数学总复习之数学思想第2讲《分类讨论》

中考数学思想方法专题讲座——分类讨论在数学中，当被研究的问题存在多种情况，不能一概而论时，就需要按照可能出现的各种情况分类讨论，从而得出各种情况下的结论，这种处理问题的思维方法叫分类讨论思想，它不仅是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略．在研究问题时，要认真审题，思考全面，根据其数量差异或位置差异进行分类，注意分类应不重不漏，从而得到完美答案.一、分类讨论应遵循的原则： 1、分类应按同一标准进行； 2、分类讨论应逐级进行； 3、分类应当不重复，不遗漏。

二、分类讨论的主要因素：1、题设本身为分类定义；2、部分性质、公式在不同条件下有不同的结论；3、部分定义、定理、公式和法则本身有范围或条件限制；4、题目的条件或结论不唯一时；5、含参数（字母系数）时，须根据参数（字母系数）的不同取值范围进行讨论；6、推理过程中，未知量的值，图形的位置或形状不确定。

三、分类类讨论的步骤：1、确定分类对象；2、进行合理分类；3、逐类讨论，分级进行；4、归纳并作出结论。

四、分类讨论的几种类型：类型一、与数与式有关的分类讨论热点1.在实数中带有绝对值号，二次根式的化简中，应注意讨论绝对值号内的数、被开方数中的字母的正负性，()()a aaa a≥==-⎧⎪⎨⎪⎩例1. =+==||，则5，3||若2baba。

分析：因b b2=||，故原题可转化为绝对值的问题进行讨论。

解：∵3||=a；∴x= ，∵b b2=||=5；∴x= ，，8|53|||时，5，3当=+=+==baba，2|5-3|||时，5-，3当==+==baba，2|53-|||时，5，3-当=+=+==baba，8|5-3-|||时，5-，3-当==+==baba故应填。

小结:二次根式的化简往往可转化为与绝对值相关的问题。

而去绝对值时一般要根据绝对值的概念进行分类讨论。

【练习】 1. 化简：①︱x︳=②=2. 已知│x│= 4,│y│=12，且xy<0，则xy= ．【点评】由xy<0知x，y异与应分x>0，y<0，及x<0，y>0两类．3．若||3,||2,,( )a b a b a b==>+=且则A．5或－1 B．－5或1; C．5或1 D．－5或－14．在数轴上，到－2的点的距离为3的点表示的数是．热点2：与函数及图象有关的分类讨论一次函数的增减性(k有正负之分)：【例1】已知直线y＝kx＋3与坐标轴围成的三角形的面积为2，则k的值等于．【例2】若一次函数当自变量x的取值范围是-1≤x≤3时，函数y的范围为-2≤y≤6，•则此函数的解析式为．0,0,k y xk y xy kx b⎧⎪⎨⎪⎩=+时随的增大而增大时随的增大而减小热点3：不等式中的分类讨论在根据不等式的基本性质解不等式时，当遇到含字母系数的一元一次不等式时，要根据系数的正负性，决定不等号的方向变化，此时需要讨论其正负性；在分式的值大于零或小于零时计算分式中某字母的取值范围，也要讨论分子分母的正负性，以此建立不等式或不等式组求解．【例1】不等式mx >n (m 、n 是常数且m ≠0)的解是 ．思路分析：x 前的系数m 的正负性不确定，故要对其讨论，再依据不等式基本性质求x 的取值．【例2】已知分式4－x 2x －3的值为负数，则x 的取值范围是 ． 思路分析：欲求x 的取值范围，需要建立关于x 的不等式(组)，由“两数相除，异号得负”知4－x 与2x －3异号，因此得⎩⎪⎨⎪⎧ 4－x >02x －3<0或⎩⎪⎨⎪⎧ 4－x <02x －3>0.分别解这两个不等式组即可．【练习】1．关于x 的一元一次不等式(2m ＋3)x >2m ＋3的解是 ．解析：分2m ＋3>0和2m ＋3<0两种情况讨论．2．若分式2x ＋3x －1的值大于零，则x 的取值范围是 ． 3.解不等式 (a +1)x ＞a 2-1.热点4：涉及问题中待定参数的变化范围的分类讨论。

分类讨论的数学思想衡东县实验中学 戴智伟我们在解决某些数学问题时,由于对问题所给对象不能进行统一研究,需要对所研究的数学对象进行分类,然后逐类讨论,得出每一类的结论,从而使整个问题得到解答,这就是分类讨论的数学思想.分类讨论是数学中的一种重要的数学思想,分类讨论贯穿于教材的各个部分，它不仅形式多样，而且具有很强的综合性和逻辑性,也是近几年来高考中年年必考的一种数学思想.● ●如何进行分类讨论先看下面一个例子：【例1】 解关于x 的不等式:12|1log |2->-a x a.【分析】涉及到对数问题,首先要保证真数x 满足0>x ,在此基础上,考虑到不等式左边是一个代数式的绝对值(是一个非负实数),因而要考虑是否去掉绝对值符号.若要去掉绝对值符号,那么,应如何去掉绝对值符号呢?需要考虑右边代数式21a -为正数、零、负数不同情况.再在不等式右边为正数的情况下,去掉绝对值符号,得到两个不等式组(因210a -≤时,得到一个与a 无为关的不等式).解这两个不等式组时，需要考虑对数的底数与1的大小关系.解:显然0>x ,1,0≠>a a .︒1当012<-a 即210<<a 时,原不等式的解显然为0>x ;︒2当012=-a 即21=a 时,原不等式变为1log 0|1log |221221<⇔>-x x 或1log 221>x1log 21-<⇔x 或1log 121<<-x 或1log 21>x 210<<⇔x 或221<<x 或2>x ;︒3当012>-a 即21>a 且1≠a 时,原不等式变为⎩⎨⎧->->-121log 01log 22a x x a a或 ⇔⎩⎨⎧-<-<-121log 01log 22a x x a a x a 2log I)(2a >或II)(22log 2a x a -<. ①当121<<a 时,不等式(I )的解为a a x 20<<,不等式(Ⅱ)的解为aaax a2222---<<;②当1>a 时,不等式(I )的解为aa x 20-<<或aax 2>,不等式(Ⅱ)无解.综合︒1、︒2、︒3得: 当210<<a 时,原不等式的解集为}0|{>x x ;当21=a 时,原不等式的解集为210|{<<x x 或221<<x 或}2>x ;当121<<a 时,原不等式的解集为|{x aax 20<<或}2222aaax a---<<;当1>a 时,原不等式的解集为a a x x 20|{-<<或}2a a x >.上面的例子说明了为什么要进行分类讨论,同时又给出了运用分类讨论思想解题的一般步骤.● ●运用分类讨论的数学思想解题的一般步骤：第一步,根据解题需要(即分类的动机),确定要讨论的数学对象。