x )

x
0
3t 1 dt 在区间 0 , 1 上的最 2 t t 1
大值与最小值 . 1 sin x , 当0 x 时， 七、设 f ( x ) 2 0 ，当x 0或x 时， x 求 （x ) 0 f ( t )dt 在( , ) 内的表达式 .
求定积分问题转化为求先求原函数，再求 增量的问题.
例1
求
1
2
1 解 当 x 0 时， 的一个原函数是ln | x | , x 1 1 1 dx 2 x ln | x | 2 ln 1 ln 2 ln 2. 例 2 计算曲线 y sin x 在[0, ]上与 x 轴所围
2、 4、
1 2 1 2
dx 1 x
2
;
2
0
sin x dx .
四、求下列极限： 1、 lim
( e dt ) 2
t2 x 0 x 0
x

e 2 t dt
2
;
2、 lim
x 0
1 x2

微积分的基本定理

微积分的基本定理

如果 f ( x ) 在[a , b] 上连续，则积分上限的函 数 ( x ) a f ( t )dt 就是 f ( x ) 在[a , b] 上的一个 原函数.
定理的重要意义： （1）肯定了连续函数的原函数是存在的.
x
（2）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之 间的联系.
补充 如果 f (t ) 连续，a( x )、b( x ) 可导，
1 2 0 1
o
1
2
x
例6
求 2 max{ x , x }dx.
2 2
y
解
由图形可知
y x2
2
f ( x ) max{ x , x }
y x
2
x 2 x 0 x 0 x 1 , x2 1 x 2
2
0 2 1 2 0 1
o
1
2
x
原式 x dx xdx x 2dx
所以F ( x ) 0 即原方程在 0,1] 上只有一个解. [
1 1
三、牛顿—莱布尼茨公式
定理 3（微积分基本公式）
[ 如果F ( x ) 是连续函数 f ( x ) 在区间 a , b] 上
的一个原函数，则a f ( x )dx F (b) F (a ) .
证 已知F ( x ) 是 f ( x ) 的一个原函数，
又 ( x )
b
a
x
f ( t )dt 也是 f ( x ) 的一个原函数,
F ( x ) ( x ) C
x [a , b ]
F ( x ) f (t )dt c,
a
x
令
xa
F (a ) C ,

微积分学基本定理

微积分学基本定理
b a b b a a
(4)性质 : 1) Cf ( x )dx C f ( x )dx 2) f ( x ) g ( x )dx
a b

b
a
f ( x )dx g ( x )dx
a b c
b
3) f ( x )dx
a
b

c
a
f ( x )dx f ( x )dx
x ln x x (7 ) log a xdx ln a (9) cos xdx sin x C
计算不定积分: (1) ( x 3)( x 2)dx; ( x 1)( x 2) ( 2) dx; x cos 2 x ( 3) dx cos x sin x

b
a
f ( x )dx F ( x ) | F ( b ) F ( a )
b a
计算定积分的方法: f ( x )dx
aபைடு நூலகம்
b
(1)定义法 ( 2)面积法(曲边梯形面积 ) ( 3)公式法( 微积分基本定理 )F ( x ) f ( x )
/

b
a
f ( x )dx F ( x ) | F ( b ) F ( a )
微积分学基本定理
一、问题的提出
变速直线运动中位置函数与速度函数的联系
设某物体作直线运动，已知速度v v ( t ) 是时 t 的一个连续函数，且v ( t ) 0 ， 间间隔[T1 , T2 ]上 求物体在这段时间内所经过的路程.
变速直线运动中路程为
T
T2
1
v ( t )dt
另一方面这段路程可表示为 s(T2 ) s(T1 )

