上教版六年级下册有理数知识点总结

有理数的知识点总结一、有理数的定义及基本性质：有理数是指所有可以表示为两个整数的比值的数，包括整数、分数和零。

有理数可以用一组整数的比值表示成两种形式：分数形式（也称作比例效应）和小数形式（也称作数列形式）。

有理数的集合通常记作Q。

有理数具有以下基本性质：1. 有理数的加法、减法、乘法和除法仍然是有理数，也就是说，有理数集合对于这四种运算是封闭的。

2. 有理数满足交换律和结合律，在加法和乘法运算中，a+b =b+a，(a+b)+c = a+(b+c)；在乘法运算中，a×b = b×a，(a×b)×c= a×(b×c)。

3. 有理数乘法和除法具有倒数性质，即对于任意非零有理数a，存在一个有理数b使得a×b = 1。

4. 有理数乘法符合分配律，即对于任意有理数a、b和 c，a×(b+c) = a×b + a×c。

5. 有理数具有唯一分解性质，即任何一个非零有理数都可以唯一表示为两个整数的比值，而且这个比值对于最简分数形式是唯一的。

二、有理数的四则运算：1. 有理数的加法和减法：对于两个有理数a/b和 c/d，它们的加法定义为(a/b) + (c/d) = (ad+bc)/bd，减法定义为(a/b) - (c/d) = (ad-bc)/bd。

在进行加法和减法运算时，通常需要化简结果为最简分数形式。

2. 有理数的乘法和除法：对于两个有理数 a/b和 c/d，它们的乘法定义为(a/b) × (c/d) =ac/bd，除法定义为(a/b) ÷ (c/d) = ad/bc（其中c/d≠0）。

在进行乘法和除法运算时，同样需要化简结果为最简分数形式。

三、有理数的大小比较：在有理数集合中，任何两个有理数都可以通过大小比较运算来确定它们的相对大小。

有理数的大小比较有以下几个基本原则：1. 相同符号的有理数比较大小，绝对值越大的数为更大的数；2. 不同符号的有理数比较大小，正数大于零，零大于负数；3. 相同符号的两个有理数的绝对值比较，绝对值较小的数较小。

有理数必背43个知识点嘿，小伙伴们，今天咱们来聊聊数学里的“黄金宝藏”——有理数，那些听起来高深莫测，实则和咱们生活息息相关的小精灵。

别担心，咱们不整那些高深的理论，就用大白话，把有理数的43个知识点，变成一场说走就走的旅行，沿途风景美不胜收，保证让你笑着记住它们！首先，咱们得知道啥是有理数。

简单来说，就是那些能写成两个整数相除（分母不为0）的数，它们就像是数学王国里的“规矩孩子”，整整齐齐，有理有据。

就像你分蛋糕给朋友，不管怎么分，只要是用整数表示的数量和份数，那结果就是有理数啦！第一站，正负数的秘密花园。

你知道吗？正负数就像是生活中的“好”与“坏”，有阳光就有阴影，有收入就有支出。

正数代表“正能量”，比如你兜里的零花钱；负数则是“小淘气”，比如你欠小伙伴的糖果。

记住，它们不是敌人，而是数学世界的两面镜子，让咱们看得更全面。

接下来，咱们走进绝对值的小巷。

绝对值啊，就像是给数字穿上了一层“隐形斗篷”，不管是正是负，都只看它的“大小”，不管它是“好人”还是“坏人”。

比如，-5的绝对值就是5，就像是说：“我不管你欠了多少，我只关心你欠的数额是多少。

”然后，咱们来到有理数的加减乘除大舞台。

这里可是热闹非凡，规则简单却充满乐趣。

加法就像是合并同类项，减法就是“你拿走我的，我还剩多少”；乘法嘛，就像是组队打怪，正正得正，负负也得正，但正负相遇就“翻脸不认人”了；除法呢，就是看看你要分多少次才能分完，记得哦，除数不能为0，不然就像让空气帮你搬东西，根本不可能嘛！别忘了，咱们还得逛逛有理数的比较和排序的市集。

在这里，数字们排排坐，比大小。

正数永远在负数前面，就像好学生总是坐在前排一样。

而两个负数比较，绝对值大的反而小，这就像是说：“别看我欠得多，其实我比你更‘穷’呢！”当然，有理数的世界还有很多宝藏等着咱们去发现，比如倒数、有理数的混合运算、科学记数法……每一个都是通往数学智慧殿堂的钥匙。

