2013---2017年全国1卷高考理科数学分类汇编---坐标系与参数方程

2017 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学一、选择题：本大题共12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={ x|x<1} ，B={ x| 3x 1 }，则（）A ．AB { x | x 0} B ．A B R C．A B { x | x 1}D．A B2．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）A ．1B ．πC．1D．π84 423．设有下面四个命题p1：若复数 z 满足1R ，则z R ；p2：若复数 z 满足z2R ，则z R ；zp3：若复数 z1, z2满足 z1z2R，则z z；p4：若复数z R，则z R．12其中的真命题为（）A．p1, p3 B ．p1, p4C．p2, p3D．p2, p44．记S n为等差数列{ a n} 的前 n 项和．若 a4a524 ， S648 ，则 { a n } 的公差为（）A ． 1B ． 2C．4D． 85．函数f ( x)在(,) 递减，且为奇函数．若 f (1) 1 ，则满足 1 f ( x2)1的 x 的取值范围是（）A．[2,2] B ．[ 1,1]C．[0,4]D．[1,3]6．(116展开式中2的系数为（）x2 )(1x)xA ． 15B ． 20C．30D． 35 7．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形．该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（）A ． 10B．12C．14 D ．168．右面程序框是了求出足3n- 2n>1000 的最小偶数 n，那么在和两个空白框中，可以分填入（A ． A>1000 和 n=n+1B ．A>1000 和 n=n+2C．A 1000 和 n=n+1 D ．A 1000 和 n=n+2： y=cos x， C： y=sin (2 x+2π）9．已知曲 C2)，下面正确的是（3A．把 C1上各点的横坐伸到原来的 2 倍，坐不，再把得到的曲向右平移π个位度，得到曲6C2B．把 C1上各点的横坐伸到原来的 2 倍，坐不，再把得到的曲向左平移π个位度，得到曲12C2C．把 C1上各点的横坐短到原来的1倍，坐不，再把得到的曲向右平移π个位度，得到曲26C2D．把 C1上各点的横坐短到原来的1倍，坐不，再把得到的曲向左平移π个位度，得到212曲 C210．已知 F 抛物2的焦点， F 作两条互相垂直的直l 1，l 2，直 l 1与 C 交于 A、B 两点，直C：y =4x与 C 交于 D、 E 两点， |AB |+|DE|的最小（）A ． 16B ． 14C．12D． 10、、z 正数，且2x3y5z）11． x y，（A ． 2x<3 y<5zB ． 5z<2x<3y C．3y<5 z<2x D． 3y<2x<5z 12．几位大学生响国家的号召，开了一款用件．激大家学数学的趣，他推出了“解数学）l2取件激活”的活．款件的激活下面数学的答案：已知数列1， 1， 2， 1， 2， 4， 1，2， 4， 8， 1， 2，4， 8，16，⋯，其中第一是 20，接下来的两是 20， 21，再接下来的三是 20，21， 22，依此推．求足如下条件的最小整数 N：N>100 且数列的前 N 和 2 的整数．那么款件的激活是（）A ． 440B ． 330C．220D． 110二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．13．已知向量 a ， b 的夹角为 60°， |a |=2， |b |=1，则 | a +2 b |=．x 2 y 114．设 x ，y 满足约束条件2x y 1，则 z 3x 2 y 的最小值为．x y2215．已知双曲线 C ：x2y 2 1（ a>0，b>0）的右顶点为 A ，以 A 为圆心， b 为半径作圆 A ，圆 A 与双曲线 C 的 ab一条渐近线交于 M 、 N 两点．若∠ MAN =60°，则 C 的离心率为 ____ ____．16．如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为 5 cm ，该纸片上的等边三角形ABC 的中心为 O ．D 、E 、F 为圆 O 上的点，△ DBC ，△ ECA ，△ FAB 分别是以 BC ，CA ，AB 为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC ，CA ，AB 为折痕折起△ DBC ，△ ECA ，△ FAB ，使得 D 、 E 、 F 重合，得到三棱锥．当△ ABC 的边长变化时，所得 三棱锥体积（单位：cm 3）的最大值为 _______．三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21 题为必考题，每个试题考生都必须作答．第 22、 23 题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60 分．a 2 17．（12 分）△ ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ，b ，c ，已知△ ABC 的面积为3sin A（ 1）求 sinBsinC;（ 2）若 6cosBcosC=1， a=3，求△ ABC 的周长．18．（ 12 分）如图，在四棱锥 P-ABCD 中， AB//CD ，且BAP CDP 90 ．（ 1）证明：平面 PAB ⊥平面 PAD ；（ 2）若 PA=PD=AB=DC ，APD 90 ，求二面角 A-PB-C 的余弦值．19．（ 12 分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16 个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N ( , 2 )．（ 1）假设生产状态正常，记X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在 ( 3 ,3 ) 之外的零件数，求P( X 1) 及X的数学期望；（ 2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3,3 ) 之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95116116( xi x )2116经计算得 x x i9.97 ，s(x i216x 2 ) 20.212，其中x i为抽取的第 i16 i 116 i 116i1个零件的尺寸，i1,2,,16 ．用样本平均数x 作为的估计值 ?，用样本标准差s 作为的估计值? ，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除( ? 3 ?, ? 3 ?) 之外的数据，用剩下的数据估计和（精确到0.01）．附：若随机变量Z 服从正态分布 N (,2 ) ，则 P(3Z3)0.9974 ，0.9974160.9592，0.0080.09．20．（ 12 分）已知椭圆x2y23）， P4（ 1，3 C：22 =1 （a>b>0），四点P1（1，1），P2（0，1），P3（–1，）a b22中恰有三点在椭圆 C 上．（ 1）求 C 的方程；（ 2）设直线 l 不经过 P2点且与 C 相交于 A， B 两点．若直线P2A 与直线 P2B 的斜率的和为–1，证明： l 过定点．21．（ 12 分）已知函数 f ( x) ae2x(a 2)e x x ．（ 1）讨论 f ( x) 的单调性；（ 2）若f ( x)有两个零点，求 a 的取值范围．（二）选考题：共10 分．请考生在第22、 23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22． [ 选修 4―4：坐标系与参数方程]（ 10 分）x3cos x a4t 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为（θ为参数），直线 l 的参数方程为（为参数）．y sin y1t（ 1）若 a=-1 ，求 C 与 l 的交点坐标；（ 2）若 C 上的点到 l 的距离的最大值为17 ，求 a．23． [ 选修 4—5：不等式选讲]（ 10 分）已知函数f(x) = –x2+ax+4 ， g(x)= │x+1│ +│x– 1│．（1）当 a=1 时，求不等式 f(x) ≥g(x)的解集；（2）若不等式 f(x) ≥g(x)的解集包含 [–1， 1]，求 a 的取值范围．参考答案（理科数学）一、选择题123456789101112A B B C D C B D D A D A二、填空题13．2 314．52315．16．4 15 3三、解答题。

2017年高考理科数学(全国卷1)试题与答案(word版)D证明：l 过定点.21.（12分）已知函数f (x )＝ae 2x +(a ﹣2) e x ﹣x .（1）讨论f (x )的单调性；（2）若f (x )有两个零点，求a 的取值范围.（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第一题计分。

22．[选修4―4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos ,sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为41x a t t y t =+⎧⎨=-⎩（为参数）. （1）若a =−1，求C 与l 的交点坐标；（2）若C 上的点到l 17a .23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）已知函数f（x）＝－x2+ax+4，g(x)=│x+1│+│x–1│.（1）当a=1时，求不等式f（x）≥g（x）的解集；（2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[–1，1]，求a的取值范围.答案及解析一、选择题：ABBCD CBDDA DA二、填空题： 13. 23 14. 5- 15. 33 16. 41517、 【解析】（1）S △ABC ＝12ab sin C ＝a 23sin A ，得 12b sin C ＝a3sin A由正弦定理，得 12sin B ·sin C ＝13， 解得sin B ·sin C ＝23.（2）由题知cos(B ＋C )＝cos B ·cos C －sin B ·sin C ＝16－23＝－12，即cos A ＝12，A ＝π3. 由正弦定理，23sin sin sin 32bc a B C A ==== ∴23b B =, 3c C = 则有2232312sin sin 1283bc B C B C =⋅==⨯=由余弦定理，得2229a b c bc ==+- ，解得33b c +=∴△ABC 的周长为33318、【解析】（1）由∠BAP ＝∠CDP ＝90°，得AB ⊥AP ，CD ⊥PD . ∵AB//CD ，∴AB ⊥PD ，又AP ∩PD ＝P ，∴AB ⊥平面PAD ， ∴平面PAB ⊥平面PAD .（2）记AD 的中点为O ，连接PO ，则有PO ⊥AD ，∵AB ⊥平面PAD ， ∴OP ⊥AB ，又AD ∩AB ＝A ，∴OP ⊥平面ABCD .以O 为原点，分别以OA 、DC 、OP 方向为x 轴、y 轴、z 轴建立如右图所示的空间直角坐标系. 不妨假设OA ＝1， 于是有A (1，0，0)，B (1，2，0)，C(－1，2，0)，D (－1，0，0)，P (0，0，1).∴(1,0,1)PA =-，(0,2,0)AB =，设1(,,)n x y z =是平面PAB 的一个法向量∴11020n PA x z n AB y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅==⎪⎩， 得0x z y =⎧⎨=⎩，令x ＝1，得1(1,0,1)n = 同理可求得2(0,1,2)n =是平面PBC 的一个法向量.∴12121223cos ,||||23n n n n n n ⋅<>===⨯ 由于二面角A -PB -C 是钝二面角，则二面角A -PB -C 的余弦值为3-.19、【解析】（1）由题意知，X ~B (16，0.0026)，∴P (X ≥1)＝1－P(X ＝0)＝1－0.997416＝1－0.9592＝0.0408，X 的数学期望E (X )＝16×0.0026＝0.0416.（2）（i ）由（1）知，出现了尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件的概率为0.0408，如果如此小的概率在一次试验中发生了，有理由相信出现异常情况.（ii ）3=9.970.636=9.334μσ--，3=9.970.636=10.606μσ++，剔除9.22，剔除后，9.97169.2210.0215μ⨯-==，1622210.21216161591.13i i x x ==⨯+=∑， 221591.139.221510.020.0915σ--⨯=≈.20、【解析】（1）由椭圆的对称性可知，P 2，P 3，P 4在椭圆C 上.