2.微积分基本定理

2.微积分基本定理
x Δx

a
x Δx
f ( t )dt f ( t )dt
a
x
( x)
oa
x
x x b x
5

a
x
f ( t )dt
x Δx
x
f ( t )dt f ( t )dt
a
x

x
x Δx
y
f ( t )dt , ( )由积分中值定理得o a
x x x b x

b
a
f ( x )dx f ( )(b a )
(a b).
证 因为 f ( x ) 连续, 故它的原函数存在,
设其为 F ( x ). 即设在 [a, b] 上 F ( x ) f ( x ).
根据牛顿 - 莱布尼茨公式, 有
a f ( x )dx F (b) F (a ).
定理2（原函数存在定理）
如果 f ( x )在[a , b]上连续, 则积分上限的函数
( x ) f ( t )dt
a
x
就是f ( x )在[a , b]上的一个原函数.
这就证明了上一章中所提出的任何连续 函数一定存在原函数.
7
定理2（原函数存在定理）
如果 f ( x )在[a , b]上连续, 则积分上限的函数
x
已知 F ( x ) 是 f ( x ) 的一个原函数,
又由于 ( x )
所以
a
f ( t )dt 也是 f ( x )的一个原函数 ,
x [a , b].
11
F ( x) ( x) C
F ( x) ( x) C
x [a , b].

高数微积分牛莱公式

高数微积分牛莱公式
例 8:计算曲线 y sin x 在[0, ]上与 x 轴所围 成的平面图形的面积.
解：面积 A sin xdx
0

y
cos x 2.
0
o

x
17
1 2 ( n 1) n 例9： lim sin sin sin sin n n n n n n
定理１ 如果 f ( x ) 在[a , b]上连续， 则积分上限的函 数 ( x ) a f ( t )dt 在[a , b]上具有导数，且它的导
x
d x 数是 ( x ) a f (t )dt f ( x ) dx
定理2（原函数存在定理）
(a x b)
如果 f ( x ) 在[a , b] 上连续，则积分上限的函 数 ( x ) a f ( t )dt 就是 f ( x ) 在[a , b] 上的一个 原函数.
另一方面这段路程可表示为积分上限函数如果上限x在区间上任意变动则对于每一个取定的x值定积分有一个对应值所以它在定理1如果积分上限函数的性质定理2原函数存在定理如果上的一个原函数
微积分基本定理
一、积分上限函数及其导数 二、牛顿—莱布尼茨公式
1
问题的提出
变速直线运动中位置函数与速度函数的联系
设某物体作直线运动，已知速度v v (t ) 是时 t 间间隔[T1 , T2 ]上 的一个连续函数，且v ( t ) 0 ， 求物体在这段时间内所经过的路程.
b
a
x
f ( t )dt 也是 f ( x ) 的一个原函数,
F ( x ) ( x ) C
x [a , b ]
12
F ( x ) ( x ) C

微积分基本定理—牛顿莱布尼茨公式

微积分基本定理—牛顿莱布尼茨公式
∑ lim f (ξi )∆xi
而原函数是与导函数互逆的一个概念，本质上属于
微分学，形式上看，与定积分没有关系。 Newton 和 Leibniz 却发现了这两个概念之间的内在联系：
函数在一个区间上的定积分等于它的原函数在该区间上的增量。 从此微分学与积分学形成一门完整学科——微积分学。
（2）为 定积分的计算提供了一个有效方法. 如果被积函数连续且其原函数易于求得，则只需 先求出原函数，再将上限和下限代入原函数后相减：
定理2 如果函数 f (x)在[a,b]上连续, 函数 F ( x)是 f ( x)
的一个原函数，则
∫b f ( x) dx = F (b) − F (a). a
（上式称为牛顿—莱布尼茨公式，也叫微积分基本公式）
证 因F ( x)与 Φ ( x) = ∫ x f (t )dt 都是 f ( x) 的原函数， a
证 设 F (t ) 是 f (t ) 的原函数，由 N-L 公式，得
∫ϕ(x)
ψ (x)
f
(t ) dt
=
[
F
(t
)]ψϕ
(x) ( x)
=
F
ϕ
( x)
−
F
ψ
( x)
，
于是，
∫ ϕ(x)
ψ ( x)
f
(t)
dt
′
=
F′ ϕ
( x)ϕ′(
x)
−
F′
ψ
(
x)ψ
′(x)
= f ϕ ( x)ϕ′( x) − f ψ ( x)ψ ′( x).
y
y = f (t)
定义了以 x 为自变量的一个
函数，记为Φ ( x), 即
Φ(x)

