兰州⼤学数学与统计学院期末考试试题（兰州⼤学数学与统计学院期末考试试题（ A ）卷（2004—2005学年第⼆学期）专业（班）年级 2003级数值分析课程主考教师孙莉⼀．填空题（20分）1). 设* 2.40315x =是真值 2.40194x =的近似值，则*x 有位有效数字。
2).*x 的相对误差的倍。
3). 梯形求积公式和复化梯形公式都是插值型求积公式（对或错）。
4). ⽜顿—柯特斯求积公式的系数和()nn kk C==∑ 。
⼆．计算题1).（12分）⽤⼆次拉格朗⽇插值多项式2()sin0.34L x 计算的值。
插值节点和相应的函数值是（0，0），（0.30，0.2955），（0.40，0.3894）。
2).（12分）⽤⼆分法求⽅程3()10[1.0,1.5]f x x x =--=在区间内的⼀个根，误差限210ε-=。
3).（12分）选取常数a, b, 使得01max x x e ax b ≤≤--达到最⼩。
4).（12分）求系数123,,A A A 和使求积公式1123111()(1)()()233f x dx A f A f A f -≈-+-+≤?对于次数的⼀切多项式都精确成⽴。
三．证明题1).（10分）证明区间[a,b]上带权()()1,2,3n x Px n ρ=的正交多项式的n 个根都是单根，且位于区间(a,b)内。
2).（10分）设(,)x A x µµ是的近似特征对,证明当取为的Rayleigh 商，即2,T T x Axr Ax x r x x µµ==-时残量的范数达到极⼩。
四．程序题（12分）试⽤C 语⾔写出(Gauss--Seidel)迭代公式求解线性⽅程组Ax=b 的算法。
要求：Input ⽅程个数n,矩阵A 的元素和b,初始向量120(0,0,0)T n x x x x =，Output 近似解和迭代次数。
参考答案：⼀．填空题1）3； 2）12； 3）错； 4）1.⼆．计算题1）020*******010*********()()()()()()()()()()()()()x x x x x x x x x x x x L x f f f x x x x x x x x x x x x ------=++------=0.3333362) N=6 1234561.251.375 1.31251.343751.3281251.3203125x x x x x x ======3）111[0,1],(),0,1(),()(())0(1)(0)(1)ln(1)1102x x x x e ax b p x e p x e p x e af f e e e a e b +''-==----==-=-求在区间上的⼀次最佳⼀致逼近多项式记为的两阶导不变号是的偏差点另⼀偏差点为4）123123123123111122339931/203/2A A A A A A A A A A A A ++=--+=++====三．证明题 1）设()(,),1,2....n j p x a b x j l=在内有奇数重的零点为1210......()( 1...),()(),()()(),())()()()0.,(),())()()()0.,.l ln j j n j bn n albn j n j aj a x x x b p x x j l q x x x p x q x p x q x x p x q x dx l n p x q x x p x p x dx l n ραρ==<<<<<==-=≠<===∏?∑?在变号令则在[a,b]上不变号因此:(如果则利⽤正交性有(⽭盾所以2）222(,)(,)2(,)(,)rr r Ax Ax Ax x x x µµ==-+222(,),(,)0,(,)(,)0d Ax x r r r d x x d r r d µµµ=?=≥使达到极⼩则且四．程序题 input n,A,b step1. k=1.1112.()363. 1...(0)/4.05.16.1...0i ni ij j ijj i ii j j i i istep while k N do steps step for i nset x a x ax b a step if x x Tolthenstop step setk k step for i nsetx x -==+∞≤-==--+-<=+==∑∑兰州⼤学数学与统计学院期末考试试题（ B ）卷（2004—2005学年第⼆学期）专业（班）年级 2003级数值分析课程主考教师孙莉⼀．填空题（20分）1). 设A 0.231x =是真值0.229T x =的近似值，则A x 有位有效数字。