记住，学数学就像探险，只要咱们用心，就没有什么难题是解决不了的！所以，小伙伴们，别害怕有理数，它们其实是咱们的好朋友，用简单的语言，就能讲述出丰富的故事。

有理数知识点总结一、有理数的定义有理数是可以表示为两个整数的比的数，形式为a/b，其中a和b是整数，且b不为零。

有理数集合包括所有的整数、分数和它们的负数。

二、有理数的分类1. 正有理数：大于零的有理数。

2. 负有理数：小于零的有理数。

3. 零：唯一的非正非负的有理数。

三、有理数的性质1. 封闭性：有理数的加法、减法、乘法和除法（除数不为零）都是封闭的。

2. 有序性：任何两个有理数都可以比较大小。

3. 稠密性：任意两个有理数之间，都存在另一个有理数。

4. 可数性：有理数集合是可数的，即存在一种方法，可以将所有有理数列成一个列表。

四、有理数的运算规则1. 加法：- 同号有理数相加，取相同的符号，并将绝对值相加。

- 异号有理数相加，取绝对值较大的数的符号，并将绝对值相减。

- 任何数与零相加，结果为该数本身。

2. 减法：- 减去一个数等于加上这个数的相反数。

3. 乘法：- 正数与正数相乘得正数，负数与负数相乘得正数，正数与负数相乘得负数。

- 任何数与零相乘，结果为零。

4. 除法：- 除以一个不等于零的数，等于乘以这个数的倒数。

- 零除以任何非零的数，结果为零。

- 除数不能为零，否则除法无意义。

五、有理数的简化1. 化简分数：通过找到分子和分母的最大公约数，并将分子和分母都除以这个数，得到最简分数。

2. 约分：在进行有理数的乘法和除法运算后，需要将结果约分为最简形式。

六、有理数的混合运算在进行有理数的混合运算时，需要遵循运算的优先级顺序，即先乘除后加减，同级运算从左到右进行。

七、有理数的比较1. 正数大于零，负数小于零。

2. 两个负数比较大小，绝对值大的反而小。

八、有理数的四则运算应用1. 可以解决实际问题中的计算问题，如购物、计算面积和体积等。

2. 在数学问题中，有理数的运算是解决更复杂数学问题的基础。

九、有理数的限制有理数不能表示无理数，如圆周率π和黄金分割比等。

十、结论有理数是数学中最基本的数之一，它在日常生活和科学研究中都有着广泛的应用。

关于有理数的知识点总结一、有理数的概念及性质1. 有理数的定义有理数是指可以表示为两个整数的比的数，它通常用分数形式表示。

实际上，每个有理数都可以写成一个整数和一个非零整数的商。

例如，2/3、-5/4、3等都是有理数。

2. 有理数的性质（1）有理数可以用分数形式表示，例如2/3、-5/4等。

（2）有理数中包括正整数、负整数、零以及所有的分数。

（3）有理数的数轴表示：有理数可以用数轴上的点来表示，正数在原点的右侧，负数在原点的左侧，0在原点上。

二、有理数的表示和分类1. 有理数的表示有理数可以用分数形式表示或者小数形式表示。

对于分数形式，它可以用a/b的形式表示，其中a为分子，b为分母；对于小数形式，它可以用有限小数或者循环小数来表示。

2. 有理数的分类有理数可以分为正数、负数和零三种。

其中正数是大于0的数，负数是小于0的数，零表示0。

三、有理数的加法和减法1. 有理数的加法（1）同号数的加法：两个正数相加或者两个负数相加，结果为正数；例如2+3=5，(-2)+(-3)=-5。

（2）异号数的加法：两个正数相加或者一个正数和一个负数相加，结果的绝对值大的减去绝对值小的，符号取绝对值大的数的符号；例如2+(-3)=-1，(-2)+3=1。

2. 有理数的减法有理数的减法可以转化为加法来进行，即a-b=a+(-b)。

也就是说，将减法问题转化为加法问题，然后按照加法的规则进行计算。

四、有理数的乘法和除法1. 有理数的乘法（1）同号数的乘法：两个正数相乘或者两个负数相乘，结果为正数；例如2*3=6，(-2)*(-3)=6。

（2）异号数的乘法：一个正数和一个负数相乘，结果为负数；例如2*(-3)=-6。

2. 有理数的除法有理数的除法同样可以转化为乘法来进行，即a/b=a*(1/b)。

也就是说，将除法问题转化为乘法问题，然后按照乘法的规则进行计算。

五、有理数的绝对值1. 有理数绝对值的定义有理数a的绝对值定义为a的非负数表示，即a的绝对值记为|a|，有两种定义形式：（1）当a>=0时，|a|=a；（2）当a<0时，|a|=-a。

有理数章节知识点归纳总结一、基本运算和基本概念本身之迷① 倒数是它本身的数是±1② 绝对值是它本身的数是非负数（正数和0)③平方等于它本身的数是0，1 ④立方等于经本身的数是±1，0 ⑤偶数次幂等于本身的数是0、1 ⑥奇数次幂等于本身的数是±1,0 ⑦相反数是它本身的数是0 数之最①最小的正整数是 1 ②最大的负整数是-1③绝对值最小的数是0 ④平方最小的数是0 ⑤最小的非负数是0 ⑥最大的非正数0 ⑦没有最大和最小的有理数⑧没有最大的正数和最小的负数例、填空：①两个互为相反数的数的和是_____； ②____与它绝对值的差为0；③ 两个互为相反数的数的商是___；（0除外）④ ____的倒数等于它本身；⑤____的绝对值与它本身互为相反数； ⑥ ____的平方与它的立方互为相反数; ⑦_ __的倒数与它的平方相等； ⑧____的平方是4,_____的绝对值是4；1、（1）、___)9()6(=-++ , (2）、___)9()6(=--+,（3）、___)9()6(=-⨯+, （4）、___)14()56(=-÷-, (5）、___4716=-, （6）、___46=+-，（7）、____)3(3=-， (8)、____)2(4=-，（9）、____24=-， (10）、____)1(2008=-， （11)、____)2(3=--, (12）、___565=--，(13）、___2131=-, （14)、___)103()65(=-⨯-，(15）、___8325.0=÷-，（16）、____5.04=，（17）、___55=+-， （18)、___1020=--， (19）、___)1.6()9.5(=---，（20)、___)13(0)56()7(=-÷⨯-⨯-.（21)、2)2(-=-—————---————- （22）、 23=—--—-—-—-----— (23）、 2)32(-=-—-——-——-—-—--(24）、 22-=—-———-———-——-—（25）、 32=--—---—————--- （ 26）、 322-=--——-—-—--—---（27）、2009)1(-=———-—-————- （28)、 20071-=----——-—-—--( 29） ( ）2＝16，( 30）()()=---3411( 31)=⨯⨯-4232 （ 32）()=-⨯⨯-1021)32(（ 33）=⨯--21222（ 34)=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-25522（ 35）=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--22312、下面有四种说法，其中正确的是 （ ） A 。

一、有理数
1.有理数的概念和性质：正数、负数和零的概念；有理数的大小比较
和绝对值。

2.有理数的运算：有理数的加减法、乘法、除法运算；有理数运算的
性质。

3.有理数的应用：有理数在实际生活中的应用，如温度、海拔高度、
财务等。

二、几何
1.平面图形：常见平面图形的边、角的概念；正方形、矩形、三角形、菱形、梯形、圆形的性质与计算。

2.空间几何：直线、线段及射线的概念；角度的概念和计算。

3.空间图形：长方体、正方体、棱柱、棱锥、圆柱、圆锥的性质和计算。

三、代数
1.代数式：代数式的定义和基本运算；字母表示数值的方法。

2.一元一次方程：一元一次方程的概念和解法；方程的实际应用。

3.数列与函数：数列的概念和性质；函数的概念和图象；函数关系的
表示和计算。

四、数据统计
1.图表的制作和分析：条形统计图、折线统计图和圆饼统计图的制作
和分析。

2.平均数与位置中位数：平均数和中位数的概念及计算方法。

3.概率：事件发生的可能性；简单概率的计算。

五、数与式的运算
1.计算的规律：速算方法；整数计算的规律。

2.质数与分解：质数的概念与判断方法；正整数的分解。

3.分数与运算：分数的概念和性质；分数的加减乘除运算。

六、计算应用
1.长度单位换算：常用长度单位之间的换算关系；换算计算。

2.圆的计算：圆的周长和面积的计算；圆柱体的表面积和体积的计算。

3.日历和时间：年、月、日的理解和计算；时间的计算。

总结。

5.1有理数的意义1.什么是正数？大于0的数是正数，像6,2.5，，1.2%等数叫做正数。

2.什么是负数？小于0的数是负数，（在正数前加上“-”号的数叫做负数），比如：-6，-2.5，-，-1.2%等数。

3.0既不是正数也不是负数4.正数和负数可以表示具有相反意义的量。

比如：盈利50元记作50元，那么亏损50元记作-50元。

5.什么是有理数？整数和分数统称为有理数。

6.判断有理数的方法：可以写成分数形式的数都是有理数。

在我们目前学过的数中，只有无限不循环小数不是有理数。

7．一般有理数有如下两种分类：（1）正整数、零、负整数统称为整数；正分数、负分数统称为分数；整数和分数统称为有理数．（2）5.2数轴1.什么是数轴？规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。