把P 2(0，1)代入C ，得21=1b ，即b 2＝1，把P 4(1，32)代入C ，得213=14a +，即a 2＝4. ∴ 椭圆C 的方程为2214x y +=.（2）设直线l 的方程为y ＝kx ＋n （n ≠1），A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).联立2244x y y kx n⎧+=⎨=+⎩， 得222(14)8440k x knx n +++-= 由韦达定理，得122814kn x x k +=-+，21224414n x x k -=+ 221212121211111P A P B y y kx n kx n k k x x x x --+-+-+=⋅=⋅=-，即1212(21)(1)()0k x x n x x ++-+= 222448(21)(1)01414n kn k n k k-∴+⋅--⋅=++，即(21)(1)(1)2(1)0k n n kn n ∴++---= 由于n ≠1，n －1≠0，得(21)(1)20k n kn ∴++-=，解得21n k =-- ∴直线l 的方程为21y kx k =--，即1(2)y k x +=-，∴l 过定点(2，－1).21、【解析】（1） 由题知，f (x )的定义域为R ，2'()2(2)1(1)(21)x x x x f x ae a e ae e =+--=-+，其中210x e +＞恒成立. 若a ≤0，则1x ae -＜0恒成立，'()f x ＜0，则f (x )在R 上单调减； 若a ＞0，令10x ae -＞，解得ln x a -＞；令10x ae -＜，解得ln x a -＜. 即当ln x a -＜时，'()f x ＜0；当ln x a -＞时，'()0f x ＞.∴ f (x )在(,ln )a -∞-上单调减，在(ln )a -+∞，上单调增.（2）若a ≤0，f (x )在R 上单调减，至多只有一个零点，不符，舍去；若a ＞0，当x →＋∞时，f (x )→＋∞；x →－∞时，f (x )→＋∞.要使f (x )有两个零点，只要min ()(ln )0f x f a =-＜即可 只要2111(2)ln 0a a a a a ⎛⎫⋅+-⋅- ⎪⎝⎭＜即可，即111ln 0a a --＜ 令10t a=＞，则()1ln g t t t =--在(0，＋∞)上单调减 又(1)0g =，∴当11t a=＞，即0＜a ＜1时，()0g t ＜，(ln )0f a -＜. 即f (x )有两个零点时，a 的取值范围为(0，1).22、【解析】（1）消去参数θ，得曲线C 的普通方程为2299x y +=.当a ＝－1时，消去参数t ，得直线l 的普通方程为43x y +=.联立229943x y x y ⎧+=⎨+=⎩，解得1130x y =⎧⎨=⎩，2221252425xy ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴C 与l 的交点坐标为(3，0)和21242525⎛⎫- ⎪⎝⎭，.（2）设曲线C 上任意一点P ()3cos sin θθ，，消去参数t ，得直线l 的普通方程为4(4)0x y a +-+=. ∴点P 到直线l 的距离221714d =+由题知，max 17d =，即max |5sin()(4)|17a θϕ+-+= 当a ＋4＞0时，则有5(4)17a --+=-，解得8a =； 当a ＋4≤0时，则有5(4)17a -+=，解得16a =-；综上，a 的值为8或－16.23、【解析】（1）当a ＝1时，2()4f x x x =-++，又21()21121x x g x x x x --⎧⎪=-≤≤⎨⎪⎩，＜，，＞，当x ＜－1时，242x x x -++≥-，解得14x -≤≤，舍去 当－1≤x ≤1时，242x x -++≥，解得12x -≤≤，即11x -≤≤ 当x ≥1时，242x x x -++≥117117x ---+≤≤，即1171x -+≤≤，综上，不等式()()f x g x ≥的解集为1171⎡-+-⎢⎣⎦，.（2）当－1≤x ≤1时，()2g x =. 要使不等式()()f x g x ≥的解集包含[–1，1]， 只要()()f x g x ≥在[–1，1]上恒成立，只要242x ax -++≥在[–1，1]上恒成立 法一：数形结合法只要220x ax --≤在[–1，1]上恒成立，令2()2g x x ax =-- 只要(1)0(1)0g g≤⎧⎨-≤⎩，即120120a a +-≤⎧⎨--≤⎩，解得11a -≤≤，即a 的取值范围为[]11-，.法二：参数分离法只要22ax x ≥- ①在[–1，1]上恒成立，令2()h x x x =-当x ＝0时，不等式①显然恒成立；当0＜x ≤1时，只要2a x x≥-在(0，1]上恒成立，由于()h x 在(0，1]上单调增 ∴max ()(1)121h x h ==-=-，1a ≥-.当－1≤x ＜0时，只要2a x x≤-在[－1，0)上恒成立，由于()h x 在[－1，0)上单调增 ∴min ()(1)121h x h =-=-+=，1a ≤. 综上所述，a 的取值范围为[]11-，.。

2017年高考数学试题分项版—极坐标参数方程(解析版)2017年高考数学试题分项版—极坐标参数方程（解析版）一、填空题1．(2017·北京理，11)在极坐标系中，点A 在圆ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0上，点P 的坐标为(1,0)，则|AP |的最小值为________． 1．【答案】1【解析】由ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0，即(x －1)2＋(y －2)2＝1，圆心坐标为C (1,2)，半径长为1.∵点P 的坐标为(1,0)，∴点P 在圆C 外． 又∵点A 在圆C 上， ∴|AP |min ＝|PC |－1＝2－1＝1.2．(2017·天津理，11)在极坐标系中，直线4ρcos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫θ－π6＋1＝0与圆ρ＝2sin θ的公共点的个数为________． 2．【答案】2【解析】由4ρcos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫θ－π6＋1＝0，得23ρcos θ＋2ρsin θ＋1＝0，故直线的直角坐标方程为23x ＋2y ＋1＝0， 由ρ＝2sin θ，得ρ2＝2ρsin θ， 故圆的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2y ， 即x 2＋(y －1)2＝1，圆心为(0,1)，半径为1， ∵圆心到直线23x ＋2y ＋1＝0的距离d ＝|2×1＋1|(23)2＋22＝34＜1， ∴直线与圆相交，有两个公共点． 二、解答题1．(2017·全国Ⅰ文，22)[选修4－4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝3cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a ＋4t ，y ＝1－t(t 为参数)．(1)若a ＝－1，求C 与l 的交点坐标；(2)若C 上的点到l 的距离的最大值为17，求a . 1．解 (1)曲线C 的普通方程为x 29＋y 2＝1.当a ＝－1时，直线l 的普通方程为x ＋4y －3＝0.由⎩⎨⎧x 29＋y 2＝1，x ＋4y －3＝0，解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2125，y ＝2425.从而C 与l 的交点坐标为(3,0)，⎝⎛⎭⎪⎪⎫－2125，2425.(2)直线l 的普通方程为x ＋4y －a －4＝0， 故C 上的点(3cos θ，sin θ)到l 的距离为d＝|3cos θ＋4sin θ－a－4|17.当a≥－4时，d的最大值为a＋9 17.由题设得a＋917＝17，所以a＝8；当a<－4时，d的最大值为－a＋117.由题设得－a＋117＝17，所以a＝－16.综上，a＝8或a＝－16.2．(2017·全国Ⅱ文，22)[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcos θ＝4.(1)M为曲线C1的动点，点P在线段OM上，且满足|OM |·|OP |＝16，求点P 的轨迹C 2的直角坐标方程；(2)设点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎪⎫2，π3，点B 在曲线C 2上，求△OAB 面积的最大值．2．解 (1)设点P 的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，点M 的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0)．由题设知|OP |＝ρ，|OM |＝ρ1＝4cos θ.由|OM |·|OP |＝16得C 2的极坐标方程ρ＝4cos θ(ρ>0)．因此C 2的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4(x ≠0)． (2)设点B 的极坐标为(ρB ，α)(ρB >0)． 由题设知|OA |＝2，ρB ＝4cos α，于是△OAB 的面积S ＝12|OA |·ρB ·sin ∠AOB＝4cos α·⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫α－π3 ＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2α－π3－32≤2＋ 3.当α＝－π12时，S 取得最大值2＋ 3.所以△OAB 面积的最大值为2＋ 3.3．(2017·全国Ⅲ文，22)[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋t ，y ＝kt(t 为参数)，直线l 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－2＋m ，y ＝mk(m 为参数)．设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C . (1)写出C 的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l 3：ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径．3．解 (1)消去参数t ，得l 1的普通方程l 1：y ＝k (x －2)；消去参数m ，得l 2的普通方程l 2：y ＝1k (x ＋2)．设P (x ，y )，由题设得⎩⎨⎧y ＝k (x －2)，y ＝1k (x ＋2).消去k 得x 2－y 2＝4(y ≠0)．所以C 的普通方程为x 2－y 2＝4(y ≠0)． (2)C 的极坐标方程为ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4(0＜θ＜2π，θ≠π)．联立⎩⎨⎧ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4，ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0，得cos θ－sin θ＝2(cos θ＋sin θ)．故tan θ＝－13，从而cos 2θ＝910，sin 2θ＝110.代入ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4，得ρ2＝5，所以交点M 的极径为 5. 4．(2017·江苏，21)C ．[选修4—4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系中xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－8＋t ，y ＝t2(t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2s 2，y ＝22s(s 为参数)．设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值． 4．解 直线l 的普通方程为x －2y ＋8＝0， 因为点P 在曲线C 上，设P (2s 2,22s )， 从而点P 到直线的距离d ＝|2s 2－42s ＋8|5＝|2(s －2)2＋4|5，当s ＝2时，d min ＝455.因此当点P 的坐标为(4,4)时，曲线C 上的点P 到直线l 的距离取到最小值455.5．(2017·全国Ⅰ理，22)[选修4-4，坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝3cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a ＋4t ，y ＝1－t(t 为参数)． (1)若a ＝－1，求C 与l 的交点坐标；(2)若C 上的点到l 的距离的最大值为17，求a . 5．解 (1)曲线C 的普通方程为x 29＋y 2＝1.