八年级数学上册 《勾股定理》例题精讲与同步练习学案1 北师大版

专题02 勾股定理求最短路径长度问题【专题说明】求最短距离的问题,第一种是通过计算比较解最短问题；第二种是平面图形,将分散的条件通过几何变换(平移或轴对称)进行集中,然后借助勾股定理解决；第三种是立体图形,将立体图形展开为平面图形,在平面图形中将路程转化为两点间的距离,然后借助直角三角形利用勾股定理求出最短路程(距离)． 一、通过计算比较解最短问题1、如图,学校有一块长方形花圃,有极少数人从A 走到B,为了避免拐角C 走“捷径”,在花圃内走出了一条“路”,他们仅仅少走了________步路(假设2步为1 m),却踩伤了花草．(第1题)【答案】4[来2、小明听说“武黄城际列车”已经开通,便设计了如下问题：如图,以往从黄石A 坐客车到武昌客运站B,现在可以在黄石A 坐“武黄城际列车”到武汉青山站C,再从青山站C 坐市内公共汽车到武昌客运站B.设AB ＝80 km,BC ＝20 km,∠ABC ＝120°.请你帮助小明解决以下问题：(1)求A,C 之间的距离．(参考数据：21≈4.6)(2)若客车的平均速度是60 km/h,市内的公共汽车的平均速度为40 km/h,“武黄城际列车”的平均速度为180 km/h,为了在最短时间内到达武昌客运站,小明应选择哪种乘车方案？请说明理由．(不计候车时间)解：(1)如图,过点C 作AB 的垂线,交AB 的延长线于点E.∵∠ABC ＝120°,∴∠BCE ＝30°. 在Rt △CBE 中,∵BC ＝20 km, ∴BE ＝10 km.由勾股定理可得CE ＝10 3 km.在Rt △ACE 中,∵AC 2＝AE 2＋CE 2＝(AB ＋BE)2＋CE 2＝8 100＋300＝8 400, ∴AC ＝2021≈20×4.6＝92(km)．(2)选择乘“武黄城际列车”．理由如下：乘客车所需时间为8060＝113(h),乘“武黄城际列车”所需时间约为92180＋2040＝1190(h)．∵113>1190,∴选择乘“武黄城际列车”．二、用平移法求平面中最短问题1、如图是一个三级台阶,它的每一级的长、宽和高分别是50 cm,30 cm,10 cm,A和B是这个台阶的两个相对的端点,A点上有一只壁虎,它想到B点去吃可口的食物,请你想一想,这只壁虎从A点出发,沿着台阶面爬到B点,至少需爬( )A．13 cm B．40 cm C．130 cm D．169 cm【答案】C点拨：将台阶面展开,连接AB,如图,线段AB即为壁虎所爬的最短路线．因为BC＝30×3＋10×3＝120(cm),AC＝50 cm,在Rt△ABC中,根据勾股定理,得AB2＝AC2＋BC2＝16 900,所以AB＝130 cm.所以壁虎至少爬行130 cm.2、如图,已知∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝90°,且AB＝CD＝3,BC＝4,DE＝EF＝2,则AF的长是________．(第4题)【答案】10三、用对称法求平面中最短问题1、如图,正方形ABCD的边长为8,点M在DC上且DM＝2,N是AC上的一动点,求DN＋MN的最小值．解：如图所示,∵正方形是轴对称图形,点B与点D是关于直线AC为对称轴的对称点,∴连接BN,BD,则直线AC即为BD的垂直平分线,∴BN＝ND.∴DN＋MN＝BN＋MN.连接BM交AC于点P,∵点N为AC上的动点,∴由三角形两边之和大于第三边,知当点N运动到点P时,DN＋MN＝BP＋PM＝BM,DN＋MN的最小值为BM的长度．∵四边形ABCD为正方形,∴BC＝CD＝8,CM＝8－2＝6,∠BCM＝90°,BM＝BC2＋CM2＝82＋62＝10.即DN＋MN的最小值为10.2、高速公路的同一侧有A,B两城镇,如图,它们到高速公路所在直线MN的距离分别为AA′＝2 km,BB′＝4 km,A′B′＝8 km.要在高速公路上A′,B′之间建一个出口P,使A,B两城镇到P的距离之和最小．求这个最短距离．(第6题)解：如图,作点B关于直线MN的对称点C,连接AC交MN于点P,则点P即为所建的出口．此时A,B两城镇到出口P的距离之和最小,最短距离为AC的长．作AD⊥BB′于点D,在Rt△ADC中,AD＝A′B′＝8 km,DC ＝6 km.∴AC＝AD2＋DC2＝10 km,∴这个最短距离为10 km.四、用展开法求立体图形中最短问题类型一、圆柱中的最短问题如图,已知圆柱体底面圆的半径为2π,高为2,AB,CD分别是两底面的直径．若一只小虫从A点出发,沿圆柱侧面爬行到C点,则小虫爬行的最短路线的长度是________(结果保留根号)．(第7题)【答案】2 2点拨：将圆柱体的侧面沿AD剪开并铺平得长方形AA′D′D,连接AC,如图．线段AC就是小虫爬行的最短路线．根据题意得AB＝2π×2π×12＝2.在Rt△ABC中,由勾股定理,得AC2＝AB2＋BC2＝22＋22＝8,∴AC＝8＝2 2.类型二、圆锥中的最短问题已知：如图,观察图形回答下面的问题：(1)此图形的名称为________．(2)请你与同伴一起做一个这样的物体,并把它沿AS剪开,铺在桌面上,则它的侧面展开图是一个________．(3)如果点C是SA的中点,在A处有一只蜗牛,在C处恰好有蜗牛想吃的食品,但它又不能直接沿AC爬到C处,只能沿此立体图形的表面爬行,你能在侧面展开图中画出蜗牛爬行的最短路线吗？(4)SA的长为10,侧面展开图的圆心角为90°,请你求出蜗牛爬行的最短路程．解：(1)圆锥(2)扇形(3)把此立体图形的侧面展开,如图所示,AC为蜗牛爬行的最短路线．(4)在Rt△ASC中,由勾股定理,得AC2＝102＋52＝125,∴AC＝125＝5 5.故蜗牛爬行的最短路程为5 5.类型三、正方体中的最短问题如图,一个正方体木柜放在墙角处(与墙面和地面均没有缝隙),有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角C1处．(1)请你在正方体木柜的表面展开图中画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径；(2)当正方体木柜的棱长为4时,求蚂蚁爬过的最短路径的长．解：(1)蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径有如图的AC′1和AC1.(2)如图,AC ′1＝AC 1＝（4＋4）2＋42＝4 5.所以蚂蚁爬过的最短路径的长是4 5. 类型四、 长方体中的最短问题如图,长方体盒子的长、宽、高分别是12 cm,8 cm,30 cm,在AB 的中点C 处有一滴蜜糖,一只小虫从E 处沿盒子表面爬到C 处去吃,求小虫爬行的最短路程．解：分为三种情况：(1)如图①,连接EC,在Rt △EBC 中,EB ＝12＋8＝20(cm),BC ＝12×30＝15(cm)．由勾股定理,得EC ＝202＋152＝25(cm)． (2)如图②,连接EC.根据勾股定理同理可求CE ＝673 cm>25 cm. (3)如图③,连接EC.根据勾股定理同理可求CE ＝122＋（30＋8＋15）2＝ 2 953(cm)>25 cm. 综上可知,小虫爬行的最短路程是25 cm.。