牛顿莱布尼兹公式

牛顿莱布尼兹公式

牛顿莱布尼兹公式
牛顿布莱尼茨公式通常也被称为微积分基本定理，揭示了定积分与被积函数的原函数或者不定积分之间的联系。

牛顿-莱布尼兹公式，又称为微积分基本定理,其内容是:若函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，且存在原函数F (x),则f(x)在[a,b]_上可积,且从a到b的定积分(积分号下限为a上限为b) : ff(x)dx=F (b)-F(a)。

牛顿布莱尼茨公式意义：
牛顿-莱布尼茨公式的发现，使人们找到了解诀曲线的长度，曲线围成的面积和曲面围成的体积这些问题的一般方法。

它简化了定积分的计算，只要知道被积函数的原函数，总可以求出定积分的精确值或一-定精度的近似值。

牛顿-莱布尼茨公式是联系微分学与积分学
的桥梁，它是微积分中最基本的公式之一。

它证明了微分与积分是可逆运算，同时在理论上标志着微积分完整体系的形成，从此微积分成为一门真正的学科。

牛顿-莱布尼茨公式是积分学理论的主干，利用牛顿一莱布尼茨公式可以证明定积分换元公式，积分第一中值定理和积分型余项的泰勒公式。

牛顿莱布尼茨公式还可以推广到二重积分与曲线积分，从-维推广到多维。

牛顿莱布尼兹公式的适用范围

牛顿莱布尼兹公式的适用范围

牛顿莱布尼兹公式的适用范围：
牛顿莱布尼茨公式适用范围是若函数fx在ab上连续。

且存在原函数Fx，则fx在ab上可积，且∫a到bfxdx等于Fb减Fa，牛顿在1666年写的流数简论中利用运动学描述了这一公式，1677年莱布尼茨在一篇手稿中正式提出了这一公式。

牛顿莱布尼茨公式特点
牛顿莱布尼茨公式NewtonLeibnizformula，通常也被称为微积分基本定理，揭示了定积分与被积函数的原函数或者不定积分之间的联系，牛顿莱布尼茨公式的内容是一个连续函数在区间ab上的定积分等于它的任意一个原函数在区间ab上的增量。

牛顿-莱布尼茨公式的发现，使人们找到了解决曲线的长度，曲线围成的面积和曲面围成的体积这些问题的一般方法，它简化了定积分的计算，只要知道被积函数的原函数，总可以求出定积分的精确值或一定精度的近似值，牛顿莱布尼茨公式是联系微分学与积分学的桥梁。