当a ＝－1时，直线l 的普通方程为x ＋4y －3＝0.由⎩⎨⎧ x ＋4y －3＝0，x 29＋y 2＝1， 解得⎩⎨⎧ x ＝3，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2125，y ＝2425，从而C 与l 的交点坐标是(3,0)，⎝⎛⎭⎪⎪⎫－2125，2425. (2)直线l 的普通方程是x ＋4y －4－a ＝0，故C 上的点(3cos θ，sin θ)到l 距离为d ＝|3cos θ＋4sin θ－a －4|17. 当a ≥－4时，d 的最大值为a ＋917. 由题设得a ＋917＝17，所以a ＝8； 当a <－4时，d 的最大值为－a ＋117.由题设得－a ＋117＝17， 所以a ＝－16.综上，a ＝8或a ＝－16.6．(2017·全国Ⅱ理，22)[选修4—4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρcos θ＝4.(1)M 为曲线C 1上的动点，点P 在线段OM 上，且满足|OM |·|OP |＝16，求点P 的轨迹C 2的直角坐标方程；(2)设点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎪⎫2，π3，点B 在曲线C 2上，求△OAB 面积的最大值．6．解 (1)设点P 的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，点M 的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0)，由题设知，|OP |＝ρ，|OM |＝ρ1＝4cos θ. 由|OM |·|OP |＝16，得C 2的极坐标方程ρ＝4cosθ(ρ>0)．所以C 2的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4(x ≠0)．(2)设点B 的极坐标为(ρB ，α)(ρB >0)． 由题设知|OA |＝2，ρB ＝4cos α.于是△OAB 的面积S ＝12|OA |·ρB ·sin ∠AOB ＝4cos α⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫α－π3 ＝4cos α⎪⎪⎪⎪⎪⎪12sin α－32cos α ＝|sin 2α－3cos 2α－3|＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2α－π3－32≤2＋ 3. 当2α－π3＝－π2，即α＝－π12时，S 取得最大值2＋3，所以△OAB 面积的最大值为2＋ 3.7．(2017·全国Ⅲ理，22)[选修4—4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋t ，y ＝kt (t 为参数)，直线l 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－2＋m ，y ＝m k(m 为参数)．设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C .(1)写出C 的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l 3：ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径．7．解 (1)消去参数t ，得l 1的普通方程l 1：y ＝k (x －2)；消去参数m ，得l 2的普通方程l 2：y ＝1k (x ＋2)．。

2021年普通高等学校招生全国统一考试〔全国卷Ⅰ〕理科数学考前须知：1、答题前，先将自己的、号填写在试题卷和答题卡上，并将号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑.2、选择题的作答：每题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑.答案写在答题卡上对应的答题区域，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.5、 考试完毕后，请将本试题卷和答题卡一并上交.第一卷一. 选择题：本大题共12小题,每题5分,在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的.1.设集合{}2430A x x x =-+<，{}230x x ->,那么AB =〔A 〕33,2⎛⎫--⎪⎝⎭ 〔B 〕33,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ 〔C 〕31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭〔D 〕3,32⎛⎫⎪⎝⎭2.设yi x i +=+1)1(，其中y x ,是实数，那么=+yi x 〔A 〕1〔B 〕2〔C 〕3〔D 〕23.等差数列{}n a 前9项的和为27，108a =，那么100a = 〔A 〕100 〔B 〕99 〔C 〕98 〔D 〕974.某公司的班车在7:00，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，那么他等车时间不超过10分钟的概率是 〔A 〕13 〔B 〕12 〔C 〕23 〔D 〕345.方程222213x y m n m n-=+-表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4,那么n 的取值围是〔A 〕()1,3- 〔B〕(- 〔C 〕()0,3 〔D〕(6.如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.假设该几何体的体积是283π,那么它的外表积是 〔A 〕17π 〔B 〕18π 〔C 〕20π 〔D 〕28π7.函数22xy x e =-在[]2,2-的图像大致为〔A 〕〔B（C ）〔D8.假设a >〔A 〕c c a b < 〔B 〕c c ab ba < 〔C 〕log log b a a c b c < 〔D 〕log log a b c c < 9.执行右面的程序框图,如果输入的011x y n ===，，,那么输出x ,y 的值满足 〔A 〕2y x = 〔B 〕3y x = 〔C 〕4y x = 〔D 〕5y x = 10.以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A 、B 两点，交C 的准线于D 、E 两点.|AB |=DE|=那么C 的焦点到准线的距离为 (A)2 (B)4 (C)6 (D)811.平面α过正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的顶点A ,α//平面CB 1D 1,α平面ABCD =m ,α平面AB B 1A 1=n ,那么m 、n 所成角的正弦值为(D)13结束12.函数()sin()(0),24f x x+x ππωϕωϕ=>≤=-， 为()f x 的零点,4x π=为()y f x =图像的对称轴，且()f x 在51836ππ⎛⎫⎪⎝⎭，单调，那么ω的最大值为 〔A 〕11 〔B 〕9 〔C 〕7 〔D 〕5 二、填空题：本大题共3小题,每题5分13.设向量a =(m ,1)，b =(1,2)，且|a +b |2=|a |2+|b |2，那么m =．14.5(2x +的展开式中，x 3的系数是．〔用数字填写答案〕15.设等比数列{}n a 满足a 1+a 3=10，a 2+a 4=5，那么a 1a 2 …a n 的最大值为．16.某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5kg ，乙材料1kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5kg ，乙材料0.3kg ，用3个工时．生产一件产品A 的利润为2100元，生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150kg ，乙材料90kg ，那么在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为元． 三.解答题：解容许写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.〔本小题总分值为12分〕ABC ∆的角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2cos (cos cos ).C a B+b A c =〔I 〕求C ； 〔II〕假设=c ∆ABC∆ABC 的周长．18.〔本小题总分值为12分〕如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，面ABEF 为正方形，AF =2FD ，90AFD ∠=，且二面角D -AF -E 与二面角C -BE -F 都是60． 〔I 〕证明：平面ABEF ⊥平面EFDC ； 〔II 〕求二面角E -BC -A 的余弦值．CABDEF19.〔本小题总分值12分〕某公司方案购置2台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购置这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件缺乏再购置,那么每个500元.现需决策在购置机器时应同时购置几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期更换的易损零件数,得下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率,记X 表示2台机器三年共需更换的易损零件数,n 表示购置2台机器的同时购置的易损零件数. 〔I 〕求X 的分布列；〔II 〕假设要求()0.5P X n ≤≥,确定n 的最小值；〔III 〕以购置易损零件所需费用的期望值为决策依据,在19n =与20n =之中选其一,应选用哪个？20.〔本小题总分值12分〕设圆222150x y x ++-=的圆心为A ,直线l 过点B 〔1,0〕且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ,D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E . 〔I 〕证明EA EB +为定值，并写出点E 的轨迹方程；〔II 〕设点E 的轨迹为曲线C 1，直线l 交C 1于M ,N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ,Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值围.21.〔本小题总分值12分〕函数()()()221xf x x e a x =-+-有两个零点.(I)求a 的取值围；(II)设x 1,x 2是()f x 的两个零点,证明：122x x +<. 请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,那么按所做的第一题计分.22.〔本小题总分值10分〕选修4-1：几何证明选讲 如图，△OAB 是等腰三角形，∠AOB =120°.以O 为圆心，12OA 为半径作圆. (I)证明：直线AB 与⊙O 相切；(II)点C ，D 在⊙O 上，且A ，B ，C ，D 四点共圆，证明：AB ∥CD .ODCBA23.〔本小题总分值10分〕选修4—4：坐标系与参数方程 在直角坐标系x O y 中，曲线C 1的参数方程为cos 1sin x a ty a t=⎧⎨=+⎩〔t 为参数，a ＞0〕．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ=4cos θ. 〔I 〕说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；〔II 〕直线C 3的极坐标方程为0θα=，其中0α满足tan 0α=2，假设曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a ．24.〔本小题总分值10分〕选修4—5：不等式选讲函数()123f x x x =+--. 〔I 〕画出()y f x =的图像； 〔II 〕求不等式()1f x >的解集．2021年高考全国1卷理科数学参考答案1.{}{}243013A x x x x x =-+<=<<，{}32302B x x x x ⎧⎫=->=>⎨⎬⎩⎭． 故332AB x x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭．应选D ．2.由()11i x yi +=+可知：1x xi yi +=+，故1x x y =⎧⎨=⎩，解得：11x y =⎧⎨=⎩．所以，x yi + 应选B ．3.由等差数列性质可知：()1959599292722a a a S a +⨯====，故53a =， 而108a =，因此公差1051105a a d -==-∴100109098a a d =+=． 应选C ．4.