第一章勾股定理1探索勾股定理(第1课时)学习目标1.经历探索、验证勾股定理的过程，了解勾股定理的各种探究方法及其内在联系，进一步发展空间观念和推理能力.(重、难点)2.掌握勾股定理，并能运用勾股定理在直角三角形中求边.(重点)3.通过实例了解勾股定理的历史与应用，体会勾股定理的文化价值.自主学习学习任务勾股定理活动1：动脑想一想(1)观察图1，并填空(图1网格中小正方形的边长为1 cm)：正方形A的面积为cm2，正方形B的面积为cm2，正方形C的面积为cm2.(2)你能发现图1中正方形A，B，C的面积之间有什么关系？从中你发现了什么？活动2：动手做一做(图2网格中小正方形的边长为1 cm)其他一般的直角三角形，是否也有类似的性质呢？(1)正方形A的面积为cm2，正方形B的面积为cm2，正方形C的面积为cm2.(2)正方形A，B，C的面积之间有什么关系？答：.(3)你会用直角三角形的边长表示正方形A，B，C的面积吗？你能发现直角三角形三边之间存在什么关系吗？答：.(4)由上面的例子，我们猜想：命题1：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么.合作探究1.同学们，你认为在这个定理中我们应该注意些什么呢？(1)勾股定理揭示的是直角三角形的关系；(2)勾股定理只适合于三角形；(3)如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，则有a2+b2＝c2，它还可以表述为；(4)在使用勾股定理时，先要弄清边和边.2.求图3中字母所代表的正方形的面积. 当堂达标1.某直角三角形的三边长分别为3，5，x则符合条件的x 的值有( )A.1个B.2个C.3个D.4个 2.两只小鼹鼠在地下打洞，一只朝前挖，每分钟挖8 cm ，另一只朝左挖，每分钟挖6 cm ，10 min 后，两只小鼹鼠相距( )A.50 cmB.100 cmC.140 cmD.80 cm 3.如图4，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠CAB ，AC ＝6，BC ＝8，则CD ＝ .4.一长为2.5米的木梯，架在高为2.4米的墙上(如图5)，这时梯脚与墙的距离是多少？课后提升在长方形纸片ABCD 中，AB ＝12，BC ＝16.(1)将长方形纸片沿BD 折叠，使点A 落在点E 处(如图6)，设DE 与BC 相交于点F ，求BF 的长； (2)D 重合，折痕为GH ，求GH 的长.图6反思感悟我的收获：我的易错点：参考答案当堂达标1.B2.B3.34.解：在Rt△ABC中，根据勾股定理得BC2+AC2＝AB2，即BC2+2.42＝2.52，解得BC＝0.7.即梯脚与墙的距离是0.7米.课后提升解：(1)设BF＝x，则FC＝16-x.∵BD为折痕，∴∠ADB＝∠EDB.又∵∠ADB＝∠DBC，∴∠DBC＝∠EDB，∴DF＝BF＝x.在Rt△DCF中，x2＝(16-x)2+122，解得x＝252，即BF＝252.(2)如图8，过点G作GO⊥BC于点O，设HC＝x.∵纸片沿GH折叠，∴DH＝BH＝16-x，FD＝CD. 在Rt△DCH中，x2+122＝(16-x)2，解得x＝3.5.∵∠FDG+∠ADH＝90°，∠HDC+∠ADH＝90°，∴∠HDC＝∠FDG.在△DGF和△DHC中，90,,,F CFD CDFDG CDH ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△DGF≌△DHC(ASA)，∴FG＝AG＝HC＝3.5，∴OH＝9.在Rt△GOH中，GH2＝GO2+OH2＝122+92＝152，∴GH＝15.。