1.8微积分基本定理

1.8微积分基本定理

授课主题 微积分基本定理教学目标1．直观了解并掌握微积分基本定理的含义． 2．会利用微积分基本定理求函数的积分．教学内容1. 微积分基本定理：如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x )，那么ʃb a f (x )d x ＝F (b )－F (a ) .定理中的式子称为“牛顿—莱布尼茨公式”，通常称F (x )是f (x )的一个原函数．在计算定积分时，常常用记号F (x )|b a来表示F (b )－F (a )，于是牛顿—莱布尼茨公式也可写作ʃb a f (x )d x ＝F (x )|ba ＝F (b )－F (a ).2. 定积分和曲边梯形面积的关系：设曲边梯形在x 轴上方的面积为S 上，x 轴下方的面积为S 下，则 (1)当曲边梯形的面积在x 轴上方时，如图(1)，则ʃb a f (x )d x ＝S 上. (2)当曲边梯形的面积在x 轴下方时，如图(2)，则ʃb a f (x )d x ＝－S 下.(3)当曲边梯形的面积在x 轴上方、x 轴下方均存在时，如图(3)，则ʃba f (x )d x ＝S 上－S 下，若S 上＝S 下，则ʃb a f (x )d x ＝0.题型一 利用微积分基本定理求定积分 例1 (1)求定积分⎰202x d x 的值；(2)求定积分⎰1－1(2x －x 2)d x 的值；(3)求定积分⎰0－π(sin x ＋2e x )d x 的值． 解析：(1) ⎰202x d x ＝2⎰20x d x ＝2×⎪⎪12x 220＝22－02＝4.(2) ⎰1－1(2x －x 2)d x ＝⎰1－12x d x ＋⎰1－1(－x 2)d x ＝x 2|1－1－13x 3|1－1＝－23. (3) ⎰－π(sin x ＋2e x )d x ＝⎰0－πsin x d x ＋2⎰－πe x d x ＝－cos x |0－π＋2e x |0－π＝－cos 0＋cos(－π)＋2(e 0－e －π)＝－2eπ. 点评：应用微积分基本定理求定积分时，首先要求出被积函数的一个原函数，在求原函数时，通常先估计原函数的类型，然后求导数进行验证，在验证过程中要特别注意符号和系数的调整，直到原函数F (x )的导函数F ′(x )＝f (x )为止(一般情况下忽略常数)，然后再利用微积分基本定理求出结果． 巩 固 求下列定积分的值．(1) ⎰10(2x ＋3)d x ； (2) ⎰1－2(1－t 3)d t ；(3) ⎰π02sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4d x ； (4) ⎰31⎣⎡⎦⎤6x ⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2d x . 分析：利用微积分基本定理，关键是求出相应被积函数的一个原函数． 解析：(1)∵(x 2＋3x )′＝2x ＋3，∴⎰10(2x ＋3)d x ＝(x 2＋3x )|10＝1＋3＝4.(2)∵⎝⎛⎭⎫t －14t 4′＝1－t 3， ∴⎰1－2(1－t 3)d t ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫t －14t 41－2＝1－14－⎣⎡⎦⎤－2－14(－2)4＝7－14＝274. (3)因为2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝2⎝⎛⎭⎫sin x ·22＋cos x ·22＝sin x ＋cos x ， 又(－cos x ＋sin x )′＝sin x ＋cos x ，所以 ⎰π02sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4d x ＝⎰π0( sin x ＋cos x ) d x ＝(－cos x ＋sin x )|π0 ＝(－cos π＋sin π)－(－cos 0＋sin 0)＝2. (4) ⎰31⎣⎡⎦⎤6x ⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2d x ＝⎰31(6x 2+6+12x ) d x ＝(2x 3+6x +6x 2)|31＝(54＋18＋54)－(2＋6＋6)＝112 题型二 求分段函数的定积分例2 若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ∈[0，1]，x ，x ∈(1，2]，2x ，x ∈(2，3]，求⎰30f (x )d x 的值．解析：由积分的性质，知：⎰30f (x )d x ＝⎰10f (x )d x ＋⎰21f (x )d x ＋⎰32f (x )d x ＝14＋432－23＋8ln 2－4ln 2＝－512＋432＋4ln 2. 点评：分段函数在区间[a ，b ]上的定积分可分成n 段定积分和的形式，分段的标准可按照函数的分段标准进行；带绝对值号的解析式，可先化为分段函数，然后求解． 巩 固 ⎰3-3 (|2x ＋3|＋|3－2x |)d x .解析：设y＝|2x＋3|＋|3－2x|＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x，x≤－32，6，－32<x<32，4x，x≥32.所以⎰3－3(|2x＋3|＋|3－2x|)d x＝323(4)x---⎰d x＋32326-⎰d x＋3324x⎰d x＝＝(－2)×⎝⎛⎭⎫322－(－2)×(－3)2＋6×32－6×⎝⎛⎭⎫－32＋2×32－2×⎝⎛⎭⎫322＝45.题型三利用定积分求参数例3已知f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，且f(－1)＝2，f′(0)＝0，⎰10f(x)d x＝－2，求a，b，c的值．解析：由f(－1)＝2得a－b＋c＝2.①因为f′(x)＝2ax＋b，所以f′(0)＝b＝0.②又⎰10f(x)d x＝⎰10(ax2＋bx＋c)d x＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫13ax3＋12bx2＋cx10＝13a＋12b＋c，所以13a＋12b＋c＝－2③解①②③组成的方程组得a＝6, b＝0，c＝－4.点评：利用定积分求参数，根据题设条件列出关于参数的方程(组)，解方程(组)得参数的值．巩固f(x)是一次函数，且⎰10f(x)d x＝5，⎰10xf(x)d x＝176，求f(x)的解析式．