如下图，画出时间轴：8:208:107:507:408:308:007:30小明到达的时间会随机的落在图中线段AB 中，而当他的到达时间落在线段AC 或DB 时，才能保证他等车的时间不超过10分钟 根据几何概型，所求概率10101402P +==． 应选B ．5.222213x y m n m n-=+-表示双曲线，那么()()2230m n m n +->∴223m n m -<<由双曲线性质知：()()222234c m n m n m =++-=，其中c 是半焦距 ∴焦距2224c m =⋅=，解得1m = ∴13n -<< 应选A ． 6.原立体图如下图：是一个球被切掉左上角的18后的三视图外表积是78的球面面积和三个扇形面积之和2271=42+32=1784S πππ⨯⨯⨯⨯ 应选A ．7.()22288 2.80f e =->->，排除A()22288 2.71f e =-<-<，排除B0x >时，()22x f x x e =-()4x f x x e '=-，当10,4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()01404f x e '<⨯-=因此()f x 在10,4⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，排除C应选D ．8.对A ：由于01c <<，∴函数c y x =在R 上单调递增，因此1c c a b a b >>⇔>，A 错误对B ：由于110c -<-<，∴函数1c y x -=在()1,+∞上单调递减，∴111c c c c a b a b ba ab -->>⇔<⇔<，B 错误对C ：要比拟log b a c 和log a b c ，只需比拟ln ln a c b 和ln ln b c a ，只需比拟ln ln c b b 和ln ln ca a，只需ln b b和ln a a构造函数()()ln 1f x x x x =>，那么()'ln 110f x x =+>>，()f x 在()1,+∞上单调递增，因此()()110ln ln 0ln ln f a f b a a b b a a b b>>⇔>>⇔<又由01c <<得ln 0c <，∴ln ln log log ln ln a b c cb c a c a a b b<⇔<，C 正确 对D ： 要比拟log a c 和log b c ，只需比拟ln ln c a 和ln ln cb而函数ln y x =在()1,+∞上单调递增，故111ln ln 0ln ln a b a b a b>>⇔>>⇔<又由01c <<得ln 0c <，∴ln ln log log ln ln a b c cc c a b>⇔>，D 错误 应选C ． 9.如下表：输出32x =，6y =，满足4y x = 应选C ．10. 以开口向右的抛物线为例来解答，其他开口同理设抛物线为22y px =()0p >，设圆的方程为222x y r +=， 题目条件翻译如图：设(0A x ，2p D ⎛- ⎝，点(0A x 在抛物线22y px =上，∴082px =……①点2p D ⎛- ⎝在圆222x y r +=上，∴2252p r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭……②点(0A x 在圆222x y r +=上，∴2208x r +=……③ 联立①②③解得：4p =，焦点到准线的距离为4p =． 应选B ． 11. 如下图：∵11CB D α∥平面，∴假设设平面11CB D 平面1ABCD m =，那么1m m ∥又∵平面ABCD ∥平面1111A B C D ，结合平面11B D C 平面111111A B C D B D =∴111B D m ∥，故11B D m ∥ 同理可得：1CD n ∥故m 、n 的所成角的大小与11B D 、1CD 所成角的大小相等，即11CD B ∠的大小． 而1111B C B D CD ==〔均为面对交线〕，因此113CD B π∠=，即11sin CD B ∠=． 应选A ． 12. 由题意知：12π+π 4ππ+π+42k k ωϕωϕ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 那么21k ω=+，其中k ∈Z()f x 在π5π,1836⎛⎫⎪⎝⎭单调，5π,123618122T ππω∴-=≤≤接下来用排除法假设π11,4ωϕ==-，此时π()sin 114f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()f x 在π3π,1844⎛⎫ ⎪⎝⎭递增，在3π5π,4436⎛⎫⎪⎝⎭递减，不满足()f x 在π5π,1836⎛⎫⎪⎝⎭单调111假设π9,4ωϕ==，此时π()sin 94f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，满足()f x 在π5π,1836⎛⎫⎪⎝⎭单调递减应选B ．13.-2 14.10 15．64 16． 216000 13. 由得：()1,3a b m +=+∴()22222222213112a b a b m m +=+⇔++=+++，解得2m =-．14． 设展开式的第1k +项为1k T +，{}0,1,2,3,4,5k ∈∴()5552155C 2C 2k kkkk kk T x x---+==．当532k -=时，4k =，即454543255C 210T x x --==故答案为10．15.由于{}n a 是等比数列，设11n n a a q -=，其中1a 是首项，q 是公比．∴2131132411101055a a a a q a a a q a q ⎧+=+=⎧⎪⇔⎨⎨+=+=⎪⎩⎩，解得：1812a q =⎧⎪⎨=⎪⎩． 故412n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴()()()()21174932 (472)22412111...222n n n n n a a a ⎡⎤⎛⎫-+-++----⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅⋅⋅=== ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭当3n =或4时，21749224n ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦取到最小值6-，此时2174922412n ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎛⎫⎪⎝⎭取到最大值62．所以12...n a a a ⋅⋅⋅的最大值为64．16． 设生产A 产品x 件，B 产品y 件，根据所消耗的材料要求、工时要求等其他限制条件，构造线性规那么约束为目标函数2100900z x y =+作出可行域为图中的四边形，包括边界，顶点为(60,100)(0,200)(0,0)(90,0) 在(60,100)处取得最大值，210060900100216000z =⨯+⨯= 17.解： ⑴()2cos cos cos C a B b A c +=由正弦定理得：()2cos sin cos sin cos sin C A B B A C ⋅+⋅=()2cos sin sin C A B C ⋅+=∵πA B C ++=，()0πA B C ∈、、， ∴()sin sin 0A B C +=> ∴2cos 1C =，1cos 2C = ∵()0πC ∈，∴π3C =⑵ 由余弦定理得：2222cos c a b ab C =+-⋅221722a b ab =+-⋅()237a b ab +-=1sin 2S ab C =⋅∴6ab = ∴()2187a b +-=5a b +=∴ABC △周长为5a b c ++= 18．解：(1) ∵ABEF 为正方形∴AF EF ⊥∵90AFD ∠=︒ ∴AF DF ⊥ ∵=DFEF F∴AF ⊥面EFDCAF ⊥面ABEF∴平面ABEF ⊥平面EFDC ⑵ 由⑴知60DFE CEF ∠=∠=︒∵AB EF ∥AB ⊄平面EFDC EF ⊂平面EFDC∴AB ∥平面ABCDAB ⊂平面ABCD∵面ABCD 面EFDC CD = ∴AB CD ∥ ∴CD EF ∥∴四边形EFDC 为等腰梯形以E 为原点，如图建立坐标系，设FD a =()()000020E B a ，，，，()02202a C A a a ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，，，()020EB a =，，，22a BC a ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，，()200AB a =-，， 设面BEC 法向量为()m x y z =，，.00m EB m BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即111120202a y a x ay z ⋅=⎧⎪⎨⋅-+⋅=⎪⎩11101x y z ===-， ()301m =-，，设面ABC 法向量为()222nx y z =，，=00n BC n AB ⎧⋅⎪⎨⋅=⎪⎩.即222220220a x ay ax ⎧-+=⎪⎨⎪=⎩22204x y z ===， ()034n =，设二面角E BC A --的大小为θ. cos 3m n m nθ⋅===+⋅ ∴二面角E BC A --的余弦值为 19解： ⑴ 每台机器更换的易损零件数为8，9，10，11记事件i A 为第一台机器3年换掉7i +个零件()1,2,3,4i = 记事件i B 为第二台机器3年换掉7i +个零件()1,2,3,4i =由题知()()()()()()1341340.2P A P A P A P B P B P B ======，()()220.4P A P B == 设2台机器共需更换的易损零件数的随机变量为X ，那么X 的可能的取值为16，17，18，19，20，21，22()()()11160.20.20.04P X P A P B ===⨯=()()()()()1221170.20.40.40.20.16P X P A P B P A P B ==+=⨯+⨯=()()()()()()()132231180.20.20.20.20.40.40.24P X P A P B P A P B P A P B ==++=⨯+⨯+⨯=()()()()()()()()()14233241190.20.20.20.20.40.2P X P A P B P A P B P A P B P A P B ==+++=⨯+⨯+⨯0.20.40.24+⨯=()()()()()()()243342200.40.20.20.40.20.20.2P X P A P B P A P B P A P B ==++=⨯+⨯+⨯=()()()()()3443210.20.20.20.20.08P x P A P B P A P B ==+=⨯+⨯= ()()()44220.20.20.04P x P A P B ===⨯=0.04 0.16⑵ 要令(P x n ≤，0.040.16+0.5≥ 那么n 的最小值为19⑶ 购置零件所需费用含两局部，一局部为购置机器时购置零件的费用，另一局部为备件缺乏时额外购置的费用当19n =时，费用的期望为192005000.210000.0815000.044040⨯+⨯+⨯+⨯= 当20n =时，费用的期望为202005000.0810000.044080⨯+⨯+⨯= 所以应选用19n =20.(1)圆A 整理为()22116x y ++=，A 坐标(-BE AC ∥，那么C EBD =∠∠，由,AC AD D C ==则∠∠，EBD D ∴=∠∠，那么EB ED = 4AE EB AE ED AD ∴+=+==所以E 的轨迹为一个椭圆，方程为22143x y +=，(0y ≠)；⑵221:143x y C +=；设:1l x my =+，因为PQ l ⊥，设():1PQ y m x =--，联立221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2234690m y my ++-=那()22121|||34M N m MN y y m +=-==+；圆心A 到PQ 距离d ==所以||PQ ==，()2212111||||2234MPNQm S MN PQ m +⎡∴=⋅=⋅==⎣+ 21. 〔Ⅰ〕'()(1)2(1)(1)(2)x xf x x e a x x e a =-+-=-+．〔i 〕设0a =，那么()(2)xf x x e =-，()f x 只有一个零点．〔ii 〕设0a >，那么当(,1)x ∈-∞时，'()0f x <；当(1,)x ∈+∞时，'()0f x >．所以()f x 在(,1)-∞上单调递减，在(1,)+∞上单调递增．又(1)f e =-，(2)f a =，取b 满足0b <且ln2ab <，那么 223()(2)(1)()022a fb b a b a b b >-+-=->，故()f x 存在两个零点．〔iii 〕设0a <，由'()0f x =得1x =或ln(2)x a =-． 假设2ea ≥-，那么ln(2)1a -≤，故当(1,)x ∈+∞时，'()0f x >，因此()f x 在(1,)+∞上单调递增．