第一章勾股定理1.1 探索勾股定理第1课时认识勾股定理1．若△ABC中，∠C=90°，（1）若a=5，b=12，则c= ；（2）若a=6，c=10，则b= ；（3）若a∶b=3∶4，c=10，则a= ，b= .2．某农舍的大门是一个木制的矩形栅栏，它的高为2 m，宽为 1.5 m，现需要在相对的顶点间用一块木棒加固，木板的长为 .3．直角三角形两直角边长分别为5 cm，12 cm，则斜边上的高为 .4．等腰三角形的腰长为13 cm，底边长为10 cm，则面积为（）.A．30 cm2B．130 cm2C．120 cm2D．60 cm25．轮船从海中岛A出发，先向北航行9km，又往西航行9 km，由于遇到冰山，只好又向南航行4 km，再向西航行6 km，再折向北航行2 km，最后又向西航行9 km，到达目的地B，求AB两地间的距离.6．一棵9 m 高的树被风折断，树顶落在离树根3 m 之处，若要查看断痕，要从树底开始爬多高？7．折叠长方形ABCD 的一边AD ，使点D 落在BC 边的F 点处， 若AB =8 cm ，BC =10 cm ，求EC 的长.CF D A参考答案：1．（1）13；（2）8；（3）6，8．2．2.5m．60cm．3．134．D．5．25km．6．4．7．3 cm．构建数学的知识网络学习数学,重要的是要构建一个数学的知识网络,将单一的知识都串联起来,这样有助于对综合型题目的解答。

高效学习经验——把数学的知识点都结合起中考状元XX平日里爱打篮球、爱看球赛,XX给人的第一印象很阳光。

在他看来,他取得高分的最大秘诀就是:基础知识掌握得非常牢固。

在所有学科中,XX认为自己的理科和英语还算不错。

他说他最擅长的是用知识网络法来归纳知识,让零散的知识变得系统、有条理，具体如何做呢?以数学为例,XX会首先联想一个数学关键词比如说一元二次方程,然后围绕着这个关键词想一想,什么叫做一元次方程,一元二次方程有哪些解法,解答一元二次方程的步骤是什么等等,然后再将这些间题的答案写在笔记本中,这样知识就变得非常清晰了。