2.所有的有理数都可以用数轴上的一个点表示。

数轴上表示正数的点在原点的右边，表示负数的点在原点的左边。

3.什么是互为相反数？只有符号不同的两个数，我们称其中一个数为另一个数的相反数，也称为这两个数互为相反数。

0的相反数等于它本身。

4.如何表示一个数的相反数？表示一个数的相反数，可以在这个数前添加一个“-”号，比如3的相反数是-3；-3的相反数是-（-3）=3.一般地，数a的相反数表示为-a.5.相反数的特征：（1）一个数相反数的相反数等于这个数本身。

（2）在数轴上，表示互为相反数的两个点位于原点的两侧，并且与原点的距离相等。

（3）如果两个数互为相反数，它们只是符号不同，它们的和等于0.6.带负号的不一定是负数。

比如-（-2）=2是正数5.3绝对值1.什么是一个数的绝对值？一个数在数轴上所对应的点的距离，叫做这个数的绝对值。

2.如何表示一个数的绝对值？以数a为例，用符号|a|表示数a的绝对值。

3.正数和0的绝对值等于它本身，负数和0的绝对值是它的相反数.4.互为相反数的两个数的绝对值相等。

5.任何一个有理数的绝对值都是非负数。

6.若两个数的绝对值相等，则这两个数可能相等也可能互为相反数。

有理数知识点总结有理数是数学中的一个重要概念，它是整数和分数的统称。

有理数的学习对于我们理解数学运算、解决实际问题都具有重要意义。

接下来，让我们一起详细地总结一下有理数的相关知识点。

一、有理数的定义有理数包括正整数、零、负整数和正分数、负分数。

可以写成两个整数之比的数就是有理数。

例如，5 可以写成 5/1，－3/4 等都是有理数。

需要注意的是，无限不循环小数不是有理数，比如圆周率π。

二、有理数的分类（一）按定义分类1、整数：包括正整数、零和负整数。

例如 3、0、－5 等。

2、分数：包括正分数和负分数。

比如 1/2、－7/8 等。

（二）按性质分类1、正有理数：包括正整数和正分数。

像2、3/4 等。

2、零：单独的一个数字 0。

3、负有理数：包括负整数和负分数。

例如－1、－5/6 等。

三、有理数的数轴表示数轴是一条规定了原点、正方向和单位长度的直线。

任何一个有理数都可以在数轴上找到对应的点。

例如，数字 2 在原点右边 2 个单位长度的位置，－3 则在原点左边 3 个单位长度的位置。

数轴上，右边的数总比左边的数大。

正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数。

四、有理数的相反数只有符号不同的两个数叫做互为相反数。

例如，5 的相反数是－5，－1/3 的相反数是 1/3。

0 的相反数是 0。

互为相反数的两个数之和为 0。

即如果 a 和 b 互为相反数，那么 a＋ b ＝ 0 。

五、有理数的绝对值绝对值的定义：数轴上表示数 a 的点与原点的距离叫做数 a 的绝对值，记作｜a| 。

一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是 0 。

即：如果 a ＞ 0，那么｜a| ＝ a ；如果 a ＝ 0，那么｜a| ＝ 0 ；如果 a ＜ 0，那么｜a| ＝ a 。

绝对值具有非负性，即｜a| ≥ 0 。

六、有理数的比较大小1、正数大于 0，0 大于负数，正数大于负数。

2、两个负数比较大小，绝对值大的反而小。

有理数基础知识正数和负数⒈正数和负数的概念负数：比0小的数正数：比0大的数0既不是正数，也不是负数注意：①字母a可以表示任意数，当a表示正数时，-a是负数；当a表示负数时，-a是正数；当a表示0时，-a仍是0。

（如果出判断题为：带正号的数是正数，带负号的数是负数，这种说法是错误的，例如+a,-a就不能做出简单判断）②正数有时也可以在前面加“+”，有时“+”省略不写。

所以省略“+”的正数的符号是正号。

2.具有相反意义的量若正数表示某种意义的量，则负数可以表示具有与该正数相反意义的量，比如：零上8℃表示为：+8℃；零下8℃表示为：-8℃3.0表示的意义⑴0表示“没有”，如教室里有0个人，就是说教室里没有人；⑵0是正数和负数的分界线，0既不是正数，也不是负数。

如：有理数1.有理数的概念⑴正整数、0、负整数统称为整数（0和正整数统称为自然数）⑵正分数和负分数统称为分数⑶正整数，0，负整数，正分数，负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数。

理解：只有能化成分数的数才是有理数。

①π是无限不循环小数，不能写成分数形式，不是有理数。

②有限小数和无限循环小数都可化成分数，都是有理数。

注意：引入负数以后，奇数和偶数的范围也扩大了，像-2,-4,-6,-8…也是偶数，-1,-3,-5…也是奇数。

2.有理数的分类⑴按有理数的意义分类⑵按正、负来分正整数正整数整数 0 正有理数负整数正分数有理数有理数 0 （0不能忽视）正分数负整数分数负有理数负分数负分数总结：①正整数、0统称为非负整数（也叫自然数）②负整数、0统称为非正整数③正有理数、0统称为非负有理数④负有理数、0统称为非正有理数数轴⒈数轴的概念规定了原点，正方向，单位长度的直线叫做数轴。

注意：⑴数轴是一条向两端无限延伸的直线；⑵原点、正方向、单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可；⑶同一数轴上的单位长度要统一；⑷数轴的三要素都是根据实际需要规定的。

2.数轴上的点与有理数的关系⑴所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，正有理数可用原点右边的点表示，负有理数可用原点左边的点表示，0用原点表示。