解析：设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则⎰10(ax＋b)d x＝⎰10ax d x＋⎰10b d x＝12ax2⎰10＋bx⎰10＝12a＋b，⎰10x(ax＋b)d x＝⎰10(ax2＋bx)d x＝13ax3⎰10＋12bx2⎰10＝13a＋12b，由⎩⎨⎧12a＋b＝5，13a＋12b＝176，解得a＝4，b＝3，故f(x)＝4x＋3.A组1．下列各定积分等于1的是()A.⎰10x d xB.⎰10(x＋1)d xC.⎰101d xD.⎰1012d x解析：⎰10x d x ＝12x 2⎰10＝12； ⎰10(x ＋1)d x ＝⎝⎛⎭⎫12x 2＋x ⎰10＝32；⎰101d x ＝x |10＝1； ⎰1012d x ＝12x ⎰10＝12. 答案：C 2． ⎰421xd x 等于( ) A ．－2ln 2 B ．2ln 2 C ．－ln 2 D ．ln 2 解析：⎰421xd x ＝ln x |42＝ln 4－ln 2＝ln 2. 答案：D3．函数y ＝⎰x 0cos x d x 的导数是( )A ．cos xB ．－sin xC ．cos x －1D ．sin x 答案：AB 组一、选择题1. ⎰10(e x＋2x )d x ＝( )A ．1B ．e －1C ．eD ．e ＋1 答案：C2．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，－1≤x ≤0，1，0＜x ≤1，则⎰1－1f (x )d x 的值为( )A.32B.43C.23 D ．－23 答案：B3．由曲线y ＝x 2－1，直线x ＝0，x ＝2和x 轴围成的封闭图形的面积(如图阴影部分)是( )A. ⎰20(x 2－1)d xB. |⎰20(x 2－1)d x |C. ⎰20|x 2－1|d xD. ⎰20(x 2－1)d x ＋⎰21(x 2－1)d x答案：C4．下列定积分计算正确的是( )A. ⎰π－πsin x d x ＝4 B. ⎰102xd x ＝1C. ⎰21⎝⎛⎭⎫1－1x d x ＝ln e 2D. ⎰1－13x 2d x ＝3解析：⎰π－πsin x d x ＝－cos x|π－π＝0； ⎰102xd x ＝12ln 2x＝log 2e ； ⎰21⎝⎛⎭⎫1－1x d x ＝ |(x －ln x )21＝1－ln 2＝ln e 2； ⎰1－13x 2d x ＝x 3|1－1=2.故选C.答案：C5.若⎰a 1⎝⎛⎭⎫2x ＋1x d x ＝3＋ln 2，则正数a 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．5解析：⎰a 1⎝⎛⎭⎫2x ＋1x d x ＝ |(x 2＋ln x )a 1＝a 2＋ln a －1＝3＋ln 2，所以a 2－1＝3，所以a ＝－2(舍去)，a ＝2.故选B. 答案：B 二、填空题6．定积分⎰21x d x ＝__________. 答案：23(22－1)7．若⎰T 0x 2d x ＝9，则常数T 的值为________．解析：因为⎝⎛⎭⎫x 33′＝x 2，所以⎰T 0x 2d x ＝⎝⎛⎭⎫x 33|T 0＝9，所以T ＝3. 答案：38．计算定积分⎰1－1(x 2＋sin x )d x ＝________. 答案：23三、解答题9．计算下列定积分：(1) ⎰30|2－x |d x ；解析： ⎰30|2－x |d x ＝⎰20(2－x )d x ＋⎰32(x －2)d x ＝ ⎪⎪⎝⎛⎭⎫2x －12x 220＋⎪⎪⎝⎛⎭⎫12x 2－2x 32＝2＋12＝52. (2)⎰π2－π2cos 2x d x .解析：10．若函数f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，且⎰10f (x )d x ＝1，求证：⎰10[f (x )]2d x >1.证明：由于⎰10f (x )d x ＝⎰10(ax ＋b )d x ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫12ax 2＋bx 10＝12a ＋b ， 所以12a ＋b ＝1，所以⎰10[f (x )]2d x ＝⎰10(ax ＋b )2d x ＝⎰10(a 2x 2＋2abx ＋b 2)d x ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫13a 2x 3＋abx 2＋b 2x 10＝13a 2＋ab ＋b 2＝⎝⎛⎭⎫12a ＋b 2＋112a 2＝1＋112a 2>1(a ≠0)，故原不等式成立．1． 设函数f (x )＝x m ＋ax 的导函数f ′(x )＝2x ＋1，则ʃ21f (－x )d x 的值等于 ( )A.56 B.12 C.23 D.16答案 A解析 由于f (x )＝x m ＋ax 的导函数为f ′(x )＝2x ＋1， 所以f (x )＝x 2＋x ，于是ʃ21f (－x )d x ＝ʃ21(x 2－x )d x ＝⎝⎛⎭⎫13x 3－12x 2|21＝56. 2．(sin x －a cos x )d x ＝2，则实数a 等于( )A ．－1B ．1C ．－ 3 D. 3 答案 A 解析＝－a ＋1＝2，a ＝－1.3． 由直线x ＝－π3，x ＝π3，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为 ( )A.12 B ．1 C.32D. 3答案 D 解析4． 设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]，1x ，x ∈[1，e](其中e 为自然对数的底数)，则ʃe 0f (x )d x 的值为( )A.43B.54C.65D.76答案 A解析 根据定积分的运算法则，由题意，可知ʃe 0f (x )d x ＝ʃ10x 2d x ＋ʃe 11x d x ＝13x 3|10＋ln x |e 1＝13＋1＝43. 5． ʃ30(x 2＋1)d x ＝________.答案 12解析 ʃ30(x 2＋1)d x ＝⎝⎛⎭⎫13x 3＋x |30＝13×33＋3＝12. 6. 如图所示，函数y ＝－x 2＋2x ＋1与y ＝1相交形成一个闭合图形(图中的阴影部分)，则该闭合图形的面积是________．答案 43解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2＋2x ＋1y ＝1，得x 1＝0，x 2＝2.∴S ＝ʃ20(－x 2＋2x ＋1－1)d x ＝ʃ20(－x 2＋2x )d x ＝⎝⎛⎭⎫－x 33＋x 2|20＝－83＋4＝43.。