八年级数学上册《勾股定理》例题精讲与同步练习学案1 北师大版【基础知识精讲】勾股定理是指在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，它建立了直角三角形三边的等量关系，是求线段长度的又一重要工具，同时，在一般三角形中求线段长时，可考虑通过作高转化为直角三角形，再利用勾股定理来计算相关线段长、利用勾股定理解决问题时常用到分解因式、列方程计算等代数解法、【重点难点解析】本节重难点在于熟练掌握定理内容并运用定理解决有关线段的计算问题、例1 直角三角形两直角边长为5，12，求斜边上的高、分析利用勾股定理先求斜边，再用面积公式求斜边的高、解设直角边a=5,b=12,斜边为c，斜边高为h,∵a2+b2=c2、∴c==13、又ab=ch ∴h=、例2 直角三角形三边长为连续偶数，求三边的长、分析三边长为连续偶数，可分别设为a,a+2,a+4，显然a+4为斜边，再利用勾股定理列方程、注意a为偶数、若求出的结论中a可以取奇数值，则舍去、解设三边长为a,a+2,a+4(a 为偶数且a＞0),斜边最长为a+4、由勾股定理a2+(a+2)2=(a+4)2 a2-4a-12=0、(a-6)(a+2)=0 ∵a＞0 ∴a+2＞0,a-6=0 a=6、三边为6,8,10、例3 等腰三角形顶角为120,求底与腰的比、(图3、16-1)图3、16-1分析合理的作高，将斜三角形的问题转化到直角三角形中，再利用勾股定理来解决问题是一种常用的方法，也是本题的基本思路、解△ABC中，AB=AC ∠BAC=120,求、∵AB=AC，∠BAC=120∴∠B=∠C=30，作AD⊥BC于D，∴BD=DC、Rt△ABD中，∠B=30，∠ADB=90, ∴AD=AB、BD2=AB2-AD2=AB2-AB2=AB2 ∴BD=AB,BC=AB,∴、例4 已知CD为Rt△ABC斜边上的高(图3、16-2)，求证(1)CD2=ADDB (2)AC2=ADAB (3)BC2=BDAB图3、16-2分析本题中有三个直角三角形Rt△ACD,Rt△BCD，Rt△ABC,合理利用这些直角三角形，用勾股定理建立边的关系，再利用代数变形得结论是本题的基本思路、证(1)∵CD为Rt△ABC斜边上的高、∴△ACD，△BCD均为直角三角形∴AD2+CD2=AC2 ① BD2+CD2=BC2 ②①+②AD2+BD2+2CD2=AC2+BC2=AB2=(AD+DB)2=AD2+BD2+2ADBD、∴2CD2=2ADBD ∴CD2=ADBD、(2)∵AC2=AD2+CD2 由(1)CD2=ADDB、∴AC2=AD2+ADDB=AD(AD+DB)=ADAB、(3)BC2=BD2+CD2 由(1)CD2=ADDB∴BC2=BD2+ADBD=(BD+AD)BD=ABBD、注:本例的三个结论又称“射影定理”【难题巧解点拨】例1 Rt△ABC的一条直角边长BC=5，另两边为自然数，AD为角平分线，求AD的长，图(3、16-3)图3、16-3分析本例首先要求出△ABC的三边，考虑到AB、AC为自然数，求三边即求方程AC2+25=AB2的正整数解，直接求不好着手，可将上式变形为(AB+AC)(AB-AC)=25，利用两自然数的和、差同奇偶来求出AB，AC，求出三边后，再求AD，考虑AD为角平分线到角两边距离相等，作DE⊥AB于E，则DC=DE，再利用Rt△ABC，Rt△ACD，Rt△AED，Rt△BED中的三边关系，利用勾股定理合理列出方程来求出AD的长、解设AC=b AB=c、则b,c 为自然数且c2-b2=52 (c+b)(c-b)=25、∵25=251=55、∵b＞0 ∴c+b＞c-b且c+b,c-b均为正整数、∴ 、过D 作DE⊥AB于E、∵AD为角平分线∴DE=DC、在Rt△ADE和Rt△ADC中，DE=DC DA=DA∴AC=AE=12、AB=13 ∴BE=1、设CD=DE=x BD=y、∴ ∴AD2=AC2+CD2=()2+122=()226、∴AD=、本题综合性强，先利用AC，AB为自然数，利用勾股定理求出另两边，再利用角平分线性质作出DE⊥AB于E、制造Rt△BDE、进而到方程求出AD的长、例2 △ABC中，BC=a,CA=b AB=c ∠BAC=120(图3、16-4)，求证a2=b2+c2+bc、图3、16-4分析将斜三角形问题通过作高巧妙地转化为直角三角形，利用勾股定理解决有关边的计算问题是常用办法之一、证作CD⊥AB交BA延长线于D，∠BAC=120,∴∠CAD=60,∠D=90,∴AD=AC=b、 CD==b、在Rt△CDB中a2=(b)2+(b+c)2=b2+b2+bc+c2=b2+c2+bc、【课本难题解答】P116复习题三B组3如图3、16-5，折叠长方形的一边AD，使D落在BC上的点F处，已知AB=8 BC=10 求EC、图3、16-5解∵D落在F处∴△ADE≌△AEF、DE=EF、AF=AD=BC=10 AB=8∴BF=6 FC=4、设EC=x 则FE=DE=8-x在Rt△CEF中，∠C=Rt∠、EC2+FC2=EF2 x2+16=(8-x)2 x=3 ∴EC=3、【命题趋势分析】本节定理常结合三角形及直角三角形相关知识加以运算、将勾股定理作为求线段长度的重要方法一，利用特殊直角三角形(30,60,90)的直角三角形、等腰直角三角形的三边特殊的比例关系，通过作高来解决含特殊角(30,45，60,75等)的斜三角形问题，是考试中经常出现的考题、【典型热点考题】例1 已知Rt△ABC中，∠C=Rt∠、求证：(1)若∠A=30,则BC∶CA∶AB=1∶∶2;(2)若∠A=45,则BC∶CA∶AB=1∶1∶、解(1)∵∠C=Rt∠ ∠A=30∴BC=ABBC2+CA2=AB2∴CA===BC∴BC∶CA∶AB=1∶∶2、(2)∠C=Rt∠ ∠A=45 ∴∠B=45 CA=CB、AB2=CA2+CB2=2BC2 ∴AB=CB ∴BC∶CA∶AB=1∶1∶[点评] 上述两特殊三角形中的三边的特殊比，在以后解决线段长问题中经常运用，请大家记住这两组比、例2 如图3、16-6，△ABC中∠C=90,AC=BC,D在AC上，且∠DBC=30,求、图3、16-6分析可设某个量为单位1，例如设AC=BC=1，再利用直角三角形勾股定理及特殊直角三角(30,60，90)(45,45,90)的三边特殊比，求出所需线段长，最后得出结论，是一种常用的方法、解设AC=BC=1, ∠C=90∴AB=、∵∠DBC=30∴BC=DC=AC,AD=AC-DC=AC-AC=∴、例3 如图3、16-7 AC、BD交于O，且相互垂直平分，若AC∶AB=48∶25,求BD∶DC、图3、16-7解∵AC∶AB=48∶25,设AC=48k,AB=25k(k＞0)、∵AC,BD相互垂直平分于O∴OA=OC=24k OB=OD=BD、CD2=OC2+OD2=OA2+OB2=AB2 CD=25kRt△COD中，OC=24k, DC=25k ∴OD==7k∴BD=14k ∴BD∶DC=14k∶25k=14∶25点评遇到线段比时，常利用设一个参数k，将线段进行量比，以方便有关线段的计算、【同步达纲练习】一、判断(4分6=24分)( )1、直角三角形直角边长为6，8，则斜边上的高为2、4、( )2、直角三角形两边为1，2则另一边为、( )3、两直角边的比为1∶的直角三角形三内角比为1∶2∶3、( )4、等腰直角三角形斜边中线与直角边的比为∶1、( )5、面积为12，底边为6的等腰三角形腰长为5、( )6、高为h的等边三角形面积为h2、二、选择(5分6=30分)1、周长为24，斜边长为10的直角三角形面积为( )A、12B、16C、20D、242、△ABC中，∠C=90, ∠A=30，M为AB中点，MD⊥AB交AC 于D、若DM=7，则BC长为( )A、7B、14C、7D、143、直角三角形锐角平分线分对边为15和25两部分，则斜边长为( )A、50B、60C、70D、804、三角形内角比为1∶2∶3，，则三边长度比为( )A、1∶2∶3B、1∶∶2C、1∶∶D、1∶∶35、直角三角形斜边上的高分斜边为1∶2两部分，则三条高的比为( )A、1∶∶2B、∶∶C、1∶∶D、∶∶26、顶角为150的等腰三角形，腰上的高与腰的比为( )A、1∶2B、1∶C、∶2D、1∶3三、填空(5分6=30分)1、已知线段a,求作线段a时，可分别以2a和为直角边作直角三角形，斜边即为所求、2、等腰直角三角形直角边长为1，则斜边长为、3、等边三角形边长为2，则面积为、4、CD为Rt△ABC斜边上的高，AB=13，AC=12，则CD= 、5、周长为30，面积也为30的直角三角形斜边中线长为、6、两直角边之和为14，斜边长为12的直角三角形斜边上的高是、四、解答题(8分2=16分)1、计算:Rt△ABC中，∠C=Rt∠,CD⊥AB于D，M为AB中点，MD=CD，求∠B、2、△ABC中，D为BC上一点，且AB=AD，求证AC2-AB2=BCDC、【素质优化训练】1、若a,b,c,为Rt△ABC三边的长，c为斜边长，斜边上的高为h、求证c+h＞a+b、2、△ABC中，AB=18，BC=17，AC=18，P为形内一点，PD⊥BC于D、PE⊥AC于E、PF⊥AB于F，且BD+CE+AE=27，求BD+BF的值、【生活实际运用】(如图3、16-8)某校A与直线公路距离为3000米，又与该公路上某车站D的距离为5000米，现要在公路边建一个小商店C，使之与学校A及车站D的距离相等，那么，该店与车站D的距离是多少米？图3、16-8【知识探究学习】利用勾股定理求线段长：若求直角三角形的边长，可由勾股定理列出含待求线段的等式即含待求线段的方程，设法解这个方程、参考答案：【同步达纲练习】一、√ √二、D C A B B A三、1、3a2、3、4、5、6、四、1、∵CD⊥AB CD=MD ∴∠CMB=45 又CM=MB ∴∠B=67、52、作AE⊥BD于E，∵AB=AD ∴ED=EB、∴AC2-AB2=(EC2+AE2)-(EB2+AE2)=(EC+EB)(EC-ED)=BCDC【素质优化训练】1、∵a2+b2=c2 ab=ch∴(a+b)2=a2+b2+2ab=c2+2ch＜(c+h)2∴c+h＞a+b、2、设BD=x CE=y AF=z,PD=a PE=b PF=c 则CD=17-x AE=18-y BF=19-z∴x2+a2=(19-z)2+c2① y2+b2=(17-x)2+a2② z2+c2=(18-y)2+b2③ ①+②+③整理得：17x+18y+19z=1827+1又x+y+z=27 ∴18x+18y+18z=1827 ∴z-x=1、BD+BF=x+19-z=19-(z-x)=19-1=18、【生活实际运用】3125米。