又当1x ≤时，()0f x <，所以()f x 不存在两个零点． 假设2ea <-，那么ln(2)1a ->，故当(1,ln(2))x a ∈-时，'()0f x <；当(ln(2),)x a ∈-+∞时，'()0f x >．因此()f x 在(1,ln(2))a -单调递减，在(ln(2),)a -+∞单调递增．又当1x ≤时，()0f x <，所以()f x 不存在两个零点．综上，a 的取值围为(0,)+∞．II （）不妨设12x x <，由〔Ⅰ〕知1(,1)x ∈-∞，2(1,)x ∈+∞，22(,1)x -∈-∞，()f x 在(,1)-∞上单调递减，所以122x x +<等价于12()(2)f x f x >-，即2(2)0f x -<. 由于222222(2)(1)x f x x ea x --=-+-，而22222()(2)(1)0x f x x e a x =-+-=，所以222222(2)(2)x x f x x e x e --=---.设2()(2)xx g x xex e -=---，那么2()(1)()x x g x x e e -'=--.所以当1x >时，()0g x '<，而(1)0g =，故当1x >时，()0g x <. 从而22()(2)0g x f x =-<，故122x x +<. 22．⑴ 设圆的半径为r ，作OK AB ⊥于K∵120OA OB AOB =∠=︒，∴30sin302OAOK AB A OK OA r ⊥∠=︒=⋅︒==，， ∴AB 与O ⊙相切 ⑵ 方法一：假设CD 与AB 不平行CD 与AB 交于F2FK FC FD =⋅① ∵A B C D 、、、四点共圆∴()()FC FD FA FB FK AK FK BK ⋅=⋅=-+ ∵AK BK =∴()()22FC FD FK AK FK AK FK AK ⋅=-+=-②由①②可知矛盾 ∴AB CD ∥方法二：因为,,,A B C D 四点共圆，不妨设圆心为T ，因为,OA OB TA TB ==，所以,O T 为AB 的中垂线上，同理,OC OD TC TD ==，所以OT CD 为的中垂线，所以AB CD ∥．23．⑴cos 1sin x a ty a t=⎧⎨=+⎩ 〔t 均为参数〕∴()2221x y a +-=①∴1C 为以()01，为圆心，a 为半径的圆．方程为222210x y y a +-+-= ∵222sin x y y ρρθ+==，∴222sin 10a ρρθ-+-= 即为1C 的极坐标方程⑵24cos C ρθ=：两边同乘ρ得22224cos cos x y x ρρθρρθ==+=，224x y x ∴+= 即()2224x y -+=②3C ：化为普通方程为2y x =由题意：1C 和2C 的公共方程所在直线即为3C ①—②得：24210x y a -+-=，即为3C ∴210a -=∴1a =24．⑴ 如下图：⑵()4133212342x x f x x x x x ⎧⎪--⎪⎪=--<<⎨⎪⎪-⎪⎩，≤，，≥()1f x >当1x -≤，41x ->，解得5x >或3x <1x -∴≤当312x -<<，321x ->，解得1x >或13x < 113x -<<∴或312x <<当32x ≥，41x ->，解得5x >或3x <332x <∴≤或5x > 综上，13x <或13x <<或5x >()1f x >∴，解集为()()11353⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭，，，。

2010-2017年高考数学全国卷试题汇编（极坐标与参数方程部分）1、【2010年新课标】已知直线1:C x 1t cos sin y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数），曲线2:C x cos sin y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）. （1）当α=3π时，求1C 与2C 的交点坐标； （2）过坐标原点O 做1C 的垂线，垂足为A ，P 为OA 中点，当α变化时，求P 点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线.2、【2011年新课标】在直角坐标系xoy 中，曲线1C 的参数方程为2cos 22sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数），M 是1C 上的动点，P 点满足2OP OM =，P 点的轨迹为曲线2C . （1）求2C 的方程； （2）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3πθ=与1C 的异于极点的交点为A ，与2C 的异于极点的交点为B ，求AB .3、【2012年新课标】曲线1C 的参数方程是)(3sin y 2cos x 为参数ϕϕϕ⎩⎨⎧==，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线2C 的坐标系方程是2=ρ，正方形ABCD 的顶点都在2C 上，且,,,A B C D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为(2,)3π. （1）求点,,,A B C D 的直角坐标；（2）设P 为1C 上任意一点，求2222PA PB PC PD +++的取值范围.4、【2013年新课标1】已知曲线1C 的参数方程为45cos ,55sin x t y t =+⎧⎨=+⎩(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为2sin ρθ=. (1)把1C 的参数方程化为极坐标方程； (2)求1C 与2C 交点的极坐标(0ρ≥，02θπ≤<).5、【2013年新课标2】已知动点,P Q 都在曲线C ：2sin y t ⎨=⎩(t 为参数)上，对应参数分别为t α=与2t α=()02απ<<，M 为PQ 的中点．(1)求M 的轨迹的参数方程； (2)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点．6、【2014年新课标1】已知曲线C ：22149x y +=，直线:l ⎩⎨⎧x ＝2＋t ，y ＝2－2t (t 为参数)．(1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程； (2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求PA 的最大值与最小值．7、【2014年新课标2】在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.（1）求C 的参数方程； （2）设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线:2l y =+垂直，根据（1）中你得到的参数方程，确定D 的坐标.8、【2015年新课标1】在坐标系xOy 中,直线1:2C x =-,圆()()222:121C x y -+-=，以坐标原点为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求12,C C 的极坐标方程； （2）若直线3C 的极坐标方程为()πR 4θρ=∈，设23,C C 的交点为,M N ，求2C MN ∆的面积。

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(全国新课标卷I)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2013课标全国Ⅰ，理1)已知集合A ＝{x |x 2－2x ＞0}，B ＝{x |－5＜x ＜5}，则( )． A ．A ∩B ＝ B ．A ∪B ＝R C ．B ⊆A D ．A ⊆B2．(2013课标全国Ⅰ，理2)若复数z 满足(3－4i)z ＝|4＋3i|，则z 的虚部为( )．A ．－4B ．45-C ．4D ．45 3．(2013课标全国Ⅰ，理3)为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( )．A ．简单随机抽样B ．按性别分层抽样C ．按学段分层抽样D ．系统抽样4．(2013课标全国Ⅰ，理4)已知双曲线C ：2222=1x y a b-(a ＞0，b ＞0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为( )．A ．y ＝14x ±B ．y ＝13x ±C ．y ＝12x± D ．y ＝±x5．(2013课标全国Ⅰ，理5)执行下面的程序框图，如果输入的t ∈[－1,3]，则输出的s 属于( )．A ．[－3,4]B ．[－5,2]C ．[－4,3]D ．[－2,5]6．(2013课标全国Ⅰ，理6)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为( )．A ．500π3cm3B ．866π3cm3C ．1372π3cm3D ．2048π3cm37．(2013课标全国Ⅰ，理7)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝( )．A ．3B ．4C ．5D ．68．(2013课标全国Ⅰ，理8)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )．A ．16＋8πB ．8＋8πC ．16＋16πD ．8＋16π9．(2013课标全国Ⅰ，理9)设m 为正整数，(x ＋y )2m 展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y )2m ＋1展开式的二项式系数的最大值为b .若13a ＝7b ，则m ＝( )．A ．5B ．6C ．7D ．8 10．(2013课标全国Ⅰ，理10)已知椭圆E ：2222=1x y a b+(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )．A ．22=14536x y +B ．22=13627x y +C ．22=12718x y + D ．22=1189x y +11．(2013课标全国Ⅰ，理11)已知函数f (x )＝220ln(1)0.x x x x x ⎧-+≤⎨+>⎩，，，若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是( )．A ．(－∞，0]B ．(－∞，1]C ．[－2,1]D ．[－2,0]12．(2013课标全国Ⅰ，理12)设△A n B n C n 的三边长分别为a n ，b n ，c n ，△A n B n C n 的面积为S n ，n ＝1,2,3，….若b 1＞c 1，b 1＋c 1＝2a 1，a n ＋1＝a n ，b n ＋1＝2n n c a +，c n ＋1＝2n n b a +，则( )． A ．{Sn}为递减数列 B ．{Sn}为递增数列C ．{S2n －1}为递增数列，{S2n}为递减数列D ．{S2n －1}为递减数列，{S2n}为递增数列第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题～第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题～第(24)题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．(2013课标全国Ⅰ，理13)已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝ta ＋(1－t )b .若b ·c ＝0，则t ＝__________.14．(2013课标全国Ⅰ，理14)若数列{an}的前n 项和2133n n S a =+，则{an}的通项公式是an ＝_______.15．(2013课标全国Ⅰ，理15)设当x ＝θ时，函数f(x)＝sin x －2cos x 取得最大值，则cos θ＝__________.16．(2013课标全国Ⅰ，理16)若函数f(x)＝(1－x2)(x2＋ax ＋b)的图像关于直线x ＝－2对称，则f(x)的最大值为__________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．(2013课标全国Ⅰ，理17)(本小题满分12分)如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，ABBC ＝1，P 为△ABC 内一点，∠BPC ＝90°.(1)若PB ＝12，求PA ； (2)若∠APB ＝150°，求tan ∠PBA.18．(2013课标全国Ⅰ，理18)(本小题满分12分)如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°.(1)证明：AB⊥A1C；(2)若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB＝CB，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．19．(2013课标全国Ⅰ，理19)(本小题满分12分)一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n.