牛顿莱布尼茨积分公式

牛顿莱布尼茨积分公式

牛顿莱布尼茨积分公式牛顿和莱布尼茨是数学领域中两位杰出的数学家，他们的工作对于微积分的发展产生了巨大的影响。

其中，他们最著名的成就之一就是牛顿-莱布尼茨积分公式，它为我们理解和应用微积分提供了重要的工具。

牛顿-莱布尼茨积分公式是微积分中的一个基本定理，它将微积分中的导数和积分联系了起来。

换句话说，它告诉我们，如果我们知道一个函数的导数，我们就可以通过积分来找到该函数本身。

具体来说，设函数 f(x) 是一个连续可导的函数，那么该函数的导函数 f'(x) 就可以通过 f(x) 的原函数 F(x) 来表示。

这个原函数F(x) 可以通过对 f'(x) 进行积分得到。

牛顿-莱布尼茨积分公式的表达式如下：∫f'(x)dx = f(x) + C其中∫ 表示积分运算符，f'(x) 表示函数 f(x) 的导函数，dx 表示积分的变量，C 是一个常数，表示积分的不定常数。

牛顿-莱布尼茨积分公式的意义在于它将微积分中的求导和积分这两个看似不同的操作联系了起来，为我们求解一些复杂函数的积分提供了便利。

通过对函数的导函数进行积分，我们可以得到原函数，从而求解出函数在不同区间上的面积、体积、平均值等重要的数学量。

这个公式在物理学、工程学、经济学等众多领域中都有广泛的应用。

在物理学中，牛顿-莱布尼茨积分公式帮助我们计算物体的速度、加速度、位移等重要的物理量。

在工程学中，它可以用于建筑设计、电路分析、流体力学等领域。

在经济学中，它可以用于计算收益曲线、边际收益、成本等重要的经济指标。

此外，牛顿-莱布尼茨积分公式还有一些重要的性质和应用。

其中最重要的一条是积分的线性性质，即对于任意的常数 a 和 b，以及可导函数 f(x) 和 g(x)，有如下公式成立：∫[a*f(x) + b*g(x)]dx = a*∫f(x)dx + b*∫g(x)dx这个性质使得我们能够更方便地求解复杂函数的积分。