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BS 八上数学专题一勾股定理一．选择题（共14小题）1．在Rt△ABC中，若斜边AB=3，则AC2+BC2等于（）A．6B．9C．12D．182．在△ACB中,若AB=AC=5，BC=6，则△ABC的面积为（）A．6B．8C．12D．243．直角三角形的两边长分别为6和8,那么它的第三边长度为（）A．8B．10C．8或2D．10或24．如图，两个较大正方形的面积分别为225、289，则字母A所代表的正方形的面积为(）A．4B．8C．16D．645．如图，在△ABC中，∠A=45°，∠B=30°，CD⊥AB，垂足为D，CD=1，则AB的长为（）A．B．2C．D．26．如图Rt△ABC，∠C=90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”；当AC=3，BC=4时，计算阴影部分的面积为（)A．6B．6πC．10πD．127．△ABC的三边长为a，b,c,已知a：b=1：2，且斜边c=2，则△ABC的周长为（）A．3B．5C．6D．68．如图，线段AD是直角三角形ABC斜边上的高，AB=6，AC=8,则AD=（）A．4B．4.5C．4.8D．59．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC+∠DCB=90°，且BC=2AD，分别以AB、BC、DC为边向外作正方形，它们的面积分别为S1、S2、S3．若S2=48，S3=9,则S1的值为（)A．18B．12C．9D．310．下列各组数据分别为三角形的三边长,不能组成直角三角形的是（）A．9,12,15B．7，24，25C．6，8,10D．3，5，711．如图，三级台阶，每一级的长、宽、高分别为8dm、3dm、2dm．A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为（）A．15 dm B．17 dm C．20 dm D．25 dm12．在一次课外社会实践中，王强想知道学校旗杆的高,他发现旗杆上的绳子垂到地面上还多1m,当他把绳子的下端拉开5m后，发现下端刚好接触地面,则旗杆的高为（)A．13 m B．12 m C．4 m D．10 m13．如图，圆柱的底面周长是14cm,圆柱高为24cm，一只蚂蚁如果要沿着圆柱的表面从下底面点A爬到与之相对的上底面点B，那么它爬行的最短路程为（）A．14cm B．15cm C．24cm D．25cm14．一架长25dm的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距离墙底端7dm,如果梯子的顶端沿墙下滑4dm，那么梯足将滑（）A．9 dm B．15 dm C．5 dm D．8 dm二．填空题(共6小题)15．探索勾股数的规律：观察下列各组数：（3，4，5）,（5，12,13），（7，24，25)，（9，40,41）…可发现,4=，12=，24=…请写出第5个数组:．16．如果一个三角形的三边长之比为9：12:15,且周长为72cm，则它的面积为cm2．17．如图，AC⊥BC，AC=6，BC=8，AB=10，则点C到线段AB的距离是．18．已知两线段的长分别是5cm、3cm，则第三条线段长是时，这三条线段构成直角三角形19．小东拿着一根长竹竿进一个宽为4米的城门，他先横着拿不进去，又竖起来拿，结果竿比城门高0。