如果n＝3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n＝4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的每件产品是优质品的概率都为12，且各件产品是否为优质品相互独立．(1)求这批产品通过检验的概率；(2)已知每件产品的检验费用为100元，且抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位：元)，求X的分布列及数学期望．20．(2013课标全国Ⅰ，理20)(本小题满分12分)已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.(1)求C的方程；(2)l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|. 21．(2013课标全国Ⅰ，理21)(本小题满分12分)设函数f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝e x(cx＋d)．若曲线y ＝f(x)和曲线y＝g(x)都过点P(0,2)，且在点P处有相同的切线y＝4x＋2.(1)求a，b，c，d的值；(2)若x≥－2时，f(x)≤kg(x)，求k的取值范围．请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．22．(2013课标全国Ⅰ，理22)(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于点D.(1)证明：DB＝DC；(2)设圆的半径为1，BC，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．23．(2013课标全国Ⅰ，理23)(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程为45cos,55sinx ty t=+⎧⎨=+⎩(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．24．(2013课标全国Ⅰ，理24)(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲：已知函数f(x)＝|2x－1|＋|2x ＋a|，g(x)＝x＋3.(1)当a＝－2时，求不等式f(x)＜g(x)的解集；(2)设a＞－1，且当x∈1,22a⎡⎫-⎪⎢⎣⎭时，f(x)≤g(x)，求a的取值范围．2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(全国卷I 新课标)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．答案：B解析：∵x (x －2)＞0，∴x ＜0或x ＞2.∴集合A 与B 可用图象表示为：由图象可以看出A ∪B ＝R ，故选B.2．答案：D解析：∵(3－4i)z ＝|4＋3i|， ∴55(34i)34i 34i (34i)(34i)55z +===+--+. 故z 的虚部为45，选D. 3．答案：C解析：因为学段层次差异较大，所以在不同学段中抽取宜用分层抽样．4．答案：C解析：∵c e a ==，∴22222254c a b e a a +===. ∴a 2＝4b 2，1=2b a ±. ∴渐近线方程为12b y x x a =±±.5．答案：A解析：若t ∈[－1,1)，则执行s ＝3t ，故s ∈[－3,3)．若t ∈[1,3]，则执行s ＝4t －t 2，其对称轴为t ＝2.故当t ＝2时，s 取得最大值4.当t ＝1或3时，s 取得最小值3，则s ∈[3,4]．综上可知，输出的s ∈[－3,4]．故选A.6．答案：A解析：设球半径为R ，由题可知R ，R －2，正方体棱长一半可构成直角三角形，即△OBA 为直角三角形，如图．BC ＝2，BA ＝4，OB ＝R －2，OA ＝R ，由R 2＝(R －2)2＋42，得R ＝5， 所以球的体积为34500π5π33=(cm 3)，故选A. 7．答案：C解析：∵S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，∴a m ＝S m －S m －1＝0－(－2)＝2，a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝3－0＝3.∴d ＝a m ＋1－a m ＝3－2＝1.∵S m ＝ma 1＋12m m (-)×1＝0，∴112m a -=-. 又∵a m ＋1＝a 1＋m ×1＝3，∴132m m --+=. ∴m ＝5.故选C.8．答案：A解析：由三视图可知该几何体为半圆柱上放一个长方体，由图中数据可知圆柱底面半径r ＝2，长为4，在长方体中，长为4，宽为2，高为2，所以几何体的体积为πr 2×4×12＋4×2×2＝8π＋16.故选A. 9．答案：B解析：由题意可知，a ＝2C m m ，b ＝21C m m +，又∵13a ＝7b ，∴2!21!13=7!!!1!m m m m m m ()(+)⋅⋅(+)， 即132171m m +=+.解得m ＝6.故选B. 10．答案：D解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∵A ，B 在椭圆上， ∴2211222222221,1,x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩①② ①－②，得1212121222=0x x x x y y y y a b(+)(-)(+)(-)+， 即2121221212=y y y y b a x x x x (+)(-)-(+)(-)， ∵AB 的中点为(1，－1)，∴y 1＋y 2＝－2，x 1＋x 2＝2， 而1212y y x x --＝k AB ＝011=312-(-)-，∴221=2b a . 又∵a 2－b 2＝9，∴a 2＝18，b 2＝9. ∴椭圆E 的方程为22=1189x y +.故选D. 11．答案：D解析：由y ＝|f (x )|的图象知：①当x ＞0时，y ＝ax 只有a ≤0时，才能满足|f (x )|≥ax ，可排除B ，C.②当x ≤0时，y ＝|f (x )|＝|－x 2＋2x |＝x 2－2x .故由|f (x )|≥ax 得x 2－2x ≥ax .当x ＝0时，不等式为0≥0成立．当x ＜0时，不等式等价于x －2≤a .∵x －2＜－2，∴a ≥－2.综上可知：a ∈[－2,0]．12．答案：B第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题～第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题～第(24)题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．答案：2解析：∵c ＝t a ＋(1－t )b ，∴b ·c ＝t a ·b ＋(1－t )|b |2.又∵|a |＝|b |＝1，且a 与b 夹角为60°，b ⊥c ，∴0＝t |a ||b |cos 60°＋(1－t )，0＝12t ＋1－t . ∴t ＝2.14．答案：(－2)n －1解析：∵2133n n S a =+，① ∴当n ≥2时，112133n n S a --=+.② ①－②，得12233n n n a a a -=-， 即1n n a a -＝－2. ∵a 1＝S 1＝12133a +， ∴a 1＝1.∴{a n }是以1为首项，－2为公比的等比数列，a n ＝(－2)n －1.15．答案：5- 解析：f (x )＝sin x －2cos xx x ⎫⎪⎭， 令cos αsin α＝- 则f (x )α＋x )，当x ＝2k π＋π2－α(k ∈Z )时，sin(α＋x )有最大值1，f (x )即θ＝2k π＋π2－α(k ∈Z )， 所以cos θ＝πcos 2π+2k α⎛⎫- ⎪⎝⎭＝πcos 2α⎛⎫- ⎪⎝⎭＝sin α＝=. 16．答案：16解析：∵函数f (x )的图像关于直线x ＝－2对称，∴f (x )满足f (0)＝f (－4)，f (－1)＝f (－3)，即15164,0893,b a b a b =-(-+)⎧⎨=-(-+)⎩解得8,15.a b =⎧⎨=⎩∴f (x )＝－x 4－8x 3－14x 2＋8x ＋15.由f ′(x )＝－4x 3－24x 2－28x ＋8＝0，得x 1＝－2x 2＝－2，x 3＝－2易知，f (x )在(－∞，－2)上为增函数，在(－22)上为减函数，在(－2，－2上为增函数，在(－2∴f (－2＝[1－(－22][(－22＋8(－2)＋15]＝(－8－－＝80－64＝16.f (－2)＝[1－(－2)2][(－2)2＋8×(－2)＋15]＝－3(4－16＋15)＝－9.f (－2)＝[1－(－22][(－22＋8(－2＋15]＝(－8＋＋＝80－64＝16.故f (x )的最大值为16.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．解：(1)由已知得∠PBC ＝60°，所以∠PBA ＝30°.在△PBA 中，由余弦定理得PA 2＝11732cos 30424+-︒=.故PA . (2)设∠PBA ＝α，由已知得PB ＝sin α.在△PBA 中，由正弦定理得sin sin150sin(30)αα=︒︒-，cos α＝4sin α.所以tan α＝4，即tan ∠PBA ＝4. 18．(1)证明：取AB 的中点O ，连结OC ，OA 1，A 1B .因为CA ＝CB ，所以OC ⊥AB .由于AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°，故△AA 1B 为等边三角形，所以OA 1⊥AB .因为OC ∩OA 1＝O ，所以AB ⊥平面OA 1C .又A 1C ⊂平面OA 1C ，故AB ⊥A 1C .(2)解：由(1)知OC ⊥AB ，OA 1⊥AB .又平面ABC ⊥平面AA 1B 1B ，交线为AB ，所以OC ⊥平面AA 1B 1B ，故OA ，OA 1，OC 两两相互垂直．以O 为坐标原点，OA 的方向为x 轴的正方向，|OA |为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O －xyz .由题设知A (1,0,0)，A 1(0，3，0)，C (0,0，B (－1,0,0)．则BC ＝(1,0，1BB ＝1AA ＝(－1，0)，1AC ＝(0，． 设n ＝(x ，y ，z )是平面BB 1C 1C 的法向量，2013 全国新课标卷1理科数学 第11页 则10,0,BC BB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n即0,30.x x y ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩可取n ＝1，－1)．故cos 〈n ，1AC 〉＝11A CA C ⋅n n ＝5-. 所以A 1C 与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值为5. 19．解：(1)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A 1，第一次取出的4件产品全是优质品为事件A 2，第二次取出的4件产品都是优质品为事件B 1，第二次取出的1件产品是优质品为事件B 2，这批产品通过检验为事件A ，依题意有A ＝(A 1B 1)∪(A 2B 2)，且A 1B 1与A 2B 2互斥，所以 P (A )＝P (A 1B 1)＋P (A 2B 2)＝P (A 1)P (B 1|A 1)＋P (A 2)P (B 2|A 2) ＝41113161616264⨯+⨯=. (2)X 可能的取值为400,500,800，并且 P (X ＝400)＝41111161616--=，P (X ＝500)＝116，P (X ＝800)＝14. 所以X 的分布列为EX ＝1111400+500+80016164⨯⨯⨯＝506.25. 20．解：由已知得圆M 的圆心为M (－1,0)，半径r 1＝1；圆N 的圆心为N (1,0)，半径r 2＝3.设圆P 的圆心为P (x，y )，半径为R .(1)因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，所以|PM |＋|PN |＝(R ＋r 1)＋(r 2－R )＝r 1＋r 2＝4.由椭圆的定义可知，曲线C 是以M ，N 为左、右焦点，长半轴长为2的椭圆(左顶点除外)，其方程为22=143x y +(x ≠－2)． (2)对于曲线C上任意一点P (x ，y )，由于|PM |－|PN |＝2R －2≤2，所以R ≤2，当且仅当圆P 的圆心为(2,0)时，R ＝2.所以当圆P 的半径最长时，其方程为(x －2)2＋y 2＝4.若l 的倾斜角为90°，则l 与y 轴重合，可得|AB |＝若l的倾斜角不为90°，由r 1≠R 知l 不平行于x 轴，设l 与x 轴的交点为Q ，则1||||QP R QM r =，可求得Q (－4,0)，所以可设l ：y＝k (x ＋4)．