第01讲 有理数（核心考点讲与练）有理数1．整数和分数统称为有理数．⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数整数零负整数有理数正分数分数负分数 2．规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴． 3．任何一个有理数都可以用数轴上的一个点表示． 4．任何两个有理数都可以比较大小． 正数大于零，零大于负数，正数大于负数．5．只有符号不同的两个数，我们称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数，零的相反数是零．6．一个数在数轴上所对应的点与原点的距离，叫做这个数的绝对值． 一个正数的绝对值是它本身； 一个负数的绝对值是它的相反数； 零的绝对值是零．7．两个负数，绝对值大的那个数反而小．考点一：正数和负数【例题1】（2020·上海市静安区实验中学课时练习）向东行进–30米表示的意义是（ ） A ．向东行进30米 B ．向东行进–30米 C ．向西行进30米 D ．向西行进–30米【变式训练1】（2020·上海市静安区实验中学课时练习）下列说法正确的是（ ） A．零是正数不是负数B．零既不是正数也不是负数C．零既是正数也是负数D．不是正数的数一定是负数，不是负数的数一定是正数【变式训练2】（2018·上海市娄山中学七年级单元测试）把收入100记作+100元，则-70元表示_______.【变式训练3】（2020·上海市静安区实验中学课时练习）4621,0,2.5,, 1.732, 3.14,106,,1375-+----中，正数有________________，负数有________________．考点二：有理数的初步认识【例题2】（2018·上海普陀·期中）下列说法正确的是（）A．整数就是正整数和负整数B．负整数的相反数就是非负整数C．有理数不是负数就是正数D．零是自然数，但不是正整数【变式训练1】（2020·上海市静安区实验中学课时练习）下列说法中，错误的有（）①427-是负分数；②1.5不是整数；③非负有理数不包括0；④整数和分数统称为有理数；⑤0是最小的有理数；⑥-1是最小的负整数．A．1个B．2个C．3个D．4个【变式训练2】（2020·上海市静安区实验中学课时练习）下列说法正确的是（）A．正数、0、负数统称为有理数B．分数和整数统称为有理数C．正有理数、负有理数统称为有理数D．以上都不对【变式训练3】（2021·上海·九年级专题练习）在－42，＋0.01，π，0，120这5个数中，正有理数是___________．【变式训练4】（2020·上海市静安区实验中学课时练习）把下列各数分别填入相应的大括号内：13147,3.5, 3.1415,0,,0.03,3,10,1722----自然数集合｛…｝；整数集合｛…｝；正分数集合｛…｝；非正数集合｛…｝；考点三：数轴的画法【例题3】如图，将数轴上﹣6与6两点间的线段六等分，这五个等分点所对应数依次为a1，a2，a3，a4，a5，则下列正确的是（）A．a3＞0 B．|a1|＝|a4|C．a1+a2+a3+a4+a5＝0 D．a2+a5＜0【变式训练】（2021春•金山区期末）数轴上点A在点B的右侧，点A所表示的数是5，AB＝6，则点B所表示的数是．考点四：数轴的实际应用【例题4】如图，已知数轴上三点M，O，N对应的数分别为﹣1，0，3，点P为数轴上任意一点，其对应的数为x．如果点P以每分钟1个单位长度的速度从点O向左运动，同时点M和点N分别以每分钟2个单位长度和每分钟3个单位长度的速度也向左运动，设t分钟时点P到点M、点N的距离相等，则t的值为．【变式训练】某天检修小组乘坐新能源电动汽车从A地出发，沿一条东西方向的公路检修线路，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，到收工时10次运动所走的路程（单位：km）如下：+10 ﹣4 +3 +2 +3 ﹣8 ﹣2 ﹣12 ﹣8 +5 （1）问收工时检修小组在A地的东面还是西面？距离A地多少千米？（2）若电动汽车每千米耗电0.2度，问这天共耗电多少度？考点五：相反数【例题5】若a、b互为相反数，则a+（b﹣2）的值为．【变式训练】如图所示，已知A，B，C，D四个点在一条没有标明原点的数轴上．（1）若点A和点C表示的数互为相反数，则原点为；（2）若点B和点D表示的数互为相反数，则原点为；（3）若点A和点D表示的数互为相反数，则在数轴上表示出原点O的位置．考点六：绝对值【例题6】（2021春•杨浦区校级期中）已知|a|+a＝0，|ab|＝ab，|c|﹣c＝0，化简|b|﹣|a+b|﹣|c﹣b|+|a﹣c|．【变式训练1】已知y＝|2x+6|+|x﹣1|+4|x+1|，求y的最小值．【变式训练2】若|a﹣3|+|b﹣2|＝0，求a和b的值．考点七：非负数的性质【例题7】下列说法正确的是（）A．|x|＜xB．若|x﹣1|+2取最小值，则x＝0C．若x＞1＞y＞﹣1，则|x|＜|y|D．若|x+1|≤0，则x＝﹣1【变式训练1】若|x﹣1|+|y+2|＝0，求（x﹣1）（y+2）的值．考点八：化简绝对值的结果是（）【例题8】数a和数b在数轴上的位置如图，化简a bA ．-a bB ．b a -C ．a b --D ．+a b【变式训练1】若a ＜0，b ＞0，化简|a|+|2b|﹣|a ﹣b|得（ ） A ．bB ．﹣bC ．﹣3bD ．2a+b【变式训练2】化简：34ππ-+-=________．【变式训练3】有理数a ，b ，c 在数轴上的对应点如图所示，化简：|b|－|c ＋b|＋|b －a|＝________．【变式训练4】有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图：(1)判断正负，用“>”或“<”填空：b －c 0，a ＋b 0，c －a 0. (2)化简：| b －c|＋|a ＋b|－|c －a|考点七：有理数大小比较【例题9】把-（-1）， 23-，45--，0用“>”连接正确的是（ ） A ．0>-（-1）> 45-->23- B ．0>-（-1）> 23->45-- C ．-（-1）>0> 23->45--D ．-（-1）>0> 45-->23- 【变式训练1】如图所示，a 、b 、c 表示有理数，则a 、b 、c 的大小顺序是（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．c b a <<【变式训练2】a 、b 两数在数轴上位置如图所示，将a 、b 、﹣a 、﹣b 用“＜”连接，其中正确的是（ ）A ．a ＜﹣a ＜b ＜﹣bB ．﹣b ＜a ＜﹣a ＜bC ．﹣a ＜b ＜﹣b ＜aD ．﹣b ＜a ＜b ＜﹣a 【变式训练3】画出数轴，并在数轴上表示下列各数，再用“＜”号把各数连接起来：﹣（+4），+（﹣1），|﹣3.5|，﹣2.5．【例1】 a -表示的数一定是（ ） A ．负数B ．正数C ．正数或负数D ．正数或负数或0【例2】 按照一定的规律填数：（1）1，2-，4，8-，16，______，______，______；（2）1，2-，3，4，5-，6，7，8-，9，______，______，…，______（第2017个数）． 