1.1探索勾股定理课后同步练习北师大版八年级数学上册（含答案）探索勾股定理一、单选题1．下列四组数据，不是勾股数的是（）A．3，4，5B．5，6，7C．6，8，10D．9，40，412．在Rt△ABC中，两条直角边的长分别为5和12，则斜边的长为（）A．6B．7C．10D．133．如图，点A，B是棱长为1的立方体的两个顶点，若将该立方体按图中所示展开，则在展开图中，A，B两点间的距离是（）A．B．C．4．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以Rt△ABC的三边为边向外作正方形，其面积分别为S1，S2，S3，且，且S1＝4，S3＝16，则S2＝（）A．20B．12C．2D．25．已知，则的面积为（）A．6或B．6或C．12或D．12或6．在由边长为1的小正方形构成网格中的位置如图所示，则边上的高是（）A．B．C．D．7．如图，中，，将沿DE翻折，使点A与点B重合，则CE的长为（A．B．2C．D．8．若直角三角形的两条直角边各扩大2倍，则斜边扩大（）A．倍B．2倍C．倍D．4倍9．如图所示，在等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC＝10，直线l过点B，分别过点A、C作直线l的垂线，垂足分别为E、F，若AE＝8，则CF的长为（）A．5B．6C．7D．810．如图，直线上有三个正方形、、，若正方形、的边长分别为5和7，则正方形的面积为（）A．36B．49C．74D．8111．如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点都在格点上，以为圆心，为半径画弧，交最上方的网格线于点，则的长为（）A．B．C．D．12．如图，以两个半圆的直径作为直角边，正方形的一边作为斜边构成一个直角三角形，已知半圆面积分别为π和3π，则正方形的面积为（）A．16πB．32πC．16D．3213．如图，在三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，以点A 为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D，则BD=（）A．B．3C．2D．14．中，，则三个半圆的面积关系是（）A．B．C．D．15．如图，在中，，，，D为边上一点，将沿折叠，若点B恰好落在线段的延长线上点E处，则的长为（）A．B．C．D．二、填空题16．下列各组数：①1、2、3；②，，2；③、、；④9、40、41，其中是勾股数的是_______（填序号）．17．已知一个直角三角形的两边长分为4和3，则它的斜边长为___________．18．已知直角三角形的两直角边分别为9和12，则它的周长为______________．19．如图，一名滑雪运动员沿着坡比为的滑道，从A滑行至B，已知米，则这名滑雪运动员的高度下降了_______米．20．中，为边上的一点，将沿折叠，使点C落在边的点E处，则的面积为__________．三、解答题21．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，请你在给出的5×5的正方形网格中，以格点为顶点，画出一个四边形，使这个四边形的其中三边长依次为，，．22．以3，4，5为边长的三角形是直角三角形，称3，4，5为勾股数组．记为（3，4，5），类似地，还可得到下列勾股数组：（8，6，10），（15，8，17），（24，10，26）等．（1）根据上述四组勾股数的规律，写出第六组勾股数；（2）用含（且为整数）的数学等式描述上述勾股数组的规律，并证明．23．如图，在ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AC＝12cm，BC＝16cm，求CD的长．24．如图，铁路上、两点相距，，为两村庄，于，于，已知，，现在要在铁路上建一个土特产品收购站，使得、两村到站的距离相等，则站应建在距点多少千米处？参考答案1．B解：A、因为32+42＝52，属于勾股数；B、因为52+62≠72，不属于勾股数；C、因为62+82＝102，属于勾股数；D、因为92+402＝412，属于勾股数；故选：B．2．D解：由勾股定理得，斜边长＝，故选：D．3．C解：如图，在Rt△ABC中，AC=1，BC=2，可得：AB=，故选：C．4．B解：由勾股定理得，AC2=AB2-BC2=16-4=12，则S2=AC2=12，故选：B．5．A解：当BC为直角边时，的面积为，当BC为斜边时，该三角形的另一条直角边长为，的面积为，故选：A．6．D解：作于D，如图所示，∵小正方形的边长都为1，∴，∵，∴，解得：，故选：D．7．D解：∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6，∴AB==10，∵△ADE沿DE翻折，使点A与点B重合，∴AE=BE，AD=BD=AB=5，设AE=x，则CE=AC-AE=8-x，BE=x，在Rt△BCE中∵BE2=BC2+CE2，∴x2=62+（8-x）2，解得x=，∴CE==，故选：D．8．B解：设直角三角形三边长分别为a、b、c，则：a2+b2=c2，∴，∵直角三角形的两条直角边各扩大2倍，∴可设扩大后的三角形各边为2a、2b、d，则：d=，故选B．9．B解：∵∠ABC＝90°，∴∠ABE+∠CBF＝90°．∵AE⊥l，CF⊥l，∴∠AEB＝∠BFC＝90°，∴∠ABE+∠BAE＝90°，∴∠BAE＝∠CBF，在△ABE和△BCF中，，∴△ABE≌△BCF（AAS），∴AE＝BF＝8，∴，故选：B．10．C解：根据正方形的性质得出∠EFG=∠EGH=∠HMG=90°，EG=GH，∵∠FEG+∠EGF=90°，∠EGF+∠HGM=90°，∴∠FEG=∠HGM，在△EFG和△GMH中，，∴△EFG≌△GMH（AAS），∴FG=MH，GM=EF，∵A，C的边长分别为5和7，∴EF2=52，HM2=72，∴B的面积为EG=EF2+FG2=EF2+HM2=25+49=74，故选：C．11．C解：如图，连接，则，由勾股定理可得，中，，又，，故选：C．12．D解：设大半圆的半径为R，小半圆的半径为r，根据题意得，故直角三角形的两条直角边为：故直角三角形的斜边平方为，则正方形的面积为：32，故选：D．13．C解：∵AC=3，BC=4，∴AB==5，∵以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D，∴AD=AC，∴AD=3，∴BD=AB-AD=5-3=2．故选C．14．B解：设面积为、、所在半圆直径对应的直角三角形三边为、、，则，，，，∵中，，∴，∴，∴．故选：B．15．C解：∵∠ACB=90°，AB=13，BC=12，∴AC==5，由折叠可知：AB=AE=13，BD=DE，∴CE=AE-AC=8，∵BC=CD+BD=CD+DE，∴CD=BC-DE=12-DE，∴在△CDE中，，解得：DE=，故选C．16．④解：①1、2、3，因为1+2=3，无法组成三角形，所以不是勾股数；②，不是正整数，不属于勾股数；③、、不是正整数，不属于勾股数；④因为92+402=412，所以9、40、41属于勾股数；故答案为：④．17．5或4解：当4是直角边时，斜边长==5，当4是斜边时，斜边长=4，故答案为：5或4．18．36解：∵直角三角形的两条直角边分别为9、12，∴斜边长==15，∴周长=9+12+15=36．故答案是：36．19．150解：如图，在中，由题意可知，∴，∴，∴米，故答案为：150．20．解：由折叠的性质得：，，，，设CD=x，则BD=12-x，DE=x，在△BDE中，，则，解得：x=，∴，，故答案为：．21．见解析．解：如图，，，，连接BC，则四边形ABCD即为所求作（答案不唯一）．22．（1）第六组勾股数为（48，14，50）；（2）规律：第n组勾股数为（n2-1，2n，n2+1）；证明见详解．解：（1）第一组中间数为4=2×2，第二组中间数为6=2×3，第三组中间数为8=2×4，第四组中间数为10=2×5，第五组中间数为12=2×6，第六组中间数为14=2×7，两头的两数差二，设较小的数为x，另一个数为x+2则（x+2）2-x2=142,解得x=48∴第六组勾股数为（48，14，50）；（2）规律：中间数规律是2n（n≥2）设第一个数为x，第三个数为x+2则，解得，第n组勾股数为（n2-1，2n，n2+1）；证明：(n2-1)2+(2n)2=n4-2n2+1+4n2=n4+2n2+1，(n2+1)2=n4+2n2+1，∴(n2-1)2+(2n)2=(n2+1)2．23．解：∵∠ACB=90°，AC=12cm，BC=16cm，∴AB=20cm，根据直角三角形的面积公式，得：，∴．24．10千米解：设，则，∵、两村到站的距离相等，∴．在中，由勾股定理得，在中，由勾股定理得，∴，又∵，，∴，∴，站应建在距点A10千米处．。

