随机过程习题答案
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随机过程部分习题答案
习题2
2.1 设随机过程b t b Vt t X ),,0(,)(+∞∈+=为常数，)1,0(~N V ，求)(t X 的一维概率
密度、均值和相关函数。
解 因)1,0(~N V ，所以1,0==DV EV ，b Vt t X +=)(也服从正态分布，
b b tEV b Vt E t X E =+=+=][)]([ 22][)]([t DV t b Vt D t X D ==+=
所以),(~)(2
t b N t X ，)(t X 的一维概率密度为
),(,21);(2
22)(+∞-∞∈=
--
x e
t
t x f t b x π，),0(+∞∈t
均值函数 b t X E t m X ==)]([)(
相关函数 )])([()]()([),(b Vt b Vs E t X s X E t s R X ++== ][2
2
b btV bsV stV E +++= 2
b st +=
2.2 设随机变量Y 具有概率密度)(y f ，令Yt
e t X -=)(，0,0>>Y t ，求随机过程)(t X 的
一维概率密度及),(),(21t t R t EX X 。 解 对于任意0>t ，Yt
e
t X -=)(是随机变量Y 的函数是随机变量，根据随机变量函数的分
布的求法，}ln {}{})({);(x Yt P x e P x t X P t x F t
Y ≤-=≤=≤=-
)ln (1}ln {1}ln {t
x F t x Y P t x Y P Y --=-≤-=-
≥= 对x 求导得)(t X 的一维概率密度
xt
t x f t x f Y 1
)ln ();(-
=，0>t 均值函数 ⎰
∞
+--===0
)(][)]([)(dy y f e e E t X E t m yt t
Y X
相关函数
⎰+∞
+-+---====0
)()
(2121)(][][)]()([),(21212
1
dy y f e e
E e
e
E t X t X E t t R t t y t t Y t Y t Y X
2.3 若从0=t 开始每隔
2
1
秒抛掷一枚均匀的硬币做实验，定义随机过程 ⎩
⎨⎧=时刻抛得反面时刻抛得正面
t t t t t X ,2),cos()(π
试求：（1）)(t X 的一维分布函数),1(),2
1
(x F x F 和； （2）)(t X 的二维分布函数),;1,2
1(21x x F ；
（3）)(t X 的均值)1(),(X X m t m ，方差 )1(),(2
2
X X t σσ。 解 （1）2
1
=
t 时，)
1(X 的分布列为
一维分布函数 ⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧≥<≤<=1
,
110,
2
10,0),21(x x x x F 1=
t 时，)1(X 的分布列为
一维分布函数 ⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧≥<≤--<=2
,
121,
211,0),1(x x x x F （2）由于)1(
)21
(X X 与相互独立，所以))1(),1((X X 的分布列为
二维分布函数 ⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨
⎧≥≥<≤-≥≥<≤<≤-<≤-<<=2
,1,121,12,10,
212
1,10,
4
110,0),;1,21(212121212121x x x x x x x x x x x x F 或或
（3）t t t t t m X +=⋅+=
)cos(21
221)cos(21)(ππ 2
1
)1(=X m
22
2222])cos(2
1[)2(21)(cos 21)]([)]([)(t t t t t EX t X E t X +-+=-=ππσ
)cos()(cos 412)(cos 212
222t t t t t t πππ---+=
)cos()(cos 412
2t t t t ππ-+=
2])cos(21
[t t -=π
4
9)1(2
=X σ
2.4 设有随机过程)sin()cos()(t B t A t X ωω+=，其中ω为常数，B A ,是相互独立且服从正态分布),0(2
σN 的随机变量，求随机过程的均值和相关函数。
解 因B A ,独立，),0(~2
σN A ，),0(~2
σN B
所以，2
][][,0][][σ====B D A D B E A E 均值 )]sin()cos([)]([)(t B t A E t X E t m X ωω+==
0][)sin(][)cos(
=+=B E t A E t ωω 相关函数
[]))sin()cos())(sin()cos(()]()([),(22112121t B t A t B t A E t X t X E t t R X ωωωω++== []
1221212212sin cos sin cos sin sin cos cos t t AB t t AB t t B t t A E ωωωωωωωω+++= ][sin sin ][cos cos 221221B E t t A E t t ωωωω+=