【例3】 已知数轴上有A 、B 两点，A 、B 之间的距离为1，点A 与原点O 的距离为3，那么所有 满足条件的点B 与原点O 的距离之和等于多少？【例4】 a 、b 在数轴上的位置如图所示，M a b =+，N a b =-+，H a b =-，G a b =--， 求它们的大小关系．（用“>”连接）【例5】 数轴上表示的数是整数的点称为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数 轴上随意画出一条长为2017厘米的线段AB ，则线段AB 盖住的整点的有多少个？【例6】 如图，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距1个单位，点A 、B 、C 、D 对应的数分别 是整数a 、b 、c 、d ，且210d a -=，那么数轴的原点应是哪个点？【例7】若0a b +=，则a 与b 的关系是（ ） A ．不相等B ．异号C ．互为倒数D ．0a b ==【例8】 数a 在数轴上的位置如图所示，试把a ，a 的相反数，a 的倒数和a 的倒数的绝对 值用“<”联结起来．题组A 基础过关练一、单选题1.关于2.2-，下面说法正确的是（ ） A ．是负数，不是有理数 B ．不是分数，是有理数C ．是负数，也是分数D ．是负数，不是分数2．（2022·黑龙江龙江·七年级期末）有理数52-的相反数是（ ）A ．52-B ．25-C ．25D ．523．（四川省南充市2021-2022学年七年级上学期期末数学试题）下列有理数中，最小的是（ ）分层提分A ．1100B ．0C ．0.12-D ．2-4．（2021·四川·成都新津为明学校七年级阶段练习）在112-，4--， 1.2，2-，0 ，()1--，—60%中，非正数的个数有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个5．（2022·广东汕尾·七年级期末）下表记录了2021年12月份某一天东北地区四个城市的平均气温：A ．哈尔滨B ．大连C ．长春D ．沈阳二、填空题6.3π-的倒数是_______，相反数是______，绝对值是______． 7．（2022·河南·无七年级期中）若|m |＝2021，则m ＝______．8．（2021·四川·成都新津为明学校七年级阶段练习）23-的相反数是__________，23-的绝对值是________．9．（2021·江苏如东·七年级期中）如果收入2元记为+2，那么支出3元记为________． 10．（2021·四川·成都新津为明学校七年级阶段练习）绝对值小于3.14的所有整数是_________；若|a |=2，|b |=5，则|a +b |=______．三、解答题11．（2022·甘肃西峰·七年级期末）在数轴上表示下列各数，并用“<”符号将它们连结起来．-4， 2.5-，3-，112-，()1--，012．（2021·四川·成都新津为明学校七年级阶段练习）3225,,0, 3.14, 2.4,,2018, 1.9947-----，(6)--，|12|--（1）正数集合：{ … }； （2）负数集合：{ …}； （3）整数集合；{ …}； （4）分数集合：{ …}．13.把下列各数分别填到相应的横线上：1-，0.3505-，0，2，56-，33.33%．正数：____________________________； 负数：____________________________； 非负数：____________________________； 非正有理数数：____________________________．题组B 能力提升练1.若x < 0，则23x x x-=______．2.比较大小，用“<”连接：89-、1112-、1415-．3.绝对值大于10且不大于15的负整数的和是_______．4.填空（填“>”，“<”或“=”）：（1）若1aa=-，则a ______0；（2）若0a >，0b >，a b ->-，则a ______b ． 5.如图，数轴上A 、B 、C 四个点分别表示数a 、b 、c ， 化简：b a b c a b c -++---．第01讲 有理数（核心考点讲与练）有理数1．整数和分数统称为有理数．⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数整数零负整数有理数正分数分数负分数 2．规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴． 3．任何一个有理数都可以用数轴上的一个点表示． 4．任何两个有理数都可以比较大小． 正数大于零，零大于负数，正数大于负数．5．只有符号不同的两个数，我们称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数，零的相反数是零．6．一个数在数轴上所对应的点与原点的距离，叫做这个数的绝对值． 一个正数的绝对值是它本身； 一个负数的绝对值是它的相反数； 零的绝对值是零．8．两个负数，绝对值大的那个数反而小．考点一：正数和负数【例题1】（2020·上海市静安区实验中学课时练习）向东行进–30米表示的意义是（ ） A ．向东行进30米 B ．向东行进–30米 C ．向西行进30米 D ．向西行进–30米【答案】C【分析】首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义；再根据题意作答. 【详解】根据题意规定：向东走为 “+”，向西走为“-”，∴向东行进-30米表示的意义是向西行进30米． 故选C【变式训练1】（2020·上海市静安区实验中学课时练习）下列说法正确的是（ ） A ．零是正数不是负数 B ．零既不是正数也不是负数 C ．零既是正数也是负数D ．不是正数的数一定是负数，不是负数的数一定是正数 【答案】B【详解】本题考查的是正、负数的意义根据正、负数的定义即可解答，零既不是正数也不是负数，故A 、C 错误，B 正确，而不是正数的数是0和负数，不是负数的数是0和正数，故D 错误，故选B ．【变式训练2】（2018·上海市娄山中学七年级单元测试）把收入100记作+100元，则-70元表示_______. 【答案】亏损70元【分析】此题主要用正负数来表示具有意义相反的两种量:盈利记为正,则亏损就记为负,直接得出结论即可.【详解】商店把盈利100元记作100+元,那么-70元表示:亏损70元. 故答案为:亏损70元.【点睛】此题主要考查正负数的意义,正数与负数表示意义相反的两种量,看清规定哪一个为正,则和它意义相反的就为负.【变式训练3】（2020·上海市静安区实验中学课时练习）4621,0,2.5,, 1.732, 3.14,106,,1375-+----中，正数有________________，负数有________________．【答案】42.5,,1063+ 621, 1.732, 3.14,,175-----【分析】根据正数与负数的定义判断即可．【详解】根据正负数的定义得：4621,0,2.5,, 1.732, 3.14,106,,1375-+----中，正数有42.5,,1063+，负数有621, 1.732, 3.14,,175-----，0既不是正数也不是负数．故答案为： 正数有42.5,,1063+；负数有621, 1.732, 3.14,,175-----．