第2课时验证勾股定理基础题目：1. 如图是我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”，它解决的数学问题是( )A.平行公理B.等式的性质C.勾股定理D.三角形全等2.中国古代数学家赵爽注解《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”.如图，勾a=3，弦c=5，则小正方形ABCD的面积为( )A.1B.3C.4D.93. 如图，有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则它至少要飞行( )A.6 米B.8 米C.10米D.12 米4.如图是一等腰三角形形状的铁皮三角形ABC,BC为底边,尺寸如图(单位: cm),根据所给的条件，该铁皮的面积为.5. 过程性学习2024·佛山月考如图，小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得如图所示的风筝的高度CE，他们进行了如下操作：①测得BD=9米；(注:BD⊥CE)②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC=15米;③牵线放风筝的小明的身高为1.6米.则风筝的高度CE是米.6.如图，它由2个全等的直角三角形与一个小直角梯形组成，恰好拼成一个大直角梯形，请你利用该图证明勾股定理.综合应用题7.如图，已知钓鱼竿AC 的长为10m，露在水上的鱼线BC长为6m，某钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿AC转动到AC'的位置，此时露在水面上的鱼线B'C'的长度为8m,若A,B,B'三点在同一直线上,则BB'的长为( )A.4 mB.3 mC.2 mD.1m8对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD,对角线AC,BD 交于点O.若AD=2,BC=4,则AB²+CD²=.9. 如图,Rt△ABC 中,∠C=90°,分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，当AC=4，BC=6时，阴影部分的面积为.10.如图所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形.若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较长直角边为a，较短直角边为b,则(a+b)²的值为.11 如图，有一只摆钟，摆锤看作一个点，当摆锤静止时，它离底座的垂直高度DE=4cm，当摆锤摆动到最高位置时，它离底座的垂直高度BF=6cm，此时摆锤的位置与静止时位置的水平距离BC=8cm，求钟摆AD的长度.创新拓展题12. 小丽用4 张全等的直角三角形纸片拼成图①，利用此图，可以验证勾股定理吗?[初步运用](1)如图①，若b=2a，则小正方形的面积：大正方形的面积= ；(2)现将图①中上方的两直角三角形向内折叠，如图②，若a=4，b=6，此时空白部分的面积为.[迁移运用]用三张含60°角的全等三角形纸片，能否拼成一个特殊图形呢? 带着这个疑问，小丽拼出图③的等边三角形，你能否按照勾股定理的验证，发现含60°角的三角形的边a，b，c之间的等量关系? 写出此等量关系及其推导过程.(提示：如图④，含60°角的直角三角形中，对边y:斜边x=定值k)第2课时验证勾股定理1 C 2. A3. C 【点拨】两棵树的高度差为8—2—6(米),间距为8米，设小鸟至少要飞行的距离为h米，根据勾股定理可得：ℎ²=8²+6²,所以h=10，所以小鸟至少要飞行10米.4.60 cm²【点拨】过点A 作AD⊥BC 于D.由AB=AC,易得BD=CD=5cm ,因为AD²=AB²−BD²,所以AD=12 cm，所以该铁皮面积为12AD⋅BC=12×10×12=60(cm²).5.13.6 【点拨】因为BD⊥CE,所以∠BDC=90°.由勾股定理得，CD²=BC²−BD²=15²−9²=144,,所以CD=12米,易得DE=AB=1.6米, 所以CE=CD+DE=12+1.6=13.6(米).6.【证明】如图,连接AE.易知∠ADE=90°.因为S ADE+S ABE,所以12(AB+CD)⋅BC+12CD⋅CE=12AD⋅DE+12AB⋅BE,所以( (a−b+a)⋅a+ab=c²+(a−b)(a+b),所以a²+b²=c².7. C 【点拨】在Rt△ABC中,AC=10m,BC=6m,所以AB²=AC²−BC²=10²−6²=64,,所以AB=8m,在Rt△AB 'C'中, AC′=10m,B′C′=8m,所以AB′²=AC′²−B′C′²=36,所以AB′=6m,所以BB′=AB−AB′=8−6= 2(m).8.20 【点拨】因为AC⊥BD,所以∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°.由勾股定理得：/ AB²+CD²=AO²+BO²+CO²+DO²,AD²+BC²=AO²+DO²+BO²+CO²,所以AB²+CD²=AD²+BC².因为AD=2,BC=4,所以AB²+CD²=2²+4²=20.9.12 【点拨】在Rt△ACB 中,∠ACB=90°,AC=4,BC=6,由勾股定理,得. AB²=AC²+BC²=4²+6²=52.所以阴影部分的面积为12×π×22+12×π×32+12×4×6−12×π×524=12.10.25 【点拨】根据题意得a²+b²=13,四个直角三角形的面积为4×12ab=13−1=12,化简得2ab=12.所以(a +b)²=a²+2ab+b²=13+12=25.11. 【解】设AB=AD=x cm,由题意得,CE=BF=6 cm,所以AC=AD+DE-CE=(x-2) cm.因为AC²+BC²=AB²,所以( (x−2)²+8²=x²,所以x=17,所以AD=17 cm.答:钟摆AD 的长度为17 cm.12.【解】[问题情境]可以.[初步运用](1)5 :9 (2)28[迁移运用]结论：a²+b²−ab=c².推导过程如下：设含60°角的三角形纸片长为b的边上的高为h，大等边三角形的高为h'，小等边三角形的高为h"，则ℎa=k,ℎ′a+b =k,ℎ′′c=k,所以ℎ=ka,ℎ′=k(a+b),ℎ′′=kc.由题意，得大等边三角形面积=3个全等三角形面积和+小等边三角形面积，所以12(a+b)⋅k(a+b)=3×12b⋅ka+12c⋅kc,所以( (a+b)²=3ab+c²,所以a²+ b²−ab=c².。