由l 与圆M ， 解得k ＝当k y x =代入22=143x y +， 并整理得7x 2＋8x －8＝0，解得x1,2＝47-±.所以|AB|2118|7x x-=.当k=|AB|＝187.综上，|AB|＝|AB|＝187.21．解：(1)由已知得f(0)＝2，g(0)＝2，f′(0)＝4，g′(0)＝4.而f′(x)＝2x＋a，g′(x)＝e x(cx＋d＋c)，故b＝2，d＝2，a＝4，d＋c＝4.从而a＝4，b＝2，c＝2，d＝2.(2)由(1)知，f(x)＝x2＋4x＋2，g(x)＝2e x(x＋1)．设函数F(x)＝kg(x)－f(x)＝2k e x(x＋1)－x2－4x－2，则F′(x)＝2k e x(x＋2)－2x－4＝2(x＋2)(k e x－1)．由题设可得F(0)≥0，即k≥1.令F′(x)＝0得x1＝－ln k，x2＝－2.①若1≤k＜e2，则－2＜x1≤0.从而当x∈(－2，x1)时，F′(x)＜0；当x∈(x1，＋∞)时，F′(x)＞0.即F(x)在(－2，x1)单调递减，在(x1，＋∞)单调递增．故F(x)在[－2，＋∞)的最小值为F(x1)．而F(x1)＝2x1＋2－21x－4x1－2＝－x1(x1＋2)≥0.故当x≥－2时，F(x)≥0，即f(x)≤kg(x)恒成立．②若k＝e2，则F′(x)＝2e2(x＋2)(e x－e－2)．从而当x＞－2时，F′(x)＞0，即F(x)在(－2，＋∞)单调递增．而F(－2)＝0，故当x≥－2时，F(x)≥0，即f(x)≤kg(x)恒成立．③若k＞e2，则F(－2)＝－2k e－2＋2＝－2e－2(k－e2)＜0.从而当x≥－2时，f(x)≤kg(x)不可能恒成立．综上，k的取值范围是[1，e2]．请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．22．(1)证明：连结DE，交BC于点G.由弦切角定理得，∠ABE＝∠BCE.而∠ABE＝∠CBE，故∠CBE＝∠BCE，BE＝CE.又因为DB⊥BE，所以DE为直径，∠DCE＝90°，由勾股定理可得DB＝DC.(2)解：由(1)知，∠CDE＝∠BDE，DB＝DC，故DG是BC的中垂线，所以BG设DE的中点为O，连结BO，则∠BOG＝60°.从而∠ABE＝∠BCE＝∠CBE＝30°，所以CF⊥BF，故Rt△BCF.23．解：(1)将45cos,55sinx ty t=+⎧⎨=+⎩消去参数t，化为普通方程(x－4)2＋(y－5)2＝25，即C1：x2＋y2－8x－10y＋16＝0.2013 全国新课标卷1理科数学第12页2013 全国新课标卷1理科数学 第13页 将cos ,sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0得ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.所以C 1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.(2)C 2的普通方程为x 2＋y 2－2y ＝0.由2222810160,20x y x y x y y ⎧+--+=⎨+-=⎩ 解得1,1x y =⎧⎨=⎩或0,2.x y =⎧⎨=⎩ 所以C 1与C 2交点的极坐标分别为π4⎫⎪⎭，π2,2⎛⎫ ⎪⎝⎭. 24．解：(1)当a ＝－2时，不等式f (x )＜g (x )化为|2x －1|＋|2x －2|－x －3＜0. 设函数y ＝|2x －1|＋|2x －2|－x －3，则y ＝15,,212,1,236, 1.x x x x x x ⎧-<⎪⎪⎪--≤≤⎨⎪->⎪⎪⎩其图像如图所示．从图像可知，当且仅当x ∈(0,2)时，y ＜0.所以原不等式的解集是{x |0＜x ＜2}．(2)当x ∈1,22a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭时，f (x )＝1＋a . 不等式f (x )≤g (x )化为1＋a ≤x ＋3.所以x ≥a －2对x ∈1,22a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭都成立． 故2a -≥a －2，即43a ≤. 从而a 的取值范围是41,3⎛⎤- ⎥⎝⎦.。

2013---2017年全国1卷高考理科数学分类汇编---坐标系与参数方程 （2017全国1.理数.22）[选修4―4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos ,sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为 4,1,x a t t y t =+⎧⎨=-⎩（为参数）. （1）若a =−1，求C 与l 的交点坐标；（2）若C 上的点到la .【考点】：参数方程。

【思路】：（1）将参数方程化为直角方程后，直接联立方程求解即可（2）将参数方程直接代入距离公式即可。

【解析】：将曲线C 的参数方程化为直角方程为2219x y +=，直线化为直角方程为11144y x a =-+- （1）当1a =时，代入可得直线为1344y x =-+，联立曲线方程可得：22134499y x x y ⎧=-+⎪⎨⎪+=⎩，解得21252425x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或30x y =⎧⎨=⎩，故而交点为2124,2525⎛⎫- ⎪⎝⎭或()3,0 （2）点3cos ,sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩到直线11144y x a =-+-的距离为d =≤，即：3cos 4sin 417a θθ++-≤，化简可得()()1743cos 4sin 174a a θθ---≤+≤--，根据辅助角公式可得()135sin 21a a θϕ--≤+≤-，又()55sin 5θϕ-≤+≤，解得8a =-或者16a =。

（2016全国1.理数.23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系x O y 中，曲线C 1的参数方程为cos 1sin x a t y a t=⎧⎨=+⎩（t 为参数，a ＞0）．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ=4cos θ.（I ）说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；（II ）直线C 3的极坐标方程为0θα=，其中0α满足tan 0α=2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a ．【答案】（I ）圆,222sin 10a ρρθ-+-=（II ）1⑵ 24cos C ρθ=：,两边同乘ρ得22224cos cos x y x ρρθρρθ==+=Q ，224x y x ∴+=,即()2224x y -+= ②3C ：化为普通方程为2y x =,由题意：1C 和2C 的公共方程所在直线即为3C①—②得：24210x y a -+-=,即为3C∴210a -=,∴1a =考点：参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化及应用【名师点睛】“互化思想”是解决极坐标方程与参数方程问题的重要思想,解题时应熟记极坐标方程与参数方程的互化公式及应用.（2015全国1.理数.23）(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线1C : x ＝－2，圆2C ：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（Ⅰ）求1C ，2C 的极坐标方程；（Ⅱ）若直线3C 的极坐标方程为()4R πθρ=∈，设2C 与3C 的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积 .23．解：（Ⅰ）因为cos x ρθ=，sin y ρθ=，所以1C 的极坐标方程为cos 2ρθ=-，2C 的极坐标方程为22cos 4sin 40ρρθρθ--+=．……5分 （Ⅱ）将4πθ=代入22cos 4sin 40ρρθρθ--+=，得23240ρρ-+=， 解得122ρ=，22ρ． 故122ρρ-=2MN =2C 半径为1，所以2C MN ∆的面积为12．…10分（2014全国1.理数.23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C ：22149x y +=，直线l ：222x t y t=+⎧⎨=-⎩（t 为参数）. （1）写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；（2）过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30︒的直线，交l 于点A ，求PA 的最大值与最小值.【解析】： (1) 曲线C 的参数方程为：2cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）， 直线l 的普通方程为：260x y +-= ………5分（2）在曲线C 上任意取一点P (2cos θ,3sin θ)到l 的距离为54cos 3sin 65d θθ=+-， 则()025||5sin 6sin 305d PA θα==+-，其中α为锐角．且4tan 3α=. 当()sin 1θα+=-时，||PA 取得最大值，最大值为225； 当()sin 1θα+=时，||PA 取得最小值，最小值为25. …………10分 （2013全国1.理数. 23）（本小题10分）选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线C 1的参数方程为45cos 55sin x t y t =+⎧⎨=+⎩(t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为2sin ρθ=.（Ⅰ）把C 1的参数方程化为极坐标方程；（Ⅱ）求C 1与C 2交点的极坐标（ρ≥0,0≤θ＜2π）.23. 将45cos 55sin x t y t=+⎧⎨=+⎩消去参数t ，化为普通方程22(4)(5)25x y -+-=， 即1C ：22810160x y x y +--+=，将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入22810160x y x y +--+=得， 28cos 10sin 160ρρθρθ--+=， ∴1C 的极坐标方程为28cos 10sin 160ρρθρθ--+= （Ⅱ）2C 的普通方程为2220x y y +-=， 由222281016020x y x y x y y ⎧+--+=⎪⎨+-=⎪⎩解得11x y =⎧⎨=⎩或02x y =⎧⎨=⎩，∴1C 与2C 2,4π），(2,)2π.（2012全国1.理数. 23）23．(本题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程是2cos3sinxyϕϕ⎧⎨⎩＝，＝，(φ为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ＝2．正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为(2，π3)．(1)求点A，B，C，D的直角坐标；(2)设P为C1上任意一点，求|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＋|PD|2的取值范围．23．解：(1)由已知可得A(π2cos3，π2sin3)，B(ππ2cos()32+，ππ2sin()32+)，C(2cos(π3＋π)，2sin(π3＋π))，D(π3π2cos()32+，π3π2sin()32+)，即A(1)，B(，1)，C(－1，，D，－1)．(2)设P(2cosφ，3sinφ)，令S＝|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＋|PD|2，则S＝16cos2φ＋36sin2φ＋16＝32＋20sin2φ. 因为0≤sin2φ≤1，所以S的取值范围是[32,52]．。