以及还有几个常用的积分公式，如反函数积分、换元积分法等，都是基于牛顿-莱布尼茨积分公式的概念和理论。

牛顿莱布尼茨公式计算定积分例题

牛顿莱布尼茨公式计算定积分例题

牛顿莱布尼茨公式计算定积分例题摘要：一、牛顿-莱布尼茨公式简介二、定积分的计算实例1.实例一：sinx-cosx的定积分2.实例二：x^4的定积分3.实例三：sin(x-1/4)的定积分三、求解定积分的方法小结正文：一、牛顿-莱布尼茨公式简介牛顿-莱布尼茨公式，又称微积分基本定理，是微积分学中的一个重要公式。

它的表述为：若函数f(x)在区间[a, b]上可积，函数g(x)在区间[a, b]上可导，且g"(x)≠0，那么∫[a, b]f(x)g(x)dx = f(b)g(b) - f(a)g(a)二、定积分的计算实例1.实例一：sinx-cosx的定积分我们要计算的定积分是：∫(0到π) sinx - cosx dx。

根据牛顿-莱布尼茨公式，我们可以得到：∫(0到π) sinx - cosx dx = (sinπ - sin0) - (c osπ - cos0) = 1 - 0 = 12.实例二：x^4的定积分我们要计算的定积分是：∫(0到1) x^4 dx。

根据牛顿-莱布尼茨公式，我们可以得到：∫(0到1) x^4 dx = (x^5/5)|0到1 = 1^5/5 - 0^5/5 = 1/53.实例三：sin(x-1/4)的定积分我们要计算的定积分是：∫(0到π/2) sin(x-1/4) dx。

根据牛顿-莱布尼茨公式，我们可以得到：∫(0到π/2) sin(x-1/4) dx = (sin(π/2) - sin(-1/4π)) - (sin0 - sin(-1/4π)) = 1 - (-1/√2) = 1 + 1/√2三、求解定积分的方法小结通过以上实例，我们可以看到，利用牛顿-莱布尼茨公式计算定积分的过程相对简单。

只需要找到被积函数的原函数，然后根据牛顿-莱布尼茨公式进行计算即可。

在实际计算过程中，可能需要用到一些基本的三角函数和指数函数的性质，以及适当的代换或分部积分方法。

总的来说，牛顿-莱布尼茨公式为我们在微积分中求解定积分提供了一种简洁、高效的方法。

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b a
b
记: F(b) - F(a) = F(x) |b a
则:
2018/10/5

b
a
f ( x)dx == F ( x) | = F (b) - F (a)
8
f(x)是F(x)的导函数 F(x) 是f(x)的原函数
例1:计算下列定积分
(1) 3x dx
2 1
5
3
(2) (2 x - 4)dx
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2
练习：
(5) ( x - 2 x)dx = ______
3 0
2
(6) ( x cos x)dx = ______
0

(7) cos 2 xdx = ______
0

(8) sin xdx = ______
2 0 2
2018/10/5 16

练习：
(1) cos xdx;
x
f ( x) =
'
(a 0, a 1) (a 0, a 1)
11
6.若f ( x) = e x 8.2018/10/5 若f ( x) = ln x
f ' ( x) =
'
7.若f ( x) = log a x f ( x) = f ( x) =
'
例2:计算下列定积分
Sn = f (x1 )Dx f(x 2 )Dx f(x n )Dx
如果 Dx 无限趋近于0时,Sn无限趋近于常数S,那 么称常数S为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分,记 作: S =
2018/10/5