【点睛】本题主要考查正负数的定义，关键是熟记定义判断即可．考点二：有理数的初步认识【例题2】（2018·上海普陀·期中）下列说法正确的是（）A．整数就是正整数和负整数B．负整数的相反数就是非负整数C．有理数不是负数就是正数D．零是自然数，但不是正整数【答案】D试题分析：整数包括正整数、零、负整数，故A错误；负整数的相反数是正整数，故B错误；有理数除了负数、正数外，还有零，故C错误；故选D．考点：1．有理数的分类；2．相反数．【变式训练1】（2020·上海市静安区实验中学课时练习）下列说法中，错误的有（）①427-是负分数；②1.5不是整数；③非负有理数不包括0；④整数和分数统称为有理数；⑤0是最小的有理数；⑥-1是最小的负整数．A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【分析】本题根据有理数的基本定义，对各项进行判定即可求得答案．【详解】①427-是负分数；正确；②1.5不是整数；正确，是分数；③非负有理数不包括0；错误，0也为有理数且为非负；④整数和分数统称为有理数；正确；⑤0是最小的有理数；错误，负数也为有理数；⑥-1是最小的负整数，错误，-1为最大的负整数；∴③⑤⑥三项错误．故选C．【点睛】本题考查了有理数，注意没有最小的有理数．【变式训练2】（2020·上海市静安区实验中学课时练习）下列说法正确的是（）A．正数、0、负数统称为有理数B．分数和整数统称为有理数C．正有理数、负有理数统称为有理数D．以上都不对【答案】B【解析】本题考查的是有理数的分类根据有理数的定义即可得到结果，正有理数、0、负有理数统称为有理数，故A、C错误，分数和整数统称为有理数，正确，故选B．【变式训练3】（2021·上海·九年级专题练习）在－42，＋0.01，π，0，120这5个数中，正有理数是___________．【答案】+0.01，120.【分析】根据正有理数的定义解答即可．【详解】正有理数有：+0.01，120.故答案为+0.01，120.【点睛】此题考查有理数，解题关键在于掌握其性质.【变式训练4】（2020·上海市静安区实验中学课时练习）把下列各数分别填入相应的大括号内：13147,3.5, 3.1415,0,,0.03,3,10,1722----自然数集合｛…｝；整数集合｛…｝；正分数集合｛…｝；非正数集合｛…｝；【答案】0，10；－7，0，10，42 -；3.5，1317，0.03；－7，－3.1415，0，132－，42-.【分析】先化简，再根据自然数，整数，正分数，非正数的定义可得出答案．【详解】自然数集合：0，10；整数集合：－7，0，10，42 -；正分数集合：3.5，1317，0.03；非正数集合：－7，－3.1415，0，132－，42-.故答案为0，10；－7，0，10，42 -；3.5，1317，0.03；－7，－3.1415，0，132－，42-.【点睛】本题考查了有理数的分类，认真掌握正数、自然数、整数、分数、正数、负数、非正数的定义与特点，注意整数和自然数的区别，注意0是整数，但不是正数．考点三：数轴的画法【例题3】如图，将数轴上﹣6与6两点间的线段六等分，这五个等分点所对应数依次为a1，a2，a3，a4，a5，则下列正确的是（）A．a3＞0 B．|a1|＝|a4|C．a1+a2+a3+a4+a5＝0 D．a2+a5＜0【完整解答】﹣6与6两点间的线段的长度＝6﹣（﹣6）＝12，六等分后每个等分的线段的长度＝12÷6＝2，∴a1，a2，a3，a4，a5表示的数为：﹣4，﹣2，0，2，4，A选项，a3＝﹣6+2×3＝0，故该选项错误；B选项，|﹣4|≠2，故该选项错误；C选项，﹣4+（﹣2）+0+2+4＝0，故该选项正确；D选项，﹣2+4＝2＞0，故该选项错误；故选：C．【变式训练】（2021春•金山区期末）数轴上点A在点B的右侧，点A所表示的数是5，AB＝6，则点B所表示的数是．【完整解答】∵数轴上点A在点B的右侧，点A所表示的数是5，∴点B表示的数小于5．∵5﹣6＝﹣1，∴点B所表示的数是：﹣1．故答案为：﹣1．考点四：数轴的实际应用【例题4】如图，已知数轴上三点M，O，N对应的数分别为﹣1，0，3，点P为数轴上任意一点，其对应的数为x．如果点P以每分钟1个单位长度的速度从点O向左运动，同时点M和点N分别以每分钟2个单位长度和每分钟3个单位长度的速度也向左运动，设t分钟时点P到点M、点N的距离相等，则t的值为或4 ．【完整解答】设运动t分钟时，点P到点M，点N的距离相等，即PM＝PN．点P对应的数是﹣t，点M对应的数是﹣1﹣2t，点N对应的数是3﹣3t．①当点M和点N在点P同侧时，点M和点N重合，所以﹣1﹣2t＝3﹣3t，解得t＝4，符合题意．②当点M和点N在点P异侧时，点M位于点P的左侧，点N位于点P的右侧（因为三个点都向左运动，出发时点M在点P左侧，且点M运动的速度大于点P的速度，所以点M永远位于点P的左侧），故PM＝﹣t﹣（﹣1﹣2t）＝t+1．PN＝（3﹣3t）﹣（﹣t）＝3﹣2t．所以t+1＝3﹣2t，解得t＝，符合题意．综上所述，t的值为或4．故答案为：或4．【变式训练】某天检修小组乘坐新能源电动汽车从A地出发，沿一条东西方向的公路检修线路，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，到收工时10次运动所走的路程（单位：km）如下：+10 ﹣4 +3 +2 +3 ﹣8 ﹣2 ﹣12 ﹣8 +5 （1）问收工时检修小组在A地的东面还是西面？距离A地多少千米？（2）若电动汽车每千米耗电0.2度，问这天共耗电多少度？【完整解答】（1）+10+（﹣4）+3+2+3+（﹣8）+（﹣2）+（﹣12）+（﹣8）+5＝﹣11（km），∴收工时检修小组在A地的西面，距离A地11千米；（2）（10+4+3+2+3+8+2+12+8+5）×0.2＝11.4（度），∴这天共耗电11.4度．考点五：相反数【例题5】若a、b互为相反数，则a+（b﹣2）的值为．【完整解答】∵a，b互为相反数，∴a+b＝0，当a+b＝0时，原式＝a+b﹣2＝﹣2．故答案为：﹣2．【变式训练】如图所示，已知A，B，C，D四个点在一条没有标明原点的数轴上．（1）若点A和点C表示的数互为相反数，则原点为；（2）若点B和点D表示的数互为相反数，则原点为；（3）若点A和点D表示的数互为相反数，则在数轴上表示出原点O的位置．【完整解答】（1）若点A和点C表示的数互为相反数，则原点为B；（2）若点B和点D表示的数互为相反数，则原点为C；（3）如图所示：故答案为：B；C．考点六：绝对值【例题6】（2021春•杨浦区校级期中）已知|a|+a＝0，|ab|＝ab，|c|﹣c＝0，化简|b|﹣|a+b|﹣|c﹣b|+|a﹣c|．【完整解答】∵|a|+a＝0，|ab|＝ab，|c|﹣c＝0，∴a≤0，b≤0，c≥0，∴a+b≤0，c﹣b≥0，a﹣c≤0，∴原式＝﹣b+a+b﹣c+b﹣a+c＝b．【变式训练1】已知y＝|2x+6|+|x﹣1|+4|x+1|，求y的最小值．【完整解答】令2x+6＝0，x﹣1＝0，x+1＝0，解得：x＝﹣3，x＝1，x＝﹣1．当x＜﹣3时，则y＝﹣2x﹣6﹣x+1﹣4x﹣4＝﹣7x﹣9，则没有最小值；当﹣3≤x≤﹣1时，则y＝2x+6﹣x+1﹣4x﹣4＝﹣3x+3，则最小值为6；当﹣1≤x＜1时，则y＝2x+6﹣x+1+4x+4＝5x+11，则最小值为6；当x≥1时，则y＝2x+6+x﹣1+4x+4＝7x+9，则最小值为16；故y的最小值为6．