【高考解读】2017年高考全国卷(坐标系与参数方程)分析与启示2017年高考全国卷（坐标系与参数方程）分析与启示一、特色解读2017年高考新课标卷对《坐标系与参数方程》的考查，题型没有变、第23题位置没有变，文理同题没有变，分值10分没有变，命题本源为选修内容没有变，命题延续了以往对主干知识的考查，以直线、椭圆参数方程为背景，求曲线的交点坐标和最值问题，注重基本运算及知识的应用，中规中矩，基本符合预期.近6年的全国课标卷在本专题考查的知识点如下：【例题一】（2016课标Ⅱ） 在直角坐标系xOy中，圆C的方程为22(6)25x y ++=.（Ⅰ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；（Ⅱ）直线l 的参数方程是cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数）, l与C 交于,A B 两点，||10AB =，求l 的斜率．【解析】（Ⅰ）C的极坐标方程为2+12cos 110ρρα+=.（Ⅱ）【解法一】直线l 的极坐标方程为()R θαρ=∈∈；联立圆C 的极坐标方程；由 2+12cos 110θαρρθ=⎧⎨+=⎩ 得2+12cos 110ρρα+=,22121212()4144cos 44AB ρρρρρρα=-=+-=-. 【解法二】直线l 的参数方程cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数）代入圆C的普通方程22(6)25x y ++=， 得2+12cos 110t t α+=,22121212()4144cos 44AB t t t t t t α=-=+-=-.【解法三】直线l 的普通方程为tan y kx α==, 由22(6)25y kx x y =⎧⎨++=⎩ 得22(1)12110k xx +++=,12AB x =-==.知识：圆的普通方程化为极坐标方程，直线参数方程参数和极坐标极角，极径的应用.方法：求过原点的直线与曲线相交距离问题.（1）把直线的极坐标方程()R θαρ=∈∈与曲线的极坐标方程联立，两个交点距离为12ρρ-=.（2）把直线的参数方程与曲线的普通方程联立，两个交点距离为12t t-=（3）把直线与曲线全部化为普通方程，两个交点距离为12x -=【例题二】（2017全国课标Ⅱ）在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=．（Ⅰ）M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM上，且满足||||16OM OP ⋅=,求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设点A 的极坐标为(2,)3π，点B 在曲线2C 上，求OAB ∆面积的最大值．【解析】（Ⅰ）设点P 的极坐标为(,)ρθ，点M 的极坐标为1(,)ρθ，OP ρ=14cos OM ρθ==，||||16OM OP ⋅=，1.16ρρ=，点P 的轨迹2C 的极坐标方4cos ρθ=，从而2C 的普通方程；22(2)4x y -+=（Ⅱ）点B 在曲线2C 上，点B 的极坐标为2(,)ρθ，24cos ρθ=，OAB ∆面积213.sin 4cos sin()2sin(2)2332S OA AOB ππρααα=∠=-=-.知识：极坐标方程化普通方程，轨迹问题，极坐标极角，极经的几何意义及其应用应用.方法：某些情景下普通方程不易解决的问题，利用极坐标方程和参数方程解题具有优越性，在教学中要十分重视极坐标方程，极坐标极角，极经的几何意义，而不是一味的转化为普通方程问题处理.【例题三】（2017全国课标III ）在直角坐标系xoy 中，直线1l 的参数方程为2+,,x t y kt =⎧⎨=⎩（t 为参数），直线2l 的参数方为2,,x mm m y k =-+⎧⎪⎨=⎪⎩（为参数）．设1l 与2l 的交点为P ，当k 变化时，P的轨迹为曲线C ．(Ⅰ)写出C 的普通方程；(Ⅱ)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设3:(cos sin )20l ρθθ+-=，M 为3l 与C 的交点，求M 的极径．【解析】(Ⅰ)直线1l 的普通方程为(2)y k x =-，直线2l 的普通方程为1(2)y x k=+，由(2)1(x 2)y k x y k =+⎧⎪⎨=-⎪⎩，消去k 得224(0)x y y -=≠.(Ⅱ) 【解法一】直线3l 的普通方程为20x y +=，曲线C 的普通方程为224xy -=，两曲线的交点M 求得M 的极径.【解法二】直线3l的参数方程为y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入曲线C的普通方程224x y -=，得1t =-，M 求得M 的极径.【解法二】曲线C的极坐标方程为2222cos sin 4ρθρθ-=（02,θπθπ<<≠）直线3l 的极坐标方程为(cos sin )0ρθθ+，联立2222cos sin 4(cos sin )0ρθρθρθθ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，ρ=知识：直线参数方程化为普通方程，轨迹问题，极坐标方程和参数方程的应用，方法：求直线与曲线的交点坐标问题. （1）把直线与曲线分别化为普通方程，联立求交点坐标.（2）把直线与曲线分别化为参数方程和普通方程，联立求参数，得交点坐标.（3）把直线与曲线分别化为极坐标方程，求交点极坐标，获得极径，【例题四】（2017江苏高考）在平面坐标系中xOy 中,已知直线l 的参考方程为x 82tt y =-+⎧⎪⎨=⎪⎩(t 为参数),曲线C参数方程为22,x s y ⎧=⎪⎨=⎪⎩(s 为参数).设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值.【解析】直线l 的普通方程为280x y -+=.因为点P在曲线C 上，设2(2,22)P s s ，点P 到直线l 的的距离2222|2428|2(2)45(1)(2)s s s d -+-+==-+-，知识：直线的参数方程化为普通方程，参数的应用.方法：抛物线的普通方程为22ypx=，参数方程为22,2,x pt y pt ⎧=⎨=⎩(t 为参数），抛物线上的点可以设为2(2,2)P pt pt ，转化为数形结合思想.三、佳题欣赏【例题一】（2017年厦门市第二次检测） 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=ααsin 3cos 1t y t x （t 为参数），其中πα<≤0.在以O 为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线1C ：θρcos 4=.直线l 与曲线1C 相切.（Ⅰ）将曲线1C 的极坐标方程化为直角坐标方程，并求α的值；（Ⅱ）已知点)02(，Q ，直线l 与2C ：1322=+y x 交于BA ，两点，求ABQ ∆面积.【解析】（Ⅰ）1C 的普通方程为422=-+x y x ，将直线l 参数方程代入曲线得0)cos 2sin 32(2=-+t tαα，0∆=6πα=∴（Ⅱ）将直线l 的参数方程为31132x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入曲线得063852=++t t21221214)(t t t t t t AB -+=-=.考查知识：把圆的极坐标方程化为普通方程，直线与圆相切，直线与曲线相交的距离.【例题二】（2017年福州市第一次检测） 在平面直角坐标系xOy 中，在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线[]214cos 30,02:,C ρρθθπ-+=∈，曲线[]23,0,24sin()6:C ρθππθ=∈-．（Ⅰ）求1C 的一个参数方程；（Ⅱ）若曲线1C 和曲线2C 相交于A 、B 两点,求AB 值．【解析】（Ⅰ）曲线1C 的普通方程为：22(2)1x y -+=，从而1C 的一个参数方程为2cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）（Ⅱ）【解法一】曲线2C 的普通方程为22330x --=因为直线2C ：2330x y --=与曲线1C ：22(2)1x y -+=相交于A 、B 两点，所以圆心到直线的距离为14d =，222AB r d =- . 【解法二】直线2C 过点3(,0)2，倾斜角为6π，曲线2C 的参数方程为33212x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入1C ：22(2)1x y -+=，得242330tt --=，2121212()4t t t t t AB t -==+-.考查知识：将圆的极坐标化为普通方程，再把圆的普通方程转化为参数方程，直线与圆的位置关系，由于直线2C 没有过原点，因此使用极坐标方程方法比较困难.【例题三】（2017年三明市第二次检测） 在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，以X 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，若直线的极坐标方程为2cos()204πρθ--=，曲线C 极坐标2sin cos ρθθ=，将曲线C 上所有点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，然后再向右平移一个单位得到曲线为参数）1C .（Ⅰ）求曲线1C 的直角坐标方程；（Ⅱ）已知直线l 与曲线1C 交于,A B 两点，点(2,0)P ，求PA PB +的值．【解析】（Ⅰ）1C 的直角坐标方程为222y x =-. （Ⅱ）直线l 的普通方程20x y +-=，(2,0)P 在l 上，l参数方程为22222x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t为参数）代入曲线1C 方程得22240tt +-=,120,0t t ><，212121212()4PA PB t t t t t t t t +=+=-=+-考查知识：把直线方程化为参数方程，极坐标方程化为直角坐标方程，利用直线参数的几何意义.212121212()4PA PB tt t t t t t t +=+=-=+-四、复习启示1. 重视基础知识的复习①写出点的极坐标，与直角坐标的互化； ②写出圆、椭圆、抛物线或相关轨迹的参数方程；③极坐标方程、参数方程、普通方程的互化；不断强化，提高准确率，减少失误.2. 重视化归与转化思想方法较多关注参数方程和极坐标方程的应用，如：①极坐标ρ的几何意义； ②直线标准参数t 的几何意义； ③圆、椭圆的三角参数；提高应用意识. 3. 重视知识的交汇联系①解析几何中直线与圆、椭圆、抛物线的交点、距离等问题；②三角恒等变换（辅助角公式）等知识；以横向联系和纵向联系为主线，对模块内容加以整合，优化认知结构，构建良序的知识网络.教学反思：对于极坐标和参数方程的题目，关键在于画图，利用数形结合，采用三种不同的方法，某些情景下普通方程不易解决的问题，利用极坐标方程和参数方程解题具有优越性，在教学中要十分重视极坐标方程，极坐标极角，极经的几何意义，而不是一味的转化为普通方程问题处理.。

考点51 坐标系与参数方程一、 填空题1.(2017年天津高考理科·T11)在极坐标系中,直线4ρcos 6πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭＋1＝0与圆ρ＝2sinθ的公共点的个数为 .【命题意图】本题考查直线与圆的极坐标方程与平面直角坐标系方程的互化.要求考生能够熟练掌握二者互化的方法.【试题解析】直线方程可化为2ρsin θ＋2ρcos θ＋1＝0,即2＋2y ＋1＝0,圆为x 2＋(y-1)2＝1,因为d ＝34＜1,所以有两个交点. 答案:22.(2017年天津高考文科·T11)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上,若这个正方体的表面积为18,则这个球的体积为 .【命题意图】考查正方体与球的切接问题.本题只要搞清正方体的棱长与球半径的关系,求体积问题就会迎刃而解.【试题解析】设正方体棱长为a ,则6a 2＝18⇒a 2＝3,外接球直径为2R ＝a ＝3,V ＝43πR 3＝43π×278＝92π. 答案:92π3.(2017年北京高考理科·T11)在极坐标系中,点A 在圆ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ＋4＝0上,点P 的坐标为(1,0),则|AP|的最小值为 .【命题意图】本题主要考查极坐标与直角坐标方程的转化,意在培养学生转化能力及计算能力.【试题解析】☉C :x 2＋y 2-2x-4y ＋4＝0⇒(x-1)2＋(y-2)2＝1, 所以|AP|min ＝|PC|-r ＝2-1＝1. 答案:1二、 简答题1.(2017年全国丙卷·文科·T22)同(2017年全国丙卷·理科·T22)[选修4―4:坐标系与参数方程](10分)在直角坐标系xOy 中,直线l 1的参数方程为2x ty kt =+⎧⎨=⎩(t 为参数),直线l 2的参数方程为2x m m y k =-+⎧⎪⎨=⎪⎩(m 为参数).设l 1与l 2的交点为P ,当k 变化时,P 的轨迹为曲线C. (1)写出C 的普通方程.(2)以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,设l 3:ρ(cos θ＋sin θ)-＝0,M 为l 3与C 的交点,求M 的极径.【试题解析】(1)直线l 1的普通方程为y ＝k (x-2), 直线l 2的普通方程为x ＝-2＋ky , 消去k 得x 2-y 2＝4,即C 的普通方程为x 2-y 2＝4. (2)l 3化为普通方程为x ＋y＝,联立224x y y x ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩得22x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ 所以ρ2＝x 2＋y 2＝错误！未找到引用源。