b
a
f(x)dx .
5
问题情景
比较麻烦(四步曲),有没有更加简便有效的 方法求定积分呢?
0
3 ' 2
5
解:(1)取 F ( x) = x , F ( x) = 3x
2
找出 f(x)的 原函数 是关健
3x2 dx = F (5) - F (2) = 117
解:(2)取 F ( x) = x2 - 4x, F ' ( x) = 2x - 4
(2 x - 4)dx = F (5) - F (0) = 5
y= f ( x)
S f (xi )Dx
(4)逼近:所求曲边梯形的面积 S为
i =1
n
Dx 0, ( n )
f (x )Dx S
i =1 i
n
2018/10/5
O
a
xi-1 xi 一般地,设函数f(x)在区间[a,b]上有定义,将区间 [a,b]等分成n个小区间,每个小区的长度 为 Dx(Dx = b - a ),在每个小区间上取一点,依次为 n x1,x2,…….xi,….xn,作和
f ( x) 的原函数
f ( x) ）的数值差 F (b) - F (a)
来计算 f ( x) 在[ a, b]上的定积分的方法。
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牛顿—莱布尼茨公式
定理 （微积分基本定理）
如果 f (x) 是在区间[a , b]上的连续函数,并且
F(x) = f (x), ，则
a f ( x )dx = F (b) - F (a ).

2018/10/5
3
1
1 1 1 76 3 3 (3x - 2 )dx = (3 ) - (1 ) = x 3 1 3
2
10
基本初等函数的导数公式 ' 1.若f ( x) = c f ( x) =
2.若f ( x) = x
n
f ( x) =
' ' '
(n R)
3.若f ( x) = sin x f ( x) = 4.若f ( x) = cos x f ( x) = 5.若f ( x) = a
微积分基本定理
2018/10/5
1
知识回顾： 微积分在几何上有两个基本问题
1.如何确定曲线上一点处切线的斜率； 2.如何求曲线下方“曲线梯形”的面积。
y y
y
0
x
0
x
o
x
直线
几条线段连成的折线
曲线？
2
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用 “以直代曲”解决问题的思想和具体操作过程：
分割
以直代曲
作和
逼近
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0 2 3 0

(2) 2 sin xdx;
0 4 0

(3) ( x - 2 x)dx; (4) 1 (5) ( x )dx; 1 x
0
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5

b
a
f ( x)dx = F ( x) | = F (b) - F (a)
b a
9
1 (3) (3 x - 2 ) dx 1 x
3 2
解:(3)∵ ( x ) = 3 x ,
3 2
1 1 2 ( x ) = 3 x - 2 , x x
3
1 1 ( ) = - 2 x x
x
成图形的面积.
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练习：
(1) (-3t 2)dt = ______
2 0
1
1 2 (2) ( x ) dx = ______ 1 x
2
(3) (3 x 2 x -1)dx = ______
2 -1
2
(4) (e 1)dx = ______
x 1
3
求由连续曲线y=f(x)对应的曲边梯形面积的方法
n个小区间: a, x1 , x1, x2 , 每个小区间宽度⊿x =
b-a n
(1)分割:在区间[a,b]上等间隔地插入n-1个点,将它等分成
xi-1, xi , , xn-1, b,
(2)以直代曲:任取xi[xi-1, xi]，第i个小曲边梯形的面积用高 为f(xi), 宽为Dx的小矩形面积f(xi)Dx近似地去代替. y (3) 作和:取n个小矩形面积的和作 为曲边梯形面积S的近似值：
(1)
2
1
1 dx x
(2) 2 cos xdx
0

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例2:计算下列定积分
(3) sin xdx
0

(4)
2
1
1 dx x
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例 3：（1 ）计算 y2 = x 与 y = x2 所围成图形的面积； （2 ）计算曲线 y = 1 ，直线 y = x, x = 2, y = 0 所围
(分割---以直代曲----求和------逼近)
1 由定积分的定义可以计算 0 x dx = 3
1 2
, 但
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6
对于一般函数 f ( x) ，设 F ( x) = f ( x) 是否也有

b
a
f ( x)dx =

b
a
F ( x)dx = F (b) - F (a).
若上式成立， 我们就找到了用 （即满足 F ( x) =