【变式训练2】若|a﹣3|+|b﹣2|＝0，求a和b的值．【完整解答】∵|a﹣3|+|b﹣2|＝0，∴a﹣3＝0，b﹣2＝0，∴a＝3，b＝2．考点七：非负数的性质【例题7】下列说法正确的是（ ） A ．|x |＜xB ．若|x ﹣1|+2取最小值，则x ＝0C ．若x ＞1＞y ＞﹣1，则|x |＜|y |D ．若|x +1|≤0，则x ＝﹣1【完整解答】A 、当x ＝0时，|x |＝x ，故此选项错误，不符合题意；B 、∵|x ﹣1|≥0，∴当x ＝1时，|x ﹣1|+2取最小值，故此选项错误，不符合题意；C 、∵x ＞1＞y ＞﹣1，∴|x |＞1，|y |＜1，∴|x |＞|y |，故此选项错误，不符合题意；D 、∵|x +1|≤0，|x +1|≥0，∴x +1＝0，∴x ＝﹣1，故此选项正确，符合题意． 故选：D ．【变式训练1】若|x ﹣1|+|y +2|＝0，求（x ﹣1）（y +2）的值． 【完整解答】∵|x ﹣1|+|y +2|＝0， ∴x ﹣1＝0，y +2＝0， ∴（x ﹣1）（y +2） ＝0．考点八：化简绝对值【例题8】数a 和数b 在数轴上的位置如图，化简a b -的结果是（ ）A ．-a bB ．b a -C ．a b --D ．+a b【答案】B【分析】由数a 和数b 在数轴上的位置可知00a b ，，可得0a b -<，利用绝对值定义a b -化去绝对值符号，再去括号即可．【详解】解：数a 和数b 在数轴上的位置可知00a b ，， ∴0a b -<，∴()a b a b b a -=--=-． 故选择：B ．【变式训练1】若a ＜0，b ＞0，化简|a|+|2b|﹣|a ﹣b|得（ ） A ．b B ．﹣b C ．﹣3b D ．2a+b【答案】A【解析】a ＜0, b ＞0, a ﹣b<0，∴|a |+|2b |﹣|a ﹣b |=-a +2b +(a-b )=b,选A.【变式训练2】化简：34ππ-+-=________． 【答案】1【分析】根据绝对值的定义即可得出答案，去掉绝对值再计算． 【详解】解：|π-3|+|4-π|=π-3+4-π=1， 故答案为：1．【变式训练3】有理数a ，b ，c 在数轴上的对应点如图所示，化简：|b|－|c ＋b|＋|b －a|＝________．【答案】a －b ＋c【详解】先根据各点在数轴上的位置判断出其符号，再去绝对值符号，合并同类项即可，即可由图可知，c ＜b ＜0＜a ，可求c+b ＜0，b-a ＜0，因此原式=-b+c+b+a-b=a+c-b. 故答案为a+c-b.【变式训练4】有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图：(1)判断正负，用“>”或“<”填空：b －c 0，a ＋b 0，c －a 0. (2)化简：| b －c|＋|a ＋b|－|c －a| 【答案】（1）<,<, >;（2）-2b【分析】（1）根据数轴得出a<0<b<c ，|b|<|a|<|c|，即可求出答案； （2）去掉绝对值符号，合并同类项即可．【详解】(1)∵从数轴可知：a<0<b<c ，|b|<|a|<|c|， ∴b −c<0，a+b<0，c −a>0， (2)∵b −c<0，a+b<0，c −a>0，∴|b −c|+|a+b|−|c −a|=c −b+(−a −b)−(c −a)=c −b −a −b −c+a=−2b.考点七：有理数大小比较【例题9】把-（-1）， 23-，45--，0用“>”连接正确的是（ ） A ．0>-（-1）> 45-->23- B ．0>-（-1）> 23->45-- C ．-（-1）>0> 23->45-- D ．-（-1）>0> 45-->23- 【答案】C【分析】先化简各个式子，再根据有理数的大小比较法则比较即可． 【详解】解：∵-（-1）=1，4455--=-，2233-=，4455-=， ∴-（-1）>0> 23->45--． 故选：C ．【变式训练1】如图所示，a 、b 、c 表示有理数，则a 、b 、c 的大小顺序是（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．c b a <<【答案】C【分析】根据数轴上的各数右边的数总比左边的大进行比较即可． 【详解】因为数轴上的数右边的总比左边的大， 所以从左到右把各字母用“＜”连接为：b<a<c ． 故选C ．【变式训练2】a 、b 两数在数轴上位置如图所示，将a 、b 、﹣a 、﹣b 用“＜”连接，其中正确的是（ ）A ．a ＜﹣a ＜b ＜﹣bB ．﹣b ＜a ＜﹣a ＜bC ．﹣a ＜b ＜﹣b ＜aD ．﹣b ＜a ＜b ＜﹣a 【答案】B【分析】根据a 、b 在数轴上的位置，可对a 、b 赋值，然后即可用“＜”连接． 【详解】解：令a ＝﹣0.8，b ＝1.5，则﹣a ＝0.8，﹣b ＝﹣1.5， 则可得：﹣b ＜a ＜﹣a ＜b ． 故选：B ．【变式训练3】画出数轴，并在数轴上表示下列各数，再用“＜”号把各数连接起来：﹣（+4），+（﹣1），|﹣3.5|，﹣2.5． 【答案】﹣（+4）＜﹣2.5＜+（﹣1）＜|﹣3.5|试题分析：先把每个数化为最简，画数轴，描点,比较大小. 试题解析：﹣（+4）=-4，+（﹣1）=-1，|﹣3.5|=3.5，﹣2.5. 在数轴上表示为：，﹣（+4）＜﹣2.5＜+（﹣1）＜|﹣3.5|.【例9】 a -表示的数一定是（ ） A ．负数B ．正数C ．正数或负数D ．正数或负数或0【难度】★★★ 【答案】D【解析】因为a 有可能为正数、负数、0，则a -可能是正数或负数或0． 【总结】考察正负数的意义．【例10】 按照一定的规律填数：（1）1，2-，4，8-，16，______，______，______；（2）1，2-，3，4，5-，6，7，8-，9，______，______，…，______（第2017个数）．【难度】★★★【答案】（1）-32，64，-128；（2）10，-11，2017．【解析】（1）可找出规律：后面的数字是前面的数字的2倍，第奇数个数字为正数，第偶数 个数字为负数．则可得答案．（2）可找出规律：除了1之外，后面的符号规律是一负两正．()67232016312017=÷=÷-则第2017个数正数，为2017．【总结】考察数字找规律．【例11】 已知数轴上有A 、B 两点，A 、B 之间的距离为1，点A 与原点O 的距离为3，那么所有 满足条件的点B 与原点O 的距离之和等于多少？【难度】★★★ 【答案】12．【解析】设A 点表示的有理数为x ，B 点表示的有理数为y ． 因为A 点与原点O 的距离为3，则3=x ，∴3=x 或-3又因为A 、B 两点之间的距离为1，则1=-x y ，即1±=-x y ，因为3=x 或-3，所以B 点表示的有理数有四种情况：4-=y 或-2或2或4. 所有满足条件的点B 与原点O 的距离之和为124224=+-++- 【总结】考察数轴上有理数的表示和有理数的加法．【例12】 a 、b 在数轴上的位置如图所示，M a b =+，N a b =-+，H a b =-，G a b =--， 求它们的大小关系．（用“>”连接）【难度】★★★【答案】M N H G >>>． 【解析】由数轴可得：0<<a b ，则0>--=b a G ，0<+=b a M ，0<+-=b a N ，0>-=b a H 【总结】考察数轴上有理数的大小比较．