《1.1．1探索勾股定理》导学案设计者: 李碎建班级: 姓名: 时间: 2014年8月31日学习目标：1、运用各种办法体验勾股定理的探索过程并理解勾股定理反映的直角三角形的三边之间的数量关系，会初步运用勾股定理进行简单的计算和实际运用．2、让学生经历勾股定理的探究过程，体会数形结合和特殊到一般的思想方法．3、进一步发展学生的说理和简单推理的意识及能力。

4、通过介绍勾股定理在中国古代的研究，激发学生热爱祖国，热爱祖国悠久文化的思想。

学习重点：探索勾股定理及简单应用。

学习难点：网格中图形面积的计算。

一、课前自学：认真阅读课本2页的引例，回答下列问题1、要计算旗杆的高，我们需要哪些线段的长度？我们能得到吗？并在小组内交流。

2.思考：直角三角形的三边之间有什么关系呢？二、合作探究：认真阅读课本2页做一做，并回答下列问题。

1.任意画一个直角三角形，分别测量他们的三条边，并计算它们的平方，看看有何关系？小组交流。

2. 你有哪些计算下列个图中各正方形的面积的方法，试试看，小组交流。

3.每个图形的面积与中间的直角三角形的边各有什么关系？4. 还能进一步得到直角三角形三边有何关系？独立思考、小组交流、展示。

三、回顾应用：想一想：课本图1-1的问题中，旗杆有多高？你能解决吗？四、总结反思五、拓展训练1．（口答）求下列图形中未知正方形的面积或未知边的长度：?225100x17C B2． 小明妈妈买了一部29英寸（74厘米）的电视机. 小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有58厘米长和46厘米宽，他觉得一定是售货员搞错了．你同意他的想法吗？你能解释这是为什么吗？3．为迎接新年的到来，同学们做了许多拉花布置教室，准备召开新年晚会，小刚搬来一架高为2.5米的木梯，准备把拉花挂到2.4米的墙上，则梯脚与墙角的距离应为 米．4．如图，小张为测量校园内池塘A ，B 两点的距离，他在池塘边选定一点C ，使∠ABC ＝90°，并测得AC 长26m ，BC 长24m ，则A ，B 两点间的距离为 m ．5．如图，阴影部分是一个半圆，则阴影部分的面积为 ．（ 不取近似值）6．底边长为16cm ，底边上的高为6cm 的等腰三角形的腰长为 cm ．7．一艘轮船以16km/h 的速度离开港口向东北方向航行，另一艘轮船同时离开港口以12km/h 的速度向东南方向航行，它们离开港口半小时后相距 km ．8．如图，求等腰三角形ABC 的面积。

八上期末复习一勾股定理班级学号姓名一、知识点归纳：1．勾股定理：直角三角形两边的平方和等于的平方.2．勾股定理的逆定理：在△ABC中，若a、b、c三边满足___________，则△ABC为___________,斜边为 . 3．勾股数：边长为0.3,0.4,0.5的三角形是否为一个直角三角形? 0.3,0.4,0.5是勾股数吗?总结:满足_____ ___的三个___ _____，称为勾股数.4.直角三角形中边的特殊关系：（1）在Rt△ABC，∠C=90°，a=b=5，则c=（2）在Rt△ABC，∠C=90°，a=1,c=2, 则b=（3）在Rt△ABC，∠C=90°，b=15，∠A=30°，则a= ，c= 。

总结：①在中，30°所对的边是边的一半。

②在Rt△ABC中，若∠A=45°, ∠C=90°,则△ABC是一个三角形。

其中，= 。

二、典例讲解：例1、已知直角三角形的两边长分别为5和12，求第三边。

例2、一个直角三角形的周长为9，斜边为4，求这个三角形的面积。

例3、如图，在矩形ABCD中，AB＝5cm，在边CD上适当选定一点E，沿直线AE把△ADE折叠，使点D恰好落在边BC上一点F处，且△ABF的面积是30cm2．求此时EC的长．例4．已知ABC ∆为等腰直角三角形，∠A ＝︒90,AB=AC, D 为BC 的中点，E 为AB 上一点， BE ＝12，F 为AC 上一点，FC=5，且∠EDF ＝︒90，求EF 的长度。

例5、如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B 离点C 的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点B ，需要爬行的最短距离是_____________例6、已知，如图，在四边形ABCD 中，∠ABC =90°，CD ⊥AD 于点D ,且CD 2+AD 2=2AB 2. (1)求证AB =BC ;(2)当BE ⊥AD 于点E 时，试证明：BE =AE +CD .例7、如图，等边三角形ABC 内一点P ，AP =3，BP =4，CP =5，求∠APB 的度数.BCDEFA作业：一、选择题1、下列说法中正确的有（）（1）如果∠A：∠B：∠C=3：4：5，则△ABC是直角三角形；（2）如果∠A+∠B=∠C，那么△ABC是直角三角形；（3）如果三角形三边为111,,345，则∆ABC是直角三角形；（4）如果三边长分别是2222, 2,m n mn m n+-，则∆ABC是直角三角形。