【例13】 数轴上表示的数是整数的点称为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数 轴上随意画出一条长为2017厘米的线段AB ，则线段AB 盖住的整点的有多少个？【难度】★★★ 【答案】2018个或2017个【解析】当A 、B 为整点时，线段AB =2017盖住的整点个数是2018个； 当A 、B 分别不是整点时，线段AB =2017盖住的整点个数是2017个． 【总结】考察数轴上有理数的表示，综合性较强，注意分类讨论．【例14】 如图，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距1个单位，点A 、B 、C 、D 对应的数分别 是整数a 、b 、c 、d ，且210d a -=，那么数轴的原点应是哪个点？【难度】★★★ 【答案】B【解析】若原点为A ，则07a d ==，，此时72=-a d ，和已知不符，排除； 若原点为B ，则34a d =-=，，此时102=-a d ，和已知相符，正确． 【总结】考察数轴上有理数的表示．【例15】 若0a b +=，则a 与b 的关系是（ ） A ．不相等B ．异号C ．互为倒数D ．0a b ==【难度】★★★ 【答案】D【解析】两个非负数相加等于0，则这两个数都需为0． 【总结】考察绝对值的非负性．【例16】 数a 在数轴上的位置如图所示，试把a ，a 的相反数，a 的倒数和a 的倒数的绝对 值用“<”联结起来．【难度】★★★【答案】aa a a 11-<-<<．【解析】∵01<<-a ， ∴10<-<a ，11-<a，11>-a∴aa a a 11-<-<< 【总结】考察实数比较大小．题组A 基础过关练一、单选题1.关于2.2-，下面说法正确的是（ ） A ．是负数，不是有理数 B ．不是分数，是有理数 C ．是负数，也是分数D ．是负数，不是分数【难度】★ 【答案】C【解析】有限小数属于分数，也属于有理数 【总结】考察有理数分类．2．（2022·黑龙江龙江·七年级期末）有理数52-的相反数是（ ） A ．52-B ．25-C ．25D ．52【答案】D【分析】根据相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可； 【详解】解：有理数52-的相反数是52；故选：D【点睛】本题考查了相反数的定义，属于应知应会题型，熟知概念是关键．分层提分3．（四川省南充市2021-2022学年七年级上学期期末数学试题）下列有理数中，最小的是（）A．1100B．0 C．0.12-D．2-【答案】D【分析】正数0>>负数；其中1100>，而0.122--、为负值；并且0.120.12-=，22-=；20.12>，故有0.122->-；将四个有理数进行排序，进而可得最小值．【详解】解：由题意知1100>，0.122--、为负值；0.120.12-=，22-=且20.12>0.122∴->-100.122100∴>>->-故选D．【点睛】本题考察了有理数的大小比较．解题的关键在于判断有理数的正负、负数绝对值的大小．有理数大小比较的法则：正数都大于零，负数都小于零；正数大于一切负数；两个负数绝对值大的反而小．4．（2021·四川·成都新津为明学校七年级阶段练习）在112-，4--， 1.2，2-，0，()1--，—60%中，非正数的个数有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】D【分析】根据有理数的分类以及正负数的意义判断即可．【详解】112-，4--， 1.2，2-，0，()1--，—60%中非正数有112-，4--，2-，0，—60%，共5个．故选：D．【点睛】本题考查了正负数的定义以及非正数的概念，将符号化为最简，即数字前最多只有一个符号时，看是否有负号“-”，如果有“-”就是负数，否则是正数；非正数指的是负数和0．5．（2022·广东汕尾·七年级期末）下表记录了2021年12月份某一天东北地区四个城市的平均气温：A ．哈尔滨B ．大连C ．长春D ．沈阳【答案】A【分析】有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可． 【详解】解：根据有理数比较大小的方法，可得 +7℃＞4℃＞0℃＞-3℃， ∴平均气温最低的城市是哈尔滨． 故选：A ．【点睛】本题考查有理数大小的比较，解答此题的关键是要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数比较大小，绝对值大的其值反而小． 二、填空题6.3π-的倒数是_______，相反数是______，绝对值是______．【难度】★【答案】π-31；3-π；3-π．【解析】考察倒数、相反数、绝对值的求法．7．（2022·河南·无七年级期中）若|m |＝2021，则m ＝______． 【答案】±2021【分析】根据绝对值的意义可直接进行求解． 【详解】解：因为|m |=2021， 所以m =±2021． 故答案为：±2021．【点睛】本题主要考查了绝对值，关键是掌握绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． 8．（2021·四川·成都新津为明学校七年级阶段练习）23-的相反数是__________，23-的绝对值是________．【答案】23-23【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数，根据负数的绝对值是它的相反数，可得一个负数的绝对值.【详解】解：2233-=，23的相反数是23-，23-的绝对值是23．故答案为（1）23-；（2）23．【点睛】本题考查了相反数、绝对值的定义.a的相反数是a-，一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．9．（2021·江苏如东·七年级期中）如果收入2元记为+2，那么支出3元记为________．【答案】-3【分析】根据负数的意义，可得收入记为“+”，则支出记为“-”，所以支出3元记为-3．【详解】解：如果收入2元记为+2，那么支出3元记为-3．故答案为：-3．【点睛】本题考查了负数的意义及其应用，要熟练掌握，解题的关键是要明确：收入记为“+”，则支出记为“-”．10．（2021·四川·成都新津为明学校七年级阶段练习）绝对值小于3.14的所有整数是_________；若|a|=2，|b|=5，则|a+b|=______．【答案】3±，2±，±1，0 3或7【分析】根据绝对值的意义进行求解即可得到答案．【详解】解：绝对值小于3.14的所有整数是：±3，±2，±1，0；∵|a|=2，|b|=5，∴a=±2，b=±5，当a=2，b=5时，|a+b|=|2+5|=7，当a=2，b=-5时，|a+b|=|2+（-5）|=3，当a=-2，b=5时，|a+b|=|-2+5|=3，当a=-2，b=-5时，|a+b|=|-2+（-5）|=7，故答案为：±3，±2，±1，0；3或7．【点睛】本题主要考查了绝对值的意义，熟知绝对值的意义是解题的关键：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．三、解答题。